「関数 f(x) のマクローリン級数展開を求めよ」- これはまさに高等数学の課題のようであり、一部の生徒はそれができるが、他の生徒は例に対処できない。 累乗級数を拡張するにはいくつかの方法がありますが、ここでは関数をマクローリン級数に拡張する手法を示します。 一連の関数を開発する場合、導関数の計算に優れている必要があります。
例 4.7 x のべき乗で関数を展開する
計算: マクローリンの公式に従って関数の展開を実行します。 まず、関数の分母を級数に展開してみます。 
最後に、展開に分子を掛けます。
最初の項は、ゼロにおける関数の値 f (0) = 1/3 です。
1 次および高次の関数 f (x) の導関数と、点 x=0 におけるこれらの導関数の値を求めてみましょう。 
次に、0 での導関数の値の変化のパターンに基づいて、n 次導関数の式を書きます。 
したがって、分母をマクローリン級数の展開の形で表します。 
分子を乗算し、関数を x 乗で連続展開すると、目的の展開が得られます。 
ご覧のとおり、ここには複雑なことは何もありません。
すべての重要なポイントは、導関数を計算し、ゼロでの高次導関数の値を迅速に一般化する機能に基づいています。 次の例は、関数をシリーズ内にすばやく配置する方法を学ぶのに役立ちます。
例 4.10 関数のマクローリン級数展開を求める
計算: ご想像のとおり、分子にコサインを連続して入れます。 これを行うには、微小量の公式を使用するか、導関数を通じてコサイン展開を導き出すことができます。 その結果、次の x 乗の級数に到達します。 
ご覧のとおり、最小限の計算と級数展開のコンパクトな表現が得られます。
例 4.16 関数を x のべき乗で展開します。
7/(12-x-x^2)
計算: この種の例では、単純な分数の合計によって分数を展開する必要があります。
これを行う方法は今は説明しませんが、不定係数を使用して分数の合計を求めます。
次に分母を指数形式で書きます 
マクローリンの公式を使用して項を展開することが残っています。 用語を要約すると、 等しい度「x」は関数の級数展開の一般項の式を構成します 
冒頭のシリーズへの移行の最後の部分は、対応のあるインデックスと対応のないインデックス (次数) の公式を組み合わせるのが難しいため、実装が困難ですが、練習すればうまくできるようになります。
例 4.18 関数のマクローリン級数展開を求める
計算: この関数の導関数を求めてみましょう。 
マクラーレンの公式の 1 つを使用して、関数を級数に拡張してみましょう。 
両方が完全に同一であるという事実に基づいて、系列を用語ごとに合計します。 級数全体を項ごとに統合すると、関数の x 乗の級数への展開が得られます。 
展開の最後の 2 行の間には移行部分があり、最初はかなりの時間がかかります。 級数式を一般化することは誰にとっても簡単ではないため、適切でコンパクトな式が得られなくても心配する必要はありません。
例 4.28 関数のマクローリン級数展開を求めます。
対数を次のように書きましょう 
マクローリンの公式を使用して、対数関数を x の累乗で展開します。 
最後の畳み込みは一見すると複雑ですが、符号を交互に変えると常に似たような結果が得られます。 関数を連続してスケジュールするというトピックに関する入力レッスンが完了しました。 他も同様に 興味深い計画分解については、次の資料で詳しく説明します。
関数 f(x) に点 a を含む特定の区間上のすべての次数の導関数がある場合、テイラー公式をそれに適用できます。
,
どこ rn– いわゆる剰余項または級数の剰余。ラグランジュの公式を使用して推定できます。
ここで、数値 x は x と a の間にあります。
関数の入力ルール:
何らかの価値がある場合 バツ rn→0時 n→∞の場合、極限ではテイラー式はこの値の収束式に変わります。 テイラーシリーズ:
,
したがって、次の場合、関数 f(x) は考慮中の点 x でテイラー級数に展開できます。
1) すべての次数の導関数があります。
2) 構築された系列はこの点で収束します。
a = 0 の場合、次の系列が得られます。 マクローリンの近く:
,
マクローリン級数の最も単純な (初歩的な) 関数の拡張:
指数関数
、R=∞
三角関数 
、R=∞ 
、R=∞
、(-π/2< x < π/2), R=π/2
関数 actgx は x のべき乗に展開しません。 ctg0=∞
双曲線関数
対数関数
, -1
二項級数
.
例その1。 関数をべき級数に拡張する f(x)= 2バツ.
解決。 関数とその導関数の値を次で求めてみましょう。 バツ=0
f(x) = 2バツ, f( 0)
= 2 0
=1;
f"(x) = 2バツ ln2、 f"( 0)
= 2 0
ln2= ln2;
f""(x) = 2バツイン 2 2、 ふ""( 0)
= 2 0
ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2バツ ln n 2, f(n)( 0)
= 2 0
ln n 2=ln n 2.
得られた導関数の値をテイラー級数式に代入すると、次のようになります。
この級数の収束半径は無限大に等しいため、この展開は -∞ に対して有効です。<バツ<+∞.
例その2。 テイラー級数を累乗で書きます ( バツ+4) 機能用 f(x)= e バツ.
解決。 関数 e の導関数を求める バツとその時点での価値観 バツ=-4.
f(x)= e バツ, f(-4)
= e -4
;
f"(x)= e バツ, f"(-4)
= e -4
;
f""(x)= e バツ, ふ""(-4)
= e -4
;
…
f(n)(x)= e バツ, f(n)( -4)
= e -4
.
したがって、必要な関数のテイラー級数は次の形式になります。
この展開は -∞ にも当てはまります<バツ<+∞.
例その3。 機能を拡張する f(x)=ln バツ一連の力で ( バツ- 1),
(つまり、点の近くのテイラー級数で バツ=1).
解決。 この関数の導関数を求めます。
f(x)=lnx 、 、 、 、
f(1)=ln1=0、f"(1)=1、f""(1)=-1、f"""(1)=1*2、...、f(n) =(- 1) n-1 (n-1)!
これらの値を式に代入すると、目的のテイラー級数が得られます。
ダランベール検定を使用すると、級数が 1/2x-1 1/2 で収束することを確認できます。<1 . Действительно,
級数は 1/2 であれば収束します。 バツ- 1 1/2<1, т.е. при 0<バツ<2. При バツ=2 ライプニッツ基準の条件を満たす交互系列が得られます。 x=0 の場合、関数は定義されていません。 したがって、テイラー級数の収束領域は半開区間 (0;2] です。
例その4。 関数をべき級数に拡張します。 例その5。 関数をマクローリン級数に拡張します。 コメント
.
この方法は、べき級数における関数の展開の一意性に関する定理に基づいています。 この定理の本質は、同じ点の近傍では、どのように展開しても同じ関数に収束する 2 つの異なるべき級数は得られないということです。 例No.5a。 マクローリン級数の関数を展開し、収束領域を示します。 |3x| の場合、分数 3/(1-3x) は、分母が 3x の無限減少等比数列の和と考えることができます。< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд
例その6。 この関数を点 x = 3 付近のテイラー級数に展開します。 例その7。 関数 ln(x+2) の (x -1) 乗でテイラー級数を書きます。 例その8。 関数 f(x)=sin(πx/4) を点 x =2 付近のテイラー級数に展開します。 例その1。 ln(3) を最も近い 0.01 まで計算します。 例その2。 最も近い 0.0001 まで計算します。 例その3。 積分 ∫ 0 1 4 sin (x) x を 10 -5 以内で計算します。 例その4。 積分 ∫ 0 1 4 e x 2 を精度 0.001 で計算します。 実践的なスキルを訓練するためのサイトの Taylor、Maclaurin、Laurent シリーズへの機能の拡張。 関数のこの級数展開により、数学者は定義領域のある時点で関数の近似値を推定できるようになります。 このような関数値を計算することは、コンピューター技術の時代にはまったく無関係な Bredis テーブルを使用するよりもはるかに簡単です。 関数をテイラー級数に展開するとは、この級数の一次関数の係数を計算し、正しい形式で記述することを意味します。 学生は、2 番目の一般的なケースと特殊なケースが何かを理解せず、これら 2 つのシリーズを混同します。 マクローリン級数はテイラー級数の特殊なケースであることをもう一度思い出してください。つまり、これはテイラー級数ですが、点 x = 0 です。よく知られた関数の拡張に関するすべての簡単なエントリは、 e^x、Sin(x)、Cos(x) など、これらはテイラー級数展開ですが、引数の点は 0 です。 複素引数の関数の場合、ローラン級数は両側無限級数を表すため、ローラン級数が TFCT で最も一般的な問題になります。 2つのシリーズの合計です。 分解の例を Web サイトで直接見ることをお勧めします。これは、任意の番号を付けて「例」をクリックし、「解決策」ボタンをクリックするだけで簡単に実行できます。 変数が横軸領域に属している場合、元の関数を縦軸に沿った特定の領域に制限するメジャー化級数に関連付けられているのは、まさにこの関数の級数への拡張です。 ベクトル解析は、数学におけるもう 1 つの興味深い分野と比較されます。 用語ごとに調べる必要があるため、かなりの時間がかかります。 x0 をゼロに置き換えることにより、テイラー級数をマクローリン級数に関連付けることができますが、マクローリン級数の場合、テイラー級数を逆に表すことが明らかではない場合があります。 これは純粋な形で行う必要がないように、一般的な自己啓発にとって興味深いものです。 すべてのローラン級数は、z-a の整数乗の両側無限べき級数、つまり、同じテイラー型の級数に対応しますが、係数の計算がわずかに異なります。 ローラン級数の収束領域については、いくつかの理論的計算を行った後、少し後で説明します。 前世紀と同様、分母の関数が非線形であるため、関数を段階的に級数に拡張することは、単に項を共通の分母にするだけではほとんど実現できません。 問題を定式化するには、関数値の近似計算が必要です。 テイラー級数の引数が線形変数の場合、展開はいくつかのステップで行われますが、展開される関数の引数が複素関数または非線形関数の場合、状況は完全に異なります。このような関数をべき級数で表すことは明らかです。このようにすると、定義領域内の任意の点で近似値であっても、以降の計算にほとんど影響を与えない最小限の誤差で簡単に計算できます。 これはマクローリンシリーズにも当てはまります。 ゼロ点で関数を計算する必要がある場合。 ただし、ここではローラン級数自体が虚数単位による平面上の展開で表現されています。 また、プロセス全体で問題を正しく解決することが成功しないわけではありません。 このアプローチは数学では知られていませんが、客観的には存在します。 その結果、いわゆる点ごとのサブセットの結論に達することができ、系列内の関数の展開では、導関数理論の適用など、このプロセスで知られている方法を使用する必要があります。 私たちは、先生が事後計算の結果について仮定を立てたとき、正しかったと改めて確信しました。 すべての数学の規範に従って取得されたテイラー級数が存在し、数値軸全体で定義されていることに注意してください。ただし、サイト サービスの親愛なるユーザーの皆様、元の関数の型を忘れないでください。最初に関数の定義領域を確立する必要があります。つまり、関数が実数領域で定義されていない点を記述し、さらなる検討から除外する必要があります。 いわば、これは問題を解決する際の効率を示します。 引数値がゼロのマクローリン級数の構築も、これまで述べてきたことの例外ではありません。 関数の定義域を見つけるプロセスはキャンセルされていないため、この数学的操作には真剣に取り組む必要があります。 主要部分を含むローラン級数の場合、パラメータ「a」は孤立特異点と呼ばれ、ローラン級数はリング状に展開されます。これは、その部分の収束領域の交点です。対応する定理が続きます。 しかし、経験の浅い学生が一見したようにすべてが複雑であるわけではありません。 テイラー級数を学習すると、数の空間を拡張するための一般化された事例であるローラン級数を簡単に理解できるようになります。 関数の級数展開は、関数の定義領域内の点でのみ実行できます。 周期性や無限微分可能性などの関数の特性を考慮する必要があります。 また、オンライン計算機を使用するとわかるように、1 つの関数は最大数十の異なるべき級数で表現できるため、既製の初等関数のテイラー級数展開の表を使用することをお勧めします。 オンラインのマクローリン シリーズは非常に簡単に判断できます。独自の Web サイト サービスを使用する場合は、正しい関数を入力するだけで、数秒で提示された答えが表示されます。正確であることが保証されています。標準的な書面形式。 結果を直接クリーンコピーにコピーして、教師に提出することができます。 最初にリング内で問題の関数の解析性を決定し、次にそのようなすべてのリングでローラン級数で展開可能であると明確に述べるのが正しいでしょう。 負の力を含むローラン級数の項を見失わないことが重要です。 できるだけこれに集中してください。 関数の整数べき乗の展開に関するローランの定理をうまく活用します。 関数の場合 f(x)点を含むある区間上にあります あ、すべての次数の導関数がある場合、テイラー公式をそれに適用できます。 どこ rn– いわゆる剰余項または級数の剰余。ラグランジュの公式を使用して推定できます。 何らかの価値がある場合 ×rn®0時 n®¥ の場合、極限ではテイラー公式はこの値の収束公式に変わります。 テイラーシリーズ: したがって、関数は f(x)問題の点でテイラー級数に拡張できます バツ、 もし： 1) すべての次数の導関数があります。 2) 構築された系列はこの点で収束します。 で あ=0 という系列が得られます。 マクローリンの近く: 例1
f(x)= 2バツ. 解決。 関数とその導関数の値を次で求めてみましょう。 バツ=0 f(x) = 2バツ, f( 0)
= 2 0
=1; f¢(x) = 2バツ ln2、 f¢( 0)
= 2 0
ln2= ln2; f¢¢(x) = 2バツイン 2 2、 f¢¢( 0)
= 2 0
ln 2 2= ln 2 2; f(n)(x) = 2バツ ln n 2, f(n)( 0)
= 2 0
ln n 2=ln n 2. 得られた導関数の値をテイラー級数式に代入すると、次のようになります。 この級数の収束半径は無限大に等しいため、この展開は -¥ に対して有効です。<バツ<+¥. 例 2
バツ+4) 機能用 f(x)= e バツ. 解決。 関数 e の導関数を求める バツとその時点での価値観 バツ=-4. f(x)= e バツ, f(-4)
= e -4
; f¢(x)= e バツ, f¢(-4)
= e -4
; f¢¢(x)= e バツ, f¢¢(-4)
= e -4
; f(n)(x)= e バツ, f(n)( -4)
= e -4
. したがって、必要な関数のテイラー級数は次の形式になります。 この展開は -¥ にも有効です<バツ<+¥. 例 3
。 機能を拡張する f(x)=ln バツ一連の力で ( バツ- 1), (つまり、点の近くのテイラー級数で バツ=1). 解決。 この関数の導関数を求めます。 これらの値を式に代入すると、目的のテイラー級数が得られます。 ダランベールの検定を使用すると、次の場合に級数が収束することを検証できます。 ½ バツ- 1 1/2<1. Действительно, 級数は 1/2 であれば収束します。 バツ- 1 1/2<1, т.е. при 0<バツ<2. При バツ=2 ライプニッツ基準の条件を満たす交互系列が得られます。 で バツ=0 関数が定義されていません。 したがって、テイラー級数の収束領域は半開区間 (0;2] です。 同様の方法で得られた展開をマクローリン級数に（つまり、点の近傍で）提示してみます。 バツ=0) 一部の初等関数の場合: (2) (3) (最後の分解は呼び出されます 二項級数) 例 4
。 関数をべき級数に拡張する 解決。 展開(1)では置き換えます バツの上 - バツ 2、次の結果が得られます。 例5
。 マクローリン系列の機能を拡張 解決。 我々は持っています 式 (4) を使用すると、次のように書くことができます。 代わりに代用する バツ式に入れる -バツ、 我々が得る： ここから次のことがわかります。 括弧を開けて、級数の用語を並べ替えて、同様の用語を導き出すと、次のようになります。 この系列は区間内で収束します (-1;1)。これは 2 つの系列から取得されており、それぞれがこの区間内で収束します。 コメント
. 式 (1) ～ (5) を使用して、対応する関数をテイラー級数に拡張することもできます。 正の整数べき乗で関数を展開する場合 ( はぁ）。 これを行うには、関数 (1) ～ (5) のいずれかを取得するために、指定された関数に対して同じ変換を実行する必要があります。 バツ費用はk( はぁ) m 、ここで k は定数、m は正の整数です。 多くの場合、変数を変更すると便利です t=はぁそして、得られた関数をマクローリン級数の t に関して展開します。 この方法は、関数のべき級数展開の一意性に関する定理を示します。 この定理の本質は、同じ点の近傍では、どのように展開しても同じ関数に収束する 2 つの異なるべき級数は得られないということです。 例6
。 点の近傍でテイラー級数の関数を展開する バツ=3. 解決。 この問題は、以前と同様に、テイラー級数の定義を使用して解決できます。この級数については、次の関数の導関数とその値を見つける必要があります。 バツ=3。 ただし、既存の拡張 (5) を使用する方が簡単です。 結果の系列は次のように収束します。 例 7
。 テイラー級数を累乗で書きます ( バツ-1) 機能 解決. この系列は次の時点で収束します。 関数級数の理論では、関数を級数に拡張するセクションが中心を占めています。 したがって、タスクは次のように設定されます: 与えられた関数に対して
そのようなべき級数を見つける必要があります 一定の間隔で収束し、その合計は次の値に等しかった このタスクはと呼ばれます 関数をべき級数に拡張する問題。 べき級数における関数の分解可能性の必要条件は無限回の微分可能性です。これは収束べき級数の特性から得られます。 この条件は、原則として、その定義領域内の初等関数に対して満たされます。 そこで、次の関数があると仮定しましょう 関数があると仮定しましょう どこ あ 0 、A 1 、A 2 、...、A P ,...
– 未知の（まだ）係数。 等価 (*) の値を入力しましょう x = x 0 ,
それから私たちは得ます べき級数 (*) を項ごとに微分してみましょう そしてここを信じて x = x 0 ,
我々が得る 次の微分により、級数が得られます。 信じている x = x 0 ,
我々が得る 後 P-得られる微分の倍数 最後の等価性を仮定すると x = x 0 ,
我々が得る したがって、係数が見つかります 級数 (*) に what を代入すると、次のようになります。 結果のシリーズは次のように呼ばれます テイラーの隣に
機能のため
したがって、私たちはそれを確立しました 関数がべき乗 (x - x) のべき級数に展開できるかどうか 0 ) の場合、この展開は一意であり、結果の系列は必然的にテイラー系列になります。 テイラー級数は、その点で任意の次数の導関数を持つ任意の関数に対して取得できることに注意してください。 x = x 0 .
しかし、これは、関数と結果の系列の間に等号を置くことができるという意味ではありません。 級数の合計が元の関数に等しいということです。 第一に、そのような等式は収束領域でのみ意味を持ち、関数に対して得られたテイラー級数は発散する可能性があり、第二に、テイラー級数が収束した場合、その和は元の関数と一致しない可能性があります。 タスクを解決するためのステートメントを作成しましょう。 関数の場合
どこR n (バツ)-テイラー公式の剰余項 - の形式 (ラグランジュ形式) を持ちます。 どこ
ドットξ
xとxの間にあります 0 . テイラー級数とテイラー公式には違いがあることに注意してください。テイラー公式は有限和です。 P -固定番号。 級数の合計を思い出してください。 S(バツ)
部分和の関数シーケンスの極限として定義できます S P (バツ)
ある間隔で バツ: これによると、関数をテイラー級数に拡張するとは、次のような級数を見つけることを意味します。 バツバツ テイラーの公式を次の形式で書きましょう。 気づいてください、それは もし したがって、私たちは証明しました テイラー級数における関数の分解可能性の基準。
ある間隔で関数がf(x) をテイラー級数に展開すると、この区間では次のことが必要かつ十分です。
定式化された基準を使用すると、次のことが得られます。 十分なテイラー級数における関数の分解可能性の条件。
入っている場合点xの近傍 0 関数のすべての導関数の絶対値は同じ数 M に制限されます≥ 0、つまり 上記から次のようになります アルゴリズム機能拡張
f(バツ) テイラーシリーズのある点の近くで バツ 0 :
1.
関数の導関数を求める f(バツ):
f(x)、f’(x)、f”(x)、f’”(x)、f (n) （バツ）、… 2. 関数の値とその点での導関数の値を計算します バツ 0 f(x 0
)、f’(x 0
)、f”(x 0
)、f’”(x 0
)、f (n) （バツ 0
),…
3. テイラー級数を正式に記述し、その結果得られるべき級数の収束領域を見つけます。 4. 十分条件が満たされていることを確認します。 私たちはそのために確立します バツ収束領域からの剰余項 R n (バツ)
としてゼロになる傾向があります このアルゴリズムを使用して関数をテイラー級数に展開することを 定義による関数のテイラー級数への展開または 直接分解。
解決。 展開 (1) では、x を -x 2 に置き換えると、次のようになります。
, -∞
解決。 我々は持っています
式 (4) を使用すると、次のように書くことができます。
式の x の代わりに –x を代入すると、次のようになります。
ここから、 ln(1+x)-ln(1-x) = - がわかります。
括弧を開けて、級数の用語を並べ替えて、同様の用語を導き出すと、次のようになります。
。 この系列は、それぞれがこの区間で収束する 2 つの系列から取得されているため、区間 (-1;1) で収束します。
式 (1) ～ (5) を使用して、対応する関数をテイラー級数に拡張することもできます。 正の整数べき乗で関数を展開する場合 ( はぁ）。 これを行うには、関数 (1) ～ (5) のいずれかを取得するために、指定された関数に対して同じ変換を実行する必要があります。 バツ費用はk( はぁ) m 、ここで k は定数、m は正の整数です。 多くの場合、変数を変更すると便利です t=はぁそして、得られた関数をマクローリン級数の t に関して展開します。
解決。 まず、 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , を求めます。
初級者へ:
収束領域 |x| あり< 1/3.
解決。 この問題は、以前と同様に、テイラー級数の定義を使用して解決できます。この級数については、次の関数の導関数とその値を見つける必要があります。 バツ=3。 ただし、既存の拡張 (5) を使用する方が簡単です。
=
結果の系列は、または -3 で収束します。
解決.
系列は 、または -2 で収束します。< x < 5.
解決。 t=x-2 を置き換えてみましょう。
x の代わりに π / 4 t を代入する展開 (3) を使用すると、次が得られます。
結果として得られる級数は、-∞ で指定された関数に収束します。< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞
, (-∞べき級数を使用した近似計算
べき級数は近似計算に広く使用されます。 これらの助けを借りて、根、三角関数、数値の対数、および定積分の値を所定の精度で計算できます。 級数は微分方程式を積分するときにも使用されます。
べき級数での関数の展開を考えてみましょう。
与えられた点における関数の近似値を計算するには バツ、指定されたシリーズの収束領域に属し、最初のものはその展開内に残されます。 nメンバー（ n– 有限数)、残りの項は破棄されます。
得られた近似値の誤差を推定するには、切り捨てられた剰余 rn (x) を推定する必要があります。 これを行うには、次のテクニックを使用します。
解決。 x=1/2 の展開を使用してみましょう (前のトピックの例 5 を参照)。
展開の最初の 3 項の後の剰余を破棄できるかどうかを確認してみましょう。これを行うには、無限に減少する等比数列の合計を使用してそれを評価します。
したがって、この剰余を破棄して取得できます
解決。 二項級数を使ってみましょう。 5 3 は 130 に最も近い整数の 3 乗であるため、数値 130 を 130 = 5 3 +5 として表すことをお勧めします。 
すでにライプニッツ基準を満たしている交互系列の第 4 項が必要な精度を下回っているため、次のようになります。
, したがって、それとそれに続く用語は破棄できます。
実際に必要な多くの定積分や不適切な積分は、ニュートン・ライプニッツの公式を使用して計算することはできません。これは、ニュートン・ライプニッツの公式の適用が、初等関数で式を持たない反微分を求めることに関連しているためです。 逆誘導体を見つけることも可能ですが、不必要に労力がかかることもあります。 しかし、被積分関数をべき級数に展開し、積分の極限がこの級数の収束区間に属する場合には、所定の精度で積分の近似計算が可能となる。
解決。 対応する不定積分は初等関数では表現できません。 は「非永続的な積分」を表します。 ニュートン・ライプニッツの公式はここでは適用できません。 積分を近似計算してみましょう。
sin の系列を項ごとに分割する バツの上 バツ、 我々が得る： 
この系列を項ごとに積分すると (積分の限界はこの系列の収束区間に属するため、これは可能です)、次の結果が得られます。
結果として得られる級数はライプニッツの条件を満たしており、所定の精度で目的の値を取得するには最初の 2 つの項の和を取るだけで十分であるためです。
したがって、次のようになります。 
.
解決.
。 結果の系列の 2 番目の項の後の余りを破棄できるかどうかを確認してみましょう。
0.0001<0.001. Следовательно, 
.
、数値 x は間にあります バツそして あ.
,
,
または -3<バツ- 3<3, 0<バツ< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.
.
、または2< バツ 5ポンド。
,
それらの。
=
..
任意の次数の導関数があります。 これをべき級数に拡張することは可能ですか?その場合、この級数はどのように求めればよいでしょうか? 問題の 2 番目の部分は解決するのが簡単なので、そこから始めましょう。
点を含む区間に収束するべき級数の和として表すことができます。 バツ 0 :
=
..
(*)
.
=
..
.
=
..
、 どこ 
.
、 どこ
,
,
,
…,
,….,
.
3.2. テイラー級数の関数が分解可能であるための十分条件
点xの近くのどこかで 0 までの導関数があります (n+
1）順序を含めると、この近傍では次のようになります。式
テイラー
.
取得したエラーを定義し、関数を置き換えます f(バツ)
多項式 S n (バツ).
、 それ 
、それらの。 この関数はテイラー級数で拡張されます。 その逆の場合は、 
、 それ 
.
、 どこR n (バツ) はテイラー級数の剰余項です。
、To この付近では、関数はテイラー級数に展開されます。
または
.
