直線 l と平面 6 の間の角度 a は、所定の直線 l と、直線上の任意の点から引いた所定の平面への垂線 n との間の追加角度 p によって決定できます (図 144)。 角度 P は、希望の角度 a を 90° に補います。 直線 l と垂線によって形成される角度の平面レベルを回転させて角度 P の真の値を決定した後、それを次のように補完する必要があります。 直角。 この追加の角度により、直線 l と平面 0 の間の角度 a の真の値が得られます。
27. 2 つの平面間の角度を決定します。
本当の価値 上反角- 2 つの平面 Q と l の間。 - 二面角のエッジを投影線に変換するために投影面を置き換えることによって決定できます (問題 1 および 2)。エッジが指定されていない場合は、次のように描かれた 2 つの垂線 n1 と n2 の間の角度として決定できます。空間の任意の点 M からのこれらの平面 B 点 M におけるこれらの垂線の 2 つの平面角 a と P が得られます。これらの平面角は、平面 q と l によって形成される 2 つの隣接する角度 (二面角) の直線角にそれぞれ等しいです。 レベルの直線の周りを回転して垂線 n1 と n2 の間の角度の真の値を決定したら、それによって平面 q と l によって形成される二面角の直線角を決定します。
曲線。 曲線が特徴的なポイント。
複雑な曲線の描画では、その特別な点 (変曲点、戻り点、破断点、および節点を含む) は、その投影上の特別な点でもあります。 これは、曲線の特異点がこれらの点の接線に接続されているという事実によって説明されます。
曲線の平面が突出した位置を占めている場合 (図 2) A)、この場合、この曲線の 1 つの投影は直線の形状になります。
空間曲線の場合、その投影はすべて曲線になります (図 1)。 b）。
図面からどの曲線 (平面または空間) が与えられているかを判断するには、曲線のすべての点が同じ平面に属しているかどうかを確認する必要があります。 図で指定されています。 b点があるため、曲線は空間的です。 D曲線は他の 3 つの点によって定義される平面に属しません A、Bそして Eこの曲線。
円 - 2 次の平面曲線。その正投影は円と楕円になります。
円筒螺旋線 (helix) は、螺旋運動を行う点の軌跡を表す空間曲線です。 
29.平面と空間曲線。
質問28を参照
30. 複雑な表面描画。 基本規定.
サーフェスは、空間内を移動する線の連続した位置のセットです。 この線は直線または曲線であり、次のように呼ばれます。 母線表面。 母線が曲線の場合、定数または 変数ビュー。 母線は移動します ガイド、ジェネレーターとは異なる方向のラインを表します。 ガイドラインは、ジェネレーターの運動の法則を設定します。 ガイドに沿って母線を移動すると、 フレーム表面 (図 84)。母線とガイドのいくつかの連続した位置のセットです。 フレームを調べると、発電機が 私そしてガイド T 交換可能ですが、表面は同じままです。
任意の表面はさまざまな方法で取得できます。
母線の形状に応じて、すべてのサーフェスを次のように分割できます。 支配、生成直線を持ち、 支配されていない、成形曲線を持っています。
可展面には、すべての多面体、円筒面、円錐面、および胴体面の表面が含まれます。 他のすべてのサーフェスは現像できません。 ルールなしのサーフェスには、一定の形状の母線 (回転面および管状サーフェス) と、可変形状の母線 (チャネル サーフェスおよびフレーム サーフェス) を含めることができます。
複雑な図面内の曲面は、その行列式の幾何学的部分の投影によって指定され、その生成器を構築する方法を示します。 サーフェスの描画では、空間内の任意の点について、それが特定のサーフェスに属するかどうかの問題は明確に解決されます。 表面決定要因の要素をグラフィカルに指定すると、描画の可逆性が保証されますが、視覚的にはなりません。 明確にするために、彼らは母線のかなり密なフレームの投影を構築し、表面の輪郭線を構築することに頼っています (図 86)。 面 Q を投影面に投影すると、投影光線はこの面上に特定の線を形成する点でこの面に接触します。 私と呼ばれる 輪郭ライン。 等高線の投影はと呼ばれます エッセイ表面。 複雑な図面では、どのサーフェスにも次のような特徴があります。 P 1 - 水平輪郭、P 2 - 正面輪郭、P 3 - 表面の輪郭輪郭。 スケッチには、輪郭線の投影に加えて、カットラインの投影も含まれます。
直線と平面との間の角度の定義は、斜投影の概念に基づいています。 意味。 直線と平面の間の角度は、この直線と所定の平面への投影との間の角度です。
図では、 341 は、傾斜した AM と平面 K への投影との間の角度 a を示しています。
注記。 直線が平面に平行であるか、平面内にある場合、平面との角度が考慮されます。 ゼロに等しい。 それが平面に対して垂直である場合、その角度は正しいと宣言されます (前の定義は文字通りここでは適用できません!)。 他の場合では、それは意味します 鋭い角線とその投影の間。 したがって、直線と平面との間の角度が直角を超えることはありません。 ここでは、角度についてではなく、角度の尺度について話す方が正しいことにも注意してください (実際、 私たちが話しているのは平面に対する直線の傾きの度合い、角度の概念について 平らな図、2 つの光線によって制限されますが、ここでは直接関係ありません)。
直線と平面の間の鋭角のもう 1 つの性質を検証してみましょう。
特定の直線と平面内のすべての可能な直線によって形成されるすべての角度のうち、特定の直線の投影との角度が最小になります。
証拠。 図に戻ってみましょう。 342. a を与えられた線とし、その平面への投影を平面 K 上の任意の他の線とします (便宜上、線 a と平面の交点 A を通って線を描きました)。 それを直線セグメント上に置きましょう。 底に等しい傾斜 MA、ここで は傾斜 a の点の 1 つの投影です。
次に、三角形では 2 つの辺が等しくなります。辺 AM は共通であり、構造が等しいです。 ただし、三角形の 3 番目の辺は三角形の 3 番目の辺よりも大きくなります (傾斜した辺が垂直よりも大きくなります)。 これは、反対側の角度 b が対応する角度 a b よりも大きいことを意味します (段落 217 を参照): 。これは証明する必要があることです。
線と平面の間の角度は、特定の線と平面内のすべての可能な線の間の角度の最小値です。
公正など
定理。 平面内にある直線と、この平面への傾斜した直線の投影との間の鋭角は、この直線と傾斜した直線との間の角度よりも小さい。
証拠。 を平面内にある直線 (図 342)、a を平面に対して傾斜させ、t を平面への投影とします。 直線が平面に対して傾いていると考え、それを指定された平面に投影し、前のプロパティを使用して次のことを見つけます。これが証明する必要があるものです。 3 つの垂線の定理によれば、平面上の直線が斜投影図に垂直な場合 (鋭角ではなく直角の場合)、その直線は斜投影図にも垂直であることがわかります。斜めのもの。 この場合、私たちが話している両方の角度は直角なので、互いに等しいです。
図形を平面に投影するという概念
線と平面の間の角度の概念を導入するには、まず任意の図形の平面への投影などの概念を理解する必要があります。
定義 1
任意の点 $A$ を与えましょう。 点 $A_1$ は、点 $A$ から平面 $\alpha $ に引いた垂線の底辺である場合、点 $A$ の平面 $\alpha $ への投影と呼ばれます (図 1)。
図 1. 点の平面への投影
定義 2
任意の数値 $F$ を与えてみましょう。 図形 $F_1$ は、図形 $F$ の平面 $\alpha $ への射影と呼ばれ、図形 $F$ のすべての点の平面 $\alpha $ への射影で構成されます (図 2)。
図 2. 平面への図形の投影
定理1
直線の平面に垂直でない投影は直線です。
証拠。
平面 $\alpha $ と、それに垂直ではなく交差する直線 $d$ を与えましょう。 線分 $d$ 上の点 $M$ を選択し、その投影 $H$ を平面 $\alpha $ 上に描画しましょう。 直線 $(MH)$ を通して、平面 $\beta $ を描きます。 明らかに、この平面は $\alpha $ 平面に対して垂直になります。 それらを直線 $m$ に沿って交差させます。 線分$d$の任意の点$M_1$を考え、そこを通る線分$(MH)$と平行な線分$(M_1H_1$)を引きましょう(図3)。
図3.
平面 $\beta $ は平面 $\alpha $ に垂直であるため、$M_1H_1$ は直線 $m$ に垂直です。つまり、点 $H_1$ は点 $M_1$ を平面上に投影したものになります。平面 $\alpha $。 点 $M_1$ の選択は任意であるため、線分 $d$ のすべての点が線分 $m$ 上に投影されます。
同様の方法で推論します。 逆の順序で、直線 $m$ 上の各点が直線 $d$ 上の任意の点の投影であることがわかります。
これは、線分 $d$ が線分 $m$ に投影されることを意味します。
定理は証明されました。
直線と平面の間の角度の概念
定義 3
平面と交差する直線とその平面への投影との間の角度は、直線と平面との間の角度と呼ばれます (図 4)。
図 4. 直線と平面の間の角度
ここでいくつかメモしておきます。
注1
線が平面に対して垂直である場合。 この場合、直線と平面の間の角度は $90^\circ$ です。
注2
線が平行か平面上にある場合。 この場合、直線と平面との間の角度は $0^\circ$ です。
サンプル問題
例1
平行四辺形 $ABCD$ と、その平行四辺形の面内にない点 $M$ が与えられたとします。 点$B$が点$M$の平行四辺形平面への投影である場合、三角形$AMB$と$MBC$が直角であることを証明してください。
証拠。
問題の状況を図で表してみます (図 5)。
図5.
点 $B$ は点 $M$ を平面 $(ABC)$ に投影したものであるため、直線 $(MB)$ は平面 $(ABC)$ に垂直です。 注1により、直線$(MB)$と平面$(ABC)$との間の角度は$90^\circ$に等しいことがわかります。 したがって、
\[\angle MBC=MBA=(90)^0\]
これは、三角形 $AMB$ と $MBC$ が直角三角形であることを意味します。
例 2
平面 $\alpha $ が与えられます。 セグメントはこの平面に対して $\varphi $ の角度で描画され、その始点はこの平面内にあります。 このセグメントの投影は、セグメント自体のサイズの半分です。 $\varphi$ の値を見つけます。
解決。
図 6 を考えてみましょう。
図6.
条件によりますと、
三角形 $BCD$ は直角なので、コサインの定義により、
\ \[\varphi =arccos\frac(1)(2)=(60)^0\]
直線と平面の間の角度の概念は、あらゆるものに導入できます。 相対位置真っ直ぐで平面。
直線 l が平面に垂直な場合、l と の間の角度は 90 に等しいとみなされます。
直線 l が平面に平行であるか、この平面内にある場合、l と の間の角度はゼロに等しいとみなされます。
直線 l が平面に対して傾いている場合、l と this の間の角度は、直線 l とその平面への投影 p の間の角度になります (図 39)。
米。 39. 直線と平面の間の角度
したがって、この自明ではない場合の定義を思い出してください。直線が傾いている場合、直線と平面の間の角度は、この直線の間の角度です。
そして 指定された平面への投影。
7.1 問題解決の例
難易度の高い順に並べた 3 つのタスクを見てみましょう。 数学の統一国家試験の 3 番目のタスク レベル C2。
問題1. 正四面体の側辺と底面とのなす角を求めよ。
解決。 ABCD を辺のある正四面体とする | ||||||||||
ラム酒（図40）。 ADと平面の間の角度を求めてみましょう | ||||||||||
高さDHを描きましょう。 直接 AD の投影 | ||||||||||
平面ABCは直線AHとなります。 したがって、求められているのは、 | ||||||||||
角度 」は、線分 AD と線分 AH の間の角度です。 | ||||||||||
線分 AH は、記述された円の半径です。 | ||||||||||
三角形ABCの周り: | ||||||||||
AH = p | ||||||||||
今から 直角三角形 ADH: | ||||||||||
米。 40. タスク1へ |
||||||||||
cos "=AD=p | ||||||||||
答え：アークコスp | ||||||||||
問題2. 正三角柱ABCA1 B1 C1では、辺と底辺の辺は等しい。 線分 AA1 と平面 ABC1 の間の角度を求めます。
解決。 直線と平面の角度は、直線を平行にずらしても変わりません。 CC1 は AA1 に平行であるため、必要な角度は直線 CC1 と平面 ABC1 の間の角度です (図 41)。
B1"
米。 41. タスク2へ
M を AB の中点とします。 三角形 CC1 M に高度 CH を描きましょう。CH が平面 ABC1 に垂直であることを示しましょう。 これを行うには、CH に垂直な、この平面の 2 本の交差する線を提示する必要があります。
最初の直線は明らかです - C1 M。確かに、CH ? 構造的にはC1 M。
2行目はABです。 実際、傾斜した CH の平面 ABC への投影は直線 CM です。 その間AB? CM。 3 つの垂線の定理から、次のことがわかります。 CH.
それでCHは？ ABC1. したがって、CC1 と ABC1 の間の角度は " = \CC1 H です。次の関係から CH の値を求めます。
C1 M CH = CC1 CM
(この比率の両辺は、三角形 CC1 M の面積の 2 倍に等しい)。 我々は持っています：
CM = a 2 3 ;
角度を見つけることは残っています ":
答え: arcsin 3 7 。
C1 M =q CC1 2 + CM2 =r | a2 +4 | |||||||||||||||||
CH=a | ||||||||||||||||||
CH = ar | ||||||||||||||||||
sin " = CH =3 : CC1 7
問題 3. 立方体 ABCDA1 B1 C1 D1 の辺 A1 B1 上で、A1 K: KB1 = 3: 1 となる点 K をとります。直線 AK と平面 BC1 D1 との角度を求めてください。
解決。 図面 (図 42、左) を作成すると、追加の構造が必要であることがわかります。
KB1 | |||||||||||
米。 42. 問題3へ | |||||||||||
まず、線 AB が平面 BC1 D1 内にあることに注意してください (AB k C1 D1 なので)。 次に、AK と平行に B1 M を描きましょう (図 42、右)。 B1 C も描き、B1 C と BC1 の交点を N とします。
直線 B1 C が平面 BC1 D1 に垂直であることを示しましょう。 確かに：
1) B1C ? BC1 (正方形の対角線のような);
2) B1C ? 3 つの垂線の定理による AB (結局のところ、AB は、傾斜した B1 C を平面 ABC に投影した直線 BC に垂直です)。
したがって、B1 C は、平面 BC1 D1 の 2 つの交差線に垂直です。 したがって、B1 C ? BC1D1。 したがって、直線MBの投影は、
sin " = B 1 N =2 2 :B 1 M 5
この記事は、直線と平面の間の角度の定義から始まります。 この記事では、座標法を使用して直線と平面の間の角度を見つける方法を説明します。 例と問題の解決策について詳しく説明します。
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まず、空間上の直線の概念と平面の概念を繰り返す必要があります。 直線と平面の間の角度を決定するには、いくつかの補助的な定義が必要です。 これらの定義を詳しく見てみましょう。
定義 1
直線と平面が交わる彼らがそれを持っている場合 共通点つまり、直線と平面の交点です。
平面と交差する直線は、平面に対して垂直である場合があります。
定義 2
直線は平面に対して垂直ですこの平面内にある任意の線に垂直な場合。
定義 3
点 M の平面への投影γ が次の位置にある場合は、それ自体が点になります。 与えられた平面、または平面と線の交点、 平面に垂直な点 M を通過する γ ですが、平面 γ に属さないものとします。
定義 4
線分 a の平面への投影γ は、指定された直線のすべての点を平面上に投影した集合です。
これから、平面 γ に垂直な直線の投影には交点があることがわかります。 直線aの射影は平面γに属し、直線aと平面の交点を通る直線であることがわかります。 下の図を見てみましょう。
現時点ではすべてが揃っています 必要な情報直線と平面との間の角度の定義を定式化するためのデータ
定義5
直線と平面の間の角度この直線とこの平面への投影との間の角度を呼びますが、直線はそれに垂直ではありません。
上記の角度の定義は、線と平面の間の角度は、交差する 2 本の線の間の角度、つまり、指定された線とその平面への投影の間の角度であるという結論に達するのに役立ちます。 これは、それらの間の角度が常に鋭角であることを意味します。 下の写真を見てみましょう。
直線と平面の間の角度は直角、つまり 90 度とみなされますが、平行な直線の間の角度は定義されていません。 その値がゼロとみなされる場合があります。
直線と平面の間の角度を求める必要がある問題には、解決策のバリエーションが数多くあります。 解決策自体の進行は、条件に関する入手可能なデータによって異なります。 解に頻繁に付随するものは、数値、コサイン、サイン、角度のタンジェントの類似性または同等性の兆候です。 座標法を使用して角度を求めることができます。 さらに詳しく見てみましょう。
三次元空間に入ると 長方形システム座標 O x y z の場合、その中で直線 a が指定され、点 M で平面 γ と交差しますが、平面に対して垂直ではありません。 与えられた直線と平面との間に位置する角度 α を見つける必要があります。
まず、座標法を使用して直線と平面の間の角度の定義を適用する必要があります。 すると以下が得られます。
座標系 O x y z では、直線 a が指定されます。これは、空間内の直線の方程式と空間内の直線の方向ベクトル γ に対応します。平面と法線の方程式が対応します。平面のベクトル。 この場合、 a → = (a x , a y , a z) は指定された直線 a の方向ベクトルであり、 n → (n x , n y , n z) は平面 γ の法線ベクトルです。 直線 a の方向ベクトルと平面 γ の法線ベクトルの座標があり、それらの方程式が既知である、つまり条件によって指定されていると仮定すると、ベクトル a → を決定することができます。 n → 式に基づきます。
角度を計算するには、直線の方向ベクトルと法線ベクトルの既存の座標を使用して、この角度の値を取得する式を変形する必要があります。
直線 a と平面 γ の交点から開始して、ベクトル a → および n → をプロットする必要があります。 指定された線および平面に対するこれらのベクトルの位置には 4 つのオプションがあります。 下の写真を見てください。4 つのバリエーションすべてが示されています。
ここから、ベクトル a → と n → の間の角度が a → 、 n → ^ で指定され、鋭角であることがわかり、直線と平面の間にある目的の角度 α が補完されます。つまり、次の式が得られます。 a → 、n → ^ = 90 ° - α の形式。 条件により、a →, n → ^ > 90 °の場合、a →, n → ^ = 90 ° + α となります。
ここから、等しい角度の余弦は等しいことがわかり、最後の等式はシステムの形式で記述されます。
cos a → , n → ^ = cos 90 ° - α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = cos 90 ° + α , a → , n → ^ >90°
式を簡素化するには、リダクション式を使用する必要があります。 次に、 cos a → , n → ^ = sin α , a → , n → ^ という形式の等式が得られます。< 90 ° cos a → , n → ^ = - s i n α , a → , n → ^ >90°
変換を実行した後、システムは次の形式になります。 sin α = cos a → 、 n → ^ 、 a → 、 n → ^< 90 ° sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^ >90° ⇔ sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^ > 0 sin α = -cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n → ^
これから、直線と平面との間の角度の正弦が、直線の方向ベクトルと所定の平面の法線ベクトルとの間の角度の余弦の係数に等しいことがわかります。
2 つのベクトルによって形成される角度を見つけるセクションでは、この角度がベクトルのスカラー積とこれらの長さの積の値を取ることがわかりました。 直線と平面の交点から得られる角度の正弦を計算する処理は、次の式に従って実行されます。
sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2
つまり、直線の方向ベクトルと変換後の平面の法線ベクトルの座標から、直線と平面のなす角度を求める公式は、
α = a r c sin a → , n → ^ a → n → = a r c sin a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2
既知のサインを使用してコサインを求めることは、基本的な方法を適用することで許可されます。 三角恒等式。 直線と平面の交点は鋭角を形成します。 これは、その値が正の数であることを示唆しており、その計算は cos α = 1 - sin α の式から行われます。
資料を統合するために、いくつかの同様の例を解いてみましょう。
例1
直線 x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 と平面 2 x + z - 1 = 0 がなす角度、サイン、コサインを求めます。
解決
方向ベクトルの座標を取得するには、空間内の直線の正準方程式を考慮する必要があります。 すると、 a → = (3, - 2, 6) が直線 x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 の方向ベクトルであることがわかります。
法線ベクトルの座標を見つけるには、次のことを考慮する必要があります。 一般方程式それらの存在は、前に使用可能な係数によって決定されるため、 方程式の変数。 次に、平面 2 x + z - 1 = 0 の法線ベクトルの形式が n → = (2, 0, 1) であることがわかります。
直線と平面の間の角度の正弦の計算に進む必要があります。 これを行うには、ベクトル a → と b → の座標を指定された式に代入する必要があります。 次の形式の式を取得します。
sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2 = = 3 2 + (- 2 ) 0 + 6 1 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 2 2 + 0 2 + 1 2 = 12 7 5
ここから、コサインの値と角度自体の値がわかります。 我々が得る：
cos α = 1 - sin α = 1 - 12 7 5 2 = 101 7 5
答え： sin α = 12 7 5、cos α = 101 7 5、α = a r c cos 101 7 5 = a r c sin 12 7 5。
例 2
ベクトル A B → = 1, 0, 2、A C → = (- 1, 3, 0)、A D → = 4, 1, 1 の値を使用して構築されたピラミッドがあります。 直線 A D と平面 A B C の間の角度を求めます。
解決
所望の角度を計算するには、直線の方向ベクトルと平面の法線ベクトルの座標が必要です。 直線 A D の場合、方向ベクトルの座標は A D → = 4, 1, 1 です。
平面 A B C に属する法線ベクトル n → は、ベクトル A B → および A C → に垂直です。 これは、平面 A B C の法線ベクトルがベクトル A B → と A C → のベクトル積とみなせることを意味します。 これを公式を使用して計算すると、次のようになります。
n → = A B → × A C → = i → j → k → 1 0 2 - 1 3 0 = - 6 · i → - 2 · j → + 3 · k → ⇔ n → = (- 6 , - 2 , 3 )
直線と平面の交差によって形成される目的の角度を計算するには、ベクトルの座標を代入する必要があります。 次の形式の式が得られます。
α = a r c sin A D → , n → ^ A D → · n → = a r c sin 4 · - 6 + 1 · - 2 + 1 · 3 4 2 + 1 2 + 1 2 · - 6 2 + - 2 2 + 3 2 = a r c sin 23 21 2
答え： arc sin 23 21 2 。
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