関数の逆導関数には次の形式があります。 逆微分と積分

不定積分

主なタスク 微分積分微分または微分計算がありました 与えられた関数。 私たちが研究を進めている積分微積分は、逆問題、つまり関数自体をその導関数または微分から求めることを解決します。 つまり、 dF(x)= f(x)d (7.1) または F ′(x)= f(x),

どこ f(x)- 既知の関数、関数を見つける必要があります F(x).

意味：関数 F(x) が呼び出されます 逆誘導体このセグメントのすべての点で等式が成立する場合、セグメント上の関数 f(x): F'(x) = f(x)または dF(x)= f(x)d.

例えば、関数の逆導関数の 1 つ f(x)=3x2意思 F(x)= x 3、 なぜなら ( x 3)'=3x 2。 ただし、関数のプロトタイプ f(x)=3x2関数と もあります。 .

そこでこの関数は f(x)=3x2には無限の数のプリミティブがあり、それぞれのプリミティブは定数項によってのみ異なります。 この結果が一般的な場合にも当てはまることを示しましょう。

定理 特定の区間で定義された同じ関数の 2 つの異なる逆微分は、この区間で定数項だけ互いに異なります。

証拠

機能させましょう f(x) 間隔で定義される (a¸b)そして F1(×) そして F2(×) - 反誘導体、つまり F 1 '(x)= f(x) および F 2 '(x)= f(x).

それから F 1 '(x)=F 2 '(x)Þ F 1 '(x) - F 2 '(x) = (F 1 '(x) - F 2 (x))'= 0. Þ F 1 (x) - F 2 (x) = C

ここから、 F 2 (x) = F 1 (x) + C

どこ と - 定数 (ここではラグランジュの定理の帰結が使用されます)。

したがって、定理は証明されます。

幾何学的なイラスト. もし で = F1(×) そして で = F2(×) – 同じ機能の逆誘導体 f(x)、共通の横軸を持つ点でのグラフの接線 バツ互いに平行です (図 7.1)。

この場合、軸に沿ったこれらの曲線間の距離 OU一定のまま F 2 (x) - F 1 (x) = C 、つまり、これらの曲線は ある程度の理解お互いに「平行」。

結果 .

反派生語を追加する F(x) この機能のために f(x)、間隔で定義されます バツ、考えられるすべての定数 と、関数に対して可能なすべての逆導関数を取得します。 f(x).

したがって、その表現は F(x)+C 、どこで、そして F(x) – 関数の逆導関数 f(x)可能なすべての逆誘導体が含まれます f(x).

例1.機能があるかどうかを確認します 関数の逆導関数

解決：

答え: 関数の逆導関数 機能があるだろう そして

意味： 関数 F(x) が関数 f(x) の逆導関数である場合、すべての逆導関数のセット F(x)+ C が呼び出されます。 の不定積分 f(x) は次を示します。

∫f(х)dх。

A優先:

f(x) - 被積分関数、

f(х)dх - 被積分関数

このことから、不定積分は一般形式の関数であり、その微分は被積分関数に等しく、変数に関する微分は被積分関数に等しいことがわかります。 バツはすべての点で被積分関数と等しくなります。

幾何学的な観点から不定積分は一連の曲線であり、それぞれの曲線は、曲線の 1 つをそれ自体に平行に上または下に、つまり軸に沿ってシフトすることによって取得されます。 OU(図7.2)。

ある関数の不定積分を計算する操作をといいます。 統合 この機能。

次の導関数の場合に注意してください。 初等関数が常に初等関数である場合、初等関数の逆微分は有限数の初等関数では表現できない可能性があります。

では、考えてみましょう 不定積分の性質.

定義 2 からは次のようになります。

1. 不定積分の導関数は被積分関数に等しい。つまり、次の場合 F'(x) = f(x) 、 それ

2. 不定積分の微分は被積分関数に等しい

. (7.4)

微分と性質の定義より (7.3)

3. ある関数の微分の不定積分は、定数項まではこの関数と等しくなります。 (7.5)

関数 F(バツ ) 呼ばれた 逆誘導体 機能のため f(バツ) 一定の間隔で、すべての場合 バツ この間隔から等式が成り立ちます

ふ"(バツ ) = f(バツ ) .

たとえば、関数 F(x) = x 2 f(バツ ) = 2バツ 、 なぜなら

F"(x) = (x 2 )" = 2x = f(x)。 ◄

逆誘導体の主な性質

もし F(x) - 関数の逆導関数 f(x) 指定された間隔で、関数 f(x) には無限に多くの逆導関数があり、これらすべての逆導関数は次の形式で書くことができます。 F(x) + C、 どこ と は任意の定数です。

例えば。 関数 F(x) = x 2 + 1 関数の逆導関数です f(バツ ) = 2バツ 、 なぜなら F"(x) = (x 2 + 1 )" = 2 x = f(x); 関数 F(x) = x 2 - 1 関数の逆導関数です f(バツ ) = 2バツ 、 なぜなら F"(x) = (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ; 関数 F(x) = x 2 - 3 関数の逆導関数です f(バツ) = 2バツ 、 なぜなら F"(x) = (x 2 - 3)" = 2 x = f(x); 任意の機能 F(x) = x 2 + と 、 どこ と - 任意の定数。そのような関数のみが関数の逆導関数です。 f(バツ) = 2バツ . ◄

逆デリバティブの計算ルール

1. もし F(x) - の逆誘導体 f(x) 、A G(x) - の逆誘導体 g(x) 、 それ F(x) + G(x) - の逆誘導体 f(x) + g(x) 。 言い換えると、 和の逆微分は、逆微分の合計に等しい .
2. もし F(x) - の逆誘導体 f(x) 、 そして k - 定数の場合 k · F(x) - の逆誘導体 k · f(x) 。 言い換えると、 定数因数は導関数の符号から取り出すことができます .
3. もし F(x) - の逆誘導体 f(x) 、 そして k,b- 定数、および k≠ 0 、 それ 1 / k F( k x+ b ) - の逆誘導体 f(k x+ b) .

不定積分

ない 定積分 関数から f(x) 表現と呼ばれる F(x) + C、つまり、指定された関数のすべての逆導関数のセット f(x) 。 不定積分は次のように表されます。

∫ f(x) dx = F(x) + C ,

f(x)- 彼らは呼ぶ 被積分関数 ;

f(x)dx- 彼らは呼ぶ 被積分関数 ;

バツ - 彼らは呼ぶ 積分変数 ;

F(x) - の一つ 逆微分関数f(x) ;

と は任意の定数です。

例えば、 ∫ 2 x dx =バツ 2 + と , ∫ コスx dx =罪 バツ + と 等々。 ◄

「インテグラル」という言葉はラテン語から来ています 整数 、「復元された」という意味です。 の不定積分を考えると、 2 バツ、機能を回復するようです バツ 2 、その導関数は次と等しい 2 バツ。 関数を導関数から復元すること、または同じことですが、指定された被積分関数に対する不定積分を求めることを呼びます。 統合 この機能。 積分は微分の逆演算です。積分が正しく実行されたかどうかを確認するには、結果を微分して被積分関数を取得するだけで十分です。

不定積分の基本的な性質

1. 不定積分の導関数は被積分関数と等しくなります。

(∫ f(x)dx )" = f(x) .

2. 被積分関数の定数因数は、積分符号から取り出すことができます。

∫ k · f(x)dx = k · ∫ f(x)dx .

3. 関数の和（差）の積分 合計に等しいこれらの関数の積分の（差）：

∫ ( f(x) ± g(x ) ) DX = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x ) DX .

4. もし k,b- 定数、および k≠ 0 、 それ

∫ f ( k x+ b) DX = 1 / k F( k x+ b ) +C .

逆微分と不定積分の表

	f(x)	F(x) + C	∫ f(x) dx = F(x) + C
私。	$$0$$	$$C$$	$$\int 0dx=C$$
II.	$$k$$	$$kx+C$$	$$\int kdx=kx+C$$
Ⅲ．	$$x^n~(n\neq-1)$$	$$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$	$$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$
IV.	$$\frac(1)(x)$$	$$\ln |x|+C$$	$$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$
V.	$$\sin x$$	$$-\cos x+C$$	$$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$
VI.	$$\cos x$$	$$\sin x+C$$	$$\int\cos x~dx=\sin x+C$$
VII.	$$\frac(1)(\cos^2x)$$	$$\textrm(tg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$
Ⅷ.	$$\frac(1)(\sin^2x)$$	$$-\textrm(ctg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$
IX.	$$e^x$$	$$e^x+C$$	$$\int e^xdx=e^x+C$$
バツ。	$$a^x$$	$$\frac(a^x)(\ln a)+C$$	$$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$
11.	$$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$	$$\アークシン x +C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$
XII.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$	$$\arcsin \frac(x)(a)+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$
XIII.	$$\frac(1)(1+x^2)$$	$$\textrm(arctg) ~x+C$$	$$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$
XIV.	$$\frac(1)(a^2+x^2)$$	$$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$	$$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$
15.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$	$$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$
16.	$$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$	$$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$	$$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$
XVII.	$$\textrm(tg) ~x$$	$$-\ln |\cos x|+C$$	$$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$
XVIII.	$$\textrm(ctg) ~x$$	$$\ln |\sin x|+C$$	$$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$
XIX.	$$ \frac(1)(\sin x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$
××。	$$ \frac(1)(\cos x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmatrix)+C $$
反誘導体および 不定積分この表に示されているものは通常、 表状抗誘導体 そして テーブル積分 .

定積分

間に入れてください [ある; b] 連続関数が与えられる y = f(x) 、 それから aからbまでの定積分 機能 f(x) は逆微分の増分と呼ばれます F(x) この関数、つまり

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

数字 あるそして bそれに応じて呼ばれます より低い そして 上 統合の限界。

定積分の計算の基本ルール

1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);

2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);

3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) ここで k - 絶え間ない;

4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);

5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);

6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\)、ここで f(x) — 偶数関数;

7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\)、ここで f(x) は奇関数です。

コメント 。 すべての場合において、被積分関数は数値区間で積分可能であり、その境界が積分の限界であると想定されます。

定積分の幾何学的および物理的意味

幾何学的な意味 定積分	物理的な意味 定積分
四角 S曲線台形 (区間上の連続正のグラフによって制限される数値) [ある; b] 機能 f(x) 、軸 牛 そしてまっすぐ x=a , x=b )は次の式で計算されます。 $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	パス s、物質点はそれを克服し、法則に従って変化する速度で直線的に移動します v(t) 、一定期間、 ; b] 、これらの関数のグラフと直線によって制限される図形の面積 x = a , x = b 、次の式で計算されます。 $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	例えば。 線で囲まれた図形の面積を計算してみましょう y = x 2 そして y= 2- バツ . これらの関数のグラフを概略的に示し、面積を求める必要がある図を別の色で強調表示してみましょう。 積分の極限を求めるには、次の方程式を解きます。 バツ 2 = 2- バツ ; バツ 2 + バツ- 2 = 0 ; バツ 1 = -2、 バツ 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2)。 $$ ◄

回転体の体積

	軸を中心とした回転の結果としてボディが得られる場合 牛 区間上の連続かつ非負のグラフで囲まれた曲線台形 [ある; b] 機能 y = f(x) そしてまっすぐ x = aそして x = b 、その後、それは呼び出されます 回転体 . 回転体の体積は次の式で計算されます。 $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ 関数のグラフで上下に区切られた図形を回転させた結果として回転体が得られる場合 y = f(x) そして y = g(x) したがって、 $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	例えば。 半径のある円錐の体積を計算してみましょう r と高さ h . コーンを置きましょう 長方形システムその軸が軸と一致するように座標を調整します 牛 、ベースの中心は原点にありました。 発電機の回転 AB円錐を定義します。 方程式以来 AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$
そして円錐の体積については $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄

逆微分関数を見つけるには 3 つの基本ルールがあります。 これらは、対応する微分規則と非常によく似ています。

ルール1

F が関数 f の逆導関数であり、G が関数 g の逆導関数である場合、F + G は f + g の逆導関数になります。

逆微分の定義により、F’ = f となります。 G' = g。 これらの条件が満たされているため、関数の和の導関数を計算するルールに従って、次のようになります。

(F + G)’ = F’ + G’ = f + g。

ルール2

F が関数 f の逆微分であり、k が定数である場合。 このとき、k*F は関数 k*f の逆導関数です。 この規則は、複素関数の導関数を計算するための規則に従います。

(k*F)’ = k*F’ = k*f となります。

ルール3

F(x) が関数 f(x) の逆導関数であり、k と b が定数で、k がゼロに等しくない場合、(1/k)*F*(k*x+b) は次のようになります。関数 f (k*x+b) の逆微分。

この規則は、複素関数の導関数を計算するための規則に従います。

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b)。

これらのルールがどのように適用されるかをいくつかの例で見てみましょう。

例1。 探す 一般的な形式関数 f(x) = x^3 +1/x^2 の逆微分。 関数 x^3 の場合、逆導関数の 1 つは関数 (x^4)/4 になり、関数 1/x^2 の場合、逆導関数の 1 つは関数 -1/x になります。 最初のルールを使用すると、次のようになります。

F(x) = x^4/4 - 1/x +C。

例 2。 関数 f(x) = 5*cos(x) の逆導関数の一般形式を見つけてみましょう。 関数 cos(x) の場合、反導関数の 1 つは関数 sin(x) になります。 ここで 2 番目のルールを使用すると、次のようになります。

F(x) = 5*sin(x)。

例 3.関数 y = sin(3*x-2) の逆導関数の 1 つを見つけます。 関数 sin(x) の場合、逆導関数の 1 つは関数 -cos(x) になります。 ここで 3 番目のルールを使用すると、反導関数の式が得られます。

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

例 4。 関数 f(x) = 1/(7-3*x)^5 の逆導関数を求めます。

関数 1/x^5 の逆微分は関数 (-1/(4*x^4)) になります。 さて、3 番目のルールを使用すると、次のようになります。

直線に沿った点の移動を考えてみましょう。 時間をかけてみましょう t動きの始まりから、点は一定の距離を移動しました s(t)。そうすると瞬間速度は v(t)関数の導関数に等しい s(t)、あれは v(t) = s"(t)。

実際には、点の移動速度が与えられると、逆の問題に遭遇します。 v(t)彼女が通った道を見つける s(t)、つまり、そのような関数を見つけます s(t)、その導関数は次と等しい v(t)。 関数 s(t)、そのような s"(t) = v(t)、関数の逆導関数と呼ばれます v(t)。

たとえば、次の場合 v(t) = аt、 どこ あが指定された数値である場合、関数は
s(t) = (at 2) / 2v(t)、なぜなら
s"(t) = ((аt 2) / 2) " = аt = v(t)。

関数 F(x)関数の逆導関数と呼ばれます f(x)一定の間隔で、すべてであれば バツこの隙間から F"(x) = f(x)。

たとえば、関数 F(x) = 罪 x関数の逆導関数です f(x) = cos x、なぜなら (sin x)" = cos x; 関数 F(x) = x 4 /4関数の逆導関数です f(x) = x 3、 なぜなら (x 4 /4)」= x 3。

問題を考えてみましょう。

タスク.

関数 x 3 /3、x 3 /3 + 1、x 3 /3 – 4 が同じ関数 f(x) = x 2 の逆微分であることを証明します。

解決.

1) F 1 (x) = x 3 /3 とすると、F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f(x) となります。

2) F 2 (x) = x 3 /3 + 1、F" 2 (x) = (x 3 /3 + 1)" = (x 3 /3)" + (1)" = x 2 = f(バツ）。

3) F 3 (x) = x 3 /3 – 4、F" 3 (x) = (x 3 /3 – 4)" = x 2 = f (x)。

一般に、関数 x 3 /3 + C (C は定数) は、関数 x 2 の逆導関数です。 これは、定数の導関数がゼロであるという事実からわかります。 この例は、与えられた関数の逆導関数があいまいに決定されることを示しています。

F 1 (x) と F 2 (x) を同じ関数 f(x) の 2 つの逆微分とする。

次に、F 1 "(x) = f(x) および F" 2 (x) = f(x) となります。

g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x) であるため、それらの差の導関数 g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) はゼロに等しくなります。 ) – f (x) = 0。

特定の区間で g"(x) = 0 の場合、この区間の各点における関数 y = g(x) のグラフの接線は Ox 軸に平行です。したがって、関数 y = のグラフは次のようになります。 g(x) は Ox 軸に平行な直線、つまり g(x) = C です。ここで、C は等式から g(x) = C、g(x) = F 1 (x) です。 – F 2 (x) したがって、F 1 (x) = F 2 (x) + S となります。

したがって、関数 F(x) が特定の区間における関数 f(x) の逆微分である場合、関数 f(x) のすべての逆微分は F(x) + C の形式で記述されます。ここで、C は任意の定数。

与えられた関数 f(x) のすべての逆導関数のグラフを考えてみましょう。 F(x) が関数 f(x) の逆導関数の 1 つである場合、この関数の逆導関数は、F(x) に定数 F(x) + C を追加することによって取得されます。 関数のグラフ y = F( x) + C は、グラフ y = F(x) から Oy 軸に沿ったシフトによって得られます。 C を選択すると、逆微分のグラフが指定された点を通過するようにすることができます。

逆デリバティブを見つけるためのルールに注意してみましょう。

与えられた関数の導関数を求める操作が呼び出されることを思い出してください。 差別化。 与えられた関数の逆微分を求める逆演算は、と呼ばれます。 統合（ラテン語から "復元する").

逆誘導体一覧表一部の関数については、導関数のテーブルを使用してコンパイルできます。 たとえば、それを知ることで、 (cos x)" = -sin x、我々が得る (-cos x)" = sin x、そこから、すべての逆微分関数は次のようになります。 罪×という形式で書かれています -cos x + C、 どこ と- 絶え間ない。

逆デリバティブの意味をいくつか見てみましょう。

1) 関数： x p、p ≠ -1。 逆誘導体: (x p+1) / (p+1) + C.

2) 関数： 1/x、x > 0。逆誘導体: ln x + C.

3) 関数： x p、p ≠ -1。 逆誘導体: (x p+1) / (p+1) + C.

4) 関数： 元。 逆誘導体: e x + C.

5) 関数： 罪×。 逆誘導体: -cos x + C.

6) 関数： (kx + b) p、р ≠ -1、k ≠ 0。逆誘導体: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) 関数： 1/(kx + b)、k ≠ 0。 逆誘導体: (1/k) ln (kx + b)+ C.

8) 関数： e kx + b、k ≠ 0。 逆誘導体: (1/k) e kx + b + C.

9) 関数： sin (kx + b)、k ≠ 0。 逆誘導体: (-1/k) cos (kx + b).

10) 関数： cos (kx + b)、k ≠ 0。逆誘導体: (1/k) sin (kx + b)。

統合ルールを使用して取得できます 微分規則。 いくつかのルールを見てみましょう。

させて F(x)そして G(x)– それぞれの関数の逆導関数 f(x)そして g(x)ある間隔で。 それから：

1) 関数 F(x) ± G(x)関数の逆導関数です f(x) ± g(x);

2) 関数 ーF(x)関数の逆導関数です f(x)。

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目標：

• 逆デリバティブの概念の形成。
• 積分を認識するための準備。
• コンピューティングスキルの形成。
• 美的感覚（珍しいものに美しさを見る能力）を養います。

数学的分析は、微分積分法による関数とその一般化の研究に特化した数学の一連の分野です。

これまで私たちは微分積分と呼ばれる数学的解析の一分野を研究してきましたが、その本質は「小さな」関数の研究です。

それらの。 各定義点の十分に小さい近傍における関数の研究。 微分の操作の 1 つは、導関数 (微分) を求め、それを関数の研究に適用することです。

逆問題も同様に重要です。 関数の定義の各点の近傍における関数の動作がわかっている場合、全体として関数を再構成するにはどうすればよいでしょうか。 その定義の範囲全体にわたって。 この問題は、いわゆる積分学の研究対象です。

統合は微分の逆作用です。 または、与えられた導関数 f`(x) から関数 f(x) を復元します。 「インテグロ」とはラテン語で「修復」を意味します。

例その1.

(x)`=3x 2 とします。
f(x)を求めてみましょう。

解決：

微分の法則に基づいて、(x 3)` = 3x 2 であるため、f(x) = x 3 であることを推測するのは難しくありません。
ただし、f(x) が一意ではないことは簡単にわかります。
f(x) として次のように取ることができます。
f(x)= x 3 +1
f(x)= x 3 +2
f(x)= x 3 -3 など

それぞれの導関数は 3x 2 に等しいためです。 (定数の導関数は 0 です)。 これらすべての関数は、定数項によって互いに異なります。 それが理由です 共通の決定問題は f(x)= x 3 +C の形式で記述できます。ここで、C は任意の定数実数です。

見つかった関数 f(x) のいずれかが呼び出されます プリモディウム関数 F`(x)= 3x 2 の場合

意味。 関数 F(x) は、この区間のすべての x について F`(x)= f(x) である場合、指定された区間 J 上の関数 f(x) の逆導関数と呼ばれます。 したがって、関数 F(x)=x 3 は、(- ∞ ; ∞) 上で f(x)=3x 2 の逆微分になります。
すべての x ~R について等式が成り立つため、F`(x)=(x 3)`=3x 2 となります。

すでに気づいたように、この関数には無限の逆導関数があります (例 1 を参照)。

例その2。 関数 F(x)=x は、区間 (0; +) 上のすべての f(x)= 1/x に対して逆微分です。 この区間のすべての x について、等式が成り立ちます。
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

例その3。 関数 F(x)=tg3x は、区間 (-n/) における f(x)=3/cos3x の逆微分です。 2; P/ 2),
なぜなら F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

例その4。 関数 F(x)=3sin4x+1/x-2 は、区間 (0;∞) で f(x)=12cos4x-1/x 2 の逆導関数です。
なぜなら F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

講義2。

トピック: アンチデリバティブ。 逆微分関数の主なプロパティ。

逆導関数を研究するときは、次の記述に依存します。 関数の不変性の符号: 区間 J で関数の導関数 Ψ(x) が 0 に等しい場合、この区間では関数 Ψ(x) は定数です。

このステートメントは幾何学的に証明できます。

Ψ`(x)=tgα, γde αは関数Ψ(x)のグラフの横軸x 0の点における接線の傾き角であることが知られています。 区間 J 内の任意の点で Ψ`(υ)=0 の場合、関数 Ψ(x) のグラフの任意の接線については、tanα=0 δとなります。 これは、任意の点における関数のグラフの接線が横軸に平行であることを意味します。 したがって、指定された区間では、関数 Ψ(x) のグラフは直線セグメント y=C と一致します。

したがって、この区間で f`(x)=0 の場合、関数 f(x)=c は区間 J で定数となります。

実際、区間 J からの任意の x 1 と x 2 について、関数の平均値に関する定理を使用すると、次のように書くことができます。
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1)、なぜなら f`(c)=0 の場合、f(x 2)= f(x 1)

定理: (逆微分関数の主な性質)

F(x) が区間 J における関数 f(x) の逆導関数の 1 つである場合、この関数のすべての逆導関数のセットは次の形式になります: F(x)+C (C は任意の実数)。

証拠：

F`(x) = f (x) とし、x Є J に対して (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x) とします。
Φ(x)、つまり区間 J 上の f (x) の別の逆微分が存在すると仮定します。 Φ`(x) = f (x)、
すると、(Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0、x Є J となります。
これは、Φ(x) - F(x) が区間 J 上で一定であることを意味します。
したがって、Φ(x) - F(x) = Cとなります。
ここから、Φ(x)= F(x)+C。
これは、F(x) が区間 J 上の関数 f (x) の逆導関数である場合、この関数のすべての逆導関数のセットは F(x)+C の形式を持つことを意味します。ここで、C は任意の実数です。
したがって、特定の関数の 2 つの逆微分は、定数項だけ互いに異なります。

例： 関数 f (x) = cos x の逆導関数のセットを求めます。 最初の 3 つのグラフを描きます。

解決： Sin x は、関数 f (x) = cos x の反導関数の 1 つです。
F(x) = Sin x+C – すべての逆導関数のセット。

F 1 (x) = 罪 x-1
F 2 (x) = 罪 x
F 3 (x) = サイン x+1

幾何学的な図:任意の逆微分 F(x)+C のグラフは、r (0;c) の並列転送を使用して逆微分 F(x) のグラフから取得できます。

例： 関数 f (x) = 2x について、グラフが t.M (1;4) を通過する逆微分を求めます。

解決： F(x)=x 2 +C – すべての逆導関数のセット、F(1)=4 – 問題の条件に応じて。
したがって、4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x 2 +3