理論：
不等式を解くときは、次のルールが使用されます。
1. 不等式の任意の項は 1 つの部分から転送できます
不等号を反対の符号を持つ別のものに変換しますが、不等号の符号は変わりません。
2. 不等式の両辺は 1 で乗算または除算できます。
不等号を変更せずに同じ正の数を入力します。
3. 不等式の両辺は 1 で乗算または除算できます。
同じ負の数で、不等号を次のように変更します。
反対。
不平等を解決する − 8 × + 11<
−
3
x
−
4
解決。
1.ペニスを動かしてみよう − 3×不等式の左辺と項 11
- 符号を反対のものに変更しながら、不等式の右側に移動します − 3×そしてで 11
.
それから、私たちは得ます
−8×＋3×< − 4 − 11
− 5倍< − 15
2. 不等式の両辺を割ってみましょう − 5倍<
−
15
負の数に −
5
、および不等号 <
、に変わります >
、つまり 反対の意味の不等式に移ります。
我々が得る：
− 5倍< − 15 | : (− 5 )
x > − 15 : (− 5 )
x > 3
x > 3— 与えられた不等式の解。
注意してください！
ソリューションを作成するには 2 つのオプションがあります。 x > 3または数値間隔として。
不等式の解のセットを数直線上にマークし、数値区間の形で答えを書きましょう。
×∈ (3 ; + ∞ )
答え： x > 3または ×∈ (3 ; + ∞ )
代数的不等式。
二次不等式。 より高次の合理的不平等。
不等式を解く方法は主に、不等式を構成する関数がどのクラスに属しているかによって決まります。
- 私。 二次不等式、つまり、次の形式の不等式です。
ax 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.
不等式を解決するには、次のことができます。
- 平方三項式を因数分解します。つまり、不等式を次の形式で書きます。
a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).
- 多項式の根を数直線上にプロットします。 根がたくさん折れる 実数それぞれの間隔に対応する 二次関数定符号になります。
- 各区間の (x - x 1) (x - x 2) の符号を決定し、答えを書き留めます。
平方三項式に根がない場合、D について<0 и a>0 平方三項式は、任意の x に対して正になります。
- 不平等を解決します。 x 2 + x - 6 > 0。
2 次三項式の因数分解 (x + 3) (x - 2) > 0
答え: x (-∞; -3) (2; +∞)。
2) (x - 6) 2 > 0
この不等式は、x = 6 を除くすべての x に当てはまります。
答え: (-∞; 6) (6; +∞)。
3) x² + 4x + 15< 0.
ここでD< 0, a = 1 >0. 平方三項式はすべての x に対して正です。
答え: × Î Ø。
不等式を解く：
- 1 + x - 2x²< 0. Ответ:
- 3x² - 12x + 12 ≤ 0. 答え:
- 3x² - 7x + 5 ≤ 0. 答え:
- 2x² - 12x + 18 > 0. 答え:
- a のどの値に対して不等式が成り立つのか
x² - ax > はどの x にも当てはまりますか? 答え：
- Ⅱ。 より高次の合理的不平等、つまり、形式の不等式
a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.
最高次数の多項式は因数分解する必要があります。つまり、不等式は次の形式で記述する必要があります。
a n (x - x 1) (x - x 2) ·…· (x - x n) > 0 (<0).
多項式が消える数直線上の点をマークします。
各区間の多項式の符号を決定します。
1) 不等式を解く x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x< 0.
x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) =x (x - 1)(x 2 -5x + 6) =
x (x - 1) (x - 2) (x - 3)。 つまり、x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0
答え: (0; 1) (2; 3)。
2) 不等式を解きます (x -1) 5 (x + 2) (x - 1/2) 7 (2x + 1) 4<0.
多項式が消える数値軸上の点をマークしましょう。 これらは、x = 1、x = -2、x = 1/2、x = - 1/2 です。
点 x = - 1/2 では、二項式 (2x + 1) が偶数乗されるため、符号は変化しません。つまり、式 (2x + 1) 4 は、点 x = を通過するときに符号を変更しません。 - 1/2。
答え: (-∞; -2) (1/2; 1)。
3) 不等式を解きます: x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0。
この不等式は次の集合と等価です
(1) の解は x (-∞; -2) (3; +∞) です。 (2) の解は、x = 0、x = -2、x = 3 です。得られた解を組み合わせると、x О (-∞; -2] (0) (0) が得られます。
ここで、$b$ の役割は通常の数値、あるいはもっと難しい数値にすることができます。 例は？ はい、お願いします：
\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\クワッド ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) ）（バツ）））。 \\\終了(整列)\]
意味は明らかだと思います。指数関数 $((a)^(x))$ があり、それを何かと比較して、$x$ を見つけるように求められます。 特に臨床の場合、変数 $x$ の代わりに関数 $f\left(x \right)$ を置くと、不等式が少し複雑になります :)。
もちろん、場合によっては不平等がより深刻に見えることもあります。 例えば：
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]
あるいは、これさえも:
一般に、このような不等式の複雑さは大きく異なりますが、最終的には $((a)^(x)) \gt b$ という単純な構造に帰着します。 そして、どういうわけかそのような構造を理解します（特に臨床の場合、何も思い浮かばない場合、対数が役立ちます）。 したがって、今回はそのような単純な構造を解決する方法を教えます。
単純な指数不等式を解く
非常に単純なことを考えてみましょう。 たとえば、これは次のとおりです。
\[((2)^(x)) \gt 4\]
明らかに、右側の数値は 2 の累乗として書き換えることができます: $4=((2)^(2))$。 したがって、元の不等式は非常に便利な形式に書き直すことができます。
\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]
そして今、答え $x \gt 2$ を得るために、私の手はべき乗の底の 2 を「取り消し」たくてうずうずしています。 しかし、何かを消す前に、2 の累乗を思い出してください。
\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]
ご覧のとおり、それよりも より大きな数が指数内にあるほど、出力される数値は大きくなります。 「ありがとう、キャップ！」 - 生徒の一人が叫びます。 何か違いますか？ 残念ながら、それは起こります。 例えば：
\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ right))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]
ここでも、すべてが論理的です。次数が大きくなるほど、数値 0.5 がそれ自体で乗算される回数 (つまり、半分に分割される回数) が増加します。 したがって、結果として得られる数値のシーケンスは減少しており、最初のシーケンスと 2 番目のシーケンスの違いは基数のみです。
- 次数の底 $a \gt 1$ の場合、指数 $n$ が増加すると、数値 $((a)^(n))$ も増加します。
- 逆も同様で、$0 \lt a \lt 1$ の場合、指数 $n$ が増加するにつれて、数値 $((a)^(n))$ は減少します。
これらの事実をまとめると、決定全体の基礎となる最も重要な声明が得られます。 指数関数的不等式:
$a \gt 1$ の場合、不等式 $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ は不等式 $x \gt n$ と等価です。 $0 \lt a \lt 1$ の場合、不等式 $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ は不等式 $x \lt n$ と同等です。
言い換えれば、基数が 1 より大きい場合は、それを削除するだけで済み、不等号は変わりません。 基数が 1 未満の場合は削除することもできますが、同時に不等号を変更する必要があります。
$a=1$ と $a\le 0$ のオプションは考慮されていないことに注意してください。 なぜなら、このような場合には不確実性が生じるからです。 $((1)^(x)) \gt 3$? という形式の不等式を解く方法を考えてみましょう。 どの勢力に対しても 1 つが 1 つ与えられますが、3 つ以上を獲得することは決してありません。 それらの。 解決策はありません。
否定的な理由があれば、すべてがさらに興味深いものになります。 たとえば、次の不等式を考えてみましょう。
\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]
一見すると、すべてがシンプルです。
右？ しかし、そうではありません。 解が正しくないことを確認するには、$x$ の代わりに 2 つの偶数と 2 つの奇数を置き換えるだけで十分です。 ご覧ください:
\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]
ご覧のとおり、標識は交互に表示されます。 しかし、分数べき乗やその他のナンセンスもあります。 たとえば、$((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (マイナス 2 の 7 乗) を計算するにはどうすればよいでしょうか? とんでもない！
したがって、明確性を期すために、すべての指数不等式 (ちなみに方程式も) では $1\ne a \gt 0$ であると仮定します。 そして、すべては非常に簡単に解決されます。
\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right)。 \\\end(align) \right.\]
一般に、主要なルールをもう一度思い出してください。指数方程式の底が 1 より大きい場合は、単純にそれを削除できます。 底が 1 未満の場合は削除することもできますが、不等号の符号が変わります。
解決策の例
それでは、いくつかの単純な指数不等式を見てみましょう。
\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)。 \\\終了(整列)\]
すべての場合において主なタスクは同じです。つまり、不等式を最も単純な形 $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ に減らすことです。 これはまさにこれから各不等式で行うことですが、同時に次数と指数関数の性質を繰り返します。 じゃ、行こう！
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]
ここで何ができるでしょうか？ さて、左側ではすでにそれを持っています 指数表現- 何も変更する必要はありません。 しかし、右側にはある種のくだらないものがあります。分数、さらには分母の根です。
ただし、分数とべき乗を扱うときのルールを覚えておいてください。
\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k)))。 \\\終了(整列)\]
それはどういう意味ですか？ まず、分数を負の指数を持つ累乗に変換することで簡単に取り除くことができます。 次に、分母には根があるので、それを累乗に変換するとよいでしょう。今回は分数指数を使用します。
これらのアクションを不等式の右側に順番に適用して、何が起こるかを見てみましょう。
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]
学位をべき乗するとき、これらの学位の指数は合計されることを忘れないでください。 そして一般に、指数方程式や不等式を扱うときは、べき乗を扱うための少なくとも最も単純なルールを知っておくことが絶対に必要です。
\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y))。 \\\終了(整列)\]
実際には、最後のルールを適用しただけです。 したがって、元の不等式は次のように書き換えられます。
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]
今度は基地の 2 つを取り除きます。 2 > 1 であるため、不等号は変わりません。
\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]
それが解決策です！ 主な困難は指数関数ではなく、元の式を適切に変換することにあります。慎重かつ迅速に最も単純な形式に変換する必要があります。
2 番目の不等式を考えてみましょう。
\[((0.1)^(1-x)) \lt 0.01\]
まあまあ。 ここでは小数の分数が待っています。 何度も述べてきたように、累乗を含む式では小数点を取り除く必要があります。多くの場合、これが迅速かつ簡単な解決策を見つける唯一の方法です。 ここでは以下のものを取り除きます。
\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2))。 \\\終了(整列)\]
ここでもまた、最も単純な不等式があり、底が 1/10 であっても、つまり、 1 未満です。 さて、塩基を削除し、同時に符号を「少ない」から「多い」に変更すると、次のようになります。
\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1。 \\\終了(整列)\]
最終的な答えは $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$ でした。 注意してください: 答えは正確に集合であり、決して $x \lt -1$ の形式の構造ではありません。 なぜなら、形式的には、そのような構造は集合ではなく、変数 $x$ に関する不等式だからです。 はい、とてもシンプルですが、それだけでは答えになりません。
重要な注意点。 この不等式は別の方法で解決できます。つまり、両辺を底が 1 より大きい累乗に換算することです。 ご覧ください:
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]
このような変換の後、再び指数不等式が得られますが、底は 10 > 1 です。これは、単純に 10 に取り消し線を引くことができることを意味し、不等式の符号は変わりません。 我々が得る：
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1。 \\\終了(整列)\]
ご覧のとおり、答えはまったく同じでした。 同時に、記号を変更する必要がなくなり、ルールを覚えておくことができました:)。
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]
ただし、怖がらないでください。 指標に何が含まれていても、格差を解決する技術自体は変わりません。 したがって、まず 16 = 2 4 であることに注意してください。 この事実を考慮して、元の不等式を書き直してみましょう。
\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]
万歳！ いつもの二次不等式ができました！ 基数が 2 (1 より大きい数) であるため、符号はどこにも変更されていません。
数直線上の関数のゼロ
関数 $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ の符号を配置します。明らかに、そのグラフは上に枝がある放物線になるため、「プラス」が存在します。 」の側面にあります。 関数が存在する領域に興味があります ゼロ未満、つまり $x\in \left(2;5 \right)$ が元の問題の答えです。
最後に、別の不等式を考えてみましょう。
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]
また会いましょう 指数関数小数基数付き。 この分数を公分数に変換しましょう。
\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]
この場合、前述のコメントを使用しました。さらなる解決策を単純化するために、基数を数値 5 > 1 に減らしました。 右側でも同じことをしてみましょう。
\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \右))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]
両方の変換を考慮して、元の不等式を書き直してみましょう。
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+ ((x)^(2)) \right)))\ge ((5)^(-2))\]
両側の基数は同じであり、1 を超えています。 右と左には他に項がないので、単純に 5 を「取り消して」非常に単純な式が得られます。
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right。 \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]
ここはさらに注意が必要です。 多くの学生は単純に抽出することを好みます 平方根不等式の両辺を計算し、 $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$ のように書きます。正確な平方根はモジュール、そして決して元の変数ではありません:
\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\右|\]
しかし、モジュールを操作するのは決して楽しい経験ではありません。 だから私たちは働きません。 代わりに、単純にすべての項を左に移動し、間隔法を使用して通常の不等式を解きます。
$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\終了(整列)$
得られた点を数直線上に再度マークし、符号を確認します。
注意してください: ドットは網掛けされています 非厳密な不等式を解いていたため、グラフ上のすべての点が影付きで表示されます。 したがって、答えは次のようになります。 $x\in \left[ -1;1 \right]$ は区間ではなく、セグメントです。
一般に、指数関数的不等式については何も複雑ではないことに注意してください。 今日実行したすべての変換の意味は、単純なアルゴリズムに帰着します。
- すべての次数を減らす基準を見つけてください。
- 変換を慎重に実行して、$((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ の形式の不等式を取得します。 もちろん、変数 $x$ と $n$ の代わりに、さらに多くの変数を使用することもできます。 複雑な関数、しかし意味は変わりません。
- 度の基数を取り消し線で消します。 この場合、底が $a \lt 1$ であれば不等号が変わる可能性があります。
本質的にこれは ユニバーサルアルゴリズムそうしたすべての不平等に対する解決策。 そして、このトピックに関して彼らがあなたに伝えるその他のことはすべて、変革を簡素化し、スピードアップするための具体的なテクニックやトリックに過ぎません。 ここでは、これらのテクニックの 1 つについて説明します :)
合理化方法
別の不等式を考えてみましょう。
\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2))) \lt 1. \\\end(align)\]
では、彼らの何がそんなに特別なのでしょうか？ 軽いですよ。 でも、やめて！ 数値 π は何乗されますか? 何というナンセンスですか？
$2\sqrt(3)-3$ の数値を累乗するにはどうすればよいですか? それとも $3-2\sqrt(2)$ ですか? 問題を書いた人たちは、仕事に就く前に明らかにサンザシを飲みすぎました :)
実際、これらの作業には何も怖いものはありません。 思い出してください: 指数関数は $((a)^(x))$ という形式の式です。ここで、基底 $a$ は 1 を除く任意の正の数です。 数値 π は正です - それはすでにわかっています。 数値 $2\sqrt(3)-3$ と $3-2\sqrt(2)$ も正です。これは、ゼロと比較すると簡単にわかります。
これらすべての「恐ろしい」不平等は、上で議論した単純な不平等と何ら変わらないことが判明しましたか? そしてそれらは同じ方法で解決されるのでしょうか？ はい、全くその通りです。 ただし、彼らの例を使用して、時間を大幅に節約する 1 つのテクニックを考えてみたいと思います。 独立した仕事そして試験。 合理化の方法についてお話します。 したがって、注意してください:
$((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ の形式の指数不等式は、不等式 $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ と同等です)右) \gt 0 $。
それがすべての方法です:) 何か別のゲームがあると思いましたか？ こんなことは何もない！ しかし、文字通り 1 行で書かれたこの単純な事実により、作業が大幅に簡素化されます。 ご覧ください:
\[\begin(行列) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \下矢印 \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(行列)\]
したがって、指数関数はもうありません。 また、符号が変わるかどうかを覚えておく必要もありません。 しかし、それは起こります 新しい問題: 乗数 \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\] をどうするか？ それが何なのか私たちには分かりません 正確な値数字π。 しかし、船長は明白なことを示唆しているようだ。
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\約 3.14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]
一般に、π の正確な値はあまり気にしません。どのような場合でも $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 であることを理解することが重要です。 $、t.e. これは正の定数であり、不等式の両辺をそれで割ることができます。
\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right。 \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
ご覧のとおり、ある瞬間、マイナス 1 で割る必要があり、不等号の符号が変わりました。 最後に、ビエタの定理を使用して二次三項式を拡張しました。根が $((x)_(1))=5$ および $((x)_(2))=-1$ に等しいことは明らかです。 。 それですべてが決まる 古典的な方法間隔:
区間法を使用して不等式を解く 元の不等式が厳密であるため、すべての点が削除されます。 負の値を持つ領域に興味があるので、答えは $x\in \left(-1;5 \right)$ になります。 それが解決策です:)
次のタスクに進みましょう。
\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]
右側にユニットがあるため、ここではすべてが一般的に単純です。 そして、1 は任意の数のゼロ乗であることを覚えています。 たとえこの数が左辺の底で無理数式であっても:
\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\\終了(整列)\]
さて、合理的に考えてみましょう:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ 】
残っているのは、その兆候を把握することだけです。 因数 $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ には変数 $x$ が含まれていません。これは単なる定数であり、その符号を見つける必要があります。 これを行うには、次の点に注意してください。
\[\begin(行列) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \下矢印 \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(行列)\]
2 番目の要素は単なる定数ではなく、負の定数であることがわかります。 そして、それで割ると、元の不等式の符号が逆に変わります。
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]
今ではすべてが完全に明らかになります。 右側の平方三項式の根は、$((x)_(1))=0$ および $((x)_(2))=2$ です。 それらを数直線上にマークし、関数 $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ の符号を確認します。
横の間隔に興味がある場合 プラス記号でマークされた間隔に注目します。 あとは答えを書き留めるだけです。
次の例に進みましょう。
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \右))^(16-x))\]
さて、ここではすべてが完全に明らかです。基数には同じ数のべき乗が含まれています。 したがって、すべてを簡単に書きます。
\[\begin(行列) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \下矢印 \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(行列)\]
\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ left(16-x \right))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right。 \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
ご覧のとおり、変換プロセス中に負の数を掛ける必要があるため、不等号が変わりました。 最後に、再びビエタの定理を適用して 2 次三項式を因数分解しました。 結果として、答えは次のようになります: $x\in \left(-8;4 \right)$ - 数直線を描き、点をマークし、符号を数えることによって、誰でもこれを確認できます。 一方、「セット」の最後の不等式に進みます。
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2))) \lt 1\]
ご覧のとおり、ベースには再び無理数があり、右側には再び単位があります。 したがって、指数不等式を次のように書き換えます。
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \右))^(0))\]
合理化を適用します。
\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ 】
ただし、$\sqrt(2)\about 1,4... \gt 1$ であるため、$1-\sqrt(2) \lt 0$ であることは明らかです。 したがって、2 番目の因数も負の定数となり、不等式の両辺をこれで割ることができます。
\[\begin(行列) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \下矢印 \ \\エンド(行列)\]
\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right。 \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
別の拠点に移動する
指数関数的不等式を解く際の別の問題は、「正しい」根拠を探すことです。 残念ながら、タスクを一目見ただけでは、何を基準とするか、その基準の程度に応じて何を行うかは必ずしも明らかではありません。
ただし、心配しないでください。ここには魔法や「秘密」のテクノロジーはありません。 数学では、アルゴリズム化できないスキルは、練習を通じて簡単に開発できます。 しかし、そのためには、さまざまなレベルの複雑さの問題を解決する必要があります。 たとえば、次のようになります。
\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\終了(整列)\]
難しい？ 怖い？ アスファルトに鶏をぶつけるより簡単ですよ！ やってみよう。 最初の不等式:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))\]
さて、ここですべてが明らかだと思います。
元の不等式を書き換えて、すべてを基数 2 に換算します。
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]
はい、はい、正しくお聞きいただけました。私は上記で説明した合理化方法を適用しただけです。 ここで、慎重に作業する必要があります。分数有理不等式 (これは、分母に変数があるものです) があるため、何かをゼロとみなす前に、すべてをゼロにする必要があります。 共通点そして定数要素を取り除きます。
\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]
ここでは、標準の間隔法を使用します。 分子のゼロ: $x=\pm 4$。 分母がゼロになるのは、$x=0$ の場合のみです。 数直線上にマークする必要がある点は合計 3 つあります (不等号が厳密であるため、すべての点がピンで示されています)。 我々が得る：
より複雑なケース: 3 つの根 ご想像のとおり、網掛けは、左側の式が負の値をとる間隔を示しています。 したがって、最終的な答えには 2 つの区間が同時に含まれます。
元の不等式が厳密であったため、区間の端は答えに含まれません。 この回答をさらに検証する必要はありません。 この点において、指数不等式は対数不等式よりもはるかに単純です。ODZ や制限などはありません。
次のタスクに進みましょう。
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]
$\frac(1)(3)=((3)^(-1))$ であることがすでにわかっているので、ここでも問題はありません。したがって、不等式全体は次のように書き換えることができます。
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x) ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \right) \right。 \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]
注意してください: 3 行目では、些細なことで時間を無駄にせず、すぐにすべてを (−2) で割ることにしました。 ミヌルは最初のブラケットに入り（今はどこにでもプラスがあります）、定数係数で2つ減りました。 これはまさに、独立したディスプレイで実際のディスプレイを準備するときに行うべきことです。 テスト— すべてのアクションと変換を説明する必要はありません。
次に、インターバルというおなじみの方法が登場します。 分子のゼロ: しかし、ゼロはありません。 判別式が負になるからです。 次に、前回と同様に、分母は $x=0$ の場合にのみリセットされます。 $x=0$ の右側では分数がかかることは明らかです。 正の値、および左側はマイナスです。 負の値に興味があるので、最終的な答えは $x\in \left(-\infty ;0 \right)$ になります。
\[((\left(0.16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \right))^(x))\ge 1\]
指数不等式の小数はどうすればよいでしょうか? そうです、それらを取り除き、通常のものに変換します。 ここで翻訳してみます:
\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25) (4)\右))^(x))。 \\\終了(整列)\]
それでは、指数関数の基礎から何が得られたのでしょうか? そして、2 つの相互に逆数が得られました。
\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ right))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\左(\frac(4)(25) \右))^(-x))\]
したがって、元の不等式は次のように書き換えることができます。
\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ）。 \\\終了(整列)\]
もちろん、底が同じであるべき乗を乗算すると、それらの指数は加算されます。これが 2 行目で起こったことです。 さらに、右側の単位も 4/25 進数の累乗として表しました。 残っているのは次のことを合理化することだけです。
\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]
$\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$、つまり 2 番目の因数は負の定数であり、これで割ると不等号が変わります。
\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]
最後に、現在の「セット」からの最後の不等式:
\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
原理的には、ここでの解決策のアイデアも明確です。不等式に含まれるすべての指数関数は、基数「3」に還元される必要があります。 ただし、このためには、ルートとパワーを少しいじる必要があります。
\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3)); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4))。 \\\終了(整列)\]
これらの事実を考慮すると、元の不等式は次のように書き換えることができます。
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2))\right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x))。 \\\終了(整列)\]
計算の 2 行目と 3 行目に注目してください。不等式を使用する前に、レッスンの最初から説明した形式 $((a)^(x)) \ にしてください。 lt ((a)^(n))$. 左側または右側に左手の因数、追加の定数などがあれば、 根拠の合理化や「取り消し線」を実行することはできません！ この点を理解していなかったために、数え切れないほどのタスクが間違って完了してしまいました。 単純な事実。 私自身、指数関数的不等式と対数不等式の分析を始めたばかりのときに、生徒たちと一緒にこの問題を常に観察しています。
しかし、私たちの仕事に戻りましょう。 今度は合理化せずにやってみましょう。 覚えておいてください: 次数の底は 1 より大きいので、トリプルは単純に取り消し線で消すことができます。不等号は変わりません。 我々が得る：
\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]
それだけです。 最終的な答え: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$。
安定した式を分離して変数を置き換える
結論として、私はさらに 4 つの指数関数的な不等式を解くことを提案しますが、準備ができていない学生にとってはすでにかなり困難です。 それらに対処するには、学位を扱うためのルールを覚えておく必要があります。 特に、共通因数を括弧の外に置きます。
しかし、最も重要なことは、括弧内に何が取り出せるかを正確に理解することを学ぶことです。 このような式は安定と呼ばれます。新しい変数で表すことができるため、指数関数を取り除くことができます。 それでは、タスクを見てみましょう。
\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0.5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768. \\\end(align)\]
一番最初の行から始めましょう。 この不等式を個別に書いてみましょう。
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
$((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$ であることに注意してください。サイドは書き換えることができます:
不等式には $((5)^(x+1))$ 以外の指数関数がないことに注意してください。 そして一般に、変数 $x$ は他のどこにも現れないので、新しい変数 $((5)^(x+1))=t$ を導入しましょう。 次の構造が得られます。
\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]
元の変数 ($t=((5)^(x+1))$) に戻り、同時に 1=5 0 であることを思い出します。 我々は持っています：
\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1。 \\\終了(整列)\]
それが解決策です！ 答え: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$。 2 番目の不等式に移りましょう。
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
全部ここは一緒。 $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ に注意してください。 次に、左側を次のように書き換えることができます。
\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t\right。 \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right)。 \\\終了(整列)\]
これは、実際のテストや独立した作業のためのソリューションを作成する必要がある方法とほぼ同じです。
さて、もっと複雑なことを試してみましょう。 たとえば、次のような不等式があります。
\[((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
ここで何が問題になっているのでしょうか？ まず第一に、左側の指数関数の底は 5 と 25 で異なります。ただし、25 = 5 2 であるため、最初の項は次のように変換できます。
\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]
ご覧のとおり、最初にすべてを持ってきました 同じ根拠そして、最初の項は簡単に 2 番目の項に縮約できることに気付きました。必要なのは指数を展開するだけです。 これで、新しい変数 $((5)^(2x+2))=t$ を安全に導入できるようになり、不等式全体が次のように書き換えられます。
\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]
繰り返しますが、難しいことはありません。 最終的な答え: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$。 今日のレッスンの最後の不等式に移りましょう。
\[((\left(0.5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768\]
まず最初に注意すべきことは、もちろん、 10進数一次の基部にあります。 それを取り除くと同時に、すべての指数関数を同じ基数、つまり数値「2」にする必要があります。
\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1.5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]
素晴らしい、最初の一歩を踏み出しました。すべてが同じ基盤につながりました。 次に、安定した式を選択する必要があります。 $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$ であることに注意してください。 新しい変数 $((2)^(4x+6))=t$ を導入すると、元の不等式は次のように書き換えることができます。
\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5。 \\\終了(整列)\]
当然のことながら、「256 = 2 8 はどのようにして発見されたのでしょうか?」という疑問が生じるかもしれません。 残念ながら、ここでは 2 の累乗 (同時に 3 と 5 の累乗) を知る必要があります。 あるいは、結果が得られるまで、256 を 2 で割ります (256 は偶数なので、割っても構いません)。 次のようになります。
\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]
3 の場合 (9、27、81、243 という数字は度数です)、7 の場合 (49 と 343 という数字も覚えておくとよいでしょう) にも同じことが当てはまります。 さて、この 5 つには、知っておくべき「美しい」度合いもあります。
\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125。 \\\終了(整列)\]
もちろん、必要に応じて、これらの数値をすべて単純に掛け算するだけで頭の中で復元することができます。 ただし、いくつかの指数不等式を解く必要があり、次の不等式が前のものよりも難しい場合、数値の累乗については最も考えたくないことになります。 この意味で、これらの問題は区間法で解決される「古典的な」不等式よりも複雑です。
の上 このレッスンさまざまな指数不等式を調べ、最も単純な指数不等式を解くテクニックに基づいて、その解き方を学びます。
1. 指数関数の定義と性質
指数関数の定義と基本的な性質を思い出してみましょう。 すべての解決策となるのは特性にあります 指数方程式そして不平等。
指数関数は の形式の関数です。ここで、底は次数であり、ここで x は独立変数、引数です。 y は従属変数、関数です。
米。 1. 指数関数のグラフ
グラフは増加する指数と減少する指数を示し、それぞれ 1 より大きい底と 1 より小さいが 0 より大きい底を持つ指数関数を示しています。
両方の曲線は点 (0;1) を通過します
指数関数の性質:
ドメイン: ;
値の範囲: ;
関数は単調であり、とともに増加し、とともに減少します。
単調関数は、単一の引数値が与えられると、それぞれの値を受け取ります。
のとき、引数がマイナスからプラスの無限大に増加するとき、関数はゼロを含む値からプラスの無限大まで増加します。つまり、引数の指定された値に対して、単調増加関数 () が得られます。 逆に、引数がマイナスからプラスの無限大に増加すると、関数は無限大からゼロまで減少します。つまり、引数の指定された値に対して、単調減少関数 () が得られます。
2. 最も単純な指数不等式、解法、例
上記に基づいて、単純な指数不等式を解く方法を提示します。
不等式を解くテクニック:
度数の基数を等しくします。
不等号を維持または反対のものに変更して、インジケーターを比較します。
複雑な指数不等式の解決策は、通常、それらを最も単純な指数不等式に還元することにあります。
次数の底は 1 より大きく、これは不等号が保持されることを意味します。
次数の特性に従って右辺を変換しましょう。
次数の底が 1 より小さい場合、不等号を反転する必要があります。
二次不等式を解くには、対応する二次方程式を解きます。
ビエタの定理を使用して根を求めます。
放物線の枝は上を向いています。
したがって、不等式の解は次のようになります。
右辺が指数ゼロのべき乗として表現できることは簡単に推測できます。
次数の底が 1 より大きい場合、不等号は変わりません。次のようになります。
このような不等式を解くテクニックを思い出してみましょう。
分数有理関数を考えてみましょう。
定義域を見つけます。
関数の根を見つける:
関数にはルートが 1 つあり、 
定数符号の区間を選択し、各区間の関数の符号を決定します。
米。 2. 符号の恒常性の区間
したがって、私たちは答えを受け取りました。
答え： 
3. 標準的な指数不等式を解く
次の不等式を考えてみましょう 同じインジケーター、しかし理由は異なります。
指数関数の特性の 1 つは、引数の任意の値が厳密に正の値を取ることです。これは、指数関数に分割できることを意味します。 与えられた不等式を右辺で割ってみましょう。
次数の底が 1 より大きい場合、不等号は保持されます。
解決策を説明しましょう。
図 6.3 に関数と のグラフを示します。 明らかに、引数がゼロより大きい場合、関数のグラフはより高くなり、この関数はより大きくなります。 引数の値が負の場合、関数は低くなり、小さくなります。 引数が等しい場合、関数は等しいことになります。これは、この点が指定された不等式の解でもあることを意味します。
米。 3. 例 4
与えられた不等式を次数の特性に従って変換してみましょう。
以下に類似した用語をいくつか示します。
両方の部分を次のように分割しましょう。
ここで例 4 と同様に解き続け、両方の部分を次のように分割します。
次数の底が 1 より大きい場合、不等号は残ります。
4. 指数不等式のグラフィカルな解法
例 6 - 不等式をグラフィカルに解きます。
左側と右側の関数を見て、それぞれのグラフを作成してみましょう。
この関数は指数関数的であり、その定義領域全体にわたって、つまり引数のすべての実数値に対して増加します。
関数は線形であり、その定義領域全体、つまり引数のすべての実数値に対して減少します。
これらの関数が交差する場合、つまりシステムに解がある場合、そのような解は一意であり、容易に推測できます。 これを行うには、整数 () を反復処理します。
このシステムのルートが次のとおりであることは簡単にわかります。
したがって、関数のグラフは、引数が 1 に等しい点で交差します。
今、答えを得る必要があります。 与えられた不等式の意味は、指数が以下でなければならないということです。 一次関数、つまり、それより高いか、それと一致します。 答えは明らかです: (図 6.4)
米。 4. 例 6
そこで、さまざまな標準的な指数不等式を解くことを検討しました。 次に、より複雑な指数不等式の考察に進みます。
参考文献
モルドコビッチ A.G. 代数と数学的解析の始まり。 - M.: ムネモシュネ。 Muravin G. K.、Muravin O. V. 代数と数学的解析の始まり。 - M.: バスタード。 Kolmogorov A. N.、Abramov A. M.、Dudnitsyn Yu P. et al. および数学的解析の始まり。 - M.: 啓蒙。
数学。 MD。 数学-繰り返し。 コム。 ディフュール。 けむす。 る。
宿題
1. 代数と解析の始まり、10-11 年生 (A. N. コルモゴロフ、A. M. アブラモフ、ユ・ P. ドゥドニツィン) 1990 年、No. 472、473。
2. 不等式を解きます。
3. 不等式を解きます。
