学校の数学の授業では、関数の最も単純な性質とグラフについてはすでに理解しています。 y = x 2。 ～についての知識を広げてみましょう 二次関数.
演習 1.
関数をグラフ化する y = x 2。 スケール: 1 = 2 cm Oy 軸上の点をマークします。 F(0; 1/4)。 コンパスまたは紙片を使用して、点からの距離を測定します。 Fある時点まで M放物線。 次に、ストリップを点 M に固定し、垂直になるまでその点を中心に回転させます。 ストリップの端は x 軸よりわずかに下になります。 (図1)。 X 軸を超えてどれだけ伸びているかをストリップにマークします。 次に、放物線上の別の点を取得し、再度測定を繰り返します。 ストリップの端は x 軸からどのくらい下にありますか?
結果：放物線 y = x 2 上のどの点をとっても、この点から点 F(0; 1/4) までの距離は、同じ点から横軸までの距離よりも常に同じ数だけ大きくなります。 1/4。
別の言い方もできます。放物線の任意の点から点 (0; 1/4) までの距離は、放物線の同じ点から直線 y = -1/4 までの距離に等しいです。 この素晴らしい点 F(0; 1/4) は 集中放物線 y = x 2、直線 y = -1/4 – 校長この放物線。 すべての放物線には準線と焦点があります。
放物線の興味深い性質:
1. 放物線の任意の点は、放物線の焦点と呼ばれる点と準線と呼ばれる直線から等距離にあります。
2. 放物線を対称軸の周りに回転させると (たとえば、Oy 軸の周りの放物線 y = x 2)、回転放物面と呼ばれる非常に興味深い曲面が得られます。
回転容器内の液体の表面は回転放物面の形状をしています。 飲みかけのお茶をスプーンで激しくかき混ぜてからスプーンを外すと、この表面が見えます。
3.地平線に対して一定の角度で石を虚空に投げると、放物線を描いて飛びます。 (図2)。
4. 円錐の母線のいずれかに平行な平面で円錐の表面を交差させると、断面は放物線になります。 (図3).
5. 遊園地には、「パラボロイド オブ ワンダーズ」と呼ばれる楽しい乗り物があることがあります。 回転する放物面の内側に立っている人全員には彼が床に立っているように見えますが、残りの人々はどういうわけか奇跡的に壁にしがみついています。
6. 反射望遠鏡では、放物面鏡も使用されます。平行光線となって望遠鏡の鏡に当たる遠くの星の光が焦点に集められます。
7. スポットライトには通常、放物面状のミラーが付いています。 放物面の焦点に光源を配置すると、放物面鏡から反射された光線は平行ビームを形成します。
二次関数のグラフ化
数学の授業では、関数 y = x 2 のグラフから次の形式の関数のグラフを取得する方法を学習しました。
1) y = ax 2– |a| の Oy 軸に沿ってグラフ y = x 2 を引き伸ばします。 回 (|a| 付き)< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, 米。 4).
2) y = x 2 + n– Oy 軸に沿って n 単位でグラフをシフトします。n > 0 の場合、シフトは上向きです。n の場合、シフトは上向きです。< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).
3) y = (x + m) 2– Ox 軸に沿って m 単位でグラフをシフト: m の場合< 0, то вправо, а если m >0、その後左、 (図5).
4) y = -x 2– グラフ y = x 2 の Ox 軸に対して対称的な表示。
関数のプロットを詳しく見てみましょう y = a(x – m) 2 + n.
y = ax 2 + bx + c の形式の二次関数は、常に次の形式に還元できます。
y = a(x – m) 2 + n、ここで、m = -b/(2a)、n = -(b 2 – 4ac)/(4a)。
それを証明しましょう。
本当に、
y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =
A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =
A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a)。
新しい表記法を導入しましょう。
させて m = -b/(2a)、A n = -(b 2 – 4ac)/(4a),
次に、y = a(x – m) 2 + n または y – n = a(x – m) 2 が得られます。
さらにいくつかの置換を行ってみましょう。y – n = Y、x – m = X (*) とします。
次に、グラフが放物線となる関数 Y = aX 2 を取得します。
放物線の頂点は原点にあります。 X = 0; Y = 0。
(*) に頂点の座標を代入すると、グラフ y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n の頂点の座標が得られます。
したがって、次のように表される二次関数をプロットするには、
y = a(x – m) 2 + n
変換を通じて、次のように進めることができます。
a)関数 y = x 2 をプロットします。
b) Ox 軸に沿って m 単位、Oy 軸に沿って n 単位で平行移動 - 放物線の頂点を原点から座標 (m; n) の点に移動します。 (図6).
変換の記録:
y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n。
例。
変換を使用して、デカルト座標系の関数 y = 2(x – 3) 2 のグラフを構築します。 – 2.
解決。
変換の連鎖:
y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .
プロットを次に示します。 米。 7.
二次関数のグラフを自分で練習することができます。 たとえば、変換を使用して 1 つの座標系で関数 y = 2(x + 3) 2 + 2 のグラフを作成します。質問がある場合、または教師からアドバイスを得たい場合は、次のことを行うことができます。 オンライン講師による25分間の無料レッスン後 。 教師とさらに仕事を進めるには、自分に合った教師を選択できます
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