対数の底が等しいので。 対数の定義とその性質: 理論と問題解決

• コルモゴロフ A.N.、アブラモフ A.M.、ドゥドニーツィン Yu.P. 代数と解析の初歩: 一般教育機関の 10 年生から 11 年生向けの教科書。
• グセフ V.A.、モルドコビッチ A.G. 数学（専門学校入学者向けマニュアル）。

に関して

与えられた他の 2 つの数字から 3 つの数字のいずれかを見つけるタスクを設定できます。 a と N が与えられた場合、それらはべき乗によって求められます。 N の場合、a は次数 x の根を取る (または累乗する) ことによって与えられます。 ここで、a と N が与えられた場合に、x を見つける必要がある場合を考えてみましょう。

数値 N が正であるとします。数値 a は正であり、1 に等しくありません。

意味。 数値 N の底 a の対数は、数値 N を取得するために a を累乗する必要がある指数です。 対数は次のように表されます

したがって、式 (26.1) では、指数は底 a に対する N の対数として求められます。 投稿

同じ意味を持ちます。 等式 (26.1) は、対数理論の主要な正体と呼ばれることもあります。 実際には、対数の概念の定義を表します。 この定義によれば、対数 a の底は常に正であり、1 とは異なります。 対数 N は正です。 負の数とゼロには対数がありません。 特定の底をもつ数値には明確に定義された対数があることが証明できます。 したがって、平等には が伴います。 ここでは条件が必須であることに注意してください。そうでない場合は、x と y のどの値に対しても等価であるため、結論は正当化されません。

例 1. 検索

解決。 数値を取得するには、基数 2 を累乗する必要があります。

このような例を解くときに、次の形式でメモを作成できます。

例 2. を検索します。

解決。 我々は持っています

例 1 と 2 では、対数を有理指数を使った底のべき乗として表すことで、目的の対数を簡単に見つけることができました。 たとえば、などの一般的なケースでは、対数には無理な値があるため、これを行うことはできません。 この声明に関連する 1 つの問題に注目してみましょう。 パラグラフ 12 では、与えられた正の数の実累乗を決定する可能性の概念を示しました。 これは対数を導入するために必要でした。対数は一般的に無理数になる可能性があります。

対数のいくつかの性質を見てみましょう。

特性 1. 数値と底が等しい場合、対数は 1 に等しく、逆に、対数が 1 に等しい場合、数値と底は等しい。

証拠。 対数の定義によって、私たちが持っているものとその由来

逆に、定義により then とします。

特性 2. 1 を底とする対数はゼロに等しい。

証拠。 対数の定義による (正の底のゼロ乗は 1 に等しい、(10.1) を参照)。 ここから

Q.E.D.

逆のステートメントも真です: if 、then N = 1。実際、 があります。

対数の次の性質を定式化する前に、2 つの数 a と b が両方とも c より大きいか c より小さい場合、3 番目の数 c の同じ側にあると言うことに同意しましょう。 これらの数値の一方が c より大きく、もう一方が c より小さい場合、それらは c の反対側にあると言えます。

特性 3. 数値と底が 1 の同じ側にある場合、対数は正になります。 数値と底が 1 の反対側にある場合、対数は負になります。

性質 3 の証明は、底が 1 より大きく指数が正の場合、または底が 1 より小さく指数が負の場合、a のべき乗が 1 より大きいという事実に基づいています。 底が 1 より大きく指数が負の場合、または底が 1 より小さく指数が正の場合、べき乗は 1 より小さくなります。

考慮すべきケースは 4 つあります。

ここでは最初の分析に限定しますが、残りは読者がご自身で検討してください。

したがって、指数は負になることもゼロに等しくなることもあり得ず、したがって、証明される必要があるように正であるとします。

例 3. 以下の対数のうち、どれが正でどれが負であるかを調べます。

解決策、a) 数字の 15 と基数 12 が同じ側にあるため。

b) 1000 と 2 がユニットの片側にあるため。 この場合、底が対数より大きいかどうかは重要ではありません。

c) 3.1 と 0.8 は 1 の反対側にあるため。

G) ; なぜ？

d）; なぜ？

次のプロパティ 4 ～ 6 は、対数規則と呼ばれることがよくあります。これらの規則により、いくつかの数値の対数がわかっていて、それらの積、商、および次数のそれぞれの対数を見つけることができます。

特性 4 (積対数規則)。 特定の底に対するいくつかの正の数の積の対数は、同じ底に対するこれらの数値の対数の合計に等しくなります。

証拠。 与えられた数値を正の値とします。

積の対数については、対数を定義する等式 (26.1) を書きます。

ここから私たちは見つけます

最初と最後の式の指数を比較すると、必要な等価性が得られます。

この条件は必須であることに注意してください。 2 つの負の数の積の対数は意味を持ちますが、この場合は次のようになります。

一般に、いくつかの因子の積が正の場合、その対数はこれらの因子の絶対値の対数の合計に等しくなります。

特性 5 (商の対数を取るための規則)。 正の数の商の対数は、同じ底をとった被除数と除数の対数の差に等しくなります。 証拠。 私たちは一貫して見つけます

Q.E.D.

特性 6 (べき乗対数則)。 正の数の累乗の対数は、その数値の対数に指数を乗じたものに等しくなります。

証拠。 数値の主なアイデンティティ (26.1) をもう一度書いてみましょう。

Q.E.D.

結果。 正の数の根の対数は、根号の対数を根の指数で割ったものに等しくなります。

この結果の妥当性は、プロパティ 6 をどのように使用するかを想像することで証明できます。

例 4. a を底とする対数を計算します。

a) (すべての値 b、c、d、e が正であると仮定します);

b) ( であると仮定します)。

解決策、a) この式では分数べき乗を行うと便利です。

等式 (26.5) ～ (26.7) に基づいて、次のように書くことができます。

数値そのものよりも、数値の対数に対して単純な演算が実行されることがわかります。数値を乗算する場合は対数が加算され、除算する場合は減算されます。

これが、計算の実践で対数が使用される理由です (段落 29 を参照)。

対数の逆作用は増強と呼ばれます。つまり、増強とは、数値の与えられた対数から数値そのものを求める作用です。 基本的に、増強は特別なアクションではありません。つまり、底をべき乗 (数値の対数に等しい) することになります。 「増強」という用語は、「べき乗」という用語と同義であると考えることができる。

増強するときは、対数の規則の逆の規則を使用する必要があります。つまり、対数の和を積の対数に置き換えたり、対数の差を商の対数に置き換えたりする必要があります。特に、前に因数がある場合は注意が必要です。対数の符号を表すと、増強中に対数の符号の下の指数次数に変換する必要があります。

例 5. 次のことがわかっている場合は N を求めます。

解決。 先ほど述べた増強の法則に関連して、この等式の右側にある対数の符号の前にある因数 2/3 と 1/3 を、これらの対数の符号の下にある指数に変換します。 我々が得る

ここで、対数の差を商の対数に置き換えます。

この一連の等式の最後の分数を取得するには、分母の無理から前の分数を解放します (第 25 節)。

特性 7. 底が 1 より大きい場合、大きい数の対数は大きくなり (小さいほど小さい)、底が 1 より小さい場合、大きい数の対数は小さくなります (小さいほど対数が小さくなります)。 1 つは大きいものがあります）。

このプロパティは、両辺が正である不等式の対数を取るためのルールとしても定式化されます。

不等号を底を 1 より大きく対数計算する場合、不等号の符号は保持され、底を 1 未満に対数計算する場合、不等号の符号は反対に変わります (段落 80 も参照)。

証明はプロパティ 5 と 3 に基づいています。 If 、 then 、そして対数を取る場合を考えてみましょう。

(a と N/M は単位の同じ側にあります)。 ここから

ケース a が続きますが、読者は自分でそれを理解するでしょう。

社会が発展し、生産がより複雑になるにつれて、数学も発展しました。 単純なものから複雑なものへの動き。 通常の会計では足し算と引き算を繰り返すうちに、掛け算と割り算という概念が生まれました。 乗算の繰り返し操作を減らすことが、べき乗の概念になりました。 数値の底とべき乗の数への依存性を示す最初の表は、8 世紀にインドの数学者ヴァラセナによって編集されました。 それらから、対数の発生時間をカウントできます。

歴史的なスケッチ

16 世紀のヨーロッパの復興も機械学の発展を刺激しました。 T 大量の計算が必要だった複数桁の数の掛け算と割り算に関係します。 古代のテーブルはとても役に立ちました。 これらにより、複雑な演算をより単純な演算、つまり加算と減算に置き換えることが可能になりました。 大きな前進は、1544年に出版された数学者マイケル・シュティーフェルの著作であり、その中で彼は多くの数学者のアイデアを実現しました。 これにより、素数の形式の累乗だけでなく、任意の有理数の累乗についてもテーブルを使用できるようになりました。

1614 年、スコットランド人のジョン・ネイピアは、これらのアイデアを発展させて、「数の対数」という新しい用語を初めて導入しました。 サイン、コサイン、タンジェントの対数を計算するために、新しい複雑なテーブルが編集されました。 これにより、天文学者の仕事が大幅に軽減されました。

新しいテーブルが登場し始め、3世紀にわたって科学者によって使用されてきました。 代数における新しい演算が完成形になるまでには、長い時間がかかりました。 対数の定義が与えられ、その特性が研究されました。

20 世紀になって初めて、計算機とコンピューターが登場し、人類は 13 世紀を通じてうまく機能してきた古代の計算機を放棄しました。

今日では、a を底とする b の対数を、b を作るための a の累乗である数値 x と呼びます。 これは、x = log a(b) という式で表されます。

たとえば、log 3(9) は 2 に等しくなります。これは、定義に従えば明らかです。 3 を 2 乗すると 9 になります。

したがって、定式化された定義では、数値 a と b は実数でなければならないという制限が 1 つだけ設定されます。

対数の種類

古典的な定義は実対数と呼ばれ、実際には方程式 a x = b の解になります。 オプション a = 1 は境界線にあり、関心がありません。 注意: 1 の累乗は 1 に等しい。

対数の実数値基数と引数が 0 より大きい場合にのみ定義され、基数は 1 であってはなりません。

数学の分野における特別な場所対数を再生します。底のサイズに応じて名前が付けられます。

規則と制限事項

対数の基本的な性質は、積の対数は対数和に等しいという規則です。 log abp = log a(b) + log a(p)。

このステートメントの変形として、次のようになります。 log c(b/p) = log c(b) - log c(p)、商関数は関数の差に等しい。

前の 2 つのルールから、log a(b p) = p * log a(b) であることが簡単にわかります。

その他のプロパティには次のものがあります。

コメント。 よくある間違いを犯す必要はありません。合計の対数は対数の合計と等しくありません。

何世紀にもわたって、対数を求める操作はかなり時間のかかる作業でした。 数学者は、多項式展開の対数理論のよく知られた公式を使用しました。

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n)。n は 1 より大きい自然数で、計算の精度が決まります。

他の底数との対数は、ある底から別の底への遷移に関する定理と積の対数の性質を使用して計算されました。

この方法は非常に手間がかかるので、 現実的な問題を解くとき実装が難しいため、事前にコンパイルされた対数テーブルを使用し、すべての作業を大幅に高速化しました。

場合によっては、特別に編集された対数グラフが使用され、精度は低くなりますが、目的の値の検索が大幅に高速化されました。 関数 y = log a(x) の曲線は複数の点にわたって構築されており、通常の定規を使用して他の点での関数の値を見つけることができます。 長い間、エンジニアはこれらの目的にいわゆる方眼紙を使用していました。

17 世紀には、最初の補助アナログ コンピューティング条件が出現し、19 世紀までに完全な形を獲得しました。 最も成功した装置は計算尺と呼ばれるものでした。 デバイスの単純さにもかかわらず、その出現によりすべての工学計算のプロセスが大幅に加速され、これを過大評価することは困難です。 現在、この装置を知っている人はほとんどいません。

電卓とコンピューターの出現により、他のデバイスの使用は無意味になりました。

方程式と不等式

対数を使用してさまざまな方程式や不等式を解くには、次の公式が使用されます。

• ある塩基から別の塩基への遷移: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• 前のオプションの結果として、log a(b) = 1 / log b(a) となります。

不平等を解決するには、次のことを知っておくと役立ちます。

• 対数値が正になるのは、底と引数の両方が 1 より大きいか小さい場合のみです。 少なくとも 1 つの条件に違反すると、対数値は負になります。
• 対数関数が不等式の右辺と左辺に適用され、対数の底が 1 より大きい場合、不等式の符号は保持されます。 それ以外の場合は変化します。

サンプル問題

対数とそのプロパティを使用するためのいくつかのオプションを検討してみましょう。 方程式を解く例:

対数を累乗するオプションを検討してください。

• 問題 3. 25^log 5(3) を計算します。 解決策: 問題の状況では、エントリは次の (5^2)^log5(3) または 5^(2 * log 5(3)) と似ています。 別の書き方をしてみましょう: 5^log 5(3*2)、または関数の引数としての数値の 2 乗は、関数自体の 2 乗 (5^log 5(3))^2 として書くことができます。 対数の特性を使用すると、この式は 3^2 と等しくなります。 答え: 計算の結果、9 が得られます。

実用

純粋に数学的なツールであるため、対数が現実世界の物体を記述するために突然非常に重要になったのは現実とはかけ離れているように思えます。 それが使用されていない科学を見つけるのは困難です。 これは自然分野だけでなく、人道的知識の分野にも完全に当てはまります。

対数依存関係

数値的な依存関係の例をいくつか示します。

力学と物理学

歴史的に、力学と物理学は常に数学的な研究方法を使用して発展してきましたが、同時に対数を含む数学の発展の動機としても機能してきました。 ほとんどの物理法則の理論は数学の言語で書かれています。 対数を使用して物理法則を説明する例を 2 つだけ挙げてみましょう。

ロケットの速度などの複雑な量を計算する問題は、宇宙探査理論の基礎を築いたツィオルコフスキーの公式を使用して解決できます。

V = I * ln (M1/M2)、ここで

• V は航空機の最終速度です。
• I – エンジンの比推力。
• M 1 – ロケットの初期質量。
• M 2 – 最終質量。

もう一つの重要な例- これは、熱力学における平衡状態を評価するために役立つ、別の偉大な科学者マックス プランクの公式で使用されています。

S = k * ln (Ω)、ここで

• S – 熱力学的特性。
• k – ボルツマン定数。
• Ω は、さまざまな状態の統計的重みです。

化学

化学における対数の比を含む公式の使用は、それほど明白ではありません。 例を 2 つだけ挙げてみましょう。

• ネルンスト方程式、物質の活性と平衡定数に関係する媒体の酸化還元電位の条件。
• 自己分解指数や溶液の酸性度などの定数の計算も、この関数なしでは実行できません。

心理学と生物学

そして、心理学がそれにどのような関係があるのか​​はまったく明らかではありません。 感覚の強さは、刺激強度値とより低い強度値の逆比としてこの関数によってよく説明されることがわかります。

上記の例の後では、対数のトピックが生物学で広く使用されていることはもはや驚くべきことではありません。 対数螺旋に対応する生物学的形態については、全編を書くことができます。

その他の地域

この機能との関連なしに世界の存在は不可能であるかのように思われ、それがすべての法則を支配します。 特に自然法則が等比数列に関連付けられている場合はそうです。 MatProfi Web サイトを参照する価値はあります。次の活動分野にはそのような例が多数あります。

リストは無限にある可能性があります。 この機能の基本原理をマスターすれば、無限の知恵の世界に飛び込むことができます。