仮説: 関数方程式を形成する際のグラフの動きを研究すると、すべてのグラフが一般法則に従うことがわかります。したがって、関数に関係なく一般法則を定式化することが可能であり、これにより関数方程式の構築が容易になるだけでなく、さまざまな関数のグラフだけでなく、問題解決にも使用します。
目標: 関数のグラフの動きを研究する:
1) その仕事は文学を勉強することです
2) さまざまな関数のグラフの作成を学びます
3) 一次関数のグラフの変換を学びます
4) 問題を解く際にグラフを使用する問題を考慮する
研究対象: 関数グラフ
研究対象：関数グラフの動き
関連性: 関数のグラフの作成には通常、多くの時間がかかり、学生の注意が必要ですが、関数のグラフと基本関数のグラフの変換ルールを知っていれば、関数のグラフを迅速かつ簡単に作成できます。これにより、関数のグラフを構築するためのタスクを完了できるだけでなく、それに関連する問題を解決することもできます（最大値（時間と集合点の最小高さ）を見つけるため）
このプロジェクトは学校のすべての生徒にとって役立ちます。
文献レビュー:
文献では、さまざまな関数のグラフを構築する方法と、これらの関数のグラフを変換する例について説明しています。 ほぼすべての主要な機能のグラフはさまざまな技術プロセスで使用されており、プロセスの流れをより明確に視覚化し、結果をプログラムすることができます。
永続的な機能。 この関数は、式 y = b で与えられます。ここで、b は特定の数です。 定数関数のグラフは、横軸に平行で、縦軸の点(0; b)を通る直線です。 関数 y = 0 のグラフが x 軸です。
関数の種類 1正比例。 この関数は式 y = kx で与えられます。ここで、比例係数 k ≠ 0 です。正比例のグラフは原点を通る直線です。
線形関数。 このような関数は、式 y = kx + b で与えられます。ここで、k と b は実数です。 一次関数のグラフは直線です。
一次関数のグラフは交差したり平行になったりすることがあります。
したがって、一次関数 y = k 1 x + b 1 および y = k 2 x + b 2 のグラフの線は、k 1 ≠ k 2 の場合に交差します。 k 1 = k 2 の場合、線は平行になります。
2反比例は、式 y = k/x (k ≠ 0) で与えられる関数です。K は反比例係数と呼ばれます。 反比例のグラフは双曲線になります。
関数 y = x 2 は、区間 [-~; 0] の間隔で関数は減少し、その間隔で関数は増加します。
関数 y = x 3 は数直線全体に沿って増加し、三次放物線でグラフで表されます。
自然指数を使用したべき乗関数。 この関数は、式 y = x n で与えられます。n は自然数です。 自然指数をもつべき関数のグラフは n に依存します。 たとえば、n = 1 の場合、グラフは直線 (y = x) になり、n = 2 の場合、グラフは放物線になります。
負の整数の指数を持つべき関数は、式 y = x -n で表されます。n は自然数です。 この関数はすべての x ≠ 0 に対して定義されます。関数のグラフは指数 n にも依存します。
正の小数指数をもつべき関数。 この関数は、式 y = x r で表されます。ここで、r は正の既約分数です。 この関数も偶数でも奇数でもありません。
従属変数と独立変数の関係を座標平面上に表示する折れ線グラフ。 グラフはこれらの要素を視覚的に表示するために役立ちます
独立変数とは、関数定義の領域で任意の値を取ることができる変数です (指定された関数が意味を持つ (0 で割ることはできない))。
必要な関数のグラフを作成するには
1) VA (許容値の範囲) を見つける
2) 独立変数としていくつかの任意の値を取得します
3) 従属変数の値を見つける
4) 座標平面を構築し、その上にこれらの点をマークします。
5) 必要に応じてそれらの線を接続し、結果として得られる初等関数のグラフの変換を調べます。
グラフの変換
残念ながら、純粋な形では、基本的な初等関数はそれほど一般的ではありません。 より多くの場合、定数と係数を追加することによって基本的な初等関数から得られる初等関数を処理する必要があります。 このような関数のグラフは、対応する基本初等関数のグラフに幾何学的変換を適用する (または新しい座標系に切り替える) ことによって構築できます。 たとえば、二次関数式は二次放物線式であり、縦軸に対して 3 回圧縮され、横軸に対して対称的に表示され、この軸の方向に対して 2/3 単位だけシフトされ、縦軸に沿って 2 だけシフトされます。単位。
具体的な例を使用して、関数のグラフのこれらの幾何学的変換を段階的に理解してみましょう。
関数 f(x) のグラフの幾何学的変換を使用して、数式の形式の任意の関数のグラフを構築できます。ここで、数式は、それぞれ oy 軸と ox 軸に沿った圧縮係数または伸縮係数であり、先頭にマイナス記号が付きます。式の と式の係数は、座標軸に対するグラフの対称表示を示します。 a と b は、それぞれ横軸と縦軸に対するシフトを決定します。
したがって、関数のグラフの幾何学的変換には 3 つのタイプがあります。
1 つ目のタイプは、横軸と縦軸に沿ったスケーリング (圧縮または伸縮) です。
スケーリングの必要性は、1 以外の数式係数によって示されます。数値が 1 より小さい場合、グラフは oy を基準にして圧縮され、数値が 1 より大きい場合は、縦軸に沿って拡大されます。そして横軸に沿って圧縮します。
2 つ目は、座標軸に対して対称 (ミラー) 表示です。
この変換の必要性は、式 (この場合、グラフを ox 軸に関して対称的に表示します) と式 (この場合、グラフを oy 軸に関して対称的に表示します) の係数の前にあるマイナス記号によって示されます。軸）。 マイナス記号がない場合、このステップはスキップされます。
バックフォワード
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レッスンの目的:関数グラフの変換パターンを決定します。
タスク:
教育:
- 平行移動、圧縮 (伸長)、およびさまざまな種類の対称性を使用して、特定の関数のグラフを変換することにより、関数のグラフを作成する方法を生徒に教えます。
教育:
- 生徒の個人的な資質（聞く能力）、他人に対する善意、気配り、正確さ、規律、そしてグループで働く能力を養います。
- 主題への興味と知識を獲得する必要性を育てます。
発達:
- 生徒の空間的想像力と論理的思考、環境を素早くナビゲートする能力を開発します。 知性、機知を開発し、記憶力を訓練します。
装置：
- マルチメディアのインストール: コンピューター、プロジェクター。
文学：
- バシュマコフ、M. I. 数学 [テキスト]: 教育機関向けの教科書。 そして水曜日 教授 教育/M.I.バシュマコフ - 第5版、改訂。 – M.: パブリッシング センター「アカデミー」、2012 年。 – 256 p.
- バシュマコフ、M. I. 数学。 問題集【テキスト】：教科書。 教育手当 早期に機関 そして水曜日 教授 教育 / M. I. バシュマコフ – M.: 出版センター「アカデミー」、2012 – 416 p。
レッスンプラン：
- 組織に関する瞬間 (3 分)。
- 知識を更新する (7 分)。
- 新教材の説明（20分）
- 新しい材料の統合 (10 分)。
- レッスンの概要 (3 分)。
- 宿題（2分）。
授業中
1.組織 瞬間（3分）。
出席者を確認しています。
レッスンの目的を伝えます。
変数間の依存関係としての関数の基本的な特性は、これらの量の測定方法を変更した場合、つまり測定スケールと基準点を変更した場合に大きく変わってはなりません。 ただし、変数の測定方法をより合理的に選択することで、変数間の関係の記録を簡素化し、この記録を何らかの標準形式にすることが通常は可能です。 幾何学的言語では、値の測定方法を変更するということは、グラフのいくつかの単純な変換を意味します。これについては今日学習します。
2. 知識の更新 (7 分)。
グラフの変換について話す前に、これまで説明した内容を復習しましょう。
口頭仕事。 (スライド 2)。
与えられた関数:
3. 関数のグラフを説明します。 , , , .
3. 新しい資料の説明 (20 分)。
グラフの最も単純な変換は、並列転送、圧縮 (ストレッチ)、およびある種の対称性です。 いくつかの変換を表に示します。 (別紙1)、（スライド 3）。
グループで作業します。
各グループは、与えられた関数のグラフを作成し、ディスカッションのために結果を提示します。
| 関数 | 関数のグラフを変形する | 機能例 | 滑り台 |
| OUの上 あユニットアップの場合 あ>0、かつ |A| 上 ユニットがダウンしている場合 あ<0. | , | (スライド 4)
|
|
| 軸に沿った平行移動 おおの上 あ右側の単位の場合 あ>0、以降 - あ左側の単位の場合 あ<0. | , | (スライド 5)
|
変換のない純粋な形式の基本的な初等関数はまれであるため、ほとんどの場合、定数と係数を追加することによって主要な初等関数から取得された初等関数を操作する必要があります。 このようなグラフは、与えられた初等関数の幾何学的変換を使用して構築されます。
y = - 1 3 x + 2 3 2 + 2 という形式の二次関数の例を考えてみましょう。そのグラフは放物線 y = x 2 であり、Oy に関して 3 回圧縮され、Oy に関して対称です。 Ox まで、Ox に沿って右に 2 3 シフトし、Oy に沿って 2 単位上に移動します。 座標線上では次のようになります。
Yandex.RTB R-A-339285-1
関数のグラフの幾何学的変換
与えられたグラフの幾何学的変換を適用すると、k 1 > 0、k 2 > 0 の場合、グラフは ± k 1 · f (± k 2 · (x + a)) + b の形式の関数で表されることがわかります。は 0 での圧縮係数です< k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 или растяжения при k 1 >1、O y および O x に沿って k 2 > 1。 係数 k 1 および k 2 の前の符号は、軸に対してグラフが対称的に表示されることを示します。a および b は、グラフを O x および O y に沿ってシフトします。
定義 1
3種類あります グラフの幾何学的変換:
- スケーリング O x と O y に沿って。 これは、係数 k 1 と k 2 が 0 のときに 1 に等しくない場合に影響を受けます。< k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 , то график сжимается по О у, а растягивается по О х, когда k 1 >1、k 2 > 1 の場合、グラフは O y に沿って引き伸ばされ、O x に沿って圧縮されます。
- 座標軸に対して対称表示。 k 1 の前に「-」記号がある場合、対称性は O x を基準とし、k 2 の前の場合は O y を基準とします。 「-」が欠落している場合、その項目は解決時にスキップされます。
- パラレル転送（シフト） O x と O y に沿って。 0 に等しくない係数 a と b がある場合、変換が実行されます。 a が正の場合、グラフは | だけ左にシフトします。 | a が負の場合は、同じ距離で右に単位を移動します。 b の値は、O y 軸に沿った動きを決定します。つまり、b が正の場合、関数は上に移動し、b が負の場合、関数は下に移動します。
べき乗関数から始めて、例を使用して解決策を見てみましょう。
例1
y = x 2 3 を変換し、関数 y = - 1 2 · 8 x - 4 2 3 + 3 をプロットします。
解決
関数を次のように想像してみましょう。
y = - 1 2 8 x - 4 2 3 + 3 = - 1 2 8 x - 1 2 2 3 + 3 = - 2 x - 1 2 2 3 + 3
k 1 = 2 の場合、「-」、a = - 1 2、b = 3 の存在に注意する必要があります。 ここから、幾何学的変換は O y に沿って 2 回引き伸ばすことによって実行され、O x に対して対称的に表示され、右に 1 2 単位、上に 3 単位シフトされていることがわかります。
元のべき乗関数を表すと、次のようになります。
O y に沿って 2 回伸ばすと、次のようになります。
O x に関して対称なマッピングは次の形式になります。
1 2 だけ右に移動します
3 ユニット上への移動は次のようになります
例を使用して指数関数の変換を見てみましょう。
例 2
指数関数 y = - 1 2 1 2 (2 - x) + 8 のグラフを作成します。
解決。
べき乗関数の特性に基づいて関数を変換しましょう。 それならわかります
y = - 1 2 1 2 (2 - x) + 8 = - 1 2 - 1 2 x + 1 + 8 = - 1 2 1 2 - 1 2 x + 8
これから、一連の変換 y = 1 2 x が得られることがわかります。
y = 1 2 x → y = 1 2 1 2 x → y = 1 2 1 2 1 2 x → → y = - 1 2 1 2 1 2 x → y = - 1 2 1 2 - 1 2 x → → y = - 1 2 1 2 - 1 2 x + 8
元の指数関数は次の形式であることがわかります。
O y に沿って半分に絞ると、
O x に沿ってストレッチ
O x に関する対称マッピング
マッピングは O y に関して対称です。
8単位上に移動
対数関数 y = ln (x) を例に解法を考えてみましょう。
例 3
変換 y = ln (x) を使用して関数 y = ln e 2 · - 1 2 x 3 を構築します。
解決
解決するには、対数のプロパティを使用する必要があります。すると、次のようになります。
y = ln e 2 · - 1 2 x 3 = ln (e 2) + ln - 1 2 x 1 3 = 1 3 ln - 1 2 x + 2
対数関数の変換は次のようになります。
y = ln (x) → y = 1 3 ln (x) → y = 1 3 ln 1 2 x → → y = 1 3 ln - 1 2 x → y = 1 3 ln - 1 2 x + 2
元の対数関数をプロットしてみましょう
O y に従ってシステムを圧縮します
O x に沿ってストレッチします
O y に関してマッピングを実行します。
2単位ずつシフトアップすると、
三角関数のグラフを変換するには、± k 1 · f (± k 2 · (x + a)) + b の形式の解をスキームに当てはめる必要があります。 k 2 はT k 2 に等しいことが必要である。 ここから 0 が得られます< k 2 < 1 дает понять, что график функции увеличивает период по О х, при k 1 уменьшает его. От коэффициента k 1 зависит амплитуда колебаний синусоиды и косинусоиды.
変換 y = sin x を使用して問題を解く例を見てみましょう。
例 4
関数 y=sinx の変換を使用して、y = - 3 sin 1 2 x - 3 2 - 2 のグラフを作成します。
解決
この関数を ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b の形式に還元する必要があります。 このために：
y = - 3 sin 1 2 x - 3 2 - 2 = - 3 sin 1 2 (x - 3) - 2
k 1 = 3、k 2 = 1 2、a = - 3、b = - 2 であることがわかります。 k 1 の前には「-」がありますが、k 2 の前にはないため、次の形式の変換のチェーンが得られます。
y = sin (x) → y = 3 sin (x) → y = 3 sin 1 2 x → y = - 3 sin 1 2 x → → y = - 3 sin 1 2 x - 3 → y = - 3 sin 1 2 (x - 3) - 2
詳細な正弦波変換。 元の正弦波 y = sin (x) をプロットすると、最小の正の周期は T = 2 π であると考えられることがわかります。 点 π 2 + 2 π · k での最大値を見つける。 1、および最小値 - - π 2 + 2 π · k; - 1、k ∈ Z。
O y は 3 倍に引き伸ばされます。これは、振動の振幅の増加が 3 倍になることを意味します。 T = 2 π は最小の正の周期です。 最大値は π 2 + 2 π · k になります。 3、k ∈ Z、最小値 - - π 2 + 2 π · k; - 3、k ∈ Z。
O x に沿って半分に伸ばすと、最小の正の周期が 2 倍になり、T = 2 π k 2 = 4 π に等しいことがわかります。 最大値は π + 4 π · k になります。 3、k ∈ Z、最小値 – in - π + 4 π · k; - 3、k ∈ Z。
画像は O x に関して対称に生成されます。 この場合の最小の正の周期は変化せず、T = 2 π k 2 = 4 π に等しくなります。 最大遷移は - π + 4 π · k のようになります。 3、k ∈ Z、最小値は π + 4 π · k; - 3、k ∈ Z。
グラフは 2 単位下にシフトされます。 最小共通期間は変わりません。 点への遷移で最大値を見つける - π + 3 + 4 π · k; 1、k ∈ Z、最小値 - π + 3 + 4 π · k; -5 、 k ∈ Z 。
この段階では、三角関数のグラフが変形されたと考えられます。
関数 y = cos x の詳細な変換を考えてみましょう。
例5
y = cos x の形式の関数変換を使用して、関数 y = 3 2 cos 2 - 2 x + 1 のグラフを作成します。
解決
アルゴリズムによれば、与えられた関数を ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b の形式に縮小する必要があります。 それならわかります
y = 3 2 cos 2 - 2 x + 1 = 3 2 cos (- 2 (x - 1)) + 1
この条件から、k 1 = 3 2、k 2 = 2、a = - 1、b = 1 であることが明らかです。ここで、k 2 には「-」があり、k 1 の前にはそれがありません。
これから、次の形式の三角関数のグラフが得られることがわかります。
y = cos (x) → y = 3 2 cos (x) → y = 3 2 cos (2 x) → y = 3 2 cos (- 2 x) → → y = 3 2 cos (- 2 (x - 1) )) → y = 3 2 cos - 2 (x - 1) + 1
段階的なコサイン変換と図解。
y = cos(x) のグラフを考えると、最短の合計周期は T = 2π であることがわかります。 2 π · k の最大値を見つける; 1、k ∈ Z、および最小値 π + 2 π · k; - 1、k ∈ Z。
Oy に沿って 3 2 倍に伸ばすと、振動の振幅は 3 2 倍に増加します。 T = 2 π は最小の正の周期です。 2 π · k の最大値を見つける; 3 2、k ∈ Z、π + 2 π · k の最小値。 -3 2 、 k ∈ Z 。
O x に沿って半分に圧縮すると、最小の正の周期は数値 T = 2 π k 2 = π であることがわかります。 最大値は π · k に転送されます。 3 2 、 k ∈ Z 、最小値 - π 2 + π · k ; -3 2 、 k ∈ Z 。
Oy に関して対称なマッピング。 グラフが奇数なので変化しません。
グラフを 1 ずらしたとき。 正の最小周期 T = π には変化はありません。 π · k + 1 の最大値を見つける; 3 2、k ∈ Z、最小値 - π 2 + 1 + π · k; -3 2 、 k ∈ Z 。
1 だけシフトすると、正の最小周期は T = π に等しく、変更されません。 π · k + 1 の最大値を見つける; 5 2、k ∈ Z、π 2 + 1 + π · k の最小値。 -1 2 、 k ∈ Z 。
コサイン関数の変換が完了しました。
y = t g x の例を使用して変換を考えてみましょう。
例6
関数 y = t g (x) の変換を使用して、関数 y = - 1 2 t g π 3 - 2 3 x + π 3 のグラフを構築します。
解決
まず、与えられた関数を ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b の形式に還元する必要があります。その後、次のようになります。
y = - 1 2 t g π 3 - 2 3 x + π 3 = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 + π 3
k 1 = 1 2、k 2 = 2 3、a = - π 2、b = π 3 であり、係数 k 1 と k 2 の前に「-」があることがはっきりとわかります。 これは、接線体を変換した後、次のようになることを意味します。
y = t g (x) → y = 1 2 t g (x) → y = 1 2 t g 2 3 x → y = - 1 2 t g 2 3 x → → y = - 1 2 t g - 2 3 x → y = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 → → y = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 + π 3
グラフィック表現による接線の段階的な変換。
元のグラフは y = t g (x) であることがわかります。 正の周期の変化は T = π に等しくなります。 定義域は - π 2 + π · k とみなされます。 π 2 + π · k、k ∈ Z。
Oyに沿って2回圧縮します。 T = π は最小の正の周期とみなされ、定義域は - π 2 + π · k の形式になります。 π 2 + π · k、k ∈ Z。
O×3に沿って2回ストレッチします。 最小の正の期間を計算してみましょう。それは T = π k 2 = 3 2 π と等しかったです。 そして、座標を伴う関数の定義域は 3 π 4 + 3 2 π · k です。 3 π 4 + 3 2 π · k, k ∈ Z、定義域のみが変わります。
対称性は O x 側になります。 この時点では期間は変わりません。
座標軸を対称に表示する必要があります。 この場合の定義域は変更されません。 スケジュールは前回のスケジュールと一致します。 これは、正接関数が奇数であることを示唆しています。 O x と O y の対称マッピングを奇数関数に割り当てる場合、それを元の関数に変換します。
パラレル転送。
Y 軸に沿った移動
f(x) => f(x) - b
関数 y = f(x) - b のグラフを作成するとします。 |b| 上の x のすべての値に対するこのグラフの縦軸が容易にわかります。 b>0 および |b| の場合、関数グラフ y = f(x) の対応する縦座標より小さい単位 単位以上 - b 0 または b で最大 関数 y + b = f(x) のグラフをプロットするには、関数 y = f(x) のグラフを作成し、x 軸を |b| に移動する必要があります。 b>0 または |b| で単位が上がります。 単位は b で下がります
横軸に沿った移動
f(x) => f(x + a)
関数 y = f(x + a) をプロットするとします。 ある時点で x = x1 が値 y1 = f(x1) を取る関数 y = f(x) を考えてみましょう。 明らかに、関数 y = f(x + a) は点 x2 で同じ値をとり、その座標は等式 x2 + a = x1 から決定されます。 x2 = x1 - a であり、考慮中の等式は、関数の定義領域からのすべての値の合計に対して有効です。 したがって、関数 y = f(x + a) のグラフは、関数 y = f(x) のグラフを x 軸に沿って左に |a| だけ平行移動することで得られます。 a > 0 の場合は単位、または |a| によって右へ 関数 y = f(x + a) のグラフを作成するには、関数 y = f(x) のグラフを作成し、縦軸を |a| に移動する必要があります。 a>0 の場合、または |a| による単位を右に移動します。 左にある単位
例:
1.y=f(x+a)
2.y=f(x)+b
反射。
Y = F(-X) の形式の関数のグラフの作成
f(x) => f(-x)
関数 y = f(-x) と y = f(x) は、横軸の絶対値が等しく、符号が逆である点では等しい値を取ることは明らかです。 つまり、x の正（負）値の領域における関数 y = f(-x) のグラフの縦軸は、関数 y = f(x) のグラフの縦軸と等しくなります。絶対値における x の対応する負（正）の値。 したがって、次の規則が得られます。
関数 y = f(-x) をプロットするには、関数 y = f(x) をプロットし、それを縦軸に対して反映する必要があります。 結果として得られるグラフは、関数 y = f(-x) のグラフです。
Y = - F(X) の形式の関数のグラフの作成
f(x) => - f(x)
引数のすべての値に対する関数 y = - f(x) のグラフの縦軸は、絶対値が等しいですが、引数の関数 y = f(x) のグラフの縦軸とは符号が逆になります。引数の値が同じです。 したがって、次の規則が得られます。
関数 y = - f(x) のグラフをプロットするには、関数 y = f(x) のグラフをプロットし、それを x 軸に対して反映する必要があります。
例:
1.y=-f(x)
2.y=f(-x)
3.y=-f(-x)
変形。
Y 軸に沿ったグラフの変形
f(x) => k f(x)
y = k f(x) (k > 0) という形式の関数を考えてみましょう。引数の値が等しい場合、この関数のグラフの縦軸は、グラフの縦軸の k 倍になることが簡単にわかります。関数 y = f(x) (k > 1) のグラフは、関数 y = f(x) (k) のグラフの縦軸の 1/k 倍より小さい 関数 y = k f(x) のグラフを作成するには) の場合、関数 y = f(x) のグラフを作成し、k > 1 の場合はその縦軸を k 倍増やすか (縦軸に沿ってグラフを引き伸ばす)、k で縦軸を 1/k 倍減らす必要があります。
k > 1- 牛軸からのストレッチ
0 - OX 軸への圧縮
横軸に沿ったグラフの変形
f(x) => f(k x)
関数 y = f(kx) (k>0) のグラフを作成する必要があるとします。 任意の点 x = x1 で値 y1 = f(x1) をとる関数 y = f(x) を考えてみましょう。 関数 y = f(kx) が点 x = x2 で同じ値を取ることは明らかであり、その座標は等式 x1 = kx2 によって決定され、この等式は次のすべての値の合計に対して有効です。 x は関数の定義領域から取得します。 その結果、関数 y = f(kx) のグラフは、関数 y = f(x) のグラフに対して横軸に沿って (k 1 の場合) 圧縮されることがわかります。 したがって、ルールが得られます。
関数 y = f(kx) のグラフを構築するには、関数 y = f(x) のグラフを構築し、k>1 の場合にその横軸を k 倍縮小する (横軸に沿ってグラフを圧縮する) か、または増加する必要があります。横軸は k の 1/k 倍
k > 1- Oy軸への圧縮
0 - OY 軸からのストレッチ
この作業は、T.V. Tkach、S.M. Vyazov、I.V. Ostroverkhovaの指導の下、Alexander Chichkanov、Dmitry Leonovによって行われました。
©2014
