家道具対数の性質を使用した式の変換、例、解。問題 B7 - 対数式と指数式の変換

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対数の性質を使用した式の変換、例、解。問題 B7 - 対数式と指数式の変換

問題 B7 には、簡略化する必要がある式がいくつかあります。結果は、解答用紙に記入できる正規の数値になるはずです。すべての式は通常、次の 3 つのタイプに分類されます。

対数、
示唆的な、
組み合わせたもの。

純粋な形式の指数表現と対数表現は実際には見つかりません。ただし、その計算方法を知ることは絶対に必要です。

一般に、問題 B7 は非常に簡単に解決され、平均的な卒業生の能力の範囲内です。明確なアルゴリズムの欠如は、その標準化と単調さによって補われています。このような問題を解決する方法を学ぶことができます。大量トレーニング。

対数式

B7 の問題の大部分には、何らかの形で対数が含まれます。このテーマは通常、最終試験の準備が集中する11年生に行われるため、伝統的に難しいと考えられています。その結果、多くの卒業生は対数について非常に漠然とした理解を持っています。

しかし、このタスクでは誰も深い必要はありません理論的な知識。ここでは、単純な推論を必要とし、独立して簡単に習得できる、最も単純な表現のみを取り上げます。対数を処理するために知っておく必要がある基本的な公式を以下に示します。

さらに、根と分数を有理指数のべき乗に置き換えることができなければなりません。そうしないと、一部の式では対数記号の下から何も取り出すことができなくなります。置換式:

タスク。式の意味を調べます。
対数 6 270 − 対数 6 7.5
ログ 5 775 − ログ 5 6.2

最初の 2 つの式は、対数の差として変換されます。
log 6 270 − log 6 7.5 = log 6 (270: 7.5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6.2 = log 5 (775: 6.2) = log 5 125 = 3。

3 番目の式を計算するには、基数と引数の両方でべき乗を分離する必要があります。まず、内部対数を求めてみましょう。

次に、外部:

log a log b x という形式の構造は複雑で、多くの人にとって誤解されているように見えます。一方、これは対数の単なる対数です。 log a (log b x )。まず、内部対数が計算され (log b x = c とします)、次に外部対数が計算されます: log a c。

指示表現

指数式とは、a k の形式で構成されるものを指します。ここで、数値 a と k は任意の定数であり、a > 0 です。このような式を扱う方法は非常に簡単で、8 年生の代数の授業で説明します。

以下は、絶対に知っておく必要がある基本的な公式です。これらの公式を実際に適用しても、原則として問題は発生しません。

a n · a m = a n + m ;
a n / a m = a n − m ;
(a n ) m = a n · m ;
(a · b ) n = a n · b n ;
(a : b ) n = a n : b n 。

満たされていれば複雑な表現度数があり、それにどのようにアプローチするかは明確ではありませんが、彼らは普遍的な手法、つまり素因数への分解を使用します。結果として大きな数字度数の基底のは、単純でわかりやすい要素に置き換えられます。あとは上記の式を適用するだけで問題は解決します。

タスク。式の値を見つけます: 7 9 · 3 11: 21 8, 24 7: 3 6: 16 5, 30 6: 6 5: 25 2.

解決。すべての権力の基礎を単純な要素に分解してみましょう。
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189。
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6。
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 。

複合タスク

公式を知っていれば、すべての指数式と対数式は文字通り 1 行で解くことができます。ただし、問題 B7 では、べき乗と対数を組み合わせて、非常に強力な組み合わせを形成できます。

ここでは、対数を含む式の変換を一般的な観点から見ていきます。ここでは、対数の性質を利用した式の変換を分析するだけでなく、対数を使用した式の変換についても考えてみましょう。一般的な見解、対数だけでなく、累乗、分数、根などが含まれます。いつものように、すべての資料に典型的な例を示します。詳細な説明決断。

ページナビゲーション。

対数を使った式と対数式

分数を使って何かをする

前の段落では、対数を含む個々の分数で実行される基本的な変換を調べました。もちろん、これらの変換は、たとえば、同様の分数の和、差、積、商を表す、より複雑な式の一部である個々の分数に対して実行できます。ただし、このタイプの式の変換には、個々の分数の操作に加えて、分数を使用した対応する演算の実行も含まれることがよくあります。次に、これらのアクションが実行されるルールを見ていきます。

5年生から6年生の頃から、私たちはそれが実行されるルールを知っています。記事の中で 一般的な見解分数を使った演算の場合これらのルールを拡張して、普通の分数一般的な分数 A/B について。ここで、A と B は数値、リテラル式、または変数を使用した式であり、B は完全にゼロではありません。対数を伴う分数が一般的な分数の特殊な場合であることは明らかです。この点で、表記に対数を含む分数の演算が同じ規則に従って実行されることは明らかです。つまり:

2 つの分数を加算または減算するには、同じ分母の場合は、分子を適宜加算または減算し、分母は同じままにする必要があります。
2 つの分数を加算または減算するには、分母が異なる、私たちは彼らを導かなければなりません。共通点そして、前のルールに従って適切なアクションを実行します。
2 つの分数を掛けるには、分子が元の分数の分子の積、分母が分母の積である分数を書く必要があります。
分数を分数に分割するには、除数の逆数である分数、つまり分子と分母を入れ替えた分数を、分割する分数に掛ける必要があります。

ここでは、対数を含む分数を使った演算を実行する方法の例をいくつか示します。

例。

対数を含む分数で演算を実行します: a) 、 b) 、V) 、G） .

解決。

a) 加算される分数の分母は明らかに同じです。したがって、同じ分母を持つ分数を加算するルールに従って、分子を加算し、分母は同じままにします。 .

b) ここでは分母が異なります。したがって、最初に必要なのは 分数を同じ分母に変換する。私たちの場合、分母は積の形ですでに提示されているので、最初の分数の分母を取り、2 番目の分数の分母から不足している因子をそれに追加するだけです。このようにして、次の形式の共通分母を取得します。。この場合、減算された分数は、対数の形式の追加係数と式 x 2 ·(x+1) をそれぞれ使用して共通の分母に求められます。後は分母が同じ分数を引き算するだけですが、それほど難しくはありません。

したがって、解決策は次のとおりです。

c) 分数の掛け算の結果は分数となり、その分子は分子の積、分母は分母の積であることが知られています。

できることは簡単にわかります 分数を減らす 2 と 10 進対数を掛けた結果、次のようになります。 .

d) 分数の割り算から掛け算に移り、約数の分数をその逆分数に置き換えます。それで

結果の分数の分子は次のように表すことができます。分子と分母の共通因数である因数 x がはっきりとわかります。これによって分数を減らすことができます。

答え：

a)、b) 、V) 、G） .

分数を使用した演算は、アクションの実行順序を考慮して実行されることに注意してください。最初に乗算と除算、次に加算と減算が行われます。括弧がある場合は、括弧内のアクションが最初に実行されます。

例。

分数を使って何かをする .

解決。

まず、括弧内の分数を加算し、その後、乗算します。

答え：

この時点で、かなり明白であると同時に重要な 3 つの点を声に出して言っておきます。

対数の性質を使用した式の変換

ほとんどの場合、対数を使用した式の変換には、対数の定義を表す恒等式の使用が含まれます。

対数式、解決例。この記事では、対数を解くことに関連する問題を見ていきます。このタスクでは、式の意味を見つけるという質問が行われます。対数の概念は多くのタスクで使用され、その意味を理解することが非常に重要であることに注意してください。統一国家試験に関しては、方程式を解くときに対数が使用されます。応用問題、関数の学習に関連するタスクでも。

対数の意味そのものを理解するために例を示します。

基本的な対数恒等式:

常に覚えておく必要がある対数の性質:

※積の対数合計に等しい因数の対数。

* * *

※商の対数（分数）差に等しい因数の対数。

* * *

*べき乗の対数は、指数とその底の対数の積に等しい。

* * *

※新財団へ移行

* * *

その他のプロパティ:

* * *

対数の計算は、指数のプロパティの使用と密接に関連しています。

それらのいくつかをリストしてみましょう:

本質この物件の分子を分母に、またはその逆に変換すると、指数の符号が逆に変化するという事実にあります。例えば：

この性質から得られる結果は次のとおりです。

* * *

べき乗を累乗すると、底は変わりませんが、指数は乗算されます。

* * *

ご覧のとおり、対数の概念自体は単純です。重要なことは、一定のスキルを身につける適切な練習が必要であるということです。もちろん公式の知識も必要です。初等対数を変換するスキルが発達していない場合、単純なタスクを解くときに簡単に間違いを犯す可能性があります。

練習して、最初に数学コースの最も単純な例を解いてから、より複雑な例に進みます。将来的には、「醜い」対数の解き方を必ず示します。これらは統一国家試験には出題されませんが、興味深いものですので、お見逃しなく。

それだけです！頑張って！

よろしくお願いします、アレクサンダー・クルチツキーク

P.S: ソーシャルネットワーク上でこのサイトについて教えていただければ幸いです。

主な特性.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x:y)。

同一の根拠

Log6 4 + log6 9。

では、タスクを少し複雑にしてみましょう。

対数を解く例

対数の底または引数が累乗の場合はどうなるでしょうか? 次に、次の規則に従って、対数の符号からこの次数の指数を取り出すことができます。

もちろん、対数の ODZ が観察される場合、これらすべての規則は意味を持ちます: a > 0、a ≠ 1、x >

タスク。式の意味を調べます。

新しい基盤への移行

対数 logax を与えます。次に、c > 0 かつ c ≠ 1 であるような任意の数値 c について、等式は真です。

タスク。式の意味を調べます。

以下も参照してください。

対数の基本的な性質

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指数は 2.718281828… です。指数を覚えるには、法則を勉強してください。指数は 2.7 に等しく、レフニコラエヴィチトルストイの誕生年の 2 倍です。

対数の基本的な性質

このルールを知れば、次のようになります。正確な値出展者とレフ・トルストイの生年月日。

対数の例

対数表現

例1.
A)。 x=10ac^2 (a>0、c>0)。

プロパティ 3.5 を使用して計算します

4. どこ .

例 2. 次の場合に x を求める

例 3. 対数値を与えてみましょう

次の場合に log(x) を計算します。

対数の基本的な性質

対数は、他の数値と同様、あらゆる方法で加算、減算、変換できます。しかし、対数はまったく普通の数ではないため、ここには次のような規則があります。 主な特性.

これらのルールを必ず知っておく必要があります。ルールがなければ、深刻な対数問題は 1 つも解決できません。さらに、それらの数は非常に少なく、1日ですべてを学ぶことができます。それでは始めましょう。

対数の加算と減算

次の 2 つの対数を考えます。同じ根拠で: ログアクスとロゲイ。その後、それらを加算および減算することができ、次のことが可能になります。

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x:y)。

したがって、対数の合計は積の対数に等しく、差は商の対数に等しくなります。注意してください: ここで重要な点は次のとおりです 同一の根拠。理由が異なる場合、これらのルールは機能しません。

これらの公式は計算に役立ちます対数表現個々の部分が数えられない場合でも (「対数とは」のレッスンを参照)。例を見て、次のことを確認してください。

対数の底は同じなので、合計の公式を使用します。
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2。

タスク。式の値を見つけます: log2 48 − log2 3。

ベースは同じなので、差分の式を使用します。
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4。

タスク。式の値を見つけます: log3 135 − log3 5。

ここでもベースは同じなので、次のようになります。
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3。

ご覧のとおり、元の式は「悪い」対数で構成されており、個別に計算されていません。しかし、変換後は完全に正規の数値が得られます。多くはこの事実に基づいて構築されています試験用紙。はい、統一国家試験では、テストのような表現が真剣に (場合によってはほとんど変更なしで) 提供されます。

対数から指数を抽出する

最後のルールが最初の 2 つのルールに従っていることは簡単にわかります。ただし、とにかく覚えておいたほうがよいでしょう。場合によっては、計算量が大幅に削減されます。

もちろん、対数の ODZ (a > 0、a ≠ 1、x > 0) が観察されていれば、これらすべてのルールは意味を持ちます。そしてもう 1 つ、すべての式を左から右へだけでなく、その逆にも適用することを学びましょう。、つまり対数記号の前の数値を対数そのものに入力できます。これが最も頻繁に必要となるものです。

タスク。式の値を見つけます: log7 496。

最初の式を使用して、引数内の次数を取り除きましょう。
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

タスク。式の意味を調べます。

分母には対数が含まれており、その底と引数は正確な累乗であることに注意してください: 16 = 24。 49 = 72。次のようになります。

と思います最後の例説明が必要です。対数はどこへ行ったのでしょうか? 最後の瞬間まで、私たちは分母だけを扱います。

対数の公式。対数の解決策の例。

そこに立っている対数の底と引数をべき乗の形で提示し、指数を取り除きました。「3 階建て」の分数が得られました。

次に、主要部分を見てみましょう。分子と分母には同じ数値が含まれます: log2 7。log2 7 ≠ 0 なので、分数を減らすことができます。分母には 2/4 が残ります。算術の規則によれば、4 を分子に移すことができ、それが行われたのです。結果は、答えは2でした。

新しい基盤への移行

対数の加算と減算のルールについて、これらは同じ底を使用した場合にのみ機能することを特に強調しました。理由が違っていたらどうなるでしょうか？それらが同じ数の正確なべき乗ではない場合はどうなるでしょうか?

新しい財団への移行のための公式が役に立ちます。それらを定理の形で定式化してみましょう。

対数 logax を与えます。次に、c > 0 かつ c ≠ 1 であるような任意の数値 c について、等式は真です。

特に、 c = x と設定すると、次のようになります。

2 番目の式から、対数の底と引数を交換できることがわかりますが、この場合、式全体が「ひっくり返る」ことになります。対数が分母に表示されます。

これらの式は、通常の数値式ではほとんど見られません。判断するだけでどれだけ便利かを評価できる対数方程式そして不平等。

しかし、新たな基盤に移行する以外には全く解決できない問題もある。いくつか見てみましょう:

タスク。式の値を見つけます: log5 16 log2 25。

両方の対数の引数には正確な累乗が含まれることに注意してください。指標を取り出してみましょう: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

次に、2 番目の対数を「反転」してみましょう。

因数を並べ替えても積は変わらないので、落ち着いて4と2を掛けてから対数を扱いました。

タスク。式の値を見つけます: log9 100 lg 3。

最初の対数の底と引数は正確な累乗です。これを書き留めてインジケーターを取り除きましょう。

次に、新しい底に移動して 10 進対数を取り除きましょう。

基本対数恒等式

多くの場合、解法プロセスでは、数値を特定の底の対数として表す必要があります。この場合、次の公式が役に立ちます。

最初のケースでは、数値 n が引数の指数になります。 n は単なる対数値であるため、数値 n は何でも構いません。

2 番目の式は実際には定義を言い換えたものです。それは次のように呼ばれています。

実際、数値 b を、数値 b の累乗が数値 a になるように累乗するとどうなるでしょうか。そうです。結果は同じ数値 a です。この段落をもう一度注意深く読んでください。多くの人がここで行き詰まってしまいます。

新しい底に移動するための公式と同様に、基本的な対数恒等式が唯一可能な解決策である場合があります。

タスク。式の意味を調べます。

log25 64 = log5 8 - 対数の底と引数から単純に二乗したことに注意してください。同じ基数でべき乗を乗算するルールを考慮すると、次のようになります。

知らない人もいるかもしれませんが、これは統一国家試験の実際の課題でした :)

対数単位と対数ゼロ

結論として、プロパティとは言い難い 2 つの恒等式を示します。むしろ、それらは対数の定義の結果です。それらは常に問題に登場し、驚くべきことに「上級」の生徒でも問題を作成します。

logaa = 1 です。必ず覚えておいてください。底 a の底に対する対数自体は 1 に等しいということです。
loga 1 = 0 です。底 a は何でも構いませんが、引数に対数が含まれる場合は、ゼロに等しい！ a0 = 1 は定義の直接的な結果であるためです。

それがすべてのプロパティです。ぜひ実践してみてください！レッスンの初めにカンニングペーパーをダウンロードして印刷し、問題を解いてください。

以下も参照してください。

a を底とする b の対数は式を表します。対数を計算するとは、等式が満たされるときのべき乗 x () を見つけることを意味します。

対数の基本的な性質

対数に関連するほとんどすべての問題と例はそれらに基づいて解決されるため、上記の特性を知っておく必要があります。残りのエキゾチックな特性は、次の式を使用した数学的操作を通じて導き出すことができます。

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対数の和と差の公式 (3.4) を計算するときに、よく出てきます。残りはやや複雑ですが、多くのタスクでは、複雑な式を簡略化し、その値を計算するために不可欠です。

対数の一般的なケース

最も一般的な対数には、底が 10、指数関数または 2 に等しい対数があります。
10 を底とする対数は通常 10 進対数と呼ばれ、単に lg(x) と表されます。

基本的なことが録音に書かれていないのは録音を見れば明らかです。例えば

自然対数は、底が指数である対数です (ln(x) で示されます)。

指数は 2.718281828… です。指数を覚えるには、法則を勉強してください。指数は 2.7 に等しく、レフニコラエヴィチトルストイの誕生年の 2 倍です。このルールを知れば、指数の正確な値とレフ・トルストイの生年月日の両方がわかります。

そして、底 2 に対するもう 1 つの重要な対数は、次のように表されます。

関数の対数の導関数は、変数で割ったものに等しい

積分または逆微分対数は、次の関係によって決定されます。

与えられた資料は、対数と対数に関連する幅広いクラスの問題を解決するのに十分です。内容を理解しやすくするために、学校のカリキュラムや大学の一般的な例をいくつか挙げます。

対数の例

対数表現

例1.
A)。 x=10ac^2 (a>0、c>0)。

プロパティ 3.5 を使用して計算します

2.
対数の差の性質により、次のようになります。

3.
プロパティ 3.5 を使用すると、次のことがわかります。

4. どこ .

一見複雑な式は、いくつかのルールを使用して簡略化されて形成されます

対数値を求める

例 2. 次の場合に x を求める

解決。計算にあたっては、前期の5物件と13物件に適用します。

私たちはそれを記録に残して悼みます

基数が等しいので、式を同等とみなします。

対数。最初のレベル。

対数の値を与えてみましょう

次の場合に log(x) を計算します。

解決策: 変数の対数をとり、その項の合計で対数を書きましょう

これは、対数とその特性についての知識の始まりにすぎません。計算を練習し、実践的なスキルを強化します。対数方程式を解くために得た知識はすぐに必要になります。このような方程式を解くための基本的な方法を学習したら、もう 1 つの同様に重要なトピックである対数不等式に知識を広げていきます。

対数の基本的な性質

対数の加算と減算

同じ底を持つ 2 つの対数、logax と logay を考えてみましょう。その後、これらを加算および減算し、次の操作を行うことができます。

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x:y)。

これらの公式は、個々の部分が考慮されていない場合でも、対数式を計算するのに役立ちます (レッスン「対数とは」を参照)。例を見て、次のことを確認してください。

タスク。式の値を見つけます: log6 4 + log6 9。

対数の底は同じなので、合計の公式を使用します。
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2。

タスク。式の値を見つけます: log2 48 − log2 3。

ベースは同じなので、差分の式を使用します。
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4。

タスク。式の値を見つけます: log3 135 − log3 5。

ここでもベースは同じなので、次のようになります。
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3。

ご覧のとおり、元の式は「悪い」対数で構成されており、個別に計算されていません。しかし、変換後は完全に正規の数値が得られます。多くのテストはこの事実に基づいています。はい、統一国家試験では、テストのような表現が真剣に (場合によってはほとんど変更なしで) 提供されます。

対数から指数を抽出する

では、タスクを少し複雑にしてみましょう。対数の底または引数が累乗の場合はどうなるでしょうか? 次に、次の規則に従って、対数の符号からこの次数の指数を取り出すことができます。

もちろん、対数の ODZ (a > 0、a ≠ 1、x > 0) が観察されていれば、これらすべてのルールは意味を持ちます。そしてもう 1 つ、すべての式を左から右に適用するだけでなく、その逆にも適用することを学びましょう。、つまり対数記号の前の数値を対数そのものに入力できます。

対数の解き方

これが最も頻繁に必要となるものです。

タスク。式の値を見つけます: log7 496。

最初の式を使用して、引数内の次数を取り除きましょう。
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

タスク。式の意味を調べます。

分母には対数が含まれており、その底と引数は正確な累乗であることに注意してください: 16 = 24。 49 = 72。次のようになります。

最後の例については、もう少し説明が必要だと思います。対数はどこへ行ったのでしょうか? 最後の瞬間まで、私たちは分母だけを扱います。そこに立っている対数の底と引数をべき乗の形で提示し、指数を取り除きました。「3 階建て」の分数が得られました。

新しい基盤への移行

新しい財団への移行のための公式が役に立ちます。それらを定理の形で定式化してみましょう。

対数 logax を与えます。次に、c > 0 かつ c ≠ 1 であるような任意の数値 c について、等式は真です。

特に、 c = x と設定すると、次のようになります。

これらの式は、通常の数値式ではほとんど見られません。対数方程式や不等式を解く場合にのみ、その利便性を評価できます。

しかし、新たな基盤に移行する以外には全く解決できない問題もある。いくつか見てみましょう:

タスク。式の値を見つけます: log5 16 log2 25。

両方の対数の引数には正確な累乗が含まれることに注意してください。指標を取り出してみましょう: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

次に、2 番目の対数を「反転」してみましょう。

因数を並べ替えても積は変わらないので、落ち着いて4と2を掛けてから対数を扱いました。

タスク。式の値を見つけます: log9 100 lg 3。

最初の対数の底と引数は正確な累乗です。これを書き留めてインジケーターを取り除きましょう。

次に、新しい底に移動して 10 進対数を取り除きましょう。

基本対数恒等式

多くの場合、解法プロセスでは、数値を特定の底の対数として表す必要があります。この場合、次の公式が役に立ちます。

最初のケースでは、数値 n が引数の指数になります。 n は単なる対数値であるため、数値 n は何でも構いません。

2 番目の式は実際には定義を言い換えたものです。それは次のように呼ばれています。

新しい底に移動するための公式と同様に、基本的な対数恒等式が唯一可能な解決策である場合があります。

タスク。式の意味を調べます。

知らない人もいるかもしれませんが、これは統一国家試験の実際の課題でした :)

対数単位と対数ゼロ

logaa = 1 です。必ず覚えておいてください。底 a の底に対する対数自体は 1 に等しいということです。
loga 1 = 0 です。基数 a は何でも構いませんが、引数に 1 が含まれている場合、対数は 0 に等しくなります。 a0 = 1 は定義の直接的な結果であるためです。

対数を含む式を変換する場合、リストされた等式は右から左へ、および左から右への両方で使用されます。

プロパティの結果を暗記する必要はないことに注意してください。変換を実行するときは、対数の基本的なプロパティやその他の事実 (たとえば、b≥0 の場合) を使用して対処できます。対応する結果が続きます。」副次効果「このアプローチは、解決に少し時間がかかるという事実にのみ現れます。たとえば、次の式で表される結果を回避するには、、対数の基本特性のみから始めて、次の形式の一連の変換を実行する必要があります。 .

上記のリストの最後のプロパティについても同じことが言えます。これは次の式で答えられます。というのは、これは対数の基本的な性質からも導かれるからです。理解すべき主な点は、指数に対数を含む正の数の累乗では、累乗の底と対数記号の下の数値を入れ替えることが常に可能であるということです。公平を期すために、この種の変換の実装を示唆する例は実際にはまれであることに注意してください。以下に本文中でいくつかの例を示します。

対数を使用した数値式の変換

対数の性質を思い出しました。今度は、対数を実際に適用して式を変換する方法を学びましょう。変数を使用した式よりも数値式の変換から始めるのが自然です。これは、基本を学ぶのに便利で簡単なためです。それが私たちがやることです。そして、非常に重要なことから始めます。簡単な例、対数の目的のプロパティを選択する方法を学びますが、最終結果を得るために複数のプロパティを連続して適用する必要がある時点まで、例は徐々に複雑になっていきます。

対数の目的のプロパティを選択する

対数には多くのプロパティがあり、それらから適切なものを選択できる必要があることは明らかです。特定のケース望ましい結果につながります。通常、これは、変換された対数または式のタイプを、対数の特性を表す式の左部分と右部分のタイプと比較することによって行うことで、難しくありません。いずれかの式の左辺または右辺が特定の対数または式と一致する場合、変換中に使用する必要があるのはおそらくこのプロパティです。以下の例はこれを明確に示しています。

対数の定義を使用した式の変換の例から始めましょう。対数は、式 a log a b =b、a>0、a≠1、b>0 に対応します。

例。

可能であれば次を計算します: a) 5 log 5 4、b) 10 log(1+2・π)、c) 、d) 2 log 2 (-7)、e) 。

解決。

文字 a) の下の例では、構造 a log a b がはっきりと見えます (a=5、b=4)。これらの数値は a>0、a≠1、b>0 という条件を満たしているため、等式 a log a b =b を安全に使用できます。 5 log 5 4=4 があります。

b) ここで、a=10、b=1+2・π、条件a>0、a≠1、b>0が満たされます。この場合、等式 10 log(1+2・π) =1+2・π が成り立ちます。

c) そして、この例では、a log a b という形式の次数を扱っています。ここで、b=ln15 です。それで .

同じ型 a log a b (ここでは a=2、b=−7) に属しているにもかかわらず、文字 g) の下の式は、式 a log a b =b を使用して変換できません。理由は、対数記号の下に負の数が含まれているため意味がありません。さらに、数値 b=-7 は条件 b>0 を満たさないため、式 a log a b =b に頼ることは不可能になります。これは、条件 a>0、a≠1、b> を満たす必要があるためです。 0. したがって、 2 log 2 (−7) の値の計算について話すことはできません。この場合、 2 log 2 (−7) =−7 と書くとエラーになります。

同様に、文字 e) の例では、次の形式の解を与えることは不可能です。、元の表現が意味をなさないので。

答え：

a) 5 log 5 4 =4、b) 10 log(1+2・π) =1+2・π、c) 、d)、e) の式は意味がありません。

多くの場合、便利な変換は、指数部に対数を使用して、正の非 1 数のべき乗として正の数を表すことです。これは、対数 a log a b =b、a>0、a≠1、b>0 の同じ定義に基づいていますが、式は右から左に、つまり b=a log a b の形式で適用されます。。たとえば、 3=e ln3 または 5=5 log 5 5 です。

対数のプロパティを使用して式を変換することに移りましょう。

例。

式の値を求めます: a) log −2 1、b) log 1 1、c) log 0 1、d) log 7 1、e) ln1、f) log1、g) log 3.75 1、h) log 5 π 7 1 。

解決。

文字 a)、b)、および c) の下の例では、式 log −2 1、log 1 1、log 0 1 が示されていますが、対数の底には負の数が含まれないため、これらは意味を持ちません。ゼロまたは 1。これは、対数を底が正であり 1 とは異なる場合にのみ定義したためです。したがって、例 a) ～ c) では、式の意味を見つけることに疑問の余地はありません。

他のすべてのタスクでは、明らかに、対数の底には正の数と非単位数 7、e、10、3.75、および 5·π 7 が含まれており、対数の符号の下にはどこにでも単位があります。そして、単位の対数の性質がわかります。a>0、a≠1 の場合、log a 1=0 です。したがって、式 b) – e) の値はゼロに等しくなります。

答え：

a)、b)、c) 式が意味をなさない、d) log 7 1=0、e) ln1=0、f) log1=0、g) log 3.75 1=0、h) log 5 e 7 1= 0 。

例。

計算: a) 、 b) lne 、 c) lg10 、 d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)、e) log −3 (−3) 、f) log 1 1 。

解決。

底の対数の特性を使用する必要があることは明らかです。これは、a>0、a≠1 の場合の公式 log a a=1 に対応します。実際、すべての文字の下にあるタスクにおいて、対数記号の下の数字はその底と一致します。したがって、与えられた各式の値が 1 であるとすぐに言いたいと思います。ただし、結論を急ぐべきではありません。a) ～ d) の文字の下にあるタスクでは、式の値は実際には 1 に等しく、タスク e) と f) では、元の式は意味をなさないため、これらの式の値が 1 に等しいとは言えません。

答え：

a) 、b) lne=1 、c) lg10=1 、d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1、e)、f)の式が意味を持ちません。

例。

値を見つけます: a) log 3 3 11、b) 、ｃ）、ｄ）対数−１０（−１０）６．

解決。

明らかに、対数の符号の下には底の累乗が存在します。これに基づいて、ここでは底の次数のプロパティが必要であることがわかります: log a a p =p、ここで、a>0、a≠1、p は任意です。実数。これを考慮すると、次の結果: a) log 3 3 11 =11、b) 、V) 。 log −10 (−10) 6 =6 という形式の文字 d) の下の例について、同様の等式を書くことは可能でしょうか? いいえ、できません。式 log −10 (−10) 6 は意味をなさないからです。

答え：

a) log 3 3 11 =11、b) 、V) 、d) 式が意味をなしません。

例。

同じ底を使用して、式を対数の和または差として表します。、ｂ）、ｃ）ｌｏｇ（（−５）・（−１２））。

解決。

a) 対数の符号の下に積があり、積の対数の性質がわかります。 log a (x・y)=log a x+log a y、a>0、a≠1、x>0 、ｙ＞０。この場合、対数の底の数値と積の数値は正、つまり選択したプロパティの条件を満たしているため、安全に適用できます。 .

b) ここでは、商の対数の性質を使用します。ここで、a>0、a≠1、x>0、y>0 です。この場合、対数の底は正の数 e で、分子と分母 π は正です。これは、プロパティの条件を満たすことを意味するため、選択した式を使用する権利があります。 .

c) まず、式 log((−5)・(−12)) が意味をなしていることに注意してください。しかし同時に、そのために、積の対数の公式 log a (x y)=log a x+log a y、a>0、a≠1、x>0、y を適用する権利はありません。 >0。数値が -5 および -12 – 負であり、x>0、y>0 の条件を満たしていないためです。つまり、次のような変換は実行できません。 log((−5)・(−12))=log(−5)+log(−12)。だから何をすべきか？このような場合、負の数を避けるために元の式を事前に変換する必要があります。対数記号の下にある負の数を使用して式を変換する同様のケースについては、いずれかの記事で詳しく説明しますが、ここでは、この例に対する解決策を説明します。これは事前に説明がなくても明らかです。 log((−5)・(−12))=log(5・12)=log5+lg12.

答え：

A) 、b) 、ｃ）ｌｏｇ（（−５）・（−１２））＝ｌｏｇ５＋ｌｇ１２。

例。

式を簡略化します: a) log 3 0.25+log 3 16+log 3 0.5、b) 。

解決。

ここでは、前の例で使用した積の対数と商の対数のすべて同じプロパティが役に立ちますが、ここではそれらを右から左に適用します。つまり、対数の和を積の対数に変換し、対数の差を商の対数に変換します。我々は持っています
A) log 3 0.25+log 3 16+log 3 0.5=log 3 (0.25 16 0.5)=log 3 2.
b) .

答え：

A) log 3 0.25+log 3 16+log 3 0.5=log 3 2、b) .

例。

対数記号の下の次数を削除します: a) log 0.7 5 11、b) 、ｃ）ログ３（−５）６。

解決。

log a b p という形式の式を扱っていることが簡単にわかります。対数の対応するプロパティは、log a b p =p・log a b の形式になります。ここで、a>0、a≠1、b>0、p は任意の実数です。つまり、条件 a>0、a≠1、b>0 が満たされる場合、電力 log a b p の対数から積 p・log a b に進むことができます。与えられた式を使用してこの変換を実行してみましょう。

a) この場合、a=0.7、b=5、p=11。したがって、log 0.7 5 11 =11・log 0.7 5となります。

b) ここで、a>0、a≠1、b>0の条件が満たされます。それが理由です

c) 式 log 3 (-5) 6 は、同じ構造 log a b p 、 a=3 、 b=-5 、 p=6 を持ちます。しかし、 b については、条件 b>0 が満たされないため、公式 log a b p =p・log a b を使用することができなくなります。それで、あなたはその仕事に対処できないのですか？可能ですが、式の予備的な変換が必要です。これについては、以下の見出しの下の段落で詳しく説明します。解決策は次のようになります。 log 3 (−5) 6 =log 3 5 6 =6 log 3 5.

答え：

a) log 0.7 5 11 =11 log 0.7 5 、
b)
c) log 3 (−5) 6 =6 log 3 5.

変換を実行するとき、べき乗の対数の公式を p・log a b=log a b p の形式で右から左に適用する必要があることがよくあります (a、b、p について同じ条件が満たされる必要があります)。たとえば、3・ln5=ln5 3、log2・log 2 3=log 2 3 lg2 となります。

例。

a) log2 ≈ 0.3010 および log5 ≈ 0.6990 であることがわかっている場合、log 2 5 の値を計算します。 b) 分数を底 3 の対数として表します。

解決。

a) 新しい対数底への移行式を使用すると、この対数を比として表すことができます。 10 進対数、その意味は私たちに知られています: 。残っているのは計算を実行することだけです。 .

b) ここでは、新しいベースに移動するための公式を使用し、それを右から左に、つまり次の形式で適用するだけで十分です。。我々が得る .

答え：

a) log 2 5≈2.3223、b) .

この段階では、対数の基本特性と対数の定義を使用した最も単純な式の変換を徹底的に検討しました。これらの例では、1 つのプロパティを適用するだけで、それ以上は何も適用しませんでした。さて、明確な良心を持って、例に進むことができます。その変換には、対数のいくつかのプロパティとその他の追加の変換を使用する必要があります。それらについては次の段落で扱います。その前に、対数の基本的な性質から得られる結果の適用例を簡単に見てみましょう。

例。

a) 対数記号の下の根を取り除きます。 b) 分数を底 5 の対数に変換します。 c) 対数の符号とその底にある力から自分を解放します。 d) 式の値を計算します。。 e) 式を底 3 のべき乗に置き換えます。

解決。

a) 次の対数の性質からの帰結を思い出すと、 , そうすれば、すぐに答えを与えることができます。 .

b) ここでは次の式を使用します。右から左に、 .

c) この場合、式から次の結果が得られます。。我々が得る .

d) そしてここでは、式が対応する当然の結果を適用するだけで十分です。それで .

e) 対数の性質達成できるようになります望ましい結果: .

答え：

A) 。 b) 。 V) 。 G) 。 d) .

複数のプロパティの連続適用

対数の特性を使用して式を変換する実際のタスクは、通常、前の段落で扱ったタスクよりも複雑です。それらでは、原則として、結果は 1 つのステップで得られませんが、解決策は、括弧を開く、類似した用語を取得する、分数を減らすなどの追加の同一の変換とともに、1 つのプロパティを次々と順次適用することですでに構成されています。。それでは、そのような例に近づいてみましょう。これについては何も複雑なことはありません。主なことは、行動の順序を守り、慎重かつ一貫して行動することです。

例。

式の値を計算する (log 3 15-log 3 5) 7 log 7 5.

解決。

商対数の性質に従って、括弧内の対数の差は対数 log 3 (15:5) に置き換えることができ、その値 log 3 (15:5)=log 3 3=1 を計算します。そして、対数の定義による式 7 log 7 5 の値は 5 に等しくなります。これらの結果を元の式に代入すると、次のようになります。 (log 3 15-log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

説明なしの解決策は次のとおりです。
(log 3 15-log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
=log 3 3・5=1・5=5 。

答え：

(log 3 15-log 3 5) 7 log 7 5 =5.

例。

数式 log 3 log 2 2 3 −1 の値は何ですか?

解決。

まず、べき乗の対数の公式、log 2 2 3 =3 を使用して、対数記号の下で対数を変換します。したがって、log 3 log 2 2 3 =log 3 3、そして log 3 3=1 となります。したがって、 log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 となります。

答え：

log 3 log 2 2 3 −1=0 。

例。

表現を簡略化します。

解決。

新しい対数の底に移動する公式により、1 底に対する対数の比を log 3 5 として表すことができます。この場合、元の式はの形式になります。対数 3 log 3 5 =5 の定義により、つまり、対数の同じ定義により、結果の式の値は 2 に等しくなります。

ここ短縮版通常、次のような解決策が与えられます。 .

答え：

のためにスムーズな移行次の段落の情報として、式 5 2+log 5 3 および log0.01 を見てみましょう。それらの構造は対数のどの特性にも適合しません。対数の性質を利用して変換できない場合はどうなるでしょうか? 対数の特性を適用するためにこれらの式を準備する事前変換を実行すれば、それが可能になります。それで 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, log0.01=log10 -2 =-2。次に、このような式の準備がどのように実行されるかを詳しく見ていきます。

対数のプロパティを使用する式の準備

変換される式の対数は、対数の性質に応じて式の左側と右側で表記の構造が異なることがよくあります。しかし、多くの場合、これらの式の変換には対数のプロパティの使用が含まれます。これらの式を使用するには、次のことだけが必要です。事前準備。そして、この準備は、対数を特性を適用するのに便利な形式にする特定の同一の変換を実行することで構成されます。

公平を期すために言うと、表現のほとんどすべての変換は、類似した用語の平凡な削減から応用まで、予備的な変換として機能する可能性があることに注意してください。三角関数の公式。変換される式には、括弧、加群、分数、根、べき乗などのあらゆる数学的オブジェクトが含まれる可能性があるため、これは当然のことです。したがって、対数の特性をさらに活用できるようにするには、必要な変換を実行する準備をしておく必要があります。

すぐに言っておきますが、この時点では、後で対数の性質や対数の定義を適用できるようにする、考えられるすべての予備変換を分類して分析するというタスクは設定していません。ここでは、そのうちの最も典型的で実際によく遭遇する 4 つのみに焦点を当てます。

そして、それぞれについて詳しく説明します。その後、私たちのトピックの枠組みの中で、残っているのは、対数の符号の下で変数を使用した式の変換を理解することだけです。

対数記号の下とその底での累乗の識別

早速例から始めましょう。対数を考えてみましょう。明らかに、この形式では、その構造は対数の特性を使用するのに役立ちません。この式を何らかの方法で変換して単純化し、さらにその値をより適切に計算することは可能でしょうか? この質問に答えるために、この例のコンテキストで 81 と 1/9 という数字を詳しく見てみましょう。ここで、これらの数値は 3 の累乗、つまり 81 = 3 4 および 1/9 = 3 −2 として表すことができることに簡単に気づくことができます。この場合、元の対数が形式で表示され、次の式を適用することが可能になります。。それで、 .

分析された例を分析すると、次の考えが生まれます。可能であれば、次数の対数の特性またはその結果を適用するために、対数の符号の下とその底で次数を分離してみることができます。これらの程度を区別する方法を理解することだけが残っています。この問題についていくつかの推奨事項を示しましょう。

場合によっては、上で説明した例のように、対数記号の下および/またはその底の数値が整数のべき乗を表すことが非常に明らかであることがあります。ほぼ常に、よく知られている 2 の累乗を扱わなければなりません: 4=2 2、8=2 3、16=2 4、32=2 5、64=2 6、128=2 7、256=2 8 、512= 2 9、1024=2 10。 3 の累乗についても同じことが言えます。9 = 3 2、27 = 3 3、81 = 3 4、243 = 3 5、... 一般的に、目の前にある場合は問題ありません。 度表自然数 十数以内。 10、100、1000 などの整数乗を扱うことも難しくありません。

例。

値を計算するか、式を簡略化します: a) log 6 216、b) 、c) log 0.000001 0.001。

解決。

a) 明らかに、216=6 3 なので、log 6 216=log 6 6 3 =3 となります。

b) 自然数の累乗表を使用すると、数値 343 と 1/243 をそれぞれ 7 3 と 3 −4 の累乗として表すことができます。したがって、特定の対数を次のように変換することが可能です。

c) 0.000001=10 -6 および 0.001=10 -3 なので、次のようになります。 log 0.000001 0.001=log 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

答え：

a) log 6 216=3、b) 、c) ログ 0.000001 0.001=1/2。

より複雑な場合、数の累乗を分離するには、次の手段に頼る必要があります。

例。

式をさらに変換しますシンプルなビューログ 3 648 ログ 2 3 。

解決。

648 の因数分解を見てみましょう。

つまり、648=2 3 ·3 4 となります。したがって、 log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.

次に、積の対数を対数の合計に変換し、その後、べき乗の対数のプロパティを適用します。
log 3 (2 3 3 4)log 2 3=(log 3 2 3 +log 3 3 4)log 2 3=
=(3・log 3 2+4)・log 2 3 。

べき乗の対数の性質からの帰結により、次の式に対応します。、積 log32・log23 はの積であり、知られているように、それは 1 に等しくなります。これを考慮すると、次のようになります。 3 対数 3 2 対数 2 3+4 対数 2 3=3 1+4 対数 2 3=3+4 対数 2 3.

答え：

ログ 3 648 ログ 2 3=3+4 ログ 2 3.

多くの場合、対数の符号の下およびその底の式は、、など、いくつかの数値の根および/またはべき乗の積または比を表します。同様の式をべき乗として表すこともできます。これを行うには、ルートから累乗への移行が行われ、とが使用されます。これらの変換により、対数の符号の下とその底のべき乗を分離し、対数の特性を適用することが可能になります。

例。

計算: a) 、b）。

解決。

a) 対数の底の式は、対応するべき乗の性質による同じ底を持つべき乗の積です。 5 2 ・5 −0.5 ・5 −1 =5 2−0.5−1 =5 0.5.

次に、対数記号の下の分数を変換しましょう。ルートからべき乗に移動し、その後、同じ底を持つべき乗の比の特性を使用します。 .

得られた結果を元の式に代入することは残ります。式を使用します。そして変換を終了します。

b) 729 = 3 6 および 1/9 = 3 −2 なので、元の式は次のように書き換えることができます。

次に、べき乗の根の特性を適用し、根からべき乗に移動し、べき乗の比の特性を使用して対数の底をべき乗に変換します。 .

最後の結果を考慮すると、 .

答え：

A) 、b）。

一般的な場合、対数の符号およびその底のべき乗を取得するには、さまざまな式のさまざまな変換が必要になる可能性があることは明らかです。いくつか例を挙げてみましょう。

例。

式の意味は何ですか: a) 、b) .

解決。

さらに、指定された式の形式は log A B p であることに注意してください。ここで、A=2、B=x+1、p=4 となります。数値式この型をパワー log a b p =p・log a b の対数の特性に従って変換しました。したがって、与えられた式で同じことを行い、log 2 (x+1) 4 から 4・log に変換したいと考えます。 2 (x+1) 。ここで、元の式と変換後の式 (たとえば x=−2 の場合) の値を計算してみましょう。 log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 があり、そして 4 log 2 (−2+1)=4 log 2 (−1)- 意味のない表現。これは論理的な疑問を引き起こします。「私たちは何を間違えたのでしょうか?」

その理由は次のとおりです。以下に基づいて、変換 log 2 (x+1) 4 =4・log 2 (x+1) を実行しました。対数式 a b p =p・log a b ですが、この式私たちは条件が満たされる場合にのみ適用する権利を有します: a>0、a≠1、b>0、p - 任意の実数。つまり、x+1>0 の場合に実行した変換が行われます。これは、x>−1 と同じです (A と p については条件が満たされます)。ただし、この場合、元の式の変数 x の ODZ は、区間 x>−1 だけでなく、区間 x からも構成されます。<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

DLを考慮する必要がある

選択した式 log 2 (x+1) 4 の変換の分析を続けて、式 4 · log 2 (x+1) に移動したときに ODZ に何が起こるかを見てみましょう。前の段落で、元の式の ODZ を見つけました。これは、セット (−∞, −1)∪(−1, +∞) です。ここで、式 4・log 2 (x+1) の変数 x の許容値の範囲を見つけてみましょう。これは条件 x+1>0 によって決定され、セット (-1, +∞) に対応します。 log 2 (x+1) 4 から 4・log 2 (x+1) に移行すると、許容値の範囲が狭くなることがわかります。そして私たちは、DLの縮小につながるような変革はさまざまなマイナスの結果を招く可能性があるため、避けることに合意しました。

ここで、変換の各ステップで OA を制御し、OA の縮小を防ぐことが有用であることは注目に値します。そして、変革のある段階で突然DLの縮小があった場合、この変革が許容されるかどうか、そしてそれを実行する権利があるかどうかを非常に慎重に検討する価値があります。

公平を期すために、実際には、変換を実行するときに、既知の形式で制限なく対数のプロパティを使用できるような変数の変数値を持つ式を扱う必要があるとします。左から右へ、右から左へ。あなたはこれにすぐに慣れ、変換を実行できるかどうかを考えずに、機械的に変換を実行し始めます。そしてそのような瞬間に、運が良ければ、対数の性質を不用意に適用するとエラーが発生する、より複雑な例がすり抜けてしまいます。したがって、常に警戒し、ODZ が狭まらないようにする必要があります。

対数の特性に基づいて主な変換を個別に強調表示することは問題ありませんが、これは非常に慎重に実行する必要があり、OD が狭くなり、結果としてエラーが発生する可能性があります。

対数の特性に基づいた式の一部の変換は、逆の ODZ の拡大を引き起こす可能性もあります。たとえば、4・log 2 (x+1) から log 2 (x+1) 4 への遷移は、ODZ を集合 (−1, +∞) から (−∞, −1)∪(−1, +∞) 。このような変換は、元の表現の ODZ のフレームワーク内に留まる場合に発生します。したがって、先ほど述べた変換 4・log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 は、元の式 4・log 2 (x+1) の変数 x の ODZ で行われます。 x+1> 0、これは (−1, +∞) と同じです。

対数の特性を使用して変数を含む式を変換するときに注意する必要があるニュアンスについて説明しましたが、これらの変換を正しく実行する方法を理解する必要があります。

X+2>0 。私たちの場合でもうまくいきますか？この質問に答えるために、変数 x の ODZ を見てみましょう。格差体系で決まる、これは条件 x+2>0 と同等です (必要に応じて、記事を参照してください) 不平等システムを解決する）。したがって、べき乗の対数の性質を安全に適用できます。

我々は持っています
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3・7・log(x+2)−log(x+2)−5・4・log(x+2)=
=21・log(x+2)−log(x+2)−20・log(x+2)=
=(21−1−20)・log(x+2)=0 。

ODZ ではこれを許可しているため、別の動作を行うことができます。たとえば、次のようになります。

答え：

3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

しかし、対数の性質に伴う条件が ODZ 内で満たされない場合はどうすればよいでしょうか? これを例を挙げて理解していきます。

式 log(x+2) 4 − log(x+2) 2 を簡略化する必要があるとしましょう。この式の変換では、前の例の式とは異なり、べき乗の対数の特性を自由に使用できません。なぜ？この場合の変数 x の ODZ は、2 つの区間 x>−2 と x の和集合です。<−2 . При x>−2 べき乗の対数の特性を簡単に適用して、上の例のように動作させることができます。 log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2)。ただし、ODZ にはもう 1 つの間隔 x+2 が含まれています<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2そしてさらに次数 k lg|x+2| の性質により 4 −lg|x+2| 2. 変数のどの値でも |x+2|>0 であるため、結果の式はべき乗の対数の特性を使用して変換できます。我々は持っています対数|x+2| 4 −lg|x+2| 2 =4・lg|x+2|−2・lg|x+2|=2・lg|x+2|。モジュールはその役割を終えたので、モジュールから解放されます。 x+2で変換を実行するので、<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

モジュールの操作に慣れるために、もう 1 つの例を見てみましょう。式から考えてみましょう線形二項 x-1、x-2、x-3 の対数の和と差に進みます。まず、ODZ を見つけます。

区間 (3, +∞) では、式 x−1、x−2、および x−3 の値は正であるため、和と差の対数の特性を簡単に適用できます。

そして、区間（1、2）では、式x−1の値は正であり、式x−2とx−3の値は負です。したがって、考慮した区間では、係数を −|x−2| として使用して x−2 と x−3 を表します。および −|x−3| それぞれ。その中で

ここで、考慮した区間 (1, 2) で式 x−1 、 |x−2| の値が変化するため、積と商の対数の特性を適用できます。と |x−3| - ポジティブ。

我々は持っています

得られた結果は次のように組み合わせることができます。

一般に、同様の推論により、積の対数、比、次数の公式に基づいて、非常に使いやすい 3 つの実用的な結果を得ることができます。

log a (X・Y) という形式の 2 つの任意の式 X と Y の積の対数は、対数の合計 log a |X|+log a |Y| に置き換えることができます。、a>0、a≠1。
特定の形式の対数 log a (X:Y) は、対数の差 log a |X| −log a |Y| に置き換えることができます。、a>0、a≠1、X、Yは任意の式です。
ある式 B の対数から log a B p の形式の偶数乗 p まで、式 p・log a |B| に進むことができます。ここで、a>0、a≠1、p は偶数、B は任意の式です。

例えば、M.I.スカナビ編の大学入学者向け数学問題集の指数方程式や対数方程式の解き方でも同様の結果が得られている。

例。

式を簡略化する .