家ハウスプロジェクト表現の派生語。複合関数

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表現の派生語。複合関数

この記事では、複素関数のような重要な数学的概念について説明し、導関数を求める方法を学びます。複素関数.

複素関数の導関数を求める前に、複素関数の概念、それが何であるか、「何と一緒に食べるか」、「正しく調理する方法」を理解しましょう。

任意の関数、たとえば次の関数を考えてみましょう。

関数方程式の右辺と左辺の引数は同じ数値または式であることに注意してください。

変数の代わりに、たとえば次の式を入れることができます。そして関数を取得します

この式を中間引数、関数を外部関数と呼びましょう。これらは厳密な数学的概念ではありませんが、複素関数の概念の意味を理解するのに役立ちます。

複素関数の概念の厳密な定義は次のとおりです。

関数をセット上で定義し、この関数の値のセットとする。セット (またはそのサブセット) を関数の定義領域とします。それぞれに番号を割り当ててみましょう。したがって、関数はセット上で定義されます。これを関数合成または複素関数と呼びます。

この定義では、用語を使用すると、外部関数は中間引数です。

複素関数の導関数は、次の規則に従って求められます。

より明確にするために、このルールを次のように書きます。

この式において、using は中間関数を示します。

それで。 複素関数の導関数を求めるには、次のものが必要です。

1. どの関数が外部関数であるかを判断し、導関数の表から対応する導関数を見つけます。

2. 中間引数を定義します。

この手順での最大の困難は、外部関数。これには単純なアルゴリズムが使用されます。

A. 関数の方程式を書き留めます。

b. x の値に対して関数の値を計算する必要があると想像してください。これを行うには、この x 値を関数方程式に代入し、算術演算を実行します。最後に実行するアクションは外部関数です。

たとえば、関数では

最後のアクションは累乗です。

この関数の導関数を求めてみましょう。これを行うには、中間引数を作成します。

意味。関数 $y = f(x) $ を、その中に点 $x_0$ を含む特定の区間で定義するとします。この間隔を離れないように、引数に増分 $\Delta x $ を与えてみましょう。関数 $\Delta y $ (点 $x_0 $ から点 $x_0 + \Delta x $ に移動するとき) の対応する増分を見つけて、関係 $\frac(\Delta) を構成しましょうy)(\デルタ x) $。 $\Delta x \rightarrow 0$ でこの比率に制限がある場合、指定された制限が呼び出されます。 関数の導関数点 $x_0 $ における $y=f(x) $ を $f"(x_0) $ と表します。

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

記号 y は導関数を表すためによく使用されます。 y" = f(x) は新しい関数ですが、当然のことながら、上記の制限が存在するすべての点 x で定義された関数 y = f(x) に関連しています。この関数は次のように呼び出されます。 関数 y = f(x) の導関数.

導関数の幾何学的意味以下のとおりであります。関数 y = f(x) のグラフの、y 軸に平行でない横軸 x=a の点で接線を引くことができれば、f(a) は接線の傾きを表します。 :
$k = f"(a)$

$k = tg(a) $ なので、等式 $f"(a) = Tan(a) $ が成り立ちます。

ここで、近似等式の観点から導関数の定義を解釈してみましょう。関数 $y = f(x)$ が特定の点 $x$ で導関数を持つとします。
$$ \lim_(\デルタ x \to 0) \frac(\デルタ y)(\デルタ x) = f"(x) $$
これは、点 x の近似値 $\frac(\Delta y)(\Delta x) \estimate f"(x)$、つまり $\Delta y \estimate f"(x) \cdot$ が成り立つことを意味します。デルタ x\)。結果として得られる近似等価の意味のある意味は次のとおりです。関数の増分は引数の増分に「ほぼ比例」し、比例係数は次の微分の値です。与えられたポイントバツ。たとえば、関数 $y = x^2$ の場合、近似等価 $\Delta y \about 2x \cdot \Delta x $ が有効です。導関数の定義を注意深く分析すると、導関数を見つけるためのアルゴリズムが含まれていることがわかります。

それを定式化しましょう。

関数 y = f(x) の導関数を求めるにはどうすればよいですか?

1. $x$ の値を修正し、$f(x)$ を見つけます
2. 引数 $x$ に増分 $\Delta x$ を与え、新しい点 $x+ \Delta x $ に移動し、$f(x+ \Delta x) $ を見つけます。
3. 関数の増分を求めます: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. リレーション $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ を作成します
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ を計算します。
この制限は、点 x における関数の導関数です。

関数 y = f(x) が点 x で導関数を持つ場合、その関数は点 x で微分可能と呼ばれます。関数 y = f(x) の導関数を求める手順は次のように呼ばれます。 差別化関数 y = f(x)。

次の質問について説明しましょう: ある点における関数の連続性と微分可能性は互いにどのように関係しているのでしょうか?

関数 y = f(x) が点 x で微分可能であるとします。次に、関数のグラフの点 M(x; f(x)) に接線を引くことができ、接線の角係数は f "(x) に等しいことを思い出してください。このようなグラフは「ブレイク」できません。つまり、関数は点 x で連続でなければなりません。

これらは「実践的な」議論でした。より厳密な推論をしてみましょう。関数 y = f(x) が点 x で微分可能である場合、近似等式 $\Delta y \estimate f"(x) \cdot \Delta x$ が成り立ちます。この等式の場合 $\Delta x $ がゼロになる傾向があり、その後 $\Delta y $ もゼロになる傾向があります。これが、ある点における関数の連続性の条件です。

それで、 関数が点 x で微分可能である場合、その関数はその点で連続です.

逆の記述は真実ではありません。例: 関数 y = |x| はどこでも、特に点 x = 0 では連続ですが、「接続点」(0; 0) における関数のグラフの接線は存在しません。ある時点で関数のグラフに接線を引くことができない場合、その時点では導関数は存在しません。

もう 1 つの例。関数 $y=\sqrt(x)$ は、点 x = 0 を含む数直線全体で連続です。また、関数のグラフの接線は、点 x = 0 を含む任意の点に存在します。しかし、この時点で接線は y 軸と一致します。つまり、接線は横軸に垂直であり、その方程式は x = 0 の形式になります。勾配係数そのような行は存在しません。つまり、$f"(0) $ も存在しません。

そこで、微分可能性という関数の新しい性質を知りました。関数のグラフから、それが微分可能であるとどのように結論付けることができるでしょうか?

答えは実際には上にあります。ある時点で、横軸に垂直でない関数のグラフに接線を引くことができる場合、その時点で関数は微分可能です。ある時点で関数のグラフの接線が存在しないか、横軸に垂直である場合、その時点では関数は微分可能ではありません。

微分の法則

微分値を求める操作は次のように呼ばれます。 差別化。この演算を実行するときは、多くの場合、関数の商、和、積、および「関数の関数」、つまり複素関数を操作する必要があります。導関数の定義に基づいて、この作業を容易にする微分規則を導き出すことができます。 C が定数で、f=f(x)、g=g(x) が微分可能な関数である場合、次のことが当てはまります。 微分規則:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ 複素関数の導関数:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

いくつかの関数の導関数の表

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

複素関数の導関数の公式を使用して導関数を計算する例が示されています。

ここでは、次の関数の導関数を計算する例を示します。
; ; ; ; .

関数が次の形式の複素関数として表現できる場合:
,
次に、その微分値は次の式で求められます。
.
以下の例では、この式を次のように記述します。
.
どこ。
ここで、微分記号の下にある添字またはは、微分が実行される変数を示します。

通常、導関数の表では、変数 x からの関数の導関数が与えられます。ただし、x は仮パラメータです。変数 x は他の変数に置き換えることができます。したがって、関数を変数から微分するときは、導関数の表で変数 x を変数 u に変更するだけです。

簡単な例

例1

複素関数の導関数を求める
.

解決

書き留めてみましょう与えられた関数同等の形式で:
.
導関数の表には次のことがわかります。
;
.

複素関数の導関数の公式によれば、次のようになります。
.
ここ。

答え

例 2

導関数を求めます
.

解決

導関数の符号と導関数の表から定数 5 を取り出します。
.

.
ここ。

答え

例 3

導関数を求めます
.

解決

定数を取り出します -1 導関数の符号について、導関数の表から次のことがわかります。
;
導関数の表から次のことがわかります。
.

複素関数の導関数に公式を適用します。
.
ここ。

答え

より複雑な例

さらに詳しく複雑な例複素関数を微分するためのルールを数回適用します。この場合、端から導関数を計算します。つまり、関数をそのコンポーネント部分に分割し、次を使用して最も単純な部分の導関数を見つけます。デリバティブの表。私たちも使っています合計を微分するための規則、積と分数。次に、置換を行って、複素関数の導関数の公式を適用します。

例 4

導関数を求めます
.

解決

式の最も単純な部分を選択し、その導関数を求めてみましょう。。

.
ここでは次の表記を使用しました
.

得られた結果を使用して、元の関数の次の部分の導関数を見つけます。合計を微分するためのルールを適用します。
.

もう一度、複素関数の微分の法則を適用します。

.
ここ。

答え

例5

関数の導関数を求めます
.

解決

式の最も単純な部分を選択し、導関数の表からその導関数を見つけてみましょう。。

複素関数の微分の法則を適用します。
.
ここ
.

定義に従えば、ある点における関数の導関数は、関数の増分の比率の限界 Δ になります。 y引数の増分Δにバツ:

すべてが明らかになったようです。ただし、この式を使用して、たとえば関数の導関数を計算してみてください。 f(バツ) = バツ 2 + (2バツ+ 3) · e バツ罪バツ。定義どおりにすべてを実行すると、数ページの計算の後、ただ眠ってしまうだけです。したがって、より簡単で効果的な方法があります。

まず最初に、さまざまな関数全体から、いわゆる初等関数を区別できることに注目します。これらは比較的単純な式であり、その導関数は長い間計算され、テーブルに入力されてきました。このような関数は、その派生関数とともに覚えておくのが非常に簡単です。

初等関数の導関数

基本関数は以下にリストされているものすべてです。これらの関数の導関数は暗記しておく必要があります。さらに、それらを暗記することはまったく難しくありません。だからこそ、それらは初歩的なものなのです。

したがって、初等関数の導関数は次のようになります。

名前	関数	デリバティブ
絶え間ない	f(バツ) = C, C ∈ R	0 (はい、ゼロです!)
有理指数によるべき乗	f(バツ) = バツ n	n · バツ n − 1
副鼻腔	f(バツ) = 罪バツ	コスバツ
余弦	f(バツ) = cos バツ	−罪バツ(マイナスサイン)
正接	f(バツ) = tg バツ	1/cos2 バツ
コタンジェント	f(バツ) = ctg バツ	− 1/罪2 バツ
自然対数	f(バツ) = ログバツ	1/バツ
任意の対数	f(バツ) = ログあるバツ	1/(バツ ln ある)
指数関数	f(バツ) = e バツ	e バツ（何も変わっていません）

初等関数に任意の定数を乗算すると、新しい関数の導関数も簡単に計算されます。

(C · f)’ = C · f ’.

一般に、導関数の符号から定数を取り出すことができます。例えば：

(2バツ 3)’ = 2 · ( バツ 3)’ = 2 3 バツ 2 = 6バツ 2 .

明らかに、初等関数は加算、乗算、除算などを行うことができます。これは、特に初歩的なものではなく、次の点に関して微分可能な新しい関数がどのように現れるかです。特定のルール。これらのルールについては以下で説明します。

和と差の導関数

関数を与えてみよう f(バツ）そして g(バツ)、その派生物は私たちに知られています。たとえば、上で説明した基本関数を取り上げることができます。次に、これらの関数の和と差の導関数を求めることができます。

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

したがって、2 つの関数の和 (差) の導関数は、導関数の和 (差) と等しくなります。さらに用語があるかもしれません。例えば、（ f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

厳密に言えば、代数学には「引き算」という概念はありません。「マイナス要素」という概念があります。したがって、違いは f − g合計として書き換えることができます f+(-1) gそうすると、合計の導関数という式が 1 つだけ残ります。

f(バツ) = バツ 2 + 罪 x; g(バツ) = バツ 4 + 2バツ 2 − 3.

関数 f(バツ) は 2 つの初等関数の合計であるため、次のようになります。

f ’(バツ) = (バツ 2 + 罪バツ)’ = (バツ 2)’ + (罪バツ)’ = 2バツ+cosx;

関数についても同様に推論します g(バツ）。 (代数の観点から) すでに 3 つの項だけが存在します。

g ’(バツ) = (バツ 4 + 2バツ 2 − 3)’ = (バツ 4 + 2バツ 2 + (−3))’ = (バツ 4)’ + (2バツ 2)’ + (−3)’ = 4バツ 3 + 4バツ + 0 = 4バツ · ( バツ 2 + 1).

答え：
f ’(バツ) = 2バツ+cosx;
g ’(バツ) = 4バツ · ( バツ 2 + 1).

製品の派生品

数学は論理科学であるため、多くの人は、和の導関数が導関数の和に等しい場合、積の導関数は次のようになると信じています。ストライク">導関数の積に等しい。しかし、大したことはない!積の導関数は、まったく異なる式を使用して計算されます。つまり、次のようになります。

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

公式は単純ですが、忘れられがちです。そして小学生だけでなく学生も。その結果、問題が誤って解決されてしまいます。

タスク。関数の導関数を求めます。 f(バツ) = バツ 3cosx; g(バツ) = (バツ 2 + 7バツ− 7) ・ e バツ .

関数 f(バツ) は 2 つの初等関数の積なので、すべてが単純です。

f ’(バツ) = (バツ 3コスバツ)’ = (バツ 3) 'cos バツ + バツ 3 (cos バツ)’ = 3バツ 2コスバツ + バツ 3 (−罪バツ) = バツ 2(3コス) バツ − バツ罪バツ)

関数 g(バツ) 最初の要素はもう少し複雑ですが、一般的なスキームこれは変わりません。明らかに、関数の最初の要素は g(バツ) は多項式であり、その導関数は合計の導関数です。我々は持っています：

g ’(バツ) = ((バツ 2 + 7バツ− 7) ・ e バツ)’ = (バツ 2 + 7バツ− 7)」・ e バツ + (バツ 2 + 7バツ− 7) ( e バツ)’ = (2バツ+ 7) · e バツ + (バツ 2 + 7バツ− 7) ・ e バツ = e バツ· (2 バツ + 7 + バツ 2 + 7バツ −7) = (バツ 2 + 9バツ) · e バツ = バツ(バツ+9)・ e バツ .

答え：
f ’(バツ) = バツ 2(3コス) バツ − バツ罪バツ);
g ’(バツ) = バツ(バツ+9)・ e バツ .

最後のステップで導関数が因数分解されることに注意してください。正式にはこれを行う必要はありませんが、ほとんどの導関数はそれ自体で計算されるのではなく、関数を調べるために計算されます。これは、さらに導関数がゼロに等しくされ、その符号が決定されることなどを意味します。このような場合には、式を因数分解した方がよいでしょう。

機能が2つある場合 f(バツ）そして g(バツ）、そして g(バツ) ≠ 0 は関心のあるセット上で定義できます。新機能 h(バツ) = f(バツ)/g(バツ）。このような関数については、導関数を見つけることもできます。

弱くないですよね？マイナスはどこから来たのですか？なぜ g 2? そしてこんな感じで！これは最も重要なものの 1 つです複雑な数式- ボトルがないとわかりません。したがって、それを勉強した方が良いです具体例.

タスク。関数の導関数を求めます。

各分数の分子と分母には初等関数が含まれているため、必要なのは商の導関数の公式だけです。

伝統に従って、分子を因数分解します。これにより、答えが大幅に単純化されます。

複雑な関数は、必ずしも長さ 0.5 キロメートルの式であるとは限りません。たとえば、次の関数を取るだけで十分です f(バツ) = 罪バツそして変数を置き換えますバツ、言う、オンバツ 2 + ln バツ。それはうまくいきます f(バツ) = 罪 ( バツ 2 + ln バツ) - これは複雑な関数です。導関数もありますが、上で説明したルールを使用してそれを見つけることはできません。

どうすればいいですか？このような場合、変数と式を複素関数の導関数に置き換えると、次のことが役立ちます。

f ’(バツ) = f ’(t) · t'、もしバツに置き換えられます t(バツ).

一般に、この公式を理解した場合の状況は、商の導関数を理解した場合よりもさらに悲惨です。したがって、具体的な例を挙げて説明することも良いでしょう。詳細な説明すべてのステップ。

タスク。関数の導関数を求めます。 f(バツ) = e 2バツ + 3 ; g(バツ) = 罪 ( バツ 2 + ln バツ)

関数内にある場合は、 f(バツ) 式 2 の代わりにバツ+3は簡単でしょうバツ、それなら何とかなるだろう初等関数 f(バツ) = e バツ。したがって、置換を行います: let 2 バツ + 3 = t, f(バツ) = f(t) = e t。次の式を使用して複素関数の導関数を求めます。

f ’(バツ) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

そして今 - 注目してください！逆の置換を実行します。 t = 2バツ+ 3. 次の結果が得られます。

f ’(バツ) = e t · t ’ = e 2バツ+ 3 (2 バツ + 3)’ = e 2バツ+ 3 2 = 2 e 2バツ + 3

それでは関数を見てみましょう g(バツ）。明らかに交換が必要ですバツ 2 + ln バツ = t。我々は持っています：

g ’(バツ) = g ’(t) · t’ = (罪 t)’ · t’ = cos t · t ’

逆置換: t = バツ 2 + ln バツ。それから：

g ’(バツ) = cos ( バツ 2 + ln バツ) · ( バツ 2 + ln バツ)’ = cos ( バツ 2 + ln バツ)・(2 バツ + 1/バツ).

それだけです！最後の式からわかるように、問題全体は導関数の合計を計算することに帰着します。

答え：
f ’(バツ) = 2 · e 2バツ + 3 ;
g ’(バツ) = (2バツ + 1/バツ)cos( バツ 2 + ln バツ).

私のレッスンでは、「微分」という言葉の代わりに「素数」という言葉をよく使います。たとえば、金額からの素数合計に等しいストローク。そのほうがわかりやすいでしょうか？まあ、それはいいですね。

したがって、導関数の計算は、結局のところ、上で説明したルールに従ってこれらの同じストロークを取り除くことになります。として最後の例有理指数を使用した導関数に戻りましょう。

(バツ n)’ = n · バツ n − 1

この役柄を知っている人はほとんどいない n小数でもよいでしょう。たとえば、ルートはバツ 0.5。根の下に何か派手なものがある場合はどうなりますか？繰り返しますが、結果は複雑な関数になります - 彼らはそのような構造を与えることを好みますテストそして試験。

タスク。関数の導関数を求めます。

まず、根を有理指数をもつ累乗として書き直してみましょう。

f(バツ) = (バツ 2 + 8バツ − 7) 0,5 .

ここで置換を行います。バツ 2 + 8バツ − 7 = t。次の式を使用して導関数を求めます。

f ’(バツ) = f ’(t) · t ’ = (t 0.5)」・ t’ = 0.5 · t−0.5・ t ’.

逆の置換を行ってみましょう。 t = バツ 2 + 8バツ− 7. 次のものがあります。

f ’(バツ) = 0.5 · ( バツ 2 + 8バツ−7)−0.5・( バツ 2 + 8バツ− 7)’ = 0.5 · (2 バツ+ 8) ( バツ 2 + 8バツ − 7) −0,5 .

最後に、ルーツに戻ります。

大砲の事前準備が完了すると、3-4-5 の関数のネストを持つ例はそれほど怖くなくなります。おそらく、次の 2 つの例は一部の人にとって複雑に見えるかもしれませんが、それらを理解していれば (誰かが苦労するでしょう)、他のほとんどすべてのことは理解できます。微分積分子供の冗談のように思われるでしょう。

例 2

関数の導関数を求める

すでに述べたように、複素関数の導関数を求めるときは、まず次のことが必要です。右自分の投資を理解しましょう。疑問がある場合は、便利なテクニックを思い出してください。たとえば、「x」の実験値を使用して、（頭の中で、または草案の中で）次の値を代入してみます。与えられた値「ひどい表現」に。

1) まず式を計算する必要があります。これは、合計が最も深い埋め込みであることを意味します。

2) 次に、対数を計算する必要があります。

4) 次にコサインを 3 乗します。

5) 5 番目のステップでの違いは次のとおりです。

6) そして最後に、最も外側の関数は平方根です。

複素関数を微分するための公式最も外側の関数から最も内側の関数へ、逆の順序で適用されます。私たちが決めます：

エラーはないようです:

1) 平方根の導関数を求めます。

2) ルールを使用して差の微分を計算します。

3) トリプルの導関数はゼロです。第 2 項では、次数 (3 乗) の導関数を計算します。

4) コサインの導関数を求めます。

6) そして最後に、最も深い埋め込みの導関数を取得します。

難しすぎるように思えるかもしれませんが、これは最も残酷な例ではありません。たとえば、クズネツォフのコレクションを考えてみると、分析された派生物のすべての美しさとシンプルさが理解できるでしょう。学生が複素関数の導関数の求め方を理解しているか理解していないかを確認する試験でも、彼らは同じようなことをするのが好きなことに気づきました。

次の例は、独立した決定.

例 3

関数の導関数を求める

ヒント: まず、線形性ルールと積微分ルールを適用します。

レッスンの最後に完全な解答と答えが表示されます。

より小さくて優れたものに移行する時が来ました。
2 つではなく 3 つの関数の積を示す例も珍しくありません。 3 つの因子の積の導関数を求めるにはどうすればよいですか?

例 4

関数の導関数を求める