家炉と加熱システム四角形に内接する円の半径。内接と丸で囲む

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四角形に内接する円の半径。内接と丸で囲む

ひし形はすべての辺が等しい平行四辺形です。したがって、これは平行四辺形の特性をすべて継承します。つまり:

ひし形の対角線は互いに直角です。
ひし形の対角線は内角の二等分線です。

対辺の和が等しい場合に限り、円は四角形に内接することができます。
したがって、任意の菱形に円を内接することができます。内接円の中心はひし形の対角線の交点と一致する。
ひし形の内接円の半径はいくつかの方法で表現できます

1方向。高さを通るひし形の内接円の半径

ひし形の高さは内接円の直径に等しい。これは、内接円の直径とひし形の高さによって形成される長方形の特性、つまり長方形の対辺が等しいことに由来します。

したがって、ひし形の内接円の半径を高さから求める公式は次のようになります。

方法2。ひし形の内接円の対角線を通る半径

ひし形の面積は内接円の半径で表すことができます
、どこ R– ひし形の周囲。外周が四角形のすべての辺の合計であることがわかっているので、次のようになります。 P= 4×a.それから
しかし、ひし形の面積も対角線の積の半分に等しい
面積公式の右辺を等しくすると、次の等式が得られます。
その結果、ひし形の内接円の対角線を通る半径を計算できる式が得られます。

対角線がわかっている場合にひし形に内接する円の半径を計算する例
対角線の長さが 30 cm と 40 cm であることがわかっている場合、ひし形に内接する円の半径を求めます。
させて あいうえお-ひし形、それでは 交流。そして BDその対角線。 AC= 30cm 、BD=40cm
要点を述べましょう について- これはひし形に内接するの中心です あいうえお円の場合、それは対角線の交点にもなり、対角線を半分に分割します。

ひし形の対角線は直角に交わるので、三角形は AOB長方形。すると、ピタゴラスの定理より、
、先ほど取得した値を式に代入します

AB= 25cm
先ほど導いたひし形の外接円の半径の公式を適用すると、

3ウェイ。線分 m と n を通るひし形の内接円の半径

ドット F– 円とひし形の辺が接する点で、円をセグメントに分割します。 A.F.そして BF。させて AF=m、BF=n。
ドット ○– ひし形の対角線とそれに内接する円の中心の交点。
三角形 AOB– 長方形、ひし形の対角線が直角に交差するため。
、なぜなら円の接点に描かれた半径です。したがって、の– 三角形の高さ AOB斜辺まで。それから A.F.そして BF斜辺への脚の投影。
直角三角形の斜辺までの高さは、斜辺までの脚の投影間の平均比例です。

線分を通るひし形の内接円の半径の公式は、円の接点がひし形の辺を分割するこれらの線分の積の平方根に等しくなります。

円が角の内側にあり、その側面に接している場合、その円はこの角に内接していると呼ばれます。このような内接円の中心は、 この角度の二等分線.

それが凸多角形の内側にあり、そのすべての側面に接している場合、それは凸多角形に内接されていると呼ばれます。

三角形に内接する円は、この図形の各辺に 1 点だけで接しています。 1つの三角形に内接する円は1つだけです。

このような円の半径は、三角形の次のパラメータによって異なります。

三角形の辺の長さ。
そのエリア。
その周囲。
三角形の角度の測定。

三角形の内接円の半径を計算するために、上記のパラメータをすべて知る必要はありません。これらのパラメータは三角関数を通じて相互に関連付けられているためです。

半周長を使用した計算

幾何学的図形のすべての辺の長さがわかっている場合 (a、b、c の文字で表します)、半径は次のように計算する必要があります。平方根.
計算を開始するときは、初期データにもう 1 つの変数、半周長 (p) を追加する必要があります。すべての長さを合計し、その合計を 2 で割ることで計算できます。p = (a+b+c)/2。このようにして、半径を求める式を大幅に簡素化できます。
一般に、式には分数が置かれる根号の符号が含まれている必要があり、この分数の分母は半周長 p の値になります。
この分数の分子は、差 (p-a)*(p-b)*(p-c) の積になります。
したがって、全景式は次のように表されます: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p)。

三角形の面積を考慮した計算

わかっていれば 三角形の面積これにより、根を抽出することなく、関心のある円の半径を見つけることができます。

まず、領域のサイズを 2 倍にする必要があります。
結果はすべての辺の長さの合計で除算されます。すると、式は次のようになります: r = 2*S/(a+b+c)。
半周長の値を使用すると、r = S/p という非常に単純な式が得られます。

三角関数を使った計算

問題文に 1 つの辺の長さ、反対側の角のサイズ、周囲長が含まれている場合は、次のように使用できます。三角関数- 接線。この場合、計算式は次のようになります。

r = (P /2- a)* tg (α/2)、ここで、r は目的の半径、P は外周、a は一方の辺の長さ、α は反対側の値、角度。

正三角形に内接する円の半径は、r = a*√3/6 の公式を使用して求めることができます。

直角三角形に内接する円

直角三角形に収まります たった一つの円。このような円の中心は、同時にすべての二等分線の交点としても機能します。この幾何学的図形にはいくつかの特徴があります特徴的な機能、内接円の半径を計算するときに考慮する必要があります。

まず、指定されたパラメータを使用して直角三角形を構築する必要があります。このような図は、1 つの辺のサイズと 2 つの角度の値、または 2 つの辺とこれらの辺の間の角度によって作成できます。これらのパラメータはすべてタスク条件で指定する必要があります。三角形は ABC で示され、C が頂点になります。直角。脚は変数で指定されます。あそして b、斜辺は変数ですと.
古典的な公式を構築して円の半径を計算するには、問題文で説明されている図形のすべての辺の寸法を見つけ、それらから半周長を計算する必要があります。条件で 2 本の脚のサイズが指定されている場合は、それらを使用して、ピタゴラスの定理に基づいて斜辺のサイズを計算できます。
条件が 1 本の足の大きさと 1 つの角度を与える場合、この角度が隣接しているか反対であるかを理解する必要があります。最初のケースでは、正弦定理を使用して斜辺が求められます。 с=a/sinСАВ、2 番目のケースでは、コサイン定理が適用されます。 c=a/cosCBA.
すべての計算が完了し、すべての辺の値がわかったら、上記の公式を使用して半周長が求められます。
半周のサイズがわかれば、半径を求めることができます。式は分数です。その分子は半周長と各辺の差の積であり、分母は半周長の値です。

この式の分子は面積指標であることに注意してください。この場合、半径を求める公式ははるかに単純です。面積を半周で割れば十分です。

幾何学図形の両辺がわかっていても面積を求めることができます。これらの脚の二乗の合計を使用して斜辺が見つかり、半周長が計算されます。脚の値を掛け合わせ、その結果を 2 で割ることで面積を計算できます。

条件で両方の脚と斜辺の長さが指定されている場合、半径は非常に簡単な公式を使用して決定できます。このために、脚の長さを加算し、その結果から斜辺の長さを差し引きます。番号。結果は半分に分割する必要があります。

ビデオ

このビデオでは、三角形に内接する円の半径を求める方法を学びます。

質問に対する答えが得られませんでしたか? 著者にトピックを提案します。

三角形に内接する円

三角形に内接する円の存在

定義を思い出してみましょう角の二等分線 .

定義 1 .角の二等分線角度を 2 つの等しい部分に分割する光線と呼ばれます。

定理 1 (角の二等分線の基本特性) 。角の二等分線の各点は、角の辺から同じ距離にあります (図 1)。

米。 1

証拠 D 、角の二等分線上にありますBAC 、そして DE そして DF 角の側面にあります (図 1)。直角三角形 ADF そしてアデ等しい、それらは等しい鋭角を持っているため、DAF そして DAE 、および斜辺広告 - 一般的な。したがって、

DF = DE、

Q.E.D.

定理 2 (定理 1 の逆の定理) 。ある場合、それは角の二等分線上にあります (図 2)。

米。 2

証拠。任意の点を考えるD 、角の内側に横たわっているBAC 角の側面から同じ距離に位置します。要点から落としましょうD 垂線 DE そして DF 角の側面にあります (図 2)。直角三角形 ADF そしてアデ等しい、足が等しいのでDF そして DE 、および斜辺広告 - 一般的な。したがって、

Q.E.D.

定義 2 。サークルの名前は、 角に内接する円 、この角度の辺であれば。

定理3 。円が角に内接する場合、角の頂点から円と角の辺との接点までの距離は等しくなります。

証拠。要点を述べましょう D – 角度に内接する円の中心BAC 、そしてポイント E そして F – 円と角の辺との接触点 (図 3)。

図3

ある , b , c - 三角形の辺、  S -四角、

r – 内接円の半径、  p – 半周

数式の出力を表示する

ある – 二等辺三角形の側面 ,   b - ベース、 r – 内接円半径

ある r – 内接円半径

数式の出力を表示する

どこ

二等辺三角形の場合、

我々が得る

それが必要なものでした。

定理7 。平等のために

どこある - 正三角形の辺、r – 内接円の半径（図8）。

米。 8

証拠 .

次に、正三角形の場合、

b = a、

我々が得る

それが必要なものでした。

コメント 。練習として、正三角形に直接内接する円の半径の公式を導き出すことをお勧めします。任意の三角形または二等辺三角形に内接する円の半径の一般公式を使用せずに。

定理8 。のために直角三角形平等は真実です

どこある , b – 直角三角形の脚、 c – 斜辺 , r – 内接円の半径。

証拠。図 9 を考えてみましょう。

米。 9

四角形なのでCDOF は、隣接する辺がありますするそしてのが等しい場合、この長方形は . したがって、

CB = CF = r、

定理 3 により、次の等式が成り立ちます。

したがって、も考慮すると、次のようになります。

それが必要なものでした。

「三角形に内接する円」をテーマにした問題を集めました。

二等辺三角形に内接する円は、接触点で側面の 1 つを 2 つのセグメントに分割し、その長さは底辺の反対側の頂点から数えて 5 と 3 になります。三角形の周囲長を求めます。

三角形 ABC AC=4、BC=3 では、角度 C は 90°です。内接円の半径を求めます。

直角二等辺三角形の脚は 2+ です。この三角形に内接する円の半径を求めます。

直角二等辺三角形に内接する円の半径は2です。この三角形の斜辺cを求めます。回答には c(-1) と明記してください。

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直角二等辺三角形に内接する円の半径はに等しい。この三角形の斜辺を求めます。回答に明記してください。

三角形は長方形で二等辺です。つまり足も同じということになります。それぞれの脚を均等にしましょう。すると斜辺は等しい.

三角形 ABC の面積は 2 つの方法で書きます。

これらの式を等価すると、次のようになります。。なぜなら、わかりました。それから.

返事を書きます.

答え：.

タスク2。

1. フリーには10cmと6cmの2辺（AB、BC）があります。外接円と内接円の半径を求めます
問題はコメントによって個別に解決されます。

解決：

で.

1) 検索:
2) 証明します:そしてCKを見つけます
3) 検索: 外接円と内接円の半径

解決：

タスク6。

R 正方形に内接する円の半径は。この正方形に外接する円の半径を求めます。与えられた :

探す:OS=?
解決: この場合、問題はピタゴラスの定理または R の公式のいずれかを使用して解決できます。R の公式は定理から導かれるため、2 番目のケースの方が簡単です。

タスク7。

直角二等辺三角形に内接する円の半径は2です。斜辺を求めます。とこの三角形。回答に明記してください.

S – 三角形領域

三角形の辺も面積もわかりません。脚を x で表すと、斜辺は次と等しくなります。

そして三角形の面積は0.5倍になります 2 .

手段

したがって、斜辺は次と等しくなります。

答えには次のように書く必要があります。

答え: 4

タスク8。

三角形 ABC AC = 4、BC = 3、角度 C 90 0 に相当します。内接円の半径を求めます。

三角形に内接する円の半径の公式を使用してみましょう。

ここで、a、b、c は三角形の辺です

S – 三角形領域

2 つの辺 (これらは脚) がわかっているので、3 番目の辺 (斜辺) を計算することができ、面積も計算できます。

ピタゴラスの定理によれば、次のようになります。

エリアを見つけてみましょう:

したがって：

答え: 1

タスク9。

二等辺三角形の辺は5、底辺は6です。内接円の半径を求めます。

三角形に内接する円の半径の公式を使用してみましょう。

ここで、a、b、c は三角形の辺です

S – 三角形領域

すべての辺がわかったので、面積を計算しましょう。ヘロンの公式を使用してそれを見つけることができます。

それから

三角形に内接する円を考えてみましょう(図302)。その中心 O が三角形の内角の二等分線の交点にあることを思い出してください。 O と三角形 ABC の頂点を接続するセグメント OA、OB、OC は、三角形を 3 つの三角形に分割します。

AOB、BOS、SOA。これらの三角形のそれぞれの高さは半径に等しいため、その面積は次のように表されます。

三角形全体の面積 S は、次の 3 つの面積の合計に等しくなります。

ここで、は三角形の半周長です。ここから

内接円半径比率に等しい三角形の半周までの面積。

三角形の外周半径を求める公式を得るには、次の命題を証明します。

定理 a: どの三角形でも、辺は外接円の直径に反対角の正弦を乗じた値に等しい。

証拠。任意のことを考えてみましょう三角形ABCそしてその周りに描かれる円、その半径はRで示されます（図303）。 A を三角形の鋭角とします。円の半径 OB、OS を描き、その中心 O から三角形の辺 BC に垂線 OK を下ろしましょう。三角形の角度 a は円弧 BC の半分で測定され、角度 BOC は次のようになります。中心角。このことから、であることが明らかです。したがって、直角三角形 RNS から、またはを見つけます。これは、証明する必要があるものです。