授業概要
三角角和定理
1. フルネーム: サイフェトディノワ・グルナラ・ヴァシレヴナ
2. 勤務先: 市立予算教育機関「クニャゼフスカヤ中等教育機関」 総合的な学校» タタールスタン共和国のトゥカエフスキー地区
3. 役職: 数学の先生
4. アイテム: 幾何学
5. クラス: 中学1年生
6. レッスンのテーマ: 点から線までの距離。 平行線間の距離。
7. 基本チュートリアル: 幾何学.7-9 年生用の教科書 教育機関/認証。 L.S. アタナシアン、V.F. ブトゥーゾフ
S.B. カドムツェフら、2010
8.目標:
活動目標:点から線に落とした斜角と垂直の性質、平行線上の点の等距離定理を独立に定式化して証明するための条件を作成します。 新しい知識と活動方法を認識、理解し、最初に定着させるために生徒の活動を組織します。
教育目標:
主題：
問題を解くときに点から線までの距離、線間の距離の概念を適用する
メタ件名:
規制 UUD:
認知的 UUD:
コミュニケーション型 UUD:
個人用 UUD:
10.
指導方法：問題がある、研究。
11.教育活動の実施形態: 正面、グループ、ペア、個人、トレーニング構造。
12.設備、 技術仕様:
パソコン、プロジェクター、スクリーン、インターネット、 ソフトウェア: Microsoft PowerPoint、クラスの座席 - テーブルに 4 人。
13.レッスン時間：45分
14.授業計画
私 . 整理の時間。
Ⅱ 。 知識を更新しています。
Ⅲ 。 レッスンの目標を設定する . 新素材のご紹介。
VI. 要約します。 反射。
私 . 整理の時間。
目標： 学生を仕事に向けて準備させ、すぐに活動に参加できるように注意を促します。
教師 ：こんにちは、皆さん？ ご気分はいかがですか？ 彼を育てて笑顔でレッスンを始めましょう！ パートナーの顔を見て笑顔になろう！ パートナーの肩を持って笑顔になろう！
Ⅱ . 知識を更新しています。
教師 ：もう半年くらい勉強しているんですね 新商品幾何学と定理が何であるかはおそらくご存知でしょう。 どのような証明方法を知っていますか?
生徒の考えられる答え: 矛盾による方法、構成的方法、公理および以前に証明された定理に基づく証明方法 (スライド No. 2)。
教師： 皆さん、距離という言葉から何を連想しますか?
生徒の考えられる答え: 都市間の距離、柱間の距離、何かと何かの距離 (スライド番号 3)。
教師： 2 点間の距離はどれくらいですか?
生徒の考えられる答え: セクションの長さ (スライド番号 4)。
教師： に予約してください 技術地図段落1で
教師： 幾何学において、距離は最短距離を指すことに注意してください。 2項の技術マップに記入します。
教師： 直線ANと直線aの相対位置について何が言えるでしょうか?
教師： これらの行は何と呼ばれていますか?
教師： あ セグメント AN の名前は何ですか?
教師： 覚えておいてください: 垂線は線分です。 3項の技術マップに記入します。
Ⅲ. レッスンの目標を設定します。新素材のご紹介。
教師： 実践的なタスク:
私たちは野原の中にいます。野原の中を道路が通っています。 描く 数学的モデル状況。 出発する必要があります。 軌跡を描きます (スライド No. 6)。
教師： どうやって判断すればいいのか 数学的言語この軌跡？ 生徒の考えられる答え: 垂直
教師： なぜだめですか？ –
名前を付けてみてください (スライド番号 7)。
生徒の考えられる答え: 傾いています。
教師： この点から何本の斜めの線を引くことができますか?
生徒の考えられる答え: たくさんの。
(スライド番号 7)。
教師： では、最短経路は垂線だと思いますか？ 証明する。
教師： ここで、傾斜した線は垂直線よりも大きいことを証明します。
写真には何が見えますか？
生徒の考えられる答え: 直角三角形 (スライド No. 8)。
教師： この三角形の垂直と斜の名前は何ですか? 生徒の考えられる答え: 脚と斜辺。
教師： なぜ斜辺は脚よりも大きいのでしょうか?
生徒の考えられる答え: 大きい角度の反対側が大きい側になります。 直角三角形の最大の角が直角です。 その反対側には斜辺があります。
教師。 他にセグメント AC と呼べるものは何でしょうか? 仕事の内容に戻ってみるとどうでしょうか？
生徒の考えられる答え: 点から線までの距離 .
教師： 「点から線までの距離は...（この点から線に引いた垂線の長さ）」という定義を定式化します（スライド No. 9）。 4項の技術マップに記入します。
教師： 実践的なタスク。
点Bから直線Aまでの距離を求めます D そして直流 三角形と定規を使って描く (スライド No. 10)。
教師： 実践的なタスク。 2 本の平行線 a と b を作成します。 直線 a 上で点 A をマークします。点 A から直線 b に垂線を下ろします。 垂線の根元に点 B を配置します。
セグメント AB について何が言えますか? (スライド番号 11)。
線aと線bの両方に垂直です。
教師： したがって、これは共通垂線と呼ばれます（スライド No. 13）。 5項の技術マップに記入します。
教師： 6項の技術マップに記入します。
教師：タスク。 長い廊下の床にはリノリウムを敷く必要があります。 2 つの向かい合う壁は平行であることが知られています。 廊下の一方の端に共通の垂線が引かれましたが、その長さは 4 m であることが判明しました。廊下の他の場所の共通の垂線の長さを再確認する価値はありますか。 (スライド番号 14)。
生徒の考えられる答え: 必要はありません。長さも 4 になります。
教師： 証明する。 しかしその前に、この状況の数学的モデルを描きます。 証明するには、ハイライトしてください 何がわかっていて、何が証明される必要があるのか。
幾何学において線分と角度が等しいことは通常どのように証明されるのでしょうか?
生徒の考えられる答え: これらの線分と角度を含む三角形が等しいことによって。 これらの三角形が等しいことを証明できる構造を考え出します。
構造 シングルラウンドロビン:
2. チームの 4 人の生徒が 1 回ずつ回答します。
教師： 平等を証明する 三角形の等価性による線分 AB と CD . 看板に三角形の等価性テストの 3 つの条件を書きます。
1.先生は質問をして考える時間を与えます
生徒は追加の作図を実行し、三角形が等しいことを証明し、線分 AB と CD が等しいかどうかについて結論を導き出します (スライド No. 15-17)。
教師： セグメント ABとCDは等しい。 直線 BD に対する点 A と点 C について何が言えるでしょうか?
生徒の考えられる答え: それらは等距離にあります。 それらは等距離にあります (スライド番号 18)。
教師： このプロパティはポイントに当てはまりますか?
生徒の考えられる答え: はい
教師： この性質を定式化してみましょう。 プロパティステートメントは何で構成されていますか?
生徒の考えられる答え: 条件と結論から (スライド番号 19、20)。
生徒の考えられる答え: 点が平行線上の 1 つにある場合、2 番目の線から等距離になります。
教師： このプロパティを接続詞なしで編集します: if、then (スライド番号 21)。
生徒の考えられる答え: 平行線の 1 つにある点は、2 番目の線から等距離にあります。
思考-書き込み-ラウンドロビン構造:
1.先生は質問をして考える時間を与えます
2. 生徒は答えを考えて紙に書きます
3. 生徒は順番に紙の答えを読みます。
教師： どのステートメントが逆と呼ばれますか?
生徒の考えられる答え: 条件と結論が入れ替わったら。
教師： 反対のステートメントを作成する (スライド番号 22)。
生徒の考えられる答え: 2 つの直線のうちの 1 つにある点が 2 番目の直線から等距離にある場合、その直線は平行です。
教師： 段落 7、8 の技術マップにエントリを作成します。
教師： 平行線間の距離などの概念を定義することは可能でしょうか?
生徒の考えられる答え: はい
教師： 平行線間の距離と呼べるもの
生徒の考えられる答え: 共通垂線の長さ。 5項の技術マップに記入します。
IV. 定理の応用、実行実践的な仕事。
教師： 実践的な作業。 ストリップの幅を求めます。
ストリップの幅とはどのような数学的概念ですか?
教師： どこで 実際の生活これらの定理は今でも当てはまりますか?
VI. 要約します。 反射。
教師： どのような新しい概念に慣れましたか?
レッスンで何を学びましたか?
これを人生のどこに適用するのでしょうか？
(スライドNo.26-28)
教師： 9項の技術マップに記入します。
宿題 No. 276.279 – 逆定理の証明。
レッスンの自己分析
目標:
活動目標:点から直線に落とした傾斜と垂直の性質を独立して定式化して証明するための条件を作成し、平行線上の点の等距離に関する定理を証明するための条件を作成します。 新しい知識と活動方法を認識、理解し、最初に定着させるために生徒の活動を組織します。
教育目標:垂線は、ある点から直線に引かれたどの傾きよりも小さく、2 本の平行線のそれぞれのすべての点が他の直線から等距離にあるという知識を発展させます。
主題：学生は次のことを学ぶ機会があります。
定理を適用して実際的な問題を解決する
実際的な問題を解決するために、分析、比較、一般化して結論を導き出します。
メタ件名:
規制 UUD:
独立して目標を設定し、教育的な数学的問題を解決するためのアルゴリズムを選択および作成する能力。
研究課題の解決を目的とした活動を計画し実行する能力。
認知的 UUD:
因果関係を確立し、論理的な推論、推論、結論を構築する能力。
教育上の問題を解決する際に仮説を立て、それをテストする必要性を理解する能力。 帰納的および演繹的推論方法を使用して、問題を解決するためのさまざまな戦略を理解する能力。
科学の世界共通言語、現象とプロセスをモデル化する手段としての数学の考え方と方法についての初期アイデアを開発する。
説明、解釈、議論のために図面や図面を理解し、使用する能力。
コミュニケーション型 UUD:
教師と生徒との教育協力と共同活動を組織し、目標を決定し、参加者の機能と役割を分散する能力、 一般的な方法仕事;
グループで働く能力: 見つける 共通の決定そして、立場を調整し、利益を考慮し、パートナーの意見を聞き、自分の意見をまとめ、議論し、擁護することに基づいて対立を解決します。
個人用 UUD:
レッスン断片の構造は、新しい知識の発見に関するレッスンのタイプに対応していました。 教材の目標と内容に応じて、レッスンは次の段階に従って構成されました。
私 . 整理の時間。
Ⅱ 。 知識を更新しています。
Ⅲ 。 レッスンの目標を設定する . 新素材のご紹介。
IV. 定理の応用、実行 実務.
VI. 要約します。
全て 構造要素教訓は守られた。 組織 教育プロセスアクティビティメソッドを使用して構築されます。
最初のステージの目的学生をビジネスのリズムにすぐに溶け込ませるのは簡単でした。
第二段階では 新しい素材に取り組むために必要な知識が更新されました。
第三段階では点から直線までの距離の概念を定義するために、傾斜した線の概念が子供たちを魅了しました。 実践的な活動検索要素付き。 まず、直感的なレベルで、生徒たちは仮説を立て、次に、ある点から直線に引いた垂線と斜線の性質を独立して証明しました。
全然 実践的なタスク最初の定着期間も含め、レッスン全体を通してそれを使用しました。 これらは、生徒を独立した認知活動に引き付け、コンピテンシーに基づいた学習アプローチの問題を解決するのに役立ちます。
平行線上の点の等距離に関する定理を定式化して証明するために、私は問題のあるタスクを使用しました。これは、検討中のオブジェクトの特性に関する仮説の定式化と、その後の仮定の妥当性の証明の探索に貢献しました。フォワード。
定理の定式化、次に逆定理の定式化の作業を整理することで、目標を達成しました科学の世界共通言語、現象とプロセスをモデル化する手段としての数学の考え方と方法に関する初期アイデアの開発。
教育活動と認知活動は、フロントワーク、個人およびグループワークを通じて組織されました。 この組織により、生徒一人ひとりが目標を達成するための積極的な活動に参加することが可能になりました。 生徒たちはお互いに協力し合い、助け合いました。
時間は合理的に配分されていたと思います。 短期間で、点から直線、傾斜線、平行な直線間の距離までの距離の概念を導入し、2 つの定理を定式化して証明し、実際の定理の適用を検討することができました。
わかりやすくするために、レッスン中にプレゼンテーションを使用しました。 使用済み 特別番組斜線と垂直の長さを比較するデモンストレーションでは、幾何学的な形状が生き生きと浮かび上がります。 レッスン中、私はシグナルボード上での生徒の作業を使用しました。これにより、生徒のレッスンへの平等な参加、教材の学習の管理、そしてもちろん、生徒のレッスンへの参加の問題が解決されました。
生徒たちは授業中積極的で、私は定理の証明や定理の定式化といった建設的な方法で生徒たちを研究活動や創造的な活動に参加させることができました。
授業の最後に、生徒たちは自分たちでトピックを作成しました。
反射
このビデオレッスンは、「点から線までの距離」というトピックを独自に学習したい人に役立ちます。 平行線間の距離。」 レッスン中に、点から線までの距離を計算する方法を学びます。 次に、教師が平行線間の距離の定義を教えます。
このレッスンでは、その概念について学びます "距離"一般的に。 計算の場合にもこの概念を指定します。 2 点間の距離、点と線、平行線
図 1 を見てみましょう。図 1 には、2 つの点 A と B が示されています。2 つの点 A と B の間の距離は、次の点で終わる線分です。 与えられたポイント、つまりセグメント AB
米。 1. AB - 点間の距離
距離は 2 点を結ぶ曲線や破線とはみなせないことに注意してください。 距離- これは、ある地点から別の地点への最短経路です。 点 A と点 B を結ぶすべての可能な線の中で最小となる線分 AB です。
直線を示す図 2 を考えてみましょう。 あ、そしてこの直線に属さない点A。 地点からの距離あ 直線には垂直 AN の長さになります。
米。 2. AN - 点と線の間の距離
三角形 AMN ではこのセグメントが脚であり、点 A と線を結ぶ任意の他のセグメントであるため、AN が最短距離であることに注意することが重要です。 あ(この場合は AM) が斜辺になります。 ご存知のとおり、脚は常に斜辺よりも小さくなります
距離指定：
考えてみましょう 平行線図 3 に示す a と b
米。 3. 平行線 a と b
直線上の2点を固定しましょう あるそれらの垂線をそれに平行な線に落とします b. であることを証明しましょう。
証明の便宜上、セグメント AM を描画しましょう。 結果として得られる三角形 ABM と ANM を考えてみましょう。 以来 、そして 、その後 。 同じく、 。 これらの直角三角形 () は共通の辺 AM を持ちます。 両方の三角形の斜辺です。 角度 AMN と AMB は、平行な直線 AB と NM および割線 AM との内交差角です。 よく知られている性質によれば、 
.
上記のすべてから、次のことがわかります 
。 三角形の等価性から、AN = BM となります。
したがって、図 3 では、セグメント AN と BM が等しいことが証明されました。 だということだ 平行線間の距離はそれらの共通垂線の長さであり、垂線の選択は任意です。 したがって、 
逆もまた真です。特定の線から同じ距離にある一連の点は、指定された線に平行な線を形成します。
知識を集約していくつかの問題を解決しましょう
例1：教科書「幾何学7-9」の問題272。 著者 - アタナシアン L.S.
正三角形ABCには二等分線ADが描かれます。 点Dから直線ACまでの距離は6cm 点Aから直線BCまでの距離を求めます。
米。 4. 作図例1
解決：
正三角形は、3 つの等しい辺 (つまり、3 つの等しい角、つまりそれぞれ 60 0) を持つ三角形です。 正三角形は二等辺三角形の特殊なケースであるため、二等辺三角形に固有のすべての特性が正三角形にも当てはまります。 したがって、AD は二等分線であるだけでなく、高さでもあるため、AD ⊥BC
点 D から線 AC までの距離は、点 D から線 AC に引いた垂線の長さであるため、DH は次のようになります。 与えられた距離。 三角形の AND を考えてみましょう。 この場合、DH は AC に垂直であるため、角度 H = 90 0 になります (点から直線までの距離の定義による)。 さらに、この三角形では脚 DH が角度の反対側にあるため、AD = (cm) (特性による)
点Aから直線BCまでの距離は、直線BCに下ろした垂線の長さになります。 証明された AD ⊥BC によれば、それは を意味します。
答え: 12cmです。
例 2：教科書「幾何学7-9」の問題277。 著者 - アタナシアン L.S.
平行線aと平行線bの距離は3cm、平行線aと平行線cの距離は5cmです。平行線bと平行線cの距離を求めます。
解決：
米。 5. 作図例2（1例目）
なので、 = 5 - 3 = 2 (cm) となります。
ただし、この答えは不完全です。 平面上で直線を配置する別のオプションがあります。
米。 6. 作図例2（2例目）
この場合 。
- デジタルの単一コレクション 教育リソース ().
- 数学の家庭教師 ()。
- No. 280、283。 Atanasyan L. S.、Butuzov V. F.、Kadomtsev S. B.、Poznyak E. G.、Yudina I. I. 編集： Tikhonov A. N. 幾何学グレード 7 ～ 9。 M.: 啓蒙です。 2010年
- 斜辺 SE と脚 SC の合計 直角三角形 SKEは31cmに等しく、その差は3cmです。頂点Cから直線KEまでの距離を求めます。
- 二等辺三角形 ABC の AB に基づいて、側面から等距離にある点 M が取られます。 CMが三角形ABCの高さであることを証明してください
- 与えられた線の片側に位置し、そこから等距離にある平面のすべての点が、与えられた線に平行な線上にあることを証明します。
証拠。
ポイントを見てみましょう 、直線上にあります ある、次に点の座標 M1方程式を満たす
つまり、等価性は真です
、私たちが持っているところから 
.
もし font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana"> bのように見えるfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">、および if、次に直線の正規方程式 bのように見えるfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">。
その後、 font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">点からの距離直線に b式で計算される、そしていつ - 式によると 
つまり、どのような値であっても C2距離地点から 直線に b次の式を使用して計算できます。 そして平等性を考慮すると、上記で取得した場合、最後の式は次の形式になります。font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">. 定理は証明されました。
2. 平行線間の距離を求める問題を解く
例その1。
平行線間の距離を求めるそして 
解決。
与えられた平行線に対する一般方程式を求めてみましょう。
ストレート用 フォントサイズ:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">は直線の一般方程式に相当します
。 次の形の直線のパラメトリック方程式から話を進めましょう。font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">この行の一般式に次のように代入します。
フォントサイズ:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">変数の係数 バツそして y受信した 一般方程式平行線は等しいので、次の式をすぐに適用して、平面上の平行線間の距離を計算できます。
.
答え： フォントサイズ:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">例 2。
導入された飛行機内 長方形システム座標 オキシ 2 本の平行線の方程式が与えられると、そして 
。 示された平行線間の距離を求めます。
解決：
最初の解決策。
形状平面上の直線の正準方程式フォントサイズ:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">点の座標をすぐに記録できるようになります M1この線上にあります:フォントサイズ:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">。この点から直線までの距離平行線間の必要な距離に等しい。 方程式は直線の正規方程式なので、点からの距離をすぐに計算できます。直線に font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">:
.
2番目の解決策。
与えられた平行線の 1 つの一般方程式はすでに与えられています。font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">。線の標準方程式を提示しましょう。直線の一般方程式は次のようになります。
。 変数の係数 バツ一般方程式では、与えられた平行線は等しくなります (変数を使用すると、 y係数も等しい - ゼロです)。そのため、指定された平行線間の距離を計算できる式を使用できます。
.
答え: 8
3. 宿題
セルフテストタスク
1. 2 本の平行線の間の距離を求める
4.結論
設定された目標と目的はすべて完全に達成されました。 「点から線までの距離」というトピックの「平面上のオブジェクトの相対的配置」セクションから 2 つのレッスンが展開されました。 座標法を使用した「平行線間の距離」。 この教材は学生がアクセスできるレベルで選択されており、よりシンプルで美しい方法で幾何学の問題を解決できるようになります。
5. 参考文献
1) 、ユディナ。 7 ～ 9 年生: 一般教育機関向けの教科書。
2) 、ポズニャク。 中学校 10 ～ 11 年生向けの教科書。
3) 、ニコルスキー数学。 第 1 巻: 線形代数と解析幾何学の要素。
4) 、ポズニャク幾何学。
6.アプリケーション
参考資料
直線の一般方程式:
ああ + ウー + C = 0 ,
どこ あそして で同時にゼロに等しくない。
オッズ あそして で座標です 法線ベクトル 直線（つまり、その線に垂直なベクトル）。 で A = 0 軸に平行な直線 おお、 で B = 0 軸に平行な直線 について Y .
で で0 を取得します 傾きのある直線の方程式 :
点を通る直線の方程式 ( バツ 0 , で 0) 軸に平行ではないああの形式は次のとおりです。
で – で 0 = メートル (バツ – バツ 0) ,
どこ メートル – スロープ 、指定された直線と軸の正の方向によって形成される角度の正接に等しい おお .
で あ font-size:12.0pt;font-family:Verdana;color:black"> 
どこ ある = – C / あ , b = – C / B 。 この線は点 (ある、0) と (0、 b)、つまり、座標軸上の長さのセグメントを切り取ります。あるそして b .
2つを通る直線の方程式 いろいろな点 (バツ 1, で 1) と ( バツ 2, で 2):
直線のパラメトリック方程式 ポイントを通過（ バツ 0 , で 0) と平行 方向ベクトル直線 (ある, b) :
平行線の条件:
1) 直線の場合 ああ+呉+C = 0とDx+Ey+F = 0: A.E. – BD = 0 ,
2) 直線の場合 で = メートル バツ+ k そして で= p バツ+ q : メートル = p .
新しい Verd ファイルを作成して、このような興味深いトピックを続けるまで、1 分も経過していませんでした。 仕事の雰囲気の瞬間を捉える必要があるため、叙情的な紹介はありません。 ありきたりなスパンキングがあるでしょう =)
2 つの直線スペースには次のことができます。
1) 交雑する。
2) 点で交差します。
3) 平行であること。
4) 一致する。
ケースNo.1は他のケースとは根本的に異なります。 2 つの直線は、同じ平面上にない場合は交差します。。 一方の腕を上げ、もう一方の腕を前に伸ばします。これはラインを横切る例です。 点 No. 2 ～ 4 には直線がなければなりません 一つの飛行機で.
空間内の線の相対位置を調べるにはどうすればよいでしょうか?
2 つの直接スペースを考えてみましょう。
– 点と方向ベクトルによって定義される直線。
– 点と方向ベクトルによって定義される直線。
のために より良い理解概略図を作成しましょう。 
図では例として交差する直線を示している。
これらの直線にどう対処すればよいでしょうか?
点がわかっているので、ベクトルを見つけるのは簡単です。
真っ直ぐなら 交雑する、次にベクトル 同一平面上にない(レッスンを参照 ベクトルの線形 (非) 依存性。 ベクトルの基礎)、したがって、それらの座標で構成される行列式は非ゼロになります。 または、実際にはどちらが同じで、ゼロ以外になります。 
.
ケース No. 2 ～ 4 では、構造は 1 つの平面に「落ち」、ベクトルは 同一平面上にある、線形従属ベクトルの混合積はゼロに等しくなります。 
.
アルゴリズムをさらに拡張してみましょう。 そのふりをしてみましょう 
したがって、線は交差するか、平行になるか、一致します。
方向ベクトルが 同一直線上にあるの場合、線は平行または一致します。 最後の釘については、次のテクニックを提案します。1 つの線上の任意の点を取得し、その座標を 2 番目の線の方程式に代入します。 座標が「一致する」場合、線は一致します。「一致しない」場合、線は平行です。
アルゴリズムはシンプルですが、 実践例まだ傷つきません：
例 11
2本の線の相対位置を調べます
解決: 多くの幾何学問題と同様に、点ごとに解を定式化すると便利です。
1) 方程式から点と方向ベクトルを取り出します。
2) ベクトルを見つけます。
したがって、ベクトルは同一平面上にあります。これは、線が同じ平面上にあり、交差したり、平行したり、一致したりする可能性があることを意味します。
4) 方向ベクトルの共線性を確認してみましょう。
これらのベクトルの対応する座標からシステムを作成しましょう。
から みんなしたがって、方程式から、システムは一貫しており、ベクトルの対応する座標は比例し、ベクトルは同一直線上にあることがわかります。
結論: 線は平行または一致しています。
5) 線に共通点があるかどうかを調べます。 最初の線に属する点を取得し、その座標を線の方程式に代入してみましょう。 
したがって、 共通点直線はそうではなく、平行にするしかありません。
答え:
例 12
線の相対位置を調べます
これは自分で解決できる例です。 2 行目にパラメータとして文字が含まれていることに注意してください。 論理的。 一般に、これらは 2 つの異なる行であるため、各行には独自のパラメータがあります。
繰り返しになりますが、例をスキップしないでください。私が提案するタスクは決してランダムではありません ;-)
スペース内の線に関する問題
レッスンの最後の部分で考えてみたいと思います 最高額空間線に関するさまざまな問題。 この場合、ストーリーの元の順序が守られます。最初に交差する線、次に交差する線の問題を検討し、最後に空間内の平行線について説明します。 ただし、いくつかのタスクは、 このレッスン行の位置に関するいくつかのケースについて一度に定式化することができ、この点で、セクションの段落への分割は多少恣意的です。 他にもあります 簡単な例、他にもあります 複雑な例、皆さんも必要なものを見つけていただければと思います。
交差する線
直線が交差する平面が存在しない場合、直線は交差するということを思い出してください。 練習について考えているときに、モンスターの問題が頭に浮かびました。ここで、4 つの頭を持つドラゴンを紹介したいと思います。
例 13
直線が与えられます。 必須：
a) 線が交差することを証明する。
b) 与えられた線に垂直な点を通る線の方程式を求めます。
c) 以下を含む直線の方程式を作成します。 共通垂線境界線を越える。
d) 線間の距離を求めます。
解決: 歩く者は道を極める:
a) 線が交差していることを証明しましょう。 これらの線の点と方向ベクトルを見つけてみましょう。 
ベクトルを見つけてみましょう。
計算してみましょう ベクトルの混合積:
したがって、ベクトルは 同一平面上にないこれは線が交差していることを意味しており、これを証明する必要がありました。
おそらく誰もが、ラインを越える場合の検証アルゴリズムが最も短いことに長い間気づいていました。
b) 点を通り、直線に垂直な直線の方程式を求めます。 概略図を作成しましょう。 
変更のために、私は直接投稿しました 後ろにまっすぐですが、交差点で少し消されているのを見てください。 交配？ はい、通常、直線「で」は元の直線と交差します。 この瞬間には興味がありませんが、垂線を構築するだけで十分です。
直接的な「de」について何がわかっていますか? それに属する点はわかっています。 十分なガイドベクトルがありません。
条件によれば、直線は直線に垂直である必要があり、これは、その方向ベクトルが方向ベクトルに直交することを意味します。 例 9 ですでによく知られているので、ベクトル積を見つけてみましょう。
点と方向ベクトルを使用して、直線「de」の方程式を作成しましょう。
準備ができて。 原則として、分母の符号を変えて、次の形式で答えを書くことができます。 
, しかし、その必要はありません。
確認するには、結果の直線方程式に点の座標を代入し、次を使用する必要があります。 ベクトルのスカラー積ベクトルが方向ベクトル「pe one」および「pe two」に対して本当に直交していることを確認してください。
共通の垂線を含む直線の方程式を見つけるにはどうすればよいですか?
c) この問題はさらに難しくなります。 ダミーの人にはこの点は飛ばすことをお勧めします。解析幾何学に対するあなたの心からの同情を冷やしたくないのです =) ちなみに、より準備ができている読者も控えたほうが良いかもしれません。実際、この例は複雑さの点で次のとおりです。は記事の最後に配置する必要がありますが、プレゼンテーションのロジックに従ってここに配置する必要があります。
したがって、斜線の共通垂線を含む線の方程式を見つける必要があります。
- これは、これらの線を接続し、これらの線に垂直な線分です。 
これが私たちのハンサムな男です: - 交差する線の共通の垂線。 彼はただ一人だ。 これに似たものは他にありません。 このセグメントを含む線の方程式を作成する必要があります。
直接的な「えーっと」について何が知られていますか? その方向ベクトルは既知であり、前の段落で説明しました。 しかし、残念なことに、直線「em」に属する単一の点も、垂線の端、つまり点もわかりません。 この垂線は元の 2 つの線とどこで交差しますか? アフリカで、南極で？ 状態の最初のレビューと分析からは、問題を解決する方法はまったく明らかではありません... しかし〜がある トリッキーな動き、パラメトリック直線方程式の使用に関連付けられています。
決定をポイントごとに定式化します。
1) 最初の行の方程式をパラメトリック形式で書き直してみましょう。 
その点を考えてみましょう。 私たちは座標を知りません。 しかし。 点が特定の線に属している場合、その座標は に対応します。これを で表します。 次に、点の座標は次の形式で書き込まれます。 
人生は良くなってきていますが、未知の 1 つはまだ 3 ではありません。
2) 2 番目の点についても同様の非道な行為が行われなければなりません。 2 行目の方程式をパラメトリック形式で書き直してみましょう。 
点が特定のラインに属している場合、 非常に具体的な意味を持ってその座標はパラメトリック方程式を満たさなければなりません。
または： 
3) ベクトルは、前に見つけたベクトルと同様に、直線の方向ベクトルになります。 2 つの点からベクトルを構築する方法は、昔授業で議論されました。 ダミー用のベクトル。 ここでの違いは、ベクトルの座標が未知のパラメータ値で書き込まれることです。 だから何？ ベクトルの終端の座標からベクトルの始端の対応する座標を減算することを禁止する人はいません。
ポイントは次の 2 つです。 
.
ベクトルを見つける:
4) 方向ベクトルは同一直線上にあるため、一方のベクトルは他方のベクトルを介して特定の比例係数「ラムダ」で線形に表現されます。
または座標的に: 
一番普通だったことが判明 線形方程式系未知数が 3 つあり、これは標準的に解決できます。たとえば、 クレーマー法。 しかし、ここではほとんど損失なく処理を終えることができます。3 番目の式から「ラムダ」を表し、それを最初と 2 番目の式に代入します。
したがって： 
そして「ラムダ」は必要ありません。 パラメータ値が同じであることが判明したという事実は、まったくの偶然です。
5) 空が完全に晴れてきたので、見つかった値を代入してみましょう 
私たちのポイント:
方向ベクトルは対応するベクトルがすでに見つかっているため、特に必要ありません。
長い旅の後にチェックするのはいつも興味深いです。
:
正しい等式が得られます。
点の座標を方程式に代入してみましょう 
:
正しい等式が得られます。
6) 最後のコード: 点 (取得できます) と方向ベクトルを使用して直線の方程式を作成しましょう:
基本的には、そのままのコーディネートで「良い」ポイントを選択できますが、これは表面的なものです。
交差する線の間の距離を見つけるにはどうすればよいですか?
d) ドラゴンの 4 番目の頭を切り落としました。
方法 1。 メソッドではありませんが、小さな特殊なケースです。 交差する線間の距離は、それらの共通垂線の長さに等しいです。 
.
共通垂線の極点 
前の段落で説明したように、タスクは基本的なものです。
方法 2。 実際には、ほとんどの場合、共通垂線の端が不明であるため、別のアプローチが使用されます。 平行な平面は 2 つの交差する直線を通して描くことができ、これらの平面間の距離はこれらの直線間の距離に等しくなります。 特に、共通の垂線がこれらの平面の間に突き出ています。
解析幾何学の過程では、上記の考慮事項から、交差する直線間の距離を求めるための式が導出されます。 
(「ええと、1、2」という点の代わりに、線の任意の点を取得できます)。
ベクトルの混合積ポイント「a」ですでに見つかりました: 
.
ベクトルのベクトル積段落「be」にあります: 
、その長さを計算しましょう。
したがって：
誇らしげにトロフィーを一列に並べましょう:
答え:
A) 
、これは直線が交差することを意味し、これを証明する必要がありました。
b) 
;
V) 
;
G) 
一線を越えることについて他に何が言えますか? それらの間には定義された角度があります。 しかし 普遍的な公式次の段落で角度について検討します。
交差する直線スペースは必ず同じ平面上にあります。 
まず考えられるのは、交点に全力で寄りかかることです。 そして私はすぐに、なぜ自分自身の正しい欲望を否定するのかと思いました！ 今すぐ彼女の上に乗りましょう！
空間線の交点を見つけるにはどうすればよいですか?
例 14
線の交点を見つける
解決: 線の方程式をパラメトリック形式で書き直してみましょう。 
この仕事については、このレッスンの例 7 で詳しく説明しました (「. 空間内の直線の方程式）。 ちなみに、直線自体は例 12 から引用しました。嘘は言いませんが、新しい直線を考えるのが面倒です。
この解決策は標準的なもので、交差する線の共通垂線の方程式を理解しようとしたときにすでに見つかっています。
線の交点は線に属しているため、その座標はこの線のパラメトリック方程式を満たし、それらに対応します。 非常に具体的なパラメータ値:
しかし、この同じ点は 2 行目にも属します。したがって、次のようになります。 
対応する方程式を等価化し、単純化を実行します。 
受け取った 3人体制 2 つの未知数を持つ線形方程式。 線が交差する場合 (これは例 12 で証明されています)、システムは必然的に一貫性があり、固有の解決策が存在します。 解決できるよ ガウス法、しかし、私たちはそのような幼稚園のフェティシズムで罪を犯すつもりはありません。もっと簡単にやります。最初の方程式から「te zero」を表し、それを 2 番目と 3 番目の方程式に代入します。 
最後の 2 つの方程式は本質的に同じであることが判明し、そこから次のことがわかります。 それから：
見つかったパラメーターの値を方程式に代入してみましょう。 
答え:
確認するには、見つかったパラメーターの値を方程式に代入します。 
確認する必要がある同じ座標が取得されました。 注意深い読者は、点の座標を元の正規の直線の方程式に置き換えることができます。
ちなみに、「エスゼロ」でポイントを見つけて「テゼロ」で確認するという逆も可能です。
有名な数学的迷信には、「線の交点が議論されるところには、常に垂線の匂いが漂います」というものがあります。
与えられた空間に垂直な空間の線を構築するにはどうすればよいでしょうか?
(線が交差します)
例 15
a) 直線に垂直な点を通る直線の方程式を書き留めます。 
(線が交差します)。
b) 点から線までの距離を求めます。
注記
: 句「線が交差する」 – 重要な。 ポイントを通して
直線「el」と交差する垂線を無限に引くことができます。 唯一の解決策は、与えられた点に垂直な直線を引く場合に発生します。 二直線で与えられます (例 No. 13、点「b」を参照)。
A) 解決: 未知の行を で表します。 概略図を作成しましょう。
直線について何がわかっていますか? 条件に応じてポイントが付与されます。 直線の方程式を構成するには、方向ベクトルを求める必要があります。 このベクトルはそのようなベクトルとして非常に適しているので、これを扱います。 より正確には、首筋のところでベクトルの未知の端を取得しましょう。
1) 直線「el」の方程式からその方向ベクトルを取り出し、方程式自体をパラメトリック形式に書き直します。 
多くの人は、今回のレッスンで 3 回目、マジシャンが帽子から白い白鳥を取り出すだろうと推測しました。 座標が不明な点を考えてみましょう。 点は であるため、その座標は直線「el」のパラメトリック方程式を満たし、特定のパラメーター値に対応します。 
または 1 行で:
2) 条件によれば、線分は垂直である必要があるため、方向ベクトルは直交します。 そして、ベクトルが直交している場合、そのベクトルは スカラー積ゼロに等しい: 
どうしたの？ もっとも単純な 一次方程式そのうちの 1 つは不明です: 
3) パラメータの値はわかっているので、ポイントを見つけてみましょう。
そして方向ベクトルは次のようになります。
.
4) 点と方向ベクトルを使用して直線の方程式を作成します。 
:
比率の分母は分数であることが判明しました。これはまさに、分数を取り除くことが適切な場合に当てはまります。 -2 を掛けます。 
答え: 
注記
: 解のより厳密な結末は次のように定式化されます: 点と方向ベクトルを使用して直線の方程式を作成しましょう 
。 実際、ベクトルが直線のガイド ベクトルである場合、共線ベクトル も当然、この直線のガイド ベクトルになります。
検証は 2 つの段階で構成されます。
1) ラインの方向ベクトルが直交しているかどうかを確認します。
2) 点の座標を各線の方程式に代入すると、それらはそことそこの両方に「適合」するはずです。
典型的なアクションについての話が多かったので、草案を確認しました。
ところで、もう一つ忘れていましたが、直線elに対して点enと対称な点zyuを作図することです。 ただし、優れた「フラットな類似物」があります。それは記事で見つけることができます。 平面上の直線に関する最も単純な問題。 ここでの唯一の違いは、追加の「Z」座標です。
空間内の点から線までの距離を見つけるにはどうすればよいですか?
b) 解決: 点から線までの距離を求めてみましょう。
方法 1。 この距離は、垂線の長さと正確に等しくなります: 。 解決策は明白です: ポイントがわかっていれば 
、 それ：
方法 2。 実際の問題では、垂線の底辺が秘密にされていることが多いため、既製の公式を使用する方が合理的です。
点から線までの距離は次の式で表されます。 
、ここで、 は直線「el」の方向ベクトル、および – 無料指定されたラインに属する点。
1) 直線の方程式より 
方向ベクトルと最もアクセス可能な点を取り出します。
2) 条件から点がわかっているので、ベクトルをシャープにします。
3) 探してみましょう ベクトル積そしてその長さを計算します。 
4) ガイド ベクトルの長さを計算します。
5) したがって、点から線までの距離は次のようになります。
このビデオレッスンは、「点から線までの距離」というトピックを独自に学習したい人に役立ちます。 平行線間の距離。」 レッスン中に、点から線までの距離を計算する方法を学びます。 次に、教師が平行線間の距離の定義を教えます。
このレッスンでは、その概念について学びます "距離"一般的に。 計算の場合にもこの概念を指定します。 2 点間の距離、点と線、平行線
図 1 を見てみましょう。そこには 2 つの点 A と B が示されています。2 つの点 A と B の間の距離は、指定された点で端を持つ線分、つまり線分 AB です。
米。 1. AB - 点間の距離
距離は 2 点を結ぶ曲線や破線とはみなせないことに注意してください。 距離- これは、ある地点から別の地点への最短経路です。 点 A と点 B を結ぶすべての可能な線の中で最小となる線分 AB です。
直線を示す図 2 を考えてみましょう。 あ、そしてこの直線に属さない点A。 地点からの距離あ 直線には垂直 AN の長さになります。
米。 2. AN - 点と線の間の距離
三角形 AMN ではこのセグメントが脚であり、点 A と線を結ぶ任意の他のセグメントであるため、AN が最短距離であることに注意することが重要です。 あ(この場合は AM) が斜辺になります。 ご存知のとおり、脚は常に斜辺よりも小さくなります
距離指定：
考えてみましょう 平行線図 3 に示す a と b
米。 3. 平行線 a と b
直線上の2点を固定しましょう あるそれらの垂線をそれに平行な線に落とします b. であることを証明しましょう。
証明の便宜上、セグメント AM を描画しましょう。 結果として得られる三角形 ABM と ANM を考えてみましょう。 以来 、そして 、その後 。 同じく、 。 これらの直角三角形 () は共通の辺 AM を持ちます。 両方の三角形の斜辺です。 角度 AMN と AMB は、平行な直線 AB と NM および割線 AM との内交差角です。 よく知られている性質によれば、 .
上記のすべてから、次のことがわかります 。 三角形の等価性から、AN = BM となります。
したがって、図 3 では、セグメント AN と BM が等しいことが証明されました。 だということだ 平行線間の距離はそれらの共通垂線の長さであり、垂線の選択は任意です。 したがって、
逆もまた真です。特定の線から同じ距離にある一連の点は、指定された線に平行な線を形成します。
知識を集約していくつかの問題を解決しましょう
例1：教科書「幾何学7-9」の問題272。 著者 - アタナシアン L.S.
正三角形ABCには二等分線ADが描かれます。 点Dから直線ACまでの距離は6cm 点Aから直線BCまでの距離を求めます。
米。 4. 作図例1
解決：
正三角形は、3 つの等しい辺 (つまり、3 つの等しい角、つまりそれぞれ 60 0) を持つ三角形です。 正三角形は二等辺三角形の特殊なケースであるため、二等辺三角形に固有のすべての特性が正三角形にも当てはまります。 したがって、AD は二等分線であるだけでなく、高さでもあるため、AD ⊥BC
点 D から線 AC までの距離は、点 D から線 AC に引いた垂線の長さであるため、DH はこの距離になります。 三角形の AND を考えてみましょう。 この場合、DH は AC に垂直であるため、角度 H = 90 0 になります (点から直線までの距離の定義による)。 さらに、この三角形では脚 DH が角度の反対側にあるため、AD = (cm) (特性による)
点Aから直線BCまでの距離は、直線BCに下ろした垂線の長さになります。 証明された AD ⊥BC によれば、それは を意味します。
答え: 12cmです。
例 2：教科書「幾何学7-9」の問題277。 著者 - アタナシアン L.S.
平行線aと平行線bの距離は3cm、平行線aと平行線cの距離は5cmです。平行線bと平行線cの距離を求めます。
解決：
米。 5. 作図例2（1例目）
なので、 = 5 - 3 = 2 (cm) となります。
ただし、この答えは不完全です。 平面上で直線を配置する別のオプションがあります。
米。 6. 作図例2（2例目）
この場合 。
- デジタル教育リソースの統合コレクション ()。
- 数学の家庭教師 ()。
- No. 280、283。 Atanasyan L. S.、Butuzov V. F.、Kadomtsev S. B.、Poznyak E. G.、Yudina I. I. 編集： Tikhonov A. N. 幾何学グレード 7 ～ 9。 M.: 啓蒙です。 2010年
- 直角三角形SKEの斜辺CEと脚CKの和は31cm、その差は3cmです。頂点Cから直線KEまでの距離を求めます。
- 二等辺三角形 ABC の AB に基づいて、側面から等距離にある点 M が取られます。 CMが三角形ABCの高さであることを証明してください
- 与えられた線の片側に位置し、そこから等距離にある平面のすべての点が、与えられた線に平行な線上にあることを証明します。
