説明書
からの距離を求めるには ポイントに 飛行機記述メソッドの使用: オンを選択 飛行機任意の点; それを通る2本の直線を引きます（この中にあります） 飛行機); ～に垂直に復元する 飛行機この点を通過します（両方の交差線に垂直な線を同時に作成します）。 与えられた点を通る構築された垂線に平行な直線を描きます。 この線と平面の交点と指定された点の間の距離を求めます。
位置が ポイント 3次元座標と位置によって与えられます。 飛行機 – 一次方程式、からの距離を求めます 飛行機に ポイント、解析幾何学の方法を使用します。座標を示します。 ポイントそれぞれ x、y、z まで (x – 横座標、y – 縦座標、z – 適用)。 方程式を A、B、C、D で表す 飛行機(A – 横軸のパラメータ、B – のパラメータ、C – アプリケーションのパラメータ、D – 自由項); ～からの距離を計算する ポイントに 飛行機式によると、s = | (Ax+By+Cz+D)/√(A²+B²+C²) |、s は点と平面の間の距離です。|| - 絶対値 (またはモジュール)。
例: 座標 (2, 3, -1) の点 A と平面の間の距離を求めます。 方程式で与えられる: 7x-6y-6z+20=0 条件から、x=2、y=3、z=-1、A=7、B=-6、C=-6、D=20 となります。これらの値を上記に代入すると、次のようになります。 (7*2+(-6)*3+(-6)*(-1)+20)/√(7²+(-6)²+(-6)²) | = | (14-18+6+20)/11 | = 2.答え: 距離から ポイントに 飛行機 2 (任意の単位) に相当します。
ヒント 2: 点から平面までの距離を決定する方法
からの距離の決定 ポイントに 飛行機- 学校の面積測定の一般的なタスクの 1 つ。 知られているように、最小のものは 距離から ポイントに 飛行機ここから垂線が引かれます ポイントこれに 飛行機。 したがって、この垂線の長さは、からの距離と見なされます。 ポイントに 飛行機.
必要になります
- 平面方程式
説明書
平行線 f1 の最初のものが方程式 y=kx+b1 で与えられるとします。 式を次のように翻訳すると、 全体像の場合、kx-y+b1=0、つまり A=k、B=-1 が得られます。 その法線は n=(k, -1) になります。
ここで、f1 上の点 x1 の任意の横座標に従います。 すると縦軸は y1=kx1+b1 となります。
2 番目の平行線 f2 の方程式を次の形式とします。
y=kx+b2 (1)、
ここで、k は両方のラインで平行であるため、同じです。
次に、点 M (x1, y1) を含む、f2 と f1 の両方に垂直な直線の正準方程式を作成する必要があります。 この場合、x0=x1、y0=y1、S=(k,-1)とする。 結果として、次の等価性が得られるはずです。
(x-x1)/k =(y-kx1-b1)/(-1) (2)。
式 (1) と (2) からなる連立方程式を解くと、平行な点間の必要な距離 N(x2, y2) を決定する 2 番目の点が見つかります。 必要な距離自体は d=|MN|=((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)^1/2 と等しくなります。
例。 平面上の与えられた平行線の方程式を f1 – y=2x +1 (1) とします。
f2 – y=2x+5 (2)。 f1 上の任意の点 x1=1 を取ります。 すると、y1=3となります。 したがって、最初の点の座標は M (1,3) になります。 一般垂直方程式 (3):
(x-1)/2 = -y+3 または y=-(1/2)x+5/2。
この y 値を (1) に代入すると、次のようになります。
-(1/2)x+5/2=2x+5、(5/2)x=-5/2、x2=-1、y2=-(1/2)(-1) +5/2= 3.
垂線の 2 番目の底辺は、座標 N (-1, 3) の点にあります。 平行線間の距離は次のようになります。
d=|MN|=((3-1)^2+(3+1)^2)^1/2=(4+16)^1/2=4.47。
出典:
- ロシアにおける陸上競技の発展
平面または三次元の幾何学的図形の頂点は、空間内の座標によって一意に決定されます。 同様に、同一座標系上の任意の点も一意に決まるので、この任意の点と図形の頂点との距離を計算することができる。
必要になります
- - 紙;
- - ペンまたは鉛筆。
- - 電卓。
説明書
問題で指定された点の座標と幾何学的図形の頂点がわかっている場合は、問題を 2 点間の線分の長さを求める問題に縮小します。 この長さは、座標軸上のセグメントの投影に関連するピタゴラスの定理を使用して計算できます。これは次と等しくなります。 平方根すべての投影の長さの二乗の合計から。 たとえば、座標 (X2;Y2;Z2) を持つ任意の幾何学的図形の点 A(X1;Y1;Z1) と頂点 C が 3 次元座標系で与えられるとします。 この場合、それらの間の線分の座標軸への投影の長さは X1-X2、Y1-Y2、Z1-Z2 となり、線分の長さは √((X1-X₂)²+(Y1-Y₂) となります。 )²+(Z₁-Z₂)² )。 たとえば、点の座標が A(5;9;1) で、頂点が C(7;8;10) の場合、頂点間の距離は √((5-7)²+ に等しくなります。 (9-8)²+(1- 10)²) = √(-2²+1²+(-9)²) = √(4+1+81) = √86 ≈ 9.274。
頂点の座標が問題条件に明示的に示されていない場合は、最初に頂点の座標を計算します。 具体的な方法はフィギュアの種類や既知の方法によって異なります。 追加パラメータ。 たとえば、3 つの頂点 A(X₁;Y₁;Z₁)、B(X₂;Y₂;Z₂)、および C(X₃;Y₃;Z₃) の 3 次元座標が既知の場合、その 4 番目の頂点 (反対側) の座標は次のようになります。頂点 B まで) は、(X3+X2-X1;Y3+Y2-Y1;Z3+Z2-Z1) となります。 失われた頂点の座標を決定した後、その頂点と任意の点の間の距離の計算は、与えられた座標系におけるこれら 2 つの点の間のセグメントの長さを決定することになります。これは、「」で説明したのと同じ方法で行います。前のステップ。 たとえば、このステップで説明した平行四辺形の頂点と座標 (X4;Y4;Z4) の点 E の場合、前のステップからの距離を計算する式は次のようになります。 √((X3+X2-X1- X₄)²+(Y₃+Y₂-Y₁-Y₄)²+(Z₃+Z₂-Z₁-Z₄)²)。
実際の計算には、たとえば組み込みの 検索エンジングーグル。 したがって、前のステップで取得した式を使用して、座標 A(7;5;2)、B(4;11;3)、C(15;2;0)、E(7; 9; 2)、検索クエリ「sqrt((15+4-7-7)^2+(2+11-5-9)^2+(0+3-2-2)^2)」を入力します。 検索エンジンが計算し、計算結果 (5.19615242) を表示します。
トピックに関するビデオ
回復 垂直に 飛行機幾何学における重要な問題の 1 つであり、多くの定理や証明の基礎となっています。 垂直な線を作成するには 飛行機、いくつかの手順を順番に実行する必要があります。
必要になります
- - 与えられた平面;
- - 垂線を引く点。
- - コンパス;
- - 定規。
- - 鉛筆。
お客様のプライバシーを維持することは当社にとって重要です。 このため、当社はお客様の情報の使用および保管方法を説明するプライバシー ポリシーを作成しました。 当社のプライバシー慣行を確認し、ご質問がある場合はお知らせください。
個人情報の収集と利用
個人情報とは、特定の個人を識別したり連絡したりするために使用できるデータを指します。
当社にご連絡いただく際には、いつでも個人情報の提供を求められる場合があります。
以下は、当社が収集する個人情報の種類とそのような情報の使用方法の例です。
当社が収集する個人情報は次のとおりです。
お客様の個人情報の使用方法:
- 当社が収集したもの 個人情報当社がお客様に連絡し、以下についてお知らせすることができます ユニークな特典、プロモーションやその他のイベント、今後のイベント。
- 当社は、重要な通知や連絡を送信するためにお客様の個人情報を使用する場合があります。
- また、当社は、当社が提供するサービスを改善し、お客様に当社のサービスに関する推奨事項を提供するために、監査、データ分析、さまざまな調査の実施などの内部目的で個人情報を使用する場合があります。
- あなたが賞品の抽選、コンテスト、または同様のプロモーションに参加する場合、当社はそのようなプログラムを管理するためにあなたが提供した情報を使用することがあります。
第三者への情報開示
当社はお客様から受け取った情報を第三者に開示することはありません。
例外:
- 必要な場合 - 法律、司法手続きに従って、 トライアル、および/または公開リクエストまたはからのリクエストに基づいて、 政府機関ロシア連邦の領土内で - あなたの個人情報を開示してください。 また、セキュリティ、法執行、またはその他の公共の重要な目的のために開示が必要または適切であると当社が判断した場合、当社はお客様に関する情報を開示することがあります。
- 組織再編、合併、または売却の場合、当社は収集した個人情報を該当する後継の第三者に譲渡することがあります。
個人情報の保護
当社は、お客様の個人情報を紛失、盗難、悪用、および不正アクセス、開示、改ざん、破壊から保護するために、管理上、技術上、物理的な予防措置を講じます。
会社レベルでのプライバシーの尊重
お客様の個人情報の安全を確保するために、当社はプライバシーとセキュリティの基準を従業員に伝達し、プライバシー慣行を厳格に実施します。
サンクトペテルブルク州立海洋工科大学
部門 コンピュータグラフィックスおよび情報サポート
レッスン 4
実践課題その4
飛行機。
点から平面までの距離を決定します。
1. 点から投影面までの距離を決定します。
点から平面までの実際の距離を見つけるには、次のことを行う必要があります。
· 点から平面への垂線を下げます。
· 平面に描かれた垂線との交点を見つけます。
· セグメントの実際のサイズを決定します。セグメントの開始点は指定された点であり、終了点は見つかった交点です。
飛行機はスペースを占有することができる 一般的なそして プライベート位置。 下 プライベート平面が置かれる位置を指します。 垂直投影面へ - このような面は投影と呼ばれます。 突出位置の主な特徴: 平面が投影線を通過する場合、その平面は投影面に垂直です。この場合、平面の投影の 1 つは直線です。これは直線と呼ばれます。 飛行機を追って.
平面が投影されている場合、点から平面までの実際の距離を決定するのは簡単です。 点からの距離を求める例を使用してこれを示してみましょう で次に指定された正面投影面に Q2 飛行機の中 P2(図1)。
飛行機 Qは投影の前面に垂直であるため、それに垂直な線はすべてその面に平行になります P2。そして平面に対して直角に P2歪みなく投影することができるので、 B2トレースに対して垂直に描画します Q2 。 セグメント VK正面投影が特定の位置にある V2K2必要な距離の真の値に等しい。
図1。 点から投影面までの距離を決定します。
2. 点から一般的な平面までの距離の決定。
飛行機が一般的な位置を占めている場合は、それを突出位置に移動する必要があります。 これを行うには、特定の位置の直線を (投影面の 1 つに平行に) 描画します。これは、1 回の描画変換を使用して投影位置に転送できます。
平面に平行な直線 P1、は水平面と呼ばれ、文字で表されます。 h。 投影の前面に平行な直線 P2、飛行機の正面と呼ばれ、文字で表されます。 f.Lines hそして f呼ばれます 飛行機の主線。 この問題の解決策を次の例に示します (図 2)。
初期状態:三角形 ABC平面を定義します。 M- 平面の外側の点。 特定の平面は一般的な位置を占めます。 突出位置に移動するには、次の手順を実行します。 イネーブルモード オルト（オルソ), コマンドを使用する セグメント (ライン) – 三角形の正面投影と交差する任意の水平線を描きます。 А2В2С2二点で。 これらの点を通る水平線の投影が示されます。 h2 。 次に、水平投影を構築します。 h1 .
本線 h特定の平面も投影される投影位置に変換できます。 これを行うには、すべての点 (補助四角形) の水平投影を回転する必要があります。 ABCM) を新しい位置に移動します。 h1 軸に対して垂直な垂直位置を占めます ×。 これらの構築は、平面平行転送 (投影のコピーがスクリーン上の空きスペースに配置される) を使用して実行すると便利です。
その結果、飛行機の新しい正面投影は直線のように見えます (飛行機の軌跡) A2*B2*。では要点から M2*平面のトレースに垂線を引くことができます。 新しい正面投影 M2*K2* =MKそれらの。 点からの必要な距離です M指定された平面へ ABC.
次に、初期条件で距離投影を構築する必要があります。 これをポイントから行うには M1線分に垂直な線分を描画します h1 、そしてその点から延期する必要があります M1同じサイズのセグメント M1*K1*。点の正面投影を作成するには K2地点から K1縦の通信線が引かれ、その点から K2*水平方向。 構築結果を図 2 に示します。
タスクその4。点からの実際の距離を求める M三角形で定義される平面に ABC。 答えはmm単位で答えてください(表1)。
表1
|
オプション |
ポイントA |
ポイントB |
||||
|
オプション |
ポイントC |
ポイントM |
||||
タスク No. 4 の確認とテストが完了しました。
間の距離の決定: 1 - 点と平面。 2 - 真っ直ぐで平ら。 3 - 飛行機。 4 - これらすべての問題の解決アルゴリズムは本質的に同じであり、直線間の距離を決定するために実行する必要がある幾何学的な構成で構成されるため、交差する直線はまとめて考慮されます。 ポイントで与えられる Aと平面α。 違いがあるとすれば、ケース 2 とケース 3 では、問題を解き始める前に、直線 m (ケース 2) または平面 β (ケース 3) 上の任意の点 A をマークする必要があるという事実だけです。交差する線間の距離を求めるには、まずそれらを平行な平面 α と β で囲み、次にこれらの平面間の距離を決定します。
問題解決の注目された事例をそれぞれ検討してみましょう。
1. 点と平面の間の距離を決定します。
点から平面までの距離は、点から平面まで引いた垂直線分の長さによって決まります。
したがって、この問題の解決策は、次のグラフィカル操作を順番に実行することで構成されます。
1) 点 A から、平面 α への垂線を下げます (図 269)。
2) この垂線と平面 M = a ∩ α の交点 M を見つけます。
3) セグメントの長さを決定します。
平面αの場合 一般的な立場、この平面への垂線を下げるには、まずこの平面の水平投影と正面投影の方向を決定する必要があります。 この垂直と平面との交わる点を見つけるには、追加の幾何学的構築も必要です。
平面 α が投影面に対して特定の位置を占める場合、問題の解決策は単純化されます。 この場合、垂線の投影と垂線が平面と交わる点の検出の両方が、追加の補助構造なしで実行されます。
例 1. 点 A から正面に投影した平面 α までの距離を決定します (図 270)。
解決。 A" を通して垂直 l" ⊥ h 0α の水平投影を描き、A" を通してその正面投影 l" ⊥ f 0α を描きます。 点 M" = l" ∩ f 0α をマークします。 午前中から || π 2、その後 [A" M"] == |AM| = d.
検討した例から、飛行機が突き出た位置を占めている場合に問題がいかに簡単に解決されるかは明らかです。 したがって、一般的な位置平面がソース データで指定されている場合は、解決策に進む前に、その平面を投影平面に垂直な位置に移動する必要があります。
例 2. 点 K から ΔАВС で指定された平面までの距離を決定します (図 271)。
1. 平面 ΔАВС を投影位置 * に移動します。 これを行うには、系 xπ 2 /π 1 から x 1 π 3 /π 1 に移動します。新しい x 1 軸の方向は、三角形の水平面の水平投影に対して垂直に選択されます。
2. ΔABC を新しい平面 π 3 に投影します (ΔABC 平面は [ C " 1 B " 1 ] で π 3 に投影されます)。
3. 点 K を同じ平面に投影します (K" → K" 1)。
4. 点 K" 1 を通して、(K" 1 M" 1)⊥ 線分 [C" 1 B" 1 ] を描きます。必要な距離 d = |K" 1 M" 1 |
平面がトレースによって定義されている場合、レベル ラインの投影を描画する必要がないため、問題の解決策は簡素化されます。
例 3. トラックで指定された、点 K から平面 α までの距離を決定します (図 272)。
* 三角形平面を投影位置に移動する最も合理的な方法は、投影平面を置き換えることです。この場合、補助投影は 1 つだけ作成するだけで十分です。
解決。 平面 π 1 を平面 π 3 に置き換えます。このために、新しい軸 x 1 ⊥ f 0α を描きます。 h 0α 上で任意の点 1" をマークし、平面 π 3 (1" 1) 上のその新しい水平投影を決定します。 点 X α 1 (X α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) と 1" 1 を通して、h 0α 1 を描きます。点 K → K" 1 の新しい水平投影を決定します。 点 K" 1 から h 0α 1 への垂線を下げ、h 0α 1 - M" 1 との交点をマークします。 セグメント K" 1 M" 1 の長さは、必要な距離を示します。
2. 直線と平面の間の距離を決定します。
直線と平面の間の距離は、直線上の任意の点から平面に下ろした垂直線分の長さによって決まります (図 248 を参照)。
したがって、直線 m と平面 α の間の距離を決定する問題の解決策は、点と平面の間の距離を決定するための段落 1 で説明した例と何ら変わりません (図 270 ... 272 を参照)。 点としては、直線 m に属する任意の点を取ることができます。
3. 平面間の距離の決定。
平面間の距離は、ある平面上の点から別の平面に降ろした垂直線分のサイズによって決まります。
この定義から、平面 α と β の間の距離を求める問題を解決するアルゴリズムは、直線 m が平面 α に属さなければならないという点のみが、線 m と平面 α の間の距離を決定する問題を解決する同様のアルゴリズムとは異なるということになります。つまり、平面 α と β の間の距離を決定するには、次のようになります。
1) α 平面内で直線 m を取ります。
2) 直線 m 上の任意の点 A を選択します。
3) 点 A から、平面 β に対する垂線 l を下げます。
４）点Ｍ（垂線ｌと平面βとの交わる点）を決定する。
5) セグメントのサイズを決定します。
実際には、別の解決アルゴリズムを使用することをお勧めします。このアルゴリズムは、最初のステップに進む前に、平面を投影位置に移動する必要があるという点のみが異なるものです。
この追加の操作をアルゴリズムに含めることで、他のすべてのポイントの実行が例外なく簡素化され、最終的にはより単純なソリューションが得られます。
例 1. 平面 α と β の間の距離を決定します (図 273)。
解決。 系 xπ 2 /π 1 から x 1 π 1 /π 3 に移動します。 新しい平面 π 3 に関して、平面 α と β は投影位置を占めているため、新しい正面トレース f 0α 1 と f 0β 1 の間の距離は所望の距離です。
エンジニアリングの実践では、特定の平面に平行な平面を作成し、そこから特定の距離だけ除去するという問題を解決する必要があることがよくあります。 以下の例 2 は、このような問題の解決策を示しています。
例 2. それらの間の距離が d であることがわかっている場合、与えられた平面 α (m || n) に平行な平面 β の投影を構築する必要があります (図 274)。
1. α 平面に任意の水平線 h (1, 3) と前線 f (1, 2) を描きます。
2. 点 1 から、平面 α(l" ⊥ h", l" ⊥ f") に対する垂線 l を復元します。
3. 垂線 l 上に任意の点 A をマークします。
4. セグメントの長さを決定します (位置は、直線 l の計量的に歪みのない方向を図上で示します)。
5. 点 1" からの直線 (1"A 0) 上に線分 = d を配置します。
6. 投影 l" および l" 上に、点 B0 に対応する点 B" および B" をマークします。
7. 点 B を介して平面 β (h 1 ∩ f 1) を描きます。 βへ || α、条件 h 1 || を満たす必要があります。 h と f 1 || f.
4. 交差する線間の距離を決定します。
交差する線間の距離は、交差する線が属する平行な平面の間に囲まれる垂線の長さによって決まります。
交差する直線 m と f を介して互いに平行な平面 α と β を描くには、点 A (A ∈ m) を通り、直線 f に平行な直線 p と、点 B (B ∈ f) を通る直線を描けば十分です。直線 m に平行な直線 k 。 交差する線 m と p、f と k は、相互に平行な平面 α と β を定義します (図 248、e を参照)。 平面αと平面βの間の距離は、交差する線mとfの間の必要な距離に等しい。
交差する線の間の距離を決定するための別の方法を提案することができる。これは、直交投影を変換する何らかの方法を使用して、交差する線の 1 つを投影位置に移動するという事実からなる。 この場合、線の 1 つの投影は点に縮退します。 交差する線の新しい投影間の距離 (点 A" 2 と線分 C" 2 D" 2) が必要な距離です。
図では、 図 275 は、線分 [AB] および [CD] が与えられた場合に、交差する線 a と b の間の距離を決定する問題の解決策を示しています。 解決策は次の順序で実行されます。
1. 交差する線 (a) の 1 つを、平面 π 3 に平行な位置に移動します。 これを行うには、投影面 xπ 2 /π 1 の系から新しい x 1 π 1 /π 3 に移動します。x 1 軸は直線 a の水平投影に平行です。 a" 1 [A" 1 B" 1 ] と b" 1 を決定します。
2. 平面 π 1 を平面 π 4 に置き換えることにより、直線を平行移動します。
そして a" 2 を配置するには、 平面に垂直なπ 4 (新しい x 2 軸は「1」に対して垂直に描画されます)。
3. 直線 b" 2 - [ C" 2 D" 2 ] の新しい水平投影を作成します。
4. 点 A" 2 から直線 C" 2 D" 2 までの距離 (セグメント (A" 2 M" 2 ])) は必須の距離です。
交差する線の 1 つを投影位置に移動することは、線 a と b を囲むことができる平行面も投影位置に移動することに他ならないことに留意する必要があります。
実際、線 a を平面 π 4 に垂直な位置に移動することにより、線 a と m (a ∩ m, m | | b)。 ここで、線 a に平行で、線 b と交差する線 n を引くと、平行度の 2 番目の平面である平面 β が得られます。この平面には、交差する線 a と b が含まれます。 β以降 || α、次に β ⊥ π 4 。
