まず、間隔メソッドが解決する問題の雰囲気をつかむための簡単な歌詞です。 次の不等式を解く必要があるとします。
(x − 5)(x + 3) > 0
オプションは何ですか？ ほとんどの学生が最初に思い浮かぶのは、「プラスにプラスはプラス」「マイナスにはマイナスがプラス」というルールです。 したがって、両方の括弧が正の場合、x − 5 > 0 および x + 3 > 0 を考慮するだけで十分です。次に、両方の括弧が負の場合、x − 5 も考慮します。< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:
より上級の生徒は (おそらく) 左側にあることを覚えているでしょう。 二次関数、そのグラフは放物線です。 さらに、この放物線は点 x = 5 および x = −3 で OX 軸と交差します。 さらに作業を進めるには、ブラケットを開く必要があります。 我々は持っています：
x 2 − 2x − 15 > 0
これで、放物線の枝が上を向いていることがわかります。 係数 a = 1 > 0。この放物線の図を描いてみましょう。
関数が OX 軸の上を通過する場合、関数はゼロより大きくなります。 私たちの場合、これらは間隔 (−∞ −3) と (5; +∞) です - これが答えです。
ご注意ください：写真は正確に示しています 機能図、彼女のスケジュールではありません。 実際のグラフでは、座標を数えたり、変位やその他のくだらないことを計算する必要があるため、現時点ではまったく役に立ちません。
なぜこれらの方法は効果がないのでしょうか?
そこで、同じ不等式に対する 2 つの解を検討しました。 どちらもかなり面倒な作業であることが分かりました。 最初の決断は、考えてみましょう。 — 一連の不平等系。 2 番目の解決策も特に簡単というわけではありません。放物線のグラフやその他の小さな事実をたくさん覚えておく必要があります。
とても単純な不等式でした。 乗算器は 2 つだけです。 次に、乗算器が 2 つではなく、少なくとも 4 つあると想像してください。
(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0
このような不平等をどうやって解決するのでしょうか？ 長所と短所の考えられる組み合わせをすべて検討しますか? そうです、私たちは解決策を見つけるよりも早く眠りに落ちてしまうのです。 グラフを描くこともオプションではありません。そのような関数が座標平面上でどのように動作するかが明らかではないからです。
このような不等式に対しては、特別な解法アルゴリズムが必要ですが、それについては今日検討します。
インターバル法とは何ですか
間隔法は、f (x) > 0 および f (x) の形式の複雑な不等式を解くように設計された特別なアルゴリズムです。< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:
- 方程式 f (x) = 0 を解きます。したがって、不等式の代わりに、はるかに簡単に解ける方程式が得られます。
- 得られたすべてのルートを座標線上にマークします。 したがって、直線はいくつかの区間に分割されます。
- 右端の区間における関数 f (x) の符号 (プラスまたはマイナス) を見つけます。 これを行うには、すべてのマークされたルートの右側にある任意の数値を f (x) に代入するだけで十分です。
- 残りの間隔に標識を付けます。 これを行うには、各ルートを通過するときに符号が変わることを覚えておいてください。
それだけです！ この後は、気になる区間を書き留めるだけです。 不等式が f (x) > 0 の形式である場合は「+」記号が付けられ、不等式が f (x) の形式である場合は「−」記号が付けられます。< 0.
一見すると、interval メソッドはある種のつまらないもののように思えるかもしれません。 しかし、実際にはすべてが非常に簡単になります。 少し練習するだけで、すべてが明らかになります。 例を見て、自分の目で確認してください。
タスク。 不等式を解く：
(x − 2)(x + 7)< 0
インターバル法を使用して作業します。 ステップ 1: 不等式を方程式に置き換えて解きます。
(x − 2)(x + 7) = 0
少なくとも 1 つの因子が満たされる場合に限り、積はゼロに等しくなります。 ゼロに等しい:
x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7。
根が２本出てきました。 ステップ 2 に進みましょう。これらのルートを座標線上にマークします。 我々は持っています：
次にステップ 3: 最も右の区間 (マークされた点 x = 2 の右側) で関数の符号を見つけます。 これを行うには、次の数値を取得する必要があります。 さらに多くの数 x = 2。たとえば、x = 3 を考えてみましょう (ただし、x = 4、x = 10、さらには x = 10,000 とすることを禁じている人はいません)。 我々が得る：
f (x) = (x − 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;
f (3) = 10 > 0 であることがわかったので、右端の区間にプラス記号を付けます。
最後のポイントに進みましょう。残りの間隔の兆候に注意する必要があります。 それぞれのルートを通過するときに、標識が変化する必要があることを覚えています。 たとえば、ルート x = 2 の右側にはプラスがあるため (これは前のステップで確認しました)、左側にはマイナスがあるはずです。
このマイナスは区間 (−7; 2) 全体に及ぶため、根 x = −7 の右側にマイナスがあります。 したがって、根 x = −7 の左側にはプラスがあります。 これらの記号を座標軸上にマークする必要があります。 我々は持っています：
次の形式の元の不等式に戻りましょう。
(x − 2)(x + 7)< 0
したがって、関数は次のようになります ゼロ未満。 これは、1 つの区間 (−7; 2) にのみ現れるマイナス記号に興味があることを意味します。 これが答えになります。
タスク。 不等式を解く：
(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0
ステップ 1: 左辺をゼロに設定します。
(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1。
覚えておいてください: 因数の少なくとも 1 つがゼロに等しい場合、積はゼロに等しくなります。 だからこそ、私たちは個々の括弧をゼロとみなす権利があるのです。
ステップ 2: 座標線上のすべてのルートをマークします。
ステップ 3: 右端のギャップの符号を見つけます。 x = 1 より大きい任意の数値を取得します。たとえば、x = 10 を取得できます。次のようになります。
f (x) = (x + 9)(x − 3)(1 − x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = −1197< 0.
ステップ 4: 残りの標識を配置します。 それぞれのルートを通過するときに標識が変わることを覚えています。 その結果、画像は次のようになります。
それだけです。 あとは答えを書き出すだけです。 元の不等式をもう一度見てみましょう。
(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0
これは f(x) という形式の不等式です。< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:
x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)
これが答えです。
関数記号に関する注意事項
実践はそれを示しています 最大の困難間隔メソッドでは、最後の 2 つのステップで発生します。 看板を設置するとき。 多くの生徒は、どの数字をとるべきか、どこに記号を置くべきか、混乱し始めます。
間隔法を最終的に理解するには、その基礎となる 2 つの観察を考慮してください。
- 連続関数はそれらの点でのみ符号を変更します ここでそれはゼロに等しい。 このような点は座標軸をいくつかの部分に分割し、その中で関数の符号は決して変わりません。 そのため、方程式 f (x) = 0 を解き、見つかった根を直線上にマークします。 見つかった数字は、賛否を分ける「境界線」のポイントだ。
- 任意の区間の関数の符号を調べるには、この区間の任意の数値を関数に代入するだけで十分です。 たとえば、区間 (−5; 6) の場合、必要に応じて、x = −4、x = 0、x = 4、さらには x = 1.29374 を取る権利があります。 どうしてそれが重要ですか？ そうです。なぜなら、多くの学生が疑問を抱き始めているからです。 たとえば、x = −4 の場合はプラスが得られ、x = 0 の場合はマイナスが得られる場合はどうなるでしょうか? しかし、このようなことは決して起こりません。 同じ間隔上のすべての点は同じ符号を与えます。 これを覚えて。
間隔メソッドについて知っておく必要があるのはこれだけです。 もちろん分解してみました 簡易版。 さらに複雑な不等式、つまり非厳密で分数的な不等式、根が繰り返される不等式もあります。 インターバル法を使用することもできますが、これについては別の大きなレッスンで説明します。
ここで、間隔法を大幅に簡素化する高度なテクニックを見ていきたいと思います。 より正確には、単純化は 3 番目のステップ (線の右端の部分の符号を計算する) にのみ影響します。 何らかの理由で、このテクニックは学校では教えられていません（少なくとも誰もこれを私に説明しませんでした）。 しかし、実際にはこのアルゴリズムは非常に単純であるため、無駄です。
したがって、関数の符号は数直線の右側にあります。 この部分は (a ; +∞) の形式を持ちます。ここで、a は方程式 f (x) = 0 の最大根です。混乱しないように、具体的な例を考えてみましょう。
(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x);
(x − 1)(2 + x)(7 − x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;
根が3本出ました。 それらを昇順にリストしてみましょう: x = −2、x = 1、x = 7。 最大の根- これは x = 7 です。
グラフで推論する方が簡単だと思う人のために、これらのルートを座標線上にマークします。 しばらく様子を見てみましょう：
関数 f (x) の符号を右端の区間、つまり次の区間で見つける必要があります。 (7; +∞) に。 しかし、すでに述べたように、符号を決定するには、この間隔から任意の数値を取得できます。 たとえば、x = 8、x = 150 などを使用できます。 そして今度は、学校では教えられない同じテクニックです。無限を数字として考えてみましょう。 より正確に、 プラス無限大、つまり ＋∞。
「石を投げられたのですか？ 関数に無限を代入するにはどうすればよいでしょうか?」 -あなたは尋ねるかもしれません。 しかし、考えてみてください。関数自体の値は必要ありません。必要なのは符号だけです。 したがって、たとえば、値 f (x) = −1 と f (x) = −938 740 576 215 は同じことを意味します。つまり、この区間の関数は負です。 したがって、必要なのは関数の値ではなく、無限遠に現れる符号を見つけることだけです。
実際、無限大を代入するのは非常に簡単です。 関数に戻りましょう。
f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)
x が非常に大きな数であると想像してください。 何十億、あるいは何兆も。 それでは、各ブラケットで何が起こるかを見てみましょう。
最初の括弧: (x − 1)。 10億から1を引くとどうなるでしょうか? 結果は 10 億とあまり変わらない数値になり、この数値はプラスになります。 2 番目の括弧も同様です: (2 + x)。 10 億を 2 に足すと、10 億コペイカになります。これは正の数です。 最後に、3 番目の括弧: (7 − x)。 ここにはマイナス10億があり、そこから7の形の哀れな部分が「かじられ」ました。 それらの。 結果の数値はマイナス 10 億とあまり変わりません。マイナスになります。
残っているのは、作品全体の兆候を見つけることだけです。 最初の括弧にプラス、最後の括弧にマイナスがあるため、次の構造が得られます。
(+) · (+) · (−) = (−)
最後の符号はマイナスです！ そして、関数自体の値が何であるかは関係ありません。 重要なことは、この値が負であること、つまり、 右端の間隔にはマイナス記号が付いています。 間隔メソッドの 4 番目のステップ、つまりすべての標識を配置する作業が残っています。 我々は持っています：
元の不等式は次のとおりです。
(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0
したがって、マイナス記号が付けられた間隔に注目します。 答えを書き出します。
x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)
それが私があなたに伝えたかったトリックのすべてです。 結論として、無限を使用した区間法で解ける別の不等式を次に示します。 解決策を視覚的に短くするために、ステップ番号や詳細なコメントは書きません。 実際の問題を解決するときに本当に書く必要があることだけを書きます。
タスク。 不等式を解く：
x (2x + 8)(x − 3) > 0
不等式を方程式に置き換えて解きます。
x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3。
3 つのルートすべてを座標線上にマークします (一度に符号を付けます)。
座標軸の右側にプラスがあるので、 関数は次のようになります。
f (x) = x (2x + 8)(x − 3)
そして、無限大 (たとえば、10 億) を代入すると、3 つの正の括弧が得られます。 元の式はゼロより大きくなければならないため、正の値のみに注目します。 あとは答えを書き出すだけです。
x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)
トピック「不平等システム。解決策の例」に関するレッスンとプレゼンテーション
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Integral オンライン ストアの 9 年生向けの教育補助器具とシミュレーター
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7～9年生向け電子教科書「わかる幾何」
不平等系
皆さん、一次不等式と二次不等式を学び、これらのトピックに関する問題の解決方法を学びました。 さて、数学の新しい概念である不等式の話に移りましょう。 不等式系は方程式系に似ています。 連立方程式を覚えていますか? 7 年生で連立方程式を勉強しました。どのように解いたかを思い出してください。不平等系の定義を紹介しましょう。
それぞれの不等式が真を形成する x のすべての値を見つける必要がある場合、いくつかの変数 x を含むいくつかの不等式が不等式系を形成します。 数値式.
各不等式が正しい数値表現をとる x の値は、その不等式の解となります。 プライベートソリューションとも言えます。
プライベートソリューションとは何ですか? たとえば、回答では x>7 という式を受け取りました。 この場合、x=8、x=123、または 7 より大きいその他の数値が特定の解となり、式 x>7 は次のようになります。 共通の決定。 一般的なソリューションは、多くのプライベート ソリューションによって形成されます。
連立方程式をどのように組み合わせたのでしょうか? そうです、中括弧です。つまり、不等式でも同じことを行います。 不等式系の例を見てみましょう: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
不等式系が同一の式で構成されている場合、たとえば $\begin(cases)x+7>5\\x+7
では、不平等体系の解決策を見つけるとはどういう意味でしょうか?
不等式の解は、システムの両方の不等式を一度に満たす、不等式の部分解のセットです。
不等式系の一般形式は $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$ と書きます。
$Х_1$ を不等式 f(x)>0 の一般解として表します。
$X_2$ は、不等式 g(x)>0 の一般解です。
$X_1$ と $X_2$ は、特定のソリューションのセットです。
不等式系の解は、$X_1$ と $X_2$ の両方に属する数値になります。
集合に対する演算を覚えてみましょう。 両方のセットに属するセットの要素を一度に見つけるにはどうすればよいでしょうか? そうです、これには交差操作があります。 したがって、不等式の解は集合 $A= X_1∩ X_2$ になります。
不平等系の解決策の例
不平等系を解く例を見てみましょう。不平等システムを解決します。
a) $\begin(cases)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(cases)2x-4≤6\\-x-4
解決。
a) 各不等式を個別に解きます。
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x>1$。
$5x-10
1 つの座標線上に間隔をマークしてみましょう。
システムの解は、間隔の交差部分になります。 不等式が厳密であれば、セグメントは開きます。
答え: (1;3)。
B) 各不等式も個別に解きます。
$2x-4≤6; 2x≤10; x ≤ 5 ドル。
$-x-4 -5$。 
システムの解は、間隔の交差部分になります。 2 番目の不等式が厳密である場合、セグメントは左側が開きます。
答え: (-5; 5]。
学んだことをまとめてみましょう。
$\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$ という不等式系を解く必要があるとします。
したがって、区間 ($x_1; x_2$) が最初の不等式の解となります。
区間 ($y_1; y_2$) は、2 番目の不等式の解です。
不等式系の解は、各不等式の解の交点です。 
不等式系は、一次不等式だけでなく、他の種類の不等式でも構成できます。
不平等システムを解決するための重要なルール。
システムの不等式の 1 つに解がない場合、システム全体にも解はありません。
変数の値のいずれかについて不等式の 1 つが満たされる場合、システムの解は他の不等式の解になります。
例。
連立不等式を解きます: $\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(cases)$
解決。
それぞれの不等式を個別に解いてみましょう。
$x^2-16>0$。
$(x-4)(x+4)>0$。
2番目の不等式を解いてみましょう。
$x^2-8x+12≤0$。
$(x-6)(x-2)≤0$。
不等式の解は区間です。 
両方の間隔を同じ線上に描き、交点を見つけてみましょう。 
間隔の交点はセグメント (4; 6] です。
答え: (4;6]。
不平等システムを解決します。
a) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(cases) )$。
解決。
a) 最初の不等式の解は x>1 です。
2番目の不等式の判別式を求めてみましょう。
$D=16-4 * 2 * 4=-16$。 $D ルールを思い出してください。不等式の 1 つに解がない場合、系全体にも解はありません。
回答: 解決策はありません。
B) 最初の不等式の解は x>1 です。
2 番目の不等式は、すべての x について 0 より大きくなります。 この場合、システムの解は最初の不等式の解と一致します。
答え: x>1。
独立した解法のための不等式系の問題
不等式系を解く：a) $\begin(cases)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(cases)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(cases)x^2-25 d) $\begin(cases)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(cases)$
e) $\begin(case)x^2+36
理論：
不等式を解くときは、次のルールが使用されます。
1. 不等式の任意の項は 1 つの部分から転送できます
不等号を反対の符号を持つ別のものに変換しますが、不等号の符号は変わりません。
2. 不等式の両辺は 1 で乗算または除算できます。
不等号を変更せずに同じ正の数を入力します。
3. 不等式の両辺は 1 で乗算または除算できます。
同じ負の数で、不等号を次のように変更します。
反対。
不平等を解決する − 8 × + 11<
−
3
x
−
4
解決。
1.ペニスを動かしてみよう − 3×不等式の左辺と項 11
- 符号を反対のものに変更しながら、不等式の右側に移動します − 3×そしてで 11
.
それから、私たちは得ます
−8×＋3×< − 4 − 11
− 5倍< − 15
2. 不等式の両辺を割ってみましょう − 5倍<
−
15
負の数に −
5
、および不等号 <
、に変わります >
、つまり 反対の意味の不等式に移ります。
我々が得る：
− 5倍< − 15 | : (− 5 )
x > − 15 : (− 5 )
x > 3
x > 3— 与えられた不等式の解。
注意してください！
ソリューションを作成するには 2 つのオプションがあります。 x > 3または数値間隔として。
不等式の解のセットを数直線上にマークし、数値区間の形で答えを書きましょう。
×∈ (3 ; + ∞ )
答え： x > 3または ×∈ (3 ; + ∞ )
代数的不等式。
二次不等式。 より高次の合理的不平等。
不等式を解く方法は主に、不等式を構成する関数がどのクラスに属しているかによって決まります。
- 私。 二次不等式、つまり、次の形式の不等式です。
ax 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.
不等式を解決するには、次のことができます。
- 平方三項式を因数分解します。つまり、不等式を次の形式で書きます。
a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).
- 多項式の根を数直線上にプロットします。 根がたくさん折れる 実数それぞれの区間で、対応する二次関数の符号が定数になります。
- 各区間の (x - x 1) (x - x 2) の符号を決定し、答えを書き留めます。
平方三項式に根がない場合、D について<0 и a>0 平方三項式は、任意の x に対して正になります。
- 不平等を解決します。 x 2 + x - 6 > 0。
2 次三項式の因数分解 (x + 3) (x - 2) > 0
答え: x (-∞; -3) (2; +∞)。
2) (x - 6) 2 > 0
この不等式は、x = 6 を除くすべての x に当てはまります。
答え: (-∞; 6) (6; +∞)。
3) x² + 4x + 15< 0.
ここでD< 0, a = 1 >0. 平方三項式はすべての x に対して正です。
答え: × Î Ø。
不等式を解く：
- 1 + x - 2x²< 0. Ответ:
- 3x² - 12x + 12 ≤ 0. 答え:
- 3x² - 7x + 5 ≤ 0. 答え:
- 2x² - 12x + 18 > 0. 答え:
- a のどの値に対して不等式が成り立つのか
x² - ax > はどの x にも当てはまりますか? 答え：
- Ⅱ。 より高次の合理的不平等、つまり、形式の不等式
a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.
最高次数の多項式は因数分解する必要があります。つまり、不等式は次の形式で記述する必要があります。
a n (x - x 1) (x - x 2) ·…· (x - x n) > 0 (<0).
多項式が消える数直線上の点をマークします。
各区間の多項式の符号を決定します。
1) 不等式を解く x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x< 0.
x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) =x (x - 1)(x 2 -5x + 6) =
x (x - 1) (x - 2) (x - 3)。 つまり、x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0
答え: (0; 1) (2; 3)。
2) 不等式を解きます (x -1) 5 (x + 2) (x - 1/2) 7 (2x + 1) 4<0.
多項式が消える数値軸上の点をマークしましょう。 これらは、x = 1、x = -2、x = 1/2、x = - 1/2 です。
点 x = - 1/2 では、二項式 (2x + 1) が偶数乗されるため、符号は変化しません。つまり、式 (2x + 1) 4 は、点 x = を通過するときに符号を変更しません。 - 1/2。
答え: (-∞; -2) (1/2; 1)。
3) 不等式を解きます: x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0。
この不等式は次の集合と等価です
(1) の解は x (-∞; -2) (3; +∞) です。 (2) の解は、x = 0、x = -2、x = 3 です。得られた解を組み合わせると、 x О (-∞; -2] (0) (0) が得られます。
線形不等式を扱うスキルを習得していれば、その解は説明なしで簡単に書くことができます。 この場合、最初に元の線形不等式を書き留め、次に、解法の各ステップで得られた等価不等式を以下に書き留めます。
3 x+12≤0 ;
3 x≤−12 ;
x≤−4 。
答え：
x≤−4 または (−∞, −4] 。
例。
一次不等式 −2.7·z>0 のすべての解をリストします。
解決。
ここで、変数 z の係数 a は -2.7 に等しくなります。 また、係数 b は明示的に存在しません。つまり、係数 b はゼロに等しいです。 したがって、ゼロを左側から右側に移動しても元の不等式の形式は変わらないため、1 つの変数を使用して線形不等式を解くアルゴリズムの最初のステップを実行する必要はありません。
-2.7 は負の数であるため、不等式の符号を反対のものに変更することを忘れずに、不等式の両辺を -2.7 で割る必要があります。 我々は持っています (−2.7z):(−2.7)<0:(−2,7) 、次に z<0 .
それでは簡単に:
−2.7・z>0 ;
z<0
.
答え：
z<0 или (−∞, 0) .
例。
不等式を解く 
.
解決。
−5 に等しい変数 x の係数 a と、分数 −15/22 に対応する係数 b を使用して線形不等式を解く必要があります。 よく知られているスキームに従って作業を進めます。まず、-15/22 を反対の符号で右側に移し、その後、不等式の符号を変更しながら、不等式の両辺を負の数 -5 で割ります。 
右側の最後の遷移では、 
、その後実行されました 
.
答え：
次に、a=0 の場合に移ります。 一次不等式 a x+b を解く原理<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0 , то есть, неравенства 0·x+b<0 , заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.
これは何を根拠にしているのでしょうか？ 非常に簡単です。不等式の解を決定することです。 どうやって？ はい、その方法は次のとおりです。元の一次不等式に変数 x のどの値を代入しても、b の形式の数値不等式が得られます。<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0 , откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.
上記の引数を次の形式で定式化しましょう 線形不等式を解くアルゴリズム 0 x+b<0 (≤, >, ≥) :
- 数値不等式 b を考えてみましょう。<0 (≤, >、≧）そして
- これが真の場合、元の不等式の解は任意の数値になります。
- false の場合、元の線形不等式には解がありません。
では、例を挙げてこれを理解しましょう。
例。
不等式0・x+7>0を解きます。
解決。
変数 x の任意の値について、一次不等式 0 x+7>0 は数値不等式 7>0 に変わります。 最後の不等式は真であるため、任意の数値が元の不等式の解となります。
答え：
解は任意の数値または (−∞, +∞) です。
例。
一次不等式 0・x−12.7≥0 には解がありますか?
解決。
変数 x の代わりに任意の数値を代入すると、元の不等式は数値不等式 −12.7≥0 になり、これは正しくありません。 これは、一次不等式 0·x−12.7≥0 の解となる数値は 1 つもないことを意味します。
答え：
いいえ、そうではありません。
このセクションの結論として、どちらの係数もゼロに等しい 2 つの線形不等式の解を分析します。
例。
線形不等式 0·x+0>0 と 0·x+0≥0 のどちらが解を持たず、どれが無限に多くの解を持ちますか?
解決。
変数 x の代わりに任意の数値を代入すると、最初の不等式は 0>0、2 番目の不等式は 0≥0 の形式になります。 最初のものは間違っており、2 番目のものは正しいです。 したがって、一次不等式 0・x+0>0 には解がありませんが、不等式 0・x+0≥0 には無限に多くの解があり、その解は任意の数になります。
答え：
不等式 0 x+0>0 には解がありませんが、不等式 0 x+0≥0 には無限に多くの解があります。
インターバル法
一般に、区間の方法は、1 つの変数における線形不等式を解くという主題よりも後に、学校の代数コースで学習されます。 しかし、区間法を使用すると、線形不等式を含むさまざまな不等式を解くことができます。 したがって、それについて詳しく考えてみましょう。
変数 x の非ゼロ係数を使用して線形不等式を解くには、間隔法を使用することが推奨されることにすぐに注意してください。 それ以外の場合は、前の段落の最後で説明した方法を使用して不等式の解決に関する結論を導き出す方が早くて便利です。
間隔法が意味するのは、
- 私たちの場合、不等式の左辺に対応する関数を導入します – 一次関数 y=a x+b 、
- 定義領域を間隔に分割するゼロを見つけます。
- これらの間隔で関数値を持つ符号を決定し、それに基づいて線形不等式の解に関する結論が下されます。
この瞬間を集めましょう アルゴリズム、線形不等式 a x+b を解く方法を明らかにする<0 (≤, >, ≥) 区間法を使用した a≠0 の場合：
- 関数 y=a・x+b のゼロが見つかり、a・x+b=0 が解かれます。 知られているように、a≠0 の場合、根は 1 つあり、これを x 0 と表します。
- それが構築され、座標 x 0 の点がその上に描画されます。 さらに、厳密な不等式を解くと (符号付き)< или >) の場合、この点は句読点 (中心が空) になり、厳密でない場合 (符号 ≤ または ≥) は通常の点が配置されます。 この点は、座標線を 2 つの区間 (−∞, x 0) と (x 0, +∞) に分割します。
- これらの区間における関数 y=a・x+b の符号が決定されます。 これを行うには、この関数の値が区間 (−∞, x 0) 内の任意の点で計算され、この値の符号が区間 (−∞, x 0) 上の目的の符号になります。 同様に、区間 (x 0 , +∞) の符号は、この区間の任意の点で関数 y=a・x+b の値の符号と一致します。 しかし、これらの計算を行わずに、係数 a の値に基づいて符号に関する結論を引き出すこともできます。a>0 の場合、区間 (−∞, x 0) と (x 0, +∞) では次のようになります。符号はそれぞれ - と + であり、>0 の場合は + と - です。
- > または ≥ の符号が付いた不等式が解かれている場合は、ギャップにプラス記号のハッチングが配置され、符号が付いた不等式が解かれている場合は、ギャップにハッチングが配置されます。< или ≤, то – со знаком минус. В результате получается , которое и является искомым решением линейного неравенства.
区間法を使用して一次不等式を解く例を考えてみましょう。
例。
不等式−3・x+12>0を解きます。
解決。
今回はinterval法を分析しているのでそれを使います。 このアルゴリズムによれば、まず方程式 −3・x+12=0、−3・x=−12、x=4 の根を見つけます。 次に、座標線を引き、その上に座標 4 の点をマークします。厳密な不等式を解いているので、この点をパンクさせます。 
次に、区間上の符号を決定します。 区間 (−∞, 4) の符号を決定するには、たとえば x=3 での関数 y=−3・x+12 の値を計算します。 −3・3+12=3>0 になります。これは、この区間に + 記号があることを意味します。 別の区間 (4, +∞) の符号を決定するには、たとえば点 x=5 での関数 y=−3 x+12 の値を計算できます。 −3・5+12=−3となります。<0
, значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x
: так как он равен −3
, то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4)
будет знак +, а на промежутке (4, +∞)
знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:
> 記号を使用して不等式を解いているので、+ 記号を使用して隙間に陰影を描きます。描画は次の形式になります。 
結果の画像に基づいて、目的の解は (−∞, 4)、または別の表記では x であると結論付けます。<4 .
答え：
(−∞, 4) または x<4 .
グラフィカルに
1 つの変数で線形不等式を解く際の幾何学的解釈を理解しておくと役立ちます。 それを理解するために、同じ左辺を持つ 4 つの線形不等式を考えてみましょう: 0.5 x−1<0
, 0,5·x−1≤0
, 0,5·x−1>0 および 0.5 x−1≥0 、その解は x です<2
, x≤2
, x>2 かつ x≧2 であり、一次関数 y=0.5 x−1 のグラフも描きます。 
それに気づくのは簡単です
- 不等式 0.5 x−1 の解<0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 располагается ниже оси абсцисс (эта часть графика изображена синим цветом),
- 不等式 0.5 x−1≤0 の解は、関数 y=0.5 x−1 のグラフが Ox 軸よりも下にあるか、それと一致する (つまり、横軸より上ではない) 区間を表します。
- 同様に、不等式 0.5 x−1>0 の解は、関数のグラフが Ox 軸より上にある区間です (グラフのこの部分は赤で表示されます)。
- そして、不等式0.5・x−1≧0の解は、関数のグラフが横軸より高いか、または横軸と一致する区間です。
不等式を解くためのグラフィカルな方法、特に線形であり、不等式の左側に対応する関数のグラフが、不等式の右側に対応する関数のグラフの上、下、下ではない、または上にない区間を見つけることを意味します。 一次不等式の場合、左側に対応する関数は y=a・x+b で、右側は y=0 で、Ox 軸と一致します。
与えられた情報を考慮すると、定式化するのは簡単です 線形不等式をグラフィカルに解くアルゴリズム:
- 関数 y=a x+b のグラフが構築され (概略的には可能)、
- 不等式 a x+b を解くとき<0 определяется промежуток, на котором график ниже оси Ox ,
- 不等式 a x+b≤0 を解くとき、グラフが下にある区間、または Ox 軸と一致する区間が決定されます。
- 不等式 a x+b>0 を解くとき、グラフが Ox 軸の上にある区間が決定されます。
- 不等式 a・x+b≧0 を解くとき、グラフが Ox 軸より高い、または一致する区間が決まります。
例。
不等式を解く 
グラフィカルに。
解決。
一次関数のグラフを描いてみよう 
。 x の係数が負であるため、これは減少する直線です。 X 軸との交点の座標も必要です。これは方程式の根です。 
、これは と等しい。 私たちのニーズでは、Oy 軸を描く必要さえありません。 したがって、概略図は次のようになります 
> 記号を使用して不等式を解いているので、関数のグラフが Ox 軸の上にある区間に興味があります。 わかりやすくするために、グラフのこの部分を赤で強調表示します。また、この部分に対応する間隔を簡単に決定するために、グラフの選択した部分が位置する座標平面の部分を赤で強調表示します。以下の図: 
注目するギャップは、赤で強調表示されている Ox 軸の部分です。 明らかにこれはオープンナンバービームです 
。 これが私たちが探している解決策です。 > という記号ではなく、非厳密な不等式 ≥ の記号を使って不等式を解いている場合は、答えを追加する必要があることに注意してください。 y=0・x+7 (y=7 と同じ) は、Ox 軸に平行でその上にある座標平面上の直線を定義します。 したがって、不等式 0 x+7<=0
не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7
ниже оси абсцисс.
そして、関数y=0・x+0のグラフはy=0と同じであり、Ox軸と一致する直線となる。 したがって、不等式 0・x+0≥0 の解はすべての実数の集合になります。
答え：
2 番目の不等式、その解は任意の実数です。
線形に縮小する不平等
膨大な数の不等式は、等価変換を使用して等価な線形不等式に置き換えることができます。つまり、線形不等式に変換できます。 このような不平等はこう呼ばれます 線形に縮小する不平等.
学校では、線形不等式を解くのとほぼ同時に、線形不等式に帰着する単純な不等式も考慮されます。 それらは特殊なケースです 不平等全体、つまり、その左側と右側の部分には、またはを表す式全体があります。 線形二項式、または と によってそれらに変換されます。 明確にするために、このような不等式の例をいくつか示します: 5−2・x>0、7・(x−1)+3≤4・x−2+x、 
.
上で示したものと形式が似ている不等式は、常に線形のものに還元できます。 これは、括弧を開けたり、類似した用語を持ってきたり、用語を並べ替えたり、不等式の一方の辺から反対の符号を持つ別の辺に用語を移動したりすることで実行できます。
たとえば、不等式 5−2 x>0 を線形に縮小するには、左辺の項を並べ替えるだけで十分です。−2 x+5>0 が得られます。 2 番目の不等式 7・(x−1)+3≤4・x−2+x を線形にするには、もう少し手順が必要です。左側で括弧 7・x−7+3≤4・を開きます。 x−2+x 、これを行うには、両側に同様の項を提示します 7 x−4≤5 x−2 、次に項を右側から左に移します 7 x−4−5 x+2≤ 0 、最後に、同様の項を左側 2 ·x−2≤0 に示します。 同様に、3 番目の不等式は線形不等式に変形できます。
このような不等式はいつでも線形に還元できるという事実により、一部の著者はそれを線形とも呼んでいます。 しかし、それでもなお、それらは線形に還元可能であると考えます。
ここで、なぜそのような不等式が線形不等式と一緒に考慮されるのかが明らかになります。 そして、それらの解の原理はまったく同じです。等価な変換を実行することで、目的の解を表す基本不等式に還元できます。
このタイプの不等式を解くには、まず線形不等式に換算してから、この線形不等式を解きます。 しかし、これを行う方が合理的で便利です。
- 括弧を開いた後、不等式の左側の変数を含むすべての項と右側のすべての数値を収集します。
- 次に、同様の用語を持ち込んで、
- そして、得られた不等式の両辺を x の係数で割ります (もちろん、それがゼロではない場合)。 これで答えが得られます。
例。
不等式 5・(x+3)+x≤6・(x−3)+1 を解きます。
解決。
まず括弧を開けてみましょう。その結果、不等式 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1 が得られます。 次に、同様の項を与えてみましょう: 6 x+15≤6 x−17 。 次に、項を左側から移動すると、6 x+15−6 x+17≤0 が得られ、再び同様の項が得られます (これにより、一次不等式 0 x+32≤0 が導かれます)、32≤ が得られます。 0. このようにして、間違った数値不等式に到達し、そこから元の不等式には解がないという結論に達しました。
答え：
解決策はありません。
結論として、線形不等式、または上で検討した種類の不等式に帰着できる不等式が他にもたくさんあることに注意します。 たとえば、解決策 指数関数的不等式 5 2 x−1 ≥1 は、一次不等式 2 x−1≥0 を解くことになります。 しかし、これについては、対応する形式の不等式の解を分析するときに話します。
参考文献。
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不平等と不平等システムは、以下で取り上げるトピックの 1 つです。 高校代数で。 難易度に関しては、ルールが簡単なので、最も難しいというわけではありません（詳しくは後述します）。 原則として、小学生は不平等系を非常に簡単に解決することを学びます。 これは、教師が単にこのテーマについて生徒を「訓練」しているだけであるという事実にも起因します。 そして、それは他のものを使って将来研究されるので、彼らはこれを行わざるを得ません。 数学的量、OGE および統一州試験でもテストされます。 学校の教科書では、格差や格差体系について詳しく取り上げられているので、勉強するなら教科書を利用するのが一番です。 この記事は大規模な資料のみを要約したものであり、いくつかの省略がある可能性があります。
不平等系の概念
科学的な言葉に目を向けると、「不平等系」という概念を定義できます。 これは、いくつかの不等式を表す数学的モデルです。 もちろん、このモデルには解が必要であり、これがタスクで提案されているシステムのすべての不等式に対する一般的な答えになります (通常、これはその中に書かれています。たとえば、「不等式 4 x + 1 > を解きます」 2 と 30 - x > 6...」)。 ただし、解決策の種類と方法に進む前に、別のことを理解しておく必要があります。
不等式系と方程式系
勉強中 新しい話題非常に頻繁に誤解が生じます。 一方で、すべてが明確であり、できるだけ早くタスクの解決を開始したいと考えていますが、一方で、いくつかの瞬間が「影」に残り、完全には理解されていません。 また、すでに取得した知識のいくつかの要素が新しい知識と絡み合うこともあります。 この「オーバーレイ」の結果、エラーが頻繁に発生します。
したがって、このトピックの分析を始める前に、方程式と不等式、およびそれらのシステムの違いを覚えておく必要があります。 これを行うには、これらの数学的概念が何を表しているのかをもう一度説明する必要があります。 方程式は常に等式であり、常に何かと等しいです (数学では、この単語は記号「=」で示されます)。 不等式は、ある量が別の量より大きいか小さいかのいずれかであるか、それらが同じではないというステートメントを含むモデルです。 したがって、前者の場合は平等について話すのが適切であり、後者の場合は、名前自体からどれほど明白に聞こえるとしても、初期データの不平等について話すのが適切です。 連立方程式と不等式は実際には互いに違いはなく、それらを解く方法は同じです。 唯一の違いは、最初のケースでは等式が使用され、2 番目のケースでは不等式が使用されることです。
不平等の種類
不等式には、数値的な不等式と未知の変数を伴う不等式の 2 つのタイプがあります。 最初のタイプは、互いに等しくない、指定された量 (数値) を表します (たとえば、8 > 10)。2 番目のタイプは、未知の変数 (ラテン語のアルファベットの文字で示され、ほとんどの場合 X で表されます) を含む不等式です。 この変数を見つける必要があります。 数に応じて、数学モデルは 1 つの変数による不等式 (1 つの変数による不等式系を構成する) または複数の変数による不等式 (複数の変数による不等式系を構成する) を区別します。
最後の 2 つのタイプは、その構築の程度とソリューションの複雑さのレベルに応じて、単純なものと複雑なものに分類されます。 単純なものは線形不等式とも呼ばれます。 さらに、それらは厳格なものと非厳格なものに分けられます。 厳密なものは、ある量が必ずそれ以下かそれ以上でなければならないと「言う」ので、これは純粋な不平等です。 いくつかの例が挙げられます: 8 x + 9 > 2、100 - 3 x > 5 など。非厳密なものには等価も含まれます。 つまり、ある値が別の値以上 (「≧」記号) になることも、別の値以下 (「≤」記号) になることもあります。 線形不等式であっても、変数は根、二乗、または何によっても割り切れないため、「単純」と呼ばれます。 複雑なものには未知の変数が含まれており、見つけるために実行が必要です。 もっと数学的演算。 多くの場合、それらは正方形、立方体、ルートの下に配置され、モジュラー、対数、分数などにすることができます。しかし、私たちの課題は不等式系の解法を理解する必要があるため、線形不等式系について説明します。 。 ただし、その前に、それらの特性について少し説明しておく必要があります。
不等式の性質
不等式の性質には次のようなものがあります。
- 辺の順序を変更するために演算が使用される場合、不等号は反転します (たとえば、t 1 ≤ t 2 の場合、t 2 ≥ t 1)。
- 不等式の両辺を使用すると、同じ数値をそれ自体に加算できます (たとえば、t 1 ≤ t 2 の場合、t 1 + 数値 ≤ t 2 + 数値)。
- 同じ方向の符号を持つ 2 つ以上の不等式の左辺と右辺を加算できます (たとえば、t 1 ≥ t 2、t 3 ≥ t 4 の場合、t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4)。 。
- 不等式の両方の部分は、同じ正の数で乗算または除算できます (たとえば、t 1 ≤ t 2 および数値 ≤ 0 の場合、数値 · t 1 ≥ 数値 · t 2)。
- 正の項と同じ方向の符号を持つ 2 つ以上の不等式は、互いに乗算できます (たとえば、t 1 ≤ t 2、t 3 ≤ t 4、t 1、t 2、t 3、t の場合)。 4 ≥ 0 の場合、t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4)。
- 不等式の両方の部分で、同じ負の数を乗算または除算することができますが、この場合、不等式の符号が変わります (たとえば、t 1 ≤ t 2 および数値 ≤ 0 の場合、数値 · t 1 ≥ 数値 · t 2)。
- すべての不等式には推移性の性質があります (たとえば、t 1 ≤ t 2 および t 2 ≤ t 3 の場合、t 1 ≤ t 3)。
さて、不等式に関連する理論の基本原理を学習した後、その系を解決するための規則の検討に直接進むことができます。
不平等を解決するシステム。 一般情報。 ソリューション
上で述べたように、解は、与えられたシステムのすべての不等式に適した変数の値です。 不等式システムを解くことは、最終的にシステム全体の解を導くか、システムに解がないことを証明する数学的演算の実装です。 この場合、変数は空の数値セットに属していると言われます (次のように記述されます: 変数を表す文字∈ (記号「属する」) ø (記号「空集合」)。たとえば、x ∈ ø (「変数 "x" は空集合に属します」と読みます)。 不等式系を解決するには、グラフィカルな方法、代数的な方法、置換法など、いくつかの方法があります。 彼らがその中にいることは注目に値します 数学的モデル、これにはいくつかの未知の変数があります。 1つしかない場合はインターバル方式が適しています。
グラフィック手法
複数の未知の量 (2 以上) を含む不等式系を解くことができます。 この方法のおかげで、線形不等式系を非常に簡単かつ迅速に解くことができるため、最も一般的な方法です。 これは、グラフをプロットすると数学的演算の記述量が減るという事実によって説明されます。 ペンから少し休憩し、定規で鉛筆を手に取り、作業を始めると特に楽しくなります。 さらなるアクションたくさんの仕事が終わって、少し変化が欲しいときは、彼らの助けを借りてください。 しかし この方法タスクから離れて精神活動を絵を描くことに切り替える必要があるため、それを好まない人もいます。 ただし、これは非常に効果的な方法です。
グラフィカルな手法を使用して不等式系を解くには、各不等式のすべての項を左側に移す必要があります。 符号が反転され、ゼロが右側に書かれ、各不等式が個別に書かれる必要があります。 その結果、不等式から関数が得られます。 この後、鉛筆と定規を取り出すことができます。次に、得られた各関数のグラフを描く必要があります。 それらの交点の範囲内にある数値のセット全体が不等式系の解となります。
代数的な方法
2 つの未知の変数を使用して不等式系を解くことができます。 また、不等式には同じ不等号がなければなりません (つまり、「より大きい」記号のみ、または「より小さい」記号のみが含まれている必要があります)。制限があるにもかかわらず、この方法はより複雑でもあります。 それは 2 段階で適用されます。
1 つ目は、未知の変数の 1 つを取り除くアクションです。 まずそれを選択し、次にこの変数の前に数字が存在するかどうかを確認する必要があります。 それらが存在しない場合 (変数は 1 つの文字のように見えます)、何も変更しません。存在する場合 (変数の型は、たとえば 5y または 12y になります)、次のようにする必要があります。各不等式で、選択した変数の前の数字が同じであることを確認してください。 これを行うには、不等式の各項に共通の因数を掛ける必要があります。たとえば、最初の不等式に 3y が書かれ、2 番目の不等式に 5y が書かれている場合、最初の不等式のすべての項に 5 を掛ける必要があります。 、2番目は3です。それぞれ15yと15yを獲得します。
解決の第 2 段階。 各不等式の左辺を右辺に移し、各項の符号を反対に変更し、右辺にゼロを書く必要があります。 次に、不等式を追加しながら、選択した変数を削除する (別名「リダクション」) という楽しい部分が来ます。 これにより、解決する必要がある変数が 1 つある不等式が生じます。 この後、別の未知の変数のみを使用して同じことを行う必要があります。 得られた結果がシステムの解決策となります。
置換方法
新しい変数を導入できる場合、不等式系を解くことができます。 通常、この方法は、不等式の一方の項の未知の変数を 4 乗し、もう一方の項で未知の変数を 2 乗する場合に使用されます。 したがって、この方法はシステム内の不平等の程度を軽減することを目的としています。 標本の不等式 x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 はこの方法で解決されます。 新しい変数、たとえば t が導入されます。 彼らは「t = x 2 とします」と書き、モデルは新しい形式で書き直されます。 この場合、t 2 - t - 1 ≤0 が得られます。 この不等式は、間隔法 (詳細は後ほど説明します) を使用して解決し、変数 X に戻って、他の不等式でも同じことを行う必要があります。 受け取った回答がシステムのソリューションとなります。
インターバル法
これは不平等体系を解決する最も簡単な方法であると同時に、普遍的で広く普及しています。 中学校だけでなく高等学校でも使われています。 その本質は、生徒がノートに描かれた数直線上で不等間隔を探すという事実にあります（これはグラフではなく、単なる数字の入った普通の線です）。 不等式の間隔が交差する場所で、システムの解が見つかります。 間隔方式を使用するには、次の手順に従う必要があります。
- 各不等式のすべての項は、符号が反対に変化して左側に転送されます (右側にはゼロが書き込まれます)。
- 不等式は個別に書き出して、それぞれの解を決定します。
- 数直線上の不等式の交点が見つかります。 これらの交差点にあるすべての番号が解決策になります。
どの方法を使用すればよいですか?
明らかにこれが最も簡単で便利だと思われますが、タスクによっては特定の方法が必要になる場合があります。 ほとんどの場合、グラフまたは区間法のいずれかを使用して解く必要があると言われます。 代数的手法と代入は非常に複雑でわかりにくいため、非常にまれに使用されるか、まったく使用されません。また、不等式よりも連立方程式を解くために使用されるため、グラフと区間の描画に頼るべきです。 それらは可視性をもたらし、効果的かつ効果的に貢献せずにはいられません。 迅速な実装数学的演算。
何かがうまくいかない場合
代数学の特定のトピックを研究していると、当然のことながら、その理解に問題が生じることがあります。 私たちの脳は複雑な内容を一度に理解できないように設計されているため、これは正常なことです。 多くの場合、段落を読み直したり、教師の助けを借りたり、標準的なタスクを解く練習をしたりする必要があります。 私たちの場合、それらはたとえば次のようになります。「連立不等式 3 x + 1 ≥ 0 および 2 x - 1 > 3 を解きます。」 したがって、個人的な願望、外部からの助け、実践は、複雑なトピックを理解するのに役立ちます。
ソルバー？
解決策の本も非常に適していますが、宿題を書き写すためではなく、自己啓発に役立ちます。 それらの中で、解を伴う不等式のシステムを見つけ、それを (テンプレートとして) 見て、解の作成者がそのタスクにどのように対処したかを正確に理解しようとし、それから自分でも同じことを試みることができます。
結論
代数は学校で最も難しい科目の 1 つです。 さて、何ができるでしょうか？ 数学は常にこのようなものです。ある人にとっては簡単ですが、他の人にとっては難しいです。 しかし、いずれにせよ、一般教育プログラムはどんな学生でも対応できるように構成されているということを覚えておく必要があります。 さらに、心に留めておかなければならないのは、 大量のアシスタント それらのいくつかは上で言及されています。
