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数学的不等式の概念は古代に生まれました。 これは、原始人が数を数えたり、操作したりする必要性が生じたときに起こりました。 さまざまなアイテムその数と大きさを比較してください。 古代以来、アルキメデス、ユークリッド、その他の有名な科学者、数学者、天文学者、デザイナー、哲学者は推論に不等式を使用してきました。
しかし、彼らは原則として、作品の中で言葉による用語を使用しました。 今日初めて、すべての学童が知っている形で「より多く」と「より少なく」の概念を示す現代的な記号がイギリスで発明され、実践されました。 数学者のトーマス・ハリオットは、彼の子孫にそのようなサービスを提供しました。 そしてこれは約4世紀前に起こりました。
多くの種類の不平等が知られています。 それらの中には、1 つまたは 2 つ以上の変数、二次比、分数比、複素比を含む単純なもの、さらには式系で表されるものもあります。 不平等を解決する方法を理解する最良の方法は、さまざまな例を使用することです。
電車に乗り遅れないように
まず、住人がいると想像してみましょう。 農村部彼は村から20キロ離れた駅に急いだ。 11時に出発する電車に乗り遅れないように、彼は時間通りに家を出なければなりません。 速度が 5 km/h の場合、これを何時に行う必要がありますか? この実際的な問題の解決策は、次の式の条件を満たすことになります: 5 (11 - X) ≥ 20 (X は出発時刻)。
村人が駅まで移動する必要がある距離は、移動速度と移動時間の積に等しいため、これは当然です。 人は早く到着することはできますが、遅刻することはできません。 不等式を解く方法を知り、スキルを実際に応用すれば、最終的には X ≤ 7 となり、これが答えになります。 これは、村人は朝の7時かそれより少し早く駅に行く必要があることを意味します。
座標線上の数値間隔
ここで、記述された関係を上にマッピングする方法を見てみましょう。上で得られた不等式は厳密ではありません。 これは、変数が 7 未満の値を取ることも、この数値と等しくなることもあるということを意味します。 他の例も挙げてみましょう。 これを行うには、以下に示す 4 つの図を注意深く検討してください。
最初のもので見ることができます グラフィック画像ギャップ [-7; 7]。 これは、座標線上に配置され、境界を含む -7 から 7 までの範囲にある一連の数値で構成されます。 この場合、グラフ上の点は黒丸で示され、間隔は次の方法で記録されます。
２枚目の絵は、 グラフ表示厳格な不平等。 この場合、穴の開いた (塗りつぶされていない) ドットで示される境界線番号 -7 と 7 は、指定されたセットには含まれません。 また、間隔自体は次のように括弧内に記述されます: (-7; 7)。
つまり、このタイプの不等式を解く方法を見つけて同様の答えを得たので、-7 と 7 を除く、問題の境界の間にある数値で構成されていると結論付けることができます。次の 2 つのケースは、次の 2 つのケースで評価する必要があります。同様の方法。 3 番目の図は、間隔 (-∞; -7] U の画像を示しています。
学んだことをまとめてみましょう。
$\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$ という不等式系を解く必要があるとします。
したがって、区間 ($x_1; x_2$) が最初の不等式の解となります。
間隔 ($y_1; y_2$) は、2 番目の不等式の解です。
不等式系の解は、各不等式の解の交点です。 
不等式系は、一次不等式だけでなく、他の種類の不等式でも構成できます。
不平等システムを解決するための重要なルール。
システムの不等式の 1 つに解がない場合、システム全体にも解はありません。
変数の任意の値について不等式の 1 つが満たされる場合、システムの解は他の不等式の解になります。
例。
連立不等式を解きます: $\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(cases)$
解決。
それぞれの不等式を個別に解いてみましょう。
$x^2-16>0$。
$(x-4)(x+4)>0$。
2番目の不等式を解いてみましょう。
$x^2-8x+12≤0$。
$(x-6)(x-2)≤0$。
不等式の解は区間です。 
両方の間隔を同じ線上に描き、交点を見つけてみましょう。 
間隔の交点はセグメント (4; 6] です。
答え: (4;6]。
不平等システムを解決します。
a) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(cases) )$。
解決。
a) 最初の不等式の解は x>1 です。
2番目の不等式の判別式を求めてみましょう。
$D=16-4 * 2 * 4=-16$。 $D ルールを思い出してください。不等式の 1 つに解がない場合、系全体にも解はありません。
回答: 解決策はありません。
B) 最初の不等式の解は x>1 です。
2 番目の不等式は、すべての x についてゼロより大きくなります。 この場合、システムの解は最初の不等式の解と一致します。
答え: x>1。
独立した解法のための不等式系の問題
不等式系を解く：a) $\begin(cases)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(cases)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(cases)x^2-25 d) $\begin(cases)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(cases)$
e) $\begin(case)x^2+36
学生に最大限の注意と忍耐力を必要とするトピックの 1 つは、不平等の解決です。 方程式に非常に似ていますが、同時に方程式とは大きく異なります。 なぜなら、それらを解決するには特別なアプローチが必要だからです。
答えを見つけるために必要なプロパティ
これらはすべて、既存のエントリを同等のエントリに置き換えるために使用されます。 それらのほとんどは、方程式に含まれていたものと似ています。 しかし、違いもあります。
- ODZ で定義された関数、または任意の数値を元の不等式の両辺に追加できます。
- 同様に、乗算も可能ですが、正の関数または数値によってのみ可能です。
- このアクションを負の関数または数値で実行する場合は、不等号を反対のものに置き換える必要があります。
- 負でない関数は正の累乗にすることができます。
不平等を解決するには、無関係な答えを提供するアクションが伴う場合があります。 比較して除外する必要がある ODZエリアそして多くの解決策。
インターバル方式の使用
その本質は、不等式を右側にゼロがある方程式に還元することです。
- 彼らが横たわっているエリアを特定する 有効な値変数、つまり ODZ。
- 右辺がゼロになるように数学的演算を使用して不等式を変換します。
- 不等号を「=」に置き換えて、対応する方程式を解きます。
- 数値軸には、解決中に得られたすべての回答と OD 間隔をマークします。 厳密な不等号の場合、点は穴が開いたものとして描画する必要があります。 等号がある場合は、それらを塗りつぶす必要があります。
- ODZ の点とそれを分割する答えから得られる各区間における元の関数の符号を決定します。 点を通過するときに関数の符号が変わらない場合、それは答えに含まれます。 それ以外の場合は除外されます。
- ODZ の境界点はさらにチェックする必要があり、その場合にのみ、回答に含めるかどうかを決定します。
- 結果として得られる答えは、結合セットの形式で記述する必要があります。
二重不等式について少し
彼らは一度に 2 つの不等号を使用します。 つまり、一部の機能は条件によって一度に 2 回制限されます。 このような不等式は、元の部分を分割すると 2 つのシステムとして解決されます。 また、区間法では、両方の方程式を解くことで答えが示されます。
これらを解決するには、上記のプロパティを使用することもできます。 彼らの助けを借りれば、不平等をゼロに減らすことができます。
係数を持つ不等式はどうなるでしょうか?
この場合、不等式の解には次のプロパティが使用され、これらは正の値「a」に対して有効です。
「x」がかかる場合 代数式の場合、次の置換が有効です。
- |x|< a на -a < х < a;
- |x| > aからxまで< -a или х >ａ．
不等式が厳密でない場合、式も正しいですが、大小記号に加えて「=」が表示されます。
不平等システムはどのように解決されるのでしょうか?
この知識は、そのようなタスクが与えられる場合、二重不等式の記録がある場合、またはモジュールが記録に現れる場合に必要になります。 このような状況では、解はレコード内のすべての不等式を満たす変数の値になります。 そのような数値がない場合、システムには解決策がありません。
不平等体系の解決が実行される計画は次のとおりです。
- それぞれを個別に解決します。
- すべての間隔を数値軸上に描画し、それらの交点を決定します。
- システムの応答を書き留めます。これは、2 番目の段落で起こったことを組み合わせたものになります。
分数不等式をどうするか?
それらを解決するには不等号の符号を変更する必要がある場合があるため、計画のすべてのポイントに注意深く注意深く従う必要があります。 そうしないと、真逆の答えが得られる可能性があります。
分数不等式の解決にも区間法が使用されます。 そして、アクションプランは次のようになります。
- 説明したプロパティを使用して、分数に符号の右側にゼロだけが残るような形式を与えます。
- 不等号を「=」に置き換えて、関数がゼロに等しくなる点を決定します。
- それらを座標軸上にマークします。 この場合、分母の計算結果として得られる数値が必ず打ち出されます。 他のすべては不平等の条件に基づいています。
- 符号の不変性の間隔を決定します。
- それに応じて、元の不等式の符号に対応する区間の和集合を書き留めます。
不平等に不合理が現れる状況
言い換えれば、表記には数学的な根があるということです。 学校の代数コースではほとんどのタスクが平方根に関するものであるため、これが考慮されることになります。
不合理な不平等の解決策は、結局のところ、元のシステムと同等の 2 つまたは 3 つのシステムを取得することになります。
| 元の不等式 | 状態 | 同等のシステム |
| √ n(x)< m(х) | m(x)は0以下 | 解決策がない |
| m(x) は 0 より大きい | n(x) は 0 以上です n(x)< (m(х)) 2 |
|
| √ n(x) > m(x) | m(x) は 0 以上です n(x) > (m(x)) 2 |
|
n(x) は 0 以上です m(x) が 0 未満 |
||
| √n(x) ≤ m(x) | m(x) が 0 未満 | 解決策がない |
| m(x) は 0 以上です | n(x) は 0 以上です n(x) ≤ (m(x)) 2 |
|
| √n(x) ≥ m(x) | m(x) は 0 以上です n(x) ≥ (m(x)) 2 |
|
n(x) は 0 以上です m(x) が 0 未満 |
||
| √ n(x)< √ m(х) | n(x) は 0 以上です n(x) が m(x) より小さい |
|
| √n(x) * m(x)< 0 | n(x) は 0 より大きい m(x) が 0 未満 |
|
| √n(x) * m(x) > 0 | n(x) は 0 より大きい m(x) は 0 より大きい |
|
| √n(x) * m(x) ≤ 0 | n(x) は 0 より大きい |
|
n(x) は 0 に等しい m(x) - 任意 |
||
| √n(x) * m(x) ≥ 0 | n(x) は 0 より大きい |
|
n(x) は 0 に等しい m(x) - 任意 |
さまざまな種類の不等式を解く例
不等式の解決に関する理論を明確にするために、以下に例を示します。
最初の例。 2x - 4 > 1 + x
解決策: ADI を決定するには、不等式を詳しく調べる必要があります。 それはから形成されます 一次関数したがって、変数のすべての値に対して定義されます。
ここで、不等式の両辺から (1 + x) を引く必要があります。 結果は次のようになります: 2x - 4 - (1 + x) > 0。括弧を開いて同様の項を与えると、不等式は次の形式になります: x - 5 > 0。
これをゼロとみなすと、その解 x = 5 を見つけるのは簡単です。
ここで、番号 5 のこの点を座標線上にマークする必要があります。 次に、元の関数の兆候を確認します。 マイナス無限大から 5 までの最初の区間では、数値 0 を取得して、変換後に得られた不等式に代入できます。 計算すると、-7 >0 になります。 間隔の円弧の下にマイナス記号を付ける必要があります。
5 から無限大までの次の間隔では、数字 6 を選択できます。すると、1 > 0 であることがわかります。円弧の下に「+」記号があります。 この 2 番目の区間が不等式の答えになります。
答え: x は区間 (5; ∞) にあります。
2番目の例。 2 つの連立方程式、3x + 3 ≤ 2x + 1 および 3x - 2 ≤ 4x + 2 を解く必要があります。
解決。 一次関数が与えられているため、これらの不等式の VA も任意の数値の範囲内にあります。
2 番目の不等式は次の方程式の形式になります: 3x - 2 - 4x - 2 = 0。変換後: -x - 4 =0。 これにより、変数の値は -4 になります。
これら 2 つの数字は、間隔を表す軸上にマークする必要があります。 不等式は厳密ではないため、すべての点をシェーディングする必要があります。 最初の間隔はマイナス無限大から -4 までです。 数字 -5 を選択しましょう。 最初の不等式では値 -3 が得られ、2 番目の不等式では 1 が得られます。これは、この区間が答えに含まれていないことを意味します。
2 番目の間隔は -4 から -2 です。 数値 -3 を選択して、両方の不等式に代入できます。 1 番目と 2 番目の値は -1 です。 これは、円弧の下が「-」であることを意味します。
-2 から無限大までの最後の間隔では、最適な数値はゼロです。 それを代入して不等式の値を見つける必要があります。 最初のものは正の数を生成し、2 番目のものはゼロを生成します。 このギャップも答えから除外する必要があります。
3 つの区間のうち、不等式の解となるのは 1 つだけです。
答え: x は [-4; -2]。
3番目の例。 |1 - x| > 2 |x - 1|。
解決。 最初のステップは、関数が消滅する点を決定することです。 左側の場合、この数値は 2 になり、右側の場合は - 1 になります。それらはビームにマークされ、符号の恒常性の間隔が決定される必要があります。
マイナス無限大から 1 までの最初の区間では、不等式の左辺の関数は次のようになります。 正の値、右から - マイナス。 円弧の下に、「+」と「-」の 2 つの記号を並べて書く必要があります。
次の区間は 1 から 2 です。この区間では、両方の関数が正の値を取ります。 これは、円弧の下に 2 つのプラスがあることを意味します。
2 から無限大までの 3 番目の区間では、次の結果が得られます。左の関数は負で、右の関数は正です。
結果の符号を考慮して、すべての間隔の不等式の値を計算する必要があります。
最初の式では、2 - x > - 2 (x - 1) という不等式が生成されます。 2 番目の不等式の 2 の前にマイナスがあるのは、この関数が負であるためです。
変換後、不等式は次のようになります: x > 0。変数の値がすぐに得られます。 つまり、この間隔からは 0 から 1 までの間隔のみが応答されます。
2 番目: 2 - x > 2 (x - 1)。 変換により次の不等式が得られます: -3x + 4 はゼロより大きいです。 そのゼロは x = 4/3 になります。 不等号を考慮すると、x はこの数値より小さくなければならないことがわかります。 これは、この間隔が 1 ～ 4/3 の間隔に縮小されることを意味します。
後者は次の不等式を与えます: - (2 - x) > 2 (x - 1)。 この変換により、-x > 0 が得られます。つまり、x が 0 未満の場合、方程式は true になります。 これは、必要な区間では不等式が解を提供しないことを意味します。
最初の 2 つの間隔では、制限数は 1 であることがわかりました。これは個別に確認する必要があります。 つまり、元の不等式に代入します。 次のことがわかります: |2 - 1| > 2 |1 - 1|。 計算では、1 が 0 より大きいことがわかります。これは正しいステートメントであるため、答えには 1 が含まれています。
答え: x は区間 (0; 4/3) 内にあります。
構造や構造が似ている不平等を解決する方法を誰もが知っているわけではありません。 特徴的な機能方程式を使って。 方程式は 2 つの部分で構成される演習であり、その間には等号があり、不等号の部分の間には「以上」または「未満」の記号が存在します。 したがって、特定の不等式の解を見つける前に、式で両辺を乗算する必要がある場合には、数値の符号 (正または負) を考慮する価値があることを理解する必要があります。 二乗は乗算によって実行されるため、不等式を解くために二乗が必要な場合も同じ事実を考慮する必要があります。
不平等システムを解決する方法
不平等系を解決することは、通常の不平等よりもはるかに困難です。 9年生の不等式の解き方を見てみましょう 具体的な例。 決定する前に次のことを理解しておく必要があります 二次不等式(系) またはその他の不等式系を使用する場合は、それぞれの不等式を個別に解いてから比較する必要があります。 不平等系の解は、肯定的または否定的な答えになります (系に解があるかどうかは関係ありません)。
タスクは一連の不等式を解くことです。
それぞれの不等式を個別に解いてみましょう
一連の解を描く数直線を作成します。
集合は解の集合の和集合であるため、数直線上のこの集合には少なくとも 1 行の下線を引く必要があります。
係数を使用して不等式を解く
この例では、係数を使用して不等式を解く方法を示します。 したがって、次のような定義があります。
不等式を解く必要があります。
このような不等式を解く前に、係数（符号）を取り除く必要があります。
定義データに基づいて次のように書いてみましょう。
次に、各システムを個別に解決する必要があります。
解のセットを表す 1 つの数直線を作成しましょう。
その結果、多くのソリューションを組み合わせたコレクションができました。
二次不等式を解く
数直線を使用して、2次不等式を解く例を見てみましょう。 不等式があります:
二次三項式のグラフは放物線であることがわかっています。 また、a>0 の場合、放物線の枝は上を向くことがわかります。
×2-3x-4< 0
ビエタの定理を使用して、根 x 1 = - 1 を求めます。 × 2 = 4
放物線、というかそのスケッチを描いてみましょう。
したがって、2 次三項式の値は、-1 から 4 までの区間で 0 未満になることがわかりました。
g(x) のような二重不等式を解くときに多くの人が疑問を感じます。< f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.
実際、不等式を解く方法はいくつかあるため、グラフィカルな方法を使用して複雑な不等式を解くことができます。
分数不等式を解く
より慎重なアプローチが必要です 分数不等式。 これは、一部の分数不等式を解く過程で符号が変わる可能性があるためです。 分数不等式を解く前に、区間法を使って解くことを知っておく必要があります。 分数不等式は、符号の一方の側が分数の有理式のように見え、もう一方の側が「- 0」のように見えるように表現する必要があります。 このように不等式を変形すると、結果として f(x)/g(x) > ( が得られます。
区間法を使用して不等式を解く
区間テクニックは完全帰納法に基づいています。つまり、不等式の解を見つけるには、すべての区間を通過する必要があります。 可能なオプション. この方法 8 年生の生徒には、簡単な練習問題である 8 年生の不等式の解き方を知っている必要があるため、解法は必要ないかもしれません。 しかし、高学年にとって、この方法は分数不等式を解くのに役立つため、不可欠です。 この手法を使用して不等式を解くことは、0 になる値の間の符号を保持するなどの連続関数の特性にも基づいています。
多項式のグラフを作成しましょう。 これは、値 0 を 3 回取る連続関数です。つまり、f(x) は、多項式の根である点 x 1、x 2、および x 3 で 0 に等しくなります。 これらの点の間の間隔では、関数の符号が保存されます。
不等式 f(x)>0 を解くには関数の符号が必要なので、グラフから離れて座標線に進みます。
x(x 1 ; x 2) および x(x 3 ;) の場合、f(x)>0
f(x)x(- ; x 1) および x (x 2 ; x 3)
このグラフは、不等式 f(x)f(x)>0 の解を明確に示しています (最初の不等式の解は青で、2 番目の不等式の解は赤で表示されます)。 区間上の関数の符号を決定するには、いずれかの点での関数の符号がわかっていれば十分です。 このテクニックこのような不等式では根を見つけるのが非常に簡単であるため、左側が因数分解される不等式をすばやく解くことができます。
