家電卓有理方程式を解く解法の例。有理方程式の解き方

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有理方程式を解く解法の例。有理方程式の解き方

「分数の解法」有理方程式"

レッスンの目標:

教育:

分数有理方程式の概念の形成。分数有理方程式を解くさまざまな方法を検討します。分数がゼロに等しいという条件を含む分数有理方程式を解くアルゴリズムを検討します。アルゴリズムを使用して分数有理方程式を解くことを教えます。テストを実施してトピックの習熟度を確認します。

発達:

批判的思考

教育:

主題に対する認知的関心を促進する。教育問題の解決における自主性を促進する。最終的な結果を達成するための意志と忍耐力を養います。

レッスンタイプ: レッスン - 新しい教材の説明。

授業中

1. 組織的な瞬間。

こんにちは皆さん！黒板に方程式が書いてあるので、よく見てください。これらの方程式をすべて解くことができますか? どれがそうではないのか、またその理由は何ですか?

左辺と右辺が分数有理式である方程式を分数有理方程式といいます。今日の授業では何を学ぶと思いますか? レッスンのトピックを作成します。そこで、ノートを開いて、「分数有理方程式を解く」という授業のテーマを書き留めます。

2. 知識を更新する。正面調査、クラスでの口頭調査。

そして今、私たちが勉強する必要がある主な理論的資料を繰り返します新しい話題。次の質問に答えてください。

1. 方程式とは何ですか? ( 変数との等価性.)

2. 方程式 1 の名前は何ですか? ( 線形。）解決一次方程式. (未知数を含むすべてのものを方程式の左側に移動し、すべての数値を右側に移動します。似たような用語をあげてください。未知の要因を見つける).

3. 方程式 3 の名前は何ですか? ( 四角。) ソリューション二次方程式. (ビエタの定理とその帰結を使用した公式を使用して完全な正方形を分離する.)

4. 比例とは何ですか? ( 2 つの比率が等しい.) 比例の主な性質。 ( 比率が正しい場合、その極項の積は中間項の積と等しくなります。.)

5. 方程式を解くときにどのような特性が使用されますか? ( 1. 方程式内の項を符号を変えてある部分から別の部分に移動すると、指定された方程式と等価な方程式が得られます。 2. 方程式の両辺をゼロ以外の同じ数値で乗算または除算すると、指定された方程式と等価な方程式が得られます。.)

6. 分数がゼロになるのはいつですか? ( 分子が次の場合、分数はゼロに等しくなります。ゼロに等しい、分母はゼロではありません.)

3. 新素材の説明。

方程式 2 をノートとボード上で解きます。

答え: 10.

どれの分数有理方程式比例という基本的な性質を使って解決してみませんか? (その5)。

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

方程式 4 をノートとボード上で解きます。

答え: 1,5.

方程式の両辺に分母を掛けることで解ける分数有理方程式は何ですか? （その6）。

D=1›0、x1=3、x2=4。

答え: 3;4.

次に、次のいずれかの方法を使用して方程式 7 を解いてみます。


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

答え: 0;5;-2.			答え: 5;-2.

なぜこれが起こったのか説明してください。ある場合にはルートが 3 つあり、別の場合には 2 つあるのはなぜですか? この分数有理方程式の根は何ですか?

これまで、生徒たちは無関係なルートの概念に遭遇したことがありませんでしたが、なぜこれが起こったのかを理解するのは非常に困難です。クラスの誰もこの状況を明確に説明できない場合、教師は誘導的な質問をします。

式No.2と4は分母に数字が入っており、No.5～7は変数を使った式です。

方程式が真となる変数の値

チェックを入れる

テスト中に、ゼロで除算しなければならないことに気づく生徒もいます。彼らは、数字 0 と 5 はこの方程式の根ではないと結論付けています。この誤差をなくすことができる分数有理方程式を解く方法はあるのでしょうか?という疑問が生じます。はい、この方法は、分数がゼロに等しいという条件に基づいています。

x2-3x-10=0、D=49、x1=5、x2=-2。

x=5 の場合、x(x-5)=0 になります。これは、5 が無関係なルートであることを意味します。

x=-2 の場合、x(x-5)≠0 になります。

答え: -2.

このように分数有理方程式を解くアルゴリズムを定式化してみましょう。子どもたちは自分たちでアルゴリズムを組み立てます。

分数有理方程式を解くアルゴリズム:

1. すべてを左側に移動します。

2. 分数を次のように変換します。共通点.

3. システムを作成します。分子がゼロに等しく、分母がゼロに等しくない場合、分数はゼロに等しくなります。

4. 方程式を解きます。

5. 不等式をチェックして、無関係な根を除外します。

6. 答えを書き留めます。

ディスカッション: 比例の基本特性を使用し、方程式の両辺に共通の分母を掛ける場合に、解を形式化する方法。 (解決策に追加: 共通の分母を消滅させるものをルートから除外します)。

4. 新しい内容の最初の理解。

ペアで作業します。方程式の種類に応じて、生徒は方程式の解き方を自分で選択します。教科書「代数 8」、2007 年からの課題: No. 000 (b、c、i); No.000(a、d、g)。教師は課題の完了を監視し、生じた質問に答え、成績の悪い生徒を支援します。セルフテスト: 答えはボードに書かれます。

b) 2 – 無関係なルート。答え: 3.

c) 2 – 無関係なルート。答え: 1.5。

a) 答え: -12.5。

g) 答え: 1;1.5。

5. 宿題を設定する。

2. 分数有理方程式を解くアルゴリズムを学びます。

3. ノート No.000 (a、d、e) で解きます。 No.000(g,h)。

4. No.000(a) (オプション) を解いてみます。

6. 研究テーマに関する制御タスクを完了する。

作業は紙の上で行われます。

タスクの例:

A) 分数有理式の方程式はどれですか?

B) 分子が____________、分母が_____________の場合、分数はゼロに等しくなります。

Q) 数値 -3 は方程式 6 の根ですか?

D) 方程式 No. 7 を解きます。

課題の評価基準:

生徒が課題の 90% 以上を正しく完了した場合は、「5」が与えられます。「4」 - 75% ～ 89% 「3」 - 50% ～ 74% 「2」は、課題の 50% 未満を完了した生徒に与えられます。ジャーナルでは 2 の評価は与えられません。3 はオプションです。

7. 反省。

独立したワークシートに次のように入力します。

1 – レッスンが興味深く、理解できたかどうか。 2 – 興味深いが、明確ではありません。 3 – 面白くはないが、理解できる。 4 – 面白くない、明確ではない。

8. レッスンをまとめます。

それで、今日のレッスンでは、分数有理方程式について学び、これらの方程式を解く方法を学びました違う方法、トレーニングの助けを借りて知識をテストしました独立した仕事。次のレッスンで自主的な作業の結果を学び、自宅で知識を定着させる機会が得られます。

分数有理方程式を解くためのどの方法が、より簡単で、より親しみやすく、より合理的だと思いますか? 分数有理方程式を解く方法に関係なく、何を覚えておく必要がありますか? 分数有理方程式の「ずるさ」とは何でしょうか?

皆さんありがとう、レッスンは終わりました。

全体の表現は、数式、加算、減算、乗算の演算を使用する数字とアルファベットの変数で構成されます。整数には、ゼロ以外の数値による除算を含む式も含まれます。

分数有理式の概念

分数式は、数値と文字変数を使用して実行される加算、減算、乗算の演算、およびゼロ以外の数値による除算に加えて、文字変数を使用した式への除算も含む数式です。

有理式はすべて整数式と分数式です。有理方程式とは、左辺と右辺が有理式である方程式です。有理方程式の左辺と右辺が整数式である場合、そのような有理方程式は整数と呼ばれます。

有理方程式の左辺または右辺が分数式、このような有理方程式は分数と呼ばれます。

分数有理式の例

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

分数有理方程式を解くスキーム

1. 方程式に含まれるすべての分数の共通分母を見つけます。

2. 方程式の両辺に共通の分母を掛けます。

3. 結果として得られる方程式全体を解きます。

4. 根を確認し、共通分母を消滅させる根を除外します。

分数の有理方程式を解いているので、分数の分母には変数が含まれます。つまり、それらは共通項となるということです。そして、アルゴリズムの 2 番目のポイントでは、共通の分母を乗算します。そうすると、無関係な根が現れる可能性があります。この場合、共通分母はゼロになります。つまり、共通分母を掛けても意味がありません。したがって、最後に取得したルートを確認する必要があります。

例を見てみましょう:

分数有理方程式を解きます: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))。

こだわります一般的なスキーム: まず、すべての分数の共通分母を見つけてみましょう。 x*(x-5) が得られます。

各分数に共通の分母を掛けて、結果として得られる式全体を書きます。

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

結果として得られる方程式を単純化してみましょう。我々が得る：

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

単純な縮小二次方程式が得られます。以下のいずれかで解決します既知の方法、根 x=-2 と x=5 が得られます。

次に、取得した解を確認します。

数値 -2 と 5 を共通の分母に代入します。 x=-2 では、共通分母 x*(x-5) は消えず、-2*(-2-5)=14 となります。これは、数値 -2 が元の分数有理方程式の根になることを意味します。

x=5 では、公分母 x*(x-5) はゼロになります。したがって、ゼロによる除算が行われるため、この数値は元の分数有理方程式の根ではありません。

$\bullet$ 有理方程式は、\[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] の形式で表される方程式です。ここで、$P(x), \Q(x)\ ) - 多項式 (さまざまな累乗の「X」の合計にさまざまな数値を掛けたもの)。
方程式の左辺の式を有理式といいます。
ODZ (地域許容可能な値有理方程式の ) は、分母が消えない \(x$ のすべての値、つまり $Q(x)\ne 0$ です。
$\bullet$ たとえば、方程式 \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\]は有理方程式です。
最初の方程式では、ODZ はすべて $x$ であり、 $x\ne 3$ になります (次のように書きます)。 $x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)$); 2 番目の方程式 – これらはすべて $x$ であり、 $x\ne -1; x\ne 1$ になります (次のように書きます) $x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)$); そして 3 番目の方程式では、ODZ に制限はありません。つまり、ODZ はすべて $x$ です ($x\in\mathbb(R)$ と書きます)。 $\bullet$ の定理:
1) 2 つの因子の積は、一方がゼロに等しく、もう一方が意味を失わない場合にのみゼロに等しくなります。したがって、方程式 $f(x)\cdot g(x)=0\ ) はシステムと同等です \[\begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(aligned) \end(gathered) \right.\\ \テキスト(ODZ方程式) \end(cases)\] 2) 分数がゼロに等しいのは、分子がゼロに等しく、分母がゼロに等しくない場合に限ります。したがって、方程式 \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) は連立方程式と等価です \[\begin(cases) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(cases)\]\(\bullet$ いくつかの例を見てみましょう。

1) 方程式 $x+1=\dfrac 2x$ を解きます。この方程式の ODZ を求めてみましょう。これは $x\ne 0$ です ($x$ が分母にあるため)。
これは、ODZ が次のように記述できることを意味します。
すべての項を 1 つの部分に移動し、共通の分母にまとめてみましょう。 \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin(ケース) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(ケース)\]システムの最初の方程式の解は $x=-2, x=1$ になります。両方の根がゼロではないことがわかります。したがって、答えは $x\in \(-2;1$\) となります。

2) 方程式を解く $\left(\dfrac4x - 2\right)\cdot (x^2-x)=0$。この方程式の ODZ を求めてみましょう。 $x$ の左辺が意味をなさない唯一の値は $x=0$ であることがわかります。したがって、ODZ は次のように記述できます。 $x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)$.
したがって、この方程式は次のシステムと等価です。

\[\begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(aligned) \end(gathered) \right。 \\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(aligned) \end(gathered) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(aligned) \end(gathered) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(gathered) \begin(整列) &x=2\\ &x=1 \end(整列) \end(集合) \right.\]確かに、 $x=0$ が 2 番目の因数の根であるにもかかわらず、 $x=0$ を元の式に代入すると意味がありません。式 $\dfrac 40$ が定義されていません。
したがって、この方程式の解は $x\in \(1;2$\) になります。

3) 方程式を解く \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\]方程式 $4x^2-1\ne 0$ では、 $(2x-1)(2x+1)\ne 0$ 、つまり $x\ne -\frac12; \frac12 $ 。
すべての項を左側に移動して、共通の分母にまとめてみましょう。

$\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \quad \begin(cases) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(gathered) \begin(整列) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(aligned)\end(gathered) \right.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(cases) \quad \ Leftrightarrow \quad x=-3$

答え: $x\in \(-3$\) 。

コメント。答えが有限の数値セットで構成されている場合は、前の例で示したように、中括弧内のセミコロンで区切って記述することができます。

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「有理方程式。有理方程式を解くアルゴリズムと例」というテーマのプレゼンテーションとレッスン

追加資料
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Makarychev Yu.Nによる教科書のマニュアル。 Mordkovich A.G.による教科書のマニュアル。

無理方程式の概要

皆さん、二次方程式の解き方を学びました。しかし、数学はそれらだけに限定されるものではありません。今日は有理方程式の解き方を学びます。有理方程式の概念は多くの点で概念と似ています。有理数。数値に加えて、いくつかの変数 $x$ が導入されました。したがって、加算、減算、乗算、除算、および整数乗の演算が存在する式が得られます。

$r(x)$ を 合理的な表現。このような式は、変数 $x$ の単純な多項式または多項式の比 (有理数の場合と同様に除算演算が導入されます) にすることができます。
方程式 $r(x)=0$ が呼び出されます。 有理方程式.
$p(x)=q(x)$ という形式の方程式 ($p(x)$ と $q(x)$ は有理式) も次のようになります。 有理方程式.

有理方程式を解く例を見てみましょう。

例1.
方程式を解きます: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$。

解決。
すべての式を左側に移動しましょう: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$。
方程式の左辺が通常の数値で表される場合、2 つの分数は公分母に減算されます。
これをやってみましょう: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$。
$\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$ という方程式が得られました。

分数は、分数の分子がゼロであり、分母がゼロ以外である場合に限り、ゼロに等しくなります。次に、分子を個別にゼロとみなして、分子の根を求めます。
$3(x^2+2x-3)=0$ または $x^2+2x-3=0$。
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$。
次に、分数の分母を確認してみましょう: $(x-3)*x≠0$。
2 つの数値の少なくとも 1 つがゼロに等しい場合、2 つの数値の積はゼロに等しくなります。その場合、$x≠0$ または $x-3≠0$ となります。
$x≠0$ または $x≠3$。
分子と分母で求めた根が一致しません。したがって、分子の両方の根を答えに書きます。
答え: $x=1$ または $x=-3$。

分子の根の 1 つが分母の根と突然一致する場合は、それを除外する必要があります。このような根は無関係と呼ばれます。

有理方程式を解くアルゴリズム:

1. 方程式に含まれるすべての式を等号の左側に移動します。
2. 方程式のこの部分を代数分数に変換します: $\frac(p(x))(q(x))=0$。
3. 結果の分子をゼロに等しくします。つまり、方程式 $p(x)=0$ を解きます。
4. 分母をゼロに等しくして、結果の方程式を解きます。分母の根が分子の根と一致する場合、それらは答えから除外される必要があります。

例2。
方程式を解きます: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$。

解決。
アルゴリズムのポイントに従って解いてみましょう。
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$。
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$。
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$。
3. 分子をゼロにします: $3x^2+7x-10=0$。
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1ドル。
4. 分母をゼロにします。
$(x-1)(x+1)=0$。
$x=1$ と $x=-1$ です。
根 $x=1$ の 1 つが分子の根と一致する場合、それを答えには書きません。
答え: $x=-1$。

変数変更法を使用して有理方程式を解くと便利です。これを実証してみましょう。

例 3.
方程式を解きます: $x^4+12x^2-64=0$。

解決。
置換 $t=x^2$ を紹介しましょう。
この場合、方程式は次の形式になります。
$t^2+12t-64=0$ - 通常の二次方程式。
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4ドル。
逆置換、$x^2=4$ または $x^2=-16$ を導入してみましょう。
最初の方程式の根は、数値のペア $x=±2$ です。 2つ目は、根がないということです。
答え: $x=±2$。

例4.
方程式を解きます: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$。
解決。
新しい変数 $t=x^2+x+1$ を導入しましょう。
この場合、方程式は $t=\frac(15)(t+2)$ の形式になります。
次にアルゴリズムに従って進めていきます。
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$。
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$。
3. $t^2+2t-15=0$。
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3ドル。
4. $t≠-2$ - 根は一致しません。
逆置換を導入しましょう。
$x^2+x+1=-5$。
$x^2+x+1=3$。
各方程式を個別に解いてみましょう。
$x^2+x+6=0$。
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - いいえルーツ。
そして 2 番目の方程式: $x^2+x-2=0$。
この方程式の根は、数値 $x=-2$ と $x=1$ になります。
答え: $x=-2$ と $x=1$。

例5.
方程式を解きます: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$。

解決。
置換 $t=x+\frac(1)(x)$ を導入しましょう。
それから：
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ または $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$。
$t^2-2+t=4$という方程式が得られました。
$t^2+t-6=0$。
この方程式の根は次のペアです。
$t=-3$ と $t=2$。
逆置換を導入してみましょう。
$x+\frac(1)(x)=-3$。
$x+\frac(1)(x)=2$。
別途決定させていただきます。
$x+\frac(1)(x)+3=0$。
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$。
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$。
2 番目の方程式を解いてみましょう。
$x+\frac(1)(x)-2=0$。
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$。
$\frac((x-1)^2)(x)=0$。
この方程式の根は数値 $x=1$ です。
答え: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$、$x=1$。

自主的に解決すべき問題

方程式を解く：

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$。

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$。
3. $x^4-7x^2-18=0$。
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$。
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$。

スミルノワアナスタシアユリエヴナ

レッスンタイプ:新しい教材を学ぶレッスン。

教育活動の組織形態：正面、個別。

レッスンの目的: 新しいタイプの方程式である分数有理方程式を紹介し、分数有理方程式を解くためのアルゴリズムのアイデアを与えること。

レッスンの目標。

教育:

分数有理方程式の概念の形成。
分数がゼロに等しいという条件を含む分数有理方程式を解くアルゴリズムを検討します。
アルゴリズムを使用して分数有理方程式を解くことを教えます。

発達:

獲得した知識を応用するスキルを開発するための条件を作り出す。
主題に対する生徒の認知的関心の発達を促進する。
分析し、比較し、結論を引き出す生徒の能力を開発します。
相互制御と自制心、注意力、記憶力、口頭でのスキルの発達書き込み、独立。

教育:

主題に対する認知的関心を促進する。
教育問題の解決における自主性を促進する。
最終的な結果を達成するための意志と忍耐力を養います。

装置：教科書、黒板、クレヨン。

教科書は「代数８」。 Yu.N.マカリチェフ、N.G.ミンデュク、K.I.スヴォロワ、S.A.テリャコフスキー。モスクワの「啓蒙」。 2010年

このトピックには 5 時間が割り当てられています。このレッスンが最初です。主なことは、分数有理方程式を解くアルゴリズムを学習し、演習でこのアルゴリズムを実践することです。

授業中

1. 組織的な瞬間。

こんにちは皆さん！今日は四行詩からレッスンを始めたいと思います。
誰もが暮らしやすいように、
何が決まるのか、何が可能になるのか、
笑って、みんな頑張ってね、
トラブルが起きないように、
僕らは笑い合って創り上げた良い雰囲気そして仕事を始めました。

黒板に方程式が書いてあるので、よく見てください。これらの方程式をすべて解くことができますか? どれがそうではないのか、またその理由は何ですか?

2. 知識を更新する。正面調査、クラスでの口頭調査。

そして今、新しいトピックを研究するために必要な主要な理論的資料を繰り返します。次の質問に答えてください。

方程式とは何ですか? ( 変数との等価性.)
方程式番号 1 の名前は何ですか? ( 線形.) 線形方程式を解く方法。 ( 未知数を含むすべてのものを方程式の左側に移動し、すべての数値を右側に移動します。似たような用語をあげてください。未知の要因を見つける).
方程式番号 3 の名前は何ですか? ( 四角。) 二次方程式を解く方法。 (P 数式について)
比例とは何ですか？ ( 2 つの比率が等しい.) 比例の主な性質。 ( 比率が正しい場合、その極項の積は中間項の積と等しくなります。.)
方程式を解くときにどのような特性が使用されますか? ( 1. 方程式内の項を符号を変えてある部分から別の部分に移動すると、指定された方程式と等価な方程式が得られます。 2. 方程式の両辺をゼロ以外の同じ数値で乗算または除算すると、指定された方程式と等価な方程式が得られます。.)
分数がゼロになるのはいつですか? ( 分子がゼロで分母がゼロでない場合、分数はゼロに等しくなります。.)

3. 新素材の説明。

方程式 2 をノートとボード上で解きます。

答え: 10.

比例の基本的な性質を使用して、どのような分数有理方程式を解くことができますか? (その5)。

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

方程式 4 をノートとボード上で解きます。

答え: 1,5.

方程式の両辺に分母を掛けることで解ける分数有理方程式は何ですか? （その6）。

× 2 -7x+12 = 0

D=1›0、x 1 =3、x 2 =4。

答え: 3;4.

次のレッスンでは、方程式 No. 7 のような方程式を解く方法を見ていきます。

式 2 および 4 は式 5 および 6 とどのように異なりますか? ( 方程式 No. 2 と 4 では、分母に数字が入っています。No. 5 ～ 6 - 変数を含む式です。.)
方程式の根は何ですか? ( 方程式が真となる変数の値.)
数値が方程式の根であるかどうかを確認するにはどうすればよいですか? ( チェックを入れる.)

このように分数有理方程式を解くアルゴリズムを定式化してみましょう。子どもたちは自分たちでアルゴリズムを組み立てます。

分数有理方程式を解くアルゴリズム:

すべてを左側に移動します。
分数を共通の分母に分解します。
システムを作成します。分子が 0 に等しく、分母が 0 に等しくない場合、分数は 0 に等しくなります。
方程式を解きます。
不等式をチェックして無関係な根を除外します。
答えを書き留めてください。

4. 新しい内容の最初の理解。

ペアで作業します。方程式の種類に応じて、生徒は方程式の解き方を自分で選択します。教科書「代数 8」からの課題、Yu.N. マカリチェフ、2007: No. 600(b,c); No.601(a,e)。教師は課題の完了を監視し、生じた質問に答え、成績の悪い生徒を支援します。セルフテスト: 答えはボードに書かれます。

b) 2 - 無関係なルート。答え: 3.

c) 2 - 無関係なルート。答え: 1.5。

a) 答え: -12.5。

5. 宿題を設定する。