家電卓システムソリューション 2 つの変数をもつ連立方程式、解法

電卓

システムソリューション 2 つの変数をもつ連立方程式、解法

説明書

追加方法。
2 つを厳密に上下に記述する必要があります。

549+45y+4y=-7、45y+4y=549-7、49y=542、y=542:49、y≈11。
(システムから) 任意に選択した方程式に、既に見つかった「ゲーム」の代わりに数字 11 を挿入し、2 番目の未知数を計算します。

X=61+5*11、x=61+55、x=116。
この連立方程式の答えは、x=116、y=11 です。

グラフィックメソッド。
で構成されています実際的な発見連立方程式において線が数学的に書かれる点の座標。両方の線のグラフは、同じ座標系で別々に描画する必要があります。一般的なビュー: – y=khx+b。直線を作成するには、2 点の座標を見つけるだけで十分であり、x は任意に選択されます。
システムを次のように与えます: 2x – y=4

Y=-3x+1。
直線は最初の直線を使用して構築されます。便宜上、y=2x-4 と書き留めておく必要があります。 x の（より簡単な）値を考え出し、それを方程式に代入して解き、y を求めます。直線が構築される 2 つの点が得られます。 (写真を参照)
×01

y -4 -2
直線は 2 番目の方程式 y=-3x+1 を使用して作成されます。
直線も作ります。 (写真を参照)

y1-5
グラフ上で構築された 2 本の直線の交点の座標を見つけます (直線が交差しない場合、連立方程式には - がありません)。

トピックに関するビデオ

役立つアドバイス

同じ方程式系を 3 つの方程式で解くと違う方法、答えは同じになります（解決策が正しい場合）。

出典:

8年生の代数
2 つの未知数を含む方程式をオンラインで解く
システムソリューションの例一次方程式二人で

システム 方程式は数学的記録のコレクションであり、各記録には多数の変数が含まれています。それらを解決するにはいくつかの方法があります。

必要になるだろう

-定規と鉛筆。
-電卓。

説明書

a1x + b1y = c1 および a2x + b2y = c2 の形式を持つ線形方程式で構成されるシステムを解く手順を考えてみましょう。ここで、x と y は未知の変数、b、c は自由項です。この方法を適用すると、各システムは各方程式に対応する点の座標を表します。まず、それぞれの場合において、ある変数を別の変数で表現します。次に、変数 x を任意の数の値に設定します。 2つで十分です。方程式に代入して y を求めます。座標系を構築し、その上に結果として得られる点をマークし、それらを通る線を描きます。システムの他の部分でも同様の計算を実行する必要があります。

このシステムには、構築された線が交差し、共通点。平行だと互換性がありません。そして、線が互いに結合すると、無限に多くの解が得られます。

この方法非常に視覚的であると考えられます。主な欠点は、計算された未知数が近似値を持つことです。より正確な結果は、いわゆる代数的手法.

連立方程式の解はすべてチェックする価値があります。これを行うには、変数の代わりに結果の値を代入します。いくつかの方法を使用して解決策を見つけることもできます。システムの解決策が正しければ、誰もが同じ結果になるはずです。

多くの場合、項の 1 つが不明な方程式が存在します。方程式を解くには、これらの数値を使用して特定の一連のアクションを覚えて実行する必要があります。

必要になるだろう

- 紙;
- ペンまたは鉛筆。

説明書

目の前に8匹のウサギがいて、ニンジンが5本しかないと想像してください。考えてみてください。各ウサギに 1 つずつニンジンを与えるためには、さらにニンジンを購入する必要があります。

この問題を方程式の形で提示しましょう: 5 + x = 8。実際、x の代わりに数値 3 を代入してみましょう。

x を数値に置き換えるときは、8 から 5 を引くときと同じことを行います。未知項の場合、合計から既知の項を減算します。

ウサギが 20 匹いて、ニンジンが 5 本しかないとします。仲直りしましょう。方程式とは、その中に含まれる文字の特定の値に対してのみ成立する等式です。意味を見つける必要がある文字はと呼ばれます。未知数を 1 つ含む方程式を書き、それを x と呼びます。ウサギの問題を解くと、5 + x = 20 という方程式が得られます。

20 と 5 の差を見つけてみましょう。引き算の場合、差し引かれる数字が減ります。減算される数値はと呼ばれ、最終結果は差と呼ばれます。したがって、x = 20 – 5; x = 15。ウサギのためにニンジンを 15 個買う必要があります。

チェック: 5 + 15 = 20。方程式は正しく解かれています。もちろん、そのときは私たちが話しているのはこのような単純なものについては、チェックを行う必要はありません。ただし、3 桁、4 桁などの数値を含む方程式がある場合は、作業結果を確実に確認するために必ずチェックする必要があります。

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役立つアドバイス

未知の被減数を求めるには、差に減数を加算する必要があります。

未知の減数を見つけるには、被減数から差を引く必要があります。

ヒント 4: システムを解決する方法 3つの方程式未知の3人とともに

3 つの未知数を含む 3 つの方程式系では、方程式の数が十分であっても、解が存在しない可能性があります。置換法またはクラマー法を使用して解決してみることができます。 Cramer の方法では、システムを解くことに加えて、未知数の値を見つける前にシステムが解決可能かどうかを評価することができます。

説明書

置換法は、1 つの未知の値から他の 2 つの未知値を順番に取得し、その結果をシステムの方程式に代入することで構成されます。 3 つの方程式系を次のように与えます。一般的な見解:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

最初の式から x を表します: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - で、2 番目と 3 番目の式に代入します。次に、2 番目の式から y を表し、3 番目の式に代入します。システム方程式の係数を通じて z の一次式を取得します。ここで「逆方向」に進みます。z を 2 番目の方程式に代入して y を求め、次に z と y を最初の方程式に代入して x を解きます。 z を求める前のプロセスは一般に図に示されています。一般的な形式でこれ以上記述すると、実際には非常に面倒になりますが、を置き換えることで、3 つの未知数をすべて簡単に見つけることができます。

Cramer の方法は、システム行列の構築と、この行列の行列式とさらに 3 つの補助行列の計算で構成されます。システム行列は、方程式の未知の項の係数で構成されます。方程式の右辺の数値を含む列、右辺の列。システム内では使用されませんが、システムを解決するときに使用されます。

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注記

システム内のすべての方程式は、他の方程式とは独立した追加情報を提供する必要があります。そうしないと、システムが不十分に決定され、明確な解決策を見つけることができなくなります。

役立つアドバイス

連立方程式を解いた後、求められた値を元の連立方程式に代入し、すべての方程式を満たしていることを確認します。

それ自体で 方程式 3つで未知には多くの解があるため、ほとんどの場合、さらに 2 つの方程式または条件によって補足されます。初期データがどのようなものであるかによって、決定の行方は大きく変わります。

必要になるだろう

- 3 つの未知数を含む 3 つの方程式系。

説明書

3 つのシステムのうち 2 つが 3 つの未知数のうち 2 つだけを持つ場合、いくつかの変数を他の変数で表現し、それらを次のように置き換えてみます。 方程式 3つで未知。この場合の目標は、それを正常な状態に戻すことです 方程式見知らぬ人と。これがである場合、さらなる解決策は非常に簡単です。見つかった値を他の方程式に代入し、他のすべての未知数を求めます。

一部の方程式系は、ある方程式から別の方程式を減算することができます。または変数の 1 つを乗算して 2 つの未知数を同時にキャンセルできるかどうかを確認してください。そのような機会があれば、それを利用すれば、その後の解決策は難しくありません。数値を乗算するときは、左辺と右辺の両方を乗算する必要があることに注意してください。同様に、方程式を減算するときは、右辺も減算する必要があることに注意してください。

前の方法が役に立たなかった場合は、次の方法を使用してください一般的な意味で 3 つの方程式の解未知。これを行うには、方程式を a11x1+a12x2+a13x3=b1、a21x1+a22x2+a23x3=b2、a31x1+a32x2+a33x3=b3 の形式に書き換えます。ここで、x の係数の行列 (A)、未知数の行列 (X)、および自由係数の行列 (B) を作成します。係数の行列と未知数の行列を乗算すると、自由項の行列、つまり A*X=B が得られることに注意してください。

最初にを求めて行列 A の (-1) 乗を求めます。これがゼロに等しくないことに注意してください。この後、結果の行列に行列 B を掛けます。その結果、すべての値を示す目的の行列 X が得られます。

Cramer の方法を使用して 3 つの方程式系の解を見つけることもできます。これを行うには、システム行列に対応する 3 次行列式 ∆ を見つけます。次に、対応する列の値の代わりに自由項の値を置き換えて、さらに 3 つの行列式 ∆1、∆2、∆3 を連続的に見つけます。次に、x を求めます: x1=Δ1/Δ、x2=Δ2/Δ、x3=Δ3/Δ。

出典:

3 つの未知数を含む方程式の解

連立方程式を解き始めるときは、それがどのような種類の方程式であるかを理解します。一次方程式を解く方法はかなりよく研究されています。非線形方程式はほとんどの場合解けません。特殊なケースは 1 つだけあり、それぞれが事実上個別です。したがって、解法の研究は線形方程式から始める必要があります。このような方程式は、純粋にアルゴリズム的に解くこともできます。

見つかった未知数の分母はまったく同じです。はい、分子はその構造にいくつかのパターンを示しています。方程式系の次元が 2 より大きい場合、消去法では非常に面倒な計算が必要になります。それらを回避するために、純粋にアルゴリズムによるソリューションが開発されました。それらの中で最も単純なものは、Cramer のアルゴリズム (Cramer の公式) です。調べるには一般的なシステム n 個の方程式から方程式を生成します。

システムn線形代数方程式未知数が n の場合、次の形式になります (図 1a を参照)。この中で、aij はシステムの係数です。
xj – 未知数、bi – 自由項 (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n)。このようなシステムは、行列形式 AX=B でコンパクトに記述することができます。ここで、A はシステム係数の行列、X は未知数の列行列、B は自由項の列行列です (図 1b を参照)。 Cramer の方法によれば、それぞれの未知の xi =∆i/∆ (i=1,2…,n) となります。係数行列の行列式 Δ を主行列式、Δi を補助行列式と呼びます。それぞれの未知数について、主行列式の i 番目の列を自由項の列に置き換えることによって補助行列式が求められます。二次および三次システムの場合の Cramer 法を図に詳しく示します。 2.

この系は 2 つ以上の等式の組み合わせであり、それぞれの等式には 2 つ以上の未知数が含まれます。学校のカリキュラムで使用される連立一次方程式を解くには、主に 2 つの方法があります。それらの1つはメソッドと呼ばれ、もう1つは加算メソッドと呼ばれます。

2 つの方程式系の標準形式

で標準形式最初の方程式は a1*x+b1*y=c1 の形式を持ち、2 番目の方程式は a2*x+b2*y=c2 の形式を持ちます。たとえば、システムの 2 つの部分の場合、指定された両方の a1、a2、b1、b2、c1、c2 は、特定の方程式で表される数値係数です。次に、x と y は、値を決定する必要がある未知数を表します。必要な値は、両方の方程式を同時に真の等式に変換します。

加算法を使用して系を解く

システムを解くには、つまり、x と y を真の等式に変える値を見つけるには、いくつかの簡単な手順を実行する必要があります。 1 つ目は、両方の方程式の変数 x または y の数値係数の大きさが同じで符号が異なるように、どちらかの式を変換することです。

たとえば、2 つの方程式からなる系が与えられたとします。最初の形式は 2x+4y=8 で、2 番目の形式は 6x+2y=6 です。このタスクを完了するためのオプションの 1 つは、2 番目の方程式に係数 -2 を乗算することです。これにより、-12x-4y=-12 の形式になります。係数を正しく選択することは、未知数を見つける手順全体を決定するため、加算法を使用してシステムを解くプロセスにおける重要なタスクの 1 つです。

次に、システムの 2 つの方程式を追加する必要があります。明らかに、値が等しいが符号が反対の係数を持つ変数を相互に破壊すると、-10x=-4 という形式になります。この後、この単純な方程式を解く必要があります。この方程式から、x = 0.4 であることが明らかにわかります。

解決プロセスの最後のステップは、変数の 1 つで見つかった値を、システムで使用可能な元の等式のいずれかに代入することです。たとえば、最初の式に x=0.4 を代入すると、2*0.4+4y=8 という式が得られ、そこから y=1.8 が求められます。したがって、x=0.4 および y=1.8 がシステム例の根です。

根が正しく見つかったことを確認するには、見つかった値をシステムの 2 番目の方程式に代入してチェックすると便利です。たとえば、この場合、0.4*6+1.8*2=6 という形式の等価性が得られますが、これは正しいです。

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レッスン内容

2 変数の一次方程式

学童は学校で昼食を食べるのに200ルーブルを持っています。ケーキは 25 ルーブル、コーヒーは 1 杯 10 ルーブルです。 200ルーブルでケーキとコーヒーを何杯買えますか?

ケーキの数を次のように表しましょう。バツ、そしてコーヒーのカップ数 y。この場合、ケーキのコストは式 25 で表されます。バツ、10 杯分のコーヒーのコスト y .

25バツ-価格バツケーキ
10y —価格 yコーヒーカップ

合計金額は200ルーブルでなければなりません。次に、2 つの変数を含む方程式が得られます。バツそして y

25バツ+ 10y= 200

この方程式には根がいくつありますか?

すべては生徒の食欲次第です。彼がケーキ 6 個とコーヒー 5 カップを買う場合、方程式の根は数字 6 と 5 になります。

値 6 と 5 のペアは、方程式 25 の根であると言われています。バツ+ 10y= 200 。 (6; 5) として記述され、最初の数字が変数の値になります。バツ、2番目 - 変数の値 y .

式 25 を逆にする根は 6 と 5 だけではありません。バツ+ 10y= 200 でアイデンティティになります。希望に応じて、学生は同じ 200 ルーブルでケーキ 4 個とコーヒー 10 杯を購入できます。

この場合、式 25 の根はバツ+ 10y= 200 は値のペア (4; 10) です。

さらに、小学生はコーヒーをまったく買わずに、200ルーブル全額でケーキを買うかもしれません。次に、方程式 25 の根バツ+ 10y= 200 は値 8 と 0 になります

あるいはその逆、ケーキは買わずに、200 ルーブル全額でコーヒーを買うこともできます。次に、方程式 25 の根バツ+ 10y= 200 値は 0 と 20 になります

方程式 25 の可能な根をすべてリストしてみましょう。バツ+ 10y= 200 。価値観に同意しましょうバツそして y整数の集合に属します。そして、これらの値をゼロ以上とします。

バツ∈Z、Y∈ Z;
× ≧ 0, y ≥ 0

これは学生自身にとっても便利です。たとえば、ホールケーキを数個と半分のケーキを購入するよりも、ホールケーキを購入する方が便利です。また、コーヒーをカップ全体で数杯飲んだり、カップ半分ずつ飲んだりするよりも、カップ全体でコーヒーを飲むほうが便利です。

奇数の場合に注意してくださいバツいかなる状況下でも平等を達成することは不可能である y。次に、値バツ意思次の数字 0、2、4、6、8。そして知ることバツ簡単に判断できます y

したがって、次の値のペアを受け取りました。 (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). これらのペアは式 25 の解または根です。バツ+ 10y= 200。彼らはこの方程式を恒等式に変えます。

次の形式の方程式 ax + by = c呼ばれた 2 つの変数をもつ一次方程式。この方程式の解または根は値のペアです( バツ; y）、それがアイデンティティに変わります。

2 つの変数を持つ線形方程式が次の形式で記述される場合にも注意してください。 ax + b y = c 、それから彼らはそれが書かれていると言います 正規の（通常の）形。

2 変数の一部の線形方程式は正準形式に変換できます。

たとえば、次の方程式 2(16バツ+ 3y − 4) = 2(12 + 8バツ − y) 思い浮かぶことができる ax + by = c。この方程式の両側の括弧を開いて、 32バツ + 6y − 8 = 24 + 16バツ − 2y 。未知数を含む項を方程式の左側にグループ化し、未知数を含まない項を右側にグループ化します。それから、私たちは得ます 32×− 16バツ+ 6y+ 2y = 24 + 8 。同様の項を両側に提示すると、式 16 が得られます。バツ+ 8y= 32. この方程式は次の形式に簡略化されます。 ax + by = cそして正規です。

前に説明した式 25 バツ+ 10y= 200 も、正準形式の 2 つの変数を含む線形方程式です。この方程式のパラメータはある , bそして cは、それぞれ値 25、10、および 200 に等しくなります。

実は方程式は ax + by = c無数の解決策があります。方程式を解く 25バツ+ 10y= 200, 整数のセットでのみその根を探しました。その結果、この方程式を恒等式に変える値のペアがいくつか得られました。しかし、多くの場合有理数方程式25 バツ+ 10y= 200 であれば、無限に多くの解が存在します。

新しい値のペアを取得するには、次の値の任意の値を取得する必要があります。バツ、次に表現します y。たとえば、変数を考えてみましょうバツ値 7。次に、1 つの変数を含む方程式が得られます。 25×7 + 10y= 200 その中で表現できるもの y

させてバツ= 15。次に、方程式 25バツ+ 10y= 200 は 25 × 15 になります + 10y= 200. ここから次のことが分かります y = −17,5

させてバツ= −3 。次に、方程式 25バツ+ 10y= 200 は 25 × (−3) になります + 10y= 200. ここから次のことが分かります y = −27,5

2 つの変数をもつ 2 つの線形方程式系

方程式については ax + by = c任意の値を何度でも取ることができますバツの値を見つけます y。個別に考えると、そのような方程式には無数の解が存在します。

しかし、変数がバツそして yは 1 つではなく 2 つの方程式で結ばれています。この場合、それらはいわゆる 2 変数の線形方程式系。このような連立方程式は 1 組の値 (言い換えれば「1 つの解」) を持つことができます。

システムにまったく解決策がない場合もあります。線形方程式系には、まれな例外的なケースにおいて無数の解が存在することがあります。

値が次の場合、2 つの線形方程式はシステムを形成します。バツそして yこれらの各式に代入します。

一番最初の方程式 25 に戻りましょう。バツ+ 10y= 200 。この方程式の値のペアの 1 つは (6; 5) のペアでした。これは、200 ルーブルでケーキ 6 個とコーヒー 5 杯が買える場合です。

ペア (6; 5) が方程式 25 の唯一の解となるように問題を定式化しましょう。バツ+ 10y= 200 。これを行うには、同じものを接続する別の方程式を作成しましょう。バツケーキと yコーヒーのカップ。

問題の本文を次のように述べましょう。

「男子生徒はケーキ数個とコーヒー数杯を200ルーブルで買いました。ケーキは 25 ルーブル、コーヒーは 1 杯 10 ルーブルです。ケーキの数がコーヒーのカップ数より 1 単位大きいことがわかっている場合、学生はケーキとコーヒーを何杯購入しましたか?

最初の方程式はすでにあります。これは式 25 ですバツ+ 10y= 200 。次に、条件の方程式を作成しましょう 「ケーキの数はコーヒーのカップ数より一単位多いです」 .

ケーキの数は、バツ、コーヒーのカップ数は y。このフレーズは次の方程式を使って書くことができます x−y= 1. この式は、ケーキとコーヒーの差が 1 であることを意味します。

x = y+ 1 。この式は、ケーキの数がコーヒーのカップ数より 1 つ多いことを意味します。したがって、平等を得るには、コーヒーのカップ数に 1 を加えます。これは、最も単純な問題を研究するときに考慮したスケールのモデルを使用すると簡単に理解できます。

2 つの方程式が得られます: 25 バツ+ 10y= 200 および x = y+ 1. 値なので、バツそして y、つまり 6 と 5 がこれらの式のそれぞれに含まれており、一緒になってシステムを形成します。このシステムを書いてみましょう。方程式が系を形成している場合、方程式は系の符号によって囲まれます。システムシンボルは中括弧です。

決めましょうこのシステム。これにより、値 6 と 5 にどのように到達するかを確認できます。このようなシステムを解決するには、多くの方法があります。その中で最も人気のあるものを見てみましょう。

置換方法

このメソッドの名前自体がそれを物語っています。その本質は、変数の 1 つを事前に表現した方程式を別の方程式に代入することです。

私たちのシステムでは何も表現する必要はありません。 2 番目の方程式ではバツ = y+ 1 変数バツすでに表現されています。この変数は次の式と等しくなります y+ 1 。次に、変数の代わりにこの式を最初の方程式に代入できます。バツ

式を置き換えた後 y代わりに最初の方程式に + 1 を加えますバツ、方程式が得られます 25(y+ 1) + 10y= 200 。これは変数が 1 つの線形方程式です。この方程式を解くのは非常に簡単です。

変数の値が見つかりました y。この値を方程式の 1 つに代入して、値を見つけてみましょう。バツ。このためには、2 番目の式を使用すると便利です。バツ = y+ 1 。値を代入してみましょう y

これは、意図したとおり、ペア (6; 5) が連立方程式の解であることを意味します。ペア (6; 5) がシステムを満たしていることを確認します。

例 2

最初の式を代入してみましょうバツ= 2 + y 2 番目の式 3 に代入する ×− 2y= 9。最初の方程式では、変数はバツ式 2 + に等しい y。この式を 2 番目の方程式に代入してみましょう。バツ

では値を求めてみましょうバツ。これを行うには、値を代入しましょう y最初の方程式に代入するバツ= 2 + y

これは、システムの解がペア値 (5; 3) であることを意味します。

例 3。置換法を使用して次の連立方程式を解きます。

ここでは、前の例とは異なり、変数の 1 つが明示的に表現されていません。

ある式を別の式に代入するには、まずが必要です。

係数が 1 の変数を表現することをお勧めします。変数の係数は 1 ですバツ、最初の方程式に含まれていますバツ+ 2y= 11. この変数を表現してみましょう。

変数式の後バツ、私たちのシステムは次の形式になります。

最初の式を 2 番目の式に代入して値を求めてみましょう y

代用しましょう y バツ

これは、システムの解が値のペア (3; 4) であることを意味します。

もちろん変数を表現することもできます y。根っこは変わらないよ。でも、表現するとしたら、 そう、結果はそれほど単純ではない方程式となり、解くのにさらに時間がかかります。次のようになります。

この例では、次のように表現していることがわかります。バツ表現するよりもはるかに便利です y .

例 4。置換法を使用して次の連立方程式を解きます。

最初の式で表してみましょうバツ。すると、システムは次のような形式になります。

代用しましょう y最初の方程式に代入して求めますバツ。元の式 7 を使用できます。バツ+ 9y= 8、または変数を表す式を使用しますバツ。便利なため、この式を使用します。

これは、システムの解が値のペア (5; −3) であることを意味します。

加算方法

加算方法は、システムに含まれる式を項ごとに加算することで構成されます。この追加により、1 つの変数を含む新しい方程式が生成されます。そして、そのような方程式を解くのは非常に簡単です。

次の連立方程式を解いてみましょう。

最初の式の左辺と 2 番目の式の左辺を加算してみましょう。そして、最初の式の右辺と 2 番目の式の右辺です。次の等式が得られます。

類似の用語を見てみましょう。

その結果、最も単純な方程式 3 が得られました。バツ= 27 の根は 9 です。値を知るバツ価値を見つけることができます y。値を代入してみましょうバツ 2番目の方程式に代入する x−y= 3 。 9を取得します- y= 3 。ここから y= 6 .

これは、システムの解が値のペア (9; 6) であることを意味します。

例 2

最初の式の左辺と 2 番目の式の左辺を加算してみましょう。そして、最初の式の右辺と 2 番目の式の右辺です。結果として得られる等価性では、同様の項を提示します。

その結果、最も単純な方程式 5 が得られました。バツ= 20、その根は 4. 値を知るバツ価値を見つけることができます y。値を代入してみましょうバツ最初の式 2 に代入する x+y= 11. 8+を取得しましょう y= 11. ここから y= 3 .

これは、システムの解が値のペアであることを意味します(4;3)

追加処理については詳細な説明を省略する。それは精神的に行われなければなりません。加算する場合、両方の方程式を標準形式に変換する必要があります。つまり、ちなみに ac + by = c .

検討した例から、方程式を追加する主な目的は、変数の 1 つを削除することであることは明らかです。ただし、加算法を使用して連立方程式をすぐに解くことが常に可能であるとは限りません。ほとんどの場合、システムは最初に、このシステムに含まれる方程式を追加できる形式になります。

たとえば、システム加算法を使えばすぐに解けます。両方の方程式を追加すると、項は yそして −yそれらの合計がゼロになるため消滅します。その結果、最も単純な方程式 11 が形成されます。バツ= 22、その根は 2 です。これにより、次のことが求められます。 y 5に等しい。

そして方程式系変数の 1 つが消えるわけではないため、加算法をすぐに解決することはできません。加算すると式 8 が得られます。バツ+ y= 28、これには無限の数の解があります。

方程式の両辺を同じ数で乗算または除算すると、ゼロに等しいとすると、これと等価な方程式が得られます。この規則は、2 つの変数を含む線形方程式系にも当てはまります。方程式の一方 (または両方) には任意の数を掛けることができます。結果は同等のシステムとなり、そのルートは前のシステムと一致します。

小学生がケーキとコーヒーを何杯買ったかを記述した最初のシステムに戻りましょう。このシステムの解決策は、値のペア (6; 5) でした。

このシステムに含まれる両方の方程式にいくつかの数値を掛けてみましょう。最初の式に 2 を乗算し、2 番目の式に 3 を乗算するとします。

その結果、こんなシステムが出来上がりました
このシステムの解決策は依然として値のペア (6; 5) です。

これは、システムに含まれる方程式を加算法の適用に適した形式に縮小できることを意味します。

システムに戻りましょう、加算法では解決できませんでした。

最初の式に 6 を掛け、2 番目の式に -2 を掛けます。

次に、次のシステムが得られます。

この系に含まれる方程式を合計してみましょう。コンポーネントの追加 12 バツと -12 バツ結果は 0、加算は 18 yそして4 y 22を与えます y、108 と −20 を足すと 88 になります。すると、式 22 が得られます。 y= 88、ここから y = 4 .

最初は頭の中で方程式を追加するのが難しい場合は、最初の方程式の左辺と 2 番目の方程式の左辺、および最初の方程式の右側と方程式の右側がどのように加算されるかを書き留めることができます。 2 番目の方程式:

変数の値が分かると、 y 4に等しい場合、値を見つけることができますバツ。代用しましょう y方程式の 1 つ、たとえば最初の方程式 2 に代入します。バツ+ 3y= 18。次に、変数 2 が 1 つある方程式が得られます。バツ+ 12 = 18。 12 を右側に移動し、符号を変えて 2 を取得します。バツ= 6、ここからバツ = 3 .

例 4。加算法を使用して次の連立方程式を解きます。

2 番目の方程式に −1 を掛けてみましょう。この場合、システムは次の形式になります。

両方の方程式を足してみましょう。コンポーネントの追加バツそして −x結果は 0、加算は 5 yそして3 y 8を与えます y、7 と 1 を加算すると 8 が得られます。結果は式 8 になります。 y= 8 のルートは 1 です。値がわかっていること y 1に等しい場合、値を見つけることができますバツ .

代用しましょう y最初の方程式に代入すると、次のようになります。バツ+ 5 = 7 したがって、バツ= 2

例5。加算法を使用して次の連立方程式を解きます。

同じ変数を含む用語は上下に配置することが望ましい。したがって、2 番目の方程式の項 5 yおよび -2 バツ場所を交換しましょう。その結果、システムは次のような形式になります。

2 番目の方程式に 3 を掛けてみましょう。すると、システムは次の形式になります。

次に、両方の方程式を追加してみましょう。加算の結果、式 8 が得られます。 y= 16、その根は 2。

代用しましょう y最初の方程式に代入すると、6 が得られます。バツ− 14 = 40。符号を変えて項 -14 を右側に移動し、6 を取得しましょう。バツ= 54 。ここからバツ= 9.

例6。加算法を使用して次の連立方程式を解きます。

分数を捨ててみましょう。最初の式に 36 を掛け、2 番目の式に 12 を掛けます。

結果として得られるシステムでは最初の方程式は -5 倍、2 番目の方程式は 8 倍できます。

結果として得られるシステムの方程式を加算してみましょう。次に、最も単純な方程式 −13 が得られます。 y= −156 。ここから y= 12。代用しましょう y最初の方程式に代入して求めますバツ

例 7。加算法を使用して次の連立方程式を解きます。

両方の方程式を正規形にしてみましょう。ここで、両方の方程式に比例の法則を適用すると便利です。最初の方程式の右辺がとして表され、2 番目の方程式の右辺がとして表される場合、システムは次の形式になります。

割合があります。その極値と中間項を掛けてみましょう。すると、システムは次のような形式になります。

最初の方程式に −3 を掛けて、2 番目の方程式の括弧を開けてみましょう。

次に、両方の方程式を追加してみましょう。これらの方程式を追加した結果、両側がゼロになる等式が得られます。

このシステムには無数の解決策があることがわかりました。

しかし、空から任意の値をそのまま受け取ることはできません。バツそして y。いずれかの値を指定でき、もう一方の値は指定した値に応じて決定されます。たとえば、バツ= 2 。この値をシステムに代入してみましょう。

方程式の 1 つを解いた結果、次の値が得られます。 y、これは両方の方程式を満たします。

結果として得られる値のペア (2; −2) はシステムを満たします。

別の値のペアを見つけてみましょう。させてバツ= 4. この値をシステムに代入してみましょう。

目で見てその価値がわかります yゼロに等しい。次に、システムを満たす値のペア (4; 0) を取得します。

例8。加算法を使用して次の連立方程式を解きます。

最初の式に 6 を掛け、2 番目の式に 12 を掛けます。

残っているものを書き直してみましょう。

最初の式に −1 を掛けてみましょう。すると、システムは次のような形式になります。

次に、両方の方程式を追加してみましょう。加算の結果、式 6 が形成されます。 b= 48、その根は 8。 b最初の方程式に代入して求めますある

3 つの変数をもつ線形方程式系

3 つの変数を含む線形方程式には、係数を持つ 3 つの変数と切片項が含まれます。正規形式では次のように記述できます。

ax + by + cz = d

この方程式には無数の解があります。 2 つの変数を与えるさまざまな意味、3 番目の値が見つかります。この場合の解決策は、値の 3 倍になります ( バツ; y; z) 方程式を恒等式に変換します。

変数の場合 x、y、zが 3 つの方程式で相互接続されると、3 つの変数を含む 3 つの線形方程式からなる系が形成されます。このようなシステムを解くには、2 つの変数を含む線形方程式に適用するのと同じ方法、つまり置換法と加算法を使用できます。

例1。置換法を使用して次の連立方程式を解きます。

3番目の式で表してみましょうバツ。すると、システムは次のような形式になります。

では、置換をしてみましょう。変数バツ式と等しい 3 − 2y − 2z 。この式を最初と 2 番目の式に代入してみましょう。

両方の方程式の括弧を開いて、同様の項を提示してみましょう。

2 つの変数をもつ線形方程式系に到達しました。このような場合には加算方式を利用すると便利です。その結果、変数は yが消えて変数の値を見つけることができます z

では値を求めてみましょう y。これを行うには、方程式を使用すると便利です- y+ z= 4. 値を代入します。 z

では値を求めてみましょうバツ。これを行うには、次の方程式を使用すると便利ですバツ= 3 − 2y − 2z 。値を代入してみましょう yそして z

したがって、値のトリプル (3; −2; 2) がシステムの解となります。チェックすることで、これらの値がシステムを満たしていることを確認します。

例 2。加法を使用して系を解く

最初の方程式と −2 を掛けた 2 番目の方程式を加算してみましょう。

2 番目の方程式に -2 を掛けると、次の形式になります。 −6バツ+ 6y − 4z = −4 。これを最初の方程式に追加してみましょう。

結果としてそれがわかります基本的な変換、変数の値が決定されますバツ。それは 1 に等しいです。

メインシステムに戻りましょう。 2 番目の方程式と 3 番目の方程式を加算し、-1 を掛けてみましょう。 3 番目の方程式に −1 を掛けると、次の形式になります。 −4バツ + 5y − 2z = −1 。次に、これを 2 番目の方程式に追加してみましょう。

方程式が分かりました ×− 2y= −1 。値を代入してみましょうバツ以前に見つけたものです。その後、値を決定できます y

今ではその意味が分かりましたバツそして y。これにより、値を決定できるようになります z。システムに含まれる方程式の 1 つを使用してみましょう。

したがって、値のトリプル (1; 1; 1) がシステムの解となります。チェックすることで、これらの値がシステムを満たしていることを確認します。

連立一次方程式の構成に関する問題

連立方程式を構成するタスクは、いくつかの変数を入力することで解決されます。次に、問題の条件に基づいて方程式が作成されます。コンパイルされた方程式からシステムを形成し、それを解きます。システムを解いた後、その解が問題の条件を満たしているかどうかを確認する必要があります。

問題1。ヴォルガの車が街から集団農場に向かって走った。彼女は最初の道よりも 5 km 短い別の道を通って戻りました。車は往復で合計35kmを走行しました。それぞれの道の長さは何キロですか?

解決

させて バツ-最初の道路の長さ、 y- 秒の長さ。車が往復 35 km 移動した場合、最初の方程式は次のように書くことができます。バツ+ y= 35。この式は、両方の道路の長さの合計を表します。

車は最初より５キロ短い道を戻ったという。次に、2 番目の方程式は次のように書くことができます。バツ− y= 5。この式は、道路の長さの差が 5 km であることを示しています。

あるいは、2 番目の方程式は次のように書くこともできます。バツ= y+5。この方程式を使用します。

なぜなら変数はバツそして y両方の方程式で同じ数値を表す場合、それらからシステムを形成できます。

以前に研究した方法のいくつかを使用して、このシステムを解いてみましょう。この場合、2 番目の方程式では変数がバツすでに表現されています。

2 番目の式を最初の式に代入して求めます。 y

見つかった値を代入してみましょう y 2番目の方程式ではバツ= y+ 5 すれば見つかりますバツ

最初の道路の長さは変数によって示されました。バツ。今、私たちはその意味を見つけました。変数バツこれは、最初の道路の長さが 20 km であることを意味します。

そして、2番目の道の長さは次のように示されました。 y。この変数の値は 15 です。これは、2 番目の道路の長さが 15 km であることを意味します。

確認しよう。まず、システムが正しく解決されていることを確認しましょう。

次に、解 (20; 15) が問題の条件を満たすかどうかを確認してみましょう。

車は往復で計３５キロを走行したという。両方の道路の長さを加算し、解 (20; 15) が次の条件を満たすことを確認します。 20km + 15km = 35km

次の条件: 車は最初の道より5km短い別の道を戻った。 。 15 km は 20 km より 5 km 短いため、解 (20; 15) もこの条件を満たすことがわかります。 20km − 15km = 5km

システムを構成するときは、このシステムに含まれるすべての方程式で変数が同じ数値を表すことが重要です。

したがって、私たちのシステムには 2 つの方程式が含まれています。これらの方程式には変数が含まれますバツそして yこれらは両方の方程式で同じ数字、つまり道路の長さ 20 km と 15 km を表します。

問題 2。ナラとマツの枕木がプラットフォームに積み込まれ、合計 300 本の枕木が積み込まれました。すべてのオーク枕木はすべての松枕木よりも 1 トン軽いことが知られています。各オーク枕木が 46 kg、各松枕木が 28 kg である場合、オーク枕木と松枕木がそれぞれ何本あったかを調べます。

解決

させてバツオークと y松枕木がプラットホームに積み込まれていました。枕木が合計 300 台ある場合、最初の方程式は次のように書くことができます。 x+y = 300 .

すべてのオーク材の枕木の重さは 46 バツ kg、松材の重さは28でした。 y kg。オーク枕木は松枕木よりも 1 トン軽いため、2 番目の方程式は次のように書くことができます。 28y − 46バツ= 1000 。この方程式は、オーク枕木と松枕木の質量の差が 1000 kg であることを示しています。

オークやマツの枕木の質量はキログラムで測定されるため、トンはキログラムに変換されました。

その結果、システムを形成する 2 つの方程式が得られます。

このシステムを解決しましょう。最初の式で表してみましょうバツ。すると、システムは次のような形式になります。

最初の方程式を 2 番目の方程式に代入して求めます。 y

代用しましょう y方程式に入れるバツ= 300 − yそしてそれが何であるかを調べてくださいバツ

これは、100本の樫の枕木と200本の松の枕木がプラットフォームに積み込まれたことを意味します。

解(100; 200)が問題の条件を満たすかどうかを確認してみましょう。まず、システムが正しく解決されていることを確認しましょう。

寝台客は全部で300人だったそうです。オークとマツの枕木の数を合計し、解 (100; 200) が次の条件を満たすことを確認します。 100 + 200 = 300.

次の条件: すべてのオークの枕木の重量はすべての松の枕木よりも 1 トン軽かった 。 46 × 100 kg のオーク枕木は 28 × 200 kg の松枕木よりも軽いため、解 (100; 200) もこの条件を満たすことがわかります。 5600kg − 4600kg = 1000kg

問題 3。重量比 2:1、3:1、5:1 の銅ニッケル合金を 3 枚用意しました。銅とニッケルの含有量の比率が4：1で、重さ12 kgのピースがそれらから溶解されました。最初の部分の質量が 2 番目の部分の質量の 2 倍である場合、元の各部分の質量を求めます。

連立方程式は、さまざまなプロセスの数学的モデリングのために経済分野で広く使用されています。例えば、生産管理や計画、物流ルート（輸送問題）や設備配置などの問題を解決するとき。

連立方程式は数学だけでなく、物理学、化学、生物学でも人口規模を求める問題を解決するときに使用されます。

連立一次方程式は、共通の解を見つける必要があるいくつかの変数を含む 2 つ以上の方程式です。すべての方程式が真の等価になる、またはその数列が存在しないことを証明するような数列。

一次方程式

ax+by=c の形式の方程式は線形と呼ばれます。指定 x、y は値を見つける必要がある未知数、b、a は変数の係数、c は方程式の自由項です。
方程式をプロットして解くと直線のように見え、そのすべての点が多項式の解になります。

連立一次方程式の種類

最も単純な例は、2 つの変数 X と Y を持つ線形方程式系であると考えられます。

F1(x, y) = 0 および F2(x, y) = 0。ここで、F1,2 は関数、(x, y) は関数変数です。

連立方程式を解く - これは、システムが真の等価になる値 (x, y) を見つけるか、それを確立することを意味します。適切な値 x と y は存在しません。

点の座標として書かれた値のペア (x, y) は、連立一次方程式の解と呼ばれます。

システムに共通の解決策が 1 つある場合、または解決策が存在しない場合、それらは同等であると呼ばれます。

同次一次方程式系は、右辺がゼロに等しい系です。等号の後の右側の部分が値を持つ場合、または関数で表される場合、そのようなシステムは異種システムです。

変数の数が 2 つよりはるかに多い場合は、3 つ以上の変数を含む線形方程式系の例について説明する必要があります。

システムに直面したとき、学童は方程式の数が未知数の数と必ず一致するはずだと思い込んでいますが、実際はそうではありません。システム内の方程式の数は変数に依存しません。必要な数だけ存在することができます。

連立方程式を解くための単純な方法と複雑な方法

共通点はありません分析方法同様のシステムの解法では、すべての方法が数値解法に基づいています。学校の数学コースでは、順列、代数的加算、代入、およびグラフィックや数学などの方法が詳細に説明されています。マトリックス法、ガウス法による解。

解法を教えるときの主な仕事は、システムを正しく分析し、それぞれの例に最適な解法アルゴリズムを見つける方法を教えることです。重要なことは、各メソッドのルールとアクションの体系を暗記することではなく、特定のメソッドを使用する原則を理解することです。

7 年生の一般教育カリキュラムにおける連立一次方程式の例題は非常に簡単で、詳細に説明されています。どの数学の教科書でも、このセクションには十分な注意が払われています。ガウスとクラマー法を使用して連立一次方程式を解く例は、高等教育の最初の数年間でより詳細に学習されます。

代入法を使用した系の解法

置換メソッドのアクションは、1 つの変数の値を 2 番目の変数の観点から表現することを目的としています。この式は残りの方程式に代入され、変数が 1 つの形式に変換されます。システム内の未知数に応じてアクションが繰り返されます

代入法を使用して、クラス 7 の連立一次方程式の例に対する解を与えてみましょう。

この例からわかるように、変数 x は F(X) = 7 + Y で表されました。結果の式は、X の代わりにシステムの 2 番目の方程式に代入され、2 番目の方程式で 1 つの変数 Y を取得するのに役立ちました。。解決この例問題は発生せず、Y 値を取得できます。最後のステップは、取得した値を確認することです。

代入によって連立一次方程式の例を解くことが常に可能であるとは限りません。方程式は複雑になる可能性があり、変数を 2 番目の未知数で表現すると、それ以上の計算が面倒になります。システム内に未知数が 3 つ以上ある場合、代入による解決も不適切です。

線形不均一方程式系の例の解:

代数加算を使用した解法

加算法を使用して系の解を求める場合、項ごとに方程式の加算と乗算を実行します。異なる数字。数学的演算の最終目標は、1 つの変数の方程式を作成することです。

この方法を適用するには、練習と観察が必要です。変数が 3 つ以上ある場合、加算法を使用して連立一次方程式を解くのは簡単ではありません。代数加算は、方程式に分数や小数が含まれる場合に使用すると便利です。

解決アルゴリズム:

方程式の両辺に特定の数を掛けます。算術演算の結果、変数の係数の 1 つが 1 に等しくなるはずです。
結果の式を項ごとに加算し、未知数の 1 つを見つけます。
結果の値をシステムの 2 番目の方程式に代入して、残りの変数を見つけます。

新しい変数を導入することによる解決方法

システムが 2 つ以下の方程式の解を求める必要がある場合、新しい変数を導入できます。また、未知数の数も 2 つ以下でなければなりません。

この方法は、新しい変数を導入して方程式の 1 つを単純化するために使用されます。導入された未知数に対して新しい方程式が解かれ、その結果の値が元の変数を決定するために使用されます。

この例は、新しい変数 t を導入することによって、システムの 1 番目の方程式を標準の 2 次三項式に縮小できることを示しています。判別式を見つけることで多項式を解くことができます。

よく知られた式 D = b2 - 4*a*c を使用して判別式の値を見つける必要があります。ここで、D は目的の判別式、b、a、c は多項式の因数です。で与えられた例 a=1、b=16、c=39、したがって D=100。判別式が 0 より大きい場合、解は 2 つあります。判別式の場合、t = -b±√D / 2*a ゼロ未満の場合、解は 1 つだけです: x= -b / 2*a。

得られる系の解は加算法によって求められます。

システムを解決するための視覚的手法

3 方程式系に適しています。この方法は、システムに含まれる各方程式のグラフを座標軸上に構築することから成ります。曲線との交点の座標は次のようになります。一般的な決定システム。

グラフィカルな方法には多くのニュアンスがあります。視覚的な方法で連立一次方程式を解く例をいくつか見てみましょう。

例からわかるように、各線に対して 2 つの点が構築され、変数 x の値は任意に選択されました: 0 と 3。x の値に基づいて、y の値が見つかりました。 3 と 0。座標 (0, 3) と (3, 0) の点がグラフ上にマークされ、線で結ばれています。

2 番目の方程式についてもこの手順を繰り返す必要があります。線の交点がシステムの解になります。

次の例では、検索する必要があります。グラフィックソリューション連立一次方程式: 0.5x-y+2=0 および 0.5x-y-1=0。

この例からわかるように、グラフは平行で全長に沿って交差しないため、このシステムには解決策がありません。

例 2 と 3 のシステムは似ていますが、構築すると、ソリューションが異なることが明らかになります。システムに解があるかどうかを常にグラフを作成する必要があるかどうかを判断できるわけではないことに注意してください。

マトリックスとその種類

行列は、線形方程式系を簡潔に記述するために使用されます。マトリックスとはテーブルのことです特殊なタイプ数字がいっぱい。 n*m には n 行と m 列があります。

列と行の数が等しい場合、行列は正方形になります。行列ベクトルは、無限に可能な行数を持つ 1 列の行列です。対角線の 1 つに沿って 1 があり、その他の要素が 0 である行列は、単位と呼ばれます。

逆行列は、元の行列を乗算すると単位行列になる行列です。このような行列は元の正方行列に対してのみ存在します。

連立方程式を行列に変換するための規則

連立方程式に関しては、方程式の係数と自由項は行列番号として記述され、1 つの方程式が行列の 1 行になります。

行の少なくとも 1 つの要素がゼロでない場合、行列行は非ゼロであると言われます。したがって、方程式のいずれかで変数の数が異なる場合は、欠落している未知数の代わりにゼロを入力する必要があります。

行列の列は変数に厳密に対応している必要があります。これは、変数 x の係数は 1 つの列 (たとえば最初の列) にのみ書き込むことができ、未知の y の係数は 2 番目の列にのみ書き込むことができることを意味します。

行列を乗算する場合、行列のすべての要素に数値が順番に乗算されます。

逆行列を見つけるためのオプション

計算式を求める逆行列は非常に単純です: K -1 = 1 / |K|、ここで K -1 は逆行列、|K| は逆行列です。は行列の行列式です。 |K| ゼロに等しくない場合、システムには解決策があります。

2 行 2 列の行列の行列式は簡単に計算できます。対角要素を相互に乗算するだけです。「3 x 3」オプションの場合、式 |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c があります。 3 + a 3 b 2 c 1 。数式を使用することも、要素の列数と行数が作業内で繰り返されないように、各行と各列から 1 つの要素を取得する必要があることを覚えておくこともできます。

行列法を使用した連立一次方程式の解法の例

行列法を使用して解を見つけると、多数の変数と方程式を含むシステムを解くときに面倒な入力を減らすことができます。

この例では、a nm は方程式の係数、行列はベクトル x n は変数、b n は自由項です。

ガウス法を使用したシステムの解決

高等数学では、ガウス法はクラマー法とともに研究され、系の解を見つけるプロセスはガウス・クラマー解法と呼ばれます。これらの方法は、多数の線形方程式を含むシステム内の変数を見つけるために使用されます。

ガウス法は、代入や代数的加算による解法に非常に似ていますが、より系統的です。学校の授業では、3 連立方程式と 4 連立方程式に対してガウス法による解法が使用されます。この方法の目標は、システムを逆台形の形に縮小することです。代数変換と代入により、システムの方程式の 1 つで 1 つの変数の値が求められます。 2 番目の方程式は 2 つの未知数を含む式であり、3 と 4 はそれぞれ 3 つと 4 つの変数を含みます。

システムを記述された形式にした後、さらなる解決策はシステムの方程式に既知の変数を順次代入することに帰着します。

7 年生の教科書では、ガウス法による解法の例が次のように説明されています。

この例からわかるように、ステップ (3) で 2 つの方程式が取得されました: 3x 3 -2x 4 =11 および 3x 3 +2x 4 =7。いずれかの式を解くと、変数 x n の 1 つを見つけることができます。

本文中で言及されている定理 5 は、システムの方程式の 1 つを等価なものに置き換えると、結果のシステムも元のものと等価になることを述べています。

ガウス法は生徒にとって理解するのが難しい高校、しかし、最も興味深い方法プログラムで学ぶ子どもたちの創意工夫を育む徹底的な研究数学と物理の授業で。

記録を容易にするために、計算は通常次のように行われます。

方程式の係数と自由項は行列の形式で記述され、行列の各行がシステムの方程式の 1 つに対応します。方程式の左側と右側を分離します。ローマ数字はシステム内の式の数を示します。

まず、処理する行列を書き留めてから、いずれかの行で実行されるすべてのアクションを書き留めます。結果の行列は「矢印」記号の後に書き込まれ、結果が得られるまで必要な代数演算が継続されます。

結果は、対角線の 1 つが 1 に等しく、他のすべての係数が 0 に等しい行列になるはずです。つまり、行列は単位形式に縮小されます。方程式の両辺の数値を使って計算を行うことを忘れてはなりません。

この記録方法は煩わしさが少なく、多数の未知の項目をリストアップすることに気をとられることがなくなります。

どのような解決方法でも自由に使用するには、注意とある程度の経験が必要です。すべての方法が応用的な性質を持っているわけではありません。解決策を見つける方法の中には、人間の活動の特定の分野でより好ましいものもありますが、教育目的で存在するものもあります。

この数学プログラムを使用すると、2 つの線形方程式系を次の 2 つの式で解くことができます。変数メソッド置換と追加の方法。

プログラムは問題の答えを与えるだけでなく、詳細な解決策代入法と加算法の2通りの解法手順を解説しています。

このプログラムの準備をしている中等学校の高校生にとって役立つかもしれません。テスト統一州試験の前に知識をテストする試験では、保護者が数学や代数学の多くの問題の解決策を管理することができます。それとも、家庭教師を雇ったり、新しい教科書を購入したりするには高すぎるのでしょうか? それとも、できるだけ早く終わらせたいだけですか？宿題数学か代数学でしょうか？この場合、詳細な解決策を備えた当社のプログラムを使用することもできます。

このようにして、問題解決の分野での教育レベルが向上しながら、自分自身のトレーニングや弟や妹のトレーニングを行うことができます。

方程式を入力するときのルール

任意のラテン文字が変数として機能します。
例: $x, y, z, a, b, c, o, p, q$ など。

数式を入力するとき 括弧を使用できます。この場合、まず方程式が簡略化されます。単純化後の方程式は線形でなければなりません。要素の順序の精度を備えた ax+by+c=0 の形式。
例: 6x+1 = 5(x+y)+2

方程式では、整数だけでなく、小数や普通分数の形式の分数も使用できます。

小数部を入力するときのルール。
整数部と小数部小数ドットまたはカンマで区切ることができます。
例: 2.1n + 3.5m = 55

普通の分数を入力するときのルール。
分数の分子、分母、および整数部分として機能できるのは整数だけです。
分母を負にすることはできません。
分数を入力する場合、分子は除算記号によって分母から区切られます。 /
全体部分はアンパサンド記号によって分数から区切られます。 &

例。
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)

連立方程式を解く

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線形方程式系の解法。置換方法

代入法を使用して連立一次方程式を解くときの一連のアクション:
1) システムのある方程式からの 1 つの変数を別の変数に関して表現します。
2) 結果の式をこの変数の代わりにシステムの別の方程式に代入します。

$$ \left\( \begin(配列)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(配列) \right. $$

最初の方程式から y を x で表してみましょう: y = 7-3x。式 7-3x を 2 番目の方程式に y の代わりに代入すると、次のシステムが得られます。
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

最初のシステムと 2 番目のシステムが同じ解決策を持つことを示すのは簡単です。 2 番目のシステムでは、2 番目の方程式に含まれる変数は 1 つだけです。この方程式を解いてみましょう:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

x の代わりに数値 1 を等式 y=7-3x に代入すると、対応する y の値が見つかります。
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

ペア (1;4) - システムの解

同じ解を持つ 2 つの変数の連立方程式はと呼ばれます。同等。ソリューションを持たないシステムも同等とみなされます。

連立一次方程式を加算によって解く

連立一次方程式を解く別の方法である加算法を考えてみましょう。この方法でシステムを解くとき、および代入によって解くときは、このシステムから、方程式の 1 つに変数が 1 つだけ含まれる別の同等のシステムに移動します。

加算法を使用して連立一次方程式を解くときの一連のアクション:
1) システムの方程式を項ごとに乗算し、変数の 1 つの係数が反対の数になるように係数を選択します。
2) システム方程式の左辺と右辺を項ごとに加算します。
3) 結果として得られた方程式を 1 つの変数で解きます。
4) 2 番目の変数の対応する値を見つけます。

例。連立方程式を解いてみましょう。
$$ \left\( \begin(配列)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(配列) \right. $$

このシステムの方程式では、y の係数は反対の数です。方程式の左辺と右辺を項ごとに加算すると、1 つの変数 3x=33 を持つ方程式が得られます。システムの方程式の 1 つ、たとえば最初のものを方程式 3x=33 に置き換えてみましょう。システムを手に入れましょう
$$ \left\( \begin(配列)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(配列) \right. $$

方程式 3x=33 から、x=11 であることがわかります。この x の値を方程式 $x-3y=38$ に代入すると、変数 y を含む方程式 $11-3y=38$ が得られます。この方程式を解いてみましょう:
$-3y=27 \Rightarrow y=-9 $

したがって、加算によって連立方程式の解を見つけました: $x=11; y=-9$ または $(11;-9)$

システムの方程式では y の係数が逆の数であるという事実を利用して、その解を等価なシステムの解に縮小しました (元のシステムの各方程式の両辺を合計することによって)。方程式には変数が 1 つだけ含まれています。

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の上このレッスン連立一次方程式を解く方法を見ていきます。高等数学の過程では、連立一次方程式は、「クラマーの公式を使用して系を解く」などの別個のタスクの形式と、他の問題を解く過程の両方で解く必要があります。連立一次方程式は、高等数学のほぼすべての分野で扱われなければなりません。

まず、ちょっとした理論です。この場合、数学的な単語「線形」は何を意味しますか? これは、システムの方程式が全て含まれる変数 第一級で: みたいな派手なことは一切せずになど、数学オリンピックの参加者だけが喜ぶものです。

高等数学では、変数を表すために子供の頃から慣れ親しんだ文字だけが使用されるわけではありません。
かなり一般的なオプションは、インデックス付きの変数です。
または、ラテンアルファベットの大小の頭文字:
ギリシャ文字を見つけることはそれほど珍しいことではありません。 – 「アルファ、ベータ、ガンマ」として多くの人に知られています。また、インデックスを含むセット、たとえば文字「mu」を含むセットもあります。

どの文字セットを使用するかは、線形方程式系に直面する高等数学のセクションによって異なります。したがって、たとえば、積分を解くときに遭遇する連立一次方程式では、微分方程式という表記を使用するのが伝統的です

しかし、変数がどのように指定されても、連立一次方程式を解くための原理、方法、方法は変わりません。したがって、のような怖いものに出会った場合は、怖くて急いで問題集を閉じないでください。結局のところ、代わりに太陽、代わりに鳥、代わりに顔 (先生) を描くことができます。そして、面白いことに思われるかもしれませんが、これらの表記を使用した連立一次方程式も解くことができます。

記事がかなり長くなりそうな予感がしたので、目次を簡単に。したがって、一連の「報告会」は次のようになります。

– 代入法（「学校法」）を使用して連立一次方程式を解く;
– システム方程式の項ごとの加算 (減算) によってシステムを解きます。;
– Cramer の公式を使用したシステムの解法;
– 逆行列を使用して系を解く;
– ガウス法を使用してシステムを解く.

連立一次方程式については、学校の数学の授業で誰もがよく知っています。基本的には、繰り返しから始めます。

代入法を使用して連立一次方程式を解く

この方法「学校メソッド」または未知を排除するメソッドとも呼ばれます。比喩的に言えば、「未完成のガウス法」とも言えます。

例1

ここでは、2 つの未知数を含む 2 つの方程式系が与えられています。自由項 (数値 5 と 7) が方程式の左側にあることに注意してください。一般に、それらが左側か右側のどこにあるかは問題ではありません。高等数学の問題では、しばしばそのように配置されるというだけです。そして、そのような記録は必要に応じて混乱を招くべきではなく、システムはいつでも「通常どおり」に書くことができます。用語を部分から部分に移動するときは、その符号を変更する必要があることを忘れないでください。

連立一次方程式を解くとはどういう意味ですか? 連立方程式を解くということは、その解を多数見つけることを意味します。システムの解は、それに含まれるすべての変数の値の集合であり、これにより、システムのあらゆる方程式が真の等式に変わります。さらに、システムは次のことができます。 非接合 (解決策がありません).心配しないでください。一般的な定義=) 各方程式 c-we を満たす値「x」と値「y」は 1 つだけあります。

存在するグラフィックメソッドシステムの解決策（授業で見つけることができます） 線に関する最も単純な問題。そこで話したのは幾何学的な感覚 2 つの未知数を含む 2 つの線形方程式の系。しかし今は代数の時代であり、数値、数値、アクション、アクションの時代です。

決めましょう: 最初の方程式から次のように表されます。
結果の式を 2 番目の方程式に代入します。

括弧を開いて類似の用語を追加し、値を見つけます。

次に、何のために踊ったかを思い出します。
値はすでにわかっているので、あとは以下を見つけるだけです。

答え:

何らかの方法で方程式系を解いた後は、次のことを確認することを強くお勧めします。 （口頭、草案上または電卓上で）。幸いなことに、これは簡単かつ迅速に実行できます。

1) 見つかった答えを最初の方程式に代入します。

– 正しい等価性が得られます。

2) 見つかった答えを 2 番目の方程式に代入します。

– 正しい等価性が得られます。

もっと簡単に言えば、「すべてがひとつになった」

考慮された解法は、最初の方程式からを表すことができた唯一の方法ではありません。
逆に、2 番目の方程式で何かを表現し、それを最初の等式に代入することもできます。ちなみに、4 つの方法の中で最も不利なのは、2 番目の式から次のように表すことです。

結果は端数になりますが、なぜでしょうか? もっと合理的な解決策があります。

ただし、場合によっては、分数なしでは対応できない場合もあります。この点で、私が表現をどのように書き留めたかに注目していただきたいと思います。このようなことはありません: また、次のような場合はありません: .

高等数学で分数を扱う場合は、すべての計算を通常の仮分数で実行するようにしてください。

まさに、そうではありません！

カンマは、特にそれが何らかの問題に対する最終的な答えであり、この数値を使用してそれ以上のアクションを実行する必要がない場合にのみ使用できます。

多くの読者は、「添削授業なのに、なぜこんなに詳しい説明が必要なのか、すべてが明らかだ」と思ったことだろう。そんなことは何もない、とても単純なことのようだ学校の例、そして非常に重要な結論がいくつもあるのです！もう一つは次のとおりです。

どのようなタスクも最も合理的な方法で完了するよう努めるべきです。それが時間と神経を節約し、間違いを犯す可能性を減らすという理由だけであれば。

高等数学の問題で、2 つの未知数を含む 2 つの線形方程式系に遭遇した場合、いつでも代入法を使用できます (その系を別の方法で解く必要があると示されていない限り、代入法を使用する教師は 1 人もいません)。自分はダメ人間で、「学校のやり方」を使うと成績が下がると考えてください。」
さらに、場合によっては、次のような場合に置換メソッドを使用することをお勧めします。もっと変数。

例 2

3 つの未知数を含む連立一次方程式を解く