このシステムは 2 つの変数の不等式で構成されます。
このシステムを解決するには、次のことが必要です。
1. それぞれの不等式について、この不等式に対応する方程式を書き留めます。
2. 方程式で指定された関数のグラフである直線を作成します。
3. 各直線について、不等式によって与えられる半平面を決定します。 これを行うには、直線上にない任意の点を取得し、その座標を不等式に代入します。 不等式が真の場合、選択した点を含む半平面が元の不等式の解になります。 不等式が偽の場合、線の反対側の半平面がこの不等式の解のセットになります。
4. 不等式系を解くには、系の各不等式の解となるすべての半平面の交差面積を見つける必要があります。
この領域は空であることが判明する可能性があり、その場合、不平等系には解決策がなく、矛盾します。 それ以外の場合、システムは一貫していると言われます。 解は有限数または無限数存在する可能性があります。 領域は閉じた多角形または境界のないものにすることができます。
例 3.系をグラフィカルに解く： 
不等式に対応する方程式 x + y–1 = 0 および –2x – 2y + 5 = 0 を考えてみましょう。 これらの方程式で与えられる直線を作図してみましょう (図 3)。
図 3 – 直線のイメージ
不等式によって定義される半平面を定義しましょう。 任意の点を (0; 0) としましょう。 x+ y– 1 ≤ 0 を考慮し、点 (0; 0) を代入します: 0 + 0 – 1 ≤ 0。これは、点 (0; 0) が存在する半平面では、x + y – 1 ≤ 0 であることを意味します。 、つまり 。 線の下にある半平面が最初の不等式の解になります。 この点 (0; 0) を 2 番目の点に代入すると、 –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0、つまり 点 (0; 0) が存在する半平面では –2x – 2y + 5≥ 0 であり、したがって、もう一方の半平面では –2x – 2y + 5 ≤ 0 がどこにあるのかを尋ねられました。直線の上にあります。
これら 2 つの半平面の交点を見つけてみましょう。 線は平行であるため、平面はどこでも交差しません。これは、これらの不等式の系には解がなく、矛盾していることを意味します。
例4.不等式の解をグラフィカルに見つけます。
1. 不等式に対応する方程式を書き出して直線を作成しましょう (図 4)。
x + 2y– 2 = 0 ×20
y – x – 1 = 0 ×02
y + 2 = 0; y = –2。
図 4 – 直線のイメージ
2. 点 (0; 0) を選択したら、半平面内の不等式の符号を決定します。
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0、つまり 直線の下の半平面では x + 2y– 2 ≤ 0。
0 – 0 – 1 ≤ 0、つまり 直線の下の半平面では y –x- 1 ≤ 0。
0 + 2 =2 ≥ 0、つまり 直線上の半平面では y + 2 ≥ 0。
3. これら 3 つの半平面の交点は三角形の領域になります。 対応する線の交点として領域の頂点を見つけることは難しくありません。
したがって、A(–3; –2)、B(0; 1)、C(6; –2) となります。
結果として得られるシステムの解領域が無制限である別の例を考えてみましょう。
例5.システムをグラフィカルに解く
不等式に対応する方程式を書き出して直線を描いてみましょう (図 5)。
図 5 – 直線のイメージ
x + y – 1 = 0 ×01
y – x – 1 = 0 ×0 –1
半平面で記号を定義しましょう。 点 (0; 0) を選択しましょう。
0 – 0 – 1 ≤ 0、つまり 直線の下では y – x – 1 ≤ 0。
0 + 0 – 1 ≤ 0、つまり 直線の下の x + y – 1 ≤ 0。
2 つの半平面の交点は、点 A(0;1) を頂点とする角度です。 この境界のない領域は、元の不等式の解となります。
2 つの変数を持つ線形不等式が与えられ、 
(1)
値が 
そして 
を平面上の点の座標とみなしたとき、その座標が不等式 (1) を満たす平面上の点の集合をこの不等式の解の領域と呼びます。 したがって、不等式 (1) の解の領域は直線を境界とする半平面になります。 
.
例1.
.
解決。 直線を構築する 
たとえば、座標軸 (0; 4) と (6; 0) との交点によって 2 点で表示されます。 この線は平面を 2 つの部分に分割します。 2 つの半平面に分割します。 構築された直線上にない平面の任意の点を取得します。 点の座標が指定された不等式を満たす場合、解の領域はこの点が位置する半平面になります。 間違った数値不等式が得られた場合、解の領域は、この点が属さない半平面になります。 通常、点 (0; 0) が制御に使用されます。
代用しましょう 
そして 
与えられた不等式に。 我々が得る 
。 したがって、「ゼロに向かう」半平面が、この不等式の解の領域になります (図 1 の斜線部分)。
例2。不等式によって定義される半平面を見つけます
.
解決。 直線を構築する 
たとえば、点 (0; 0) と (1; 3) によって表されます。 なぜなら 直線が座標の原点である点 (0; 0) を通過すると、それを制御対象とすることはできません。 たとえば、点 (- 2; 0) を取り上げ、その座標を指定された不等式に代入します。 我々が得る 
。 本当じゃない。 これは、この不等式の解の領域が、制御点が属さない半平面 (図 2 の斜線部分) になることを意味します。
2. 線形不等式系の解領域。
例。不等式系の解領域を求めます。
解決。 最初の不等式 (図 1) と 2 番目の不等式 (図 2) の解の領域を見つけます。
ハッチングが重ね合わされる平面の部分のすべての点は、1 番目と 2 番目の不等式の両方を満たします。 したがって、与えられた不等式系の解領域が得られます (図 3)。
与えられた不等式に条件を追加すると、 
そして 
、次に不等式系の解領域 
は I 座標の四半期にのみ配置されます (図 4)。
線形不等式系の解を見つける原理は、系に含まれる不等式の数には依存しません。
注記 : 許容解領域 (ADA) が存在する場合、それは閉じたまたは開いた凸多角形です。
3. 問題をグラフィカルに解決するためのアルゴリズム
線形計画問題に変数が 2 つだけ含まれている場合は、次の操作を実行することでグラフィカルに解くことができます。
例。線形計画問題をグラフィカルに解く
最大
解決。 システムの 3 番目と 4 番目の制約は二重不等式です。このような問題にとって、より馴染みのある形式に変換してみましょう。 
、 これ 
そして 
、 それ。 結果として生じる不等式の最初のもの 
（または 
) は非負の状態を指します。 
制限のシステムに。 同じく、 
これ 
そして 
.
それ。 問題は次のような形になります
最大
,
不等号を正確な等号に置き換えて、直線方程式の許容可能な解の領域を構築します。
;
;
;
.
不等式の解領域は五角形です ABCDE.
ベクトルを構築しましょう 
.
ベクトルに垂直な原点を通る 
レベルラインを引く 
。 次に、それをベクトルの方向に平行に移動します。 
実行可能な解の領域からの出口点まで。 ここがポイントになります と。 1 行目と 4 行目の方程式から構成される系を解いて、この点の座標を見つけてみましょう。
.
点の座標を代入してみましょう と目的関数に代入してその最大値を求める 
例。レベルラインを構築する 
そして 
線形計画問題の場合:
最大
(分)
解決。 実行可能な解の領域は開いた領域です (図 6)。 レベルライン 
点を通過する で。 関数 Zこの時点で最小値を持っています。 レベルライン 
実行可能な解の領域からの出口がないため、構築することはできません。これは、次のことを意味します。 
.
独立した仕事のためのタスク.
不等式系の解領域を求めます。
A) 
b) 
線形計画問題をグラフィカルに解く
分
経済数学モデルを作成し、線形計画問題をグラフィカルに解きます。
同社は 2 つのタイプ A と B の製品を生産しています。各タイプの製品は 2 台の機械 (I と II) で処理されます。 各タイプの 1 つの製品を機械で処理する時間、機械の稼働時間 ワークシフト、タイプ A とタイプ B の 1 つの製品の販売による会社の利益は次の表にリストされています。
販売市場の調査によると、タイプ B の製品の 1 日あたりの需要がタイプ A の製品の需要を 40 ユニット以上上回ることはなく、タイプ A の製品の需要は 1 日あたり 90 ユニットを超えないことがわかりました。
最大の利益が得られる製品の生産計画を決定します。
不等式の近似解。
未知数の不等式をグラフィカルに解法します。
2 つの未知数を含む不等式系のグラフィック解法。
ソリューションの交差点。
関数のグラフィック表現により、 約決める
～との不平等 未知のものと不平等系 1つと 未知の二人。 未知の不等式を図形的に解くには, すべてのメンバーを 1 つの部分に転送する必要があります。つまり、 e 。 に導く：f ( バツ ) > 0 ,
そして関数をプロットします y = f(バツ ). その後、 構築されたグラフを使用すると、次のことがわかります。 関数ゼロ(参照)、軸を分割します。バツ数回の間隔で。 さて、これに基づいて間隔を決定します バツ, この中で関数記号は不等号に対応します。 例えば、関数のゼロ:あるそして b(図30)。 それではグラフからその間隔が f (バツ ) > 0: バツ < あるそして バツ > b(太字の矢印で強調表示されています)。 兆候は明らかです > ここでは条件付きです。 その代わりに、他のものを使用することもできます。 < , .
に 不等式をグラフィカルに解くと 1 つは未知の場合、それぞれの用語のすべてを 1 つの部分に変換する必要があります。 e 。 不等式を次の形にします。
そして関数グラフを構築する y = f ( バツ ), y = g (バツ ) , ... , y = h (バツ). それぞれ これらの不等式は、上で説明したグラフィカルな方法によって解決されます。 その後する必要がある 探す ソリューションの交差点すべての不平等、つまり e. 彼らの共通部分。
例 不等式系をグラフィカルに解く：
解決策 まず、関数をプロットしましょう。y = - 2 / 3 バツ+2と
y = バツ 2 - 1 (図 31):
最初の決断不等式は間隔ですバツ> 3, 図３１では黒い矢印で示されている。 2 番目の不等式の解は 2 つの区間で構成されます。バツ < - 1 и バツ> 1。図 31 では灰色の矢印で示されています。
グラフからわかること何 これら 2 つの解の交点は区間ですバツ> 3. これは、与えられた不等式の解です。
2 つの未知数を持つ 2 つの不等式からなる系をグラフィカルに解くには、次のことを行う必要があります。
1) それぞれの文で、すべての用語を 1 つの部分に移動します。つまり、 e. 持ってくる
不等式は次のようになります。
2) 暗黙的に指定された関数のグラフを構築します。 f (x、y) = 0 および g (x、y) = 0;
3) これらの各グラフは、座標平面を 2 つの部分に分割します。
そのうちの1つは不平等です 公平、他の場合はそうではありません。 解決する
これらの不等式をそれぞれグラフで確認するだけで十分です
任意の内部の任意の 1 点における不等式の妥当性
飛行機の部品。 この時点で不平等が生じた場合、
座標平面のこの部分がその解決策です。そうでない場合は、
解決策は平面の反対側の部分です ;
4) 与えられた不等式の解は交点です
座標平面の一部の（一般的な領域）。
例 不等式系を解く：
解決策: まずグラフを作成します 一次関数: 5 バツ – 7 y= - 11 および
2 バツ + 3 y= 10 (図 32)。 それぞれについて、半平面を見つけます。
その中で対応する与えられた不等式
公平。 公平性をチェックするだけで十分であることはわかっています
地域内の任意の一点における不平等。 この中で
この場合、座標の原点を使用するのが最も簡単です。 ○(0, 0 ).
彼を組み立てる 代わりに私たちの不平等を調整しますバツそして y,
得られる結果: 5 0 – 7 0 = 0 > - 11、したがって、より低い
半平面（黄色） 最初の解決策です
不平等。 2 0 + 3 0 = 0< 10, поэтому второе 不平等
その解には下半平面 (青
色 ）。 これらの半平面の交点 ( ターコイズ色のエリア)
解決策です 私たちの不平等システム。
線形計画問題をグラフィカルに解く、線形計画問題の正規形式も参照
このような問題の制約系は、2 つの変数の不等式で構成されます。
目的関数の形式は次のとおりです。 F = C 1 バツ + C 2 yそれを最大化する必要があります。
質問に答えてみましょう: どのような数字のペア ( バツ; y) は不等式系の解です。つまり、それぞれの不等式を同時に満たしますか? 言い換えれば、システムをグラフィカルに解くとはどういう意味でしょうか?
まず、2 つの未知数を持つ 1 つの線形不等式の解は何かを理解する必要があります。
2 つの未知数を含む線形不等式を解くことは、その不等式が成立する未知の値のすべてのペアを決定することを意味します。
たとえば、不等式 3 バツ
– 5y≥ 42 のペアを満たす ( バツ , y): (100, 2); (3、-10) など。タスクは、そのようなペアをすべて見つけることです。
2 つの不等式を考えてみましょう。 斧
+ による≤ c, 斧 + による≥ c。 真っ直ぐ 斧 + による = c平面を 2 つの半平面に分割し、そのうちの 1 つの点の座標が不等式を満たすようにします。 斧 + による >c、および他の不等式 斧 + +による <c.
確かに、座標で点を取ってみましょう バツ = バツ 0 ; 次に、直線上にあり、横座標を持つ点 バツ 0、縦軸あり
確実に言っておきます ある<0、 b>0,
c>0。 すべての点と横軸 バツ 0 上に横たわっている P(たとえば、ドット M）、 持っている yM>y 0 、およびその点より下のすべての点 P、横軸付き バツ 0 、持っています yN<y 0 。 なぜなら バツ 0 は任意の点です。その場合、線の片側には常に点が存在します。 斧+ による > c、半平面を形成し、反対側にある点 斧 + による< c.
写真1
半平面の不等号は数値によって異なります ある, b , c.
これは次の方法につながります グラフィックソリューション 2 変数の線形不等式系。 このシステムを解決するには、次のことが必要です。
- それぞれの不等式について、その不等式に対応する方程式を書きます。
- 方程式で指定された関数のグラフである直線を作成します。
- 各線について、不等式によって与えられる半平面を決定します。 これを行うには、直線上にない任意の点を取得し、その座標を不等式に代入します。 不等式が真の場合、選択した点を含む半平面が元の不等式の解になります。 不等式が偽の場合、線の反対側の半平面がこの不等式の解のセットになります。
- 不等式系を解くには、系の各不等式の解となるすべての半平面の交差面積を見つける必要があります。
この領域は空であることが判明する可能性があり、その場合、不平等系には解決策がなく、矛盾します。 それ以外の場合、システムは一貫していると言われます。
解は有限数または無限数存在する可能性があります。 領域は閉じた多角形または境界のないものにすることができます。
関連する 3 つの例を見てみましょう。
例 1. 系をグラフィカルに解きます。
バツ + はい – 1 ≤ 0;
–2バツ - 2y + 5 ≤ 0.
- 不等式に対応する方程式 x+y–1=0 および –2x–2y+5=0 を考えてみましょう。
- これらの方程式で与えられる直線を作図してみましょう。
図2
不等式によって定義される半平面を定義しましょう。 任意の点を (0; 0) としましょう。 考えてみましょう バツ+ y– 1 0、点 (0; 0) を代入します: 0 + 0 – 1 ≤ 0。これは、点 (0; 0) が存在する半平面内で、 バツ + y –
1 ≤ 0、つまり 線の下にある半平面が最初の不等式の解になります。 この点 (0; 0) を 2 番目の点に代入すると、 –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0、つまり 点 (0; 0) が位置する半平面では、-2 バツ – 2y+ 5≥ 0、そして –2 がどこにあるか尋ねられました。 バツ
– 2yしたがって、もう一方の半平面、つまり直線の上の半平面では + 5 ≤ 0 となります。
これら 2 つの半平面の交点を見つけてみましょう。 線は平行であるため、平面はどこでも交差しません。これは、これらの不等式の系には解がなく、矛盾していることを意味します。
例 2. 不等式系の解をグラフィカルに求めます。 
図3
1. 不等式に対応する方程式を書き出して、直線を作成しましょう。
バツ + 2y– 2 = 0
| バツ | 2 | 0 |
| y | 0 | 1 |
y – バツ – 1 = 0
| バツ | 0 | 2 |
| y | 1 | 3 |
y + 2 = 0;
y = –2.
2. 点 (0; 0) を選択したら、半平面内の不等式の符号を決定します。
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0、つまり バツ + 2y– 直線の下の半平面では 2 ≤ 0。
0 – 0 – 1 ≤ 0、つまり y –バツ– 直線の下の半平面では 1 ≤ 0。
0 + 2 =2 ≥ 0、つまり y直線上の半平面では + 2 ≥ 0。
3. これら 3 つの半平面の交点は三角形の領域になります。 対応する線の交点として領域の頂点を見つけることは難しくありません。
したがって、 あ(–3; –2), で(0; 1), と(6; –2).
結果として得られるシステムのソリューション ドメインが制限されない別の例を考えてみましょう。
