これは、行列を使用して実行されるすべての可能な演算を一般化する概念です。 数学行列 - 要素の表。 テーブルについて メートル線と n列、この行列は次の次元を持つと言われます メートルの上 n.
マトリックスの全体像:
のために マトリックスソリューションマトリックスとは何かを理解し、その主なパラメーターを知る必要があります。 マトリックスの主な要素:
- 要素で構成される主対角線 11、22…...
- 要素で構成される側面対角線 a 1n 、a 2n-1 ....a m1.
行列の主な種類:
- 正方形は、行数 = 列数である行列です ( m=n).
- ゼロ - すべての行列要素 = 0。
- 転置行列 - 行列 で、元の行列から取得された あ行を列に置き換えることによって。
- Unity - 主対角線のすべての要素 = 1、その他のすべての要素 = 0。
- 逆行列は、元の行列を乗算すると単位行列が得られる行列です。
マトリックスは主対角線と副対角線に関して対称にすることができます。 つまり、もし a 12 = a 21, a 13 =a 31、….a 23 =a 32…。 a m-1n =a mn-1の場合、行列は主対角線に関して対称になります。 対称にできるのは正方行列のみです。
行列を解くためのメソッド。
ほとんど全て 行列の解決法その決定要因を見つけることにある nそれらのほとんどは非常に面倒です。 2 次と 3 次の行列式を見つけるには、他のより合理的な方法があります。
2次行列式を見つける。
行列の行列式を計算するには あ 2 次では、主対角要素の積から副対角要素の積を引く必要があります。
3次行列式を見つける方法。
以下は 3 次行列式を求めるためのルールです。
の 1 つとして簡略化された三角形の法則 行列の解決法、次のように表すことができます。
言い換えれば、直線で結ばれた最初の行列式の要素の積には「+」符号が付けられます。 また、2 番目の行列式については、対応する積が「-」記号付きで取得されます。つまり、次のスキームに従います。
で サラスの法則を使用して行列を解く、行列式の右側に最初の 2 列を追加し、主対角線とそれに平行な対角線の対応する要素の積を「+」記号で取得します。 二次対角線とそれに平行な対角線の対応する要素の積に、記号「-」を付けます。
行列を解くときの行または列の行列式の分解。
決定要因 合計に等しい行列式文字列の要素の代数的補数による積。 通常、ゼロを含む行/列が選択されます。 分解が実行される行または列は矢印で示されます。
行列を解くときに行列式を三角形の形式に還元します。
で 行列を解く行列式を三角形の形に減らす方法では、次のように機能します。行または列で最も単純な変換を使用すると、行列式の形が三角形になり、その値は行列式の特性に従って積と等しくなります。主対角線上にある要素の数。
行列を解くためのラプラスの定理。
ラプラスの定理を使用して行列を解く場合、定理自体を知る必要があります。 ラプラスの定理: しましょう Δ - これは決定要因です n-番目の注文。 どれかを選択します k指定された行 (または列) k≤ n - 1。 この場合、未成年者全員の積の合計 k選択した内容に含まれる - 番目の注文 k行 (列) は、代数的な補数によって行列式と等しくなります。
逆行列を解く。
一連のアクション 逆行列解:
- 指定された行列が正方行列であるかどうかを判断します。 答えが否定的な場合、その逆行列は存在できないことが明らかになります。
- 代数の補数を計算します。
- 和集合（相互、随伴）行列を構成します C.
- コンパイル中 逆行列代数的加算から: 随伴行列のすべての要素 C初期行列の行列式で割ります。 最終的な行列は、指定された行列に対する必要な逆行列になります。
- 完了した作業を確認します。初期行列と結果の行列を乗算すると、結果は単位行列になるはずです。
行列システムを解く。
のために マトリックスシステムのソリューションガウス法が最もよく使用されます。
ガウス法は、線形代数方程式系 (SLAE) を解くための標準的な方法であり、変数が順次削除されるという事実から構成されます。つまり、基本的な変更を利用して、方程式系が等価な三角方程式系になります。フォームを作成し、そこから、後者から (番号順に) 順番に、システムの各要素を見つけます。
ガウス法最も汎用性が高く、 最高のツール行列の解を求めます。 システムに無限の解がある場合、またはシステムに互換性がない場合、クラマーの法則と行列法を使用して解くことはできません。
ガウス法はまた、直接移動 (拡張行列を段階的形式に縮小する、つまり主対角の下でゼロを取得する) および逆移動 (拡張行列の主対角より上でゼロを取得する) を意味します。 順方向の移動はガウス法、逆方向の移動はガウス・ジョーダン法です。 Gauss-Jordan 法は、変数を削除する順序のみが Gauss 法と異なります。
逆行列法は特殊なケースです 行列方程式
行列法を使用して系を解く
解決: システムを行列形式で記述し、公式を使用してシステムの解を求めます (最後の公式を参照)。
次の式を使用して逆行列を求めます。
ここで、 は行列の対応する要素の代数補数の転置行列です。
まず、決定要因を見てみましょう。
ここでは行列式が 1 行目で展開されています。
注意！ その場合、逆行列は存在せず、行列法を使用してシステムを解くことは不可能です。 この場合、システムは未知数の消去法 (ガウス法) によって解決されます。
次に、9 つのマイナーを計算し、マイナー行列に書き込む必要があります。 
参照：線形代数における二重添字の意味を知っておくと役に立ちます。 最初の桁は、要素が配置されている行の番号です。 2 番目の桁は、要素が配置されている列の番号です。 
つまり、二重添え字は、要素が 1 行目、3 列目にあることを示します。たとえば、要素は 3 行目、2 列目にあります。
解決策の際には、未成年者の計算を詳細に説明することをお勧めしますが、ある程度の経験があれば、口頭で間違いを含めて数えることに慣れることができます。
未成年者が計算される順序はまったく重要ではありません。ここでは、行ごとに左から右に計算しました。 未成年者を列ごとに計算することができました (これはさらに便利です)。
したがって：
– 行列の対応する要素のマイナー行列。
– 代数加算の行列。
– 代数加算の転置行列。
繰り返しますが、レッスンでは実行される手順について詳しく話し合いました。 逆行列を見つけるにはどうすればよいですか?
ここで逆行列を書きます。
いかなる状況でも、これをマトリックスに入力してはなりません。これにより、さらなる計算が非常に複雑になります。。 行列内のすべての数値が剰余なしで 60 で割り切れる場合、割り算を実行する必要があります。 ただし、この場合、行列にマイナスを追加することが非常に必要です。逆に、それによってさらなる計算が簡素化されます。
残っているのは行列の乗算を実行することだけです。 行列の乗算方法を授業で学びます。 マトリックスを使用したアクション。 ちなみに、まったく同じ例がそこで分析されています。
60 による除算が行われることに注意してください。 V 最後の手段
.
完全に分離しない場合もあります。 「不良」な分数が発生する可能性があります。 このような場合に何をすべきかについては、クラマーの法則を見たときにすでに説明しました。
答え: 
例 12
逆行列を使用して系を解きます。 
これは例です 独立した決定(最終デザインのサンプルとレッスンの最後に回答が表示されます)。
このシステムを解決する最も普遍的な方法は、 未知数を除去する方法 (ガウス法)。 アルゴリズムをわかりやすく説明するのは簡単ではありませんが、やってみました！
私はあなたの成功を祈って！
答え:
例 3:
例6:
例 8: , 。 この例のサンプル ソリューションを表示またはダウンロードできます (下のリンク)。
例 10、12: 
今後もシステムの検討を続けていきます 一次方程式。 このレッスンはこのトピックの 3 番目です。 連立一次方程式が一般的にどのようなものであるかについて漠然としたアイデアがある場合、またはティーポットのような場合は、このページの基本から始めることをお勧めします。次に、レッスンを学習するのに役立ちます。
ガウス法は簡単です！なぜ？ 有名なドイツの数学者ヨハン・カール・フリードリヒ・ガウスは、生前、史上最も偉大な数学者、天才として認められ、さらには「数学王」というあだ名まで受けていました。 そしてご存知のとおり、独創的なものはすべてシンプルです。ちなみに、金を得るのはカモだけではなく、天才もいます。ガウスの肖像画は10ドイツマルク紙幣（ユーロ導入前）に描かれており、ガウスは今でも普通の切手でドイツ人に不思議な笑みを浮かべています。
ガウス法は簡単なので、5 年生の知識があれば十分に習得できます。 足し算と掛け算の方法を知っておく必要があります。その方法は偶然ではありません 順次消去未知数は、学校の数学の選択科目で教師によって考慮されることがよくあります。 逆説的ですが、学生はガウス法が最も難しいと感じています。 何も驚くべきことではありません。すべては方法論に関するものであり、私はその方法のアルゴリズムについてわかりやすい形式で話そうとします。
まずは連立一次方程式に関するちょっとした知識を体系化してみましょう。 線形方程式系では次のことが可能です。
1) 独自のソリューションを用意する。
2) 無限に多くの解がある。
3) 解決策がない ( 非互換).
ガウス法は最も強力であり、 万能ツール解決策を見つけるために どれでも線形方程式系。 私たちが思い出しているように、 クラマー則と行列法システムに無限に多くの解がある場合や、一貫性がない場合には適していません。 そして未知数を逐次消去する方法 ともかく私たちを答えに導きます！ の上 このレッスンケース No. 1 (システムの唯一の解決策) についてはガウス法を再度検討します。記事ではポイント No. 2 ～ 3 の状況について説明します。 このメソッド自体のアルゴリズムは 3 つのケースすべてで同じように機能することに注意してください。
に戻りましょう 最も単純なシステムクラスから 連立一次方程式を解くにはどうすればよいでしょうか?
そしてガウス法を使用してそれを解きます。
最初のステップは書き留めることです 拡張システムマトリックス:
。 どのような原理で係数が書かれているかは誰でも分かると思います。 マトリックスの内部の垂直線には数学的な意味はありません。これは単にデザインを容易にするための取り消し線です。
参照： 覚えておくことをお勧めします条項 線形代数。システムマトリックス は、未知数の係数のみで構成される行列です。 この例ではシステムマトリックス: . 拡張システムマトリックス – これは、システムの同じマトリックスに自由条件の列を加えたものです。この場合は次のようになります。 。 簡潔にするために、どの行列も単に行列と呼ぶことができます。
拡張マトリックス システムを作成した後、それを使用していくつかのアクションを実行する必要があります。 基本的な変換.
次の基本的な変換が存在します。
1) 文字列行列 並べ替えることができますいくつかの場所で。 たとえば、検討中の行列では、最初の行と 2 番目の行を簡単に再配置できます。 
2) 行列内に比例した (特殊な場合として - 同一の) 行がある (または出現した) 場合、次のようにする必要があります。 消去これらの行は 1 つを除いてすべて行列からのものです。 たとえば、次のマトリックスを考えてみましょう。 
。 この行列では、最後の 3 行は比例しているため、そのうちの 1 行だけを残すだけで十分です。 
.
3) 変換中に行列にゼロ行が表示される場合、それも次のようにする必要があります。 消去。 もちろん引きません、ゼロラインは すべてゼロ.
4) マトリックスの行は次のようにすることができます。 乗算（除算）任意の数に ゼロ以外の。 たとえば、行列 を考えてみましょう。 ここでは、最初の行を –3 で割り、2 番目の行を 2 で乗算することをお勧めします。 
。 このアクションは、行列のさらなる変換を簡素化するため、非常に便利です。
5) この変換は最も困難を引き起こしますが、実際には複雑なことは何もありません。 行列の行に対して次のことができます 数値を掛けた別の文字列を追加します、ゼロとは違います。 次のマトリックスを考えてみましょう 実践例: 。 まず、変換について詳しく説明します。 最初の行に -2 を掛けます。 
、 そして 2 行目に -2 を掛けた最初の行を追加します。: 。 これで、最初の行を –2: で「後ろに」分割できます。 ご覧のとおり、ADD という行は 李 – 変わっていない. いつも TO WHICH IS ADDED の行が変更されます ユタ州.
もちろん、実際には、そこまで詳しくは書かず、簡潔に書きます。 
もう一度: 2 行目へ 最初の行に -2 を乗算して追加しました。 通常、ラインは口頭または下書きで掛け算され、暗算プロセスは次のようになります。
「行列を書き換えて、最初の行を書き換えます。」
「最初のコラム。 一番下ではゼロを取得する必要があります。 したがって、一番上の値に –2 を掛けて、最初の値を 2 行目に追加します: 2 + (-2) = 0。結果を 2 行目に書き込みます。 
»
「それでは２列目です。 一番上で、-1 と -2 を掛けます。 最初の行を 2 行目に追加します: 1 + 2 = 3。結果を 2 行目に書き込みます: "
「そして3列目。 一番上で、-5 に -2 を掛けます。 最初の行を 2 行目に追加します: –7 + 10 = 3。結果を 2 行目に書き込みます。 »
この例についてよく考えて理解してください 逐次アルゴリズム計算について、これを理解していれば、ガウス法は実質的に「ポケットの中にある」ことになります。 しかし、もちろん、私たちは引き続きこの変革に取り組んでいきます。
初等変換では方程式系の解は変わりません
！ 注意：考慮された操作 使えない、行列が「それ自体で」与えられるタスクが提供された場合。 例えば「クラシック」の場合 行列を使った演算いかなる状況でも、行列内で何かを再配置してはなりません。
私たちのシステムに戻りましょう。 それはほぼ解決されています。
システムの拡張行列を書き留めて、基本変換を使用してそれを次のように縮小してみましょう。 階段状のビュー:
(1) 1 行目は 2 行目に加算され、-2 が乗算されます。 ところで、なぜ最初の行に -2 をかけるのでしょうか? 一番下のゼロを取得するには、2 行目の変数を 1 つ削除することを意味します。
(2) 2行目を3で割ります。
基本的な変換の目的–
マトリックスを段階的な形式に縮小します。 
。 タスクの設計では、単純な鉛筆で「階段」をマークし、「階段」にある数字を丸で囲むだけです。 「段階的ビュー」という用語自体は、科学や教育の文献では完全に理論的なものではありません。 台形ビューまたは 三角図.
基本的な変換の結果、次のようになりました。 同等元の方程式系:
次に、システムを逆方向に「巻き戻す」必要があります。下から上へ、このプロセスはと呼ばれます。 ガウス法の逆.
下の式では、すでに既製の結果が得られています。
システムの最初の方程式を考えて、既知の「y」の値をそれに代入してみましょう。
ガウス法で問題を解決する必要がある最も一般的な状況を考えてみましょう。 3人体制 3 つの未知数を含む線形方程式。
例1
ガウス法を使用して連立方程式を解きます。
システムの拡張行列を書いてみましょう。
ここで、解決中に得られる結果をすぐに描画します。
繰り返しますが、私たちの目標は、基本的な変換を使用して行列を段階的な形式にすることです。 どこから始めれば？
まず、左上の数字を見てください。 
ほぼ常にここにあるはずです ユニット。 一般的には、-1 (場合によっては他の数値) で十分ですが、どういうわけか伝統的に、通常は 1 が置かれることが起こりました。 ユニットを編成するにはどうすればよいですか？ 最初の列を見ると、ユニットが完成しました。 変換 1: 1 行目と 3 行目を交換します。 
これで、最初の行はソリューションが終了するまで変更されません。。 もう大丈夫です。
左上のユニットが整理されています。 ここで、次の場所でゼロを取得する必要があります。 
「難しい」変換を使用してゼロを取得します。 まず 2 行目 (2、-1、3、13) を処理します。 最初の位置でゼロを取得するには何をする必要がありますか? する必要がある 2 行目に -2 を掛けた 1 行目を追加します。。 頭の中で、またはドラフト上で、最初の行に -2 を掛けます: (-2、-4、2、-18)。 そして、私たちは一貫して（これも頭の中で、またはドラフト上で）追加を実行します。 2 行目に、既に -2 を掛けた最初の行を追加します。:
結果を 2 行目に書きます。 
3 行目 (3、2、-5、-1) も同様に処理します。 最初の位置にゼロを取得するには、以下が必要です 3 行目に -3 を掛けた最初の行を追加します。。 頭の中で、またはドラフト上で、最初の行に -3 を掛けます: (-3、-6、3、-27)。 そして 3 行目に -3 を掛けた最初の行を追加します。:
結果を 3 行目に書きます。
実際には、これらのアクションは通常、口頭で実行され、1 つのステップで書き留められます。 
すべてを一度に同時に数える必要はありません。 計算の順序と結果の「書き込み」 一貫性のあるそして通常は次のようになります。まず最初の行を書き直し、ゆっくりと自分自身を膨らませます - 一貫して 注意深く:
そして、計算自体の精神的なプロセスについてはすでに上で説明しました。
この例では、これは簡単に実行できます。2 行目を –5 で除算します (そこにあるすべての数値は剰余なしで 5 で割り切れるため)。 同時に、3 行目を -2 で割ります。 少ない数、 それらの より簡単な解決策:
の上 最終段階基本的な変換では、ここで別のゼロを取得する必要があります。 
このために 3 行目に -2 を掛けた 2 行目を追加します。:
このアクションを自分で理解してみてください。2 行目に -2 を心の中で乗算し、加算を実行します。
実行される最後のアクションは結果のヘアスタイルであり、3 行目を 3 で割ります。
基本変換の結果、等価な線形方程式系が得られました。 
いいね。
ここで、ガウス法の逆が機能します。 方程式は下から上に「巻き戻され」ます。
3 番目の方程式では、すでに結果が得られています。
2 番目の方程式を見てみましょう。 「zet」の意味はすでに知られているので、次のようになります。
そして最後に、最初の方程式: 。 「イグレック」と「ゼット」は知られていますが、それはほんの些細なことです。
答え： 
すでに何度か述べたように、どのような方程式系でも、見つかった解を確認することは可能であり、必要です。幸いなことに、これは簡単かつ迅速です。
例 2
これは独立したソリューションの例であり、最終設計のサンプルであり、レッスンの最後に回答が表示されます。
注意すべき点は、 決定の進捗状況私の決断プロセスと一致しないかもしれませんが、 これがガウス法の特徴です。 しかし、答えは同じでなければなりません。
例 3
ガウス法を使用して連立一次方程式を解く
システムの拡張行列を書き留めて、基本的な変換を使用して、それを段階的な形式にします。
左上の「ステップ」に注目します。 そこに 1 つあるはずです。 問題は、最初の列にユニットがまったくないため、行を再配置しても何も解決しないことです。 このような場合は、基本変換を使用してユニットを編成する必要があります。 これは通常、いくつかの方法で実行できます。 私はこれを行いました: (1) 最初の行に 2 行目を追加し、-1 を掛けます。。 つまり、2 行目に -1 を心の中で乗算し、1 行目と 2 行目を加算しましたが、2 行目は変更しませんでした。
左上は -1 になっており、これで問題ありません。 +1 を得たい人は誰でも追加の動作を実行できます。最初の行に -1 を掛けます (符号を変更します)。
(2) 1 行目の 5 倍を 2 行目に追加しました。1 行目の 3 倍を 3 行目に追加しました。
(3) 1行目は、原則として美しさのために-1を掛けています。 3 行目の符号も変更され 2 位に移動したため、2 番目の「ステップ」で必要なユニットが揃いました。
(4) 2 行目は 3 行目に加算され、2 が乗算されます。
(5) 3行目を3で割りました。
計算ミス (まれにタイプミス) を示す悪い兆候は、「悪い」最終結果となります。 つまり、以下のようなものが得られた場合、それに応じて、 
の場合、高い確率で、基本的な変換中にエラーが発生したと言えます。
私たちはその逆を請求します。例の設計では、システム自体を書き換えないことがよくありますが、方程式は「指定された行列から直接取得」されます。 逆ストローク念のために言っておきますが、下から上に向かって動作します。
はい、こちらがプレゼントです:
答え： 
.
例 4
ガウス法を使用して連立一次方程式を解く 
これは自分で解決できる例であり、多少複雑です。 誰かが混乱しても大丈夫です。 完全なソリューションレッスンの最後にはサンプルデザインが表示されます。 あなたの解決策は私の解決策とは異なるかもしれません。
最後の部分では、ガウス アルゴリズムのいくつかの機能を見ていきます。
最初の特徴は、システム方程式に一部の変数が欠落している場合があることです。次に例を示します。 
拡張システム行列を正しく書くにはどうすればよいですか? この点についてはすでに授業で話しました。 クレーマーの法則。 マトリックス法
。 システムの拡張行列では、欠落している変数の代わりにゼロを置きます。 
ところで、それはきれいですね 簡単な例これは、最初の列にすでにゼロが 1 つあり、実行する基本的な変換が少なくなっているためです。
2つ目の特徴はこれです。 検討したすべての例で、「ステップ」に -1 または +1 を配置しました。 他の数字もあるでしょうか？ 場合によっては可能です。 次のシステムを考えてみましょう。 .
ここの左上の「ステップ」には 2 があります。 しかし、最初の列のすべての数値は剰余なしで 2 で割り切れ、もう 1 つは 2 と 6 であるという事実に気づきます。 そして左上の2つが似合いますね！ 最初のステップでは、次の変換を実行する必要があります。最初の行に –1 を掛けたものを 2 番目の行に追加します。 3 行目に -3 を掛けた 1 行目を追加します。 このようにして、最初の列に必要なゼロを取得します。
またはこのようなもの 条件付きの例: 
。 ここで、2 番目の「ステップ」の 3 も適切です。12 (ゼロを取得する必要がある場所) は余りなしで 3 で割り切れます。 次の変換を実行する必要があります。2 番目のラインを 3 番目のラインに加算し、-4 を掛けます。その結果、必要なゼロが得られます。
ガウスの方法は普遍的ですが、特徴が 1 つあります。 他の方法 (クラマー法、行列法) を文字通り初めて使用してシステムを解く方法を自信を持って学ぶことができます。これらの方法には非常に厳密なアルゴリズムが備わっています。 ただし、ガウス法に自信を持って使用するには、少なくとも 5 ～ 10 個の 10 系を「しっかりと理解して」解く必要があります。 したがって、最初は計算に混乱や間違いがあるかもしれませんが、これについては何も異常なことや悲劇的なことはありません。
窓の外は秋の雨。だから、もっとしたいすべての人のために 複雑な例独立したソリューションの場合:
例5
ガウス法を使用して、4 つの未知数を含む 4 つの線形方程式からなる連立方程式を解きます。 
このようなタスクは実際にはそれほど珍しいことではありません。 このページをよく勉強したティーポットでも、このようなシステムを解くためのアルゴリズムを直感的に理解できると思います。 基本的にはすべて同じで、アクションが増えただけです。
システムに解がない (矛盾している) 場合、または無限に多くの解がある場合については、レッスンで説明します。 互換性のないシステムおよび互換性のないシステム 一般的な決定 。 そこで、ガウス法の考慮されたアルゴリズムを修正できます。
私はあなたの成功を祈って！
解決策と答え:
例 2: システムの拡張行列を書き留めて、基本変換を使用してそれを段階的な形式にします。
実行される基本的な変換:
(1) 1 行目は 2 行目に加算され、-2 が乗算されます。 最初の行が 3 行目に追加され、-1 が乗算されました。注意！
ここで、3 行目から 1 行目を減算したくなるかもしれませんが、減算しないことを強くお勧めします。エラーのリスクが大幅に高まります。 折りたたむだけです！
(2) 2行目の符号を変更(-1倍)しました。 2行目と3行目が入れ替わっています。注記
、「ステップ」では 1 だけでなく、さらに便利な -1 でも満足できるということです。
(3) 2 行目は 3 行目に加算され、5 が乗算されます。
(4) 2行目の符号を変更(-1倍)しました。 3行目は14で割られています。
逆行する：
答え： 
.
例 4: システムの拡張行列を書き留めて、基本変換を使用してそれを段階的な形式にします。
実行された変換:
(1) 1行目に2行目を追加しました。 このように、左上の「ステップ」に目的のユニットが編成されます。
(2) 1 行目の 7 倍を 2 行目に追加しました。1 行目の 6 倍を 3 行目に追加しました。
2番目の「ステップ」ではすべてが悪化します 、その「候補」は番号 17 と 23 であり、1 または -1 のいずれかが必要です。 変換(3)と(4)は、目的のユニットを取得することを目的とします。
(3) 2 行目は 3 行目に加算され、-1 が乗算されます。
(4) 3 行目は 2 行目に加算され、-3 が乗算されます。
2番目のステップで必要なアイテムを受け取りました。
.
(5) 2 行目は 3 行目に加算され、6 倍されます。
(6) 2 行目は -1 を乗算し、3 行目は -83 で除算しました。.平面は 3 つによって一意に決定されることは明らかです。 いろいろな点、同じ直線上にない。 したがって、飛行機の 3 文字の指定は、飛行機に属する点によって非常に人気があります。たとえば、 ; .無料会員の場合
方程式の使用は私たちの生活の中で広く使われています。 それらは多くの計算、構造物の建設、さらにはスポーツにも使用されます。 人類は古代に方程式を使用しましたが、それ以来、その使用は増加するばかりです。 マトリックス法を使用すると、あらゆる複雑さの SLAE (線形代数方程式系) の解を見つけることができます。 SLAE を解決するプロセス全体は、次の 2 つの主なアクションに帰着します。
に基づく逆行列の定義 メインマトリックス:
結果の逆行列に解の列ベクトルを乗算します。
次の形式の SLAE が与えられたとします。
\[\left\(\begin(行列) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(行列)\right.\]
システム行列を書き出して、この方程式を解き始めましょう。
右側の行列:
逆行列を定義しましょう。 2 次行列は次のように検索できます。 1 - 行列自体は非特異的である必要があります。 2 - 主対角線上にある要素が交換され、副対角要素の符号が反対のものに変更され、その後、結果の要素を行列の行列式で除算します。 我々が得る：
\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \]
2 つの行列は、対応する要素が等しい場合、等しいとみなされます。 その結果、SLAE ソリューションについては次のような答えが得られます。
オンラインで行列法を使用して連立方程式を解くにはどこでできますか?
私たちのウェブサイトで連立方程式を解くことができます。 無料のオンライン ソルバーを使用すると、あらゆる複雑な方程式を数秒でオンラインで解くことができます。 ソルバーにデータを入力するだけです。 方程式の解き方については、弊社 Web サイトでもご覧いただけます。 まだ質問がある場合は、VKontakte グループで質問することができます。
n次の正方行列があるとします。
行列 A -1 と呼ばれます 逆行列行列 A に関して、A*A -1 = E の場合、E は n 次の単位行列です。
恒等行列- 左上隅から右下隅までの主対角線に沿ったすべての要素が 1 で、残りが 0 である正方行列。たとえば、次のようになります。
逆行列存在するかもしれない 正方行列の場合のみそれらの。 行と列の数が一致する行列の場合。
逆行列の存在条件の定理
行列が逆行列を持つためには、行列が非特異であることが必要かつ十分です。
行列 A = (A1, A2,...A n) は次のように呼ばれます。 非退化、列ベクトルが線形独立している場合。 行列の線形に独立した列ベクトルの数は、行列のランクと呼ばれます。 したがって、逆行列が存在するためには、行列の階数がその次元と等しい、つまり 1 次元であることが必要かつ十分であると言えます。 r = n。
逆行列を求めるアルゴリズム
- ガウス法を使用して連立方程式を解くためのテーブルに行列 A を書き込み、その右側 (方程式の右辺の代わりに) に行列 E を割り当てます。
- ジョルダン変換を使用して、行列 A を単位列で構成される行列に縮小します。 この場合、行列 E を同時に変換する必要があります。
- 必要に応じて、元のテーブルの行列 A の下に単位行列 E が得られるように、最後のテーブルの行 (方程式) を再配置します。
- 逆行列 A -1 を書き留めます。これは、元のテーブルの行列 E の下の最後のテーブルにあります。
行列 A について、逆行列 A -1 を求めます。
解決策: 行列 A を書き、単位行列 E を右側に割り当てます。ジョルダン変換を使用して、行列 A を単位行列 E に換算します。計算は表 31.1 に示されています。
元の行列 A と逆行列 A -1 を乗算して、計算が正しいかどうかを確認してみましょう。
行列乗算の結果、単位行列が得られました。 したがって、計算は正しく行われました。
答え： 
行列方程式を解く
行列方程式は次のようになります。
AX = B、HA = B、AXB = C、
ここで、A、B、C は指定された行列、X は目的の行列です。
行列方程式は、方程式に逆行列を乗算することで解決されます。
たとえば、方程式から行列を見つけるには、この方程式の左辺に を掛ける必要があります。
したがって、方程式の解を見つけるには、逆行列を見つけて、方程式の右側の行列を掛ける必要があります。
他の方程式も同様に解かれます。
次の場合に方程式 AX = B を解きます。 
解決：逆行列は等しいので（例1を参照）
経済分析におけるマトリックス法
他のものと一緒に、それらも使用されます マトリックス法。 これらの方法は、線形代数およびベクトル行列代数に基づいています。 このような方法は、複雑かつ多次元の経済現象を分析する目的で使用されます。 ほとんどの場合、これらの方法は必要に応じて使用されます 比較評価組織の機能とその構造部門。
マトリックス分析手法を適用するプロセスでは、いくつかの段階に区別できます。
最初の段階では経済指標のシステムが形成され、それに基づいて初期データのマトリックスが編集されます。これは、システムの数値が個々の行に表示される表です。 (i = 1,2,....,n)、縦列 - インジケーターの数 (j = 1,2,....,m).
第二段階では垂直列ごとに、使用可能なインジケーター値の最大値が特定され、それが 1 つとみなされます。
その後、この列に反映されるすべての金額が次のように除算されます。 最高値そして、標準化された係数の行列が形成されます。
第三段階では行列のすべての成分は二乗されます。 重要性が異なる場合、各マトリックス指標には特定の指標が割り当てられます。 重み係数 k。 後者の値は専門家の意見によって決定されます。
最後のほうでは、 第四段階評価値が見つかりました Rj増加または減少の順にグループ化されます。
概要を説明したマトリックス手法は、たとえば次のような場合に使用する必要があります。 比較解析さまざまな投資プロジェクトや、組織の他の経済指標を評価するときにも使用されます。
トピック 2. 線形代数方程式の系。
基本概念。
定義 1。 システム メートルとの一次方程式 n未知数は次の形式のシステムです。
ここで、 と は数字です。
定義 2。 システム (I) の解は、このシステムの各方程式が恒等式となる一連の未知数です。
定義 3。 システム (I) と呼ばれる ジョイント少なくとも 1 つの解決策があり、 非互換解決策がない場合。 ジョイントシステムはと呼ばれます ある独自の解決策がある場合、そして 不確かなさもないと。
定義 4。 次の形式の方程式
呼ばれた ゼロ、方程式は次の形式になります。
呼ばれた 非互換。 明らかに、互換性のない方程式を含む方程式系は矛盾しています。
定義5。 2 つの線形方程式系は次のように呼ばれます。 同等 1 つのシステムのすべてのソリューションが別のシステムのソリューションとして機能し、逆に 2 番目のシステムのすべてのソリューションが最初のシステムのソリューションである場合。
線形方程式系の行列表現。
システム (I) を考えてみましょう (§1 を参照)。
次のように示しましょう:
未知数の係数行列
マトリックス - 自由用語の列
マトリックス – 未知数の列
.
定義1.マトリックスはと呼ばれます システムのメインマトリックス(I) であり、行列はシステム (I) の拡張行列です。
行列の等価性の定義により、システム (I) は行列の等価性に対応します。
.
行列の積の定義によるこの等式の右辺 ( 第 1 章の定義 3 § 5 を参照) は因数分解できます:
、つまり
平等 (2) 呼ばれた システムの行列表記 (I).
Cramer 法を使用して連立一次方程式を解きます。
システム (I) を導入します (§1 を参照) m=n、つまり 方程式の数は未知数の数に等しく、システムの主行列は非特異行列です。 。 この場合、§1 のシステム (I) には独自の解決策があります。
ここで、Δ = デット Aメインと呼ばれる システムの決定要因(I)、Δ 私を置き換えることにより、行列式 Δ から得られます。 私番目の列からシステムの無料メンバーの列 (I)。
例: Cramer の方法を使用して系を解きます。
.
数式による (3)
.
システムの行列式を計算します。
,
,
.
行列式を取得するために、行列式の最初の列を自由項の列に置き換えました。 行列式の 2 番目の列を自由項の列に置き換えると、次のようになります。 同様に、行列式の 3 番目の列を自由項の列に置き換えると、 が得られます。 システムソリューション:
逆行列を使用して連立一次方程式を解きます。
システム (I) を導入します (§1 を参照) m=nそしてシステムの主行列は非特異的です。 システム (I) を行列形式 ( §2 を参照):
なぜなら マトリックス あ特異でない場合、逆行列になります ( 第 1 章の定理 1 §6 を参照）。 等式の両辺を掛けてみましょう (2) マトリックスに、そして
逆行列の定義による。 平等から (3) 我々は持っています
逆行列を使用して系を解く
.
と表しましょう
例 (§ 3) では行列式を計算しました。したがって、行列は あ逆行列を持っています。 それから実際には (4) 、つまり
. (5)
行列を見つけてみましょう( §6 第 1 章を参照)
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
ガウス法。
線形方程式系が与えられるとします。
。 （私）
システム (I) のすべての解を見つけるか、システムが矛盾していることを確認する必要があります。
定義1.システムの基本的な変換を次のように呼びましょう(I) 次の 3 つのアクションのいずれか:
1) ゼロ方程式を消します。
2) 別の方程式の対応する部分を方程式の両辺に加え、数値 l を掛けます。
3) すべての方程式で同じ数値を持つ未知数が同じ場所を占めるように、システムの方程式内の項を交換します。 たとえば、最初の方程式で第 2 項と第 3 項を変更した場合、システムのすべての方程式で同じことを行う必要があります。
ガウス法は、初等変換の助けを借りてシステム (I) を等価なシステムに還元し、その解を直接見つけるか、またはその不可解性を確立するという事実にあります。
§2 で説明したように、システム (I) はその拡張行列と任意のパラメータによって一意に決定されます。 基本的な変換システム (I) は、拡張行列の基本変換に対応します。
.
変換 1) は行列の 0 行の削除に相当し、変換 2) は行列の対応する行に別の行を追加し、数値 l を乗算することに相当し、変換 3) は行列の列を再配置することに相当します。
逆に、行列の各基本変換がシステム (I) の基本変換に対応していることは簡単にわかります。 上記のため、システム (I) での操作の代わりに、このシステムの拡張マトリックスを操作することになります。
行列の 1 列目は次の係数で構成されます。 ×1、2 列目 - の係数から ×2等 列が再配置される場合は、この条件に違反することを考慮する必要があります。 たとえば、1 番目の列と 2 番目の列を交換すると、1 番目の列には次の係数が含まれるようになります。 ×2、2列目は次の係数です。 ×1.
ガウス法を使用して系 (I) を解きます。
1. 行列内のゼロ行があれば、すべて取り消し線を引きます (つまり、システム (I) 内のすべてのゼロ方程式に取り消し線を引きます)。
2. 行列の行の中に、最後の要素を除くすべての要素が 0 に等しい行があるかどうかを確認してみましょう (そのような行を不一致と呼びます)。 明らかに、そのような直線はシステム (I) 内の矛盾した方程式に対応するため、システム (I) には解がなく、ここでプロセスが終了します。
3. 行列に矛盾した行が含まれないようにします (システム (I) には矛盾した方程式が含まれません)。 もし a 11 =0, 次に、1 行目にゼロ以外の要素 (最後の要素を除く) を見つけ、1 行目に 1 位にゼロが存在しないように列を再配置します。 ここで、次のように仮定します (つまり、システム (I) の方程式の対応する項を交換します)。
4. 1 行目と 2 行目を乗算し、その結果を 2 行目と加算し、次に 1 行目と 3 行目を乗算し、その結果を加算します。 明らかに、このプロセスは未知のものを排除することに相当します。 ×1 1 番目を除く系 (I) のすべての方程式から。 新しい行列では、要素の下の 1 列目にゼロが入ります。 11:
.
5. 行列にゼロ行があればすべて取り消し線を引いて、矛盾する行があるかどうかを確認します (ある場合、システムは矛盾しており、解決策はそこで終了します)。 があるかどうか確認しましょう a 22 / =0はいの場合、2 行目でゼロ以外の要素を見つけ、次のように列を再配置します。 次に、2行目の要素を乗算します。 
3 行目の対応する要素を追加し、次に 2 行目の要素を追加し、4 行目の対応する要素を追加するというように、下にゼロが表示されるまで追加します。 22/
.
取られる行動は未知のものを排除することに等しい ×2 1 番目と 2 番目を除く系 (I) のすべての方程式から。 行の数は有限であるため、有限のステップ数を経ると、システムに一貫性がないか、ステップ行列 ( 定義 2 §7 第 1 章を参照) :
,
行列に対応する連立方程式を書き出してみましょう。 この系は系(I)と同等です。
.
最後の式から次のように表現します。 を得るまで、前の式に代入したり、検索したりします。
注1.したがって、ガウス法を使用して系 (I) を解くと、次のいずれかの場合に到達します。
1. システム (I) に一貫性がありません。
2. 行列の行数が未知数 () の数と等しい場合、システム (I) は一意の解を持ちます。
3. 行列の行数が未知数 () の数より少ない場合、システム (I) には無限の数の解があります。
したがって、次の定理が成り立ちます。
定理。線形方程式系は矛盾しているか、一意の解を持っているか、または無限の数の解を持っています。
例。 ガウス法を使用して連立方程式を解くか、その矛盾を証明します。
b) 
;
a) 与えられたシステムを次の形式で書き直してみましょう。
.
計算を簡素化するために、元のシステムの 1 番目と 2 番目の方程式を交換しました (この再配置を使用して、分数の代わりに整数のみを操作します)。
拡張行列を作成しましょう。
.
NULL 行はありません。 互換性のない行はありません。 1 番目を除くシステムのすべての方程式から 1 番目の未知数を除外しましょう。 これを行うには、行列の 1 行目の要素に「-2」を掛けて、2 行目の対応する要素と加算します。これは、1 番目の方程式に「-2」を乗算し、2 番目の方程式を加算するのと同じです。方程式。 次に、1 行目の要素に「-3」を掛けて、3 行目の対応する要素と加算します。 指定されたシステムの 2 番目の方程式に「-3」を乗算し、それを 3 番目の方程式に加算します。 我々が得る
.
行列は連立方程式に相当します)。 - (第 1 章の定義 3§7 を参照)。
