家道具逆行列を使用した線形方程式系。逆行列を使用して系を解く

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逆行列を使用した線形方程式系。逆行列を使用して系を解く

考えてみましょう 線形代数方程式系(SLAU) 比較的 n未知バツ 1 、バツ 2 、 ...、バツ n :

このシステムは「折りたたまれた」形式で次のように記述できます。

S n i=1 ある ij バツ j = b 私 、i=1、2、...、n.

行列乗算の規則に従って、考慮されたシステムは一次方程式に書き込むことができます マトリックス形式 斧=b、どこ

, ,.

マトリックスあ、その列は対応する未知数の係数であり、行は対応する方程式の未知数の係数です。 システムのマトリックス。列行列 b、その要素がシステムの方程式の右辺であるものは、右辺行列または単に右辺と呼ばれます。 システムの右側。列行列バツ要素が未知の未知数であるものは、と呼ばれます。 システムソリューション.

次の形式で書かれた線形代数方程式系。 斧=b、は 行列方程式.

システムマトリックスの場合 非退化、その後、彼女は持っています逆行列そしてシステムの解決策 斧=bは次の式で与えられます。

x=A -1 b.

例システムを解決するマトリックス法。

解決システムの係数行列の逆行列を求めてみましょう

最初の行に沿って展開して行列式を計算してみましょう。

なぜなら Δ ≠ 0 、それあ -1 存在します。

逆行列は正しく見つかりました。

システムの解決策を見つけよう

したがって、バツ 1 = 1、× 2 = 2、× 3 = 3 .

検査：

7. 線形代数方程式系の互換性に関するクロネッカー・カペリの定理。

連立一次方程式の形式は次のとおりです。

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2、(5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m。

ここで、 a i j および b i (i = ; j = ) が与えられ、x j は未知の実数です。行列の積の概念を使用すると、システム (5.1) を次の形式で書き直すことができます。

ここで、A = (a i j) は、システム (5.1) の未知数の係数で構成される行列です。 システムのマトリックス, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T は、それぞれ未知数 x j と自由項 b i で構成される列ベクトルです。

注文されたコレクション n実数 (c 1, c 2,..., c n) と呼ばれます システムソリューション(5.1)、対応する変数 x 1、x 2、...、x n の代わりにこれらの数値を代入した結果、システムの各方程式は算術恒等式に変わります。言い換えれば、AC  B となるベクトル C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T があるとします。

システム (5.1) が呼び出されます ジョイント、または 解決可能な、少なくとも 1 つの解決策がある場合。システムはと呼ばれます 非互換、または 解決不可能な解決策がない場合。

自由項の列を行列 A の右側に割り当てることによって形成されたものは、と呼ばれます システムの拡張マトリックス。

システム (5.1) の互換性の問題は、次の定理によって解決されます。

クロネッカー・カペリの定理 。線形方程式系は、行列 A とA のランクが一致する場合にのみ一貫性があります。 r(A) = r(A) = r。

システム (5.1) の解の集合 M については、3 つの可能性があります。

1) M =  (この場合、システムは一貫性がありません)。

2) M は 1 つの要素で構成されます。つまり、システムには独自のソリューションがあります (この場合、システムは次のように呼ばれます) ある);

3) M は複数の要素で構成されます (この場合、システムは次のように呼ばれます) 不確かな）。 3 番目のケースでは、システム (5.1) には無限の数の解があります。

システムは、r(A) = n の場合にのみ固有の解を持ちます。この場合、方程式の数は異なります。少ない数未知数 (mn); m>n の場合、 m-n の方程式他のものからの結果です。 0の場合

任意の線形方程式系を解くには、方程式の数が未知数の数と等しい系、いわゆる クレーマー型システム:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1、

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2、(5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n 。

システム (5.3) は、次のいずれかの方法で解決されます。 1) ガウス法、または未知数を除去する方法。 2) Cramer の公式による。 3）マトリックス法。

例2.12。方程式系を調べて、それが一貫しているかどうかを解きます。

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7、

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1、

× 1 - 3× 2 - 6× 3 + 5× 4 = 0。

解決。システムの拡張行列を書き出します。

 .

システムのメイン行列のランクを計算してみましょう。たとえば、左上隅の 2 次マイナー = 7  0; であることは明らかです。それを含む 3 次マイナーはゼロに等しくなります。

したがって、システムのメイン行列のランクは 2、つまり 2 になります。 r(A) = 2. 拡張行列 A のランクを計算するには、境界マイナーを考慮します。

これは、拡張行列のランク r(A) = 3 を意味します。r(A)  r(A) であるため、システムは一貫性がありません。

トピック 2. 線形代数方程式の系。

基本概念。

定義 1。システム メートルとの一次方程式 n未知数は次の形式のシステムです。

ここで、とは数字です。

定義 2。システム (I) の解は、このシステムの各方程式が恒等式となる一連の未知数です。

定義 3。システム (I) と呼ばれるジョイント少なくとも 1 つの解決策があり、非接合解決策がない場合。ジョイントシステムはと呼ばれますある独自の解決策がある場合、そして不確かなさもないと。

定義 4。次の形式の方程式

呼ばれたゼロ、方程式は次の形式になります。

呼ばれた非互換。明らかに、互換性のない方程式を含む方程式系は矛盾しています。

定義5。 2 つの線形方程式系は次のように呼ばれます。同等 1 つのシステムのすべてのソリューションが別のシステムのソリューションとして機能し、逆に 2 番目のシステムのすべてのソリューションが最初のシステムのソリューションである場合。

線形方程式系の行列表現。

システム (I) を考えてみましょう (§1 を参照)。

次のように示しましょう:

未知数の係数行列

マトリックス - 自由用語の列

マトリックス – 未知数の列

定義1.マトリックスはと呼ばれますシステムのメインマトリックス(I) であり、行列はシステム (I) の拡張行列です。

行列の等価性の定義により、システム (I) は行列の等価性に対応します。

行列の積の定義によるこの等式の右辺 ( 第 1 章の定義 3 § 5 を参照) は因数分解できます:

、つまり

平等 (2) 呼ばれたシステムの行列表記 (I).

Cramer 法を使用して連立一次方程式を解きます。

システム (I) を導入します (§1 を参照) m=n、つまり方程式の数は未知数の数に等しく、システムの主行列は非特異行列です。。この場合、§1 のシステム (I) には独自の解決策があります。

ここで、Δ = デット Aメインと呼ばれるシステムの決定要因(I)、Δ 私を置き換えることにより、行列式 Δ から得られます。私番目の列からシステムの無料メンバーの列 (I)。

例: Cramer の方法を使用して系を解きます。

数式による (3) .

システムの行列式を計算します。

行列式を取得するために、行列式の最初の列を自由項の列に置き換えました。行列式の 2 番目の列を自由項の列に置き換えると、次のようになります。同様に、行列式の 3 番目の列を自由項の列に置き換えると、が得られます。システムソリューション:

逆行列を使用して連立一次方程式を解きます。

システム (I) を導入します (§1 を参照) m=nそしてシステムの主行列は非特異的です。システム (I) を行列形式 ( §2 を参照):

なぜならマトリックスあ特異でない場合、逆行列になります ( 第 1 章の定理 1 §6 を参照）。等式の両辺を掛けてみましょう (2) マトリックスに、そして

逆行列の定義による。平等から (3) 我々は持っています

逆行列を使用して系を解く

と表しましょう

例 (§ 3) では行列式を計算しました。したがって、行列はあ逆行列を持っています。それから実際には (4) 、つまり

. (5)

行列を見つけてみましょう( §6 第 1 章を参照)

, , ,

ガウス法。

線形方程式系が与えられるとします。

。（私）

システム (I) のすべての解を見つけるか、システムが矛盾していることを検証する必要があります。

定義1.これをシステムの初歩的な変換と呼びましょう(I) 3 つのアクションのいずれか:

1) ゼロ方程式を消します。

2) 別の方程式の対応する部分を方程式の両辺に加え、数値 l を掛けます。

3) すべての方程式で同じ数値を持つ未知数が同じ場所を占めるように、システムの方程式内の項を交換します。たとえば、最初の方程式で第 2 項と第 3 項を変更した場合、システムのすべての方程式で同じことを行う必要があります。

ガウス法は、初等変換の助けを借りてシステム (I) を等価なシステムに還元し、その解を直接見つけるか、またはその不可解性を確立するという事実にあります。

§2 で説明したように、システム (I) はその拡張行列によって一意に決定され、システム (I) の基本変換は拡張行列の基本変換に対応します。

変換 1) は行列の 0 行の削除に相当し、変換 2) は行列の対応する行に別の行を追加し、数値 l を乗算することに相当し、変換 3) は行列の列を再配置することに相当します。

逆に、行列の各基本変換がシステム (I) の基本変換に対応していることは簡単にわかります。上記のため、システム (I) での操作の代わりに、このシステムの拡張マトリックスを操作することになります。

行列の 1 列目は次の係数で構成されます。 ×1、2 列目 - の係数から ×2等列が再配置される場合は、この条件に違反することを考慮する必要があります。たとえば、1 番目の列と 2 番目の列を交換すると、1 番目の列には次の係数が含まれるようになります。 ×2、2列目は次の係数です。 ×1.

ガウス法を使用して系 (I) を解きます。

1. 行列内のゼロ行があれば、すべて取り消し線を引きます (つまり、システム (I) 内のすべてのゼロ方程式に取り消し線を引きます)。

2. 行列の行の中に、最後の要素を除くすべての要素が 0 に等しい行があるかどうかを確認してみましょう (そのような行を不一致と呼びます)。明らかに、そのような直線はシステム (I) 内の矛盾した方程式に対応するため、システム (I) には解がなく、ここでプロセスが終了します。

3. 行列に矛盾した行が含まれないようにします (システム (I) には矛盾した方程式が含まれません)。もし a 11 =0, 次に、1 行目にゼロ以外の要素 (最後の要素を除く) を見つけ、1 行目に 1 位にゼロが存在しないように列を再配置します。ここで、次のように仮定します (つまり、システム (I) の方程式の対応する項を交換します)。

4. 1 行目と 2 行目を乗算し、その結果を 2 行目と加算し、次に 1 行目と 3 行目を乗算し、その結果を加算します。明らかに、このプロセスは未知のものを排除することに相当します。 ×1 1 番目を除く系 (I) のすべての方程式から。新しい行列では、要素の下の 1 列目にゼロが入ります。 11:

5. 行列にゼロ行があればすべて取り消し線を引いて、矛盾する行があるかどうかを確認します (ある場合、システムは矛盾しており、解決策はそこで終了します)。があるかどうか確認しましょう a 22 / =0はいの場合、2 行目でゼロ以外の要素を見つけ、次のように列を再配置します。次に、2行目の要素を乗算します。 3 行目の対応する要素を追加し、次に 2 行目の要素を追加し、4 行目の対応する要素を追加するというように、下にゼロが表示されるまで追加します。 22/

取られる行動は未知のものを排除することに等しい ×2 1 番目と 2 番目を除く系 (I) のすべての方程式から。行の数は有限であるため、有限のステップ数を経ると、システムに一貫性がないか、ステップ行列 ( 定義 2 §7 第 1 章を参照) :

行列に対応する連立方程式を書き出してみましょう。この系は系(I)と同等です。

最後の式から次のように表現します。を得るまで、前の式に代入したり、検索したりしてください。

注1.したがって、ガウス法を使用して系 (I) を解くと、次のいずれかの場合に到達します。

1. システム (I) に一貫性がありません。

2. 行列の行数が未知数 () の数と等しい場合、システム (I) は一意の解を持ちます。

3. 行列の行数が未知数 () よりも少ない場合、システム (I) には無限の数の解があります。

したがって、次の定理が成り立ちます。

定理。線形方程式系は矛盾しているか、一意の解を持っているか、または無限の数の解を持っています。

例。ガウス法を使用して連立方程式を解くか、その矛盾を証明します。

b) ;

a) 与えられたシステムを次の形式で書き直してみましょう。

計算を簡素化するために、元のシステムの 1 番目と 2 番目の方程式を交換しました (この再配置を使用して、分数の代わりに整数のみを操作します)。

拡張行列を作成しましょう。

NULL 行はありません。互換性のない行はありません。 1 番目を除くシステムのすべての方程式から 1 番目の未知数を除外しましょう。これを行うには、行列の 1 行目の要素に「-2」を掛けて、2 行目の対応する要素と加算します。これは、1 番目の方程式に「-2」を乗算し、2 番目の方程式を加算するのと同じです。方程式。次に、1 行目の要素に「-3」を掛けて、3 行目の対応する要素と加算します。与えられた系の 2 番目の方程式に「-3」を掛けて、3 番目の方程式と加算してみましょう。我々が得る

行列は連立方程式に対応します)。 - (第 1 章の定義 3§7 を参照)。

マトリックス法 SLAU ソリューション方程式の数が未知数の数に対応する連立方程式の解法に適用されます。この方法は、低次システムを解くのに最適です。連立一次方程式を解くための行列法は、行列乗算の特性の応用に基づいています。

この方法、つまり、 逆行列法、このように呼ばれるのは、解が通常の行列方程式に帰着し、これを解くには逆行列を見つける必要があるためです。

マトリックス解法行列式がゼロより大きいか小さい SLAE は次のとおりです。

次のような SLE (線形方程式系) があるとします。 n不明 (任意のフィールド上):

これは、行列形式に簡単に変換できることを意味します。

AX=B、どこあ— システムのメインマトリックス、 Bそしてバツ— それぞれ自由条件とシステムのソリューションの列:

この行列方程式を左から次のように乗算してみましょう。 A−1— 逆行列から行列へ A: A −1 (AX)=A −1 B。

なぜなら A −1 A=E、手段、 X=A −1 B。方程式の右側は、初期システムの解列を示します。行列法の適用条件は行列の非縮退であるあ。このための必要十分条件は、行列の行列式がゼロに等しくないことです。あ:

detA≠0。

のために 同次一次方程式系、つまりベクトルの場合 B=0、反対のルールが成り立ちます: システム AX=0次の場合にのみ、自明ではない (つまり、ゼロに等しくない) 解が存在します。 detA=0。線形方程式の均質系と不均質系の解の間のこの関係は、と呼ばれます。 フレドホルムの代替案。

したがって、マトリックス法を使用した SLAE の解は次の式に従って実行されます。。または、SLAE の解決策は次の方法で見つかります。 逆行列 A−1.

正方行列の場合、あ注文 nの上 n逆行列があります A−1行列式がゼロ以外の場合のみ。したがって、システムは n線形代数方程式 nシステムの主行列の行列式がゼロに等しくない場合にのみ、行列法を使用して未知数を解決します。

このような方法の適用可能性には制限があり、係数の大きな値や高次システムの計算は困難であるという事実にもかかわらず、この方法はコンピュータで簡単に実装できます。

不均一な SLAE を解決する例。

まず、未知の SLAE の係数行列の行列式が 0 に等しくないかどうかを確認してみましょう。

今、私たちは見つけました 和集合行列を転置し、式に代入して逆行列を求めます。

変数を式に代入します。

ここで、逆行列と自由項の列を乗算して未知数を求めます。

それで、 x=2; y=1; z=4。

SLAE の通常の形式から行列形式に移行するときは、システムの方程式内の未知の変数の順序に注意してください。 例えば:

次のように記述することはできません。

まず、システムの各方程式の未知の変数を順序付けし、その後で行列表記に進む必要があります。

さらに、未知の変数の指定には注意する必要があります。 ×1、 x 2 , …, x n他の文字もあるかもしれません。 例えば:

マトリックス形式では次のように書きます。

行列法は、方程式の数が未知の変数の数と一致し、システムの主行列の行列式がゼロに等しくない連立一次方程式を解くのに適しています。システム内に 3 つを超える方程式がある場合、逆行列を見つけるにはより多くの計算量が必要となるため、この場合はガウス法を使用して解くことをお勧めします。

逆行列法は特殊なケースです 行列方程式

行列法を使用して系を解く

解決: システムを行列形式で記述し、公式を使用してシステムの解を求めます (最後の公式を参照)。

次の式を使用して逆行列を求めます。
ここで、は行列の対応する要素の代数補数の転置行列です。

まず、決定要因を見てみましょう。

ここでは行列式が 1 行目で展開されています。

注意！その場合、逆行列は存在せず、行列法を使用してシステムを解くことは不可能です。この場合、システムは未知数の消去法 (ガウス法) によって解決されます。

次に、9 つのマイナーを計算し、マイナー行列に書き込む必要があります。

参照：線形代数における二重添字の意味を知っておくと役に立ちます。最初の桁は、要素が配置されている行の番号です。 2 番目の桁は、要素が配置されている列の番号です。

つまり、二重の下付き文字は、要素が 1 行目の 3 列目にあることを示し、たとえば、要素が 3 行目の 2 列目にあることを示します。

解決策の際には、未成年者の計算を詳細に説明することをお勧めしますが、ある程度の経験があれば、口頭で間違いを含めて計算することに慣れることができます。

未成年者が計算される順序はまったく重要ではありません。ここでは、行ごとに左から右に計算しました。未成年者を列ごとに計算することができました (これはさらに便利です)。

したがって：

– 行列の対応する要素のマイナー行列。

– 代数加算の行列。

– 代数加算の転置行列。

繰り返しますが、レッスンでは実行される手順について詳しく話し合いました。 逆行列を見つけるにはどうすればよいですか?

ここで逆行列を書きます。

いかなる状況でも、これをマトリックスに入力してはなりません。これにより、さらなる計算が非常に複雑になります。。行列内のすべての数値が剰余なしで 60 で割り切れる場合、割り算を実行する必要があります。ただし、この場合、行列にマイナスを追加することが非常に必要です。逆に、それによってさらなる計算が簡素化されます。

残っているのは行列の乗算を実行することだけです。行列の乗算方法を授業で学びます。 マトリックスを使用したアクション。ちなみに、まったく同じ例がそこで分析されています。

60 による除算が行われることに注意してください 最後に.
完全に分離しない場合もあります。「不良」な分数が発生する可能性があります。このような場合に何をすべきかについては、クラマーの法則を検討したときにすでに説明しました。

答え:

例 12

逆行列を使用して系を解きます。

これは独立したソリューションの例です (最終設計のサンプルとレッスンの終わりの回答)。

このシステムを解決する最も普遍的な方法は、 未知数を除去する方法 (ガウス法)。アルゴリズムをわかりやすく説明するのは簡単ではありませんが、やってみました！

私はあなたの成功を祈って！

答え:

例 3:

例 6:

例 8: , 。この例のサンプルソリューションを表示またはダウンロードできます (下のリンク)。

例 10、12:

私たちは線形方程式系の考察を続けます。このレッスンはこのトピックの 3 番目です。連立一次方程式が一般的にどのようなものであるかについて漠然としたアイデアがある場合、ティーポットのような場合は、このページの基本から始めることをお勧めします。次に、レッスンを学習するのに役立ちます。

ガウス法は簡単です！なぜ？有名なドイツの数学者ヨハン・カール・フリードリヒ・ガウスは、生前、史上最も偉大な数学者、天才として認められ、「数学王」というあだ名さえ受けました。 そしてご存知のとおり、独創的なものはすべてシンプルです。ちなみに、金を得るのはカモだけではなく、天才もいます。ガウスの肖像画は10ドイツマルク紙幣（ユーロ導入前）に描かれており、ガウスは今でも普通の切手でドイツ人に不思議な笑みを浮かべています。

ガウス法は簡単なので、5 年生の知識があれば十分に習得できます。 足し算と掛け算の方法を知っておく必要があります。教師が学校の数学の選択科目で未知数を逐次排除する方法を検討することが多いのは偶然ではありません。逆説的ですが、学生はガウス法が最も難しいと感じています。何も驚くべきことではありません。すべては方法論に関するものであり、私はその方法のアルゴリズムについてわかりやすい形式で話そうとします。

まずは連立一次方程式に関するちょっとした知識を体系化してみましょう。線形方程式系では次のことが可能です。

1) 独自のソリューションを用意する。
2) 無限に多くの解決策があります。
3) 解決策がない ( 非接合).

ガウス法は、解決策を見つけるための最も強力で普遍的なツールです。 どれでも線形方程式系。私たちが思い出しているように、 クラマー則と行列法システムに無限に多くの解がある場合や一貫性がない場合には適しません。そして未知数を逐次消去する方法 ともかく私たちを答えに導きます！このレッスンでは、ケース No. 1 (システムの唯一の解決策) に対するガウス法を再度検討します。記事はポイント No. 2 ～ 3 の状況に専念しています。このメソッド自体のアルゴリズムは 3 つのケースすべてで同じように機能することに注意してください。

レッスンから最も単純なシステムに戻りましょう 連立一次方程式を解くにはどうすればよいでしょうか?
そしてガウス法を使用してそれを解きます。

最初のステップは書き留めることです 拡張システムマトリックス:
。どのような原理で係数が書かれているかは誰でも分かると思います。マトリックスの内部の垂直線には数学的な意味はありません。これは単にデザインを容易にするための取り消し線です。

参照： 覚えておくことをお勧めします条項 線形代数。システムマトリックス は未知数の係数のみで構成される行列です。この例ではシステム行列です。 . 拡張システムマトリックス – これはシステムの同じマトリックスに自由条件の列を加えたものです。この場合は次のようになります。 。簡潔にするために、どの行列も単に行列と呼ぶことができます。

拡張マトリックスシステムを作成した後、それを使用していくつかのアクションを実行する必要があります。 基本的な変換.

次の基本的な変換が存在します。

1) 文字列行列 並べ替えることができますいくつかの場所で。たとえば、検討中の行列では、最初の行と 2 番目の行を簡単に再配置できます。

2) 行列内に比例した (特殊な場合として - 同一の) 行がある (または出現した) 場合、次のようにする必要があります。消去これらの行は 1 つを除いてすべて行列からのものです。たとえば、次のマトリックスを考えてみましょう。。この行列では、最後の 3 行は比例しているため、そのうちの 1 行だけを残すだけで十分です。 .

3) 変換中に行列にゼロ行が表示される場合、それも次のようにする必要があります。消去。もちろん引きません、ゼロラインは すべてゼロ.

4) マトリックスの行は次のようにすることができます。 乗算（除算）任意の数にゼロ以外の。たとえば、行列を考えてみましょう。ここでは、最初の行を –3 で割り、2 番目の行を 2 で乗算することをお勧めします。。このアクションは、行列のさらなる変換を簡素化するため、非常に便利です。

5) この変換は最も困難を引き起こしますが、実際には複雑なことは何もありません。行列の行に対して次のことができます 数値を掛けた別の文字列を追加します、ゼロとは違います。実際の例から行列を見てみましょう。まず、変換について詳しく説明します。最初の行に -2 を掛けます。、そして 2 行目に -2 を掛けた最初の行を追加します。: 。これで、最初の行を –2: で「後ろに」分割できます。ご覧のとおり、ADD という行は李 – 変わっていない. いつも TO WHICH IS ADDED の行が変更されます ユタ州.

もちろん、実際には、そこまで詳しくは書かず、簡潔に書きます。

もう一度: 2 行目へ 最初の行に -2 を乗算して追加しました。通常、ラインは口頭または草稿上で掛け算され、暗算プロセスは次のようになります。

「行列を書き換えて、最初の行を書き換えます。」

「最初のコラム。一番下ではゼロを取得する必要があります。したがって、一番上の値に –2 を掛けて、最初の値を 2 行目に追加します: 2 + (-2) = 0。結果を 2 行目に書き込みます。 »

「それでは２列目です。一番上で、-1 と -2 を掛けます。最初の行を 2 行目に追加します: 1 + 2 = 3。結果を 2 行目に書き込みます: "

「そして3列目。一番上で、-5 に -2 を掛けます。最初の行を 2 行目に追加します: –7 + 10 = 3。結果を 2 行目に書き込みます。 »

この例をよく理解し、逐次計算アルゴリズムを理解してください。これを理解していれば、ガウス法は実質的にあなたのポケットにあります。しかし、もちろん、私たちは引き続きこの変革に取り組んでいきます。

初等変換では方程式系の解は変わりません

！注意：考慮された操作 使えない、行列が「それ自体で」与えられるタスクが提供された場合。例えば「クラシック」の場合 行列を使った演算いかなる状況でも、行列内で何かを再配置してはなりません。

私たちのシステムに戻りましょう。もうほぼ解決しています。

システムの拡張行列を書き留めて、基本変換を使用してそれを次のように縮小してみましょう。 階段状のビュー:

(1) 1 行目は 2 行目に加算され、-2 が乗算されます。ところで、なぜ最初の行に -2 をかけるのでしょうか? 一番下のゼロを取得するには、2 行目の変数を 1 つ取り除くことを意味します。

(2) 2行目を3で割ります。

基本的な変換の目的– マトリックスを段階的な形式に縮小します。。タスクの設計では、単純な鉛筆で「階段」をマークし、「階段」にある数字を丸で囲むだけです。「段階的ビュー」という用語自体は、科学や教育の文献では完全に理論的なものではありません。 台形ビューまたは 三角図.

基本的な変換の結果、次のようになりました。同等元の方程式系:

次に、システムを逆方向に「巻き戻す」必要があります。下から上へ、このプロセスはと呼ばれます。 ガウス法の逆.

下の式では、すでに既製の結果が得られています。

システムの最初の方程式を考えて、既知の「y」の値をそれに代入してみましょう。

ガウス法が 3 つの未知数を含む 3 つの線形方程式からなる系を解く必要がある、最も一般的な状況を考えてみましょう。

例1

ガウス法を使用して連立方程式を解きます。

システムの拡張行列を書いてみましょう。

ここで、解決中に得られる結果をすぐに描画します。

繰り返しますが、私たちの目標は、基本的な変換を使用して行列を段階的な形式にすることです。どこから始めれば？

まず、左上の数字を見てください。

ほぼ常にここにあるはずです ユニット。一般的には、-1 (場合によっては他の数値) で十分ですが、どういうわけか伝統的に、通常は 1 が置かれることが起こりました。ユニットを編成するにはどうすればよいですか？最初の列を見ると、ユニットが完成しました。変換 1: 1 行目と 3 行目を交換します。

これで、最初の行はソリューションが終了するまで変更されません。。もう大丈夫です。

左上のユニットが整理されています。ここで、次の場所でゼロを取得する必要があります。

「難しい」変換を使用してゼロを取得します。まず 2 行目 (2、-1、3、13) を処理します。最初の位置でゼロを取得するには何をする必要がありますか? する必要がある 2 行目に -2 を掛けた 1 行目を追加します。。頭の中で、またはドラフト上で、最初の行に -2 を掛けます: (-2、-4、2、-18)。そして、私たちは一貫して（これも頭の中で、またはドラフト上で）追加を実行します。 2 行目に、既に -2 を掛けた最初の行を追加します。:

結果を 2 行目に書きます。

3 行目 (3、2、-5、-1) も同様に処理します。最初の位置にゼロを取得するには、以下が必要です 3 行目に -3 を掛けた最初の行を追加します。。頭の中で、またはドラフト上で、最初の行に -3 を掛けます: (-3、-6、3、-27)。そして 3 行目に -3 を掛けた最初の行を追加します。:

結果を 3 行目に書きます。

実際には、これらのアクションは通常、口頭で実行され、1 つのステップで書き留められます。

すべてを同時に数える必要はありません。計算の順序と結果の「書き込み」 一貫性のあるそして通常は次のようになります。まず最初の行を書き直し、ゆっくりと自分自身を膨らませます - 一貫して 注意深く:

そして、計算自体の精神的なプロセスについてはすでに上で説明しました。

この例では、これは簡単に実行できます。2 行目を -5 で除算します (そこにあるすべての数値は剰余なしで 5 で割り切れるため)。同時に、数値が小さいほど解が単純になるため、3 行目を –2 で割ります。

基本的な変換の最終段階では、ここで別のゼロを取得する必要があります。

このために 3 行目に -2 を掛けた 2 行目を追加します。:

このアクションを自分で理解してみてください。2 行目に -2 を心の中で乗算し、加算を実行します。

実行される最後のアクションは結果のヘアスタイルであり、3 行目を 3 で割ります。

基本変換の結果、等価な線形方程式系が得られました。

いいね。

ここで、ガウス法の逆が機能します。方程式は下から上に「巻き戻され」ます。

3 番目の方程式では、すでに結果が得られています。

2 番目の方程式を見てみましょう。「zet」の意味はすでに知られているので、次のようになります。

そして最後に、最初の方程式: 。「イグレック」と「ゼット」は知られていますが、それはほんの些細なことです。

答え：

すでに何度か述べたように、どのような方程式系でも、見つかった解を確認することは可能であり、必要です。幸いなことに、これは簡単かつ迅速です。

例 2

これは独立したソリューションの例であり、最終設計のサンプルであり、レッスンの最後に回答が表示されます。

注意すべき点は、 決定の進捗状況私の決断プロセスと一致しないかもしれませんが、 これがガウス法の特徴です。しかし、答えは同じでなければなりません。

例 3

ガウス法を使用して連立一次方程式を解く

システムの拡張行列を書き留めて、基本的な変換を使用して、それを段階的な形式にします。

左上の「ステップ」に注目します。そこに 1 つあるはずです。問題は、最初の列にユニットがまったくないため、行を再配置しても何も解決しないことです。このような場合は、基本変換を使用してユニットを編成する必要があります。これは通常、いくつかの方法で実行できます。私はこれを行いました: (1) 最初の行に 2 行目を追加し、-1 を掛けます。。つまり、2 行目に -1 を心の中で乗算し、1 行目と 2 行目を加算しましたが、2 行目は変更しませんでした。

左上は -1 になっており、これで問題ありません。 +1 を得たい人は誰でも追加の動作を実行できます。最初の行に -1 を掛けます (符号を変更します)。

(2) 1 行目の 5 倍を 2 行目に追加しました。1 行目の 3 倍を 3 行目に追加しました。

(3) 1行目は、原則として美しさのために-1を掛けています。 3 行目の符号も変更され 2 位に移動したため、2 番目の「ステップ」で必要なユニットが揃いました。

(4) 2 行目は 3 行目に加算され、2 が乗算されます。

(5) 3行目を3で割りました。

計算ミス (まれにタイプミス) を示す悪い兆候は、「悪い」最終結果となります。つまり、以下のようなものが得られた場合、それに応じて、の場合、高い確率で、基本的な変換中にエラーが発生したと言えます。

私たちはその逆を請求します。例の設計ではシステム自体を書き換えないことがよくありますが、方程式は「指定された行列から直接取得」されます。下から上への逆の動きもうまくいくことを思い出してください。
はい、こちらがプレゼントです:

答え： .

例 4

ガウス法を使用して連立一次方程式を解く

これは自分で解決できる例ですが、少し複雑です。誰かが混乱しても大丈夫です。レッスンの最後には完全なソリューションとサンプル設計が表示されます。あなたの解決策は私の解決策とは異なるかもしれません。

最後の部分では、ガウスアルゴリズムのいくつかの機能を見ていきます。
最初の特徴は、システム方程式に一部の変数が欠落している場合があることです。次に例を示します。

拡張システム行列を正しく書くにはどうすればよいですか? この点についてはすでに授業で話しました。 クレーマーの法則。マトリックス法。システムの拡張行列では、欠落している変数の代わりにゼロを置きます。

ちなみに、これはかなり簡単な例です。最初の列にはすでにゼロが 1 つあり、実行する基本的な変換は少なくなります。

2つ目の特徴はこれです。検討したすべての例で、「ステップ」に -1 または +1 を配置しました。他の数字もあるでしょうか？場合によっては可能です。次のシステムを考えてみましょう。 .

ここの左上の「ステップ」には 2 があります。しかし、最初の列のすべての数値は剰余なしで 2 で割り切れ、もう 1 つは 2 と 6 であるという事実に気づきます。そして左上の2つが似合いますね！最初のステップでは、次の変換を実行する必要があります。-1 を掛けた最初の行を 2 番目の行に追加します。 3 行目に –3 を掛けた 1 行目を追加します。このようにして、最初の列に必要なゼロを取得します。

または、別の従来の例: 。ここで、2 番目の「ステップ」の 3 も適切です。12 (ゼロを取得する必要がある場所) は余りなしで 3 で割り切れます。次の変換を実行する必要があります。2 番目のラインを 3 番目のラインに加算し、-4 を掛けます。その結果、必要なゼロが得られます。

ガウスの方法は普遍的ですが、特徴が 1 つあります。他の方法 (クラマー法、行列法) を文字通り初めて使用してシステムを解く方法を自信を持って学ぶことができます。これらの方法には非常に厳密なアルゴリズムが備わっています。ただし、ガウス法に自信を持って使用するには、少なくとも 5 ～ 10 個の 10 系を「しっかりと理解して」解く必要があります。したがって、最初は計算に混乱や間違いがあるかもしれませんが、これについては何も異常なことや悲劇的なことはありません。

窓の外は秋の雨の天気.... したがって、より複雑な例を自分で解決したい人は次のとおりです。

例5

ガウス法を使用して、4 つの未知数を含む 4 つの線形方程式からなる連立方程式を解きます。

このようなタスクは実際にはそれほど珍しいことではありません。このページをよく勉強したティーポットでも、このようなシステムを解くためのアルゴリズムを直感的に理解できると思います。基本的にはすべて同じで、アクションが増えただけです。

システムに解がない (矛盾している) 場合、または無限に多くの解がある場合については、レッスンで説明します。 互換性のないシステムと共通のソリューションを持つシステム。そこで、ガウス法の考慮されたアルゴリズムを修正できます。

私はあなたの成功を祈って！

解決策と答え:

例 2: システムの拡張行列を書き留めて、基本変換を使用してそれを段階的な形式にします。

実行される基本的な変換:
(1) 1 行目は 2 行目に加算され、-2 が乗算されます。最初の行が 3 行目に追加され、-1 が乗算されました。注意！ ここで、3 行目から 1 行目を減算したくなるかもしれませんが、減算しないことを強くお勧めします。エラーのリスクが大幅に高まります。折りたたむだけです！
(2) 2行目の符号を変更(-1倍)しました。 2行目と3行目が入れ替わっています。注記 、「ステップ」では 1 だけでなく、-1 でも満足できるため、さらに便利です。
(3) 2 行目は 3 行目に加算され、5 が乗算されます。
(4) 2行目の符号を変更(-1倍)しました。 3行目は14で割られています。

逆行する：

答え： .

例 4: システムの拡張行列を書き留めて、基本変換を使用してそれを段階的な形式にします。

実行された変換:
(1) 1行目に2行目を追加しました。このように、左上の「ステップ」に目的のユニットが編成されます。
(2) 1 行目の 7 倍を 2 行目に追加しました。1 行目の 6 倍を 3 行目に追加しました。

2番目の「ステップ」ではすべてが悪化します 、その「候補」は番号 17 と 23 であり、1 または -1 のいずれかが必要です。変換(3)と(4)は、目的のユニットを取得することを目的とします。

(3) 2 行目は 3 行目に加算され、-1 が乗算されます。
(4) 3 行目は 2 行目に加算され、-3 が乗算されます。
2番目のステップで必要なアイテムを受け取りました .
(5) 2 行目は 3 行目に加算され、6 倍されます。
(6) 2 行目は -1 を乗算し、3 行目は -83 で除算しました。平面が、同一線上にない 3 つの異なる点によって一意に定義されることは明らかです。したがって、飛行機の 3 文字の指定は、飛行機に属する点によって非常に人気があります。たとえば、 ; .無料会員の場合

このオンライン計算機は、行列法を使用して連立一次方程式を解きます。非常に詳細な解決策が示されています。連立一次方程式を解くには、変数の数を選択します。逆行列の計算方法を選択します。次に、セルにデータを入力し、「計算」ボタンをクリックします。