引き続き対数の勉強をしていきます。 この記事では、 対数の計算、このプロセスはと呼ばれます 対数。 まず、対数の計算の定義を理解します。 次に、対数のプロパティを使用して対数の値を求める方法を見てみましょう。 この後、最初に指定した他の対数の値を使用して対数を計算することに焦点を当てます。 最後に、対数表の使い方を学びましょう。 理論全体が、詳細な解決策を含む例とともに提供されます。
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定義による対数の計算
最も単純なケースでは、非常に迅速かつ簡単に実行できます。 定義により対数を求める。 このプロセスがどのように起こるかを詳しく見てみましょう。
その本質は、数値 b を a c の形式で表すことであり、対数の定義により、数値 c は対数の値になります。 つまり、定義により、次の一連の等式は対数を求めることに対応します: log a b=log a a c =c。
したがって、定義による対数の計算は、a c = b となる数値 c を見つけることになり、数値 c 自体が対数の目的の値になります。
前の段落の情報を考慮すると、対数記号の下の数値が対数の底の特定の累乗で与えられる場合、その対数が何に等しいか、つまり指数に等しいかをすぐに示すことができます。 解決策を例に示してみましょう。
例。
log 2 2 −3 を求め、数値 e 5,3 の自然対数も計算します。
解決。
対数の定義により、すぐに log 2 2 −3 =−3 と言えるようになります。 実際、対数記号の下の数値は、底 2 の -3 乗に等しくなります。
同様に、2 番目の対数 lne 5.3 =5.3 を求めます。
答え：
log 2 2 −3 =−3 および lne 5,3 =5,3。
対数記号の下の数値 b が対数の底のべき乗として指定されていない場合は、数値 b を a c の形式で表現できるかどうかを注意深く調べる必要があります。 多くの場合、この表現は非常に明白であり、特に対数記号の下の数値が底の 1 乗、2 乗、または 3 乗などに等しい場合には顕著です。
例。
対数 log 5 25 、および を計算します。
解決。
25=5 2 であることが簡単にわかります。これにより、最初の対数、log 5 25=log 5 5 2 =2 を計算できます。
2番目の対数の計算に進みましょう。 この数値は 7 の累乗で表すことができます。 
(必要に応じて参照してください)。 したがって、 
.
第三対数を次の形に書き換えてみましょう。 今ならそれがわかります 
、そこから次のように結論付けられます。 
。 したがって、対数の定義により、 
.
簡単に言うと、ソリューションは次のように記述できます。
答え：
ログ 5 25=2 、 
そして .
対数の符号の下にあるとき、十分に大きな 自然数であれば、それを素因数分解しても問題ありません。 多くの場合、このような数値を対数の底の累乗として表すと、定義に従ってこの対数を計算するのに役立ちます。
例。
対数値を求めます。
解決。
対数の一部のプロパティを使用すると、対数の値をすぐに指定できます。 これらのプロパティには、単位の対数のプロパティと数値の対数のプロパティが含まれます。 底に等しい: log 1 1=log a a 0 =0 および log a a=log a a 1 =1 。 つまり、対数の符号の下に数値 1 または対数の底に等しい数値 a がある場合、これらの場合、対数はそれぞれ 0 と 1 に等しくなります。
例。
対数と log10 は何に等しいですか?
解決。
なので、対数の定義から次のようになります。 
.
2 番目の例では、対数記号の下の数値 10 がその底と一致するため、 10進対数十 1に等しいつまり、log10=lg10 1 =1 となります。
答え：
そして lg10=1 。
定義による対数の計算 (前の段落で説明した) は、対数の特性の 1 つである等価 log a a p =p の使用を意味することに注意してください。
実際に、対数符号の下の数値と対数の底を特定の数の累乗として簡単に表す場合、次の公式を使用すると非常に便利です。 
、これは対数の特性の 1 つに対応します。 この式の使用法を示す対数を求める例を見てみましょう。
例。
対数を計算します。
解決。
答え：
.
上記以外の対数の性質も計算に使用されますが、これについては次の段落で説明します。
他の既知の対数から対数を求める
この段落の情報は、対数を計算する際の対数のプロパティの使用に関するトピックの続きです。 ただし、ここでの主な違いは、対数の特性を使用して、元の対数を別の対数で表現し、その値が既知であることです。 説明のために例を挙げてみましょう。 log 2 3≈1.584963 であることがわかっているとします。次に、対数のプロパティを使用して少し変換を行うことで、たとえば log 2 6 を見つけることができます。 log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
上の例では、積の対数の特性を使用するだけで十分でした。 ただし、与えられた対数を使用して元の対数を計算するには、より広範な対数特性を使用する必要があることがよくあります。
例。
log 60 2=a および log 60 5=b であることがわかっている場合は、27 を底とする 60 の対数を計算します。
解決。
したがって、ログ 60 27 を見つける必要があります。 27 = 3 3 であることが簡単に分かります。また、べき乗の対数の性質により、元の対数は 3・log 60 3 として書き換えることができます。
ここで、既知の対数を使って log 60 3 を表現する方法を見てみましょう。 底に等しい数値の対数の性質により、等価対数 60 60=1 を書くことができます。 一方、log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2・log 60 2+log 60 3+log 60 5 。 したがって、 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1。 したがって、 log 60 3=1−2・log 60 2−log 60 5=1−2・a−b.
最後に、元の対数を計算します: log 60 27=3 log 60 3= 3・(1−2・a−b)=3−6・a−3・b.
答え：
log 60 27=3・(1−2・a−b)=3−6・a−3・b.
これとは別に、次の形式の対数の新しい底への移行式の意味について言及する価値があります。 
。 これにより、任意の底をもつ対数から、値が既知であるか、値を見つけることが可能な特定の底をもつ対数に移動することができます。 通常、元の対数から、遷移公式を使用して、底 2、e、または 10 のいずれかの対数に移動します。これらの底には、値をある程度の精度で計算できる対数の表があるためです。正確さ。 次の段落では、これがどのように行われるかを示します。
対数表とその用途
対数値の近似計算に使用できます 対数表。 最も一般的に使用される底 2 の対数表は次の表です。 自然対数そして10進対数の表。 10 進数システムで作業する場合、10 を底とする対数の表を使用すると便利です。 その助けを借りて、対数の値を見つける方法を学びます。
表示された表を使用すると、1,000 から 9,999 (小数点以下 3 桁) までの数値の小数対数値を 10,000 分の 1 の精度で見つけることができます。 10 進対数の表を使用して対数値を求める原理を分析します。 具体例–その方がわかりやすいですね。 log1.256を探してみましょう。
10 進対数の表の左の列には、数値 1.256 の最初の 2 桁、つまり 1.2 が見つかります (わかりやすくするために、この数値は青で囲まれています)。 数値 1.256 の 3 桁目 (桁 5) は、二重線の左側の最初または最後の行にあります (この数値は赤で囲まれています)。 元の数値 1.256 の 4 桁目 (桁 6) は、二重線の右側の最初または最後の行にあります (この数値は緑色の線で囲まれています)。 ここで、対数表のマークされた行とマークされた列の交点にあるセル内の数値を見つけます (これらの数値は強調表示されています) オレンジ）。 マークされた数値の合計により、小数点第 4 位まで正確な 10 進対数の目的の値が得られます。 log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.
上の表を使用して、小数点以下 3 桁を超える数値や、1 から 9.999 の範囲を超える数値の 10 進対数の値を見つけることはできますか? はい、できます。 例を使ってこれがどのように行われるかを示しましょう。
lg102.76332を計算してみましょう。 まず書き留める必要があります の数 標準形式 ：102.76332=1.0276332・10 ２． この後、仮数は小数点第 3 位に四捨五入されます。 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2、元の 10 進対数はおよそ 対数に等しい結果の数値、つまり、log102.76332≈lg1.028·10 2 を取得します。 次に、対数のプロパティを適用します。 lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2。 最後に、10 進対数 lg1.028 ≈0.0086+0.0034=0.012 の表から対数 lg1.028 の値を求めます。 その結果、対数を計算するプロセス全体は次のようになります。 log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.
結論として、10 進対数の表を使用すると、任意の対数の近似値を計算できることは注目に値します。 これを行うには、遷移公式を使用して 10 進対数に移動し、表でその値を見つけて、残りの計算を実行するだけで十分です。
たとえば、log 2 3 を計算してみましょう。 対数の新しい底への移行公式によれば、次のようになります。 10 進対数の表から、log3 ≈ 0.4771 および log2 ≈ 0.3010 がわかります。 したがって、 
.
参考文献。
- コルモゴロフ A.N.、アブラモフ A.M.、ドゥドニーツィン Yu.P. 代数と解析の初歩: 一般教育機関の 10 年生から 11 年生向けの教科書。
- グセフ V.A.、モルドコビッチ A.G. 数学（専門学校入学者向けマニュアル）。
社会が発展し、生産がより複雑になるにつれて、数学も発展しました。 単純なものから複雑なものへの動き。 通常の会計では足し算と引き算を繰り返すうちに、掛け算と割り算という概念が生まれました。 乗算の繰り返し操作を減らすことが、べき乗の概念になりました。 数値の底とべき乗の数への依存性を示す最初の表は、8 世紀にインドの数学者ヴァラセナによって編集されました。 それらから、対数の発生時間をカウントできます。
歴史的なスケッチ
16 世紀のヨーロッパの復興も機械学の発展を刺激しました。 T 大量の計算が必要だった複数桁の数の掛け算と割り算に関係します。 古代のテーブルはとても役に立ちました。 彼らは交換を許可しました 複雑な操作より単純なもの、つまり加算と減算まで。 大きな前進は、1544年に出版された数学者マイケル・シュティーフェルの著作であり、その中で彼は多くの数学者のアイデアを実現しました。 これにより、素数の形式の累乗だけでなく、任意の有理数の累乗についてもテーブルを使用できるようになりました。
1614 年、スコットランド人のジョン・ネイピアは、これらのアイデアを発展させて、「数の対数」という新しい用語を初めて導入しました。 新しい 複雑なテーブルサイン、コサイン、タンジェントの対数を計算します。 これにより、天文学者の仕事が大幅に軽減されました。
新しいテーブルが登場し始め、3世紀にわたって科学者によって使用されてきました。 代数における新しい演算が完成形になるまでには、長い時間がかかりました。 対数の定義が与えられ、その特性が研究されました。
20 世紀になって初めて、計算機とコンピューターが登場し、人類は 13 世紀を通じてうまく機能してきた古代の計算機を放棄しました。
今日では、a を底とする b の対数を、b を作るための a の累乗である数値 x と呼びます。 これは、x = log a(b) という式で表されます。
たとえば、log 3(9) は 2 に等しくなります。これは、定義に従えば明らかです。 3 を 2 乗すると 9 になります。
したがって、定式化された定義では、数値 a と b は実数でなければならないという制限が 1 つだけ設定されます。
対数の種類
古典的な定義は実対数と呼ばれ、実際には方程式 a x = b の解になります。 オプション a = 1 は境界線にあり、関心がありません。 注意: 1 の累乗は 1 に等しい。
対数の実数値基数と引数が 0 より大きい場合にのみ定義され、基数は 1 であってはなりません。
数学の分野における特別な場所対数を再生します。底のサイズに応じて名前が付けられます。
規則と制限事項
対数の基本的な性質は、積の対数は対数和に等しいという規則です。 log abp = log a(b) + log a(p)。
このステートメントの変形として、log c(b/p) = log c(b) - log c(p) があり、商関数は関数の差に等しい。
前の 2 つのルールから、log a(b p) = p * log a(b) であることが簡単にわかります。
その他のプロパティには次のものがあります。
コメント。 よくある間違いをしないでください - 合計の対数はそうではありません 合計に等しい対数。
何世紀にもわたって、対数を求める操作はかなり時間のかかる作業でした。 数学者は、多項式展開の対数理論のよく知られた公式を使用しました。
ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n)。n は 1 より大きい自然数で、計算の精度が決まります。
他の基数との対数は、ある基数から別の基数への遷移と積の対数の性質に関する定理を使用して計算されました。
この方法は非常に手間がかかりますので、 現実的な問題を解くとき実装が難しいため、事前にコンパイルされた対数テーブルを使用し、すべての作業を大幅に高速化しました。
場合によっては、特別に編集された対数グラフが使用され、精度は低くなりますが、目的の値の検索が大幅に高速化されました。 関数 y = log a(x) の曲線は複数の点にわたって構築されており、通常の定規を使用して他の点での関数の値を見つけることができます。 エンジニア 長い間これらの目的には、いわゆる方眼紙が使用されました。
17 世紀には、最初の補助的なアナログ コンピューティング条件が登場しました。 19世紀完成した外観を取得しました。 最も成功した装置は計算尺と呼ばれるものでした。 デバイスの単純さにもかかわらず、その出現によりすべての工学計算のプロセスが大幅に加速され、これを過大評価することは困難です。 現在、この装置を知っている人はほとんどいません。
電卓とコンピューターの出現により、他のデバイスの使用は無意味になりました。
方程式と不等式
対数を使用してさまざまな方程式や不等式を解くには、次の公式が使用されます。
- ある基底から別の基底への移動: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- 前のオプションの結果として、log a(b) = 1 / log b(a) となります。
不平等を解決するには、次のことを知っておくと役立ちます。
- 対数値が正になるのは、底と引数の両方が 1 より大きいか小さい場合のみです。 少なくとも 1 つの条件に違反すると、対数値は負になります。
- 対数関数が不等式の右辺と左辺に適用され、対数の底が 1 より大きい場合、不等式の符号は保持されます。 それ以外の場合は変わります。
問題の例
対数とそのプロパティを使用するためのいくつかのオプションを検討してみましょう。 方程式を解く例:
対数を累乗するオプションを検討してください。
- 問題 3. 25^log 5(3) を計算します。 解決策: 問題の状況では、エントリは次の (5^2)^log5(3) または 5^(2 * log 5(3)) と似ています。 別の書き方をしてみましょう: 5^log 5(3*2)、または関数の引数としての数値の 2 乗は、関数自体の 2 乗 (5^log 5(3))^2 として書くことができます。 対数の特性を使用すると、この式は 3^2 と等しくなります。 答え: 計算の結果、9 が得られます。
実用
純粋に数学的なツールであるため、 実生活対数が突然得られたこと 非常に重要現実世界のオブジェクトを説明します。 それが使用されていない科学を見つけるのは困難です。 これは自然分野だけでなく、人道的知識の分野にも完全に当てはまります。
対数依存関係
数値的な依存関係の例をいくつか示します。
力学と物理学
歴史的に、力学と物理学は常に数学的研究手法を使用して発展してきましたが、同時に対数を含む数学の発展の動機としても機能してきました。 ほとんどの物理法則の理論は数学の言語で書かれています。 対数を使用して物理法則を説明する例を 2 つだけ挙げてみましょう。
ロケットの速度などの複雑な量を計算する問題は、宇宙探査理論の基礎を築いたツィオルコフスキーの公式を使用して解決できます。
V = I * ln (M1/M2)、ここで
- V は航空機の最終速度です。
- I – エンジンの比推力。
- M 1 – ロケットの初期質量。
- M 2 – 最終質量。
もう一つの重要な例- これは、熱力学における平衡状態を評価するために役立つ、別の偉大な科学者マックス プランクの公式で使用されています。
S = k * ln (Ω)、ここで
- S – 熱力学的特性。
- k – ボルツマン定数。
- Ω は、さまざまな状態の統計的重みです。
化学
化学における対数の比を含む公式の使用は、それほど明白ではありません。 例を 2 つだけ挙げてみましょう。
- ネルンスト方程式、物質の活性と平衡定数に関係する媒体の酸化還元電位の条件。
- 自己分解指数や溶液の酸性度などの定数の計算も、この関数なしでは実行できません。
心理学と生物学
そして、心理学がそれにどのような関係があるのかはまったく明らかではありません。 感覚の強さは、刺激強度値とより低い強度値の逆比としてこの関数によってよく説明されることがわかります。
上記の例の後では、対数のトピックが生物学で広く使用されていることはもはや驚くべきことではありません。 について 生物学的形態、対数スパイラルに対応して、ボリューム全体を書き込むことができます。
その他の地域
この機能との関連なしでは世界の存在は不可能であるかのように思われ、それがすべての法則を支配します。 特に自然法則が関係している場合には、 等比数列。 MatProfi Web サイトを参照する価値はあります。次の活動分野にはそのような例が多数あります。
リストは無限にある可能性があります。 この機能の基本原理をマスターすれば、無限の知恵の世界に飛び込むことができます。
対数式、例題を解く。 この記事では、対数を解くことに関連する問題を見ていきます。 このタスクでは、式の意味を見つけるという質問が行われます。 対数の概念は多くのタスクで使用され、その意味を理解することが非常に重要であることに注意してください。 統一国家試験に関しては、方程式を解くときに対数が使用されます。 応用問題、関数の学習に関連するタスクでも。
対数の意味そのものを理解するために例を示します。
基本的な対数恒等式:
常に覚えておく必要がある対数の性質:
*積の対数は、係数の対数の合計に等しい。
* * *
※商の対数（分数） 差に等しい因数の対数。
* * *
*べき乗の対数は、指数とその底の対数の積に等しい。
* * *
※新財団へ移行
* * *
その他のプロパティ:
* * *
対数の計算は、指数のプロパティの使用と密接に関連しています。
それらのいくつかをリストしてみましょう:
本質 この物件の分子を分母に、またはその逆に変換すると、指数の符号が逆に変化するという事実にあります。 例えば：
この性質から得られる結果は次のとおりです。
* * *
べき乗を累乗すると、底は変わりませんが、指数は乗算されます。
* * *
ご覧のとおり、対数の概念自体は単純です。 重要なことは、一定のスキルを身につける適切な練習が必要であるということです。 もちろん公式の知識も必要です。 初等対数を変換するスキルが発達していない場合、単純なタスクを解くときに簡単に間違いを犯す可能性があります。
練習して、最初に数学コースの最も単純な例を解いてから、より複雑な例に進みます。 将来的には、「醜い」対数の解き方を必ず示します。これらは統一国家試験には出題されませんが、興味深いものですので、お見逃しなく。
それだけです！ 頑張って！
よろしくお願いします、アレクサンダー・クルチツキーク
P.S: ソーシャルネットワーク上でこのサイトについて教えていただければ幸いです。
したがって、2 のべき乗があります。 一番下の行から数値を取得すると、この数値を得るために 2 を累乗する必要がある累乗を簡単に見つけることができます。 たとえば、16 を取得するには、2 の 4 乗する必要があります。 そして 64 を取得するには、2 の 6 乗する必要があります。 これは表からもわかります。
そして今、実際に対数の定義は次のとおりです。
x の底 a の対数は、x を得るために a を累乗する必要があります。
指定: log a x = b、ここで、a は底、x は引数、b は対数が実際に等しいものです。
たとえば、2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (2 3 = 8 であるため、8 の底 2 の対数は 3 です)。 同じ成功ログでは、2 6 = 64 なので、2 64 = 6 となります。
与えられた底に対する数値の対数を求める操作は、対数化と呼ばれます。 そこで、テーブルに新しい行を追加しましょう。
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| 対数 2 2 = 1 | 対数 2 4 = 2 | 対数 2 8 = 3 | 対数 2 16 = 4 | 対数 2 32 = 5 | 対数 2 64 = 6 |
残念ながら、すべての対数がそれほど簡単に計算できるわけではありません。 たとえば、 log 2 5 を検索してみてください。 数値 5 は表にありませんが、論理的には対数がセグメント上のどこかにあることがわかります。 なぜなら 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
このような数は無理数と呼ばれます。小数点以降の数は無限に書き込むことができ、決して繰り返されません。 対数が無理数であることが判明した場合は、log 2 5、log 3 8、log 5 100 のようにそのままにしておく方がよいでしょう。
対数は 2 つの変数 (底と引数) を含む式であることを理解することが重要です。 最初は、どこが根拠でどこが議論なのかを混同する人が多いです。 迷惑な誤解を避けるために、次の写真を見てください。
私たちの前にあるのは対数の定義にすぎません。 覚えて： 対数は累乗です、引数を取得するにはベースを構築する必要があります。 累乗されるのはベースです。写真では赤で強調表示されています。 ベースは常に最下位にあることが判明しました。 私は最初のレッスンでこの素晴らしいルールを生徒たちに伝えますが、混乱は起こりません。
定義はわかったので、あとは対数の数え方を学ぶだけです。 「ログ」記号を削除します。 まず、この定義から 2 つの重要な事実が得られることに注意してください。
- 引数と基数は常にゼロより大きくなければなりません。 これは、有理指数による次数の定義に基づいて、対数の定義が縮小されます。
- 1 は、程度を問わず 1 であることに変わりはないため、基底は 1 とは異なっていなければなりません。 このため、「2 を得るには 1 を何乗する必要があるか」という質問は無意味です。 そんな学位はないよ！
このような制限はと呼ばれます 地域 許容可能な値 (ODZ)。 対数の ODZ は次のようになることがわかります: log a x = b ⇒ x > 0、a > 0、a ≠ 1。
なお、ｂ（対数値）の値には制限はない。 たとえば、対数が負になる可能性は十分にあります: log 2 0.5 = −1。 0.5 = 2 −1。
ただし、現在検討しているのは、 数値式、ここでは対数の CVD を知る必要はありません。 すべての制限はタスクの作成者によってすでに考慮されています。 しかし、対数方程式や不等式が登場すると、DL 要件が必須になります。 結局のところ、根拠と議論には、必ずしも上記の制限に対応しない非常に強力な構造が含まれている可能性があります。
では、考えてみましょう 一般的なスキーム対数を計算します。 これは 3 つのステップで構成されます。
- 基数 a と引数 x を、1 より大きい最小可能な基数のべき乗として表します。 途中で、小数点を削除した方がよいでしょう。
- 変数 b の方程式を解きます。 x = a b ;
- 得られた数字 b が答えになります。
それだけです！ 対数が無理数であることが判明した場合、これは最初のステップですでに表示されています。 底が 1 より大きいという要件は非常に重要です。これにより、エラーの可能性が減り、計算が大幅に簡素化されます。 と同じ 小数: すぐに通常のものに変換すると、エラーが大幅に減ります。
具体的な例を使用して、このスキームがどのように機能するかを見てみましょう。
タスク。 対数を計算します: log 5 25
- 基数と引数が 5 のべき乗であると想像してみましょう: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
- 答えは 2 でした。
方程式を作成して解いてみましょう。
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;
タスク。 対数を計算します。
タスク。 対数を計算します: log 4 64
- 基数と引数が 2 の累乗であると想像してみましょう: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
- 方程式を作成して解いてみましょう。
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ; - 答えは3です。
タスク。 対数を計算します: log 16 1
- 基数と引数が 2 の累乗であると想像してみましょう: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
- 方程式を作成して解いてみましょう。
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ; - 答えは「0」でした。
タスク。 対数を計算します: log 7 14
- 基数と引数が 7 の累乗であると想像してみましょう: 7 = 7 1 ; 7 1 であるため、14 は 7 のべき乗として表すことができません。< 14 < 7 2 ;
- 前の段落から、対数はカウントされないことがわかります。
- 答えは変わりません: log 7 14。
ちょっとしたメモ 最後の例。 ある数値が別の数値の正確なべき乗ではないことをどうやって確認できるでしょうか? とても簡単です。素因数分解するだけです。 展開に少なくとも 2 つの異なる係数がある場合、その数値は正確な累乗ではありません。
タスク。 数値が正確な累乗であるかどうかを調べます: 8; 48; 81; 35; １４．
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - 正確な次数です。 乗算器は 1 つだけです。
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - は、3 と 2 の 2 つの因数があるため、正確な累乗ではありません。
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - 正確な度数。
35 = 7 · 5 - これも正確な累乗ではありません。
14 = 7 · 2 - これも正確な度数ではありません。
私たち自身も、 素数は常にそれ自体の正確な次数です。
10 進対数
一部の対数は非常に一般的であるため、特別な名前と記号が付いています。
x の 10 進対数は、10 を底とする対数、つまり 10 を底とする対数です。 数値 x を得るために数値 10 を累乗する必要があります。 指定: lg x。
たとえば、log 10 = 1; ログ 100 = 2; lg 1000 = 3 - など
今後、教科書に「lg 0.01 を検索」のような語句が出てきたら、これはタイプミスではないことを知っておいてください。 これは 10 進対数です。 ただし、この表記に慣れていない場合は、いつでも書き直すことができます。
対数 x = 対数 10 x
通常の対数に当てはまることはすべて、10 進対数にも当てはまります。
自然対数
独自の名称を持つ別の対数があります。 ある意味では、10 進数よりも重要です。 それは自然対数について。
x の自然対数は e を底とする対数、つまり次のようになります。 数値 x を得るために数値 e を累乗する必要がある累乗。 指定: ln x 。
多くの人は「e という数字は何ですか?」と尋ねるでしょう。 これは無理数です、 正確な値見つけて記録することは不可能です。 最初の数字だけを示します。
e = 2.718281828459...
この番号が何なのか、なぜ必要なのかについては詳しく説明しません。 e が自然対数の底であることを覚えておいてください。
ln x = log e x
したがって、 ln e = 1 ; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - など 一方、ln 2 は無理数です。 一般に、任意の自然対数は、 有理数不合理な。 もちろん、ln 1 = 0 の場合を除きます。
自然対数の場合、通常の対数に当てはまるすべての規則が有効です。
今日は次のことについて話します 対数の公式そして示唆的なものを与える ソリューションの例.
それら自体は、対数の基本特性に従って解のパターンを暗示します。 対数公式を適用して解く前に、すべての特性を思い出してください。
さて、これらの式（性質）に基づいて、次のように示します。 対数を解く例.
数式に基づいて対数を解く例。
対数 a を底とする正の数 b (log a b で示される) は、b を得るために a を累乗する必要がある指数であり、b > 0、a > 0、および 1 です。
定義によれば、log a b = x は a x = b と同等であるため、log a a x = x となります。
対数、例:
log 2 8 = 3、なぜなら 2 3 = 8
log 7 49 = 2、なぜなら 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1、なぜなら 5 -1 = 1/5
10 進対数- これは、底が 10 の常対数です。lg として表されます。
log 10 100 = 2、なぜなら 10 2 = 100
自然対数- これも通常の対数ですが、底が e です (e = 2.71828... - 無理数)。 lnとして表されます。
対数の公式や性質は後で対数を解くときに必要になるため、覚えておくことをお勧めします。 対数方程式そして不平等。 例を挙げて各式をもう一度見てみましょう。
- 基本対数恒等式
a ログ a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- 積の対数は対数の合計に等しい
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4
- 商の対数は対数の差に等しい
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- 対数のべき乗と対数の底の性質
対数の指数 log a b m = mlog a b
対数の底の指数 log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b、
m = n の場合、log a n b n = log a b が得られます。
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- 新しい基盤への移行
log a b = log c b/log c a、c = b の場合、log b b = 1 が得られます。
log a b = 1/log b a
log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1
ご覧のとおり、対数の公式は見た目ほど複雑ではありません。 さて、対数を解く例を見てきましたので、次は対数方程式に移ります。 対数方程式を解く例については、「」の記事で詳しく見ていきます。 お見逃しなく！
解決策についてまだ質問がある場合は、記事のコメントに書き込んでください。
注: 私たちは別のクラスの教育を受け、オプションとして海外留学することにしました。
