分数の比較 1 2. 分数の比較

2つの分数から 同じ分母分子が大きい方が大きく、分子が小さい方が小さい。 実際、分母は 1 つの値全体がいくつの部分に分割されたかを示し、分子はそのような部分がいくつ取られたかを示します。

それぞれの円全体を同じ数字で割ったことがわかります 5 、しかし彼らは取った 異なる量部品：彼らはもっと多くの部分を必要とし、そしてそれが判明しました。

同じ分子を持つ 2 つの分数のうち、分母が小さい方の分数は大きく、分母が大きい方は小さくなります。さて、実際に 1 つの円を分割すると、 8 部品、およびその他の 5 パーツを作成し、各サークルから 1 つのパーツを取り出します。 どの部分が大きくなるでしょうか？

もちろん、円を割ってから、 5 部品！ ここで、彼らが円ではなくケーキを分割していたと想像してください。 5 番目と 8 番目のどちらの作品、あるいはどちらのシェアを好みますか?

分子が異なる分数を比較するには、 分母が異なる、端数を最小値まで減らす必要があります。 共通点、分母が同じ分数を比較します。

例。 共通分数を比較する：

これらの分数を最小公倍数に還元してみましょう。 NOZ(4) ; 6)=12。 それぞれの分数に対して追加の因子を見つけます。 最初の部分には追加の係数が必要です 3 (12: 4=3 ）。 2 番目の部分については追加の係数 2 (12: 6=2 ）。 次に、同じ分母を持つ 2 つの結果の分数の分子を比較します。 最初の分数の分子は 2 番目の分数の分子より小さいため ( 9<10) の場合、最初の分数自体は 2 番目の分数よりも小さくなります。

素数だけでなく分数も比較できます。 結局のところ、分数は自然数などと同じ数です。 分数を比較するルールを知っていれば十分です。

同じ分母を持つ分数を比較します。

2 つの分数の分母が同じ場合、そのような分数を比較するのは簡単です。

分母が同じ分数を比較するには、分子を比較する必要があります。 分子が大きい分数ほど大きくなります。

例を見てみましょう:

分数 \(\frac(7)(26)\) と \(\frac(13)(26)\) を比較します。

両方の分数の分母は同じで 26 であるため、分子を比較します。 数値 13 は 7 より大きいです。次のようになります。

\(\frac(7)(26)< \frac{13}{26}\)

分子が等しい分数を比較します。

分数の分子が同じ場合、分母が小さい分数の方が大きくなります。

このルールは、人生の例を挙げると理解できます。 ケーキがあります。 5名様から11名様までご来店可能です。 5名様の場合は5等分、11名様の場合は11等分いたします。 ここで、ゲスト 1 人当たりのケーキの量が増えるのはどのような場合か考えてみましょう。 もちろんゲストが5名様になると、さらに大きなケーキが登場します。

または別の例。 キャンディーが20個あります。 キャンディーを 4 人の友達に均等に与えることも、10 人の友達に均等にキャンディーを分けることもできます。 どのような場合に、各友達はより多くのキャンディーを持っていますか? もちろん、友達4人だけで分けると、友達1人あたりのキャンディーの数は多くなります。 この問題を数学的に確認してみましょう。

\(\frac(20)(4) > \frac(20)(10)\)

これらの分数を先に解くと、\(\frac(20)(4) = 5\) と \(\frac(20)(10) = 2\) という数値が得られます。 5 > 2 であることが分かります

これは、同じ分子を持つ分数を比較するための規則です。

別の例を見てみましょう。

同じ分子を持つ分数 \(\frac(1)(17)\) と \(\frac(1)(15)\) を比較します。

分子が同じなので、分母が小さい分数の方が大きくなります。

\(\frac(1)(17)< \frac{1}{15}\)

分母と分子が異なる分数を比較します。

分母が異なる分数を比較するには、分数を に減らしてから、分子を比較する必要があります。

分数 \(\frac(2)(3)\) と \(\frac(5)(7)\) を比較します。

まず、分数の公分母を求めます。 彼は 数値に等しい 21.

\(\begin(align)&\frac(2)(3) = \frac(2 \times 7)(3 \times 7) = \frac(14)(21)\\\\&\frac(5) (7) = \frac(5 \times 3)(7 \times 3) = \frac(15)(21)\\\\ \end(align)\)

次に、分子の比較に進みます。 分母が同じ分数を比較するためのルール。

\(\begin(align)&\frac(14)(21)< \frac{15}{21}\\\\&\frac{2}{3} < \frac{5}{7}\\\\ \end{align}\)

比較。

ない 適切な分数常により正確です。なぜなら 仮分数は 1 より大きいですが、適切な分数は 1 より小さいです。

例：
分数 \(\frac(11)(13)\) と \(\frac(8)(7)\) を比較します。

小数 \(\frac(8)(7)\) は不適切であり、1 より大きくなります。

\(1 < \frac{8}{7}\)

小数 \(\frac(11)(13)\) は正しく、1 未満です。比較してみましょう。

\(1 > \frac(11)(13)\)

\(\frac(11)(13)< \frac{8}{7}\)

トピックに関する質問:
分母が異なる分数を比較するにはどうすればよいですか?
答え: 分数を共通の分母にして、分子を比較する必要があります。

分数を比較するにはどうすればよいですか?
回答: まず、分数がどのカテゴリに属する​​かを決定する必要があります。共通の分母がある、共通の分子がある、共通の分母と分子がない、または適切な分数と不適切な分数があります。 分数を分類した後、適切な比較ルールを適用します。

同じ分子を持つ分数を比較することは何ですか?
答え: 分数の分子が同じ場合、分母が小さい分数の方が大きくなります。

例 #1:
分数 \(\frac(11)(12)\) と \(\frac(13)(16)\) を比較します。

解決：
同じ分子や分母は存在しないため、異なる分母との比較ルールを適用します。 共通点を見つける必要があります。 共通の分母は 96 になります。分数を共通の分母に減らしてみましょう。 最初の小数 \(\frac(11)(12)\) にさらに 8 を掛け、2 番目の小数 \(\frac(13)(16)\) に 6 を掛けます。

\(\begin(align)&\frac(11)(12) = \frac(11 \times 8)(12 \times 8) = \frac(88)(96)\\\\&\frac(13) (16) = \frac(13 \times 6)(16 \times 6) = \frac(78)(96)\\\\ \end(align)\)

分数と分子を比較します。分子が大きい分数の方が大きくなります。

\(\begin(align)&\frac(88)(96) > \frac(78)(96)\\\\&\frac(11)(12) > \frac(13)(16)\\\ \\終了(整列)\)

例2:
固有の分数と 1 を比較しますか?

解決：
適切な分数は常に 1 より小さくなります。

タスク1：
息子と父親はサッカーをしていました。 息子は10回のアプローチのうち5回でゴールを決めた。 そしてお父さんは5回のアプローチ中3回ゴールを決めました。 どちらの結果が優れていますか?

解決：
息子は10回のアプローチのうち5回を成功させた。 これを分数 \(\frac(5)(10)\) として書きましょう。
お父さんは5つのアプローチのうち3回ヒットしました。 これを分数 \(\frac(3)(5)\) として書きましょう。

分数を比べてみましょう。 分子と分母が異なるので、それらを 1 つの分母にまとめてみましょう。 公分母は10になります。

\(\begin(align)&\frac(3)(5) = \frac(3 \times 2)(5 \times 2) = \frac(6)(10)\\\\&\frac(5) (10)< \frac{6}{10}\\\\&\frac{5}{10} < \frac{3}{5}\\\\ \end{align}\)

答え: お父さんの方が良い結果を出しました。

引き続き分数の勉強をしていきましょう。 今日はそれらの比較について話します。 このトピックは面白くて役に立ちます。 初心者でも白衣を着た科学者の気分を味わえます。

分数の比較の本質は、2 つの分数のどちらが大きいか小さいかを調べることです。

2 つの分数のどちらが大きいか小さいかという質問に答えるには、大きい (>) または小さい (<).

数学者は、どの分数が大きくてどの分数が小さいかという質問に即座に答えることを可能にする既成のルールをすでに用意しています。 これらのルールは安全に適用できます。

これらすべてのルールを調べて、なぜこのようなことが起こるのかを解明していきます。

レッスン内容

同じ分母を持つ分数を比較する

比較する必要がある部分が異なります。 最良のケースは、分数の分母が同じで分子が異なる場合です。 この場合、次のルールが適用されます。

分母が同じ 2 つの分数のうち、分子が大きい分数の方が大きくなります。 したがって、分子が小さい分数は小さくなります。

たとえば、分数を比較して、どちらの分数が大きいかを答えてみましょう。 分母は同じですが、分子が異なります。 分数の分子は分数よりも大きくなります。 これは、分数が より大きいことを意味します。 そこで私たちは答えます。 詳細アイコン (>) を使用して回答する必要があります。

この例は、ピザが 4 つの部分に分かれていることを思い出すと簡単に理解できます。 ピザ以外にもピザはたくさんあります。

最初のピザが 2 番目のピザより大きいことに誰もが同意するでしょう。

同じ分子を持つ分数の比較

次に考えられるのは、分数の分子は同じですが、分母が異なる場合です。 このような場合のために、次のルールが提供されます。

同じ分子を持つ 2 つの分数のうち、分母が小さい方の分数の方が大きくなります。 したがって、分母が大きい分数は小さくなります。

たとえば、分数と を比較してみましょう。 これらの分数の分子は同じです。 分数は分数よりも分母が小さくなります。 これは、分数が分数よりも大きいことを意味します。 そこで私たちは次のように答えます。

この例は、ピザが 3 つと 4 つの部分に分かれていることを思い出すと簡単に理解できます。 ピザ以外にもピザはたくさんあります。

最初のピザが 2 番目のピザより大きいことに誰もが同意するでしょう。

分子と分母が異なる分数の比較

分子と分母が異なる分数を比較しなければならないことがよくあります。

たとえば、分数と を比較します。 これらの分数のどちらが大きいか小さいかという質問に答えるには、それらを同じ (共通) 分母にする必要があります。 そうすれば、どの分数が大きいか小さいかを簡単に判断できます。

分数を同じ（共通）分母にしてみましょう。 両方の分数の分母の最小公倍数を求めてみましょう。 分数の分母の最小公倍数で、これは数字の 6 です。

次に、各分数の追加の因数を見つけます。 LCM を最初の分数の分母で割ってみましょう。 LCM は数値 6 で、最初の分数の分母は数値 2 です。6 を 2 で割ると、追加の因数 3 が得られます。これを最初の分数の上に書きます。

次に、2 番目の追加要素を見つけてみましょう。 LCM を 2 番目の分数の分母で割ってみましょう。 LCM は数値 6 で、2 番目の分数の分母は数値 3 です。6 を 3 で割ると、追加の因数 2 が得られます。これを 2 番目の分数の上に書きます。

分数に追加の係数を掛けてみましょう。

分母が異なる分数は分母が同じ分数になるという結論に達しました。 そして、私たちはそのような分数を比較する方法をすでに知っています。 分母が同じ 2 つの分数のうち、分子が大きい方の分数の方が大きくなります。

ルールはルールです。なぜ が を超えるのかを考えてみましょう。 これを行うには、分数の部分全体を選択します。 分数はすでに適切であるため、分数内の何かを強調表示する必要はありません。

分数の整数部分を分離すると、次の式が得られます。

これで、なぜ を超えるのかが簡単に理解できます。 これらの分数をピザとして描いてみましょう。

丸ごとピザ2枚とピザ、ピザ以上のもの。

帯分数の引き算。 難しいケース。

帯分数の引き算をするとき、思ったほどスムーズにいかないことがあります。 例題を解くときに、答えが本来あるべきものではないことがよくあります。

数値を減算する場合、被減数は減数より大きくなければなりません。 この場合に限り、正常な応答が得られます。

たとえば、10−8=2

10 - 減分可能

8 - 減数

2 - 違い

被減数 10 は減数 8 より大きいため、通常の答え 2 が得られます。

次に、被減数が減数より小さい場合に何が起こるかを見てみましょう。 例 5−7=−2

5 - 減少可能

7 - 減数

−2 — 差

この場合、私たちは慣れ親しんだ数字の限界を超えて、負の数の世界に足を踏み入れるのは早すぎて危険ですらあります。 負の数を扱うには、適切な数学的トレーニングが必要ですが、まだ受けていません。

減算の例を解くときに、被減数が減数よりも小さいことがわかった場合は、この例を当面はスキップしてかまいません。 負の数を扱うことは、負の数を研究した後でのみ許可されます。

分数の場合も同様です。 被減数は減数より大きくなければなりません。 この場合にのみ、正常な応答を得ることができます。 また、減算される分数が減算される分数よりも大きいかどうかを理解するには、これらの分数を比較できる必要があります。

たとえば、例題を解いてみましょう。

これは引き算の例です。 これを解決するには、減算される分数が減算される分数より大きいかどうかを確認する必要があります。 より多い

したがって、安全に例に戻って解決できます。

では、この例を解いてみましょう

減算される端数が減算される端数よりも大きいかどうかを確認します。 少ないことがわかります。

この場合、それ以上計算を続けずに停止する方が賢明です。 負の数を調べるときにこの例に戻りましょう。

引き算の前に帯分数を確認することもお勧めします。 たとえば、式 の値を見つけてみましょう。

まず、マイニングされている帯分数が減算されている帯分数より大きいかどうかを確認しましょう。 これを行うには、帯分数を仮分数に変換します。

分子と分母が異なる分数を受け取りました。 このような分数を比較するには、それらを同じ (共通の) 分母にする必要があります。 これを行う方法については詳しくは説明しません。 難しい場合は必ず繰り返してください。

分数を同じ分母に換算すると、次の式が得られます。

次に、分数と を比較する必要があります。 これらは同じ分母を持つ分数です。 分母が同じ 2 つの分数のうち、分子が大きい分数の方が大きくなります。

分数の分子は分数よりも大きくなります。 これは、分数が分数よりも大きいことを意味します。

これは、被減数が減数よりも大きいことを意味します

これは、例に戻って安全に解決できることを意味します。

例 3.式の値を見つける

被減数が減数より大きいかどうかを確認してみましょう。

帯分数を仮分数に変換してみましょう。

分子と分母が異なる分数を受け取りました。 これらの分数を同じ（共通の）分母に還元してみましょう。

この記事では、分数の比較について説明します。 ここでは、どちらの分数が大きいか小さいかを調べ、ルールを適用し、解決策の例を見ていきます。 同じ分母と異なる分母の両方で分数を比較してみましょう。 比較してみましょう 公分数と 自然数.

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同じ分母を持つ分数を比較する

同じ分母を持つ分数を比較する場合、分子のみを扱います。つまり、数値の小数部分を比較します。 分数 3 7 がある場合、1 7 の部分が 3 つあり、分数 8 7 にはそのような部分が 8 つあります。 つまり、分母が同じ場合、これらの分数の分子が比較されます。つまり、3 7 と 8 7 が数字の 3 と 8 と比較されます。

これは、同じ分母を持つ分数を比較するための規則に従います。利用可能な分数から 同じインジケーター分子が大きい分数は大きいとみなされ、その逆も同様です。

これは、分子に注意を払う必要があることを示唆しています。 これを行うために、例を見てみましょう。

例1

与えられた分数 65 126 と 87 126 を比較します。

解決

分数の分母は同じなので、分子に進みます。 87 と 65 という数字から、65 が小さいことは明らかです。 同じ分母を持つ分数を比較するルールに基づくと、87,126 は 65,126 より大きいことがわかります。

答え： 87 126 > 65 126 .

分母の異なる分数を比較する

このような分数の比較は、同じ指数を持つ分数の比較と相関関係がありますが、違いがあります。 ここで、分数を共通の分母に減らす必要があります。

分母が異なる分数がある場合、それらを比較するには次の操作を行う必要があります。

• 共通点を見つけます。
• 分数を比較します。

例を使用してこれらのアクションを見てみましょう。

例 2

分数 5 12 と 9 16 を比較します。

解決

まず第一に、分数を共通の分母に減らす必要があります。 これは次の方法で行われます。LCM、つまり最小公約数 12 と 16 を見つけます。 この数は48です。 最初の分数 5 12 に係数を追加する必要があります。この数値は商 48: 12 = 4 から求められ、2 番目の分数 9 16 – 48: 16 = 3 になります。 結果を次のように書きましょう: 5 12 = 5 4 12 4 = 20 48 および 9 16 = 9 3 16 3 = 27 48。

分数を比較すると、20 48 が得られます。< 27 48 . Значит, 5 12 меньше 9 16 .

答え： 5 12 < 9 16 .

分母が異なる分数を比較する別の方法もあります。 共通の分母に還元することなく実行されます。 例を見てみましょう。 分数 a b と c d を比較するには、それらを共通の分母に減らし、次に b · d、つまりこれらの分母の積を求めます。 この場合、分数に対する追加の因数は、隣接する分数の分母になります。 これは、 a · d b · d および c · b d · b と書きます。 分母が同一のルールを使用すると、分数の比較は積 a · d と c · b の比較に帰着します。 ここから、異なる分母を持つ分数を比較するためのルールが得られます。a · d > b · c の場合、a b > c d ですが、a · d の場合< b · c , тогда a b < c d . Рассмотрим сравнение с разными знаменателями.

例 3

分数 5 18 と 23 86 を比較します。

解決

この例には、a = 5、b = 18、c = 23、d = 86 があります。 次に、a・dとb・cを計算する必要があります。 したがって、a · d = 5 · 86 = 430、b · c = 18 · 23 = 414 となります。 ただし、430 > 414 の場合、指定された小数 5 18 は 23 86 より大きくなります。

答え： 5 18 > 23 86 .

同じ分子を持つ分数の比較

分数の分子が同じで分母が異なる場合は、前の点に従って比較を行うことができます。 比較の結果は、それらの分母を比較することによって可能になります。

同じ分子を持つ分数を比較するためのルールがあります : 同じ分子を持つ 2 つの分数のうち、分母が小さい方の分数が大きくなり、その逆も同様です。

例を見てみましょう。

例 4

分数 54 19 と 54 31 を比較します。

解決

分子が同じであることがわかります。これは、分母が 19 の分数は、分母が 31 の分数よりも大きいことを意味します。 これはルールに基づいて理解できます。

答え： 54 19 > 54 31 .

それ以外の場合は、例を見てみましょう。 2 つのプレートに 1 2 パイと 1 16 アンナが載っています。 1 2 個のパイを食べると、1 16 個だけ食べるよりも早く満腹になります。 したがって、分数を比較する場合、分子が等しい最大の分母が最小になるという結論になります。

分数と自然数の比較

普通の分数と自然数を比較することは、2 つの分数を 1 の形式で書いた分母で比較することと同じです。 詳細については、以下に例を示します。

例 4

63 8 と 9 の間で比較を行う必要があります。

解決

数字の 9 は分数 9 1 として表す必要があります。 次に、分数 63 8 と 9 1 を比較する必要があります。 これに続いて、追加の因子を見つけて共通の分母に還元します。 この後、同じ分母 63 8 と 72 8 を持つ分数を比較する必要があることがわかります。 比較ルールに基づくと、63< 72 , тогда получаем 63 8 < 72 8 . Значит, заданная дробь меньше целого числа 9 , то есть имеем 63 8 < 9 .

答え： 63 8 < 9 .

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