根n-番目の次数とその特性

根とは何ですかn度？ 根を取り出すにはどうすればいいですか？

中学2年生で、あなたはすでに知っています 平方根 。 決めた 典型的な例ルートを使用し、ルートの特定の特性を使用します。 も決まりました 二次方程式, ここで、平方根を抽出しないと、それは不可能です。 しかし、平方根は、より広い概念の特殊なケースにすぎません。 根 n 度 。 平方根に加えて、立方根、4 乗、5 乗などがあります。 そして、のために 成功した仕事このようなルートを使用する場合は、平方根を使用して名ベースから始めるのが良いでしょう。) したがって、それらに問題がある人は、それらを繰り返すことを強くお勧めします。

ルートの抽出は、累乗の逆演算の 1 つです。) なぜ「いずれか 1 つ」なのか? なぜなら、ルートを抽出するときに探しているのは、 ベース知られているとおり 程度と指標。 そして別の逆演算があります - 検索 インジケータ知られているとおり 程度と根拠。この操作を検索と呼びます 対数これは根の抽出よりも複雑であり、高校で学習されます。)

それでは、知り合いましょう！

まずは指定です。 すでにご存知のとおり、平方根は次のように表されます。 このアイコンは非常に美しく科学的に呼ばれています - ラジカル。 他の学位のルーツは何ですか? とても簡単です。根号の「尾」の上に、根を求める次数の指数を追加で書きます。 立方根を探している場合は、トリプルを記述します: 。 根が 4 度の場合、それに応じて、 . など）B 一般的な見解 n乗根度は次のように表されます。

どこ 。

番号ある 、平方根と同様に、と呼ばれます 過激な表現 、そしてここに番号がありますn これは私たちにとって新しいことです。 そしてそれは呼ばれます ルートインデックス .

任意の次数の根を抽出するにはどうすればよいですか? 四角いものと同じように - 中に何の数字が入っているかを調べてください n度私たちに番号を与えますある .)

たとえば、8 の立方根はどうやって求めるのでしょうか? あれは ？ 何番 立方体 8をくれるでしょうか？ 当然のことながらデュースです。) そこで彼らは次のように書きます。

または 。 81 となる数の 4 乗は何ですか? 3) それで、

1の10乗根はどうでしょうか？ まあ、1 の任意の累乗 (10 乗を含む) が 1 に等しいのは当然のことです)。

そして一般的に言えば 。

ゼロでも同じ話です。あらゆる自然の力に対してゼロです。 ゼロに等しい。 あれは、 。

ご覧のとおり、平方根と比較すると、どの数値が根号を与えるのかを把握するのはある程度困難です。ある 。 より困難 選び出す答えて、べき乗して正しいかどうかを確認しますn 。 人気のある数字の力を実際に知っていれば、状況は大幅に単純化されます。 それで今、私たちはトレーニングをしています。 :) 度を認識しましょう!)

答え（混乱中）：

はいはい！ タスクよりも答えの方が多いです。) たとえば、2 8、4 4、および 16 2 はすべて同じ 256 という数字だからです。

練習したことがありますか？ 次に、いくつかの例を見てみましょう。

回答 (これも混乱中): 6; 2; 3; 2; 3; 5.

起こりました？ 素晴らしい！ 次へ移りましょう。）

根の限界。 算術根n度。

平方根と同様に、n 乗根にも独自の制限と独自のトリックがあります。 本質的に、それらはそのような制限と何ら変わりません。 平方根.

合わないですよね？ 3は何ですか、-3の4乗は+81になります。 :) そしてどのルートでも 平負の数からの度は同じ曲になります。 そして、これが意味するのは、 負の数から偶数次の根を抽出することは不可能です 。 これは数学ではタブーな行為です。 ゼロ除算と同じくらい禁止されています。 したがって、 などの表現は - 意味がわからない.

でも根っこは 奇数負の数の累乗 – お願いします!

例えば、 ; 、 等々。）

そして、正の数から、安心して次数のあらゆる根を抽出できます。

一般的には理解できると思います。) また、ルートを正確に抽出する必要はありません。 これらは単に理解のための単なる例です。) (方程式など) を解く過程で、かなり悪い根が現れることがあります。 何かのようなもの 。 立方根は 8 から完全に抽出できますが、ここでは根の下に 7 があります。 何をするか？ 大丈夫です。 すべてがまったく同じです。は 3 乗すると 7 になる数字です。この数字だけが非常に醜く、毛羽立っています。 ここにあります：

さらに、この数字は決して終わることがなく、ピリオドもありません。数字は完全にランダムに続きます。 それは不合理です...そのような場合、答えは根の形で残ります。) しかし、根が純粋に抽出される場合 (たとえば、 )、当然のことながら、根を計算して書き留める必要があります。

再び実験番号 81 を取得し、そこから 4 番目の根を抽出します。

なぜなら、4 分の 3 は 81 になるからです。まあ、いいですね! だけでなく マイナス３ 4番目には81もあります！

これにより、あいまいさが生じます。

そして、それを排除するために、平方根の場合と同様に、特別な用語が導入されました。 算術根nの中から第 学位 ある - これはそういうものです 非負番号、n-次と等しい ある .

そして、プラスかマイナスの答えは別の呼び方になります - 代数根n度。 偶数累乗には代数的な根があります 2 つの反対の数字。 学校では算術ルートのみを扱います。 したがって、算術根の負の数は単純に破棄されます。 たとえば、次のように書きます。 もちろん、プラス自体は書かれていません。 暗示する.

すべては単純そうに見えますが... しかし、負の数の奇数根はどうなるのでしょうか? 結局のところ、抽出すると常に負の数が得られます。 負の数があるため、 奇数度負の数も与えます。 そして、算術ルートは負でない数値でのみ機能します。 だからこそ算数なのです。）

そのようなルートでは、これが彼らの行いです。ルートの下からマイナス記号を取り出し、それをルートの前に置きます。 このような：

そういった場合にはこう言われます 算術 (つまり、すでに非負の) ルートを通じて表現されます。 .

しかし、混乱を引き起こす可能性のある点が 1 つあります。これは、累乗を伴う単純な方程式の解です。 たとえば、次の方程式は次のとおりです。

答えを書きます: 。 実際、この答えは単なる短縮版です。 二つの答え:

ここで誤解されているのは、学校では非負 (つまり算術) 根のみが考慮されるということを少し上の方ですでに書きました。 そして、これはマイナスが付いた答えの 1 つです...どうすればよいでしょうか? とんでもない！ ここでの兆候は、 方程式を解いた結果。 あ 根そのもの– 値はまだ負ではありません。 自分で見て：

さて、より明確になったでしょうか？ 括弧付き?)

奇数次数を使用すると、すべてがはるかに単純になります - 常にうまくいきます 1つ根。 プラスかマイナスで。 例えば：

それで、もし私たちが ただ数値から (偶数次の) 根を抽出すると、常に次の結果が得られます。 1つ陰性ではない結果。 それは算術根だからです。 でももし私たちが決めたら 方程式偶数次数の場合、次のようになります。 2つの反対の根、これだから 方程式の解.

奇数根 (3 次根、5 根根など) については問題ありません。 兆候を気にせずに、自分自身でそれを取り出しましょう。 ルートの下にあるプラスは、抽出結果がプラスであることを意味します。 マイナスはマイナスの意味です。）

そして今、会う時が来ました 根の性質。 平方根にはすでにおなじみのものもありますが、新しいものもいくつか追加されます。 行く！

根の性質。 作品の根幹。

この性質は平方根からすでによく知られています。 他の次数のルートについても同様です。

あれは、 積の根は、各因子の根の積にそれぞれ等しい.

インジケーターがn 偶数の場合、両方の部首ある そしてb 当然、負ではない必要があります。そうでない場合、式は意味を持ちません。 奇数の指数の場合、制限はありません。マイナスを根の下から前方に移動してから、算術根を処理します)。

平方根と同様に、この式は左から右への場合と右から左への場合と同様に役立ちます。 式を左から右に適用すると根を抽出できます 仕事から。 例えば：

ちなみに、この式は 2 つの因子だけでなく、任意の数の因子にも当てはまります。 例えば：

この式を使用して、大きな数から根を抽出することもできます。これを行うには、根の下の数値が小さな因子に分解され、根が各因子から個別に抽出されます。

たとえば、このタスクは次のとおりです。

その数はかなり多いです。 そこから根が抽出されるのでしょうか？ スムーズ– これも電卓がないと不明確です。 因数分解すると良いでしょう。 3375 という数字は正確には何で割り切れますか? 5 のように見えます。最後の桁は 5 です。) 除算:

おっと、また 5 で割り切れます! 675:5 = 135。そして、135 は再び 5 で割り切れます。 いつ終わるんだよ！）

135:5 = 27. 27 という数字では、すべてがすでに明らかです。3 の 3 乗です。 手段、

それから：

ルートを少しずつ抽出しましたが、問題ありません。）

または、次の例:

再度、割り算の基準に従って因数分解します。 どれ？ 4のとき、なぜなら 最後の 2 桁の 40 は 4 で割り切れます。また 10 で割り切れます。 最後の桁はゼロです。 これは、一気に 40 で割ることができることを意味します。

私たちは 216 という数字が 6 の 3 乗であることをすでに知っています。 あれは、

そして 40 は、次のように展開できます。 それから

そして最終的には次のようになります。

根元をきれいに取り出すことはできませんでしたが、まあまあです。 とにかく、式を簡略化しました。ルート (正方形、立方体、その他何でも) の下に最も多くの部分を残すのが通例であることはわかっています。 小さい数字この例では、次のことを実行しました。 便利な操作、平方根からもすでにおなじみです。 認識していますか？ はい！ 私たちは 実施したルートからの乗数。 で この例ではつまり、2 と 6 を取り出しました。 12番。

ルート記号から乗数を取り出すにはどうすればよいですか?

根号を超える因数を取得するのは非常に簡単です。 根号式を因数分解して、抽出されたものを抽出します。）抽出されなかったものは根の下に残します。 見る：

9072という数字を因数分解します。 4 乗根があるので、まずそれを自然数の 4 乗である因数 (16、81 など) に因数分解してみます。

9072 を 16 で割ってみましょう。

共有しました！

しかし、567 は 81 で割り切れるようです。

手段、 。

それから

根の性質。 根を増やす。

ここで、公式を逆に右から左に適用することを考えてみましょう。

一見すると何も目新しいことはありませんが、見た目に騙される可能性があります。) 逆適用公式は私たちの能力を大幅に拡張します。 例えば：

うーん、それで何が問題なのでしょうか？ 彼らはそれを掛け合わせて、それで終わりです。 ここには特に何もありません。 通常の根の乗算。 ここに例を示します。

根を因子から純粋に個別に抽出することはできません。 しかし、結果は素晴らしいです。)

繰り返しますが、この式は任意の数の因子に対して有効です。 たとえば、次の式を計算する必要があります。

ここで重要なことは注意です。 例には以下が含まれます 違う根 - 立方根と 4 次。 そして、それらのどれも確実に抽出されません...

そして、ルートの積の公式は、次のルートにのみ適用されます。 同一インジケーター。 したがって、立方根を別のグループにグループ化し、4 次根を別のグループにグループ化します。 そして、ご存知のとおり、すべてが一緒に成長します。))

そして電卓は必要ありませんでした。）

ルート記号の下に乗数を入力するにはどうすればよいですか?

次 便利なもの – ルートに数字を追加する。 例えば：

ルート内のトリプルを削除することはできますか? 初級！ 3つを変えると 根とすると、ルートの積の公式が機能します。 それでは、3 つをルートにしましょう。 4 度のルートがあるので、これも 4 度のルートに変換します。) 次のようにします。

それから

ちなみに、根は負でない任意の数から作ることができます。 さらに、私たちが望む範囲で（からのすべて） 具体例によります）。 これはまさにこの数値の n 乗根になります。

そしていま - 注意！非常に重大なエラーの原因となります。 私がここで話したのは無駄ではありません 非負数字。 算術ルートはこれらでのみ機能します。 タスクのどこかに負の数値がある場合は、ルートの前 (外側にある場合) にマイナスをそのまま残すか、ルートが内側にある場合はその下のマイナスを削除します。 ルートの下にある場合は思い出してください 平度が負の数の場合、 その表現は意味がありません.

たとえば、このタスク。 ルート記号の下に乗数を入力します。

今、根本に戻ってみると マイナス 2 つ目は、私たちは残酷な間違いをすることになります。

ここで何が間違っているのでしょうか？ そして実際には、4乗はその等価性により、このマイナスを喜んで「食べ」、その結果、明らかに負の数が正の数に変わりました。 そして、正しい解決策は次のようになります。

奇数次の根では、マイナスは「食い尽くされる」ことはありませんが、外側に残しておくこともお勧めします。

ここで、奇数根は 3 次であり、マイナスを根の下に押し込む権利もあります。 ただし、このような例では、マイナスも外側に残し、算術 (非負) ルートで表現される答えを書くことが望ましいです。ルートは生存する権利を持っていますが、 算数ではありません.

したがって、ルートの下に数字を入力すると、すべてが明確になると思います。) 次のプロパティに進みましょう。

根の性質。 分数の根。 根の分割。

この特性も平方根の特性を完全に再現します。 ここでのみ、それを任意の次数の根に拡張します。

分数の根は、分子の根を分母の根で割ったものに等しい.

n が偶数の場合、その数はある は負ではない必要があり、数値はb – 厳密に正（ゼロで割ることはできません）。 奇数のインジケーターの場合、唯一の制限は です。

このプロパティにより、分数からルートを簡単かつ迅速に抽出できます。

考え方は明確だと思います。 分数全体を扱う代わりに、分子と分母を別々に扱うことに進みます。) 分数が小数、または恐ろしいことに帯分数の場合は、まず通常の分数に進みます。

次に、この式が右から左にどのように機能するかを見てみましょう。 ここでも、とても 便利な機能。 たとえば、次の例です。

分子と分母から根を正確に抽出することはできませんが、分数全体からは問題ありません。) この例は、別の方法で解くこともできます。分子の根の下から因数を削除してから、それを約分します。

あなたが望むように。 答えは常に同じ、つまり正しいものになります。 途中で間違えなければ。）

以上、根の掛け算・割り算を整理しました。 次のステップに進み、3 番目のプロパティを検討してみましょう - 力に根を張る そして 力の根源 .

程度まで根を張ります。 学位の根元.

根をパワーに上げるにはどうすればよいですか？ たとえば、数字があるとします。 この数字をべき乗することはできますか? たとえば立方体では？ 確かに！ 根そのものを 3 回掛け、根の積の公式に従って次のようにします。

ルートと次数は次のとおりです かのように相互に破壊または補償されます。 実際、立方体にすると 3 になる数値を、まさにその立方体に入れると、何が得られるでしょうか? もちろん 3 を獲得します! そして、これは負でない数値にも当てはまります。 一般的に：

指数と根が異なっていても問題ありません。 次数の性質を知っている場合。)

指数が根の指数より小さい場合は、単純に次数を根の下にプッシュします。

一般的には次のようになります。

アイデアは明確です。根次式を累乗し、それを単純化し、可能であれば根の下から要素を削除します。 もしn その時でさえある 負ではない必要があります。 その理由は理解できると思います。）そしてもしn 奇妙なことに、制限はありませんある 利用できない：

今すぐ対処しましょう 度数の根 。 つまり、根そのものが累乗されるのではなく、 過激な表現。 ここでも複雑なことは何もありませんが、間違いが発生する可能性がはるかに高くなります。 なぜ？ 負の数が作用するため、符号に混乱が生じる可能性があります。 ここでは、奇数乗のルーツから始めましょう - それらははるかに単純です。

2 という数字を考えてみましょう。それを 3 乗できますか? 確かに！

ここで、8 の字から立方根を求めてみましょう。

2 から始めて、その後 2 に戻りました。) それも不思議ではありません。立方体は逆の操作、つまり立方根の抽出によって補正されました。

もう一つの例：

ここでもすべて順調です。 次数とルートは互いに補い合います。 一般に、奇数乗根については次の式を書くことができます。

この式はどんな場合にも当てはまります 実数 ある 。 ポジティブかネガティブかのどちらかです。

つまり、奇数次と同次の根は常に互いに補償し、根号式が得られます。 :)

しかし、 平ある程度、このトリックは機能しなくなる可能性があります。 自分で見て：

ここではまだ特別なことは何もありません。 4 度および 4 度のルートも互いにバランスをとり、結果は単純に 2、つまり 2 になりました。 過激な表現。 そして誰にとっても 非負数字は同じになります。 ここで、このルートの 2 をマイナス 2 に置き換えてみましょう。 つまり、次のルートを計算してみましょう。

二人のマイナスは、4度のおかげでうまく「燃え尽きました」。 そしてルートを抽出した結果 (算術!) が得られました。 ポジティブ番号。 以前はマイナス 2 でしたが、現在はプラス 2 です。) しかし、次数と根 (同じ!) を単に考えなしに「減らす」と、次のようになります。

それは重大な間違いです、はい。

したがって、 平指数の場合、度の根の公式は次のようになります。

ここでは、多くの人に好まれていないモジュラス記号を追加しましたが、怖いものは何もありません。そのおかげで、この式は任意の実数に対しても機能します。ａ． そして、モジュールは単純に短所をカットします。

n 次の根でのみ、偶数次と奇数次の間の追加の区別が現れました。 ご覧のとおり、学位ですらもっと気まぐれなものです。)

ここで、新しく便利で非常に興味深い特性を考えてみましょう。既に n 次のルートの特徴となっています。ルートの指数と根数式の指数に同じ自然数を掛ける (割る) と、ルートの値は次のようになります。変わりません。

なんだか分数の基本性質を彷彿とさせますね。 分数では、分子と分母に同じ数（ゼロを除く）を掛ける（割る）こともできます。 実際、ルートのこの特性は、分数の基本特性の結果でもあります。 お目にかかった際に 有理指数を伴う度数、その後、すべてが明らかになります。 何を、どのように、どこで。)

この公式を直接適用すると、あらゆる次数のあらゆるルートを完全に単純化できます。 根号表現の指数と根自体の場合を含む 違う。 たとえば、次の式を簡略化する必要があります。

シンプルにやってみましょう。 まず、ルートの下の 10 の 4 乗を選択し、先に進みます。 どうやって？ もちろん、次数の性質に従ってです。 根の下から乗数を取り出すか、べき乗の根の公式を使用して作業します。

ただし、このプロパティだけを使用して単純化してみましょう。 これを行うには、ルートの下の 4 つを次のように表します。

そして今 - 最も興味深いこと - 精神的に短くなりますルートの下のインデックス (2) とルートのインデックス (4)! そして、次の結果が得られます。

トピックに関するレッスンとプレゼンテーション:「n 乗根の性質。定理」

追加資料
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Integral オンライン ストアの 11 年生向けの教材とシミュレータ
9 年生から 11 年生向けの対話型マニュアル「三角法」
10～11年生向けインタラクティブマニュアル「対数」

n 根のプロパティ。 定理

皆さん、私たちは実数の n 乗根の研究を続けています。 ほとんどすべての数学的オブジェクトと同様に、n 次の根にも特定の特性があります。今日はそれらを研究します。
私たちが考慮するすべてのプロパティは、ルート記号の下に含まれる変数の非負の値に対してのみ定式化および証明されます。
奇数の根指数の場合、負の変数に対しても実行されます。

定理 1. 2 つの非負の数の積の n 乗根は、これらの数値の n 乗根の積に等しい: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n]( b)$ .

定理を証明しましょう。
証拠。 皆さん、定理を証明するために、新しい変数を導入して、それらを表してみましょう:
$\sqrt[n](a*b)=x$。
$\sqrt[n](a)=y$。
$\sqrt[n](b)=z$。
$x=y*z$ であることを証明する必要があります。
次のアイデンティティも保持されることに注意してください。
$a*b=x^n$。
$a=y^n$。
$b=z^n$。
この場合、次の恒等式が成り立ちます: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$。
2 つの非負の数の累乗とその指数が等しい場合、累乗自体の底も等しくなります。 これは $x=y*z$ を意味し、これを証明する必要があります。

定理2. $a≥0$、$b>0$、n が 1 より大きい自然数の場合、次の等式が成り立ちます: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](a))(\sqrt[n](b))$.

つまり、商の n 乗根は、n 乗根の商と等しくなります。

証拠。
これを証明するために、表の形式で簡略化した図を使用します。

n乗根の計算例

例。
$\sqrt(16*81*256)$ を計算します。
解決。 定理 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$ を使用してみましょう。

例。
$\sqrt(7\frac(19)(32))$ を計算します。
解決。 根次式を次の形で表しましょう 仮分数: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$。
定理 2 を使用してみましょう: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$。

例。
計算します:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$。
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$。
解決：
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$。
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$。

定理3. $a≥0$ の場合、k と n – 整数が 1 より大きい場合、等式は真です: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$。

根を自然の力に引き上げるには、過激な表現をこの力に引き上げるだけで十分です。

証拠。
$k=3$ の特殊なケースを見てみましょう。 定理 1 を使ってみましょう。
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$。
他の場合でも同じことが証明できます。 $k=4$ と $k=6$ の場合について、自分で証明してください。

定理4. $a≥0$ b n,k が 1 より大きい自然数の場合、$\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$ という等式が成り立ちます。

ルートからルートを抽出するには、ルートの指標を乗算するだけで十分です。

証拠。
表を使ってもう一度簡単に証明してみましょう。 これを証明するために、表の形式で簡略化した図を使用します。

例。
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$。
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$。
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$。

定理 5. ルートとラジカル式の指数に同じ自然数を乗じても、ルートの値は変わりません: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a)$ 。

証拠。
定理を証明する原理は他の例と同じです。 新しい変数を導入しましょう。
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (定義による)。
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (定義による)。
最後の等式を p 乗してみましょう
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$。
得たもの:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$。
つまり、$\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$ となり、これを証明する必要があります。

例:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (インジケーターを 5 で割ったもの)。
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (インジケーターを 2 で割ったもの)。
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (インジケーターに 3 を掛けます)。

例。
アクションを実行します: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$。
解決。
根の指数は異なる数であるため、定理 1 は使用できませんが、定理 5 を適用すると、等しい指数を得ることができます。
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (インジケーターに 3 を掛けます)。
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (インジケーターに 4 を掛けます)。
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$。

自主的に解決すべき問題

1. $\sqrt(32*243*1024)$ を計算します。
2. $\sqrt(7\frac(58)(81))$ を計算します。
3. 計算します:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$。
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$。
4. 簡略化します:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$。
b) $\sqrt(\sqrt(a))$。
c) $\sqrt(\sqrt(a))$。
5. アクション $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$ を実行します。

主なプロパティが示されています べき乗関数、根の公式と性質を含みます。 微分、積分、展開 パワーシリーズべき乗関数の複素数による表現。

意味

意味
指数 p を伴うべき乗関数は関数 f です (x) = xp、点 x での値は、点 p で底が x である指数関数の値と等しくなります。
さらに、f (0) = 0 p = 0 pの場合 > 0 .

指数の自然値の場合、べき乗関数は x に等しい n 個の数値の積です。
.
すべての有効な に対して定義されています。

ポジティブな方向へ 有理値指数、べき関数は数値 x の次数 m の n 乗根の積です。
.
奇数 m の場合、すべての実数 x に対して定義されます。 偶数 m の場合、累乗関数は負でないものに対して定義されます。

負の場合、べき乗関数は次の式で決定されます。
.
したがって、その時点では定義されていません。

指数 p の無理数値の場合、べき乗関数は次の式で決定されます。
,
ここで、a は任意の正の数です。 1に等しい: .
の場合、 に対して定義されます。
のとき、べき乗関数は に対して定義されます。

連続。 べき乗関数は、その定義領域内で連続です。

x ≥ 0 のべき乗関数の特性と公式

ここでは、引数 x の非負の値に対するべき乗関数の性質を検討します。 上で述べたように、指数 p の特定の値については、x の負の値に対して累乗関数も定義されます。 この場合、そのプロパティは偶数または奇数を使用して のプロパティから取得できます。 これらのケースについては、「」ページで詳しく説明および図解されています。

指数 p を持つべき乗関数 y = x p には、次の特性があります。
(1.1) セット上で定義され、継続的である
で 、
で ;
(1.2) 多くの意味があります
で 、
で ;
(1.3) 厳密に増加すると、
で厳密に減少します。
(1.4) で ;
で ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

性質の証明は「べき乗関数（連続性と性質の証明）」のページに記載されています。

ルート - 定義、公式、プロパティ

意味
n 次の数値 x の根は、n 乗すると x になる数値です。
.
ここで n = 2, 3, 4, ... - 1 より大きい自然数。

n 次の数値 x の根が方程式の根 (つまり、解) であるとも言えます。
.
この関数は関数の逆関数であることに注意してください。

xの平方根は次数 2 の根です: 。

xの立方根は次数 3 の根です: 。

偶数度

偶数乗の場合 n = 2m、ルートは x ≥ に対して定義されます。 0 。 よく使用される式は、正の x と負の x の両方に有効です。
.
平方根の場合:
.

ここでは、演算を実行する順序が重要です。つまり、最初に二乗が実行されて非負の数が得られ、次にそこからルートが取得されます (非負の数の平方根を取得することもできます)。 ）。 順序を変更すると、負の x のルートは未定義になり、式全体が未定義になります。

奇数度

奇数乗の場合、根はすべての x に対して定義されます。
;
.

ルートの性質と公式

x の根はべき乗関数です。
.
x≧の場合 0 次の式が適用されます。
;
;
, ;
.

これらの式は変数の負の値にも適用できます。 偶数乗の急進的な表現が否定的ではないことを確認する必要があるだけです。

プライベートな価値観

0 のルートは 0: です。
ルート 1 は 1 に等しい: 。
0 の平方根は 0: です。
1 の平方根は 1: です。

例。 根の根

根の平方根の例を見てみましょう。
.
上記の式を使用して内側の平方根を変換しましょう。
.
次に、元のルートを変換しましょう。
.
それで、
.

指数 p のさまざまな値の場合は y = x p。

以下は、引数 x の非負の値に対する関数のグラフです。 x の負の値に対して定義されたべき関数のグラフは、「べき関数、そのプロパティとグラフ」のページに記載されています。

逆関数

指数 p のべき乗関数の逆関数は、指数 1/p のべき乗関数です。

もしそうなら。

べき乗関数の導関数

n次微分:
;

数式の導出 > > >

べき乗関数の積分

P ≠ - 1 ;
.

べき級数展開

で - 1 < x < 1 次の分解が行われます。

複素数を使った式

複素変数 z の関数を考えてみましょう。
f (z) = zt.
複素変数 z を法 r と引数 φ で表現してみましょう (r = |z|)。
z = r e i φ 。
複素数 t は実数部と虚数部の形式で表されます。
t = p + i q 。
我々は持っています：

次に、引数 φ が一意に定義されていないことを考慮します。
,

q = の場合を考えてみましょう。 0 つまり、指数は実数 t = p です。 それから
.

p が整数の場合、kp は整数です。 次に、三角関数の周期性により、次のようになります。
.
あれは 指数関数整数の指数を持つ は、指定された z に対して値を 1 つだけ持つため、明確です。

p が無理数の場合、任意の k に対する積 kp は整数を生成しません。 k は無限の一連の値を実行するため、 k = 0、1、2、3、...の場合、関数 z p は無限に多くの値を持ちます。 引数 z がインクリメントされるたびに 2π(1 ターン)、関数の新しいブランチに移動します。

p が有理数の場合、次のように表すことができます。
、 どこ メートル、ン- 公約数を含まない整数。 それから
.
最初の n 値、k = k 0 = 0、1、2、...n-1、nを与える さまざまな意味 Kp:
.
ただし、後続の値は、前の値とは整数だけ異なる値を与えます。 たとえば、k = kの場合 0+n我々は持っています：
.
三角関数、その引数は次の倍数の値によって異なります。 2π、等しい値を持ちます。 したがって、kをさらに増やすと、k = kの場合と同じz p の値が得られます。 0 = 0、1、2、...n-1.

したがって、有理指数を持つ指数関数は多値であり、n 個の値 (分岐) を持ちます。 引数 z がインクリメントされるたびに 2π(1 ターン)、関数の新しいブランチに移動します。 このような n 回転の後、カウントダウンが始まった最初のブランチに戻ります。

特に、次数 n の根には n 個の値があります。 例として、正の実数 z = x の n 乗根を考えてみましょう。 この場合、φ 0 = 0 、z = r = |z| = x, .
.
したがって、平方根の場合、n = 2 ,
.
偶数 k に対して、 (-1) k = 1。 奇数 k については、 (-1) k = -1.
つまり、平方根には + と - の 2 つの意味があります。

参考文献:
で。 ブロンスタイン、K.A. Semendyaev、エンジニアと大学生のための数学ハンドブック、「Lan」、2009 年。

レッスンの目標:

教育的: 学生にn度の根幹の全体的な理解、意識とスキルの形成のための条件を作成します。 合理的な使用さまざまな問題を解決するときのルートの性質。

発達: アルゴリズム的で創造的な思考を発展させるための条件を作り、セルフコントロールスキルを開発します。

教育的: 主題や活動への関心の発達を促進し、仕事の正確さ、自分の意見を表現し、推奨する能力を養います。

授業中

1. 組織的な瞬間。

こんにちは 良い時間です！

お会いできてとても嬉しいです。

鐘はもう鳴りました

レッスンが始まります。

私たちは微笑みました。 追いつきました。

私たちはお互いを見つめました

そして彼らは静かに一緒に座った。

2. レッスンの動機。

フランスの傑出した哲学者であり科学者であるブレーズ・パスカルは、「人間の偉大さは思考能力にある」と主張しました。 今日、私たちは自分自身で知識を発見することで、自分が偉大な人間であると感じられるように努めます。 今日のレッスンのモットーは、古代ギリシャの数学者タレスの言葉です。

この世に何よりも大切なものは何でしょうか？ - 空間。

一番速いのは何ですか? - 心。

最も賢明なことは何ですか? - 時間。

一番良い点は何ですか? - 望むものを実現します。

皆さんが今日のレッスンで望ましい結果を達成できることを願っています。

3. 知識を更新する。

1. 数値の逆数代数演算に名前を付けます。 (足し算と引き算、掛け算と割り算)

2. 除算などの代数演算はいつでも実行できますか? (いいえ、ゼロで​​割ることはできません)

3. 数字を使って他にどのような操作を実行できますか? (べき乗)

4. 彼女を逆転させる手術とは? （根抜き）

5. どの程度の根を抜くことができますか? (2番目のルート)

6. 平方根のどんな性質を知っていますか? (積の平方根を商から、ルートから、べき乗する)

7. 式の意味を調べます。

歴史から。すでに 4,000 年前、バビロニアの科学者は、九九や逆数表 (数の割り算を乗算に換算する助けを借りた) とともに、数の二乗表と数の平方根を作成しました。 同時に、任意の整数の平方根の近似値を見つけることができました。

4. 新しい教材を勉強する。

明らかに、自然指数を持つ累乗の基本特性に従って、任意の正の数から偶数累乗の根の 2 つの反対の値が存在します。たとえば、数値 4 と -4 は 16 の平方根です。 -4) 2 = 42 = 16、(-3)4 = 34 = 81 であるため、数値 3 と -3 は 81 の 4 番目の根です。

また、負の数の偶根はありません。 実数の偶数乗は負ではありません。 奇数次の根については、任意の実数に対して、この数から奇数次の根は 1 つだけ存在します。 たとえば、33 = 27 であるため、3 は 27 の 3 番目の根であり、(-2)5 = 32 であるため、-2 は -32 の 5 番目の根です。

正の数からは偶数次の 2 つの根が存在するため、この根の曖昧さを排除するために算術根の概念を導入します。

非負数の n 乗根の非負の値は、算術ルートと呼ばれます。

指定: - n 次の根。

数値 n は算術根のべき乗と呼ばれます。 n = 2 の場合、ルートの次数は示されずに書き込まれます。 通常、2次の根は平方根と呼ばれ、3次の根は立方根と呼ばれます。

B、b2 = a、a ≥ 0、b ≥ 0

B、bп = a、p - a ≥ 0、b ≥ 0 の場合でも

n - 奇数 a、b - 任意

プロパティ

1. 、a ≥ 0、b ≥ 0

2. 、a ≥ 0、b >0

3. 、a ≥ 0

4. 、m、n、k - 自然数

5. 新しい材料の統合。

口頭での仕事

a) どの表現が意味をなしますか?

b) 変数 a のどの値に対して式は意味を持ちますか?

No.3、4、7、9、11を解きます。

6.体育分。

何事にも節度は必要ですが、

それを主なルールにしましょう。

体操をしなさい、ずっと考えていたから、

体操は体を疲れさせず、

しかし、それは体を完全に浄化します！

目を閉じて体をリラックスさせ、

想像してみてください - あなたは鳥で、突然空を飛ぶことができます。

あなたは今、イルカのように海を泳いでいます。

あなたは今、庭で熟したリンゴを摘んでいます。

左、右、周りを見回して、

目を開けて仕事に戻りましょう！

7. 独立した仕事。

とペアになって作業します。 178 1番、2番。

8.D/Z。項目 10 (p. 160-161) を学習し、No. 5、6、8、12、16 (1、2) を解きます。

9. レッスンの概要。 活動の振り返り。

レッスンは目標を達成しましたか?

何を学んだの？

最初のレベル

ルートとそのプロパティ。 詳細な理論例付き (2019)

この「根」とは何なのか、そして「何と一緒に食べるのか」について考えてみましょう。 これを行うために、授業ですでに遭遇した (または、まさに遭遇しようとしている) 例を見てみましょう。

たとえば、方程式があります。 この方程式の解は何でしょうか? 二乗して得られる数値は何ですか? 九九を覚えておけば、簡単に答えを出すことができます: そして (結局のところ、2 つの負の数を掛けると、正の数が得られます)! 単純化するために、数学者は平方根という特別な概念を導入し、それに特別な記号を割り当てました。

算術平方根を定義しましょう。

数値が負でない必要があるのはなぜですか? たとえば、それは何に等しいでしょうか? まあ、まあ、一つ選んでみましょう。 たぶん3つでしょうか？ 確認してみましょう: ではありません。 多分、 ？ もう一度、次のことを確認します。 え、合わないの？ これは当然のことです。2 乗すると負の数になる数値は存在しないからです。
覚えておく必要があるのは次のとおりです。 ルート記号の下の数値または式は負であってはなりません。

しかし、最も注意深い人は、定義に「数値の平方根の解はこれと呼ばれる」と記載されていることにはおそらくすでに気づいているでしょう。 非負二乗が「」に等しい数値。 最初に例を分析し、二乗して得られる数値を選択し、答えは and だったという人もいるでしょう。しかし、ここではある種の「非負の数値」について話しているのです。 この指摘は極めて適切である。 ここでは、二次方程式の概念と数値の算術平方根を区別する必要があるだけです。 たとえば、 は式と同等ではありません。

つまり、または、ということになります。 (トピック「」を読む)

そしてそれに続きます。

もちろん、これは非常に混乱しますが、方程式を解くとき、すべての X を書き留める必要があるため、符号は方程式を解いた結果であることを覚えておく必要があります。X を元の方程式に代入すると、正しい結果。 私たちの中で 二次方程式両方に適しています。

ただし、 平方根を取るだけです何かから、そしていつも 1 つの非負の結果が得られます.

では、この方程式を解いてみてください。 すべてがそれほど単純でスムーズではなくなりましたね。 数字を調べてみてください、もしかしたら何かがうまくいくかもしれません? 一番最初から始めましょう - ゼロから: - 合わない、次に進みます - 3 つ未満、脇に掃いても、もしも。 確認してみましょう: - これも不適切です。なぜなら... それは3つ以上です。 負の数についても同じです。 それでは、今何をすべきでしょうか？ 本当に検索しても何も出なかったのでしょうか？ まったくそうではありません。これで、答えが と の間、および と の間の数値になることがわかりました。 また、明らかに、解は整数ではありません。 さらに、それらは合理的ではありません。 それで、次は何でしょうか？ 関数をグラフにして、その上に解をマークしてみましょう。

システムを騙して電卓を使って答えを求めてみましょう! 根っこを抜きましょう！ ああ、ああ、それが判明しました。 この数は決して終わりません。 試験には電卓がないのに、どうやってこれを覚えられるでしょうか！ すべては非常に簡単です。覚える必要はありません。おおよその値を覚えておく (またはすぐに推定できる) だけで十分です。 そして答えそのもの。 このような数は無理数と呼ばれ、平方根の概念が導入されたのは、そのような数の記述を簡素化するためでした。

これを強化するために別の例を見てみましょう。 この問題を見てみましょう: 斜めに渡る必要があります 正方形のフィールド一辺をkmとすると、何km歩かなければなりませんか?

ここで最も明白なことは、三角形を個別に考慮し、ピタゴラスの定理を使用することです。 したがって、 。 では、ここで必要な距離はどれくらいでしょうか？ 明らかに、距離をマイナスにすることはできません。それはわかります。 2 の根はほぼ等しいですが、前に述べたように、- はすでに完全な答えです。

問題を引き起こさずにルートのある例を解決するには、それらを見て認識する必要があります。 これを行うには、少なくとも から までの数の 2 乗を知っていて、それを認識できる必要があります。 たとえば、何が正方形に等しいのか、またその逆に何が正方形に等しいのかを知る必要があります。

平方根とは何か理解できましたか？ 次に、いくつかの例題を解きます。

例。

さて、どうなったでしょうか？ 次に、これらの例を見てみましょう。

答え:

立方根

さて、平方根の概念は理解できたようです。今度は立方根とは何なのか、そしてそれらの違いは何なのかを理解してみましょう。

数値の立方根は、その立方体が等しい数値です。 ここではすべてがはるかに単純であることに気づきましたか? 立方根記号の下の値と抽出される数値の両方の可能な値に制限はありません。 つまり、立方根は任意の数値から抽出できます。

立方根とは何か、そしてそれを抽出する方法は理解していますか? 次に、例題を解いてみましょう。

例。

答え:

ルート - ああ度

さて、平方根と立方根の概念は理解できました。 では、このコンセプトで得た知識をまとめてみましょう 1番目のルート.

1番目のルート数値の累乗が等しい数値です。つまり、

同等。

もし - たとえ、 それ：

• マイナスで、式は意味を持ちません (負の数の偶数乗根) 削除できません!);
• 非ネガティブの場合() 式には 1 つの非負のルートがあります。

- が奇数の場合、式は any に対して一意のルートを持ちます。

心配しないでください。平方根や立方根の場合と同じ原則がここにも当てはまります。 つまり、平方根を考慮するときに適用した原則は、偶数次のすべての根に拡張されます。

そして、立方根に使用されたプロパティは、奇数次の根にも適用されます。

さて、わかりやすくなりましたか？ 例を見てみましょう:

ここでは、すべてが多かれ少なかれ明らかです。最初に見てみましょう - はい、次数は偶数で、ルートの下の数は正です。つまり、私たちの仕事は 4 乗で得られる数を見つけることです。 さて、何か推測はありますか？ 多分、 ？ その通り！

したがって、次数は等しい - 奇数で、ルートの下の数は負になります。 私たちの仕事は、累乗すると得られる数値を見つけることです。 根本にすぐに気づくのはなかなか難しいです。 ただし、すぐに検索を絞り込むことができますよね。 第一に、必要な数は明らかに負であり、第二に、それが奇数であることに気づくことができ、したがって、必要な数は奇数になります。 根元を探してみてください。 もちろん、無視しても問題ありません。 多分、 ？

はい、これこそ私たちが探していたものです! 計算を簡素化するために、次の度のプロパティを使用したことに注意してください。

根の基本的な性質

それは明らかだ？ そうでない場合は、例を確認すると、すべてが適切な位置に収まるはずです。

根の乗算

根を増やすにはどうすればいいですか？ 最も単純かつ基本的なプロパティは、この質問の答えに役立ちます。

簡単なことから始めましょう:

結果の数値の根は正確に抽出されませんか? 問題ありません - 以下にいくつかの例を示します。

乗数が 2 つではなく、それ以上ある場合はどうなるでしょうか? 同じ！ ルートを乗算する公式は、任意の数の因数で機能します。

それを使って何ができるでしょうか？ もちろん、3 は平方根であることを忘れずに、ルートの下に 3 を隠します。

なぜ私たちはこれが必要なのですか？ はい、例を解決する際の機能を拡張するためです。

根のこの性質はいかがですか？ 生活がずっと楽になりますか？ 私にとっては、まさにその通りです！ それを覚えておけばいいだけです 偶数次の根号の下に正の数値のみを入力できます。.

これが他にどこで役立つかを見てみましょう。 たとえば、この問題では 2 つの数値を比較する必要があります。

さらに:

すぐにはわかりません。 さて、ルート記号の下に数値を入力するという逆アセンブルされたプロパティを使用してみませんか? それでは先に進んでください:

さて、何を知っているのか より大きな数根のサインの下にあるほど、根自体が大きくなります。 それらの。 もし、ならば、 。 このことから、私たちはこう結論付けます。 そうしないと誰も私たちを説得しないでしょう！

この前に、ルートの符号の下に乗数を入力しましたが、それを削除するにはどうすればよいでしょうか? それを因数に因数分解し、抽出したものを抽出するだけです。

別の道を歩み、他の要素に拡張することも可能です。

悪くないですよね？ これらのアプローチはいずれも正しいので、必要に応じて決定してください。

たとえば、次のような式があります。

この例では次数は偶数ですが、奇数の場合はどうなるでしょうか? もう一度、べき乗の特性を適用し、すべてを因数分解します。

これですべてが明らかになったようですが、数値の累乗根を抽出するにはどうすればよいでしょうか? たとえば、これは次のとおりです。

とてもシンプルですよね？ 学位が 2 つ以上の場合はどうなりますか? 度のプロパティを使用して同じロジックに従います。

さて、すべては明らかですか？ 次に例を示します。

これらが落とし穴です、それについて 常に覚えておく価値がある。 これは実際にプロパティの例に反映されています。

奇数の場合: 偶数と次の場合:

それは明らかだ？ 例を挙げて強調します。

そうです、ルートは偶数乗であり、ルートの下の負の数も偶数乗であることがわかります。 さて、それは同じように機能しますか？ 内容は次のとおりです。

それだけです！ 次にいくつかの例を示します。

わかった？ 次に、例題を解いてみましょう。

例。

答え。

答えを受け取った場合は、安心して次に進むことができます。 そうでない場合は、次の例を理解しましょう。

ルートの他の 2 つのプロパティを見てみましょう。

これらのプロパティは例で分析する必要があります。 さて、これをやってみましょうか？

わかった？ 確保しましょう。

例。

答え。

根とその性質。 平均レベル

算術平方根

方程式には 2 つの解があります: と。 これらは二乗が等しい数値です。

方程式を考えてみましょう。 グラフで解いてみましょう。 関数のグラフとそのレベルの線を描いてみましょう。 これらの線の交点が解になります。 この方程式にも 2 つの解 (1 つは正、もう 1 つは負) があることがわかります。

ただし、この場合、解は整数ではありません。 さらに、それらは合理的ではありません。 これらの不合理な決定を書き留めるために、特別な平方根記号を導入します。

算術平方根は、二乗が等しい非負の数です。 式が定義されていない場合、 二乗が負の数に等しい数は存在しません。

平方根： .

例えば、 。 そして、それに続きます。または。

もう一度注意を促しますが、これは非常に重要です。 平方根は常に負ではない数です。 !

立方根数値の 3 乗が等しい数値です。 立方根は全員に定義されます。 任意の数値から抽出できます: 。 ご覧のとおり、負の値を取ることもできます。

数値の根は、その乗が等しい数値です。

偶数の場合は、次のようになります。

• の場合、 a の根は未定義です。
• の場合、方程式の非負根は の次数の算術根と呼ばれ、 で表されます。

- が奇数の場合、方程式は any に対して一意の根を持ちます。

ルートの記号の左上に度数が書かれていることにお気づきでしょうか? しかし、平方根はそうではありません。 根が度なしで表示されている場合、それは正方形 (度) であることを意味します。

例。

根の基本的な性質

根とその性質。 主なものについて簡単に説明

平方根（算術平方根）非負の数からこれと呼ばれます 2乗が次の非負の数

ルートのプロパティ: