等差数列の合計。
等差数列の和は単純なものです。 意味的にも式的にも。 しかし、このトピックに関してはあらゆる種類のタスクがあります。 ベーシックなものからしっかりしたものまで。
まずは金額の意味と計算式を理解しましょう。 そしてそれから私たちが決めます。 あなた自身の楽しみのために。）金額の意味は、mooと同じくらい単純です。 等差数列の合計を求めるには、そのすべての項を注意深く追加するだけです。 これらの項が少ない場合は、数式を使用せずに加算できます。 しかし、たくさんある場合、またはたくさんある場合...足し算は面倒です。) この場合、公式が役に立ちます。
金額の計算式は簡単です。
数式にはどんな文字が含まれているのか見てみましょう。 これでかなりすっきりします。
Sn - 等差数列の合計。 加算結果 みんなメンバーと、 初めによる 最後。大事です。 それらは正確に合計されます 全てメンバーを飛ばしたり飛ばしたりすることなく、一列に並べます。 そして、正確には、から始めて、 初め。 3 番目と 8 番目の項の合計、または 5 番目から 20 番目の項の合計を求めるような問題では、公式を直接適用すると期待外れになります)。
1 - 初めプログレッションのメンバー。 ここではすべてが明確です、簡単です 初め行番号。
あ、ん- 最後プログレッションのメンバー。 シリーズの最終号。 あまり聞きなれない名前ですが、金額に当てはめるととてもぴったりです。 そうすればあなた自身の目でわかります。
n - 最後のメンバーの番号。 この数式では、この数値が は追加された項の数と一致します。
コンセプトを定義しましょう 最後メンバー あ、ん。 難しい質問: メンバーは誰になるのか 最後のもの与えられれば 無限の等差数列?)
自信を持って答えるには、等差数列の基本的な意味を理解し、タスクを注意深く読む必要があります。)
等差数列の和を求めるタスクでは、最後の項が常に (直接的または間接的に) 現れます。 それは制限されるべきです。それ以外の場合は、最終的な具体的な金額 単に存在しないだけです。解の場合、進行が有限か無限かは関係ありません。 一連の数値や n 番目の項の式など、その与え方は関係ありません。
最も重要なことは、この式が数列の最初の項から数字の項まで機能することを理解することです。 n.実際、式の完全な名前は次のようになります。 等差数列の最初の n 項の合計。これらの最初のメンバーの数、つまり n、タスクによってのみ決定されます。 タスクでは、この貴重な情報はすべて暗号化されることがよくあります...しかし、気にしないでください。以下の例では、これらの秘密が明らかになります。)
等差数列の和に関するタスクの例。
初めに、 役立つ情報:
等差数列の和を含むタスクの主な難しさは次のとおりです。 正しい定義式の要素。
タスクの作成者は、まさにこれらの要素を無限の想像力で暗号化します。） ここで重要なことは、恐れないことです。 要素の本質を理解するには、それらを解読するだけで十分です。 いくつかの例を詳しく見てみましょう。 実際の GIA に基づいたタスクから始めましょう。
1. 等差数列条件によって与えられます: a n = 2n-3.5。 最初の 10 項の合計を求めます。
よくやった。 簡単です。) 公式を使用して金額を決定するには、何を知る必要がありますか? 最初のメンバー 1、前期 あ、ん、はい、最後のメンバーの番号です n.
最後の会員番号はどこで入手できますか? n? はい、その通りです、条件付きで！ それは言う：合計を見つけてください 最初の10人のメンバー。さて、何番になるでしょうか？ 最後、 10人目のメンバー？）信じられないでしょう、彼の番号は10人目です！）したがって、代わりに あ、ん式に代入していきます 10、そしてその代わりに n- 十。 繰り返しますが、最後のメンバーの番号はメンバーの数と一致します。
決定はまだ残っています 1そして 10。 これは、問題文に示されている n 項の公式を使用して簡単に計算できます。 やり方がわかりませんか? 前回のレッスンに参加してください。これなしではどうしようもありません。
1= 2 1 - 3.5 = -1.5
10=2・10 - 3.5 =16.5
Sn = S10.
等差数列の和を求める公式のすべての要素の意味がわかりました。 残っているのは、それらを代入して数えることだけです。
それでおしまい。 答え：75。
GIA に基づく別のタスク。 もう少し複雑です:
2. 等差数列 (a n) が与えられると、その差は 3.7 になります。 ａ １ ＝２．３。 最初の 15 項の合計を求めます。
すぐに合計の式を書きます。
この式を使用すると、任意の項の値をその番号によって見つけることができます。 単純な置換を探します。
a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1
残っているのは、すべての要素を等差数列の和の式に代入して答えを計算することだけです。
答え：423。
ちなみに、 の代わりに合計式の場合 あ、ん n 番目の項を式に置き換えるだけで、次の結果が得られます。
同様のものを提示して、等差数列の項の和の新しい公式を取得してみましょう。
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ご覧のとおり、ここでは必要ありません 第n期 あ、ん。 問題によっては、この公式が非常に役立つことがあります。この公式を覚えておいてください。 で可能ですか？ 正しい瞬間ここのように表示するのは簡単です。 結局のところ、和の公式とn番目の項の公式は常に覚えておく必要があります。)
タスクは短い暗号化の形式になります):
3. すべての正の値の合計を求めます 二桁の数字、3の倍数。
おお！ 最初のメンバーでも、最後のメンバーでも、全然進まない…どうやって生きていくのか！
頭で考えて、条件から等差数列の和の要素をすべて取り出す必要があります。 私たちは 2 桁の数字が何であるかを知っています。 2 つの数字で構成されています。) 2 桁の数字は何になりますか? 初め? おそらく 10 です。) 最後のこと二桁の数字？ もちろん99です！ 三桁の奴らは彼を追いかけるだろう…
3 の倍数... うーん... これは 3 で割り切れる数です。 10は3で割り切れません、11は割り切れません…12は…割り切れます！ それで、何かが浮かび上がってきます。 問題の条件に応じて系列を書き留めることができます。
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
この数列は等差数列になりますか? 確かに！ 各用語は前の用語と厳密に 3 つの点が異なります。 たとえば、項に 2 または 4 を追加すると、結果は次のようになります。 新しい数値は 3 で割り切れなくなります。等差数列の違いをすぐに判断できます。 d = 3。重宝しますよ！）
したがって、いくつかの進行パラメータを安全に書き留めることができます。
番号は何になりますか? n最後のメンバー？ 99 が致命的な間違いだと思っている人はいます。数字は常に連続していますが、私たちのメンバーは 3 つを飛び越えます。 一致しません。
ここには 2 つの解決策があります。 1 つは、超勤勉な人のための方法です。 進行状況や一連の数字全体を書き留めたり、指でメンバーの数を数えたりすることができます。) 2 番目の方法は、思慮深い人向けです。 n項の公式を覚えておく必要があります。 この公式を問題に適用すると、99 が数列の 30 番目の項であることがわかります。 それらの。 n = 30。
等差数列の和の公式を見てみましょう。
私たちは見て喜びます。) 金額を計算するために必要なすべてを問題文から取り出しました。
1= 12.
30= 99.
Sn = 小30.
残るは初歩的な算数だけだ。 数値を式に代入して計算します。
答え: 1665
別の種類の人気のあるパズル:
4. 等差数列を考えると:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
20 番目から 34 番目までの項の合計を求めます。
私たちは金額の計算式を見て...動揺します。) 念のため言っておきますが、この計算式は金額を計算するものです 最初からメンバー。 そして問題では合計を計算する必要があります 二十代から…公式は成り立ちません。
もちろん、すべての進行をシリーズで書き出して、20 から 34 までの用語を追加することもできます。しかし、... なんだか愚かで時間がかかりますよね?)
もっとエレガントな解決策があります。 シリーズを 2 つのパートに分けてみましょう。 最初の部分は次のようになります 第一期から第十九期まで。第二部 - 二十時から三十四時まで。最初の部分の項の合計を計算すると、次のことが明らかです。 S1-19、後半の項の合計と足してみます。 小20-34、最初の項から 34 番目の項までの進行の合計を取得します。 S1-34。 このような：
S1-19 + 小20-34 = S1-34
これから、合計を求めることがわかります 小20-34単純な引き算で実行できます
小20-34 = S1-34 - S1-19
右側の両方の金額が考慮されます 最初からメンバー、つまり 標準的な合計公式はそれらに非常に当てはまります。 始めましょう？
問題文から進行パラメータを抽出します。
d = 1.5。
1= -21,5.
最初の 19 項と最初の 34 項の合計を計算するには、19 番目と 34 番目の項が必要になります。 問題 2 と同様に、n 番目の項の式を使用してそれらを計算します。
19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5
34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28
何も残っていない。 34 項の合計から 19 項の合計を引きます。
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5
答え: 262.5
1つ 重要な注意点！ この問題を解決するには非常に便利なトリックがあります。 直接計算する代わりに 必要なもの (S 20-34)、私たちは数えました 必要ないと思われるもの - S 1-19。そして彼らは決意した 小20-34、完全な結果から不要なものを破棄します。 この種の「耳を使ったフェイント」により、厄介な問題を回避できることがよくあります。)
今回は等差数列の和の意味が理解できれば十分な問題を取り上げました。 そうですね、いくつかの公式を知っておく必要があります。)
等差数列の和に関する問題を解くときは、このトピックの 2 つの主要な公式をすぐに書き出すことをお勧めします。
n番目の項の式:
これらの公式は、問題を解決するために何を調べ、どの方向に考えるべきかをすぐに示します。 役立ちます。
そして今度は独立した解決策のタスクです。
5. 3 で割り切れないすべての 2 桁の数値の合計を求めます。
クール?) ヒントは問題 4 のメモに隠されています。まあ、問題 3 が役立つでしょう。
6. 等差数列は、次の条件によって与えられます。 a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5。 最初の 24 項の合計を求めます。
珍しい?) これは反復式です。 これについては、前のレッスンで読むことができます。 リンクを無視しないでください。このような問題は州科学アカデミーでよく見つかります。
7. ヴァシャは休暇のためにお金を貯めました。 なんと4550ルーブル！ そして大好きな人（自分）に数日間の幸せを与えることにした）。 自分を否定せずに美しく生きましょう。 初日に 500 ルーブルを費やし、その後の毎日は前の日よりも 50 ルーブル多く費やします。 お金がなくなるまで。 ヴァシャは何日間幸せを感じましたか？
難しいですか?) 問題 2 の追加公式が役に立ちます。
答え（混乱中）：7、3240、6。
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追加もあります
特別セクション 555 の資料。
とても「あまり…」という方へ。
そして「とても…」という人のために）
等差数列とは、各数値が前の数値よりも同じ量だけ大きい (または小さい) 一連の数値です。
このトピックは複雑で理解できないように思えることがよくあります。 文字のインデックス、数列の n 番目の項、数列の差 - これはすべてどういうわけか混乱しています、そうです...等差数列の意味を理解しましょう。そうすればすべてがすぐに良くなります。)
等差数列の概念。
等差数列は非常に単純かつ明確な概念です。 何か疑問はありますか？ 無駄です。) 自分の目で確かめてください。
未完成の一連の数字を書きます。
1, 2, 3, 4, 5, ...
このシリーズを拡張してもらえますか？ 5 の次に来る数字は何ですか? 皆さん…えーっと、つまり、次は６、７、８、９…という数字が来るということは皆さんわかります。
タスクを複雑にしてみましょう。 未完成の一連の数字をあげます。
2, 5, 8, 11, 14, ...
パターンを把握し、シリーズを拡張し、名前を付けることができるようになります 7番目シリーズ数は？
この数字が 20 であることがわかった方は、おめでとうございます。 感じただけでなく、 等差数列の重要なポイントビジネスでもうまく活用できました！ よく分からない場合は、読み続けてください。
では、感覚から得た重要なポイントを数学に変換してみましょう。）
最初のキーポイント。
等差数列は一連の数値を扱います。これは最初は混乱します。 私たちは方程式を解いたり、グラフを描いたりすることに慣れています...しかしここでは級数を拡張し、級数の数を求めます...
大丈夫です。 ただ、数列は数学の新しい分野に初めて出会うものです。 このセクションは「シリーズ」と呼ばれ、特に一連の数値と式を処理します。 それに慣れる。）
2番目のキーポイント。
等差数列では、どの数値も前の数値とは異なります 同じ量で。
最初の例では、この違いは 1 です。 どの数字を選んでも、前の数字より 1 つ増えます。 2番目から3番目。 どの数字も前の数字より 3 つ大きくなります。 実際、この瞬間こそがパターンを把握し、その後の数字を計算する機会を与えてくれます。
3つ目のキーポイント。
この瞬間は印象的なものではありません、そうです...しかし、それは非常に非常に重要です。 彼は次のとおりです。 それぞれ 進行番号その場所に立っています。最初の番号、7 番目の番号、45 番目の番号などがあります。 ランダムに混ぜると模様が消えてしまいます。 等差数列も消えてしまいます。 残っているのは単なる数字の羅列です。
それが要点です。
もちろん、 新しい話題新しい用語と名称が表示されます。 それらを知る必要があります。 そうしないと、そのタスクを理解できなくなります。 たとえば、次のようなことを決定する必要があります。
a 2 = 5、d = -2.5 の場合、等差数列 (a n) の最初の 6 項を書き留めます。
インスピレーションを与えてくれますか?) 手紙、いくつかのインデックス...ちなみに、その作業はこれ以上に簡単なものではありません。 用語と名称の意味を理解する必要があるだけです。 さて、この問題をマスターして、タスクに戻ります。
用語と名称。
等差数列それぞれの数字が前の数字とは異なる一連の数字です 同じ量で。
この量はと呼ばれます 。 この概念をさらに詳しく見てみましょう。
等差数列の違い。
等差数列の違い任意の累進数の量です。 もっと前回のもの。
1つ 大事なポイント。 という言葉に注目してください "もっと"。数学的には、これは各数列数が次のとおりであることを意味します。 追加することで前の数値との等差数列の差。
計算するには、次のようにします。 2番シリーズの番号を指定する必要があります。 初め番号 追加まさにこの等差数列の違いです。 計算用 5番目- 違いは必要です 追加に 第4、まあ、など
等差数列の違い多分 ポジティブ、そうすれば、シリーズの各数字は実数であることがわかります 前作よりも。この進行はと呼ばれます 増加しています。例えば：
8; 13; 18; 23; 28; .....
ここで各数値が得られます 追加することで正の数、前の数値に +5。
違いは次のとおりです。 ネガティブ、この場合、系列内の各数値は次のようになります。 前回よりも少ないです。この進行は (信じられないでしょう!) と呼ばれます。 減少しています。
例えば：
8; 3; -2; -7; -12; .....
ここでも各数値を取得します 追加することで前の値に戻りますが、すでに負の数 -5 になっています。
ちなみに、進行状況を扱う場合、その性質、つまり増加しているのか減少しているのかを即座に判断するのは非常に便利です。 これは、決断を下し、手遅れになる前に間違いを見つけて修正するのに非常に役立ちます。
等差数列の違い通常は文字で表されます d.
見つけ方 d? とてもシンプルです。 系列内の任意の数値から減算する必要があります 前の番号。 引き算します。 ちなみに引き算した結果を「差分」といいます。）
たとえば、次のように定義してみましょう。 d等差数列を増やす場合:
2, 5, 8, 11, 14, ...
たとえば 11 など、系列内の任意の数値を取得します。そこから減算します。 前の番号それらの。 8:
これが正解です。 この等差数列では、その差は 3 です。
あなたはそれを取ることができます 任意の進行番号、なぜなら 特定の進行のために d-いつも同じ。少なくとも行の先頭のどこか、少なくとも真ん中、少なくともどこか。 一番最初の番号だけを取得することはできません。 単純に最初の数字だから 以前のものはありません。)
ちなみに、それを知ると、 d=3, この数列の 7 番目の数字を見つけるのは非常に簡単です。 5 番目の数字に 3 を足してみましょう - 6 番目の数字が得られ、それは 17 になります。 6 番目の数字に 3 を足すと、7 番目の数字 - 20 が得られます。
定義しましょう d降順等差数列の場合:
8; 3; -2; -7; -12; .....
兆候に関係なく、決定する必要があることを思い出してください。 d何からでも必要です 前のを取り除きます。任意のプログレッション番号 (-7 など) を選択します。 彼の以前の番号は -2 です。 それから：
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
等差数列の差は、整数、分数、無理数など、任意の数にすることができます。
その他の用語および指定。
系列の各番号は次のように呼ばれます。 等差数列のメンバー。
進行の各メンバー 独自の番号を持っています。数字は厳密に順序どおりに並べられており、トリックはありません。 1 番目、2 番目、3 番目、4 番目など。 たとえば、数列 2、5、8、11、14、... では、2 が最初の項、5 が 2 番目の項、11 が 4 番目の項です、まあ、わかります...) はっきりと理解してください - 数字そのもの全体、分数、負など何でも構いませんが、 数字の番号付け- 厳密に順序通りに！
進行状況の書き方 一般的な見解? 問題ない！ 一連の数字はそれぞれ文字として書かれます。 等差数列を表すには、通常、文字が使用されます。 ある。 会員番号は右下のインデックスで表示されます。 次のように用語をカンマ (またはセミコロン) で区切って記述します。
1、2、3、4、5、....
1- これは最初の数字です、 3- 3番目など 何も派手なことはありません。 このシリーズは次のように簡単に書くことができます。 (a n).
進歩が起こる 有限と無限。
究極のプログレッションにはメンバーの数が限られています。 5人でも38人でも何でもいい。 しかし、それは有限な数です。
無限進行 - ご想像のとおり、メンバーの数は無限です。)
次のような一連のすべての用語と最後にドットを使用して、最終的な進行を書くことができます。
1、2、3、4、5。
または、メンバーが多い場合は次のようになります。
1、2、... 14、15。
短いエントリでは、メンバーの数を追加で指定する必要があります。 たとえば (20 人のメンバーの場合)、次のようになります。
(a n)、n = 20
このレッスンの例のように、無限進行は行の最後にある省略記号によって認識できます。
これでタスクを解決できるようになりました。 タスクは単純で、純粋に等差数列の意味を理解するためのものです。
等差数列に関するタスクの例。
上記のタスクを詳しく見てみましょう。
1. a 2 = 5、d = -2.5 の場合、等差数列 (a n) の最初の 6 項を書き出します。
私たちはタスクをわかりやすい言語に翻訳します。 無限等差数列が与えられます。 この数列の 2 番目の数は既知です。 a 2 = 5。進行の違いは次のとおりです。 d = -2.5。この数列の第 1 項、第 3 項、第 4 項、第 5 項、および第 6 項を見つける必要があります。
わかりやすくするために、問題の条件に応じてシリーズを書き留めます。 最初の 6 つの項 (2 番目の項は 5 つ):
1、5、3、4、5、6、...
3 = 2 + d
式に代入する a 2 = 5そして d = -2.5。 マイナスも忘れずに！
3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
第 3 期は第 2 期より短いことが判明した。 すべてが論理的です。 数値が前の数値より大きい場合 ネガティブこれは、数値自体が前の数値よりも小さくなるということを意味します。 進行度は減少しています。 さて、それを考慮に入れてみましょう。) シリーズの 4 番目の項を数えます。
4 = 3 + d
4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
5 = 4 + d
5=0+(-2,5)= - 2,5
6 = 5 + d
6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
そこで、第 3 項から第 6 項までを計算しました。 結果は次のシリーズになります。
1、5、2.5、0、-2.5、-5、...
最初の項を見つけることが残っています 1有名な第二の話によると。 これは反対方向、つまり左へのステップです。) つまり、等差数列の違いは次のとおりです。 dに追加すべきではありません 2、A 取り除く：
1 = 2 - d
1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
それでおしまい。 課題の答え:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
ついでに、このタスクを解決したことを記しておきます。 再発する方法。 この恐ろしい言葉は、進行中のメンバーを探すことだけを意味します 前の（隣接する）番号に応じて。以下では、進行を処理する他の方法を見ていきます。
この単純なタスクから 1 つの重要な結論を導き出すことができます。
覚えて：
少なくとも 1 つの項と等差数列の違いがわかっていれば、この数列の任意の項を見つけることができます。
覚えていますか？ この単純な結論により、このトピックに関する学校のコースの問題のほとんどを解決できます。 すべてのタスクは次のことを中心に展開します メインの3つパラメーター： 等差数列のメンバー、数列の差、数列のメンバーの数。全て。
もちろん、それまでの代数がすべてキャンセルされるわけではありません。） 不等式、方程式、その他のものは数列に付加されます。 しかし 進行そのものに従って- すべては 3 つのパラメータを中心に展開します。
例として、このトピックに関する人気のあるタスクをいくつか見てみましょう。
2. n=5、d = 0.4、および a 1 = 3.6 の場合、有限等差数列を級数として書きます。
ここではすべてがシンプルです。 すべてはすでに与えられています。 等差数列のメンバーがどのように数えられるかを覚えて、数えて、書き留める必要があります。 タスク条件の「最終」と「」という単語を見逃さないことをお勧めします。 n=5"。顔が完全に青くなるまで数えないようにしてください。) この進行にはメンバーが 5 人しかいません:
a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4
4 = 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8
5 = 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2
答えを書き留める必要があります。
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
別のタスク:
3. 数値 7 が等差数列 (a n) のメンバーになるかどうかを判断します。 a 1 = 4.1; d = 1.2。
うーん...誰にも分かりません。 何かをどうやって判断するのでしょうか？
どうやって... 進行状況をシリーズ形式で書き留めて、そこに 7 があるかどうかを確認してください。 数えます：
a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3
a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5
4 = 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
今、私たちがまだ7歳であることがはっきりとわかります すり抜けた 6.5と7.7の間です！ 7 は一連の数字に当てはまらないため、7 は指定された数列のメンバーにはなりません。
答え: いいえ。
そして、これは GIA の実際のバージョンに基づく問題です。
4. 等差数列のいくつかの連続した項が書き出されます。
...; 15; バツ; 9; 6; ...
これは終わりも始まりもなく書かれたシリーズです。 会員番号なしでも違いはありません d。 大丈夫です。 この問題を解くには、等差数列の意味を理解するだけで十分です。 何が可能なのか見てみましょう 知ることこのシリーズから？ 3 つの主なパラメータは何ですか?
会員番号？ ここには単一の数字はありません。
ただし、数字が 3 つあり、注意してください。 - 言葉 "一貫性のある"状態で。 これは、数値が厳密に順序通りであり、隙間がないことを意味します。 この列には2つありますか？ 隣の既知の数字？ はい、あります！ これらは 9 と 6 です。したがって、等差数列の差を計算できます。 6から引く 前の番号、つまり 九：
ほんの些細なことが残っています。 X の前の番号は何になりますか? 15。 これは、X が単純な足し算で簡単に見つかることを意味します。 等差数列の差を 15 に加算します。
それだけです。 答え： x=12
以下の問題を私たち自身で解決します。 注: これらの問題は公式に基づいていません。 純粋に等差数列の意味を理解するためです。) 一連の数字と文字を書き留めて、それを見て理解するだけです。
5. a 5 = -3 の場合、等差数列の最初の正の項を見つけます。 d = 1.1。
6. 数字 5.5 は等差数列 (a n) のメンバーであることが知られています。ここで、a 1 = 1.6。 d = 1.3。 このメンバーの番号 n を決定します。
7. 等差数列では、a 2 = 4 であることが知られています。 a 5 = 15.1。 3 を見つけます。
8. 等差数列のいくつかの連続した項が書き出されます。
...; 15.6; バツ; 3.4; ...
文字 x で示される数列の項を見つけます。
9. 列車は駅から動き始め、毎分 30 メートルずつ速度を均一に上げました。 5分後の電車の速度はいくらになりますか? km/時で答えてください。
10. 等差数列では、a 2 = 5 であることが知られています。 a 6 = -5。 1 を見つける.
回答 (混乱中): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.
すべてうまくいきましたか？ すばらしい！ 等差数列をさらにマスターできます 上級、次のレッスンで説明します。
すべてがうまくいきませんでしたか？ 問題ない。 特別セクション 555 では、これらすべての問題が部分ごとに分解されます。) そしてもちろん、単純な 実践的なテクニック、そのようなタスクの解決策が一目で明確に明確に強調表示されます。
ところで、電車パズルにはつまずきやすい問題が2つあります。 1 つは純粋に進行に関するもので、2 つ目は数学や物理の問題全般に適用されます。 これは、ある次元から別の次元への変換です。 これらの問題をどのように解決すべきかを示します。
このレッスンでは、等差数列とその主なパラメータの基本的な意味を見ていきました。 これで、このトピックに関するほとんどすべての問題を解決できます。 追加 d数字に合わせて、シリーズを書けば、すべてが解決します。
このチュートリアルの例のように、フィンガー ソリューションは行の非常に短い部分に適しています。 シリーズが長くなると、計算はより複雑になります。 たとえば、質問の問題 9 で次のように置き換える場合、 "五分"の上 「35分」問題は大幅に悪化するでしょう。)
また、本質的には単純ですが、計算という点では不合理なタスクもあります。たとえば、次のとおりです。
等差数列 (a n) が与えられます。 a 1 =3 かつ d=1/6 の場合、121 を求めます。
それで、何回も 1/6 を追加するのですか?! 自殺してもいいの!?
できます。) このようなタスクを 1 分で解決できる簡単な公式を知らない場合。 この式は次のレッスンで説明します。 そしてこの問題はそこで解決されます。 すぐに。）
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ちなみに、他にも興味深いサイトがいくつかあります。)
例題を解く練習をして自分のレベルを知ることができます。 即時検証によるテスト。 興味を持って学びましょう!)
関数と導関数について知ることができます。
すべての自然数について n マッチ 実数 あ、ん 、その後、彼らはそれが与えられると言います 数列 :
ある 1 , ある 2 , ある 3 , . . . , あ、ん , . . . .
したがって、数列は自然引数の関数です。
番号 ある 1 呼ばれた 数列の最初の項 、 番号 ある 2 — シーケンスの第 2 項 、 番号 ある 3 — 三番目 等々。 番号 あ、ん 呼ばれた 第n期シーケンス 、および自然数 n — 彼の番号 .
隣り合った2人のメンバーから あ、ん そして あ、ん +1 シーケンスメンバー あ、ん +1 呼ばれた その後 （に向かって あ、ん )、A あ、ん — 前の （に向かって あ、ん +1 ).
シーケンスを定義するには、任意の番号を持つシーケンスのメンバーを検索できるメソッドを指定する必要があります。
多くの場合、シーケンスは次のように指定されます。 n項の公式 つまり、シーケンスのメンバーを番号によって決定できる式です。
例えば、
一連の正の奇数は次の式で与えられます。
あ、ん= 2n- 1,
そして交互のシーケンス 1 そして -1 - 式
b n = (-1)n +1 . ◄
順番が決められる リカレントフォーミュラ, つまり、あるメンバーから始まり、前の (1 つ以上の) メンバーまでのシーケンスの任意のメンバーを表す式です。
例えば、
もし ある 1 = 1 、A あ、ん +1 = あ、ん + 5
ある 1 = 1,
ある 2 = ある 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
ある 3 = ある 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
ある 4 = ある 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
ある 5 = ある 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
もし 1= 1, 2 = 1, あ、ん +2 = あ、ん + あ、ん +1 , この場合、数列の最初の 7 項は次のように確立されます。
1 = 1,
2 = 1,
3 = 1 + 2 = 1 + 1 = 2,
4 = 2 + 3 = 1 + 2 = 3,
5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,
ある 6 = ある 4 + ある 5 = 3 + 5 = 8,
ある 7 = ある 5 + ある 6 = 5 + 8 = 13. ◄
シーケンスは次のとおりです。 最後の そして 無限の .
シーケンスは次のように呼ばれます 究極の 、メンバーの数が有限の場合。 シーケンスは次のように呼ばれます 無限の 、無限に多くのメンバーがいる場合。
例えば、
2 桁の自然数の列:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
最後の。
素数の列:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
無限。 ◄
シーケンスは次のように呼ばれます 増加する 、2 番目から始まる各メンバーが前のメンバーより大きい場合。
シーケンスは次のように呼ばれます 減少する 、2 番目から始まる各メンバーが前のメンバーより小さい場合。
例えば、
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — 増加するシーケンス。
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — 減少するシーケンス。 ◄
数が増えても要素が減らない、あるいは逆に要素が増えない数列を数列といいます。 単調なシーケンス .
単調シーケンスは特に、増加シーケンスと減少シーケンスです。
等差数列
等差数列 は、2 番目から始まる各メンバーが前のメンバーと等しく、それに同じ番号が追加されるシーケンスです。
ある 1 , ある 2 , ある 3 , . . . , あ、ん, . . .
ある場合は等差数列です 自然数 n 条件が満たされています:
あ、ん +1 = あ、ん + d,
どこ d - 特定の数。
したがって、特定の等差数列の後続の項と前の項の差は常に一定です。
2 - ある 1 = 3 - ある 2 = . . . = あ、ん +1 - あ、ん = d.
番号 d 呼ばれた 等差数列の違い.
等差数列を定義するには、その最初の項と差を示すだけで十分です。
例えば、
もし ある 1 = 3, d = 4 、次に、次のようにシーケンスの最初の 5 つの項を見つけます。
1 =3,
2 = 1 + d = 3 + 4 = 7,
3 = 2 + d= 7 + 4 = 11,
4 = 3 + d= 11 + 4 = 15,
ある 5 = ある 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄
第 1 項の等差数列の場合 ある 1 そしてその違い d 彼女 n
あ、ん = 1 + (n- 1)d.
例えば、
等差数列の 30 番目の項を見つけます
1, 4, 7, 10, . . .
1 =1, d = 3,
30 = 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄
n-1 = 1 + (n- 2)d、
あ、ん= 1 + (n- 1)d、
あ、ん +1 = ある 1 + nd,
それから明らかに
| あ、ん=
| n-1 + n+1
|
| 2
|
2 番目から始まる等差数列の各メンバーは、前後のメンバーの算術平均に等しくなります。
数値 a、b、c は、そのうちの 1 つが他の 2 つの算術平均に等しい場合にのみ、ある等差数列の連続した項になります。
例えば、
あ、ん = 2n- 7 、等差数列です。
上記の文を使ってみましょう。 我々は持っています：
あ、ん = 2n- 7,
n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,
n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.
したがって、
| n+1 + n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = あ、ん,
|
| 2
| 2
|
◄
ご了承ください n 等差数列の第 項は、次の方法だけで見つけることができます。 ある 1 、しかしそれ以前のものも ああ
あ、ん = ああ + (n- k)d.
例えば、
のために ある 5 書き留めることができます
5 = 1 + 4d,
5 = 2 + 3d,
5 = 3 + 2d,
5 = 4 + d. ◄
あ、ん = N-K + K D,
あ、ん = n+k - K D,
それから明らかに
| あ、ん=
| ある n-k
+a n+k
|
| 2
|
等差数列の 2 番目から始まる要素は、その等差数列から等間隔にある要素の合計の半分に等しくなります。
さらに、あらゆる等差数列に対して次の等式が成り立ちます。
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l。
例えば、
等差数列で
1) ある 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ある 9 + ある 11 )/2;
2) 28 = 10 = 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, なぜなら
2 + 12= 4 + 34 = 38,
5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄
Sn= a 1 + a 2 + a 3 + 。 。 。+ あ、ん,
初め n 等差数列の項は、極値項の合計の半分と項の数の積に等しくなります。
ここから特に、条件を合計する必要がある場合は、次のようになります。
ああ, ああ +1 , . . . , あ、ん,
この場合、前の式はその構造を保持します。
例えば、
等差数列で 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
等差数列が与えられると、量は ある 1 , あ、ん, d, nそしてS n 2 つの式で結び付けられます。
したがって、もし 3つの意味これらの量のうちの 1 つが与えられると、他の 2 つの量の対応する値がこれらの式から決定され、2 つの未知数を含む 2 つの方程式系に結合されます。
等差数列は単調数列です。 ここで:
- もし d > 0 、その後は増加しています。
- もし d < 0 、その後は減少しています。
- もし d = 0 、その後、シーケンスは静止します。
幾何級数
幾何級数 は、2 番目から始まる各メンバーが、前のメンバーに同じ数値を乗算したものと等しいシーケンスです。
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , bn, . . .
任意の自然数の場合は等比数列です n 条件が満たされています:
bn +1 = bn · q,
どこ q ≠ 0 - 特定の数。
したがって、与えられた等比数列の後続の項の前の項に対する比率は定数になります。
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = bn +1 / bn = q.
番号 q 呼ばれた 等比数列の分母.
等比数列を定義するには、その最初の項と分母を指定するだけで十分です。
例えば、
もし b 1 = 1, q = -3 、次に、次のようにシーケンスの最初の 5 つの項を見つけます。
b1 = 1,
b2 = b1 · q = 1 · (-3) = -3,
b3 = b2 · q= -3 · (-3) = 9,
b4 = b3 · q= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 と分母 q 彼女 n 番目の項は次の式を使用して求めることができます。
bn = b 1 · qn -1 .
例えば、
等比数列の第 7 項を見つける 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, q = 2,
b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
bn-1 = b1 · qn -2 ,
bn = b1 · qn -1 ,
bn +1 = b 1 · qn,
それから明らかに
bn 2 = bn -1 · bn +1 ,
等比数列の各要素は、2 番目から始まり、前後の要素の幾何平均 (比例) に等しくなります。
逆もまた真であるため、次のステートメントが成り立ちます。
数値 a、b、c は、そのうちの 1 つの二乗が他の 2 つの積と等しい場合、つまり数値の 1 つが他の 2 つの幾何平均である場合に限り、ある等比数列の連続した項になります。
例えば、
式で与えられる数列が次のとおりであることを証明しましょう。 bn= -3 · 2 n 、等比数列です。 上記の文を使ってみましょう。 我々は持っています：
bn= -3 · 2 n,
bn -1 = -3 · 2 n -1 ,
bn +1 = -3 · 2 n +1 .
したがって、
bn 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 )・(-3・2 n +1 ) = bn -1 · bn +1 ,
これは望ましいステートメントを証明します。 ◄
ご了承ください n 等比数列の第 3 項は、 b 1 、ただし以前のメンバーも同様 bk 、これには次の式を使用するだけで十分です。
bn = bk · qn - k.
例えば、
のために b 5 書き留めることができます
b5 = b1 · q 4 ,
b5 = b2 · 第3問,
b5 = b3 · q2,
b5 = b4 · q. ◄
bn = bk · qn - k,
bn = bn - k · q k,
それから明らかに
bn 2 = bn - k· bn + k
2 番目から始まる等比数列の項の 2 乗は、その数列から等距離にある項の積に等しくなります。
さらに、どの等比数列でも等式が成り立ちます。
bm· bn= bk· ｂｌ,
メートル+ n= k+ 私.
例えば、
等比数列で
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , なぜなら
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
Sn= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + bn
初め n 分母を持つ等比数列のメンバー q ≠ 0 次の式で計算されます。
そしていつ q = 1 - 式によると
Sn= 注意 1
項を合計する必要がある場合は、
bk, bk +1 , . . . , bn,
次に、次の式が使用されます。
| Sn- S k -1 = bk + bk +1 + . . . + bn = bk · | 1 - qn -
k +1
| . |
| 1 - q
|
例えば、
等比数列で 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
与えられた場合 等比数列、次に数量 b 1 , bn, q, nそして Sn 2 つの式で結び付けられます。
したがって、これらの量のいずれか 3 つの値が指定されている場合、他の 2 つの量の対応する値はこれらの式から決定され、2 つの未知数を含む 2 つの方程式系に結合されます。
第一項との等比数列の場合 b 1 と分母 q 次のことが起こります 単調性の性質 :
- 次の条件のいずれかが満たされると、進行度が増加します。
b 1 > 0 そして q> 1;
b 1 < 0 そして 0 < q< 1;
- 次の条件のいずれかが満たされると、進行度は減少します。
b 1 > 0 そして 0 < q< 1;
b 1 < 0 そして q> 1.
もし q< 0 の場合、等比数列は交互になります。奇数の項は最初の項と同じ符号を持ち、偶数の項は反対の符号を持ちます。 交互等比数列が単調ではないことは明らかです。
最初の製品 n 等比数列のメンバーは、次の式を使用して計算できます。
Pn= b1 · b2 · b3 · . . . · bn = (b1 · bn) n / 2 .
例えば、
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
無限減少等比数列
無限減少等比数列 分母の係数が小さい無限等比数列と呼ばれます 1 、 あれは
|q| < 1 .
無限に減少する等比数列は減少数列ではない可能性があることに注意してください。 シーンにぴったりです
1 < q< 0 .
このような分母を使用すると、シーケンスは交互になります。 例えば、
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
無限に減少する等比数列の合計 最初の値の合計が無制限に近づく数に名前を付けます n 無制限に数が増加する進行のメンバー n 。 この数は常に有限であり、次の式で表されます。
| S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b 1
| . |
| 1 - q
|
例えば、
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
等差数列と等比数列の関係
等差数列と等比数列は密接に関係しています。 2 つだけ例を見てみましょう。
ある 1 , ある 2 , ある 3 , . . . d 、 それ
b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . bd .
例えば、
1, 3, 5, . . . - 差のある等差数列 2 そして
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - 分母付き等比数列 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . - 分母付き等比数列 q 、 それ
ログ a b 1, ログ a b 2, ログ a b 3, . . . - 差のある等差数列 ログを記録するq .
例えば、
2, 12, 72, . . . - 分母付き等比数列 6 そして
LG 2, LG 12, LG 72, . . . - 差のある等差数列 LG 6 . ◄
説明書
等差数列は、a1、a1+d、a1+2d...、a1+(n-1)d の形式のシーケンスです。 数値 d ステップ 進行.算術の任意の n 番目の項の一般は明らかです。 進行の形式は次のとおりです: An = A1+(n-1)d。 そこでメンバーの一人を知ると、 進行、メンバー 進行そしてステップ 進行、つまり、進行メンバーの番号を指定できます。 当然のことながら、n = (An-A1+d)/d という式で求められます。
m番目の項を知ってみましょう 進行そしてもう一人のメンバー 進行- n 番目ですが、前のケースと同様に n ですが、n と m は一致しないことがわかっています。 進行 d = (An-Am)/(n-m) という式を使用して計算できます。 すると、n = (An-Am+md)/dとなります。
算術方程式のいくつかの要素の合計がわかっている場合 進行、最初と最後だけでなく、これらの要素の数も算術の合計を決定できます。 進行 S = ((A1+An)/2)n と等しくなります。 次に、 n = 2S/(A1+An) - chdenov 進行。 An = A1+(n-1)d という事実を利用すると、この式は n = 2S/(2A1+(n-1)d) のように書き換えることができます。 これから解くことで n を表すことができます。 二次方程式.
等差数列は、順序付けられた数値のセットであり、最初のメンバーを除く各メンバーは、前のメンバーと同じ量だけ異なります。 この一定値は数列の差またはそのステップと呼ばれ、等差数列の既知の項から計算できます。
説明書
最初と 2 番目、または他の隣接する項のペアの値が問題の条件からわかっている場合、差 (d) を計算するには、単純に後続の項から前の項を減算します。 結果の値は正または負の数値のいずれかになります。これは、進行状況が増加しているかどうかによって異なります。 で 一般的な形式数列の隣接する項の任意に選択したペア (aᵢ と aᵢ₊₁) の解を次のように記述します: d = aᵢ₊₁ - aᵢ。
このような数列の 1 対の項 (一方は最初の項 (a1)、もう一方は任意に選択された他の項) について、差 (d) を求める公式を作成することも可能です。 ただし、この場合、シーケンスの任意に選択されたメンバーのシリアル番号 (i) がわかっている必要があります。 差を計算するには、両方の数値を加算し、その結果を任意の項の序数から 1 を引いた値で割ります。 一般に、この式は次のように書きます: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1)。
序数 i の等差数列の任意のメンバーに加えて、順序番号 u の別のメンバーが既知の場合は、それに応じて前のステップの式を変更します。 この場合、数列の差 (d) は、これら 2 つの項の合計をそれらの序数の差で割ったものになります: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v)。
問題条件がその最初の項の値 (a₁) と等差数列の最初の項の指定された数 (i) の合計 (Sᵢ) を与える場合、差 (d) を計算する式は多少複雑になります。 目的の値を取得するには、合計をそれを構成する項の数で割り、シーケンス内の最初の数値の値を減算し、結果を 2 倍にします。 結果の値を、1 減算した合計を構成する項の数で割ります。 一般に、判別式を計算する式は次のように記述します: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1)。
等差数列一連の数字 (数列の用語) に名前を付ける
後続の各用語は、新しい用語によって前の用語と異なります。これは、新しい用語とも呼ばれます。 ステップまたは進行の違い.
したがって、進行ステップとその最初の項を指定すると、次の式を使用してその要素を見つけることができます。
等差数列の性質
1) 2 番目の数値から始まる等差数列の各メンバーは、数列の前と次のメンバーの算術平均です。
逆もまた真です。 数列の隣接する奇数 (偶数) 項の算術平均がそれらの間にある項と等しい場合、この数列は等差数列です。 このステートメントを使用すると、シーケンスを非常に簡単に確認できます。
また、等差数列の性質により、上記の式は次のように一般化できます。
等号の右側に用語を書くと、これを簡単に確認できます。
実際には、問題の計算を簡素化するためによく使用されます。
2) 等差数列の最初の n 項の合計は、次の式を使用して計算されます。
等差数列の和の公式をよく覚えておいてください。これは計算に不可欠であり、単純な生活の場面でもよく使われます。
3) 全体の和ではなく、k 番目の項から始まる数列の一部を求める必要がある場合は、次の和の公式が役に立ちます。
4) 実際に興味深いのは、k 番目の数から始まる等差数列の n 項の合計を求めることです。 これを行うには、次の式を使用します
これで理論的な内容は終了し、実際の一般的な問題の解決に進みます。
例 1. 等差数列 4;7;... の 40 番目の項を見つけます。
解決：
弊社の状況に応じて
進行ステップを決めよう
よく知られた公式を使用して、数列の第 40 項を求めます。
例2。 等差数列は、その第 3 項と第 7 項によって与えられます。 数列の最初の項と 10 の合計を求めます。
解決：
数式を使用して進行の指定された要素を書き留めてみましょう
2 番目の方程式から最初の式を減算し、その結果進行ステップを求めます。
見つかった値をいずれかの式に代入して、等差数列の最初の項を見つけます。
数列の最初の 10 項の合計を計算します
申請せずに 複雑な計算必要な数量がすべて見つかりました。
例 3. 等差数列は、分母とその項の 1 つによって与えられます。 数列の最初の項、50 から始まる 50 項の合計、および最初の 100 の合計を求めます。
解決：
数列の 100 番目の要素の式を書き留めてみましょう
そして最初のものを見つけてください
最初の項に基づいて、数列の 50 番目の項を見つけます。
進行部分の合計を求める
そして最初の100の合計
進行量は250です。
例4.
次の場合に等差数列の項の数を求めます。
a3-a1=8、a2+a4=14、Sn=111。
解決：
初項と累進ステップで方程式を書いて求めてみましょう
得られた値を合計の式に代入して、合計の項の数を決定します
簡素化を行っております
そして二次方程式を解きます
見つかった 2 つの値のうち、問題の条件に適合するのは数値 8 だけです。 したがって、数列の最初の 8 項の合計は 111 になります。
例5.
方程式を解く
1+3+5+...+x=307。
解決策: この方程式は等差数列の合計です。 最初の項を書き出して、進行の違いを見つけてみましょう
