三角形とは、3 つの辺を持つ多角形、または 3 つのリンクを持つ閉じた破線、または同じ直線上にない 3 つの点を接続する 3 つの線分によって形成される図形です (図 1 を参照)。
必須の要素 三角ABC
ピークス – ポイント A、B、C。
パーティー – 頂点を接続するセグメント a = BC、b = AC、および c = AB。
角度 – 3 対の辺によって形成される α、β、γ。 角度は多くの場合、頂点と同じように文字 A、B、C で指定されます。
三角形の辺によって形成され、その内部領域にある角は内角と呼ばれ、それに隣接する角は三角形の隣接角です (2、p. 534)。
三角形の高さ、中央線、二等分線、中線
三角形の主要な要素に加えて、高さ、中央値、二等分線、正中線など、興味深い特性を持つ他のセグメントも考慮されます。
身長
三角形の高さ- これらは、三角形の頂点から反対側に下ろした垂線です。
高さをプロットするには、次の手順を実行する必要があります。
1) 三角形の辺の 1 つを含む直線を描きます (高さが鈍角三角形の鋭角の頂点から描かれている場合)。
2) 描いた線の反対側にある頂点から、点からこの線まで90度の角度をなす線分を描きます。
高度が三角形の辺と交差する点をと呼びます。 高さベース (図2を参照)。
三角形の高度の性質
直角三角形の場合、頂点から引いた高度 直角、元の三角形と同様の 2 つの三角形に分割します。
鋭角三角形では、その 2 つの高度によって類似の三角形が切り離されます。
三角形が鋭角の場合、高度の底辺はすべて三角形の辺に属し、鈍角三角形では、2 つの高度が辺の延長線上にあります。
鋭角三角形の 3 つの高度が 1 点で交差し、この点を オルソセンター 三角形。
中央値
中央値（ラテン語の mediana から – 「中間」） - これらは、三角形の頂点と反対側の中点を接続するセグメントです（図 3 を参照）。
中央値を作成するには、次の手順を実行する必要があります。
1) 辺の中央を見つけます。
2) 三角形の辺の中点と反対側の頂点を線分で結びます。
三角形の中央値の性質
中央値は、三角形を等しい面積の 2 つの三角形に分割します。
三角形の中線は 1 点で交差し、頂点から数えて 2:1 の比率でそれぞれを分割します。 この点はと呼ばれます 重心 三角形。
三角形全体は、中央値によって 6 つの等しい三角形に分割されます。
二等分線
二等分線（ラテン語の bis（2 回）と seko（カット）から）は、三角形の角を二等分する三角形の内側に囲まれた直線セグメントです（図 4 を参照）。
二等分線を作成するには、次の手順を実行する必要があります。
1) 角の頂点から出て、それを 2 つの等しい部分 (角の二等分線) に分割する光線を作成します。
2) 三角形の角の二等分線と反対側の辺との交点を見つけます。
3) 三角形の頂点と反対側の交点を結ぶ線分を選択します。
三角形の二等分線の性質
三角形の角の二等分線は、反対側を次の比率で割ります。 比率に等しい隣接する 2 つの側面。
三角形の内角の二等分線は 1 点で交差します。 この点を内接円の中心といいます。
内角と外角の二等分線は垂直です。
三角形の外角の二等分線が反対側の辺の延長線と交差する場合、ADBD=ACBC となります。
1 つの内部二等分線と 2 つの内部二等分線 外側のコーナー三角形は一点で交差します。 この点は 3 つのうちの 1 つの中心です 丸で囲むこの三角形。
外角の二等分線が三角形の反対側と平行でない場合、三角形の 2 つの内角と 1 つの外角の二等分線の底辺は同じ直線上にあります。
三角形の外角の二等分線が反対側の辺に平行でない場合、それらの底辺は同じ直線上にあります。
ソロキナ・ヴィカ
三角形の二等分線の性質の証明が与えられ、問題解決への理論の適用が検討されます。
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プレビュー:
オクチャブリスキー地区自治体自治区サラトフ行政教育委員会 教育機関ライセウム No. 3 にちなんで名付けられました。 A.S.プーシキン。
地方自治体の科学的実践的
会議
"最初のステップ"
主題： 二等分線とそのプロパティ。
完成した作品: 8 年生
ソロキナ・ヴィクトリア科学指導者：最高カテゴリーの数学教師ポポワ・ニーナ・フェドロヴナ。
サラトフ 2011
- タイトルページ………………………………………………………………1
- 目次…………………………………………………………2
- 概要と目的…………………………………………………………………… ..3
- 二等分線の性質の考慮
- 3 番目の点の軌跡…………………………………….3
- 定理1………………………………………………………………4
- 定理2………………………………………………………………4
- 三角形の二等分線の主な性質:
- 定理 3……………………………………………………………………4
- タスク 1……………………………………………………………………………….7
- タスク 2……………………………………………………………….8
- タスク 3…………………………………………………………………………9
- タスク 4……………………………………………………………….9-10
- 定理4………………………………………………………………10-11
- 二等分線を求める公式:
- 定理 5………………………………………………………….11
- 定理 6………………………………………………………….11
- 定理 7………………………………………………………….12
- タスク 5………………………………………………………………12-13
- 定理 8………………………………………………………….13
- タスク 6……………………………………………………………….14
- タスク 7……………………………………………………………………14-15
- 二等分線を使用した基本方向の決定……………………15
- 結論と結論…………………………………………………………..15
- 参考文献リスト…………………………………………..16
二等分線
幾何学の授業で相似三角形について勉強していたとき、二等分線と対辺の関係に関する定理の問題に遭遇しました。 二等分線のトピックには何か興味深いものがありそうな気がしますが、私はこのトピックに興味があり、さらに深く研究したいと思いました。 結局のところ、二等分線には、さまざまな問題の解決に役立つ驚くべき特性が非常に豊富にあります。
このトピックを検討すると、幾何学の教科書には二等分線の性質についてほとんど記載されていないことがわかりますが、試験では二等分線を知っていれば、問題をより簡単かつ迅速に解くことができます。 さらに、国家試験と統一国家試験に合格するには、現代の学生は自分で勉強する必要があります。 追加資料学校のカリキュラムに。 だからこそ、私は二等分線のトピックをより詳細に研究することにしました。
二等分線（ラテン語の bi-「二重」と sectiono から） 角度の「切断」) は、角度の頂点から始まり、角度を 2 つの等しい部分に分割する光線です。 角の二等分線（およびその延長線）は、角の辺（またはその延長線）から等距離にある点の軌跡です。)
点の 3 番目の軌跡
図F 何らかの性質を持つ点の軌跡（点の集合）ですあ、 2 つの条件が満たされる場合:
- 点が図形に属しているという事実から F、 それはプロパティを持っているということになります A;
- 点が性質を満たすという事実からあ、 それは図に属するということになります F.
幾何学で考慮される最初の点の軌跡は円、つまり円です。 1 つの固定点から等距離にある点の軌跡。 2 番目はセグメントの垂直二等分線、つまり セグメントの端から等距離にある点の軌跡。 そして最後に、3 番目の二等分線は、角の辺から等距離にある点の幾何学的軌跡です。
定理 1:
二等分点は辺から等距離にあります彼は隅っこです。
証拠：
R にしてみましょう - 二等分点 A. 要点から落としましょうP 垂線 RVと コーナーの側面にあるPC。 すると、VAR = SAR 斜辺と鋭角による。 したがって、PB = PC
定理 2:
点 P が角 A の辺から等距離にある場合、点 P は二等分線上にあります。.
証明: PB = PC => VAR = CAP => BAP= CAP => AR は二等分線です。
基本的な幾何学的事実の中には、二等分線が反対側を反対側に関連して分割するという定理があります。 この事実は長い間影の中にありましたが、二等分線に関するこの事実やその他の事実を知っていれば、解決がはるかに簡単になる問題がいたるところにあります。 私は興味を持ち、この二等分線の性質をさらに深く調査することにしました。
三角形の角の二等分線の主な性質
定理3. 二等分線は、隣接する辺に対して三角形の反対側の辺を分割します。.
証拠1:
与えられた: AL - 三角形ABCの二等分線
証明する：
証明: F を 線の交点アル そしてその点を通る直線で AC側と平行。
したがって、BFA = FAC = BAF となります。 したがって、B.A.F. 二等辺三角形と AB = BF。 三角形の相似から ALCとFLBを保有しています
比率
どこ
証拠2
直線ALと底辺ABに平行な点Cを通る直線との交点をFとする。 その後、推論を繰り返すことができます。
証拠3
K と M を直線上に下ろした垂線の底辺とします。 AL 地点 B および C から それぞれ。 三角形 ABL と ACL は 2 つの角度で相似です。 それが理由です
。 そして、BKL と CML の類似性から、次のことがわかります。
ここから
証明4
エリア法を使ってみましょう。 三角形の面積を計算してみましょう ABLとACL ふたつのやり方。
ここから。
証拠5
α= あなた、φ= とします。 BLA。 三角形ABLの正弦定理による
そして三角ACLでは.
なぜなら 、
次に、等式の両辺をもう一方の対応する部分に分割すると、次のようになります。.
問題 1
与えられる: 三角形 ABC では、VC は二等分線、BC = 2、KS = 1、
解決：
問題 2
与えられる:
二等分線を見つける 鋭い角脚 24 と 18 を持つ直角三角形
解決：
AC 側 = 18、BC 側 = 24 とすると、
午前。 - 三角形の二等分線。
私たちが見つけたピタゴラスの定理を使用すると、
AB = 30 です。
それ以来
同様に 2 番目の二等分線を求めてみましょう。
答え：
問題 3
直角三角形で ABCと直角B 角の二等分線あ 横を横切る紀元前
D点にて。 BD = 4、DC = 6 であることが知られています。
三角形の面積を求めます ADC
解決：
三角形の二等分線の性質により
AB = 2 x、AC = 3 x と表します。 定理による
ピタゴラス BC 2 + AB 2 = AC 2、または 100 + 4 x 2 = 9 x 2
ここから次のことが分かります x = 次に AB = 、S ABC=
したがって、
問題4
与えられる:
二等辺三角形で ABC 側 AB 10 を底とする ACは12です。
角の二等分線 AとC 点で交差する D. BDを探します。
解決：
三角形の二等分線は次の点で交わるので、
1 点の場合、BD は B の二等分線になります。 BDを続けましょう との交差点へ点MのAC。 このとき、M は AC、BM AC の中点です。 それが理由です
CDだから - 三角形の二等分線 BMCの場合
したがって、。
答え：
定理4. 三角形の 3 つの二等分線は 1 点で交差します。
実際、最初に 2 つの二等分線、たとえば AK の交点 P を考えてみましょう。 1とVK2 。 この点は二等分線上にあるため、辺 AB および AC から等距離にあります。A であり、二等分線に属するため、辺 AB および BC から等距離にあります。B. これは、辺 AC と辺 BC から等距離にあるため、第 3 の二等分線 SC に属することを意味します。 3 つまり、点 P では 3 つの二等分線がすべて交差します。
二等分線を求める公式
定理5: (二等分線の最初の公式): 三角形 ABC の場合、線分 AL は二等分線です。 A、すると、AL² = AB・AC - LB・LC。
証拠： 線 AL と三角形 ABC に外接する円との交点を M とします (図 41)。 角度 BAM は条件により角度 MAC と等しくなります。 角度 BMA と BCA は、同じ弦によって定められる内接角として等しい。 これは、三角形 BAM と LAC が 2 つの角度で相似であることを意味します。 したがって、AL:AC = AB:AM となります。 これは、AL・AM = AB・AC AL・(AL + LM) = AB・AC AL² = AB・AC - AL・LM = AB・AC - BL・LC を意味します。 Q.E.D.
定理6: 。 (二等分線の 2 番目の式): 辺 AB=a、AC=b、および辺を持つ三角形 ABC においてA が 2α および二等分線 l に等しい場合、次の等式が成り立ちます。
l = (2ab / (a+b)) cosα。
証拠 : ABC を与えられた三角形、AL をその二等分線、a=AB、b=AC、l=AL とします。 それからS ABC = S ALB + S ALC 。 したがって、ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα となります。 定理は証明されました。
定理7: a、b が三角形の辺、Y がそれらの間の角度である場合、はこの角度の二等分線です。 それから.
平均レベル
三角形の二等分線。 詳細な理論例付き (2019)
三角形の二等分線とその性質
セグメントの中点が何か知っていますか? もちろんそうでしょう。 円の中心はどうでしょうか？ 同じ。 角度の中点は何ですか? そんなことは起こらないとも言えます。 しかし、セグメントは半分に分割できるのに、角度は半分に分割できないのはなぜでしょうか? その可能性は十分にあります - 点ではないだけですが…。 ライン。
二等分線とは、角を回って角を半分に分けるネズミのことです。 したがって、二等分線の実際の定義は、次のジョークと非常によく似ています。
三角形の二等分線- これは、この角の頂点と反対側の点を結ぶ三角形の角の二等分線分です。
かつて、古代の天文学者や数学者は、二等分線の多くの興味深い特性を発見しました。 この知識により、人々の生活は大幅に簡素化されました。 建設、距離の計算、大砲の発射の調整さえも簡単になりました...これらの特性の知識は、GIA および統一州試験のタスクを解決するのに役立ちます。
これに役立つ最初の知識は、 二等辺三角形の二等分線。
ところで、これらの用語をすべて覚えていますか? それぞれがどのように違うのか覚えていますか? いいえ？ 怖くない。 今すぐそれを理解しましょう。
それで、 二等辺三角形の底辺- これは他のどの側面にも匹敵しない側面です。 写真を見て、どちら側だと思いますか？ そう、こちら側です。
中央線は、三角形の頂点から引かれ、反対側 (これも同じです) を半分に分割する線です。
「二等辺三角形の中央値」とは言っていないことに注意してください。 なぜなのかご存知ですか？ なぜなら、三角形の頂点から引かれた中央線は、どの三角形でも反対側の辺を二等分するからです。
さて、高さは上から底辺に垂直に引いた線です。 気づきましたか？ ここでも、二等辺三角形だけでなく、任意の三角形について話します。 どの三角形の高さも常に底辺に対して垂直になります。
それで、わかりましたか？ ほとんど。 二等分線、中央値、高さについてさらによく理解し、永遠に覚えておくには、それらを相互に比較し、それらがどのように似ているか、どのように異なるかを理解する必要があります。 同時に、よりよく覚えておくためには、すべてを「人間の言語」で説明する方が良いでしょう。 そうすれば、数学の言語で簡単に操作できるようになりますが、最初はこの言語を理解できないため、すべてを自分の言語で理解する必要があります。
では、それらはどのように似ているのでしょうか? 二等分線、中央線、高度 - それらはすべて三角形の頂点から「出て」、反対側に静止し、出てくる角度または反対側で「何かをします」。 シンプルだと思いますね？
それらはどう違いますか？
- 二等分線は、それが現れる角度を半分に分割します。
- 中央線は反対側を半分に分けます。
- 高さは常に反対側に対して垂直になります。
それでおしまい。 わかりやすいですね。 そして一度理解すれば覚えられるのです。
今 次の問題。 二等辺三角形の場合、二等分線が中央線と高度の両方になるのはなぜですか?
図を見て、中央値が 2 つの完全に等しい三角形に分割されていることを確認するだけです。 それだけです！ しかし、数学者は自分の目を信じたくないのです。 彼らはすべてを証明する必要がある。 怖い言葉？ そんなことはありません - シンプルです! 見てください、どちらも同じ側面を持っており、一般に共通の側面を持っています。 (- 二等分線!) そして、2 つの三角形には 2 つの等しい辺と、それらの間に角度があることがわかります。 三角形の等号の最初の記号を思い出し (覚えていない場合はトピックを参照してください)、それゆえに = and と結論付けます。
これはすでに良好です。つまり、中央値であることが判明したということです。
しかし、それは何でしょうか？
写真を見てみましょう - 。 そして、それができました。 そう！ 最後に、万歳！ そして。
この証明は少し重いと思いましたか? 写真を見てください - 2 つの同一の三角形がそれ自体を物語っています。
いずれにしても、次のことをしっかりと覚えておいてください。
今度はもっと難しくなります: 数えましょう 任意の三角形の二等分線間の角度!心配しないでください、それはそれほど難しいことではありません。 写真を見てください:
数えてみましょう。 あなたはあれを覚えてますか 三角形の角度の合計は?
この驚くべき事実を当てはめてみましょう。
一方では、以下から。
あれは。
では、次のことを見てみましょう。
でも二等分、二等分！
以下について思い出してみましょう。
今、手紙を通して
\angle AOC=90()^\circ +\frac(\angle B)(2)
意外ではありませんか？ それは明らかになった 2 つの角の二等分線間の角度は 3 番目の角のみに依存します!
さて、私たちは 2 つの二等分線を調べました。 3人いたらどうなるの？？？ それらはすべて一点で交差するのでしょうか？
それともこうなりますか？
あなたはどのように思いますか？ そこで数学者たちは考えて考えて証明しました。
それは素晴らしいことではありませんか？
なぜこれが起こるのか知りたいですか?
それで...2つ 直角三角形： そして。 彼らは持っている：
- 一般的な斜辺。
- （二等分線だから！）
これは、角度と斜辺を意味します。 したがって、これらの三角形の対応する脚は等しいです。 あれは。
点が角度の側面から等しく（または等しく）離れていることを証明しました。 ポイント 1 について説明します。 それでは、ポイント 2 に移ります。
なぜ 2 が正しいのでしょうか?
そして点と点を結びましょう。
これは、二等分線上にあることを意味します。
それだけです！
これらすべてを問題を解決するときにどのように適用できるでしょうか? たとえば、問題にはよく次のようなフレーズがあります。「円は角の側面に接しています...」。 そうですね、何かを見つける必要があります。
すると、すぐにそれに気づきます
そして平等を使うことができます。
3. 三角形の 3 つの二等分線が 1 点で交差します
二等分線が角の辺から等距離にある点の軌跡であるという性質から、次のステートメントが得られます。
具体的にはどのように出てくるのでしょうか？ でも見てください、2 つの二等分線は間違いなく交差しますよね?
そして、3 番目の二等分線は次のようになります。
しかし実際には、すべてがはるかに優れています。
2つの二等分線の交点を見てみましょう。 と呼びましょう。
両方ともここで何を使用しましたか？ はい 段落1、 もちろん！ 点が二等分線上にある場合、その点は角度の辺から等距離にあります。
そしてそれは起こりました。
しかし、これら 2 つの等式をよく見てください。 結局のところ、それらから、したがって、 ということがわかります。
そして今、それが登場します ポイント2: 角度の辺までの距離が等しい場合、点は二等分線上にあります...角度は何ですか? もう一度写真を見てください。
と は角度の辺までの距離であり、これらは等しいため、点は角度の二等分上にあります。 3 番目の二等分線も同じ点を通過しました。 3 つの二等分線はすべて 1 点で交差します。 そして追加のプレゼントとして、
半径 内接サークル。
(念のため、別のトピックを参照してください)。
さて、今では決して忘れることはありません:
三角形の二等分線の交点が、その三角形に内接する円の中心になります。
次の物件に行きましょう... わあ、二等分線には物件がたくさんありますね。 これは素晴らしいことです。プロパティが多ければ多いほど、 さらに多くのツール二等分線問題を解くために。
4. 二等分線と平行度、隣接する角の二等分線
二等分線が角度を半分に分割するという事実は、場合によっては完全に予期しない結果につながります。 例えば、
ケース1
すごいですよね？ なぜそうなるのかを理解しましょう。
一方で、二等分線を描きます。
しかしその一方で、交差する角度もあります（テーマを思い出してください）。
そして今、それが判明しました。 真ん中を捨てる: ! -二等辺三角形！
ケース2
三角形を想像してください（または写真を見てください）
その先の面を続けてみましょう。 これで 2 つの角度ができました。
- - 内隅
- ―外角は外側ですよね？
それで、今度は誰かが一度に1つではなく2つの二等分線、つまり賛成と賛成の両方を描きたいと考えました。 何が起こるか？
うまくいくでしょうか？ 長方形！
驚くべきことに、まさにその通りです。
それを理解しましょう。
金額はいくらだと思いますか？
もちろん、結局のところ、それらはすべて一緒になって直線になるような角度を作ります。
ここで、 と が二等分線であることを思い出して、角度の内側に正確に があることを確認してください。 半分 4 つの角度すべての合計から: そして - - つまり、正確に。 方程式として書くこともできます。
信じられないことですが、本当です。
三角形の内角と外角の二等分線間の角度は等しい。
ケース3
ここでは、内隅と外隅のすべてが同じであることがわかりますか?
あるいは、なぜこのようなことが起こるのかもう一度考えてみましょう。
繰り返しになりますが、隣接するコーナーについては、
(平行基底に対応するものとして)。
そしてまた、彼らは仲直りします ちょうど半分合計から
結論：問題に二等分線が含まれている場合 隣接角または二等分線 関連する平行四辺形または台形の角度、そしてこの問題では 確かに直角三角形、または場合によっては長方形全体が関係します。
5. 二等分線と反対側
三角形の角の二等分線は、単に何らかの方法でではなく、特別で非常に興味深い方法で反対側を分割することがわかります。
あれは：
驚くべき事実ですね。
これからこの事実を証明しますが、準備をしてください。以前よりも少し難しくなります。
再び――「宇宙」への出口――追加編成！
まっすぐ行きましょう。
何のために？ それでは見てみましょう。
二等分線を線と交差するまで続けてみましょう。
これは見覚えのある写真ですか？ はい、はい、はい、ポイント 4 のケース 1 とまったく同じです。(- 二等分線)
横向きに寝そべる
それで、それも。
次に、三角形とを見てみましょう。
彼らについて何と言えますか?
それらは似ています。 そうですね、それらの角度は垂直方向の角度と同じです。 それで、2つのコーナーで。
今、私たちは関係者の関係を書く権利を持っています。
そして、短い記法で次のようになります。
おお！ 何かを思い出しますよね？ これが私たちが証明したかったことではないでしょうか？ はい、はい、まさにその通りです！
「船外活動」がいかに素晴らしいものであるかがわかります。追加の直線を構築するということです。それがなければ何も起こらなかったでしょう。 そして、私たちはそれを証明しました
これで安心して使えるようになりました！ 三角形の角の二等分線のもう 1 つの特性を見てみましょう。心配しないでください。最も難しい部分は終わりました。簡単になります。
それはわかります
定理 1:
定理 2:
定理 3:
定理 4:
定理5:
定理6:
三角形の角の二等分線は何ですか? この質問に答えると、よく知られたネズミが角を走り回って角を半分に割ってしまう人がいます。その答えが「ユーモラス」であるならば、おそらくそれは正しいでしょう。 科学的な点観点から見ると、この質問に対する答えは次のように聞こえるはずです。角の頂点から始めて、後者を 2 つの等しい部分に分割します。」幾何学では、この図形は、二等分線と交差する前の部分としても認識されます。三角形の反対側 これは間違った意見ではありませんが、角度の二等分線について、その定義以外に何がわかっているのでしょうか。
他の幾何学的な点の軌跡と同様に、これにも独自の特徴があります。 それらの 1 つ目は、むしろ符号ですらなく、次のように簡単に表現できる定理です。「その反対側を二等分線で 2 つの部分に分割すると、それらの比は大きな三角形の辺です。」
2 番目のプロパティは、すべての角度の二等分線の交点を内心と呼びます。
3 番目の記号: 三角形の内角 1 つと外角 2 つの二等分線が、3 つの内接円のうちの 1 つの中心で交差します。
三角形の角の二等分線の 4 番目の特性は、それぞれが等しい場合、後者は二等辺になるということです。
5 番目の記号も二等辺三角形に関するもので、二等分線による図面での認識の主なガイドラインです。つまり、二等辺三角形では、それは同時に中央値と高度として機能します。
角の二等分線はコンパスと定規を使用して作成できます。
6 番目の規則は、立方体の 2 倍、円の 2 乗、角の 3 等分をこの方法で作成することが不可能であるのと同様に、既存の二等分線のみを使用して三角形を作成することは不可能であると述べています。 厳密に言えば、これらはすべて三角形の角の二等分線の性質です。
前の段落を注意深く読んだ方は、おそらく 1 つのフレーズに興味を持ったでしょう。 「角の三等分って何？」 -おそらく尋ねられるでしょう。 三等分線は二等分線と少し似ていますが、二等分線を描くと角度が二等分され、三等分を作図する場合は3等分されます。 三等分は学校では教えないので、当然、角の二等分は覚えやすいです。 しかし、完全を期すために、それについてもお話しておきます。
すでに述べたように、三等分線はコンパスと定規だけで作成することはできませんが、藤田の法則といくつかの曲線を使用して作成できます。パスカルのカタツムリ、四角形、ニコメデスのコンコイド、円錐曲線、
角の三等分に関する問題は、母斑を使用すると非常に簡単に解決されます。
幾何学には角の三等分線に関する定理があります。 それはモーリーの定理と呼ばれます。 彼女は、中央にある各角の三等分線の交点が頂点になると述べています
大きな三角形の中にある小さな黒い三角形は常に正三角形になります。 この定理は 1904 年にイギリスの科学者フランク・モーリーによって発見されました。
角の分割についてどれだけ学べるかは次のとおりです。角の三等分線と二等分線については、常に詳細な説明が必要です。 しかし、ここでは私がまだ明らかにしていない多くの定義が与えられました：パスカルのカタツムリ、ニコメデスのコンコイドなど。 安心してください。それらについては他にも書きたいことがたくさんあります。
今日はとても簡単なレッスンになります。 1 つのオブジェクト (角の二等分線) だけを考慮し、その最も重要な特性を証明します。これは将来的に非常に役立ちます。
リラックスしないでください。同じ統一州試験または統一州試験で高得点を獲得したい生徒でも、最初のレッスンで二等分線の定義を正確に定式化することさえできない場合があります。
そして、実際に行う代わりに 興味深いタスク、私たちはそんな単純なことに時間を無駄にしています。 ぜひ読んで、見て、取り入れてください:)
まず、少し奇妙な質問ですが、角度とは何ですか? そうです。角度とは、同じ点から発する 2 本の光線にすぎません。 例えば：
角度の例: 鋭角、鈍角、直角 写真からわかるように、角度は鋭角、鈍角、直線などさまざまです。それは今では問題ではありません。 多くの場合、便宜上、各光線に追加の点がマークされ、私たちの前に角度 $AOB$ ($\angle AOB$ と書きます) があると言われます。
キャプテン・オブビアスネスは、光線 $OA$ と $OB$ に加えて、点 $O$ からさらに多くの光線を描画できることを示唆しているようです。 しかし、それらの中には特別なものが1つあります - 彼は二等分者と呼ばれます。
意味。 角度の二等分線は、その角度の頂点から出て角度を二等分する光線です。
上記の角度の場合、二等分線は次のようになります。
鋭角、鈍角、直角の二等分線の例
実際の図面では、特定の光線 (この場合は $OM$ 光線) が元の角度を 2 つの等しい角度に分割することが必ずしも明らかではないため、幾何学では同じ数の円弧で等しい角度をマークするのが通例です (私たちの図面では、これは鋭角の場合は 1 つの円弧、鈍角の場合は 2 つ、直線の場合は 3 つです)。
さて、定義を整理しました。 次に、二等分線がどのような特性を持っているかを理解する必要があります。
角の二等分線の主な性質
実際、二等分線には多くの特性があります。 次のレッスンで必ず見ていきます。 ただし、今すぐ理解する必要があるトリックが 1 つあります。
定理。 角度の二等分線は、指定された角度の辺から等距離にある点の軌跡です。
これは数学的なものをロシア語に翻訳すると、次の 2 つの事実を同時に意味します。
- 特定の角度の二等分上にある点は、この角度の辺から同じ距離にあります。
- 逆も同様です。点が特定の角度の辺から同じ距離にある場合、その点はこの角度の二等分線上にあることが保証されます。
これらのステートメントを証明する前に、1 つの点を明確にしましょう。点から角の辺までの距離とは正確には何と呼ばれるのでしょうか? ここでは、点から線までの距離の古き良き決定が役立ちます。
意味。 点から線までの距離は、指定された点からこの線に引いた垂線の長さです。
たとえば、直線 $l$ と、この直線上にない点 $A$ について考えてみましょう。 $AH$ に垂線を引きます ($H\in l$)。 すると、この垂線の長さが点$A$から直線$l$までの距離になります。
グラフ表示点から線までの距離 角度は単純に 2 本の光線であり、各光線は直線の一部であるため、点から角度の側面までの距離を決定するのは簡単です。 これらは単なる 2 つの垂線です。
点から角の辺までの距離を決定します それだけです！ これで、距離とは何か、二等分線とは何かがわかりました。 したがって、主な性質を証明できます。
約束どおり、証明を 2 つの部分に分割します。
1. 二等分上の点から角の辺までの距離は同じです
頂点 $O$ と二等分線 $OM$ を持つ任意の角度を考えます。
まさにこの点 $M$ が角度の辺から同じ距離にあることを証明しましょう。
証拠。 点$M$から角の辺に垂線を引きましょう。 それらを $M((H)_(1))$ と $M((H)_(2))$ と呼びましょう。
角の辺に垂線を引きます
$\vartriangle OM((H)_(1))$ と $\vartriangle OM((H)_(2))$ という 2 つの直角三角形が得られました。 これらは共通の斜辺 $OM$ と等しい角度を持ちます。
- $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ 条件別 ($OM$ は二等分線であるため);
- $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ 構造によります。
- $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$、 sum 直角三角形の鋭角は常に 90 度です。
その結果、三角形は辺と隣接する 2 つの角が等しくなります (三角形の等しい兆候を参照)。 したがって、特に $M((H)_(2))=M((H)_(1))$、つまり 点 $O$ から角の辺までの距離は実際に等しいです。 質問:)
2. 距離が等しい場合、点は二等分線上にあります。
今では状況が逆転しています。 角度 $O$ が与えられ、この角度の辺から等距離に点 $M$ があるとします。
光線 $OM$ が二等分線であることを証明しましょう。 $\角度 MO((H)_(1))=\角度 MO((H)_(2))$。
証拠。 まず、この光線 $OM$ を描画しましょう。そうしないと証明できるものが何もありません。
コーナー内側に $OM$ ビームを照射
ここでも、$\vartriangle OM((H)_(1))$ と $\vartriangle OM((H)_(2))$ という 2 つの直角三角形が得られます。 次の理由から、明らかにそれらは等しいです。
- 斜辺 $OM$ - 一般;
- 条件による脚 $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ (結局のところ、点 $M$ は角度の辺から等距離にあります);
- 残りの脚も等しいので、 ピタゴラスの定理 $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$ より。
したがって、3 辺の三角形 $\vartriangle OM((H)_(1))$ と $\vartriangle OM((H)_(2))$ になります。 特に、それらの角度は等しい: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$。 これは、$OM$ が二等分線であることを意味します。
証明を終えるために、結果として得られる等しい角度を赤い円弧でマークします。
二等分線は、角度 $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ を 2 つの等しい角度に分割します。
ご覧のとおり、複雑なことは何もありません。 角度の二等分線は、この角度の辺から等距離にある点の軌跡であることが証明されました:)。
用語がほぼ決まったので、次に進みます。 新しいレベル。 次のレッスンでは、二等分線のより複雑なプロパティを見て、それらを適用して実際の問題を解決する方法を学びます。
