今日は別のタイプの問題 6 を見ていきます - 今回は円を使用します。 多くの学生はそれらが好きではなく、難しいと感じています。 そして、そのような問題は解決されるので、完全に無駄です 小学校いくつかの定理を知っていれば。 あるいは、あなたが彼らを知らなければ、彼らはまったく勇気がありません。

主なプロパティについて話す前に、次の定義を思い出してください。

内接角とは、その頂点が円自体上にあり、その側面がこの円上の弦を切り取る角のことです。

中心角は、円の中心に頂点を持つ任意の角度です。 その辺もこの円と交差し、その上に和音を刻みます。

したがって、内接角と中心角の概念は、円とその内部の弦と密接に関係しています。 そして主な声明は次のとおりです。

定理。 中心角は、同じ円弧に基づいて、常に内接角の 2 倍になります。

このステートメントの単純さにもかかわらず、それを使用して解決できる問題 6 のクラス全体が存在します。それ以外は何もありません。

タスク。 円の半径に等しい弦によって定められる鋭角の内接角を見つけます。

AB を検討中のコード、O を円の中心とします。 追加の構造: OA と OB は円の半径です。 我々が得る：

三角形ABOを考えてみましょう。 その中で、AB = OA = OB - すべての辺は円の半径に等しい。 したがって、三角形ABOは正三角形であり、その中のすべての角度は60°です。

M を内接角の頂点とする。 角度 O と M は同じ円弧 AB 上にあるため、内接角度 M は中心角 O の 2 倍小さくなります。 我々は持っています：

M = O: 2 = 60: 2 = 30

タスク。 中心角は、同じ円弧が定める内接角より 36°大きいです。 内接角を求めます。

次の表記法を導入しましょう。

1. AB は円の弦です。
2. 点 O は円の中心なので、角度 AOB が中心角になります。
3. 点 C は内接角 ACB の頂点です。

内接角 ACB を探しているので、それを ACB = x と表します。 このとき、中心角 AOB は x + 36 となります。一方、中心角は内接角の 2 倍になります。 我々は持っています：

AOB = 2 · ACB ;
x + 36 = 2 x ;
x = 36。

そこで、内接角 AOB を見つけました。これは 36° に等しいです。

円は360°の角度です

サブタイトルを読んだ知識のある読者は、おそらく今「うわー！」と言うでしょう。 実際、円と角度を比較することは完全に正しいわけではありません。 私たちが何を言っているのかを理解するには、古典的な三角円を見てください。

この写真は何のためにあるのでしょうか？ しかも、一回転とは 360 度の角度です。 それをたとえば 20 で割ると 等しい部分の場合、それぞれのサイズは 360: 20 = 18 度になります。 これはまさに問題 B8 を解決するために必要なものです。

点 A、B、C は円上にあり、円を 3 つの円弧に分割します。その度数の尺度は 1:3:5 の比率になります。三角形 ABC の大きい方の角度を求めます。

まず、各円弧の度数を求めてみましょう。 小さい方をxとします。 図では、この円弧はABで示されています。 次に、残りの円弧 BC と AC は AB で表すことができます。 円弧 BC = 3x; AC = 5x。 これらの円弧は合計 360 度になります。

AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x = 360;
x = 40。

次に、点 B を含まない大きな円弧 AC を考えます。 この円弧は、対応する中心角 AOC と同様、5x = 5 40 = 200 度です。

角度 ABC は、三角形のすべての角度の中で最大です。 これは、中心角 AOC と同じ円弧によって定められる内接角です。 これは、角度 ABC が AOC の 2 倍小さいことを意味します。 我々は持っています：

ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100

これは、三角形 ABC の大きい方の角度の度数になります。

直角三角形に外接する円

多くの人はこの定理を忘れています。 しかし、一部の B8 問題はそれなしではまったく解決できないため、無駄です。 より正確に言えば、それらは解決されますが、答えにたどり着くよりも眠ってしまうほどの計算量になります。

定理。 外接円の中心 直角三角形、斜辺の真ん中にあります。

この定理から何が導かれるでしょうか?

1. 斜辺の中点は、三角形のすべての頂点から等距離にあります。 これは定理の直接的な結果です。
2. 斜辺に引かれた中央線は、元の三角形を 2 つの二等辺三角形に分割します。 これはまさに問題 B8 を解決するために必要なものです。

三角形 ABC で中央値 CD を描きます。 角度 C は 90°、角度 B は 60°です。 角度 ACD を求めます。

角度Cは90°なので、三角形ABCは直角三角形です。 CD は斜辺に引かれた中央値であることがわかります。 これは、三角形 ADC と BDC が二等辺であることを意味します。

特に、三角 ADC について考えてみましょう。 この場合、AD = CD となります。 しかし、二等辺三角形では、底辺の角度は等しい - 「問題 B8: 三角形の線分と角度」を参照してください。 したがって、必要な角度 ACD = A となります。

したがって、角度 A が何に等しいかを調べる必要があります。 そのためには、元の状態に戻りましょう 三角形ABC。 角度 A = x を示しましょう。 任意の三角形の角度の合計は 180° であるため、次のようになります。

A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x = 30。

もちろん、最後の問題は別の方法で解決できます。 たとえば、三角形 BCD が単なる二等辺ではなく正三角形であることを証明するのは簡単です。 したがって、角度BCDは60度です。 したがって、角度 ACD は 90 − 60 = 30 度です。 ご覧のとおり、さまざまな二等辺三角形を使用できますが、答えは常に同じになります。

説明書

希望の中心角 (θ) に対応する円の半径 (R) と円弧の長さ (L) がわかっている場合は、度とラジアンの両方で計算できます。 合計は式 2*π*R で求められ、度の代わりにラジアンが使用されている場合は、中心角 360°、または 2 つの円周率に相当します。 したがって、比率 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ から計算します。 そこから中心角をラジアンで表します θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R または度 θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π * R) を計算し、結果の式を使用して計算します。

中心角 (θ) を決定する点を結ぶ弦の長さ (m) に基づいて、円の半径 (R) が既知であれば、その値も計算できます。 これを行うには、2 つの半径 と によって形成される三角形を考えます。 これは二等辺三角形であり、誰もが知っていますが、底辺の反対側の角度を見つける必要があります。 半分の正弦 比率に等しいベースの長さ (弦) を側面の長さ (半径) の 2 倍にします。 したがって、計算には逆正弦関数 (arcsine: θ = 2*arcsin(1/2*m/R)) を使用します。

中心角は、回転の分数で指定することも、回転角度から指定することもできます。 たとえば、1 回転の 4 分の 1 に相当する中心角を見つける必要がある場合は、360° を 4 で割ります: θ = 360°/4 = 90°。 同じ値をラジアンで表すと、2*π/4 ≈ 3.14/2 ≈ 1.57 となります。 展開角度は 1 回転の半分に等しいため、たとえば、その 4 分の 1 に対応する中心角は、度とラジアンの両方で上記で計算した値の半分になります。

サインの逆関数を三角関数といいます 逆正弦。 正と負の両方の数値Piの半分以内の値を取ることができます。 マイナス側ラジアンで測定した場合。 度で測定すると、これらの値はそれぞれ -90° から +90° の範囲になります。

説明書

一部の「ラウンド」値は計算する必要がなく、覚えやすいです。 例:- 関数の引数の場合 ゼロに等しい、その場合、その逆正弦の値もゼロになります。 - 1/2 は、測定した場合、30° または 1/6 Pi に等しくなります。 - -1/2 の逆正弦は、-30° または -1/ に等しくなります。数値 Pi の 6 - 1 からの逆正弦は 90° またはラジアンでの Pi の 1/2 に等しい; - 1 の逆正弦は -90° またはラジアンでの Pi の -1/2 に等しい。

他の引数からこの関数の値を測定するには、標準の Windows 電卓があれば、それを使用するのが最も簡単な方法です。 まず、「スタート」ボタン (または WIN キーを押して) でメインメニューを開き、「すべてのプログラム」セクションに移動し、次に「アクセサリ」サブセクションに移動して「電卓」をクリックします。

電卓インターフェイスを、計算が可能な動作モードに切り替えます。 三角関数。 これを行うには、メニューの「表示」セクションを開き、(科学の種類に応じて)「エンジニアリング」または「科学」を選択します。 オペレーティング·システム).

逆正接を計算する引数の値を入力します。 これを行うには、マウスで電卓インターフェイスのボタンをクリックするか、 のキーを押すか、値をコピー (CTRL + C) して電卓の入力フィールドに貼り付けます (CTRL + V)。

関数計算の結果を取得する必要がある測定単位を選択します。 入力フィールドの下には 3 つのオプションがあり、(マウスでクリックして) 、ラジアン、ラジアンのいずれかを選択する必要があります。

電卓インターフェイスのボタンに表示される機能を反転するチェックボックスをオンにします。 その隣にはInvという短い碑文があります。

「罪」ボタンをクリックします。 電卓は、それに関連付けられた関数を反転して計算を実行し、指定された単位で結果を表示します。

トピックに関するビデオ

一般的な幾何学的な問題の 1 つは、円セグメントの面積を計算することです。これは、弦で囲まれた円の部分と、円弧で対応する弦で囲まれた円の部分です。

円形セグメントの面積は、対応する円形扇形の面積と、セグメントに対応する扇形の半径とセグメントを制限する弦によって形成される三角形の面積との差に等しくなります。

例1

円の範囲を定める弦の長さは値 a に等しくなります。 弦に対応する円弧の度数は 60°です。 円セグメントの面積を求めます。

解決

2 つの半径と弦によって形成される三角形は二等辺であるため、中心角の頂点から弦によって形成される三角形の辺まで引いた高度も中心角の二等分線となり、それを半分に分割します。中央値、弦を半分に分割します。 角度の正弦が斜辺に対する反対側の脚の比率に等しいことがわかっているので、半径を計算できます。

sin 30°= a/2:R = 1/2;

Sc = πR²/360°*60° = πa²/6

S▲=1/2*ah、hは中心角の頂点から弦までの高さです。 ピタゴラスの定理によれば、h=√(R²-a²/4)= √3*a/2 となります。

したがって、S▲=√3/4*a²となります。

Sreg = Sc - S▲として計算されるセグメントの面積は、次と等しくなります。

Sreg = πa²/6 - √3/4*a²

置き換える 数値 aの値の代わりに、セグメント面積の数値を簡単に計算できます。

例 2

円の半径は a に等しい。 セグメントに対応する円弧の度数は 60°です。 円セグメントの面積を求めます。

解決：

特定の角度に対応するセクターの面積は、次の式を使用して計算できます。

Sc = πa²/360°*60° = πa²/6、

セクターに対応する三角形の面積は次のように計算されます。

S▲=1/2*ah、hは中心角の頂点から弦までの高さです。 ピタゴラスの定理によれば、h=√(a²-a²/4)= √3*a/2 となります。

したがって、S▲=√3/4*a²となります。

そして最後に、Sreg = Sc - S▲として計算されるセグメントの面積は次と等しくなります。

Sreg = πa²/6 - √3/4*a²。

どちらの場合の解決策もほぼ同じです。 したがって、最も単純なケースでセグメントの面積を計算するには、セグメントの円弧に対応する角度の値と、円の半径または円の半径のいずれかの2つのパラメータのいずれかを知るだけで十分であると結論付けることができます。セグメントを形成する円の円弧の範囲を定める弦の長さ。

出典:

• セグメント - ジオメトリ

平均レベル

円と内接角。 ビジュアルガイド (2019)

基本用語。

サークルに関連する名前をすべてどれくらい覚えていますか? 念のため、写真を見て知識を新たにしてください。

まず第一に - 円の中心は、円上のすべての点からの距離が同じである点です。

第二に - 半径 - 円上の中心と点を結ぶ線分。

半径はたくさんありますが（円上の点の数と同じくらい）、 すべての半径は同じ長さです。

時々略して 半径彼らはそれを正確に呼んでいます セグメントの長さ「中心は円上の点」であり、セグメントそのものではありません。

そして、ここで何が起こりますか 円上の2点を結ぶと? セグメントも？

したがって、このセグメントは次のように呼ばれます "コード".

半径の場合と同様に、直径は多くの場合、円上の 2 点を結び中心を通過する線分の長さです。 ところで、直径と半径はどのような関係にあるのでしょうか？ よく見て。 もちろん、 半径は直径の半分に等しい。

コード以外にも、 セカント。

最も単純なことを覚えていますか?

中心角は 2 つの半径の間の角度です。

そして今 - 内接角

内接角 - 円上の点で交差する 2 つの弦間の角度.

この場合、内接角は円弧 (または弦) 上にあると言われます。

写真を見てください:

円弧と角度の測定。

周。 円弧と角度は度およびラジアンで測定されます。 まず、度について。 角度については問題ありません。円弧を度単位で測定する方法を学ぶ必要があります。

度単位 (円弧サイズ) は、対応する中心角の値 (度単位) です。

ここでの「適切」という言葉は何を意味するのでしょうか？ 注意深く見てみましょう:

2 つの円弧と 2 つの中心角が見えますか? そうですね、より大きな円弧はより大きな角度に対応し (それが大きくても問題ありません)、より小さな円弧はより小さな角度に対応します。

したがって、円弧には対応する中心角と同じ度数が含まれるということで合意しました。

さて、恐ろしいこと、ラジアンについてです！

この「ラディアン」とは一体どんな獣なのでしょうか？

これを想像してみてください: ラジアンは角度を半径で測定する方法です。

ラジアン角は、円弧の長さが円の半径に等しい中心角です。

そこで疑問が生じます - 直角は何ラジアンですか?

言い換えれば、半円に「収まる」半径はいくつあるでしょうか? あるいは、別の言い方をすると、半円の長さは半径の何倍になりますか?

科学者たちは古代ギリシャでこの質問をしました。

それで、その後 長い検索彼らは、円周と半径の比率は、などの「人間の」数値で表現したくないことに気づきました。

そして、この態度をルーツを通して表現することさえ不可能です。 つまり、半円が半径の何倍も何倍も大きいとは言えないことがわかります。 これを初めて発見した人々がどれほど驚いたか想像できますか?! 半円の長さと半径の比率については、「通常の」数値では十分ではありませんでした。 手紙を入力しなければなりませんでした。

つまり、これは半円の長さと半径の比率を表す数値です。

これで、直角は何ラジアンになるのかという質問に答えることができます。 ラジアンが含まれています。 まさに、円の半分が半径の何倍も大きいからです。

何世紀にもわたる古代の（そしてそれほど古代ではない）人々 (!) 博士らは、この謎の数字をより正確に計算し、「普通の」数字で（少なくとも近似的には）よりよく表現しようとしました。 そして今、私たちは信じられないほど怠け者です - 忙しい一日の後に2つの兆候があれば十分です、私たちはそれに慣れています

考えてみてください。これは、たとえば、半径 1 の円の長さがほぼ等しいことを意味しますが、この正確な長さを「人間の」数字で書き留めることはまったく不可能です。文字が必要です。 そして、この円周は等しくなります。 そしてもちろん、半径の円周は等しいです。

ラジアンの話に戻りましょう。

直角にはラジアンが含まれることはすでにわかっています。

私たちが持っているもの:

だから、嬉しい、つまり嬉しい。 同様に、最も一般的な角度のプレートが得られます。

内接角と中心角の値の関係。

驚くべき事実があります。

内接角は、対応する中心角の半分のサイズです。

このステートメントが図でどのように見えるかを見てください。 「対応する」中心角とは、その端が内接角の端と一致し、その頂点が中心にある中心角です。 そして同時に、「対応する」中心角は、内接角と同じ弦 () を「見」なければなりません。

なぜそうなるのでしょうか? まずは簡単なケースを見てみましょう。 コードの 1 つが中心を通過するようにします。 時々そんなことありますよね？

ここでは何が起きるのですか？ 考えてみましょう。 結局のところ、それは二等辺、そして半径です。 それで、（ラベルを付けました）。

それでは見てみましょう。 こちらは外側のコーナーです！ 外側の角を覚えておいてください 合計に等しい内部に隣接しない 2 つのものを配置し、次のように書きます。

あれは！ 予想外の効果。 しかし、内接には中心角もあります。

これは、この場合、中心角が内接角の 2 倍であることが証明されたことを意味します。 しかし、これは痛ましいほど特殊なケースです。コードが常に中心をまっすぐに通過するとは限らないのは本当ではないでしょうか? でも大丈夫、この特定のケースは私たちにとって大いに役立つでしょう。 見てください: 2 番目のケース: 中心を内側に置きます。

これをやってみましょう: 直径を描きます。 そして...最初のケースですでに分析された 2 つの写真が表示されます。 したがって、すでにそれを持っています

これは、(図では a) を意味します。

さて、これで最後のケースは残ります。中心がコーナーの外側にあります。

同じことを行います。点を通る直径を描きます。 すべては同じですが、合計ではなく違いがあります。

それだけです！

ここで、円周角が中心角の半分であるという記述から、2 つの主要かつ非常に重要な結果を導き出してみましょう。

結果 1

1 つの円弧に基づくすべての内接角は互いに等しい。

以下のことを説明します。

同じ円弧に基づく無数の内接角があり (この円弧があります)、それらは完全に異なって見えるかもしれませんが、それらはすべて同じ中心角 () を持っています。これは、これらすべての内接角が互いに等しいことを意味します。

結果 2

直径によって定められる角度は直角です。

見てください、中心はどの角度ですか?

確かに、 。 しかし、彼は平等です！ したがって、 (さらに多くの内接角と同様に) と は等しい。

2 つの弦と正割の間の角度

しかし、関心のある角度が内接しておらず、中心でもない場合はどうなるでしょうか。たとえば、次のようになります。

それともこのように？

中心的な角度でなんとか表現できないでしょうか？ それは可能であることがわかります。 見てください、私たちは興味があります。

a) (外側のコーナーとして)。 しかし - 刻まれ、円弧上にあります -。 - 刻まれており、円弧上にあります - 。

美しさについて、彼らはこう言います。

弦間の角度は、この角度に囲まれた円弧の角度値の合計の半分に等しくなります。

彼らは簡潔にするためにこれを書いていますが、もちろん、この公式を使用するときは中心角に留意する必要があります。

b) そして今 - 「外側」！ どうすればいいですか？ はい、ほぼ同じです！ 今だけ (プロパティを再度適用します) 外側のコーナーのために）。 それが今です。

それはつまり... メモと文言に美しさと簡潔さをもたらしましょう。

セカント間の角度は、この角度で囲まれた円弧の角度値の差の半分に等しくなります。

さて、これで円に関連する角度に関する基本的な知識がすべて身に付きました。 さあ、チャレンジしてください！

円と内側の角度。 平均レベル

5歳児でも円が何なのか知っていますよね？ いつものように、数学者はこの主題について難解な定義を持っていますが、私たちはそれを与えるのではなく（参照）、円に関連付けられた点、線、角度が何と呼ばれているかを思い出してください。

重要な規約

まず:

円の中心- 円上のすべての点から同じ距離にある点。

第二に:

もう 1 つ受け入れられている表現があります。「コードがアークを収縮する」です。 たとえば、この図では、弦が円弧の範囲を定めています。 そして、弦が突然中心を通過する場合、その弦には「直径」という特別な名前が付けられます。

ところで、直径と半径はどのような関係にあるのでしょうか？ よく見て。 もちろん、

そして今度はコーナーの名前です。

当然ですね。 角度の側面は中心から伸びています。これは、角度が中心であることを意味します。

ここで、時々困難が生じることがあります。 注意してください - 円の内側にどの角度も内接することはありません。ただし、その頂点が円自体の上に「位置」するものは 1 つだけです。

写真で違いを見てみましょう:

彼らは別の言い方でこう言います。

ここで注意が必要な点が 1 つあります。 「対応する」または「独自の」中心角とは何ですか? 円の中心にある頂点と円弧の端にある端との角度だけですか？ 確かにそのような意味ではありません。 図面を見てください。

しかし、そのうちの 1 つは角にも見えません。それはさらに大きいものです。 しかし、三角形はそれ以上の角度を持つことができませんが、円はそれ以上の角度を持つことができます。 つまり、小さい円弧 AB は小さい角度 (オレンジ色) に対応し、大きい円弧はより大きい角度に対応します。 まさにその通りですね。

内接角と中心角の大きさの関係

この非常に重要なステートメントを覚えておいてください。

教科書では、同じ事実を次のように書きたがります。

中心角があると定式化が簡単になるのは本当ではないでしょうか？

それでも、2 つの公式間の対応関係を見つけて、同時に図面内で「対応する」中心角と、内接角が「置かれる」円弧を見つける方法を学びましょう。

見てください。これは円と内接角です。

その「対応する」中心角はどこでしょうか?

もう一度見てみましょう:

ルールとは何ですか?

しかし！ この場合、内接角と中心角が円弧を片側から「見る」ことが重要です。 例えば：

不思議なことに、青い！ 弧が長いので、円の半分よりも長いです。 だから決して混乱しないでください！

円周角の「半値」からどのような結果が推測できるでしょうか?

しかし、例えば:

直径によって決まる角度

数学者は同じことについて話すのが大好きであることにはすでに気づいています。 別の言葉で? なぜこれが必要なのでしょうか? ご存知のとおり、数学の言語は、形式的ではありますが、生きているため、通常の言語と同様に、より便利な方法で言いたくなるたびに必要になります。 さて、「角度が円弧上にある」が何を意味するかはすでに見てきました。 そして、同じ絵が「弦の上にある角度」と呼ばれていると想像してください。 何の上に？ そう、もちろんこの弧を引き締める一本に！

円弧よりも弦に頼ったほうが便利なのはどのような場合ですか?

特に、この弦が直径の場合です。

このような状況に驚くほどシンプルで美しく便利なステートメントがあります。

見てください。これが円、直径、その上の角度です。

円と内側の角度。 主なものについて簡単に説明

1. 基本的な概念。

3. 円弧と角度の測定。

ラジアン角は、円弧の長さが円の半径に等しい中心角です。

半円の長さと半径の比率を表す数値です。

半径の円周は等しい。

4. 内接角と中心角の値の関係。

角度ABCは内接角です。 それは、側面の間に囲まれた円弧 AC 上にあります (図 330)。

定理。 内接角は、それが属する円弧の半分によって測定されます。

これは次のように理解する必要があります。内接角には、それが載っている円弧の半分に含まれる円弧の度、分、秒と同じ数の角度、分、秒が含まれます。

この定理を証明するときは、3 つの場合を考慮する必要があります。

最初のケース。 円の中心は内接角の側にあります (図 331)。

∠ABC を内接角とし、円 O の中心が辺 BC 上にあるとします。 交流半円弧で測定したものであることを証明する必要があります。

点Aと円の中心を結びましょう。 同じ円の半径として、AO = OBとなる二等辺 \(\Delta\)AOB を求めます。 したがって、∠A = ∠B となります。

∠AOC は三角形 AOB の外にあるので、∠AOC = ∠A + ∠B であり、角度 A と B が等しいので、∠B は 1/2 ∠AOC です。

ただし、∠AOC はアーク AC で測定されるため、∠B はアーク AC の半分で測定されます。

たとえば、\(\breve(AC)\) に 60°18' が含まれる場合、∠B には 30°9' が含まれます。

2番目のケース。 円の中心は内接角の辺の間にあります (図 332)。

∠ABDを内接角とする。 円 O の中心はその辺の間にあります。 ∠ABD が円弧 AD の半分で測定されることを証明する必要があります。

これを証明するために、直径 BC を描いてみましょう。 角 ABD は 2 つの角、∠1 と ∠2 に分割されます。

∠1 はアーク AC の半分で測定され、∠2 はアーク CD の半分で測定されます。したがって、∠ABD 全体は 1 / 2 \(\breve(AC)\) + 1 / 2 \(\breve (CD)\)、つまり、半円弧 AD。

たとえば、\(\breve(AD)\) に 124° が含まれる場合、∠B には 62° が含まれます。

3番目のケース。 円の中心は内接角の外側にあります (図 333)。

∠MADを内接角とする。 円 O の中心は角の外側にあります。 ∠MAD が円弧 MD の半分で測定されることを証明する必要があります。

これを証明するために、直径ABを描いてみましょう。 ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB。 ただし、∠MAB は 1 / 2 \(\breve(MB)\) を測定し、∠DAB は 1 / 2 \(\breve(DB)\) を測定します。

したがって、∠MAD は 1 / 2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\)、つまり 1 / 2 \(\breve(MD)\) を測定します。

たとえば、\(\breve(MD)\) に 48° 38" が含まれる場合、∠MAD には 24° 19' 8" が含まれます。

結果
1. 同じ円弧の半分で測定されるため、同じ円弧の範囲内にあるすべての内接角は互いに等しい (図334、a)。

2. 直径によって定められる内接角は、半円の範囲を定めるため直角です。 円の半分には 180 度の円弧が含まれます。これは、直径に基づく角度が 90 度の円弧を含むことを意味します (図 334、b)。

面積測定は、特性を研究する幾何学の分野です。 平面図。 これらには、よく知られている三角形、正方形、長方形だけでなく、直線や角も含まれます。 面積測定では、円の角度、中心角度、内接角度などの概念もあります。 しかし、それらは何を意味するのでしょうか？

中心角とは何ですか?

中心角とは何かを理解するには、円を定義する必要があります。 円は、特定の点 (円の中心) から等距離にあるすべての点の集合です。

円と区別することが非常に重要です。 円は閉じた線であり、円はそれに囲まれた平面の一部であることを覚えておく必要があります。 円に多角形や角を内接することができます。

中心角は、頂点が円の中心と一致し、辺が 2 点で円と交差する角度です。 角度がその交点によって制限される円弧は、指定された角度が置かれる円弧と呼ばれます。

例 No.1 を見てみましょう。

この図では、角の頂点と円の中心が 1 つの点 O であるため、角 AOB が中心になります。点 C を含まない円弧 AB 上にあります。

内接角は中心角とどう違うのですか?

ただし、中心角に加えて、内接角もあります。 彼らの違いは何でしょうか？ 中心角と同様に、円に内接する角度は特定の円弧上にあります。 しかし、その頂点は円の中心と一致せず、その上にあります。

次の例を見てみましょう。

角 ACB は、点 O を中心とする円に内接する角と呼ばれます。点 C は円に属します、つまり円上にあります。 角度は円弧 AB 上にあります。

幾何学的な問題にうまく対処するには、内接したものと内接したものを区別できるだけでは十分ではありません。 中心角。 原則として、問題を解決するには、円の中心角を見つける方法を正確に知り、その値を度単位で計算できる必要があります。

したがって、中心角は、その中心となる円弧の度数に等しくなります。

この図では、角度 AOB は 66° に等しい円弧 AB 上にあります。 これは、角度 AOB も 66°であることを意味します。

したがって、等しい円弧によって定められる中心角は等しい。

図では、円弧 DC は円弧 AB と等しくなります。 これは、角度 AOB が角度 DOC に等しいことを意味します。

円に内接する角度は、同じ円弧上にある中心角に等しいように見えるかもしれません。 しかし、これは重大な間違いです。 実際、図面を見てこれらの角度を比較するだけでも、角度の測定値が次のとおりであることがわかります。 さまざまな意味。 では、円の内接角はいくらでしょうか?

内接角の度単位は、その円弧上にある円弧の半分、または同じ円弧上にある場合は中心角の半分に等しくなります。

例を見てみましょう。 角度 ASV は 66° に等しい円弧上にあります。

これは、角度 ACB = 66°: 2 = 33° を意味します。

この定理からのいくつかの結果を考えてみましょう。

• 内接角は、同じ円弧、弦、または等しい円弧に基づいている場合、等しいです。
• 内接角が 1 つの弦上にあるが、その頂点が沿って並んでいる場合 異なる側面そこから、このような角度の度数の合計は 180° になります。この場合、両方の角度が円弧上にあるため、度数の合計は 360° (円全体)、360°: 2 = 180° になります。
• 内接角が特定の円の直径に基づいている場合、その直径は 180° に等しい円弧の範囲内にあるため、その度数は 90° になります。180°: 2 = 90°
• 円の中心角と内接角が同じ円弧または弦上にある場合、内接角は中心角の半分に等しくなります。

このトピックに関する問題はどこにありますか? その種類と解決策

円とその性質は幾何学、特に面積測定の最も重要なセクションの 1 つであるため、円の内接角と中心角は学校のコースで広く詳細に研究されるテーマです。 プロパティに特化した問題が主に見つかります 国家試験(OGE) と統一州試験 (USE)。 通常、これらの問題を解決するには、円上の角度を度単位で見つける必要があります。

1 つの円弧に基づく角度

このタイプの問題は、おそらく最も簡単な問題の 1 つです。この問題を解決するには、2 つの単純な特性だけを知っていればよいためです。両方の角度が内接し、同じ弦に基づいている場合、それらは等しく、一方が中心である場合、対応する角度です。内接角はその半分に等しい。 ただし、問題を解くときは細心の注意を払う必要があります。場合によっては、この特性に気づくのが難しく、生徒はこのような単純な問題を解くときに行き詰まります。 例を見てみましょう。

タスクNo.1

点 O を中心とする円が与えられるとします。角度 AOB は 54°です。 角度 ASV の度数を求めます。

このタスクは 1 つのアクションで解決されます。 この答えをすぐに見つけるために必要な唯一のことは、両方の角度が置かれる円弧が共通であることに気づくことです。 これを見た後は、すでによく知っているプロパティを適用できます。 角度 ACB は角度 AOB の半分に等しい。 手段、

1) AOB = 54°: 2 = 27°。

答え: 54°。

同じ円の異なる円弧によって定められる角度

場合によっては、問題の条件によって、目的の角度が置かれる円弧のサイズが直接示されないことがあります。 これを計算するには、これらの角度の大きさを分析し、円の既知の特性と比較する必要があります。

問題 2

点 O を中心とする円では、角度 AOC は 120°、角度 AOB は 30°です。 あなた自身の角度を見つけてください。

まず、二等辺三角形の特性を使用してこの問題を解決できることは言うまでもありませんが、そのためには次のことを実行する必要があります。 大量数学的演算。 したがって、ここでは、円の中心角と内接角の特性を使用した解の分析を提供します。

したがって、角度 AOS は円弧 AC 上にあり、中心にあります。これは、円弧 AC が角度 AOS に等しいことを意味します。

同様に、角度 AOB は円弧 AB 上にあります。

これと円全体 (360°) の度数がわかれば、円弧 BC の大きさを簡単に見つけることができます。

BC = 360° - AC - AB

BC = 360° - 120° - 30° = 210°

角 CAB の頂点、点 A は円上にあります。 これは、角度 CAB が内接角であり、円弧 NE の半分に等しいことを意味します。

角度 CAB = 210°: 2 = 110°

答え: 110°

円弧の関係に基づく問題

一部の問題には角度値に関するデータがまったく含まれていないため、のみに基づいてそれらを探す必要があります。 有名な定理そして円の性質。

問題1

指定された円の半径に等しい弦の範囲を定める円に内接する角度を見つけます。

セグメントの端と円の中心を結ぶ線を頭の中で描くと、三角形が得られます。 調べてみると、これらの線は円の半径であることがわかります。これは、三角形のすべての辺が等しいことを意味します。 正三角形の角度はすべて 60°に等しいことが知られています。 これは、三角形の頂点を含む円弧 AB が 60°に等しいことを意味します。 ここから、目的の角度が置かれる円弧 AB を見つけます。

AB = 360° - 60° = 300°

角度ABC = 300°: 2 = 150°

答え: 150°

問題 2

点 O を中心とする円では、円弧の比率は 3:7 になります。 最小の内接角を見つけます。

解決するには、1 つの部分を X として指定すると、1 つの円弧は 3X、2 番目の円弧はそれぞれ 7X に等しくなります。 円の度数は 360°であることがわかったので、方程式を作成しましょう。

3X + 7X = 360°

状況に応じて、より小さな角度を見つける必要があります。 明らかに、角度の大きさがその角度が置かれている円弧に正比例する場合、望ましい (小さい) 角度は 3X に等しい円弧に対応します。

これは、小さい方の角度が (36° * 3) : 2 = 108°: 2 = 54° であることを意味します。

答え: 54°

点 O を中心とする円では、角度 AOB は 60°、小さい方の円弧の長さは 50 です。大きい方の円弧の長さを計算します。

大きな円弧の長さを計算するには、小さな円弧と大きな円弧との関係を表す比率を作成する必要があります。 これを行うには、両方の円弧の大きさを度単位で計算します。 小さい方の円弧は、その上にかかる角度に等しくなります。 その度数は60°になります。 長円弧は、円の度数測定 (他のデータに関係なく 360° に等しい) と副円弧との差に等しくなります。

主弧は 360° - 60° = 300° です。

300°: 60° = 5 であるため、大きい円弧は小さい円弧の 5 倍になります。

大きな円弧 = 50 * 5 = 250

したがって、もちろん、同様の問題を解決する他のアプローチもありますが、それらはすべて、何らかの形で中心角、内接角、三角形、円の特性に基づいています。 問題をうまく解決するには、図面を注意深く調べて問題のデータと比較し、理論的な知識を実際に適用できる必要があります。