ピタゴラスの定理: 脚の上に載っている正方形の面積の合計 ( あるそして b)、斜辺上に作られた正方形の面積に等しい( c).
幾何学的定式化:
この定理はもともと次のように定式化されました。
代数的定式化:
つまり、三角形の斜辺の長さを次のように表します。 c、および脚の長さ あるそして b :
ある 2 + b 2 = c 2定理の両方の定式化は同等ですが、2 番目の定式化はより基本的であり、面積の概念を必要としません。 つまり、2 番目のステートメントは、面積について何も知らなくても、直角三角形の辺の長さを測定するだけで検証できます。
逆ピタゴラスの定理:
証拠
現在、この定理の 367 件の証明が科学文献に記録されています。 おそらく、ピタゴラスの定理は、これほど多くの証明が行われている唯一の定理です。 このような多様性は、幾何学の定理の基本的な重要性によってのみ説明できます。
もちろん、概念的にはそれらはすべて少数のクラスに分類できます。 それらの中で最も有名なものは、面積法による証明、公理的およびエキゾチックな証明 (たとえば、微分方程式を使用した) です。
相似な三角形を通って
代数定式化の次の証明は、公理から直接構築された最も単純な証明です。 特に、図形の面積の概念は使用しません。
させて ABC直角を持つ直角三角形があります C。 から高さを描きましょう Cそしてその基底を次のように表します H。 三角形 ACH三角形に似た ABC 2つの角で。 同様に三角形 CBH似ている ABC。 表記法を導入することで
我々が得る
同等とは何ですか
それを合計すると、
面積法を使用した証明
以下の証明は単純そうに見えますが、まったく単純ではありません。 これらはすべて面積の性質を使用しており、その証明はピタゴラスの定理自体の証明よりも複雑です。
等相補性による証明
- 図1のように等しい直角三角形を4つ並べてみましょう。
- 辺のある四角形 c 2 つの鋭角の合計は 90°、直角は 180° であるため、 は正方形です。
- 図形全体の面積は、一方では辺（a + b）を持つ正方形の面積に等しく、他方では4つの三角形と2つの内部三角形の面積の合計に等しくなります。正方形。
Q.E.D.
等価性による証明
順列を使用したエレガントな証明
そのような証明の 1 つの例が右の図に示されています。ここでは、斜辺上に構築された正方形が、辺上に構築された 2 つの正方形に再配置されています。
ユークリッドの証明
ユークリッドの証明のための描画
ユークリッドの証明の図解
ユークリッドの証明の考え方は次のとおりです。斜辺の上に作られた正方形の面積の半分は、脚の上に作られた正方形の半分の面積の合計に等しいことを証明してみましょう。大きい正方形と小さい正方形 2 つは等しいです。
左の図を見てみましょう。 その上に、直角三角形の辺に正方形を構築し、頂点から描画しました 直角斜辺 AB に垂直な光線を使用して、斜辺上に構築された正方形 ABIK を 2 つの長方形 (それぞれ BHJI と HAKJ) に切断します。 これらの長方形の面積は、対応する脚上に構築された正方形の面積と正確に等しいことがわかります。
正方形 DECA の面積が長方形 AHJK の面積に等しいことを証明してみましょう。これを行うには、補助的な観察を使用します。高さと底辺が同じ三角形の面積です。指定された長方形は、指定された長方形の面積の半分に等しくなります。 これは、三角形の面積を底辺と高さの積の半分として定義した結果です。 この観察から、三角形 ACK の面積は三角形 AHK (図には示されていません) の面積に等しく、三角形 AHK の面積は長方形 AHJK の面積の半分に等しいことがわかります。
ここで、三角形 ACK の面積も正方形 DECA の面積の半分に等しいことを証明しましょう。 このために行う必要がある唯一のことは、三角形 ACK と BDA が等しいことを証明することです (上記の性質によれば、三角形 BDA の面積は正方形の面積の半分に等しいため)。 等しいことは明らかで、三角形の両側とそれらの間の角度は等しい。 つまり、AB=AK、AD=AC - 角度 CAK と BAD が等しいことは、運動法によって簡単に証明できます。三角形 CAK を反時計回りに 90 度回転すると、2 つの三角形の対応する辺が次のとおりであることが明らかです。質問は一致します（正方形の頂点の角度が90°であるため）。
正方形 BCFG と長方形 BHJI の面積が等しい理由は完全に似ています。
したがって、斜辺上に作られた正方形の面積は、脚上に作られた正方形の面積で構成されることが証明されました。 この証明の背後にある考え方は、上のアニメーションでさらに詳しく説明されています。
レオナルド・ダ・ヴィンチの証明
レオナルド・ダ・ヴィンチの証明
証明の主な要素は対称性と動きです。
対称性から分かるように、線分を描いたものを考えてみましょう。 C私正方形を切る あBHJ 2 つの同一の部分に分割します (三角形なので、 あBCそして JH私構造的には同等です）。 反時計回りに 90 度回転すると、影付きの数字が等しいことがわかります。 CあJ私 そして GDあB 。 これで、影を付けた図形の面積が、脚の上に作られた正方形の面積の半分と元の三角形の面積の合計に等しいことがわかります。 一方、斜辺上に作られた正方形の面積の半分に、元の三角形の面積を加えたものに等しくなります。 証明の最後のステップは読者に委ねられます。
無限小法による証明
微分方程式を使用した次の証明は、20 世紀前半に生きた有名な英国の数学者ハーディによるものであることがよくあります。
図に示した図面を見て、側面の変化を観察します。 ある、無限小の辺の増分に対して次の関係を書くことができます。 とそして ある(三角形の類似度を使用):
無限小法による証明
変数の分離方法を使用すると、次のようになります。
両側に増加がある場合の斜辺の変化のより一般的な式
この方程式を積分し、初期条件を使用すると、次のようになります。
c 2 = ある 2 + b 2 + 定数。こうして私たちは望ましい答えに到達します
c 2 = ある 2 + b 2 .簡単にわかるように、三角形の辺と増分の間の線形比例関係により、最終的な式の二次依存性が現れますが、合計はさまざまな脚の増分からの独立した寄与に関連付けられています。
レッグの 1 つに増分が発生しないと仮定すると、より簡単な証明が得られます (この場合、レッグ b）。 次に、積分定数を取得します。
バリエーションと一般化
- 正方形の代わりに他の同様の図形を側面に作成すると、ピタゴラスの定理の次の一般化が当てはまります。 で 直角三角形脚上に構築された同様の図形の面積の合計は、斜辺上に構築された図形の面積に等しくなります。特に：
- 脚の上に作られる正三角形の面積の和は、斜辺の上に作られる正三角形の面積に等しい。
- 脚上に構築された半円の面積（直径と同様）の合計は、斜辺上に構築された半円の面積に等しくなります。 この例は、ヒポクラテスの月面と呼ばれる 2 つの円の弧で囲まれた図形の特性を証明するために使用されます。
話
チュペイ 紀元前 500 ～ 200 年。 左側には、高さと底辺の長さの二乗の和が斜辺の長さの二乗であるという碑文があります。
古代中国の本 Chu-pei は、辺 3、4、5 を持つピタゴラス三角形について語っています。同じ本には、ヒンドゥー教のバシャラ幾何学の図面の 1 つと一致する図面が掲載されています。
カントール (ドイツの偉大な数学史家) は、3² + 4² = 5² という等式は紀元前 2300 年頃にエジプト人にすでに知られていたと考えています。 たとえば、アメンエムハト 1 世の時代 (ベルリン博物館のパピルス 6619 による)。 カントールによれば、ハルペドナプテス、または「ロープ引き手」は、辺が 3、4、5 の直角三角形を使用して直角を構築しました。
彼らの構築方法を再現するのは非常に簡単です。 長さ12メートルのロープを用意し、それに3メートルの距離で色のついたストリップを結びましょう。 一方の端からもう一方の端まで4メートル。 直角は長さ 3 ～ 4 メートルの辺の間に囲まれます。 ハルペドナプティア人にとっては、たとえば、すべての大工が使用する木製の正方形を使用すると、彼らの建築方法が不必要になるという反論があるかもしれません。 実際、そのような道具が見られるエジプトの図面、例えば大工の作業場を描いた図面が知られている。
バビロニア人の間ではピタゴラスの定理についてもう少し詳しく知られています。 ハンムラビの時代、つまり紀元前 2000 年に遡る文書の中にあります。 つまり、直角三角形の斜辺の近似計算が与えられます。 このことから、メソポタミアでは、少なくともいくつかの場合において、直角三角形を使用した計算を実行できたと結論付けることができます。 一方では、エジプトとバビロニアの数学に関する現在の知識レベルに基づいて、他方ではギリシャの資料の批判的研究に基づいて、ファン デル ワールデン (オランダの数学者) は次の結論に達しました。
文学
ロシア語で
- スコペッツ Z.A.幾何学的なミニチュア。 M.、1990
- エレンスキー・シュッチ。ピタゴラスの足跡をたどります。 M.、1961
- ファン デル ワールデン B.L.科学の覚醒。 古代エジプト、バビロン、ギリシャの数学。 M.、1959 年
- グレイザー G.I.学校での数学の歴史。 M.、1982
- W. リッツマン、「ピタゴラスの定理」M.、1960 年。
- ピタゴラスの定理に関するサイト。多数の証明、V. リッツマンの本から引用した資料、多数の図面が個別のグラフィック ファイルの形式で表示されます。
- D. V. アノソフ著『数学とそこから得た何か』のピタゴラスの定理とピタゴラスの三重項の章
- ピタゴラスの定理とその証明方法について G. Glaser、ロシア教育アカデミー会員、モスクワ
英語で
- WolframMathWorldのピタゴラスの定理
- Cut-The-Knot、ピタゴラスの定理に関するセクション、約 70 の証明と広範な追加情報 (英語)
ウィキメディア財団。 2010年。
(ベルリン博物館のパピルス 6619 による)。 カントールによれば、ハルペドナプテス、または「ロープ引き」は、辺が 3、4、5 の直角三角形を使用して直角を構築しました。
彼らの構築方法を再現するのは非常に簡単です。 長さ12メートルのロープを用意し、一方の端から3メートル、もう一方の端から4メートルの距離に色の付いたストリップを結び付けましょう。 直角は辺の長さが 3 メートルと 4 メートルの間になります。 たとえば、すべての大工が使用する木製の正方形を使用すると、ハルペドナプテスの建築方法が不必要になるという反論もあるかもしれません。 実際、そのような道具が描かれたエジプトの図面、例えば大工仕事場を描いた図面が知られている。
バビロニア人の間ではピタゴラスの定理についてもう少し詳しく知られています。 ハンムラビの時代、つまり紀元前 2000 年に遡る文書の中にあります。 e. 、直角三角形の斜辺の近似計算が与えられます。 このことから、メソポタミアでは、少なくともいくつかの場合において、直角三角形を使用した計算を実行できたと結論付けることができます。 一方ではエジプトとバビロニアの数学に関する現在の知識レベルに基づいて、他方ではギリシャの資料の批判的研究に基づいて、ファン・デル・ワールデン（オランダの数学者）は、次のような可能性が高いと結論付けた。斜辺の二乗に関する定理は、インドでは紀元前 18 世紀頃にすでに知られていました。 e.
紀元前400年頃。 プロクロスによれば、紀元前、プラトンは代数と幾何学を組み合わせてピタゴラスの三重項を見つける方法を与えた。 紀元前300年頃。 e. ピタゴラスの定理の最も古い公理的証明は、ユークリッドの要素に登場しました。
製剤
幾何学的定式化:
この定理はもともと次のように定式化されました。
代数的定式化:
つまり、三角形の斜辺の長さを 、脚の長さを と で表すと、次のようになります。
定理の両方の定式化は同等ですが、2 番目の定式化はより基本的であり、面積の概念を必要としません。 つまり、2 番目のステートメントは、面積について何も知らなくても、直角三角形の辺の長さを測定するだけで検証できます。
逆ピタゴラスの定理:
証拠
現在、この定理の 367 件の証明が科学文献に記録されています。 おそらく、ピタゴラスの定理は、これほど多くの証明が行われている唯一の定理です。 このような多様性は、幾何学の定理の基本的な重要性によってのみ説明できます。
もちろん、概念的にはそれらはすべて少数のクラスに分類できます。 それらの中で最も有名なものは、面積法による証明、公理的およびエキゾチックな証明 (たとえば、微分方程式を使用した) です。
相似な三角形を通って
代数定式化の次の証明は、公理から直接構築された最も単純な証明です。 特に、図形の面積の概念は使用しません。
させて ABC直角を持つ直角三角形があります C。 から高さを描きましょう Cそしてその基底を次のように表します H。 三角形 ACH三角形に似た ABC 2つの角で。 同様に三角形 CBH似ている ABC。 表記法を導入することで
我々が得る
同等とは何ですか
それを合計すると、
、それは証明する必要があるものです面積法を使用した証明
以下の証明は単純そうに見えますが、まったく単純ではありません。 これらはすべて面積の性質を使用しており、その証明はピタゴラスの定理自体の証明よりも複雑です。
等相補性による証明
- 図1のように等しい直角三角形を4つ並べてみましょう。
- 辺のある四角形 c 2 つの鋭角の合計は 90°、直角は 180° であるため、 は正方形です。
- 図形全体の面積は、一方では辺（a+b）を持つ正方形の面積に等しく、他方では4つの三角形と内側の広場のエリア。
Q.E.D.
ユークリッドの証明
ユークリッドの証明の考え方は次のとおりです。斜辺の上に作られた正方形の面積の半分は、脚の上に作られた正方形の半分の面積の合計に等しいことを証明してみましょう。大きい正方形と小さい正方形 2 つは等しいです。
左の図を見てみましょう。 その上に、直角三角形の辺に正方形を作成し、直角 C の頂点から斜辺 AB に垂直な光線 s を描きます。斜辺上に構築された正方形 ABIK を 2 つの長方形 (BHJI と HAKJ) に切ります。それぞれ。 これらの長方形の面積は、対応する脚上に構築された正方形の面積と正確に等しいことがわかります。
正方形 DECA の面積が長方形 AHJK の面積に等しいことを証明してみましょう。これを行うには、補助的な観察を使用します。高さと底辺が同じ三角形の面積です。指定された長方形は、指定された長方形の面積の半分に等しくなります。 これは、三角形の面積を底辺と高さの積の半分として定義した結果です。 この観察から、三角形 ACK の面積は三角形 AHK (図には示されていません) の面積に等しく、三角形 AHK の面積は長方形 AHJK の面積の半分に等しいことがわかります。
ここで、三角形 ACK の面積も正方形 DECA の面積の半分に等しいことを証明しましょう。 このために行う必要がある唯一のことは、三角形 ACK と BDA が等しいことを証明することです (上記の性質によれば、三角形 BDA の面積は正方形の面積の半分に等しいため)。 この等しいことは明白です。三角形は両側とそれらの間の角度が等しいのです。 つまり、AB=AK、AD=AC - 角度 CAK と BAD が等しいことは、運動法によって簡単に証明できます。三角形 CAK を反時計回りに 90°回転すると、2 つの三角形の対応する辺が質問は一致します（正方形の頂点の角度が90°であるため）。
正方形 BCFG と長方形 BHJI の面積が等しい理由は完全に似ています。
したがって、斜辺上に作られた正方形の面積は、脚上に作られた正方形の面積で構成されることが証明されました。 この証明の背後にある考え方は、上のアニメーションでさらに詳しく説明されています。
レオナルド・ダ・ヴィンチの証明
証明の主な要素は対称性と動きです。
図面を考えてみましょう。対称性からわかるように、セグメントは正方形を 2 つの同一の部分に分割します (三角形の構造が等しいため)。
点を中心に反時計回りに 90 度回転させると、影付きの数値が等しいことがわかります。
これで、影を付けた図の面積が、（脚の上に構築された）小さな正方形の面積の半分と元の三角形の面積の合計に等しいことが明らかです。 一方、それは、（斜辺上に構築された）大きな正方形の面積の半分に、元の三角形の面積を加えたものに等しくなります。 したがって、小さな正方形の面積の合計の半分は、大きな正方形の面積の半分に等しいため、脚の上に作られた正方形の面積の合計は、脚の上に作られた正方形の面積に等しくなります。斜辺。
無限小法による証明
微分方程式を使用した次の証明は、20 世紀前半に生きた有名な英国の数学者ハーディによるものであることがよくあります。
図に示した図面を見て、側面の変化を観察します。 ある、無限小の辺の増分に対して次の関係を書くことができます。 とそして ある(三角形の類似度を使用):
変数の分離方法を使用すると、次のようになります。
両側に増加がある場合の斜辺の変化のより一般的な式
この方程式を積分し、初期条件を使用すると、次のようになります。
こうして私たちは望ましい答えに到達します
簡単にわかるように、三角形の辺と増分の間の線形比例関係により、最終的な式の二次依存性が現れますが、合計はさまざまな脚の増分からの独立した寄与に関連付けられています。
脚の 1 つ (この場合は脚) が増加しないと仮定すると、より簡単な証明が得られます。 次に、積分定数を取得します。
バリエーションと一般化
3 つの面で同様の幾何学的形状
相似な三角形の一般化、緑色の形状の面積 A + B = 青色の面積 C
相似な直角三角形を使ったピタゴラスの定理
ユークリッドはその著作の中でピタゴラスの定理を一般化しました 始まり、辺の正方形の領域を同様の幾何学的図形の領域に拡張します。
直角三角形の辺に同様の幾何学図形（ユークリッド幾何学を参照）を作成すると、2 つの小さい図形の合計は大きい図形の面積に等しくなります。
この一般化の主な考え方は、そのような幾何学的図形の面積は、その幾何学的図形の面積の 2 乗に比例するということです。 直線サイズ特に任意の辺の長さの二乗。 したがって、面積のある同様の図形については、 あ, Bそして C長さのある側面で構築される ある, bそして c、 我々は持っています：
しかし、ピタゴラスの定理によれば、 ある 2 + b 2 = c 2その後 あ + B = C.
逆にそれが証明できれば あ + B = Cピタゴラスの定理を使用せずに、3 つの同様の幾何学的図形について、反対方向に移動して定理自体を証明できます。 たとえば、開始中心の三角形は三角形として再利用できます。 C斜辺上と 2 つの相似な直角三角形 ( あそして B)、中央の三角形をその高さで分割することによって形成される他の 2 つの側面に構築されます。 2 つの小さな三角形の面積の合計は、明らかに 3 番目の三角形の面積に等しいため、 あ + B = Cそして、前の証明を逆の順序で実行すると、ピタゴラスの定理 a 2 + b 2 = c 2 が得られます。
コサイン定理
ピタゴラスの定理は、より一般的なコサイン定理の特殊なケースであり、任意の三角形の辺の長さを関連付けます。
ここで、θは辺間の角度です。 あるそして b.
θが90度ならcos θ = 0 となり、式は通常のピタゴラスの定理に単純化されます。
フリートライアングル
辺のある任意の三角形の選択した任意の角に a、b、c二等辺三角形を、その底辺 θ の等しい角度が選択した角度と等しくなるように内接してみましょう。 選択した角度 θ が指定された側の反対側にあると仮定します。 c。 その結果、辺の反対側に位置する角度θの三角形ABDが得られました。 あるそしてパーティー r。 2 番目の三角形は角度 θ で形成され、辺の反対側に位置します。 bそしてパーティー と長さ s、写真に示されているように。 タビト・イブン・クルラは、これら 3 つの三角形の辺は次のように関係していると主張しました。
角度 θ が π/2 に近づくにつれて、二等辺三角形の底辺は小さくなり、2 つの辺 r と s の重なり合いはますます少なくなります。 θ = π/2 のとき、ADB は直角三角形になり、 r + s = cそして最初のピタゴラスの定理が得られます。
議論の 1 つを考えてみましょう。 三角形 ABC は三角形 ABD と同じ角度を持ちますが、順序が逆です。 (2 つの三角形は頂点 B で共通の角度を持ち、両方とも角度 θ を持ち、三角形の角度の合計に基づいて同じ 3 番目の角度も持ちます) したがって、ABC は三角形 DBA の反射 ABD に似ています。下の図に示されています。 角度θに隣接する対辺と対辺の関係を書いてみましょう。
別の三角形の反映でもあり、
分数を掛けて、これら 2 つの比率を加算しましょう。
Q.E.D.
平行四辺形による任意の三角形の一般化
任意の三角形の一般化、
緑のエリア プロット = 面積青
上の図の論文の証明
正方形の代わりに 3 つの辺に平行四辺形を使用して、非直角三角形をさらに一般化してみましょう。 (正方形は特殊なケースです。) 上の図は、鋭角三角形の場合、長辺の平行四辺形の面積が他の 2 辺の平行四辺形の合計に等しいことを示しています。辺は図のように構成されます (矢印で示された寸法は同じであり、下の平行四辺形の辺を決定します)。 この正方形を平行四辺形に置き換える方法は、紀元 4 年にアレクサンドリアのパップスによって定式化されたと考えられているピタゴラスの初期定理に明らかに似ています。 e.
下の図は証明の進行状況を示しています。 三角形の左側を見てみましょう。 左側の緑色の平行四辺形は、底辺が同じであるため、青色の平行四辺形の左側と同じ面積になります。 bと高さ h。 さらに、左側の緑色の平行四辺形は、共通の底辺 (三角形の左上の辺) と、三角形のその辺に垂直な共通の高さを共有しているため、上の図の左側の緑色の平行四辺形と同じ面積を持ちます。 三角形の右側についても同様の推論を使用して、下の平行四辺形が 2 つの緑色の平行四辺形と同じ面積を持つことを証明します。
複素数
ピタゴラスの定理は、デカルト座標系の 2 点間の距離を求めるために使用され、この定理はすべての真の座標に対して有効です。 s 2 点の間 ( a、b） そして （ CD) に等しい
複素数が実数成分を持つベクトルとして扱われる場合、式に問題はありません。 バツ + 私は = (バツ, y). 。 たとえば、距離 s 0 + 1の間 私そして1 + 0 私ベクトルの係数として計算されます (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), または
ただし、複素座標のベクトルを使用する演算の場合は、ピタゴラスの公式にいくつかの改良を加える必要があります。 複素数の点間の距離 ( ある, b） そして （ c, d); ある, b, c、 そして dすべて複雑なので、絶対値を使用して定式化します。 距離 sベクトルの差に基づく (ある − c, b − d) 次の形式で: 違いをみましょう ある − c = p+i q、 どこ p- 差の実部、 qは虚数部であり、i = √(−1) です。 同様に、 b − d = r+i s。 それから：
ここで、 は の複素共役数です。 たとえば、点間の距離 (ある, b) = (0, 1) そして (c, d) = (私, 0) , 差を計算してみましょう (ある − c, b − d) = (−私, 1) 複素共役が使用されない場合、結果は 0 になります。 したがって、改良された公式を使用すると、次のようになります。
モジュールは次のように定義されます。
ステレオメトリー
3 次元空間に対するピタゴラスの定理の重要な一般化は、J.-P. にちなんで名付けられたド ゴイの定理です。 ド・ゴワ: 四面体が（立方体の場合のように）直角である場合、直角の反対側の面の面積の二乗は、他の 3 つの面の面積の二乗の合計に等しい。 この結論は次のように要約できます。 n-次元ピタゴラスの定理":
3 次元空間におけるピタゴラスの定理は、対角線 AD を 3 つの辺に関連付けます。
別の一般化: ピタゴラスの定理は、次の形式で立体測定に適用できます。 図に示すような直方体を考えます。 ピタゴラスの定理を使用して対角線 BD の長さを求めてみましょう。
ここで、3つの辺が直角三角形を形成します。 水平対角線 BD と垂直エッジ AB を使用して対角線 AD の長さを求めます。このためにもピタゴラスの定理を使用します。
または、すべてを 1 つの方程式で書くと次のようになります。
この結果は、ベクトルの大きさを決定するための 3 次元式です。 v(対角線 AD)、その垂直成分で表されます ( v k ) (相互に垂直な 3 つの辺):
この方程式は、多次元空間に対するピタゴラスの定理を一般化したものと考えることができます。 しかし、その結果は、実際には、ピタゴラスの定理を、連続する垂直面内の一連の直角三角形に繰り返し適用したことに他なりません。
ベクトル空間
ベクトルの直交系の場合には等式が成立し、これはピタゴラスの定理とも呼ばれます。
これらが座標軸へのベクトルの投影である場合、この式はユークリッド距離と一致し、ベクトルの長さがその成分の二乗の合計の平方根に等しいことを意味します。
ベクトルの無限系の場合のこの等式の類似物は、パーセヴァルの等式と呼ばれます。
非ユークリッド幾何学
ピタゴラスの定理はユークリッド幾何学の公理から派生したもので、実際、上に書いた形式では非ユークリッド幾何学には有効ではありません。 （つまり、ピタゴラスの定理は、ユークリッドの平行法公準と一種の等価物であることがわかります。）言い換えれば、非ユークリッド幾何学では、三角形の辺間の関係は必然的にピタゴラスの定理とは異なる形になります。 たとえば、球面幾何学では、直角三角形の 3 つの辺すべて (たとえば、 ある, bそして c) は単位球の八分円 (8 分の 1) を制限し、長さは π/2 ですが、これはピタゴラスの定理に矛盾します。 ある 2 + b 2 ≠ c 2 .
ここで、非ユークリッド幾何学の 2 つのケース、球面幾何学と双曲幾何学を考えてみましょう。 どちらの場合も、直角三角形のユークリッド空間と同様に、ピタゴラスの定理を置き換える結果はコサイン定理から得られます。
ただし、三角形が長方形であるという要件が、三角形の 2 つの角度の合計が 3 番目の角度に等しくなければならないという条件に置き換えられる場合、ピタゴラスの定理は双曲幾何学および楕円幾何学に対して引き続き有効です。 あ+B = C。 すると、辺間の関係は次のようになります: 直径を持つ円の面積の合計 あるそして b直径のある円の面積に等しい c.
球面形状
半径のある球上の任意の直角三角形の場合 R(たとえば、三角形の角度 γ が直角の場合) ある, b, c当事者間の関係は次のようになります。
この等式は、すべての球面三角形に有効な球面余弦定理の特殊なケースとして導出できます。
ここで、cosh は双曲線余弦です。 この式は双曲線余弦定理の特殊なケースであり、すべての三角形に有効です。
ここで、 γ は頂点が辺の反対側にある角度です。 c.
どこ g ij計量テンソルと呼ばれます。 それは位置の関数かもしれません。 このような曲面空間には、一般的な例としてリーマン幾何学が含まれる。 この定式化は、曲線座標を使用する場合のユークリッド空間にも適しています。 たとえば、極座標の場合は次のようになります。
ベクターアートワーク
ピタゴラスの定理は、ベクトル積の大きさを表す 2 つの式を結び付けます。 外積を定義する 1 つのアプローチでは、次の方程式を満たす必要があります。
この式はドット積を使用します。 方程式の右側はグラム行列式と呼ばれます。 あるそして b、これら 2 つのベクトルによって形成される平行四辺形の面積に等しい。 この要件と、ベクトル積がその成分に対して垂直であるという要件に基づいています。 あるそして bしたがって、0 次元および 1 次元空間からの自明なケースを除いて、外積は 3 次元と 7 次元でのみ定義されるということになります。 角度の定義を使用します。 n-次元空間:
外積のこの特性により、その大きさは次のようになります。
基礎を通して 三角恒等式ピタゴラスでは、その値を別の形式で書きます。
外積を定義する別のアプローチは、その大きさの式を使用することです。 次に、逆の順序で推論すると、スカラー積との接続が得られます。
こちらも参照
ノート
- 歴史のトピック: バビロニア数学におけるピタゴラスの定理
- （、351ページ）351ページ
- (、第 1 巻、144 ページ)
- 議論 歴史的事実(, p. 351) p. 351 に記載
- クルト・フォン・フリッツ（1945年4月）。 「メタポントゥムのヒッパサスによる通約不可能性の発見」。 数学年報、第 2 シリーズ(数学年報) 46 (2): 242–264.
- ルイス・キャロル、「結び目のある物語」、M.、ミール、1985 年、p. 7
- アスガー・アーボエ数学の初期の歴史からのエピソード。 - アメリカ数学協会、1997年。 - P. 51。 - ISBN 0883856131
- Python の提案エリシャ・スコット・ルーミス著
- ユークリッドの 要素: 第 6 巻、命題 VI 31: 「直角三角形では、直角を規定する辺の図形は、直角を含む辺の同様の、同様に記述された図形と等しい。」
- ローレンス・S・レフ 引用作品。 - バロンズ教育シリーズ - P. 326。 - ISBN 0764128922
- ハワード・ホイットリー・イヴス§4.8:...ピタゴラスの定理の一般化 // 数学における偉大な瞬間 (1650 年以前)。 - アメリカ数学協会、1983年。 - P. 41。 - ISBN 0883853108
- タービット・イブン・コッラ（フルネーム：タービット・イブン・クルラ・イブン・マルワン・アル・ハラービ・アル・ハラーニー）（西暦826年～901年）は、バグダッドに住む医師で、ユークリッドの元素やその他の数学的主題について幅広く著作を残した。
- アイディン・サイリ（1960年3月）。 「Thâbit ibn Qurra のピタゴラスの定理の一般化」。 イシス 51 (1): 35-37。 DOI:10.1086/348837。
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すべての小学生は、斜辺の 2 乗が常に各脚の 2 乗の合計に等しいことを知っています。 この命題はピタゴラスの定理と呼ばれます。 彼女はその中でも最も優れた人物の一人です 有名な定理三角法と数学全般。 もう少し詳しく見てみましょう。
直角三角形の概念
斜辺の二乗が脚の二乗の和に等しいというピタゴラスの定理の検討に進む前に、この定理が成り立つ直角三角形の概念と性質を検討する必要があります。
三角 - 平らな図 3つの角と3つの辺を持っています。 直角三角形は、その名前が示すように、直角が 1 つあり、この角度は 90 度に等しくなります。
から 一般的なプロパティすべての三角形について、この図の 3 つの角の合計は 180 度であることが知られています。これは、直角三角形の場合、直角ではない 2 つの角の合計は 180 度 - 90 度 = 90 度であることを意味します。 この最後の事実は、直角でない直角三角形の角度は常に 90 度未満であることを意味します。
直角の反対側の辺を斜辺と呼びます。 他の 2 つの辺は三角形の脚であり、互いに等しい場合もあれば、異なる場合もあります。 三角法から、三角形の辺がなす角度が大きいほど、その辺の長さが大きくなることがわかります。 これは、直角三角形では、斜辺 (90 度の角度の反対側にある) が、どの脚 (角度の反対側にある) よりも常に大きいことを意味します。< 90 o).
ピタゴラスの定理の数学的表記
この定理は、斜辺の 2 乗が、事前に 2 乗された脚の合計に等しいことを示しています。 この公式を数学的に記述するには、辺 a、b、c がそれぞれ 2 本の脚と斜辺である直角三角形を考えます。 この場合、斜辺の二乗は脚の二乗の和に等しいとして定式化される定理は、次の式で表すことができます: c 2 = a 2 + b 2。 ここから、練習にとって重要な他の公式、a = √(c 2 - b 2)、b = √(c 2 - a 2)、および c = √(a 2 + b 2) を取得できます。
直角正三角形、つまり a = b の場合、斜辺の 2 乗は各脚の 2 乗の合計に等しいという公式は、数学的に次のように記述されることに注意してください。 c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2、これは等価性を意味します: c = a√2。
歴史的参照
斜辺の二乗が各脚の二乗の和に等しいというピタゴラスの定理は、有名なギリシャの哲学者が注目するずっと前から知られていました。 古代エジプトの多くのパピルスやバビロニア人の粘土板は、これらの民族が直角三角形の辺の注目すべき特性を使用していたことを裏付けています。 たとえば、最初のエジプトのピラミッドの 1 つであるカフラー王のピラミッドは、その建設が紀元前 26 世紀 (ピタゴラスの生涯の 2000 年前) に遡り、直角三角形 3x4x5 のアスペクト比の知識に基づいて建設されました。 。
では、なぜ今この定理にギリシャ語の名前が付けられているのでしょうか? 答えは簡単です。この定理を数学的に証明したのはピタゴラスが初めてです。 現存するバビロニアとエジプトの文書資料では、その使用法についてのみ言及されており、数学的証明は提供されていません。
ピタゴラスは、斜辺に対して 90 度の角度から直角三角形の高さを描くことによって得た、相似な三角形の性質を利用して問題の定理を証明したと考えられています。
ピタゴラスの定理の使用例
考えてみましょう 単純な作業: 傾斜階段の高さ H = 3 メートル、階段が置かれている壁からその足までの距離 P = 2.5 メートルであることがわかっている場合、傾斜階段の長さ L を決定する必要があります。
この場合、H と P は脚、L は斜辺です。 斜辺の長さは脚の二乗の合計に等しいため、次の式が得られます。 L 2 = H 2 + P 2、ここから L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2.5 2 ) = 3.905 メートルまたは 3 メートルと 90,5 cm
創造性の可能性は通常、人文科学に帰せられ、自然科学は分析、実践的なアプローチ、数式や数字の無味乾燥な言語に任せられます。 数学は人文科学の科目として分類することはできません。 しかし、創造性がなければ、「すべての科学の女王」に到達することはできません。人々はこのことを長い間知っていました。 たとえばピタゴラスの時代から。
残念ながら、学校の教科書では、数学では定理、公理、公式を詰め込むだけではないことが重要であることは説明されていません。 その基本原理を理解し、感じることが重要です。 そして同時に、決まり文句や初歩的な真実から心を解放するように努めてください。すべての偉大な発見はそのような状況でのみ生まれます。
そのような発見には、今日ピタゴラスの定理として知られているものが含まれます。 その助けを借りて、数学は刺激的なものであるだけでなく、そうあるべきであることを示していきたいと思います。 そして、この冒険は分厚いメガネをかけたオタクだけでなく、心と精神が強いすべての人に適しているということ。
問題の経緯から
厳密に言えば、この定理は「ピタゴラスの定理」と呼ばれていますが、ピタゴラス自身が発見したわけではありません。 直角三角形とその特別な特性は、それよりずっと前から研究されていました。 この問題に関しては 2 つの極的な観点があります。 一説によれば、ピタゴラスはこの定理の完全な証明を最初に発見したという。 別の人によると、この証明はピタゴラスの作者のものではありません。
今では、誰が正しくて誰が間違っているかを確認することはできなくなりました。 知られているのは、ピタゴラスの証明が存在したとしても、その証明は生き残っていないということです。 しかし、ユークリッドの原論からの有名な証明はピタゴラスのものである可能性があり、ユークリッドはそれを記録しただけであるという示唆があります。
また、今日では、直角三角形に関する問題が、ファラオ アメンエムハト 1 世の時代のエジプトの資料、ハンムラビ王の時代のバビロニアの粘土板、古代インドの論文「スルヴァ スートラ」、および古代中国の著作に見られることが知られています。周美スアンジン」。
ご覧のとおり、ピタゴラスの定理は古代から数学者の心を占めてきました。 これは、現在存在する約 367 の異なる証拠によって確認されています。 この点では、他の定理はこれに匹敵することはできません。 有名な証明の著者の中には、レオナルド・ダ・ヴィンチや第 20 代米国大統領ジェームズ・ガーフィールドを思い出すことができます。 これらすべては、この定理が数学にとって非常に重要であることを物語っています。幾何学の定理のほとんどはこの定理から導出されているか、何らかの形でこの定理と関連しています。
ピタゴラスの定理の証明
学校の教科書には代数の証明がほとんど載っています。 しかし、この定理の本質は幾何学にあるので、最初にこの科学に基づいた有名な定理の証明について考えてみましょう。
証拠1
直角三角形のピタゴラスの定理を最も簡単に証明するには、三角形が直角であるだけでなく二等辺であるという理想的な条件を設定する必要があります。 古代の数学者が最初に考えたのはまさにこの種の三角形であったと信じる理由があります。
声明 「直角三角形の斜辺上に作られる正方形は、その脚上に作られる正方形の和に等しい」次の図で説明できます。
二等辺長方形を見てください 三角形ABC: 斜辺 AC 上に、元の ABC に等しい 4 つの三角形からなる正方形を構築できます。 そして、辺 AB と辺 BC には正方形が構築され、それぞれの正方形には 2 つの相似な三角形が含まれます。
ちなみに、この絵は、ピタゴラスの定理をテーマにした数多くのジョークや漫画の基礎を形成しました。 最も有名なのはおそらく 「ピタゴラスパンツはどの方向でも等しい」:
証拠2
この方法は代数学と幾何学を組み合わせたもので、古代インドの数学者バスカリの証明の変形と考えることができます。
辺のある直角三角形を作成します a、b、c(図1)。 次に、2 本の脚の長さの合計に等しい辺を持つ 2 つの正方形を作成します。 (a+b)。 それぞれの正方形で、図 2 と図 3 のような構造を作成します。
最初の正方形で、図 1 と同様の 4 つの三角形を作成します。結果は 2 つの正方形になります。1 つは辺 a で、2 つ目は辺 a です。 b.
2 番目の正方形では、4 つの相似な三角形が構築され、辺のある正方形が形成されます。 斜辺に等しい c.
図2で構築された正方形の面積の合計は、図3の辺cで構築した正方形の面積に等しくなります。 これは、図の正方形の面積を計算することで簡単に確認できます。 計算式によると２。 そして、図3の内接正方形の面積は、一辺のある大きな正方形の面積から、その正方形に内接する4つの等しい直角三角形の面積を引いたものです。 (a+b).
これをすべて書き留めると、次のようになります。 a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab。 括弧を開いて必要な代数計算をすべて実行すると、次の結果が得られます。 a 2 +b 2 = a 2 +b 2。 この場合、図3に内接する領域となります。 平方は従来の公式を使用して計算することもできます S=c 2。 それらの。 a 2 +b 2 =c 2– あなたはピタゴラスの定理を証明しました。
証拠3
古代インドの証明自体は、12 世紀に論文『知識の王冠』（『シッダーンタ・シロマニ』）で説明されており、著者は主な議論として、学生や信者の数学的才能と観察スキルに向けた訴えを使用しています。見て！"
しかし、この証明をさらに詳しく分析します。
正方形の中に、図のように 4 つの直角三角形を作ります。 斜辺としても知られる大きな正方形の辺を示しましょう。 と。 三角形の足を呼びましょう あそして b。 図面によると、内側の正方形の辺は (a-b).
正方形の面積の公式を使用します S=c 2外側の正方形の面積を計算します。 そして同時に、内側の正方形の面積と 4 つの直角三角形すべての面積を加算して同じ値を計算します。 (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.
正方形の面積を計算するために両方のオプションを使用して、同じ結果が得られることを確認できます。 そしてこれはあなたにそれを書き留める権利を与えます c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b。 解法の結果として、ピタゴラスの定理の公式が得られます。 c 2 =a 2 +b 2。 定理は証明されました。
証明4
この奇妙な古代中国の証拠は、すべての構造から生じる椅子のような形状のため、「花嫁の椅子」と呼ばれていました。
すでに 2 回目の証明で図 3 で見た図を使用します。 そして、辺 c を持つ内側の正方形は、上記の古代インドの証明と同じ方法で構築されます。
図 1 の図から 2 つの緑色の長方形の三角形を頭の中で切り取り、辺 c の正方形の反対側に移動し、その斜辺を薄紫色の三角形の斜辺に接続すると、「花嫁の椅子」と呼ばれる図形が得られます。 (図2)。 わかりやすくするために、紙の正方形や三角形でも同じことができます。 「花嫁の椅子」が 2 つの正方形で形成されていることを確認します。1 つは側面のある小さな正方形です。 b側面があり大きい ある.
これらの構造により、古代中国の数学者とそれに従っている私たちは、次のような結論に達することができました。 c 2 =a 2 +b 2.
証拠5
これは、幾何学を使用してピタゴラスの定理の解を見つけるもう 1 つの方法です。 それはガーフィールド法と呼ばれています。
直角三角形を作図する ABC。 それを証明する必要があります BC 2 = AC 2 + AB 2.
これを行うには、脚を続けます 交流そしてセグメントを構築します CD、 どれの 脚に等しい AB。 垂線を下げる 広告線分 ED。 セグメント EDそして 交流は同じ。 点を結びます Eそして で、 そして Eそして とそして、以下の図のような図面を取得します。
タワーを証明するために、すでに試した方法に再び頼ります。2 つの方法で結果の図形の面積を見つけ、式を互いに同等にします。
多角形の面積を求める ベッドを形成する 3 つの三角形の面積を合計することで求めることができます。 そしてそのうちの一人、 える、長方形だけでなく二等辺三角形もあります。 それも忘れないようにしましょう AB=CD, AC=EDそして BC=SE– これにより、録音を簡素化し、過負荷にならずに済むようになります。 それで、 SABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.
同時に、明らかなことは、 ベッド- これは台形です。 したがって、次の式を使用して面積を計算します。 サブベッド =(DE+AB)*1/2AD。 私たちの計算では、セグメントを表す方が便利で明確です。 広告セグメントの合計として 交流そして CD.
Figure の面積を計算する両方の方法を等号で挟んで書き留めてみましょう。 AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD)。 表記の右側を簡略化するために、すでにわかっており、上で説明したセグメントの等価性を使用します。 AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2。 ここで括弧を開いて等式を変換しましょう。 AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2。 すべての変換が完了すると、まさに必要なものが得られます。 BC 2 = AC 2 + AB 2。 私たちは定理を証明しました。
もちろん、この証拠のリストは完全ではありません。 ピタゴラスの定理は、ベクトル、複素数、微分方程式、ステレオメトリーなどを使用して証明することもできます。 さらには物理学者も同様です。たとえば、図面に示されているのと同様の正方形や三角形の容積に液体が注がれたとします。 液体を注ぐことにより、結果として面積の等しいことと定理そのものを証明することができます。
ピタゴラスの三つ子について一言
この問題は学校のカリキュラムではほとんど、あるいはまったく研究されていません。 一方で、彼はとても興味深く、 非常に重要幾何学で。 ピタゴラス トリプルは、多くの数学的問題を解決するために使用されます。 それらを理解することは、今後の教育に役立つ可能性があります。
では、ピタゴラスの三つ子とは何でしょうか? 彼らはそれをそう呼んでいます 整数、3 つに集められ、そのうちの 2 つの二乗の合計は、その正方形の 3 番目の数字に等しくなります。
ピタゴラス トリプルは次のようになります。
- プリミティブ (3 つの数値はすべて比較的素です)。
- プリミティブではありません (トリプルの各数値に同じ数値を乗算すると、プリミティブではない新しいトリプルが得られます)。
私たちの時代よりも前から、古代エジプト人はピタゴラスの三つの数のマニアに魅了されていました。問題では、辺が 3、4、5 単位の直角三角形を考慮していました。 ちなみに、辺がピタゴラスのトリプルの数に等しい三角形は、デフォルトでは長方形になります。
ピタゴラスの 3 つ組の例: (3, 4, 5)、(6, 8, 10)、(5, 12, 13)、(9, 12, 15)、(8, 15, 17)、(12, 16, 20 )、(15、20、25)、(7、24、25)、(10、24、26)、(20、21、29)、(18、24、30)、(10、30、34) 、(21、28、35)、(12、35、37)、(15、36、39)、(24、32、40)、(9、40、41)、(27、36、45)、( 14、48、50)、(30、40、50)など
定理の実際の応用
ピタゴラスの定理は数学だけでなく、建築や建設、天文学、さらには文学でも使用されています。
まず、構造についてです。ピタゴラスの定理は、さまざまなレベルの複雑さの問題で広く使用されています。 たとえば、ロマネスク様式の窓を見てください。
ウィンドウの幅を次のように表すことにします。 bの場合、主半円の半径は次のように表すことができます。 Rそしてそれを通して表現します b: R=b/2。 より小さい半円の半径は次のように表すこともできます。 b: r=b/4。 この問題では、ウィンドウの内円の半径に興味があります (これを次のように呼びます) p).
ピタゴラスの定理は計算に役立つだけです R。 これを行うには、図の点線で示されている直角三角形を使用します。 三角形の斜辺は 2 つの半径で構成されます。 b/4+p。 1本の脚は半径を表します b/4、 別の b/2-p。 ピタゴラスの定理を使用して、次のように書きます。 (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2。 次に、括弧を開いて次の結果を取得します。 b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2。 この式を変形してみましょう bp/2=b 2 /4-bp。 そして、すべての項を次のように割ります。 b、類似のものを提示して入手します 3/2*p=b/4。 そして最終的には次のことがわかります p=b/6- それが私たちが必要としていたものです。
定理を使用すると、切妻屋根の垂木の長さを計算できます。 信号が一定のレベルに到達するために必要な携帯電話の塔の高さを決定する 決済。 さらには町の広場に持続可能な形でクリスマスツリーを設置することもあります。 ご覧のとおり、この定理は教科書のページに載っているだけでなく、実生活でも役立つことがよくあります。
文学においては、ピタゴラスの定理は古代から作家にインスピレーションを与えてきましたが、それは現代でも影響を受け続けています。 たとえば、19 世紀のドイツの作家アーデルベルト フォン シャミッソは、次のようなソネットを書くインスピレーションを得ました。
真実の光はすぐに消えることはなく、
でも、輝いたからには消えそうにない
そして、何千年も前と同じように、
疑念や紛争を引き起こすことはありません。
あなたの視線に触れたときが最も賢い
真実の光よ、神に感謝します。
そして、屠殺された百頭の雄牛が嘘をついています。
幸運のピタゴラスからのお返し。
それ以来、雄牛たちは必死に吠え続けました。
雄牛族を永遠に警戒させた
ここで言及されているイベント。
彼らにはその時が近づいているようですが、
そして彼らは再び犠牲になるだろう
何か素晴らしい定理。
（翻訳：ヴィクトル・トポロフ）
そして 20 世紀には、ソ連の作家エフゲニー ヴェルティストフが、著書『エレクトロニクスの冒険』の中で、ピタゴラスの定理の証明に 1 章全体を費やしました。 そして、ピタゴラスの定理が単一世界の基本法則となり、さらには宗教になった場合に存在し得る二次元世界についての物語のもう半分の章です。 そこに住むのはずっと楽ですが、もっと退屈でもあります。たとえば、「丸い」とか「ふわふわ」という言葉の意味を理解している人は誰もいません。
そして、『エレクトロニクスの冒険』という本の中で、著者は数学教師タラタルの口を通して、「数学において最も重要なことは、思考の動き、新しいアイデアである」と述べています。 まさにこの創造的な思考の飛行がピタゴラスの定理を生み出します。ピタゴラスの定理が非常に多くの多様な証明を持っているのは当然のことです。 それは、見慣れたものの境界を超えて、見慣れたものを新しい方法で見るのに役立ちます。
結論
この記事は、学校の数学カリキュラムを超えて、教科書「幾何学 7-9」(L.S. アタナシアン、V.N. ルデンコ) と「幾何学 7」で与えられるピタゴラスの定理の証明だけを学ぶことができるように作成されました。 11」（A.V. ポゴレロフ）だけでなく、有名な定理を証明する他の興味深い方法もあります。 また、ピタゴラスの定理が日常生活にどのように応用できるかの例もご覧ください。
まず、この情報により、数学の授業でより高いスコアを獲得する資格が得られます。追加の情報源からのこの主題に関する情報は常に高く評価されます。
2つ目は、数学の面白さを感じてもらいたいということです。 具体的な例を挙げて、常に創造性の余地があることを確認してください。 ピタゴラスの定理とこの記事が、あなたが数学やその他の科学を独自に探求し、刺激的な発見をするきっかけとなることを願っています。
記事に示されている証拠が興味深いと思われた場合は、コメントでお知らせください。 この情報はあなたの研究に役立ちましたか? ピタゴラスの定理とこの記事についてのご意見を私たちに書いてください。喜んで話し合います。
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説明書
ピタゴラスの定理を使用して計算する必要がある場合は、次のアルゴリズムを使用します。 - 三角形のどの辺が脚でどの辺が斜辺であるかを決定します。 90度の角度を形成する2つの辺は脚であり、残りの3分の1は斜辺です。 (cm) - この三角形の各脚の 2 乗、つまりそれ自体を掛けます。 例 1. 三角形の一方の脚が 12 cm、もう一方の脚が 5 cm である場合の斜辺を計算する必要があるとします。まず、脚の正方形は 12 * 12 = 144 cm と 5 * 5 = 25 cm に等しくなります。次に、平方脚の合計を求めます。 ある数字というのは、 斜辺を見つけるには、数値の 2 乗を取り除く必要があります。 長さ三角形のこちら側。 これを行うには、下から取り外します 平方根脚の二乗和の値。 例 1. 144+25=169。 169 の平方根は 13 です。したがって、この長さは 斜辺 13cmに相当します。
長さを計算する別の方法 斜辺は、三角形の正弦と角度の用語にあります。 定義により、角度アルファの正弦 - 斜辺の反対側の脚。 つまり、図を見ると、sin a = CB / AB となります。 したがって、斜辺 AB = CB / sin a. 例 2. 角度を 30 度、反対側を 4 cm とします。 解答: AB = 4 cm / sin 30 = 4 cm / 0.5 = 8 cm 斜辺 8cmに相当します。
同様の検索方法 斜辺角度の余弦の定義から。 角度の余弦はそれに隣接する辺の比であり、 斜辺。 つまり、cos a = AC/AB、したがって AB = AC/cos a となります。 例 3. 三角形 ABC では、AB は斜辺、角度 BAC は 60 度、脚 AC は 2 cm です。
解: AB = AC/cos 60 = 2/0.5 = 4 cm 答え: 斜辺の長さは 4 cm です。
角度のサインまたはコサインの値を見つける場合は、サインとコサインのテーブルまたは Bradis テーブルのいずれかを使用します。
ヒント 2: 直角三角形の斜辺の長さを見つける方法
斜辺は直角三角形の最も長い辺であるため、次のことは驚くべきことではありません。 ギリシャ語この言葉は「きつい」と訳されます。 この辺は常に 90° の角度の反対側にあり、この角度を形成する辺は脚と呼ばれます。 これらの辺の長さと、これらの値のさまざまな組み合わせにおける鋭角の値がわかれば、斜辺の長さを計算できます。
説明書
両方の三角形 (A と B) の長さが既知の場合は、おそらく最も有名な数学的公準であるピタゴラスの定理である斜辺 (C) の長さを使用します。 斜辺の長さの 2 乗は脚の長さの 2 乗の合計であると述べられており、そこから 2 つの辺の長さの 2 乗の合計の根を計算する必要があることがわかります: C = √ ( A² + B²)。 たとえば、片足の長さが 15 センチメートルと - 10 センチメートルの場合、√(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18.0277564 より、斜辺の長さは約 18.0277564 センチメートルになります。
直角三角形の脚 (A) の 1 つだけの長さと、その反対側の角度 (α) の値がわかっている場合は、斜辺の長さ (C) を三角関数の 1 つを使用して使用できます。関数 - サイン。 これを行うには、既知の辺の長さを既知の角度のサインで割ります: C=A/sin(α)。 たとえば、片方の脚の長さが 15 センチメートルで、三角形の反対側の頂点の角度が 30 ° である場合、15/sin(30°) より、斜辺の長さは 30 センチメートルに等しくなります。 =15/0.5=30。
直角三角形で、鋭角の 1 つ (α) のサイズと、隣接する脚の長さ (B) がわかっている場合、斜辺 (C) の長さを計算するには、別の三角関数 - コサインを使用できます。 既知の脚の長さを既知の角度の余弦で割る必要があります: C=B/ cos(α)。 たとえば、この脚の長さが 15 センチメートルで、その値が 鋭角隣接する角度が 30°である場合、15/cos(30°)=15/(0.5*√3)=30/√3≈17.3205081 より、斜辺の長さは約 17.3205081 センチメートルになります。
長さは通常、線分上の 2 点間の距離を示すために使用されます。 直線、破線、または閉じた線にすることができます。 セグメントのその他の指標を知っていれば、長さを非常に簡単に計算できます。
説明書
正方形の辺の長さを求める必要がある場合、その面積 S がわかっていれば、長さは求められません。正方形のすべての辺が次のとおりであるという事実により、
