(ベルリン博物館のパピルス 6619 による)。 カントールによれば、ハルペドナプテス、または「ロープ引き」は、辺が 3、4、5 の直角三角形を使用して直角を構築しました。

彼らの構築方法を再現するのは非常に簡単です。 長さ12メートルのロープを用意し、一方の端から3メートル、もう一方の端から4メートルの距離に色の付いたストリップを結び付けましょう。 直角は辺の長さが 3 メートルと 4 メートルの間になります。 たとえば、すべての大工が使用する木製の正方形を使用すると、ハルペドナプテスの建築方法が不必要になるという反論もあるかもしれません。 実際、そのような道具が描かれたエジプトの図面、例えば大工仕事場を描いた図面が知られている。

バビロニア人の間ではピタゴラスの定理についてもう少し詳しく知られています。 ハンムラビの時代、つまり紀元前 2000 年に遡る文書の中にあります。 e. 、斜辺のおおよその計算が与えられます。 直角三角形。 このことから、メソポタミアでは、少なくともいくつかの場合において、直角三角形を使用した計算を実行できたと結論付けることができます。 一方ではエジプトとバビロニアの数学に関する現在の知識レベルに基づいて、他方ではギリシャの資料の批判的研究に基づいて、ファン・デル・ワールデン（オランダの数学者）は、次のような可能性が高いと結論付けた。斜辺の二乗に関する定理は、インドでは紀元前 18 世紀頃にすでに知られていました。 e.

紀元前400年頃。 プロクロスによれば、紀元前、プラトンは代数と幾何学を組み合わせてピタゴラスの三重項を見つける方法を与えた。 紀元前300年頃。 e. ピタゴラスの定理の最も古い公理的証明は、ユークリッドの要素に登場しました。

製剤

幾何学的定式化:

この定理はもともと次のように定式化されました。

代数的定式化:

つまり、三角形の斜辺の長さを 、脚の長さを と で表すと、次のようになります。

定理の両方の定式化は同等ですが、2 番目の定式化はより基本的であり、面積の概念を必要としません。 つまり、2 番目のステートメントは、面積について何も知らなくても、直角三角形の辺の長さを測定するだけで検証できます。

逆ピタゴラスの定理:

証拠

現在、この定理の 367 件の証明が科学文献に記録されています。 おそらく、ピタゴラスの定理は、これほど多くの証明が行われている唯一の定理です。 このような多様性は、幾何学の定理の基本的な重要性によってのみ説明できます。

もちろん、概念的にはそれらはすべて少数のクラスに分類できます。 それらの中で最も有名なものは、面積法による証明、公理的およびエキゾチックな証明 (たとえば、微分方程式を使用した) です。

相似な三角形を通って

代数定式化の次の証明は、公理から直接構築された最も単純な証明です。 特に、図形の面積の概念は使用しません。

させて ABC直角を持つ直角三角形があります C。 から高さを描きましょう Cそしてその基底を次のように表します H。 三角形 ACH三角形に似た ABC 2つの角で。 同様に三角形 CBH似ている ABC。 表記法を導入することで

我々が得る

同等とは何ですか

それを合計すると、

、それは証明する必要があるものです

面積法を使用した証明

以下の証明は単純そうに見えますが、まったく単純ではありません。 これらはすべて面積の性質を使用しており、その証明はピタゴラスの定理自体の証明よりも複雑です。

等相補性による証明

1. 図1のように等しい直角三角形を4つ並べてみましょう。
2. 辺のある四角形 c 2の和なので正方形です 鋭い角 90°、展開角度は 180°です。
3. 図形全体の面積は、一方では辺（a+b）を持つ正方形の面積に等しく、他方では4つの三角形と内側の広場のエリア。

Q.E.D.

ユークリッドの証明

ユークリッドの証明の考え方は次のとおりです。斜辺の上に作られた正方形の面積の半分は、脚の上に作られた正方形の半分の面積の合計に等しいことを証明してみましょう。大きい正方形と小さい正方形 2 つは等しいです。

左の図を見てみましょう。 その上に、直角三角形の辺に正方形を作成し、直角 C の頂点から斜辺 AB に垂直な光線 s を描きます。斜辺上に構築された正方形 ABIK を 2 つの長方形 (BHJI と HAKJ) に切ります。それぞれ。 これらの長方形の面積は、対応する脚上に構築された正方形の面積と正確に等しいことがわかります。

正方形 DECA の面積が長方形 AHJK の面積に等しいことを証明してみましょう。これを行うには、補助的な観察を使用します。高さと底辺が同じ三角形の面積です。指定された長方形は、指定された長方形の面積の半分に等しくなります。 これは、三角形の面積を底辺と高さの積の半分として定義した結果です。 この観察から、三角形 ACK の面積は三角形 AHK (図には示されていません) の面積に等しく、三角形 AHK の面積は長方形 AHJK の面積の半分に等しいことがわかります。

ここで、三角形 ACK の面積も正方形 DECA の面積の半分に等しいことを証明しましょう。 このために行う必要がある唯一のことは、三角形 ACK と BDA が等しいことを証明することです (上記の性質によれば、三角形 BDA の面積は正方形の面積の半分に等しいため)。 この等しいことは明白です。三角形は両側とそれらの間の角度が等しいのです。 つまり、AB=AK、AD=AC - 角度 CAK と BAD が等しいことは、運動法によって簡単に証明できます。三角形 CAK を反時計回りに 90°回転すると、2 つの三角形の対応する辺が質問は一致します（正方形の頂点の角度が90°であるため）。

正方形 BCFG と長方形 BHJI の面積が等しい理由は完全に似ています。

したがって、斜辺上に作られた正方形の面積は、脚上に作られた正方形の面積で構成されることが証明されました。 この証明の背後にある考え方は、上のアニメーションでさらに詳しく説明されています。

レオナルド・ダ・ヴィンチの証明

証明の主な要素は対称性と動きです。

図面を考えてみましょう。対称性からわかるように、セグメントは正方形を 2 つの同一の部分に分割します (三角形の構造が等しいため)。

点を中心に反時計回りに 90 度回転させると、影付きの数値が等しいことがわかります。

これで、影を付けた図の面積が、（脚の上に構築された）小さな正方形の面積の半分と元の三角形の面積の合計に等しいことが明らかです。 一方、それは、（斜辺上に構築された）大きな正方形の面積の半分に、元の三角形の面積を加えたものに等しくなります。 したがって、小さな正方形の面積の合計の半分は、大きな正方形の面積の半分に等しいため、脚の上に作られた正方形の面積の合計は、脚の上に作られた正方形の面積に等しくなります。斜辺。

無限小法による証明

微分方程式を使用した次の証明は、20 世紀前半に生きた有名な英国の数学者ハーディによるものであることがよくあります。

図に示した図面を見て、側面の変化を観察します。 ある、無限小の辺の増分に対して次の関係を書くことができます。 とそして ある(三角形の類似度を使用):

変数の分離方法を使用すると、次のようになります。

両側に増加がある場合の斜辺の変化のより一般的な式

この方程式を積分し、初期条件を使用すると、次のようになります。

こうして私たちは望ましい答えに到達します

簡単にわかるように、三角形の辺と増分の間の線形比例関係により、最終的な式の二次依存性が現れますが、合計はさまざまな脚の増分からの独立した寄与に関連付けられています。

脚の 1 つ (この場合は脚) が増加しないと仮定すると、より簡単な証明が得られます。 次に、積分定数を取得します。

バリエーションと一般化

3 つの面で同様の幾何学的形状

相似な三角形の一般化、緑色の形状の面積 A + B = 青色の面積 C

相似な直角三角形を使ったピタゴラスの定理

ユークリッドはその著作の中でピタゴラスの定理を一般化しました 始まり、辺の正方形の領域を同様の幾何学的図形の領域に拡張します。

直角三角形の辺に同様の幾何学図形（ユークリッド幾何学を参照）を作成すると、2 つの小さい図形の合計は大きい図形の面積に等しくなります。

本旨この一般化は、そのような幾何学的図形の面積は、その幾何学的図形のいずれかの二乗に比例するということです。 直線サイズ特に任意の辺の長さの二乗。 したがって、面積のある同様の図形については、 あ, Bそして C長さのある側面で構築される ある, bそして c、 我々は持っています：

しかし、ピタゴラスの定理によれば、 ある 2 + b 2 = c 2その後 あ + B = C.

逆にそれが証明できれば あ + B = Cピタゴラスの定理を使用せずに、3 つの同様の幾何学的図形について、反対方向に移動して定理自体を証明できます。 たとえば、開始中心の三角形は三角形として再利用できます。 C斜辺上と 2 つの相似な直角三角形 ( あそして B)、中央の三角形をその高さで分割することによって形成される他の 2 つの側面に構築されます。 2 つの小さな三角形の面積の合計は、明らかに 3 番目の三角形の面積に等しいため、 あ + B = Cそして、前の証明を逆の順序で実行すると、ピタゴラスの定理 a 2 + b 2 = c 2 が得られます。

コサイン定理

ピタゴラスの定理は、より一般的なコサイン定理の特殊なケースであり、任意の三角形の辺の長さを関連付けます。

ここで、θは辺間の角度です。 あるそして b.

θが90度ならcos θ = 0 となり、式は通常のピタゴラスの定理に単純化されます。

フリートライアングル

辺のある任意の三角形の選択した任意の角に a、b、c二等辺三角形を、その​​底辺 θ の等しい角度が選択した角度と等しくなるように内接してみましょう。 選択した角度 θ が指定された側の反対側にあると仮定します。 c。 その結果、辺の反対側に位置する角度θの三角形ABDが得られました。 あるそしてパーティー r。 2 番目の三角形は角度 θ で形成され、辺の反対側に位置します。 bそしてパーティー と長さ s、写真に示されているように。 タビト・イブン・クルラは、これら 3 つの三角形の辺は次のように関係していると主張しました。

角度 θ が π/2 に近づくにつれて、二等辺三角形の底辺は小さくなり、2 つの辺 r と s の重なり合いはますます少なくなります。 θ = π/2 のとき、ADB は直角三角形になり、 r + s = cそして最初のピタゴラスの定理が得られます。

議論の 1 つを考えてみましょう。 三角形 ABC は三角形 ABD と同じ角度を持ちますが、順序が逆です。 (2 つの三角形は頂点 B で共通の角度を持ち、両方とも角度 θ を持ち、三角形の角度の合計に基づいて同じ 3 番目の角度も持ちます) したがって、ABC は三角形 DBA の反射 ABD に似ています。下の図に示されています。 角度θに隣接する対辺と対辺の関係を書いてみましょう。

別の三角形の反映でもあり、

分数を掛けて、これら 2 つの比率を加算しましょう。

Q.E.D.

平行四辺形による任意の三角形の一般化

任意の三角形の一般化、
緑のエリア プロット = 面積青

上の図の論文の証明

正方形の代わりに 3 つの辺に平行四辺形を使用して、非直角三角形をさらに一般化してみましょう。 (正方形は特殊なケースです。) 上の図は、鋭角三角形の場合、長辺の平行四辺形の面積が他の 2 辺の平行四辺形の合計に等しいことを示しています。辺は図のように構成されます (矢印で示された寸法は同じであり、下の平行四辺形の辺を決定します)。 この正方形を平行四辺形に置き換える方法は、紀元 4 年にアレクサンドリアのパップスによって定式化されたと考えられているピタゴラスの初期定理に明らかに似ています。 e.

下の図は証明の進行状況を示しています。 三角形の左側を見てみましょう。 左側の緑色の平行四辺形は、底辺が同じであるため、青色の平行四辺形の左側と同じ面積になります。 bと高さ h。 さらに、左側の緑色の平行四辺形は、共通の底辺 (三角形の左上の辺) と、三角形のその辺に垂直な共通の高さを共有しているため、上の図の左側の緑色の平行四辺形と同じ面積を持ちます。 三角形の右側についても同様の推論を使用して、下の平行四辺形が 2 つの緑色の平行四辺形と同じ面積を持つことを証明します。

複素数

ピタゴラスの定理は、デカルト座標系の 2 点間の距離を求めるために使用され、この定理はすべての真の座標に対して有効です。 s 2 点の間 ( a、b） そして （ CD) に等しい

複素数が実数成分を持つベクトルとして扱われる場合、式に問題はありません。 バツ + 私は = (バツ, y). 。 たとえば、距離 s 0 + 1の間 私そして1 + 0 私ベクトルの係数として計算されます (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), または

ただし、複素座標のベクトルを使用する演算の場合は、ピタゴラスの公式にいくつかの改良を加える必要があります。 点間の距離 複素数 (ある, b） そして （ c, d); ある, b, c、 そして dすべて複雑なので、絶対値を使用して定式化します。 距離 sベクトルの差に基づく (ある − c, b − d) 次の形式で: 違いをみましょう ある − c = p+i q、 どこ p- 差の実部、 qは虚数部であり、i = √(−1) です。 同様に、 b − d = r+i s。 それから：

ここで、 は の複素共役数です。 たとえば、点間の距離 (ある, b) = (0, 1) そして (c, d) = (私, 0) , 差を計算してみましょう (ある − c, b − d) = (−私, 1) 複素共役が使用されない場合、結果は 0 になります。 したがって、改良された公式を使用すると、次のようになります。

モジュールは次のように定義されます。

ステレオメトリー

3 次元空間に対するピタゴラスの定理の重要な一般化は、J.-P. にちなんで名付けられたド ゴイの定理です。 デ・ゴワ: 四面体が（立方体のように）直角である場合、直角の反対側の面の面積の平方根は次のようになります。 合計に等しい他の 3 つの面の面積の 2 乗。 この結論は次のように要約できます。 n-次元ピタゴラスの定理":

3 次元空間におけるピタゴラスの定理は、対角線 AD を 3 つの辺に関連付けます。

別の一般化: ピタゴラスの定理は、次の形式で立体測定に適用できます。 図に示すような直方体を考えます。 ピタゴラスの定理を使用して対角線 BD の長さを求めてみましょう。

ここで、3つの辺が直角三角形を形成します。 水平対角線 BD と垂直エッジ AB を使用して対角線 AD の長さを求めます。このためにもピタゴラスの定理を使用します。

または、すべてを 1 つの方程式で書くと次のようになります。

この結果は、ベクトルの大きさを決定するための 3 次元式です。 v(対角線 AD)、その垂直成分で表されます ( v k ) (相互に垂直な 3 つの辺):

この方程式は、多次元空間に対するピタゴラスの定理を一般化したものと考えることができます。 しかし、その結果は、実際には、ピタゴラスの定理を、連続する垂直面内の一連の直角三角形に繰り返し適用したことに他なりません。

ベクトル空間

ベクトルの直交系の場合には等式が成立し、これはピタゴラスの定理とも呼ばれます。

これらが座標軸へのベクトルの投影である場合、この式はユークリッド距離と一致し、ベクトルの長さがその成分の二乗の合計の平方根に等しいことを意味します。

ベクトルの無限系の場合のこの等式の類似物は、パーセヴァルの等式と呼ばれます。

非ユークリッド幾何学

ピタゴラスの定理はユークリッド幾何学の公理から派生したもので、実際、上に書いた形式では非ユークリッド幾何学には有効ではありません。 （つまり、ピタゴラスの定理は、ユークリッドの平行法公準と一種の等価物であることがわかります。）言い換えれば、非ユークリッド幾何学では、三角形の辺間の関係は必然的にピタゴラスの定理とは異なる形になります。 たとえば、球面幾何学では、直角三角形の 3 つの辺すべて (たとえば、 ある, bそして c) は単位球の八分円 (8 分の 1) を制限し、長さは π/2 ですが、これはピタゴラスの定理に矛盾します。 ある 2 + b 2 ≠ c 2 .

ここで、非ユークリッド幾何学の 2 つのケース、球面幾何学と双曲幾何学を考えてみましょう。 どちらの場合も、直角三角形のユークリッド空間と同様に、ピタゴラスの定理を置き換える結果はコサイン定理から得られます。

ただし、三角形が長方形であるという要件が、三角形の 2 つの角度の合計が 3 番目の角度に等しくなければならないという条件に置き換えられる場合、ピタゴラスの定理は双曲幾何学および楕円幾何学に対して引き続き有効です。 あ+B = C。 すると、辺間の関係は次のようになります: 直径を持つ円の面積の合計 あるそして b直径のある円の面積に等しい c.

球面形状

半径のある球上の任意の直角三角形の場合 R(たとえば、三角形の角度 γ が直角の場合) ある, b, c当事者間の関係は次のようになります。

この等式は、すべての球面三角形に有効な球面余弦定理の特殊なケースとして導出できます。

ここで、cosh は双曲線余弦です。 この式は双曲線余弦定理の特殊なケースであり、すべての三角形に有効です。

ここで、 γ は頂点が辺の反対側にある角度です。 c.

どこ g ij計量テンソルと呼ばれます。 それは位置の関数かもしれません。 このような曲線空間には、次のようなリーマン幾何学が含まれます。 一般的な例。 この定式化は、曲線座標を使用する場合のユークリッド空間にも適しています。 たとえば、極座標の場合は次のようになります。

ベクターアートワーク

ピタゴラスの定理は、ベクトル積の大きさを表す 2 つの式を結び付けます。 外積を定義する 1 つのアプローチでは、次の方程式を満たす必要があります。

この式はドット積を使用します。 方程式の右側はグラム行列式と呼ばれます。 あるそして b、これら 2 つのベクトルによって形成される平行四辺形の面積に等しい。 この要件と、ベクトル積がその成分に対して垂直であるという要件に基づいています。 あるそして bしたがって、0 次元および 1 次元空間からの自明なケースを除いて、外積は 3 次元と 7 次元でのみ定義されるということになります。 角度の定義を使用します。 n-次元空間:

外積のこの特性により、その大きさは次のようになります。

基礎を通して 三角恒等式ピタゴラスでは、その値を別の形式で書きます。

外積を定義する別のアプローチは、その大きさの式を使用することです。 次に、逆の順序で推論すると、スカラー積との接続が得られます。

こちらも参照

ノート

1. 歴史のトピック: バビロニア数学におけるピタゴラスの定理
2. （、351ページ）351ページ
3. (、第 1 巻、144 ページ)
4. 議論 歴史的事実(, p. 351) p. 351 に記載
5. クルト・フォン・フリッツ（1945年4月）。 「メタポントゥムのヒッパサスによる通約不可能性の発見」。 数学年報、第 2 シリーズ(数学年報) 46 (2): 242–264.
6. ルイス・キャロル、「結び目のある物語」、M.、ミール、1985 年、p. 7
7. アスガー・アーボエ数学の初期の歴史からのエピソード。 - アメリカ数学協会、1997年。 - P. 51。 - ISBN 0883856131
8. Python の提案エリシャ・スコット・ルーミス著
9. ユークリッドの 要素: 第 6 巻、命題 VI 31: 「直角三角形では、直角を規定する辺の図形は、直角を含む辺の同様の、同様に記述された図形と等しい。」
10. ローレンス・S・レフ 引用作品。 - バロンズ教育シリーズ - P. 326。 - ISBN 0764128922
11. ハワード・ホイットリー・イヴス§4.8:...ピタゴラスの定理の一般化 // 数学における偉大な瞬間 (1650 年以前)。 - アメリカ数学協会、1983年。 - P. 41。 - ISBN 0883853108
12. タービット・イブン・コッラ（フルネーム：タービット・イブン・クルラ・イブン・マルワン・アル・ハラービ・アル・ハラーニー）（西暦826年～901年）は、バグダッドに住む医師で、ユークリッドの元素やその他の数学的主題について幅広く著作を残した。
13. アイディン・サイリ（1960年3月）。 「Thâbit ibn Qurra のピタゴラスの定理の一般化」。 イシス 51 (1): 35-37。 DOI:10.1086/348837。
14. ジュディス・D・サリー、ポール・サリー演習 2.10 (ii) // 引用文献。 - P. 62. - ISBN 0821844032
15. このような構造の詳細については、次を参照してください。 ジョージ・ジェニングス図 1.32: 一般化されたピタゴラスの定理 // 応用を伴う現代幾何学: 150 個の図付き。 - 3番目。 - Springer、1997年。 - P. 23。 - ISBN 038794222X
16. アーレン・ブラウン、カール・M・パーシーアイテム C: 任意のノルム n-tuple ... // 分析の概要。 - Springer、1995. - P. 124. - ISBN 0387943692 47 ～ 50 ページも参照してください。
17. アルフレッド・グレイ、エルサ・アベナ、サイモン・サラモン Mathematica を使用した曲線と曲面の最新の微分幾何学。 - 3番目。 - CRC Press、2006. - P. 194. - ISBN 1584884487
18. ラジェンドラ・バティアマトリックス分析。 - Springer、1997年。 - P. 21。 - ISBN 0387948465
19. スティーブン・W・ホーキング博士 引用作品。 - 2005. - P. 4. - ISBN 0762419229
20. エリック・W・ワイスタイン CRC の数学の簡潔な百科事典。 - 2番目。 - 2003. - P. 2147. - ISBN 1584883472
21. アレクサンダー・R・プルス

ピタゴラスの定理- ユークリッド幾何学の基本定理の 1 つで、次の関係を確立します。

直角三角形の辺の間。

ギリシャの数学者ピタゴラスによって証明されたと考えられており、ピタゴラスの名にちなんで名付けられました。

ピタゴラスの定理の幾何学的定式化。

この定理はもともと次のように定式化されました。

直角三角形では、斜辺上に作られる正方形の面積は、正方形の面積の合計に等しく、

脚の上に構築されています。

ピタゴラスの定理の代数的定式化。

直角三角形では、斜辺の長さの二乗は脚の長さの二乗の和に等しい。

つまり、三角形の斜辺の長さを次のように表します。 c、および脚の長さ あるそして b:

両方の処方 ピタゴラスの定理は同等ですが、2 番目の定式化はより基本的であり、そうではありません。

面積の概念が必要です。 つまり、2 番目のステートメントは、その領域について何も知らなくても検証できます。

直角三角形の辺の長さのみを測定します。

逆ピタゴラスの定理。

三角形の 1 辺の 2 乗が他の 2 辺の 2 乗の和に等しい場合、

直角三角形。

言い換えれば、次のようになります。

正の数の 3 倍ごとに ある, bそして c、 そのような

足のある直角三角形があります あるそして bと斜辺 c.

二等辺三角形のピタゴラスの定理。

正三角形のピタゴラスの定理。

ピタゴラスの定理の証明。

現在、この定理の 367 件の証明が科学文献に記録されています。 おそらく定理

ピタゴラスは、これほど驚くべき数の証明を持つ唯一の定理です。 このような多様性

幾何学の定理の基本的な重要性によってのみ説明できます。

もちろん、概念的にはそれらはすべて少数のクラスに分類できます。 その中で最も有名なものは次のとおりです。

証拠 エリア法, 公理的なそして 珍しい証拠（例えば、

を使用して 微分方程式).

1. 相似三角形を用いたピタゴラスの定理の証明。

代数定式化の次の証明は、構築された証明の中で最も単純です。

公理から直接。 特に、図形の面積の概念は使用しません。

させて ABC直角を持つ直角三角形があります C。 から高さを描きましょう Cと示します

その基盤は H.

三角形 ACH三角形に似た AB 2 つの角に C があります。 同様に三角形 CBH似ている ABC.

表記法を導入すると、次のようになります。

我々が得る：

,

- に相当します

折りたたんだ状態 ある 2と b 2、次の結果が得られます。

または、それを証明する必要があります。

2. 面積法を用いたピタゴラスの定理の証明。

以下の証明は単純そうに見えますが、まったく単純ではありません。 それらすべて

面積の性質を使用しますが、その証明はピタゴラスの定理自体の証明よりも複雑です。

• 等相補性による証明。

等しい長方形を4つ並べましょう

図のように三角形

右側。

辺のある四角形 c- 四角、

2 つの鋭角の合計は 90° であるため、

展開角度 - 180°。

一方、図形全体の面積は、

一辺のある正方形の面積( a+b)、一方、4 つの三角形の面積の合計と

Q.E.D.

3. 無限小法によるピタゴラスの定理の証明。

​

図に示されている図面を見ると、

サイドチェンジを見ているある、 我々はできる

次の関係を無限に書きます

小さい サイドインクリメントとそして ある(類似性を利用して

三角形）：

変数分離方法を使用すると、次のことがわかります。

両側で増分がある場合の斜辺の変化のより一般的な式は次のとおりです。

この方程式を積分し、初期条件を使用すると、次が得られます。

したがって、次のような望ましい答えに到達します。

簡単にわかるように、最終的な式には二次依存性が現れます。

三角形の辺と増分の間の比例関係、一方、合計は独立した要素に関係します。

さまざまな脚の増分による寄与。

脚の 1 つが増加しないと仮定すると、より簡単な証明が得られます。

（この場合は足です） b）。 次に、積分定数については次のようになります。

平均レベル

直角三角形。 完全イラストガイド (2019)

右三角形。 最初のレベル。

問題では、直角はまったく必要ありません - 左下なので、この形で直角三角形を認識することを学ぶ必要があります。

そしてこの中で

そしてこの中で

直角三角形の何が良いのですか？ さて...まず第一に、特別なものがあります 美しい名前彼の側のために。

描き下ろしにも注目！

覚えておいて、混同しないようにしてください。 脚は 2 本ありますが、斜辺は 1 つだけです（唯一無二、ユニーク、そして最長）！

さて、名前については説明しましたが、ここで最も重要なことはピタゴラスの定理です。

ピタゴラスの定理。

この定理は、直角三角形に関する多くの問題を解く鍵となります。 それは太古の昔にピタゴラスによって証明され、それ以来、それを知る人々に多くの恩恵をもたらしてきました。 そして最も良い点は、それがシンプルであるということです。

それで、 ピタゴラスの定理：

「ピタゴラスパンツはどの面でも等しい！」というジョークを覚えていますか?

同じピタゴラスパンツを描いて見てみましょう。

何かのショートパンツのように見えませんか？ さて、どちらの側とどこが等しいでしょうか? そのジョークはなぜ、どこから来たのでしょうか? そして、このジョークはまさに​​ピタゴラスの定理、より正確にはピタゴラス自身の定理の定式化方法と関係しています。 そして彼はそれを次のように定式化しました。

"和 正方形の面積、脚に基づいて構築され、次と等しい 正方形の領域、斜辺の上に構築されます。」

本当に少し違うように聞こえますか？ それで、ピタゴラスが彼の定理の記述を描いたとき、これはまさにそのような絵が出てきました。

この図では、小さな正方形の面積の合計は、大きな正方形の面積に等しくなります。 そして、脚の二乗の和が斜辺の二乗に等しいということを子供たちによく覚えてもらうために、機知に富んだ誰かがピタゴラスのパンツに関するこんなジョークを思いつきました。

なぜ私たちは今ピタゴラスの定理を定式化しているのでしょうか?

ピタゴラスは苦しみながら正方形について話しましたか?

ご存知のとおり、古代には代数は存在しませんでした。 標識等はありませんでした。 碑文はありませんでした。 古代の貧しい学生たちが、すべてを言葉で記憶することがどれほど恐ろしいことだったか想像できますか??! そして、ピタゴラスの定理を簡単に定式化できたことを喜ぶことができます。 よりよく覚えておくために、もう一度繰り返してみましょう。

これで簡単になるはずです。

斜辺の二乗は脚の二乗の和に等しい。

さて、直角三角形に関する最も重要な定理については説明しました。 それがどのように証明されるかに興味がある場合は、次のレベルの理論を読んでから、次に進みましょう... 暗い森...三角法！ サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントという恐ろしい言葉に。

直角三角形のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント。

実際、すべてはそれほど怖いものではありません。 もちろん、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの「実際の」定義については、この記事で確認する必要があります。 でも本当はしたくないんですよね？ うれしいことに、直角三角形に関する問題を解決するには、次の簡単な項目を入力するだけで済みます。

なぜすべてが角を曲がったところにあるのですか？ 角はどこですか？ これを理解するには、ステートメント 1 ～ 4 が単語でどのように記述されるかを知る必要があります。 見て、理解して、覚えてください！

1.
実際には次のように聞こえます。

角度はどうでしょうか？ コーナーの反対側にある脚、つまり（角度に対して）反対側の脚はありますか? もちろん持っています！ これは脚です！

角度はどうでしょうか？ よく見て。 どの脚が角に隣接していますか? もちろん足も。 これは、その角度で脚が隣接していることを意味し、

さあ、注目してください！ 何が得られたかを見てください:

どれだけクールか見てみましょう:

さて、接線と余接に移りましょう。

これを今どうやって言葉で書き表せばいいのでしょうか？ 角度に対して脚は何ですか? もちろん、反対側です - それは角の反対側に「横たわっています」。 脚はどうですか？ 角に隣接しています。 それで、私たちは何を手に入れたでしょうか？

分子と分母が入れ替わっているのがわかりますか?

そして今度はコーナーが再び行われ、交換が行われました。

まとめ

学んだことをすべて簡単に書き留めてみましょう。

ピタゴラスの定理：

直角三角形に関する主定理はピタゴラスの定理です。

ピタゴラスの定理

ところで、脚と斜辺とは何か、よく覚えていますか？ あまり良くない場合は、写真を見て知識を新たにしてください。

ピタゴラスの定理をすでに何度も使ったことがあるかもしれませんが、なぜそのような定理が成り立つのか疑問に思ったことはありますか? どうすれば証明できますか? 古代ギリシャ人のようにしましょう。 一辺のある正方形を描きましょう。

側面を長さに応じて巧みに分割した様子をご覧ください。

マークされた点を結んでみましょう

ただし、ここで私たちは別のことに気づきましたが、あなた自身が図面を見て、なぜそうなるのか考えてください。

大きい方の正方形の面積はどれくらいですか? 右、 。 より小さなエリアではどうでしょうか？ 確かに、 。 四隅の合計面積は残ります。 一度に 2 つを取り出し、斜辺で互いに立てかけたところを想像してください。 どうしたの？ 長方形が 2 つあります。 これは、「カット」の面積が等しいことを意味します。

では、すべてをまとめてみましょう。

変換しましょう:

そこで私たちはピタゴラスを訪ね、彼の定理を古代の方法で証明しました。

直角三角形と三角関数

直角三角形の場合、次の関係が成り立ちます。

鋭角の正弦 比率に等しい斜辺の反対側

鋭角の余弦は、隣接する脚と斜辺の比に等しくなります。

鋭角の正接は、隣接する辺に対する反対側の辺の比に等しい。

鋭角の余接は、隣接する辺と反対側の辺の比に等しい。

そしてもう一度、これらすべてがタブレットの形で表示されます。

とても快適です！

直角三角形の等価性の兆候

I. 両面

II. 脚と斜辺による

Ⅲ． 斜辺と鋭角による

IV. 脚に沿って鋭角に

a)

b)

注意！ ここで脚が「適切」であることが非常に重要です。 たとえば、次のようになった場合:

そうすると三角形は等しくない 1 つの同一の鋭角を持っているにもかかわらず。

する必要がある 両方の三角形で脚が隣接していたか、両方とも反対側でした.

直角三角形の等号の記号が通常の三角形の等号の記号とどのように異なるかに気づいたでしょうか? 「普通の」三角形が等しいためには、2 つの辺とそれらの間の角度、2 つの角度とそれらの間の辺、または 3 つの辺の 3 つの要素が等しくなければならないという事実に注目してください。 しかし、直角三角形が等しくなるには、対応する要素が 2 つだけあれば十分です。 すごいですよね？

状況は直角三角形の相似の符号とほぼ同じです。

直角三角形の相似の兆候

I. 鋭角に沿って

II. 両面に

Ⅲ． 脚と斜辺による

直角三角形の中央値

なぜそうなるのでしょうか?

直角三角形の代わりに、長方形全体を考えてみましょう。

対角線を描き、点、つまり対角線の交点を考えてみましょう。 長方形の対角線について何を知っていますか?

そしてこれから何が起こるでしょうか？

それで判明したのは、

1. - 中央値:

この事実を覚えておいてください！ とても助かります！

さらに驚くべきことは、その逆もまた真であるということです。

斜辺に引かれた中央値が斜辺の半分に等しいという事実からどんな良いことが得られるでしょうか? 写真を見てみましょう

よく見て。 つまり、点から三角形の 3 つの頂点すべてまでの距離は等しいことが判明しました。 しかし、三角形には点が 1 つだけあり、三角形の 3 つの頂点すべてからの距離が等しく、これが円の中心です。 どうしたの？

それでは、この「ついでに…」から始めましょう。

とを見てみましょう。

しかし、相似な三角形はすべて等しい角度を持っています。

とについても同じことが言えます

では、一緒に描いてみましょう。

この「三重」の類似性からどのような利点が得られるでしょうか?

たとえば、- 直角三角形の高さを求める公式は 2 つあります。

対応する当事者の関係を書き留めてみましょう。

高さを求めるには、比率を解き、次の結果を取得します。 最初の公式「直角三角形の高さ」:

そこで、類似性を適用してみましょう。

これから何が起こるでしょうか？

再び比率を解き、2 番目の式を取得します。

これらの公式を両方よく覚えて、より便利な方を使用する必要があります。 もう一度書き留めてみましょう

ピタゴラスの定理：

直角三角形では、斜辺の二乗は脚の二乗の和に等しくなります。

直角三角形の等価性の兆候:

• 両面:
• 脚と斜辺によって: または
• 脚に沿って隣接する鋭角: または
• 脚に沿って反対側の鋭角: または
• 斜辺と鋭角による: または。

直角三角形の類似性の兆候:

• 1 つの鋭角: または
• 2 本の脚の比例から:
• 脚と斜辺の比例から: または。

直角三角形のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント

• 直角三角形の鋭角の正弦は、斜辺に対する反対側の辺の比です。
• 直角三角形の鋭角のコサインは、隣接する脚と斜辺の比です。
• 直角三角形の鋭角の接線は、隣接する辺に対する反対側の辺の比です。
• 直角三角形の鋭角の余接は、隣接する辺と反対側の辺の比です。

直角三角形の高さ: または。

直角三角形では、直角の頂点から引かれた中央値は斜辺の半分に等しくなります: 。

直角三角形の面積：

• 脚を介して:

ピタゴラスの定理: 脚の上に載っている正方形の面積の合計 ( あるそして b)、斜辺上に作られた正方形の面積に等しい( c).

幾何学的定式化:

この定理はもともと次のように定式化されました。

代数的定式化:

つまり、三角形の斜辺の長さを次のように表します。 c、および脚の長さ あるそして b :

ある 2 + b 2 = c 2

定理の両方の定式化は同等ですが、2 番目の定式化はより基本的であり、面積の概念を必要としません。 つまり、2 番目のステートメントは、面積について何も知らなくても、直角三角形の辺の長さを測定するだけで検証できます。

逆ピタゴラスの定理:

証拠

現在、この定理の 367 件の証明が科学文献に記録されています。 おそらく、ピタゴラスの定理は、これほど多くの証明が行われている唯一の定理です。 このような多様性は、幾何学の定理の基本的な重要性によってのみ説明できます。

もちろん、概念的にはそれらはすべて少数のクラスに分類できます。 それらの中で最も有名なものは、面積法による証明、公理的およびエキゾチックな証明 (たとえば、微分方程式を使用した) です。

相似な三角形を通って

代数定式化の次の証明は、公理から直接構築された最も単純な証明です。 特に、図形の面積の概念は使用しません。

させて ABC直角を持つ直角三角形があります C。 から高さを描きましょう Cそしてその基底を次のように表します H。 三角形 ACH三角形に似た ABC 2つの角で。 同様に三角形 CBH似ている ABC。 表記法を導入することで

我々が得る

同等とは何ですか

それを合計すると、

面積法を使用した証明

以下の証明は単純そうに見えますが、まったく単純ではありません。 これらはすべて面積の性質を使用しており、その証明はピタゴラスの定理自体の証明よりも複雑です。

等相補性による証明

1. 図1のように等しい直角三角形を4つ並べてみましょう。
2. 辺のある四角形 c 2 つの鋭角の合計は 90°、直角は 180° であるため、 は正方形です。
3. 図形全体の面積は、一方では辺（a + b）を持つ正方形の面積に等しく、他方では4つの三角形と2つの内部三角形の面積の合計に等しくなります。正方形。

Q.E.D.

等価性による証明

順列を使用したエレガントな証明

そのような証明の 1 つの例が右の図に示されています。ここでは、斜辺上に構築された正方形が、辺上に構築された 2 つの正方形に再配置されています。

ユークリッドの証明

ユークリッドの証明のための描画

ユークリッドの証明の図解

ユークリッドの証明の考え方は次のとおりです。斜辺の上に作られた正方形の面積の半分は、脚の上に作られた正方形の半分の面積の合計に等しいことを証明してみましょう。大きい正方形と小さい正方形 2 つは等しいです。

左の図を見てみましょう。 その上に、直角三角形の辺に正方形を作成し、直角 C の頂点から斜辺 AB に垂直な光線 s を描きます。斜辺上に構築された正方形 ABIK を 2 つの長方形 (BHJI と HAKJ) に切ります。それぞれ。 これらの長方形の面積は、対応する脚上に構築された正方形の面積と正確に等しいことがわかります。

正方形 DECA の面積が長方形 AHJK の面積に等しいことを証明してみましょう。これを行うには、補助的な観察を使用します。高さと底辺が同じ三角形の面積です。指定された長方形は、指定された長方形の面積の半分に等しくなります。 これは、三角形の面積を底辺と高さの積の半分として定義した結果です。 この観察から、三角形 ACK の面積は三角形 AHK (図には示されていません) の面積に等しく、三角形 AHK の面積は長方形 AHJK の面積の半分に等しいことがわかります。

ここで、三角形 ACK の面積も正方形 DECA の面積の半分に等しいことを証明しましょう。 このために行う必要がある唯一のことは、三角形 ACK と BDA が等しいことを証明することです (上記の性質によれば、三角形 BDA の面積は正方形の面積の半分に等しいため)。 等しいことは明らかで、三角形の両側とそれらの間の角度は等しい。 つまり、AB=AK、AD=AC - 角度 CAK と BAD が等しいことは、運動法によって簡単に証明できます。三角形 CAK を反時計回りに 90 度回転すると、2 つの三角形の対応する辺が次のとおりであることが明らかです。質問は一致します（正方形の頂点の角度が90°であるため）。

正方形 BCFG と長方形 BHJI の面積が等しい理由は完全に似ています。

したがって、斜辺上に作られた正方形の面積は、脚上に作られた正方形の面積で構成されることが証明されました。 この証明の背後にある考え方は、上のアニメーションでさらに詳しく説明されています。

レオナルド・ダ・ヴィンチの証明

レオナルド・ダ・ヴィンチの証明

証明の主な要素は対称性と動きです。

対称性から分かるように、線分を描いたものを考えてみましょう。 C私正方形を切る あBHJ 2 つの同一の部分に分割します (三角形なので、 あBCそして JH私構造的には同等です）。 反時計回りに 90 度回転すると、影付きの数字が等しいことがわかります。 CあJ私 そして GDあB 。 これで、影を付けた図形の面積が、脚の上に作られた正方形の面積の半分と元の三角形の面積の合計に等しいことがわかります。 一方、斜辺上に作られた正方形の面積の半分に、元の三角形の面積を加えたものに等しくなります。 証明の最後のステップは読者に委ねられます。

無限小法による証明

微分方程式を使用した次の証明は、20 世紀前半に生きた有名な英国の数学者ハーディによるものであることがよくあります。

図に示した図面を見て、側面の変化を観察します。 ある、無限小の辺の増分に対して次の関係を書くことができます。 とそして ある(三角形の類似度を使用):

無限小法による証明

変数の分離方法を使用すると、次のようになります。

両側に増加がある場合の斜辺の変化のより一般的な式

この方程式を積分し、初期条件を使用すると、次のようになります。

c 2 = ある 2 + b 2 + 定数。

こうして私たちは望ましい答えに到達します

c 2 = ある 2 + b 2 .

簡単にわかるように、三角形の辺と増分の間の線形比例関係により、最終的な式の二次依存性が現れますが、合計はさまざまな脚の増分からの独立した寄与に関連付けられています。

レッグの 1 つに増分が発生しないと仮定すると、より簡単な証明が得られます (この場合、レッグ b）。 次に、積分定数を取得します。

バリエーションと一般化

• 正方形の代わりに他の同様の図形を側面に作成すると、ピタゴラスの定理の次の一般化が当てはまります。 直角三角形では、辺に作られた相似な図形の面積の合計は、斜辺に作られた図形の面積に等しくなります。特に：
  • 脚の上に作られる正三角形の面積の和は、斜辺の上に作られる正三角形の面積に等しい。
  • 脚上に構築された半円の面積（直径と同様）の合計は、斜辺上に構築された半円の面積に等しくなります。 この例は、ヒポクラテスの月面と呼ばれる 2 つの円の弧で囲まれた図形の特性を証明するために使用されます。

話

チュペイ 紀元前 500 ～ 200 年。 左側には、高さと底辺の長さの二乗の和が斜辺の長さの二乗であるという碑文があります。

チュペイが語る古代中国の本 ピタゴラスの三角形側面が 3、4、5 の場合: 同じ本の中で、バシャラのヒンドゥー教の幾何学の図面の 1 つと一致する図面が提案されています。

カントール (ドイツの偉大な数学史家) は、3² + 4² = 5² という等式は紀元前 2300 年頃にエジプト人にすでに知られていたと考えています。 たとえば、アメンエムハト 1 世の時代 (ベルリン博物館のパピルス 6619 による)。 カントールによれば、ハルペドナプテス、または「ロープ引き手」は、辺が 3、4、5 の直角三角形を使用して直角を構築しました。

彼らの構築方法を再現するのは非常に簡単です。 長さ12メートルのロープを用意し、それに3メートルの距離で色のついたストリップを結びましょう。 一方の端からもう一方の端まで4メートル。 直角は長さ 3 ～ 4 メートルの辺の間に囲まれます。 ハルペドナプティア人にとっては、たとえば、すべての大工が使用する木製の正方形を使用すると、彼らの建築方法が不必要になるという反論があるかもしれません。 実際、そのような道具が見られるエジプトの図面、例えば大工の作業場を描いた図面が知られている。

バビロニア人の間ではピタゴラスの定理についてもう少し詳しく知られています。 ハンムラビの時代、つまり紀元前 2000 年に遡る文書の中にあります。 つまり、直角三角形の斜辺の近似計算が与えられます。 このことから、メソポタミアでは、少なくともいくつかの場合において、直角三角形を使用した計算を実行できたと結論付けることができます。 一方では、エジプトとバビロニアの数学に関する現在の知識レベルに基づいて、他方ではギリシャの資料の批判的研究に基づいて、ファン デル ワールデン (オランダの数学者) は次の結論に達しました。

文学

ロシア語で

• スコペッツ Z.A.幾何学的なミニチュア。 M.、1990
• エレンスキー・シュッチ。ピタゴラスの足跡をたどります。 M.、1961
• ファン デル ワールデン B.L.科学の覚醒。 数学 古代エジプト、バビロンとギリシャ。 M.、1959 年
• グレイザー G.I.学校での数学の歴史。 M.、1982
• W. リッツマン、「ピタゴラスの定理」M.、1960 年。
  • ピタゴラスの定理に関するサイト。V. リッツマンの本から引用した多数の証明が掲載されています。 大きな数図面は個別のグラフィック ファイルの形式で表示されます。
• D. V. アノソフ著『数学とそこから得た何か』のピタゴラスの定理とピタゴラスの三重項の章
• ピタゴラスの定理とその証明方法について G. Glaser、ロシア教育アカデミー会員、モスクワ

英語で

• WolframMathWorldのピタゴラスの定理
• Cut-The-Knot、ピタゴラスの定理に関するセクション、約 70 の証明と広範な追加情報 (英語)

ウィキメディア財団。 2010年。

ピタゴラスの定理のアニメーション証明 - の 1 つ 基本的直角三角形の辺間の関係を確立するユークリッド幾何学の定理。 これはギリシャの数学者ピタゴラスによって証明されたと考えられており、ピタゴラスの名前にちなんで命名されました (他のバージョン、特にこの定理は次のような別の意見があります) 一般的な見解ピタゴラスの数学者ヒッパソスによって定式化されました)。
定理は次のように述べています。

直角三角形では、斜辺上に作られる正方形の面積は、脚上に作られる正方形の面積の合計に等しくなります。

三角形の斜辺の長さを決定する c、そして足の長さはこんな感じです あるそして b、次の式が得られます。

したがって、ピタゴラスの定理は、他の 2 つの三角形の長さがわかれば、直角三角形の辺を決定できる関係を確立します。 ピタゴラスの定理はコサイン定理の特殊なケースであり、任意の三角形の辺間の関係を決定します。
逆のステートメントも証明されています (ピタゴラスの定理の逆とも呼ばれます)。

任意の 3 つの正の数 a、b、c について、 + b ? = c ?、脚 a と b と斜辺 c を持つ直角三角形があります。

紀元前 500 ～ 200 年の書籍「Chu Pei」にある三角形 (3、4、5) の視覚的証拠。 定理の歴史は、ピタゴラス数についての知識、直角三角形の辺の比についての知識、隣り合う角の比についての知識、定理の証明の4つに分けられます。
紀元前2500年頃の巨石建造物。 エジプトと北欧では、整数の辺を持つ直角三角形が含まれます。 Bartel Leendert van der Waerden は、当時ピタゴラス数が代数的に発見されたという仮説を立てました。
紀元前 2000 年から 1876 年の間に書かれました。 中エジプト王国のパピルス ベルリン 6619ピタゴラス数を解決する問題が含まれています。
ハンムラビ大王の治世中のバビロニアの石版 プリンプトン 322、紀元前 1790 年から 1750 年の間に書かれたこの文献には、ピタゴラス数に密接に関連した多くの記述が含まれています。
ブダヤナ経典には、 異なるバージョン紀元前8世紀か2世紀 インドでは、代数的に導出されたピタゴラス数、ピタゴラスの定理の記述、および正三角形の幾何学的証明が含まれています。
アパスタバ スートラ (紀元前 600 年頃) には、面積計算を使用したピタゴラスの定理の数値的証明が含まれています。 Van der Waerden は、それが先人の伝統に基づいていると信じています。 アルバート・ブルコによれば、これが定理の最初の証明であり、ピタゴラスがアラコンを訪れてそれを模倣したのではないかと示唆している。
ピタゴラスの生涯は通常紀元前 569 年から紀元前 475 年と示されています。 用途 代数的手法プロクロフのユークリッド注釈によると、ピタゴラス数の計算。 しかし、プロクロスは西暦 410 年から 485 年の間に生きました。 Thomas Guise によれば、ピタゴラスの 5 世紀後まで、この定理の作者を示す兆候はありません。 しかし、プルタルコスやキケロのような著者が、この定理をピタゴラスの著作であるとするとき、彼らはあたかもその著者が広く知られており確実であるかのようにそうします。
紀元前400年頃 プロクルスによれば、プラトンは代数と幾何学を組み合わせたピタゴラス数の計算方法を与えた。 紀元前300年頃、 始まりユークリッドには、今日まで生き残っている最も古い公理的証明があります。
紀元前 500 年の間に書かれた。 そして紀元前 200 年、中国の数学書『Chu Pei (? ? ? ?)』では、辺 (3、4、5) を持つ三角形について、中国では谷谷定理 (????) と呼ばれるピタゴラスの定理を視覚的に証明しています。 ）。 紀元前 202 年からの漢の時代。 西暦220年まで ピタゴラス数は、直角三角形についての言及とともに「数学芸術の九つの枝」という本に登場します。
この定理の最初の記録された使用は、中国でググー (????) 定理として知られ、インドではバスカーの定理として知られています。
ピタゴラスの定理が一度だけ発見されたのか、繰り返し発見されたのかは広く議論されています。 Boyer (1991) は、シュルバ・スートラに見られる知識はメソポタミア起源のものである可能性があると考えています。
代数的証明
正方形は 4 つの直角三角形から形成されます。 ピタゴラスの定理の証明は 100 個以上知られています。 図形の面積の存在定理に基づく証明は次のとおりです。

図のように同じ直角三角形を4つ配置しましょう。
辺のある四角形 c 2 つの鋭角の合計は であり、直角は なので、 は正方形です。
図形全体の面積は、一方では辺「a + b」の正方形の面積に等しく、他方では4つの三角形と内側の正方形の面積の合計に等しい。

それは証明される必要があることです。
三角形の相似性により
相似な三角形を使用します。 させて ABC- 角度が次の直角三角形 C写真のようにまっすぐに。 点からの高さを描いてみましょう C、そして電話しましょう H辺との交点 AB。三角形が形成される ACH三角形に似た ABC、どちらも（高さの定義により）長方形であり、共通の角度を持っているためです。 あ、明らかに、これらの三角形の 3 番目の角も同じになります。 ピース、トライアングルに似ています CBHこれも三角形に似ています ABC。三角形の相似性がある場合:

これは次のように書くことができます

これら 2 つの等式を追加すると、次のようになります。

HB + c 倍 AH = c 倍 (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

言い換えれば、ピタゴラスの定理は次のようになります。

ユークリッドの証明
ユークリッドの証明『元素』では、ピタゴラスの定理が平行四辺形の方法で証明されています。 させて A、B、C直角の直角三角形の頂点 A.点から垂線を下ろしましょう あ斜辺の上に作られた正方形の斜辺の反対側に。 この線は正方形を 2 つの長方形に分割します。各長方形の面積は、辺に構築される正方形と同じになります。 証明の主なアイデアは、上の正方形が同じ面積の平行四辺形になり、その後戻って下の正方形で再び同じ面積の長方形になるということです。

セグメントを描いてみましょう CFそして 広告。三角形が得られます BCFそして B.D.A.
角度 タクシーそして バッグ- 真っ直ぐ; それぞれポイント C、Aそして G– 共線的。 また B、Aそして H.
角度 CBDそして FBA– どちらも直線、次に角度 ABD角度に等しい FBC、どちらも直角と角度の和なので ABC。
三角形 ABDそして FBC 2 つの側面のレベルとそれらの間の角度。
ポイントがあるので、 A、Kそして L– 共線的、長方形BDLKの面積は三角形の2つの面積に等しい ABD (BDLK) = BAGF = AB 2)
同様に、次のように取得します。 クルル = ACIH = AC2
一方のエリアでは CBDE長方形の面積の合計に等しい BDLKそして クルルそして反対側の広場のエリア BC2、または AB2 + AC2 = BC2.

差動の使用
ディファレンシャルの使用。 ピタゴラスの定理は、右の図に示すように辺の増加が斜辺のサイズにどのような影響を与えるかを調べ、少し計算を適用することで導き出すことができます。
サイドが増えた結果、 ああ、無限小の増分に対する相似な三角形の

統合すると得られるのは

もし ある= 0 の場合 c = b、したがって、「定数」は b 2.それから

見てわかるように、正方形は増分と辺の比率によるものですが、合計は辺の増分の独立した寄与の結果ですが、幾何学的証拠からは明らかではありません。 これらの方程式では だそして 直流– 対応する辺の無限小増分 あるそして c.しかし、代わりに何を使うのでしょうか? あるそして？ c、ゼロに近づく傾向がある場合の比率の制限は次のようになります。 だ / 直流、導関数であり、次と等しい c / ああ、三角形の辺の長さの比、その結果、次のようになります。 微分方程式.
ベクトルの直交系の場合、等式が成り立ちます。これはピタゴラスの定理とも呼ばれます。

次の場合 – これらが座標軸へのベクトルの投影である場合、この式はユークリッド距離と一致し、ベクトルの長さがその成分の二乗和の平方根に等しいことを意味します。
ベクトルの無限系の場合のこの等式の類似物は、パーセヴァルの等式と呼ばれます。