簡単な三角方程式を解く。
複雑さのレベルを問わず、三角方程式を解くことは、最終的には最も単純な三角方程式を解くことになります。 そして、ここでも三角円が最良のアシスタントであることがわかります。
コサインとサインの定義を思い出してください。
角度の余弦は、指定された角度の回転に対応する単位円上の点の横座標 (つまり、軸に沿った座標) です。
角度のサインは、指定された角度の回転に対応する単位円上の点の縦座標 (つまり、軸に沿った座標) です。
三角円上の正の移動方向は反時計回りです。 0 度 (または 0 ラジアン) の回転は、座標 (1;0) の点に対応します。
これらの定義を使用して、単純な三角方程式を解きます。
1. 方程式を解く
この方程式は、縦軸が に等しい円上の点に対応する回転角度のすべての値によって満たされます。
縦座標軸上の縦座標を使用して点をマークしましょう。
円と交差するまで、X 軸に平行な水平線を描きます。 円上にあり、縦座標を持つ 2 つの点が得られます。 これらの点は、回転角とラジアンに対応します。
ラジアンあたりの回転角に対応する点を離れて一周すると、ラジアンあたりの回転角に対応し、同じ縦軸を持つ点に到着します。 つまり、この回転角度も式を満たします。 好きなだけ「アイドル」回転を行い、同じ点に戻ることができ、これらすべての角度値が方程式を満たすことになります。 「アイドル」回転数は文字 (または) で示されます。 これらの回転は正と負の両方の方向に行うことができるため、 (または) は任意の整数値を取ることができます。
つまり、元の方程式の最初の一連の解は次の形式になります。
、 、 - 整数のセット (1)
同様に、2 番目の一連の解は次の形式になります。
、 どこ 、 。 (2)
ご想像のとおり、この一連の解は、 による回転角度に対応する円上の点に基づいています。
これら 2 つの一連のソリューションを 1 つのエントリに組み合わせることができます。
このエントリを (つまり、偶数で) 取得すると、最初の一連の解が得られます。
このエントリで (つまり、奇数を) 取得すると、2 番目の一連の解が得られます。
2. では方程式を解いてみましょう
これは、角度を回転させることによって得られる単位円上の点の横座標であるため、軸上の横座標で点をマークします。
円と交差するまで軸に平行な垂直線を描きます。 円上に横座標を持つ 2 つの点が得られます。 これらの点は、回転角とラジアンに対応します。 時計回りに移動すると、負の回転角度が得られることを思い出してください。
2 つの一連の解決策を書き留めてみましょう。
,
,
(私たちは入り込んでいます 希望のポイント、つまり、メインの完全な円から通過します。
これら 2 つのシリーズを 1 つのエントリに結合してみましょう。
3. 方程式を解く
接線はOY軸に平行な単位円の座標(1,0)の点を通過します
縦座標が 1 に等しい点をマークしてみましょう (角度が 1 に等しい接線を探しています)。
この点と座標原点を直線で結び、その直線と単位円との交点をマークしましょう。 直線と円の交点は、次の回転角度に対応します。
方程式を満たす回転角に対応する点は互いにラジアンの距離にあるため、次のように解を書くことができます。
4. 方程式を解く
コタンジェントの線は、軸に平行な単位円の座標を持つ点を通過します。
余接線上に横軸 -1 の点をマークしましょう。
この点を直線の原点に結び、円と交わるまで続けてみましょう。 この直線は、回転角とラジアンに対応する点で円と交差します。
これらの点は互いに に等しい距離だけ離れているため、次のようになります。 共通の決定この方程式は次のように書くことができます。
最も単純な三角方程式の解を示す例では、表の値が使用されました。 三角関数.
ただし、方程式の右側に表以外の値が含まれている場合は、その値を方程式の一般解に代入します。
特別な解決策:
縦座標が 0 である円上の点をマークしましょう。
縦座標が 1 である円上の 1 つの点をマークしましょう。
縦座標が -1 に等しい円上の 1 つの点をマークしましょう。
ゼロに最も近い値を示すのが通例であるため、解決策は次のように記述します。
横軸が 0 に等しい円上の点をマークしましょう。
5.
横軸が 1 に等しい円上の 1 つの点をマークしましょう。
横軸が -1 に等しい円上の 1 つの点をマークしましょう。
もう少し複雑な例:
1.
副鼻腔 1に等しい、引数が等しい場合
サインの引数は等しいので、次のようになります。
等式の両辺を 3 で割ってみましょう。
答え：
2.
余弦 ゼロに等しい、コサイン引数が次の値に等しい場合
コサインの引数は に等しいため、次のようになります。
を表現しましょう。これを行うには、まず反対の符号を使用して右に移動します。
右側を単純化してみましょう。
両辺を -2 で割ります。
k は任意の整数値を取ることができるため、項の前の符号は変わらないことに注意してください。
答え：
最後に、ビデオ レッスン「三角円を使用した三角方程式の根の選択」をご覧ください。
これで、単純な三角方程式を解くことについての会話は終わりです。 次回はその決め方についてお話します。
私はカンニングペーパーを書かないよう説得するつもりはありません。 書く！ 三角関数に関するチートシートも含まれています。 後ほど、なぜチートシートが必要なのか、なぜチートシートが役立つのかについて説明する予定です。 ここでは、三角関数の公式を学ぶのではなく、覚えておく方法について説明します。 つまり、カンニングペーパーを使わずに三角関数を暗記するのです。
1. 加算式:
コサインは常に「ペア」で表されます: コサイン-コサイン、サイン-サイン。
そしてもう 1 つ、コサインは「不十分」です。 彼らにとって「すべてが正しくない」ので、記号を「-」から「+」に、またはその逆に変更します。
副鼻腔 - 「混合」: サイン-コサイン、コサイン-サイン。
2. 和と差の計算式:
コサインは常に「ペアで来ます」。 2 つのコサイン「koloboks」を加算すると、コサインのペア「koloboks」が得られます。 そして引き算すると、間違いなくコロボクは得られません。 いくつかのサインが得られます。 先にもマイナスが付いています。
副鼻腔 - 「混合」 :
3. 積を和と差に変換する公式。
コサインペアはいつ取得できますか? コサインを加算すると。 それが理由です
サインがいくつか得られるのはいつですか? コサインを引くとき。 ここから：
「混合」は正弦波を加算する場合と減算する場合の両方で得られます。 足すのと引くのはどちらが楽しいですか? そうです、折ります。 そして、式については、次のような加算が必要です。
最初と 3 番目の式では、合計が括弧内にあります。 項の位置を並べ替えても合計は変わりません。 順序は 2 番目の式でのみ重要です。 ただし、混乱しないように、覚えやすくするために、最初の括弧内の 3 つの式すべてで差をとります。
そして第二に - 金額
カンニングペーパーをポケットに入れておけば、公式を忘れた場合でもコピーできるので安心です。 また、カンニングペーパーを使用できなかった場合でも、公式を簡単に覚えられるので、自信が得られます。
小学生が取り組む数学のセクションの 1 つは、 最大の困難、三角関数です。 それは驚くべきことではありません。この分野の知識を自由に習得するには、空間的思考、数式を使用してサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを見つける能力、式を単純化する能力、および数値パイを使用できる能力が必要です。計算。 さらに、定理を証明するときに三角法を使用できる必要があり、これには高度な数学的記憶か、複雑な論理連鎖を導き出す能力が必要です。
三角法の起源
この科学に慣れるには、角度のサイン、コサイン、タンジェントの定義から始める必要がありますが、その前に三角法が一般的に何を行うのかを理解する必要があります。
歴史的に、このセクションの主な研究対象は 数理科学直角三角形でした。 90度の角度の存在により、2つの側面と1つの角度、または2つの角度と1つの側面を使用して、問題の図形のすべてのパラメータの値を決定できるさまざまな操作を実行することができます。 かつて、人々はこのパターンに気づき、建物の建設、ナビゲーション、天文学、さらには芸術においても積極的に使用し始めました。
第一段階
当初、人々はもっぱら直角三角形の例を使って角度と辺の関係について話していました。 その後、特別な配合が発見され、用途の範囲を拡大することが可能になりました。 日常生活数学のこの分野。
今日の学校における三角法の勉強は直角三角形から始まり、その後生徒は物理学で得た知識を活用し、高校から始まる抽象的な三角方程式を解きます。
球面三角法
その後、科学が次の発展レベルに達すると、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを含む公式が球面幾何学で使用され始めました。球面幾何学では、異なる規則が適用され、三角形の角度の合計は常に 180 度を超えます。 このセクションは学校では勉強しませんが、少なくともその存在について知っておく必要があります。 地球の表面、他の惑星の表面は凸面です。これは、表面の痕跡が 3 次元空間では「円弧状」になることを意味します。
地球儀と糸を手に取ります。 糸を地球上の任意の 2 点にピンと張った状態で取り付けます。 円弧の形をしていることに注意してください。 球面幾何学はそのような形状を扱い、測地学、天文学、その他の理論および応用分野で使用されます。
直角三角形
三角法の使用法について少し学んだところで、サイン、コサイン、タンジェントとは何なのか、それらを使ってどのような計算が実行できるのか、どのような公式を使用すればよいのかをさらに理解するために、基本的な三角法の話に戻りましょう。
最初のステップは、直角三角形に関連する概念を理解することです。 まず、斜辺は90度の角度の反対側です。 一番長いです。 ピタゴラスの定理によれば、その数値は他の 2 辺の二乗和の根に等しいことを覚えています。
たとえば、2 つの辺がそれぞれ 3 センチメートルと 4 センチメートルの場合、斜辺の長さは 5 センチメートルになります。 ちなみに、古代エジプト人は約45000年前にこのことを知っていました。
直角を形成する残りの 2 つの辺は脚と呼ばれます。 さらに、三角形の角度の合計は次のとおりであることを覚えておく必要があります。 長方形システム座標は180度です。
意味
最後に、幾何学的基礎をしっかりと理解すると、角度のサイン、コサイン、タンジェントの定義に進むことができます。
角度の正弦は、反対側（つまり、反対側に位置する側）の比です。 希望の角度) を斜辺まで。 角度の余弦は、斜辺に対する隣接する辺の比率です。
サインもコサインも 1 を超えることはできないことに注意してください。 なぜ？ デフォルトでは斜辺が最も長いため、脚がどれだけ長くても、斜辺は斜辺よりも短くなります。つまり、それらの比率は常に 1 より小さくなります。 したがって、問題の答えで 1 より大きい値のサインまたはコサインが得られた場合は、計算または推論にエラーがあるかどうかを探してください。 この答えは明らかに間違っています。
最後に、角度の正接は、隣接する辺に対する反対側の辺の比率です。 サインをコサインで割っても同じ結果が得られます。 ご覧ください。公式によれば、辺の長さを斜辺で割り、次に 2 番目の辺の長さで割って、斜辺を掛けます。 したがって、接線の定義と同じ関係が得られます。
したがって、コタンジェントは、コーナーに隣接する辺と反対側の辺の比です。 1 を接線で割っても同じ結果が得られます。
サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントとは何かという定義を確認したので、式に進むことができます。
最も単純な公式
三角法では公式なしではできません。公式なしでサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを求めるにはどうすればよいでしょうか? しかし、これはまさに問題を解決するときに必要なことです。
三角法の勉強を始めるときに知っておく必要がある最初の公式は、角度のサインとコサインの二乗の和は 1 に等しいというものです。 この式ははピタゴラスの定理の直接的な結果ですが、辺ではなく角度の大きさを知る必要がある場合は時間を節約できます。
多くの生徒は、学校の問題を解くときによく使われる 2 番目の公式を覚えていません。つまり、1 と角度の正接の 2 乗の和は、1 を角度の余弦の 2 乗で割ったものに等しいです。 詳しく見てください。これは最初の式と同じステートメントであり、恒等式の両辺をコサインの 2 乗で割っただけです。 単純な数学的演算により、三角関数の公式がまったく認識できなくなることがわかりました。 覚えておいてください: サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントとは何か、変換規則、およびいくつかの基本的な公式を知っていれば、必要なさらに多くの式をいつでも独立して導き出すことができます。 複雑な数式一枚の紙の上に。
倍角の公式と引数の加算
学習する必要があるさらに 2 つの公式は、角度の和と差のサインとコサインの値に関連しています。 それらを以下の図に示します。 最初のケースでは、サインとコサインが両方とも乗算され、2 番目のケースでは、サインとコサインのペアの積が加算されることに注意してください。
倍角引数に関連付けられた式もあります。 これらは以前のものから完全に派生したものです。練習として、ベータ角度と等しいアルファ角度を取得して、自分でそれらを取得してみてください。
最後に、倍角の公式を再配置して、サイン、コサイン、タンジェント アルファの累乗を減らすことができることに注意してください。
定理
基本的な三角法の 2 つの主要な定理は、サイン定理とコサイン定理です。 これらの定理の助けを借りて、サイン、コサイン、タンジェント、つまり図形の面積や各辺のサイズなどを見つける方法を簡単に理解できます。
正弦定理では、三角形の各辺の長さを反対の角度で割ると、次のようになります。 同じ番号。 さらに、この数は、外接円、つまり、特定の三角形のすべての点を含む円の 2 つの半径に等しくなります。
コサイン定理はピタゴラスの定理を一般化し、任意の三角形に射影します。 2 つの辺の二乗の合計から、その積に隣接する角度の二重余弦を乗じた値を引くと、結果の値は 3 番目の辺の 2 乗と等しくなることがわかります。 したがって、ピタゴラスの定理はコサイン定理の特殊な場合であることがわかります。
不注意なミス
サイン、コサイン、タンジェントが何であるかを知っていても、ぼんやりしていたり、最も単純な計算で間違いが発生したりして、間違いを犯しやすくなります。 そのような間違いを避けるために、最も一般的なものを見てみましょう。
まず、最終結果が得られるまでは分数を小数に変換しないでください。答えはそのままにしておいて構いません。 公分数条件に別段の記載がない限り。 このような変換は間違いとは言えませんが、問題の各段階で新しい根が現れる可能性があり、著者の考えによれば、それを減らす必要があることを覚えておく必要があります。 この場合、不必要な数学的演算に時間を無駄にすることになります。 これは、3 の根や 2 の根などの値に特に当てはまります。これらの値はすべてのステップの問題で見つかるためです。 「醜い」数値の四捨五入についても同様です。
さらに、コサイン定理はどの三角形にも当てはまりますが、ピタゴラスの定理には当てはまらないことに注意してください。 辺の積の 2 倍と辺の間の角度の余弦を掛けた値を引くのをうっかり忘れてしまうと、完全に間違った結果が得られるだけでなく、主題を完全に理解していないことを示すことになります。 これは不注意なミスよりも悪いです。
第三に、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの角度 30 度と 60 度の値を混同しないでください。 正弦は 30 度であるため、これらの値を覚えておいてください。 コサインに等しい 60、その逆も同様です。 これらを混同しやすいため、必然的に誤った結果が得られます。
応用
多くの学生は、三角法の実際的な意味を理解していないため、急いで勉強を始めません。 エンジニアや天文学者にとって、サイン、コサイン、タンジェントとは何ですか? これらは、遠くの星までの距離を計算したり、隕石の落下を予測したり、調査探査機を別の惑星に送ったりできる概念です。 これらがなければ、建物を建てたり、車を設計したり、表面にかかる荷重や物体の軌道を計算したりすることは不可能です。 これらは最も明白な例にすぎません。 結局のところ、三角法は音楽から医学に至るまで、さまざまな形式であらゆる場所で使用されています。
ついに
つまり、サイン、コサイン、タンジェントになります。 計算にそれらを使用して、学校の問題をうまく解くことができます。
三角法の要点は、三角形の既知のパラメータを使用して未知数を計算する必要があるという事実に帰着します。 パラメータは全部で 6 つあります。 三面そして3つの角の大きさ。 タスクの唯一の違いは、異なる入力データが与えられるという事実です。
に基づいてサイン、コサイン、タンジェントを見つける方法 既知の長さ脚か斜辺か、もうおわかりでしょう。 これらの用語は比率以外の意味はなく、比率は分数であるため、三角法の問題の主な目的は、常方程式または連立方程式の根を見つけることです。 そしてここでは、通常の学校の数学があなたを助けます。
基本的な三角関数 (サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント) 間の関係が示されています。 三角関数の公式。 そして、三角関数間には非常に多くの関連性があるため、これが三角関数の公式の豊富さを説明しています。 いくつかの公式は同じ角度の三角関数を接続し、他の公式は複数の角度の関数、その他の公式は次数を減らすことができ、4 番目の公式はすべての関数を半角の正接で表現します。
この記事では、三角関数の大部分の問題を解決するのに十分な、基本的な三角関数の公式をすべて順番にリストします。 覚えやすく、使いやすいように、目的別にグループ化して表に入力します。
ページナビゲーション。
基本的な三角恒等式
基本的な三角恒等式 1 つの角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの関係を定義します。 これらは、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義と単位円の概念から導き出されます。 これらを使用すると、1 つの三角関数を他の三角関数で表現できます。
これらの三角法の公式、その導出、および応用例の詳細な説明については、この記事を参照してください。
還元式
還元式サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの特性から導き出されます。つまり、それらは三角関数の周期性の特性、対称性の特性、および特定の角度によるシフトの特性を反映しています。 これらの三角関数の公式を使用すると、任意の角度での作業から、0 度から 90 度の範囲の角度での作業に移行できます。
これらの公式の理論的根拠、それらを記憶するための記憶規則、およびその適用例については、この記事で学ぶことができます。
加算式
三角関数の加算公式 2 つの角度の和または差の三角関数がそれらの角度の三角関数でどのように表現されるかを示します。 これらの公式は、次の三角関数の公式を導き出すための基礎として機能します。
ダブル、トリプルなどの公式。 角度
ダブル、トリプルなどの公式。 角度 (複数の角度の公式とも呼ばれます) は、2 倍、3 倍などの三角関数がどのように計算されるかを示します。 角度 () は、単一の角度の三角関数で表されます。 それらの導出は加算公式に基づいています。
もっと 詳細な情報ダブル、トリプルなどの記事の公式にまとめられています。 角度
半角の公式
半角の公式半角の三角関数が全角の余弦でどのように表現されるかを示します。 これらの三角関数の公式は、倍角の公式から導かれます。
彼らの結論と応用例は記事に記載されています。
度数換算式
次数を減らすための三角関数の公式三角関数の自然べき乗から 1 次の複数の角度のサインおよびコサインへの移行を容易にするように設計されています。 言い換えれば、三角関数の累乗を 1 乗に減らすことができます。
三角関数の和と差の公式
主目的 三角関数の和と差の公式これは、関数の積を計算することです。これは、三角関数の式を簡略化するときに非常に便利です。 これらの公式は、サインとコサインの和と差を因数分解できるため、三角方程式を解く際にも広く使用されています。
サイン、コサイン、サインとコサインの積の公式
三角関数の積から和または差への変換は、サイン、コサイン、およびサインとコサインの積の公式を使用して実行されます。
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統一国家試験は 4 ですか? 幸せが爆発しませんか？
彼らが言うように、この質問は興味深いものです...それは可能です、4で合格することは可能です！ そして同時に破裂しないように...主な条件は定期的に運動することです。 ここでは、数学における統一国家試験の基本的な準備について説明します。 教科書では読めない統一国家試験の秘密と謎がすべて詰まっています...このセクションを学習し、次の課題を解決してください。 さまざまな情報源-そしてすべてがうまくいくでしょう！ 基本編「A C で十分！」を前提としています。 問題はありません。 しかし、突然...リンクをたどってください。怠ける必要はありません。
そして、素晴らしい、そして恐ろしいトピックから始めます。
三角法
注意！
追加もあります
特別セクション 555 の資料。
とても「あまり…」という方へ。
そして「とても…」という人のために）
このトピックは学生たちに多くの問題を引き起こします。 最も深刻なものの一つと考えられています。 サインとコサインとは何ですか? タンジェントとコタンジェントとは何ですか? ナンバーサークルとは何ですか?これらの無害な質問をするとすぐに、その人は青ざめ、会話をそらそうとします...しかし無駄です。 これらは単純な概念です。 そして、このトピックは他のトピックと同じくらい難しいものではありません。 必要なのは、これらの質問に対する答えを最初から明確に理解することだけです。 それは非常に重要です。 理解すれば三角関数が好きになります。 それで、
サインとコサインとは何ですか? タンジェントとコタンジェントとは何ですか?
古代から始めましょう。 心配しないでください。約 15 分で 20 世紀にわたる三角関数をすべて見ていきます。そして、気付かないうちに、中学 2 年生の幾何学の一部を繰り返します。
辺のある直角三角形を描いてみましょう a、b、cと角度 バツ。 ここにあります。
直角をなす辺を脚と呼ぶことに注意してください。 aとc– 脚。 そのうちの2つがあります。 残りの辺は斜辺と呼ばれます。 と– 斜辺。
三角と三角、考えてみてください！ 彼をどうすればいいでしょうか？ しかし、古代の人々は何をすべきかを知っていました。 彼らの行動を繰り返してみましょう。 側面を測ってみましょう V。 図では、次のようにセルが特別に描画されています。 統一州試験の課題それは起こります。 V側 4 つのセルに相当します。 わかりました。 側面を測ってみましょう A.
3つのセル。 では辺の長さを割ってみましょうあ V辺の長さあたり では辺の長さを割ってみましょう。 あるいは、よく言われるように、次のような態度をとりましょう。 V. に= 3/4.
ビデオ V逆に分けることもできる 4 つのセルに相当します。 わかりました。 側面を測ってみましょうの上 V 4/3 が得られます。 できる 除算と。 と斜辺 セルごとに数えるのは不可能ですが、5 に等しいです。高品質
= 4/5。 つまり、辺の長さを互いに割って数値を得ることができます。
さあ、これをやってみましょう。 三角形を拡大してみましょう。 側面を伸ばしてみましょう 中で、そして一緒にただし、三角形は長方形のままになります。 コーナー バツ、もちろん変わりません。 これを確認するには、マウスを画像の上に置くか、画像にタッチします (タブレットの場合)。 パーティー a、b、cに変わります m、n、k, そして当然、辺の長さも変わります。
しかし、彼らの関係はそうではありません！
態度 にだった： に= 3/4 になりました 月/日= 6/8 = 3/4。 その他関係者との関係も 変わらない 。 直角三角形の辺の長さを自由に変更したり、増やしたり、減らしたり、 角度を変えずにx – 関係者間の関係は変わりません 。 それを確認することもできますし、古代人の言葉をそのまま受け入れることもできます。
しかし、これはすでに非常に重要です！ 直角三角形の辺の比率は、(同じ角度での) 辺の長さにまったく依存しません。 これは非常に重要であるため、当事者間の関係には特別な名前が付けられています。 いわば、あなたの名前です。）会いましょう。
角度 x の正弦は何ですか ? これは斜辺の反対側の比率です。
sinx = エアコン
角度 x の余弦は何ですか ? これは、隣接する脚と斜辺の比率です。
とOSX= 高品質
タンジェントxとは何ですか ? これは、反対側と隣接する側の比率です。
tgx =に
角度 x の余接は何ですか ? これは、隣接する側と反対側の比率です。
ctgx = v/a
すべてはとてもシンプルです。 サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントは数値の一部です。 無次元。 ただの数字。 それぞれの角度には独自のものがあります。
なぜ私はすべてをそんなに退屈に繰り返すのですか？ じゃあこれは何ですか 覚えておく必要がある。 覚えておくことが重要です。 暗記を容易にすることができます。 「遠くから始めましょう…」という言葉をご存知ですか？ だから遠くから始めてください。
副鼻腔角度は比率です 遠い脚の角度から斜辺まで。 余弦– 斜辺に対する近辺の比率。
正接角度は比率です 遠い脚の角度から近くのものまで。 コタンジェント- 逆に。
そのほうが簡単ですよね？
そうですね、タンジェントとコタンジェントには脚しかなく、サインとコサインには斜辺が現れることを覚えていれば、すべてが非常に単純になります。
この素晴らしいファミリー全体 - サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントとも呼ばれます 三角関数.
さて、検討のための質問です。
なぜサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントと言うのか コーナー？私たちは当事者間の関係について話しているのですが、たとえば...それと何の関係があるのでしょうか？ コーナー？
2枚目の写真を見てみましょう。 最初のものとまったく同じです。
画像の上にマウスを置きます。 角度を変えてみた バツ。 から増やしました ×から×へ。すべての人間関係が変わった！ 態度 には 3/4 であり、対応する比率は テレビ 6/4になりました。
そして他のすべての関係は異なったものになりました！
したがって、辺の比率は、その長さ (ある角度 x における) にはまったく依存しませんが、まさにこの角度に大きく依存します。 そして彼からのみ。したがって、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントという用語は、 コーナー。ここのアングルがメインです。
角度は三角関数と密接に関係していることを明確に理解する必要があります。 各角度には独自のサインとコサインがあります。 そして、ほぼすべての人が独自のタンジェントとコタンジェントを持っています。大事です。 角度が与えられると、そのサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントが決まると考えられています。 私たちは知っています ！ およびその逆。 サインやその他の三角関数が与えられた場合、それは角度がわかっていることを意味します。
各角度の三角関数が説明されている特別な表があります。 これらは Bradis テーブルと呼ばれます。 それらは非常に昔に編集されました。 まだ電卓やコンピューターがなかった頃…
もちろん、すべての角度の三角関数を暗記することは不可能です。 いくつかの角度についてのみ知る必要がありますが、これについては後で詳しく説明します。 しかし、その呪文は 私は角度を知っている、つまりその三角関数を知っているということです」 -常に機能します!
そこで私たちは中学 2 年生の幾何学の一部を繰り返しました。 統一国家試験に必要ですか? 必要。 こちらは統一国家試験の典型的な問題です。 この問題を解くには中学2年生で十分です。 与えられた写真:
全て。 これ以上のデータはありません。 航空機の側面の長さを見つける必要があります。
セルはあまり役に立ちません。三角形の位置がどういうわけか間違っています。意図的だと思います。情報によると、斜辺の長さがあります。 8セル。 なぜか角度がついてしまいました。
ここですぐに三角法について覚えておく必要があります。 角度があるということは、その三角関数をすべて知っているということです。 4 つの関数のうちどれを使用すればよいでしょうか? 見てみましょう、何がわかりますか? 斜辺と角度はわかっていますが、次のことを見つける必要があります。 隣接カテーテルはこの隅まで！ 明らかに、コサインを実行する必要があります。 さぁ行こう。 コサイン (比) の定義に従って、単純に次のように書きます。 隣接脚から斜辺まで):
cosC = BC/8
角度 C は 60 度、その余弦は 1/2 です。 テーブルがなくても、これを知っておく必要があります。 あれは：
1/2 = BC/8
小学校 一次方程式。 未知 - 太陽。 方程式の解き方を忘れてしまった人は、リンクを見てください。残りは次のように解決します。
BC = 4
古代の人々は、各角度に独自の三角関数のセットがあることに気づいたとき、当然の疑問を抱きました。 サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントは互いに何らかの関係がありますか? 1 つの角度関数を知っていれば、他の角度関数も見つけられるということですか? 角度そのものを計算せずに？
彼らはとても落ち着きがなかった...)
1 つの角度の三角関数間の関係。
もちろん、同じ角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントは互いに関係があります。 数学では式間の関係は公式によって与えられます。 三角関数には膨大な数の公式があります。 しかし、ここでは最も基本的なものを見ていきます。 これらの式は次のように呼ばれます。 基本的な三角恒等式。どうぞ：
これらの公式を徹底的に理解する必要があります。 それらがなければ、通常、三角法では何もすることができません。 これらの基本アイデンティティからさらに 3 つの補助アイデンティティが続きます。
最後の 3 つの公式はすぐに記憶から消えてしまいます。 何らかの理由で) もちろん、これらの式は次から導き出すことができます。 最初の3つ。 しかし、 苦労... 分かるでしょう。）
以下のような標準的な問題では、こうした忘れやすい公式を回避する方法があります。 そして エラーを劇的に減らす物忘れや計算でも。 これ 実践的なテクニック- セクション 555、レッスン「1 つの角度の三角関数間の関係」。
基本的な三角関数の恒等式はどのようなタスクでどのように使用されますか? 最も一般的なタスクは、別の角度関数が指定された場合に、その関数を見つけることです。 統一国家試験では、そのような課題が毎年存在します。）例:
x が鋭角で cosx=0.8 の場合の sinx の値を求めます。
このタスクはほぼ初歩的なものです。 サインとコサインを含む数式を探しています。 式は次のとおりです。
sin 2 x + cos 2 x = 1
ここでは、コサインの代わりに既知の値、つまり 0.8 を代入します。
sin 2 x + 0.8 2 = 1
さて、いつものように数えます：
sin 2 x + 0.64 = 1
sin 2 x = 1 - 0.64
実質的にはこれだけです。 サインの二乗を計算しました。あとは平方根を抽出するだけで、答えは完成です。 0.36 の根は 0.6 です。
このタスクはほぼ初歩的なものです。 しかし、「ほぼ」という言葉には理由があります...実際には、答え sinx= - 0.6 も適切です... (-0.6) 2 は 0.36 にもなります。
2 つの異なる答えがあります。 それが必要です。 2番目は間違っています。 なんと！ はい、いつも通りです。) 課題を注意深く読んでください。 何らかの理由で次のように書かれています... xが鋭角なら…そして、タスクでは、すべての単語に意味があります。そうです...このフレーズは、ソリューションの追加情報です。
鋭角とは、90°未満の角度です。 そして、そのようなコーナーでは 全て三角関数 - サイン、コサイン、タンジェントとコタンジェント - ポジティブ。それらの。 ここでは否定的な答えを単純に破棄します。 私たちにはその権利があります。
実際、中学2年生にはそんな細かいことは必要ありません。 これらは、角が鋭角であることしかできない直角三角形でのみ機能します。 そして、幸せな皆さん、彼らは、負の角度と 1000 度の角度の両方があることを知りません...そして、これらすべての恐ろしい角度には、プラスとマイナスの両方の独自の三角関数があります...
しかし、高校生の場合、兆候を考慮せずに、それは不可能です。 多くの知識は悲しみを倍増させます、そうです...) 正しい決断タスクには追加情報が含まれている必要があります (必要な場合)。 たとえば、次のエントリで指定できます。
あるいは他の方法で。 以下の例でわかります。) このような例を解決するには、次のことを知っておく必要があります。 与えられた角度 x はどの四半期に該当しますか?また、この四半期における目的の三角関数の符号は何ですか?
三角法のこれらの基本は、三角関数の円とは何か、この円上の角度の測定、角度のラジアン測定についてのレッスンで説明されます。 場合によっては、正接、余接のサイン、コサインの表を知る必要があります。
したがって、最も重要な点に注意してください。
1. サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義を覚えておいてください。 とても便利です。
2. サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントは角度と密接に関係していることを明確に理解しています。 私たちはあることを知っているということは、別のことも知っているということです。
3. ある角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントは基本的な関係にあることを明確に理解しています。 三角恒等式。 関数が 1 つわかっているということは、(必要な追加情報があれば) 他のすべての関数を計算できることを意味します。
さて、いつものように決めましょう。 まずは中学2年生の範囲の課題。 でも高校生でもできますよ…）
1. ctgA = 0.4 の場合の tgA の値を計算します。
2. βは直角三角形の角度です。 sinβ = 12/13 の場合の Tanβ の値を求めます。
3. 正弦を定義する 鋭角 tgх = 4/3 の場合は x。
4. 式の意味を調べます。
6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°
5. 式の意味を調べます。
(1-cosx)(1+cosx)、sinx = 0.3 の場合
答え (セミコロンで区切って、バラバラに):
0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5
起こりました？ 素晴らしい！ 8 年生はすでに A を取得できます。)
すべてがうまくいきませんでしたか？ 課題2と課題3はなんだか苦手…？ 問題ない！ このようなタスクには、素晴らしいテクニックが 1 つあります。 公式をまったく使わずにすべてを実際に解くことができます。 したがって、エラーは発生しません。 このテクニックは、セクション 555 のレッスン「1 つの角度の三角関数間の関係」で説明されています。 他のすべてのタスクもそこで処理されます。
これらは統一州試験のような問題ですが、必要なものを簡略化したものです。 統一国家試験 - 軽度）。 そして今、ほぼ同じタスクですが、本格的な形式になっています。 知識が必要な高校生向け。)
6. sinβ = 12/13 の場合の Tanβ の値を求め、
7. tgх = 4/3 であり、x が区間 (-540°; - 450°) に属する場合、sinх を決定します。
8. ctgβ = 1 の場合の式 sinβ cosβ の値を求めます。
答え（混乱中）：
0,8; 0,5; -2,4.
ここの問題 6 では、角度があまり明確に指定されていません...しかし、問題 8 では、角度がまったく指定されていません。 これはわざとです)。 追加情報タスクからだけでなく、頭からも取得されます。）しかし、あなたが決定した場合、正しいタスクが 1 つ保証されます。
決まっていない場合はどうしますか？ うーん...まあ、セクション 555 がここで役に立ちます。 そこでは、これらすべてのタスクの解決策が詳細に説明されているため、理解できないことは困難です。
このレッスンでは、三角関数についての非常に限定的な理解を提供します。 8年生以内。 そして長老たちはまだ疑問を持っています...
たとえば、角度が バツ(このページの 2 番目の写真を見てください) - バカにしてるの!? 三角関係は完全に崩壊してしまう！ だから何をすべきか？ 脚も斜辺もなくなります... サインは消えてしまいました...
もし古代の人々がこの状況から抜け出す方法を見つけていなかったら、今では携帯電話もテレビも電気もなかったでしょう。 はいはい！ 理論的根拠三角関数のないこれらすべてのものは、棒がなければゼロです。 しかし古代の人々は失望しませんでした。 彼らがどのようにして脱出したかについては、次のレッスンで説明します。
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ちなみに、他にも興味深いサイトがいくつかあります。)
例題を解く練習をして自分のレベルを知ることができます。 即時検証によるテスト。 興味を持って学びましょう!)
関数と導関数について知ることができます。
