関数のグラフへの接線の方程式。 傾きの求め方

関数のグラフに対する接線の概念についてはすでによく理解しています。 x 0 に近い点 x 0 で微分可能な関数 f のグラフは、実質的に接線分と異ならない。つまり、点 (x 0 ; f (x 0)) と ( x 0 +Δx; f ( x 0 + Δx))。 これらの割線はいずれも、グラフの点 A (x 0 ; f (x 0)) を通過します (図 1)。 与えられた点 A を通過する直線を一意に定義するには、その傾きを示すだけで十分です。 Δх→0 としてのセカントの角係数 Δy/Δx は、数 f '(x 0) になる傾向があります (これを接線の角係数とします)。 接線は、Δх→0におけるセカントの限界位置です。.

f'(x 0) が存在しない場合、接線は存在しないか (点 (0; 0) における関数 y = |x| のように、図を参照)、または垂直になります (点 (0; 0) における関数のグラフのように)。点 (0 ; 0)、図 2)。

したがって、点 xo における関数 f の導関数の存在は、グラフの点 (x 0, f (x 0)) における (非垂直) 接線の存在と同等です。 接線勾配は f" (x 0) に等しい。これは 導関数の幾何学的意味

点 xo で微分可能な関数 f のグラフの接線は、点 (x 0 ; f (x 0)) を通り、角度係数 f '(x 0) を持つ直線です。

関数 f のグラフの点 x 1、x 2、x 3 に接線を引き (図 3)、接線が横軸となす角度に注目してください。 （軸の正の方向から直線までを正の方向に測った角度です。）角度α 1 は鋭角、角度α 3 は鈍角、角度α 2 は角度α 1 であることがわかります。 ゼロに等しい、直線 l は Ox 軸に平行であるため。 正接 鋭角は正、鈍角は負、tg 0 = 0。

F"(x 1)>0、f’(x 2)=0、f’(x 3)
個々の点で接線を作成すると、グラフをより正確にスケッチできるようになります。 したがって、たとえば、サイン関数のグラフのスケッチを作成するには、まず点 0 でそれを見つけます。 π/2 およびサインの π 導関数は 1 に等しくなります。 それぞれ 0 と -1。 角度係数がそれぞれ 1、0、-1 である点 (0; 0)、(π/2,1)、および (π, 0) を通過する直線を作成しましょう (図 4)。これらの直線と直線 Ox で形成される台形、正弦のグラフであり、x が 0、π/2、π に等しい場合、対応する直線に接触します。

ゼロ付近のサインのグラフは直線 y = x と実質的に区別できないことに注意してください。 たとえば、単位が 1 cm のセグメントに対応するように軸に沿ったスケールを選択するとします。 sin 0.5 ≈ 0.479425、つまり |sin 0.5 - 0.5| になります。 ≈ 0.02、選択したスケールでは、これは長さ 0.2 mm のセグメントに相当します。 したがって、関数 y = sin x のグラフは区間 (-0.5; 0.5) でずれます ( 垂直方向) 直線 y = x から 0.2 mm 以内だけ離れます。これは、描かれた線の太さにほぼ相当します。

関数の導関数を取得することを学びます。導関数は、関数のグラフ上の特定の点における関数の変化率を特徴付けます。 この場合、グラフは直線または曲線のいずれかになります。 つまり、導関数は、特定の時点での関数の変化率を特徴付けます。 覚えて 一般的なルール、それによって導関数が取られ、それからのみ次のステップに進みます。

• 記事を読む。
• 最も単純な導関数、たとえば導関数を取得する方法 指数方程式、 説明された。 以下のステップで示される計算は、そこに記載されている方法に基づいています。

関数の導関数を通じて傾きを計算する必要がある問題を区別する方法を学びます。問題では、関数の傾きや導関数を見つけることが常に求められるわけではありません。 たとえば、点 A(x,y) における関数の変化率を求めるように求められる場合があります。 点 A(x,y) における接線の傾きを求めるように求められる場合もあります。 どちらの場合も、関数の導関数を取得する必要があります。

直線 y = f(x) は、座標 (x0; f(x0)) のこの点を通過し、角度係数 f"(x0) を持つ場合、点 x0 で図に示されているグラフに接します。接線の特徴を考慮してこの係数を見つけるのは難しくありません。

必要になるだろう

• - 数学の参考書;
• - ノート;
• - シンプルな鉛筆;
• - ペン;
• - 分度器;
• - 方位磁針。

説明書

• 点 x0 における微分可能関数 f(x) のグラフは接線と何ら変わらないことに注意してください。 したがって、点 (x0; f(x0)) と (x0+Δx; f(x0 + Δx)) を通過し、線分 l に非常に近くなります。 点 A を通る直線を係数 (x0; f(x0)) で指定するには、その傾きを指定します。 さらに、それは Δy/Δx セカント正接 (Δх→0) に等しく、数 f'(x0) にも傾向があります。
• f‘(x0) の値がない場合は、おそらく接線が存在しないか、あるいは垂直に延びている可能性があります。 これに基づいて、点 x0 における関数の導関数の存在は、点 (x0, f(x0)) における関数のグラフに接する非垂直接線の存在によって説明されます。 この場合、接線の角係数は f "(x0) に等しくなります。導関数の幾何学的意味、つまり接線の角係数の計算が明らかになります。
• つまり、接線の傾きを見つけるには、接点における関数の導関数の値を見つける必要があります。 例: 横座標 X0 = 1 の点における関数 y = x³ のグラフの接線の角係数を求めます。 解決策: この関数 y΄(x) = 3x² の導関数を求めます。 点 X0 = 1 における導関数の値を求めます。у΄(1) = 3 × 1² = 3。点 X0 = 1 における接線の角度係数は 3 です。
• 図内に追加の接線を描き、x1、x2、x3 の点で関数のグラフに接するようにします。 これらの接線によって形成される角度を横軸でマークします (角度は軸から接線までの正の方向に数えられます)。 たとえば、描かれた接線は OX 軸に平行であるため、最初の角度 α1 は鋭角、2 番目の角度 (α2) は鈍角、3 番目の角度 (α3) はゼロになります。 この場合、tg0 では鈍角の正接は負の値、鋭角の正接は正の値となり、結果は 0 になります。

正接は曲線上の点を通過し、この点で一次まで一致する直線です (図 1)。

別の定義: これは、Δ における正割線の限界位置です。 バツ→0.

説明: 曲線と 2 点で交差する直線を取得します。 あそして b(写真を参照)。 これがセカントです。 1つだけになるまで時計回りに回します 共通点カーブ付き。 これで接線が得られます。

接線の厳密な定義:

関数のグラフの接線 f、点で微分可能 バツ○、点 ( バツ○; f(バツ○)) 傾斜がある f′( バツ○).

斜面は直線の形をしています y=kx+b。 係数 kそして スロープこの直線。

角度係数は、この直線と横軸によって形成される鋭角の正接に等しくなります。

ここで、角度 α は直線間の角度です。 y=kx+b x 軸の正 (つまり、反時計回り) 方向です。 いわゆる 直線の傾きの角度(図1および2)。

傾斜角が直線の場合 y=kx+b鋭角の場合、傾きは正の数になります。 グラフは増加しています（図1）。

傾斜角が直線の場合 y=kx+bが鈍角である場合、傾きは負の数になります。 グラフは減少しています（図2）。

直線が x 軸に平行な場合、直線の傾斜角は 0 です。 この場合、線の傾きもゼロになります (ゼロの正接がゼロであるため)。 直線の方程式は y = b のようになります (図 3)。

直線の傾斜角が 90 度 (π/2)、つまり横軸に垂直な場合、直線は次の式で求められます。 x =c、 どこ c- いくつかの 実数(図4)。

関数のグラフの接線の方程式y = f(バツ) 時点で バツ○:

例: 関数のグラフの接線の方程式を求めます。 f(バツ) = バツ 3 – 2バツ横軸 2 の点では 2 + 1。

解決 。

私たちはアルゴリズムに従います。

1) タッチポイント バツ○は 2 に等しい。計算する f(バツ○):

f(バツ○) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) 探す f′( バツ）。 これを行うには、前のセクションで概説した微分公式を適用します。 これらの公式によれば、 バツ 2 = 2バツ、A バツ 3 = 3バツ 2. 手段：

f′( バツ) = 3バツ 2 – 2 ∙ 2バツ = 3バツ 2 – 4バツ.

次に、結果の値を使用して、 f′( バツ)、計算します f′( バツ○):

f′( バツ○) = f'(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4。

3) これで、必要なデータがすべて揃いました。 バツ○ = 2, f(バツ○) = 1, f ′( バツ○) = 4. これらの数値を接線方程式に代入し、最終的な解を求めます。

y = f(バツ○) + f′( バツ○) (× – × ○) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7。

答え: y = 4x – 7。

次の図を考えてみましょう。

これは、点 a で微分可能な特定の関数 y = f(x) を表しています。 座標 (a; f(a)) を持つ点 M がマークされます。 グラフの任意の点 P(a + ∆x; f(a + ∆x)) を通るセカント MR が描かれます。

ここで点 P がグラフに沿って点 M に移動すると、直線 MR は点 M の周りを回転します。この場合、Δx はゼロになる傾向があります。 ここから、関数のグラフへの接線の定義を定式化できます。

関数のグラフの接線

引数の増分がゼロに近づく傾向があるため、関数のグラフの接線はセカントの制限位置になります。 点 x0 における関数 f の導関数の存在は、グラフのこの点で 正接彼に。

この場合、接線の角度係数は、この点 f’(x0) でのこの関数の導関数と等しくなります。 これが導関数の幾何学的意味です。 点 x0 で微分可能な関数 f のグラフの接線は、点 (x0;f(x0)) を通り、角度係数 f’(x0) を持つ直線です。

接線方程式

ある関数 f のグラフの点 A(x0; f(x0)) における接線の方程式を求めてみましょう。 傾き k を持つ直線の方程式は次の形式になります。

傾き係数は導関数に等しいため、 f’(x0)の場合、方程式は次の形式になります: y = f’(x0)*x + b.

次に、b の値を計算してみましょう。 これを行うには、関数が点 A を通過するという事実を利用します。

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, ここから b を表して b = f(x0) - f’(x0)*x0 となります。

結果の値を接線方程式に代入します。

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0)。

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0)。

次の例を考えてみましょう。関数 f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 のグラフの点 x = 2 における接線の方程式を求めます。

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1。

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x。

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4。

5. 得られた値を正接の式に代入すると、y = 1 + 4*(x - 2) が得られます。 括弧を開いて同様の項を導き出すと、y = 4*x - 7 が得られます。

答え: y = 4*x - 7。

接線方程式を構成するための一般的なスキーム関数 y = f(x) のグラフに変換すると、次のようになります。

1. x0を決定します。

2. f(x0) を計算します。

3. f’(x)を計算する