家ハウスプロジェクト行列のランクがゼロになるのはどのような場合ですか? マトリックスランク: 定義、検索方法、例、解決策

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行列のランクがゼロになるのはどのような場合ですか? マトリックスランク: 定義、検索方法、例、解決策

行列ランクの概念を使用するには、「代数の補数とマイナー。マイナーの種類と代数の補数」というトピックからの情報が必要です。まず第一に、これは「マトリックスマイナー」という用語に関するものです。マイナーを通じてマトリックスのランクを正確に決定するためです。

マトリックスランクはマイナーの最大次数であり、その中にはゼロに等しくないものが少なくとも 1 つあります。

等価行列- ランクが互いに等しい行列。

さらに詳しく説明しましょう。二次未成年者の中にゼロとは異なるものが少なくとも 1 つあるとします。そして、次数が 2 より大きいすべての未成年者はゼロに等しくなります。結論: 行列のランクは 2 です。または、たとえば、10 次のマイナーの中に、ゼロに等しくないものが少なくとも 1 つあります。そして、順位が 10 より高いすべての未成年者はゼロに等しくなります。結論：行列のランクは10です。

行列 $A$ のランクは、$\rang A$ または $r(A)$ のように表されます。ゼロ行列 $O$ のランクはゼロ、$\rang O=0$ であると仮定されます。マイナー行列を形成するには、行と列を取り消す必要がありますが、行列自体に含まれる行と列よりも多くの行と列を取り消すことは不可能であることを思い出してください。たとえば、行列 $F$ のサイズが $5\times 4$ (つまり、5 行 4 列を含む) の場合、そのマイナーの最大次数は 4 です。 5 次のマイナーを形成することはできなくなります。これは、5 列が必要になるためです (4 列しかありません)。これは、行列 $F$ のランクが 4 を超えることはできないことを意味します。 $\rang F≤4$。

さらに詳しく一般的な形式上記は、行列に $m$ 行と $n$ 列が含まれる場合、そのランクは $m$ と $n$ の最小値を超えることができないことを意味します。 $\rang A≤\min(m,n)$。

原則として、ランクの定義自体から、それを見つける方法に従います。行列のランクを見つけるプロセスは、定義上、次のように概略的に表すことができます。

この図をさらに詳しく説明しましょう。最初から推論を始めましょう。ある行列 $A$ の一次マイナーから。

すべての 1 次マイナー (つまり、行列 $A$ の要素) が 0 に等しい場合、$\rang A=0$ になります。一次未成年者の中にゼロに等しくないものが少なくとも 1 つある場合、$\rang A≥ 1$ になります。次に、二次未成年者の確認に移ります。
すべての 2 次マイナーがゼロに等しい場合、$\rang A=1$ になります。二次マイナーの中に 0 に等しくないものが少なくとも 1 つある場合、$\rang A≥ 2$ になります。第三順位未成年者の確認に移りましょう。
すべての 3 次マイナーが 0 に等しい場合、$\rang A=2$ となります。三次未成年者の中にゼロに等しくないものが少なくとも 1 つある場合、$\rang A≥ 3$ になります。 4次未成年者の確認に移りましょう。
すべての 4 次マイナーがゼロに等しい場合、$\rang A=3$ になります。 4 次マイナーの中に 0 に等しくないものが少なくとも 1 つある場合、$\rang A≥ 4$ になります。次に、5次未成年者などの確認に進みます。

この手順の最後には何が待っているのでしょうか？ k 番目のマイナーのうち少なくとも 1 つはゼロではなく、すべての (k+1) 次のマイナーがゼロに等しい可能性があります。これは、k がマイナーの最大次数であり、その中にゼロに等しくないものが少なくとも 1 つ存在することを意味します。ランクはkと等しくなります。別の状況が存在する可能性があります。k 番目の次数のマイナーの中には、ゼロに等しくないものが少なくとも 1 つありますが、(k+1) 次のマイナーを形成することはもはや不可能になります。この場合、行列のランクも k に等しくなります。要するに、 最後に作成された非ゼロのマイナーの次数は、行列のランクと等しくなります。.

定義上、行列のランクを見つけるプロセスを明確に示す例に移りましょう。このトピックの例では、ランクの定義のみを使用して行列のランクを見つけ始めることをもう一度強調しておきます。他の方法 (境界マイナー法を使用した行列のランクの計算、基本変換の方法を使用した行列のランクの計算) については、次のトピックで説明します。

なお、例No.1や例No.2のように、最下位の未成年者から順位を求める手順を開始する必要は全くない。すぐに上位のマイナーに進むことができます (例 3 を参照)。

例その1

行列の順位を求める $A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(配列) \right)$。

この行列のサイズは $3\times 5$ です。つまり、 3 行 5 列が含まれています。数値 3 と 5 のうち、最小値は 3 であるため、行列 $A$ のランクは 3 を超えません。 $\rang A≤ 3$。そして、この不等式は明らかです。4 次のマイナーを形成できなくなるためです。4 行が必要ですが、3 行しかありません。与えられた行列のランクを見つけるプロセスに直接進みましょう。

1 次のマイナーの中 (つまり、行列 $A$ の要素の中) には、ゼロ以外のものが存在します。たとえば、5、-3、2、7 などです。一般に、ゼロ以外の要素の総数には興味がありません。少なくとも 1 つの非ゼロ要素があれば十分です。 1 次マイナーの中に 0 以外のものが少なくとも 1 つあるため、$\rang A≥ 1$ と結論付け、2 次マイナーのチェックに進みます。

二次マイナーについて調べてみましょう。たとえば、行 No. 1、No. 2 と列 No. 1、No. 4 の交点には、次のマイナー要素があります: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(配列) \right| $。この行列式の場合、2 列目の要素はすべて 0 に等しいため、行列式自体は 0 に等しくなります。 $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (行列式の性質のトピックの性質 3 を参照)。または、2 次および 3 次の行列式の計算に関するセクションの式 1 を使用して、この行列式を単純に計算することもできます。

$$ \left|\begin(配列)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(配列) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0。 $$

私たちがテストした最初の 2 次マイナーはゼロに等しいことが判明しました。これはどういう意味ですか？二等未成年者の更なるチェックの必要性について。それらはすべて 0 であることが判明する (その後、ランクは 1 に等しくなる) か、それらの中に 0 とは異なるマイナーが少なくとも 1 つ存在するかのどちらかです。より良い選択をするために、2 次マイナーを書いてみましょう。その要素は行番号 1、行番号 2 と列番号 1、列番号 5 の交点に位置します。 $\left|\begin(配列)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(配列) \right|$。この 2 次マイナーの値を見つけてみましょう。

$$ \left|\begin(配列)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(配列) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1。 $$

このマイナーはゼロではありません。結論: 二次未成年者の中には少なくとも 1 人は非ゼロが存在します。したがって、$\rang A≥ 2$ となります。私たちは三次マイナーの研究に進む必要があります。

3 次マイナーを形成するために列 No. 2 または列 No. 4 を選択した場合、そのようなマイナーはゼロに等しくなります (ゼロ列が含まれるため)。残りの 1 つの 3 次マイナーをチェックするだけです。その要素は、列 No.1、No.3、No.5 と行 No.1、No.2、No.3 の交点に位置します。このマイナーを書き留めて、その値を見つけてみましょう。

$$ \left|\begin(配列)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(配列) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0。 $$

したがって、すべての 3 次マイナーはゼロに等しくなります。私たちがコンパイルした最後のゼロ以外のマイナーは 2 番目のものでした。結論: 少なくとも 1 つの非ゼロが含まれるマイナーの最大次数は 2 です。したがって、$\rang A=2$ となります。

答え: $\rang A=2$。

例その2

行列の順位を求める $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$。

4 次の正方行列があります。この行列のランクが 4 を超えないこと、つまり 4 を超えないことにすぐに注目してください。 $\rang A≤ 4$。行列のランクを求めてみましょう。

1 次マイナーの中 (つまり、行列 $A$ の要素の中) にはゼロに等しくないものが少なくとも 1 つあり、したがって $\rang A≥ 1$ となります。次に、二次未成年者の確認に移ります。たとえば、行番号 2、行番号 3 と列番号 1、列番号 2 の交点では、次の 2 次マイナーが得られます。 \begin(配列) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(配列) \right|$。計算してみましょう:

$$\左| \begin(配列) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(配列) \right|=0-10=-10。 $$

二次マイナーの中にはゼロに等しくないものが少なくとも 1 つあるため、$\rang A≥ 2$ となります。

三次未成年者の話に移りましょう。たとえば、要素が行 No. 1、No. 3、No. 4 と列 No. 1、No. 2、No. 4 の交点に位置するマイナーを見つけてみましょう。

$$\左 | \begin(配列) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(配列) \right|=105-105=0。 $$

この 3 次マイナーはゼロに等しいことが判明したため、別の 3 次マイナーを調査する必要があります。それらのすべてがゼロに等しいか (その場合、ランクは 2 に等しくなります)、またはそれらの中にゼロに等しくないものが少なくとも 1 つ存在します (その後、4 次マイナーの研究を開始します)。 3 次のマイナーを考えてみましょう。その要素は、行番号 2、番号 3、番号 4 と列番号 2、番号 3、番号 4 の交点に位置します。

$$\左| \begin(配列) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(配列) \right|=-28。 $$

3 次マイナーの中には 0 以外のものが少なくとも 1 つあるため、$\rang A≥ 3$ となります。 4次未成年者の確認に移りましょう。

4 次マイナーは、行列 $A$ の 4 つの行と 4 つの列の交点に位置します。言い換えると、この行列には 4 行 4 列が含まれるため、4 次のマイナーが行列 $A$ の行列式になります。この行列の行列式は、トピック「行 (列) の行列式の分解」の例 2 で計算されているので、完成した結果をそのまま取り出してみましょう。

$$\左| \begin(配列) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (配列)\right|=86。 $$

したがって、4 次マイナーはゼロに等しくありません。私たちはもはや第五次の未成年者を形成することはできません。結論: 少なくとも 1 つの非ゼロが存在するマイナーの最高位は 4 です。結果: $\rang A=4$。

答え: $\rang A=4$。

例その3

行列の順位を求める $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end(配列)\right)$。

この行列には 3 行 4 列が含まれているため、$\rang A≤ 3$ であることにすぐに注目してください。前の例では、最小 (最初) 順序のマイナーを考慮することでランクを見つけるプロセスを開始しました。ここでは、可能な限り最上位の未成年者をすぐに確認してみます。行列 $A$ の場合、これらは 3 次マイナーです。 3 次マイナーを考えてみましょう。その要素は行番号 1、2、3 と列番号 2、3、4 の交点にあります。

$$\左| \begin(配列) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(配列) \right|=-8-60-20=-88。 $$

したがって、ゼロに等しくないものが少なくとも 1 つあるマイナーの最高次数は 3 です。したがって、行列のランクは 3、つまり 3 になります。 $\rang A=3$。

答え: $\rang A=3$。

一般に、定義に従って行列のランクを見つけることは、一般的な場合、かなり労働集約的なタスクです。たとえば、行列には相対的に小さいサイズ$5\times 4$ で、2 次未成年者は 60 人です。そして、それらのうち 59 個がゼロに等しい場合でも、60 番目のマイナーがゼロではないことが判明する可能性があります。次に、この行列には 40 個の部分がある 3 次マイナーを学習する必要があります。通常、マイナーは境界線の方法や等価変換の方法など、それほど面倒ではない方法を使用しようとします。

また、このトピックの重要な実践的な応用についても検討します。 システム研究一次方程式共同性のために.

マトリックスのランクは何ですか?

記事のユーモラスなエピグラフには多くの真実が含まれています。私たちは通常、「ランク」という言葉をある種の階層、最も多くの場合はキャリアのはしごを連想します。知識、経験、能力、人脈などがあればあるほど。 – 彼の地位と機会の範囲が高ければ高いほど。若者用語でのランクとは、一般的な「険しさ」の度合いを指します。

そして私たちの数学的な兄弟たちは同じ原則に従って生きています。ランダムにいくつか散歩に出かけましょう ゼロ行列:

マトリックスで考えてみましょう すべてゼロ, では何位の話ができるのでしょうか？「トータルゼロ」という非公式な表現は誰もがよく知っています。行列社会では、すべてがまったく同じです。

ゼロ行列のランクどのサイズもゼロに等しい.

注記 : ゼロ行列はギリシャ文字「シータ」で表されます。

するためにより良い理解マトリックスランク以下、資料を参考にさせていただきます 解析幾何学。ゼロを考える ベクター私たちの三次元空間は、特定の方向を定めず、建築には役に立たない アフィン基底。代数の観点から、このベクトルの座標は次のように書かれます。 マトリックス「1ずつ3」と論理的 (示された幾何学的意味で)この行列のランクがゼロであると仮定します。

では、いくつか見てみましょうゼロ以外の 列ベクトルそして 行ベクトル:

各インスタンスには少なくとも 1 つの非ゼロ要素があり、それは何かです。

null 以外の行ベクトル (列ベクトル) のランク 1に等しい

そして一般的に言えば、 マトリックス内にある場合任意のサイズ少なくとも 1 つの非ゼロ要素があり、そのランクがあるそれ以下ではない単位.

代数的な行ベクトルと列ベクトルはある程度抽象的であるため、幾何学的な関連付けに戻りましょう。ゼロ以外の ベクター空間に非常に明確な方向を設定し、構築に適しています。基礎したがって、行列のランクは 1 に等しいと見なされます。

理論情報 : 線形代数では、ベクトルはベクトル空間 (8 つの公理によって定義される) の要素であり、特に、加算と乗算の演算が定義された実数の順序付けされた行 (または列) になります。実数。もっと詳細な情報ベクトルについては記事をご覧ください。 線形変換.

線形依存性（お互いを通して表現します）。幾何学的観点から見ると、2 行目には共線ベクトルの座標が含まれます。、それは問題を構築する上でまったく前進しませんでした 三次元基底、この意味では余分です。したがって、この行列のランクも 1 に等しくなります。

ベクトルの座標を列に書き換えてみましょう ( 行列を転置する):

ランク的には何が変わったのでしょうか？何もない。列は比例しており、ランクが 1 に等しいことを意味します。ちなみに、3 つの直線もすべて比例していることに注意してください。座標で識別できる三つ平面の共線ベクトル唯一「フラットな」基礎を構築するのに役立ちます。そしてこれは、私たちの幾何学的ランクの感覚と完全に一致しています。

上記の例から重要なステートメントが続きます。

行列の行のランクは行列の列のランクと同じです。これについては、効果的なレッスンですでに少し触れました。 行列式を計算する方法.

注記 : 行の線形依存性は、列の線形依存性を意味します (逆も同様)。ただし、時間を節約するため、そして習慣から、私はほとんどの場合、文字列の線形依存性について話します。

大切なペットのしつけを続けていきましょう。別の共線ベクトルの座標を 3 行目の行列に追加してみましょう :

彼は私たちが三次元の基礎を構築するのを手伝ってくれましたか？もちろん違います。 3 つのベクトルはすべて同じパスに沿って行き来し、行列のランクは 1 に等しくなります。共線ベクトルを好きなだけ (たとえば 100 個) 取得し、それらの座標を「100 x 3」行列に入れることができますが、そのような超高層ビルのランクは 1 のままです。

マトリックスについて見てみましょう。その行は 線形独立。非共線ベクトルのペアは、3 次元の基底を構築するのに適しています。この行列のランクは 2 です。

マトリックスのランクは何ですか? 線は比例していないようです...つまり、理論的には 3 つです。ただし、この行列のランクも 2 です。最初の 2 行を追加し、その結果を最後に書きました。 直線的に表現される 3 行目から最初の 2 行まで。幾何学的には、行列の行は 3 つの座標に対応します。 同一平面上のベクトル、そしてこの3人の中には共線性のない仲間が2人います。

ご覧のように、 線形依存性考慮されたマトリックスでは明らかではないため、今日はそれを公にする方法を学びます。

マトリックスのランクが何であるかを推測できる人は多いと思います。

次の行を持つ行列を考えてみましょう。 線形独立。ベクトル形式 アフィン基底、この行列のランクは 3 です。

ご存知のとおり、3 次元空間の 4 番目、5 番目、10 番目のベクトルは基底ベクトルに関して線形に表現されます。したがって、行列に任意の数の行を追加すると、そのランクは 依然として 3 に等しくなります.

行列についても同様の推論を実行できます大きいサイズ（もちろん、幾何学的な意味はありません）。

意味 : 行列のランクは最高額線形に独立した行。または： 行列のランクは線形に独立した列の最大数です。はい、その番号は常に同じです。

上記のことから、重要な実践的なガイドラインも得られます。 行列のランクは最小次元を超えない。たとえば、マトリックスでは 4 行 5 列。最小次元は 4 であるため、この行列のランクが 4 を超えることはありません。

指定: 世界の理論と実践には存在しません一般的に受け入れられている標準マトリックスのランクを示すために、ほとんどの場合、次のことがわかります。 - よく言われるように、イギリス人はあることを書き、ドイツ人は別のことを書きます。したがって、アメリカとロシアの地獄についての有名なジョークに基づいて、行列のランクをネイティブの単語で表してみましょう。例えば：。そして、行列が「名前なし」である場合（多数ある）、単純にと書くことができます。

マイナーを使用して行列のランクを見つけるにはどうすればよいですか?

私の祖母が行列に 5 番目の列を持っていた場合、彼女は 4 次の別のマイナー (「青」、「ラズベリー」 + 5 番目の列) を計算する必要があります。

結論: ゼロ以外のマイナーの最大次数は 3 で、これはを意味します。

おそらく誰もがこのフレーズを完全に理解しているわけではありません。4 次のマイナーはゼロに等しいですが、3 次のマイナーの中にはゼロでないものがあり、したがって最大次数になります。 ゼロ以外のマイナーで 3 に相当します。

なぜすぐに行列式を計算しないのかという疑問が生じます。まず、ほとんどのタスクでは行列は正方ではありません。次に、ゼロ以外の値を取得した場合でも、タスクは拒否される可能性が高くなります。これは通常、タスクが拒否されることを意味します。標準溶液"アップダウン"。そして、考慮された例では、4 次のゼロ行列式により、行列のランクが 4 未満に過ぎないと述べることができます。

正直に言うと、未成年者との境界線を定める方法をよりよく説明するために、私が自分で分析したこの問題を思いつきました。実際には、すべてはもっと単純です。

例 2

エッジマイナー法を使用して行列のランクを見つける

解答と答えはレッスンの最後にあります。

アルゴリズムが最も速く動作するのはいつですか? 同じ 4 行 4 列の行列に戻りましょう。。明らかに、「良い」場合の解決策は最短になります。 コーナーマイナー:

そして、 if 、 then 、それ以外の場合 – 。

この考え方はまったく仮説的なものではありません。問題全体が角度マイナーのみに限定されている例はたくさんあります。

ただし、場合によっては、別の方法の方が効果的で好ましい場合があります。

ガウス法を使用して行列のランクを見つけるにはどうすればよいですか?

この段落は、すでにに精通している読者を対象としています。 ガウス法そして多かれ少なかれ彼らは彼を手に入れました。

技術的な観点から見ると、この方法は目新しいものではありません。

1) 基本変換を使用して、行列を段階的な形式に縮小します。

2) 行列のランクは行数に等しい。

それは絶対に明らかです ガウス法を使用しても行列のランクは変わりません、そしてここでの本質は非常に単純です。アルゴリズムによれば、基本的な変換中に、すべての不要な比例（線形依存）行が特定されて削除され、その結果「乾燥残差」、つまり線形独立行の最大数が得られます。

古くからおなじみの行列を次のように変換してみましょう。 3人のコーディネート共線ベクトル:

(1) 1 行目は 2 行目に加算され、-2 が乗算されます。 1行目が3行目に追加されました。

(2) ゼロ行は削除されます。

したがって、残りの行は 1 行になります。言うまでもなく、これは、2 次の 9 個のゼロマイナーを計算してから結論を出すよりもはるかに高速です。

それ自体を思い出させてください 代数行列何も変更することはできず、変換はランクを決定する目的のみで実行されます。ところで、なぜそうしないのかという質問についてもう一度考えてみましょう。ソース行列行列や行の情報とは根本的に異なる情報を運びます。一部では数学的モデル(誇張ではありません) 1 つの数字の違いが生死に関わる可能性があります。 ...思い出した学校の先生アルゴリズムからのわずかな不正確さまたは逸脱のために、容赦なく成績を 1 ～ 2 ポイント減点する初等および中等クラスの数学者。そして、一見保証された「A」ではなく、「良い」、あるいはそれ以上の結果になったときは、非常に残念でした。人工衛星、核弾頭、発電所を人間に任せるにはどうすればよいかという理解が得られたのはずっと後になってからでした。でも心配しないでください、私はこれらの分野では働いていません =)

より有意義なタスクに移りましょう。そこでは、特に重要な計算技術について学びます。 ガウス法:

例 3

初等変換を使用して行列のランクを求める

解決: 「4 × 5」行列が与えられます。これは、そのランクが確かに 4 以下であることを意味します。

最初の列には 1 または -1 がないため、少なくとも 1 つのユニットを取得するには追加のアクションが必要です。サイトの存在を通じて、私は「基本的な変換中に列を再配置することは可能ですか?」という質問を繰り返し受けてきました。ここでは、1 列目と 2 列目を再配置しました。すべて問題ありません。ほとんどのタスクで使用されます ガウス法、実際に列を再配置することができます。しかし、必要ありません。そして、重要なのは、変数との混同の可能性さえありません。重要なのは、高等数学の古典的なコースでは、このアクションは伝統的に考慮されていないため、そのようなうなずきは非常に曲がった見方で見られる（またはすべてをやり直すことを強いられることさえある）ということです。

2点目は数字に関するものです。決定を下す際には、次の経験則を使用すると役立ちます。 基本的な変換では、可能であれば行列の数を減らす必要があります。。結局のところ、たとえば 23、45、97 を使用するよりも、1、2、3 を使用する方がはるかに簡単です。そして、最初のアクションは、最初の列で 1 を取得するだけでなく、数字を削除することも目的としています。 7と11。

初めに完全なソリューション、その後、次のようにコメントします。

(1) 1 行目は 2 行目に加算され、-2 が乗算されます。 1 行目は 3 行目に追加され、-3 が乗算されます。そしてヒープへ: 1 行目は 4 行目に追加され、-1 が乗算されます。

(2) 最後の 3 行は比例です。 3 行目と 4 行目は削除され、2 行目は最初の場所に移動されました。

(3) 1 行目は 2 行目に加算され、-3 が乗算されます。

エシェロン形式に縮小された行列には 2 つの行があります。

答え:

次は、4 行 4 列の行列を拷問する番です。

例 4

ガウス法を使用して行列のランクを求める

私はあなたにそれを思い出させます ガウス法明確な厳格性を意味するものではなく、あなたの決定は私の決定とは異なる可能性が高くなります。レッスンの最後にあるタスクの簡単な例。

行列のランクを見つけるにはどの方法を使用すればよいですか?

実際には、ランクを見つけるためにどの方法を使用する必要があるかがまったく示されていないことがよくあります。このような状況では、条件を分析する必要があります。一部の行列ではマイナー関数を使用して解く方が合理的ですが、他の行列では初等変換を適用する方がはるかに有益です。

例5

行列の順位を求める

解決: 最初のメソッドはどういうわけかすぐに消えてしまいます =)

もう少し詳しく言えば、行列の列に触れないようにアドバイスしましたが、ゼロ列、または比例/一致する列がある場合でも、切断する価値があります。

(1) 5 番目の列はゼロなので、行列から削除します。したがって、マトリックスのランクは 4 つ以下です。最初の行には -1 が乗算されています。これはガウス法のもう 1 つの特徴的な機能であり、次のアクションを楽しい散歩に変えます。

(2) 2行目以降の全行に1行目を追加しました。

(3) 1 行目は -1 倍、3 行目は 2 で除算、4 行目は 3 で除算されます。2 行目は 5 行目に加算され、-1 倍されます。

(4) 3 行目は 5 行目に加算され、-2 が乗算されます。

(5) 最後の 2 行は比例し、5 行目は削除されます。

結果は4行になります。

答え:

自由研究のための標準的な5階建ての建物:

例6

行列の順位を求める

レッスンの最後に短い解答と答えが表示されます。

「行列ランク」というフレーズは実際にはそれほど頻繁に使用されるものではなく、ほとんどの問題ではまったく使わなくても問題ないことに注意してください。ただし、問題の概念が主役となるタスクが 1 つあります。この記事の締めくくりに、この実用的なアプリケーションを紹介します。

連立一次方程式の一貫性を調べるにはどうすればよいでしょうか?

多くの場合、解決策に加えて、 連立一次方程式条件に応じて、まず互換性を調べる必要があります。つまり、何らかの解決策が存在することを証明する必要があります。このような検証において重要な役割を果たすのは、 クロネッカー・カペリの定理で定式化します。必須フォーム:

ランクなら システム行列ランクに等しい 拡張マトリックスシステムの場合、システムは一貫しており、この数が未知数の数と一致する場合、解は一意になります。

したがって、システムの互換性を検討するには、同等性をチェックする必要があります。、どこ - システムマトリックス(レッスンで出た用語を思い出してください ガウス法)、A - 拡張システムマトリックス(つまり、変数の係数を含む行列 + 自由項の列)。

小学校次の行列変換が呼び出されます。

1) 任意の 2 つの行 (または列) の順列、

2) 行 (または列) にゼロ以外の数値を乗算します。

3) ある行 (または列) に別の行 (または列) を追加し、特定の数を掛けます。

2 つの行列は次のように呼ばれます。同等、有限セットの基本変換を使用して、一方が他方から取得される場合。

一般に、等価行列は等しいわけではありませんが、ランクは等しいです。行列 A と B が等しい場合、A ~ B のように記述されます。

正規行列とは、主対角線の先頭に複数の 1 が連続して存在し (その数はゼロになる可能性があります)、他のすべての要素がゼロに等しい行列です。たとえば、次のようになります。

行と列の基本的な変換を使用すると、あらゆる行列を正規化することができます。正準行列のランク数値に等しい主対角線上のユニット。

例 2行列の順位を求める

そしてそれを正規の形式に戻します。

解決。 2 行目から最初の行を減算し、次の行を並べ替えます。

次に、2 行目と 3 行目から最初の行を減算し、それぞれ 2 と 5 を掛けます。

;

3 行目から最初の行を減算します。行列を取得します

B = ,

これは、基本変換の有限セットを使用して行列 A から取得されるため、行列 A と同等です。明らかに、行列 B のランクは 2 なので、r(A)=2 になります。行列 B は簡単に正規化できます。適切な数値を掛けた最初の列を後続のすべての列から減算すると、最初の行を除く最初の行のすべての要素がゼロになり、残りの行の要素は変わりません。次に、適切な数値を掛けた 2 番目の列を後続のすべての列から減算し、2 番目を除く 2 番目の行のすべての要素をゼロにし、正準行列を取得します。

クロネッカー - カペリの定理- 線形システムの互換性基準代数方程式:

するために線形システム互換性がある場合、このシステムの拡張マトリックスのランクがそのメインマトリックスのランクと等しいことが必要かつ十分です。

証明（システム互換性条件）

必要性

させてシステムジョイントそれから、数字はこんな感じです

、何。したがって、列は行列の列の線形結合になります。他の行（列）の線形結合である行（列）の系から行（列）が削除または追加されても行列のランクは変わらないという事実から、次のことがわかります。

適切性させて。ある種の行列を考えてみましょう基本マイナー。したがって、それはマトリックスの基底マイナーにもなります。すると、基底定理によれば、マイナー

の場合、行列の最後の列は、基底列、つまり行列の列の線形結合になります。したがって、システムの自由項の列は、行列の列の線形結合になります。

結果主な変数の数システム

システムのランクと同じです。システムジョイント

システムのランクがそのすべての変数の数と等しい場合、は定義されます (その解は一意です)。

同次方程式系15 . 2 オファー

同次方程式系

常に共同です。証拠

。このシステムでは、一連の数値、、が解となります。

同次方程式系15 . 3 このセクションでは、システムの行列表記を使用します。

常に共同です。同次一次方程式系の解の和は、この系の解になります。解に数値を掛けたものも解です。

。それらをシステムのソリューションとして機能させましょう。それから、そして。させて。それから

以来、解決策です。

。それらをシステムのソリューションとして機能させましょう。それから、そして。させて。それから

を任意の数としましょう。それから15 . 1 結果

実際、ゼロ以外の解にさまざまな数値を乗算すると、さまざまな解が得られます。

意味15 . 5 解決策は次のようになります。システムフォーム 解決の基本システム、列の場合は線形独立システムを形成しており、システムの解はこれらの列の線形結合になります。

いくつかの行列を与えてみましょう:

このマトリックスで選択しましょう任意の文字列と任意の列
。それから決定要因は行列要素で構成される次数
、選択した行と列の交点に位置し、マイナーと呼ばれます二次行列
.

定義1.13。マトリックスランク
は、この行列の非ゼロのマイナーの最大次数です。

行列のランクを計算するには、その最低次数のすべてのマイナーを考慮し、それらの少なくとも 1 つが 0 以外の場合は、最高次数のマイナーの検討に進む必要があります。マトリックスのランクを決定するこのアプローチは、境界法 (または境界マイナー法) と呼ばれます。

問題1.4。マイナー境界法を使用して、マトリックスのランクを決定します
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たとえば、一次エッジ化を考えてみましょう。
。次に、二次エッジングの検討に進みます。

例えば、
.

最後に、3次境界を分析してみましょう。

したがって、ゼロ以外のマイナーの最高次数は 2 です。
.

問題 1.4 を解くと、多くの 2 次境界マイナーがゼロではないことがわかります。これに関して、次の概念が適用されます。

定義 1.14.行列の基底マイナーは、次数が行列のランクと等しい非ゼロのマイナーです。

定理1.2。(基底定理)。基底行 (基底列) は線形に独立しています。

行列の行 (列) は、そのうちの少なくとも 1 つが他の行 (列) の線形結合として表現できる場合に限り、線形従属であることに注意してください。

定理1.3。線形独立行列の行の数は、線形独立行列の列の数に等しく、行列のランクに等しい。

定理1.4。(行列式がゼロになるための必要十分条件)。決め手となるためには -番目の注文がゼロに等しい場合、その行 (列) が線形依存していることが必要かつ十分です。

行列の定義に基づいて行列のランクを計算するのは非常に面倒です。これは、高次の行列の場合に特に重要になります。この点に関して、実際には、行列のランクは、定理 10.2 ～ 10.4 の適用、および行列の等価性と基本変換の概念の使用に基づいて計算されます。

定義 1.15. 2 つの行列
そしてそれらのランクが等しい場合、同等と呼ばれます。
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行列の場合
そして同等である場合は、注意してください
 .

定理1.5。行列のランクは、基本的な変換によって変化しません。

基本行列変換を呼びます
行列に対する次の操作のいずれか:

行を列に置き換え、列を対応する行に置き換えます。

行列の行を再配置します。

要素がすべてゼロである行を取り消す。

文字列にゼロ以外の数値を乗算する。

ある行の要素に、別の行の対応する要素を同じ数値で乗算して追加します。
.

定理 1.5 の帰結。マトリックスの場合
マトリックスから得られる有限数の基本変換を使用してから、行列
そしては同等です。

行列のランクを計算するときは、有限数の基本変換を使用して台形形に縮小する必要があります。

定義 1.16.台形を、ゼロ以外の最高次の境界マイナーで、対角要素より下のすべての要素が消えるときの行列表現の形式と呼びます。例えば：

ここ
、行列要素
ゼロに行きます。この場合、そのような行列の表現形式は台形になります。

通常、行列はガウスアルゴリズムを使用して台形に縮小されます。ガウスアルゴリズムの考え方は、行列の最初の行の要素に対応する係数を乗算することで、その要素の下にある最初の列のすべての要素が得られるというものです。
、ゼロになります。次に、2 番目の列の要素に対応する係数を乗算して、2 番目の列のすべての要素がその要素の下にあることを確認します。
、ゼロになります。その後、同じように進めます。