意味。関数 \(y = f(x)\) を点 \(x_0\) を含む特定の区間で定義するとします。 この間隔を離れないように、引数に増分 \(\Delta x \) を与えてみましょう。 関数 \(\Delta y \) の対応する増分を見つけて (点 \(x_0 \) から点 \(x_0 + \Delta x \) に移動するとき)、関係 \(\frac(\Delta) を構成しましょう。 y)(\デルタ x) \)。 \(\Delta x \rightarrow 0\) でこの比率に制限がある場合、指定された制限が呼び出されます。 関数の導関数点 \(x_0 \) における \(y=f(x) \) を \(f"(x_0) \) と表します。
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
記号 y は導関数を表すためによく使用されます。y" = f(x) であることに注意してください。 新機能、ただし、当然のことながら、上記の制限が存在するすべての点 x で定義される関数 y = f(x) に関連付けられます。 この関数は次のように呼び出されます。 関数 y = f(x) の導関数.
導関数の幾何学的意味以下のとおりであります。 関数 y = f(x) のグラフの、y 軸に平行でない横軸 x=a の点で接線を引くことができれば、f(a) は次のようになります。 スロープ正接：
\(k = f"(a)\)
\(k = tg(a) \) なので、等式 \(f"(a) = Tan(a) \) が成り立ちます。
ここで、近似等式の観点から導関数の定義を解釈してみましょう。 関数 \(y = f(x)\) が特定の点 \(x\) で導関数を持つとします。
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
これは、点 x の近似値 \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \estimate f"(x)\)、つまり \(\Delta y \estimate f"(x) \cdot\) が成り立つことを意味します。デルタ x\)。 結果として得られる近似等価の意味のある意味は次のとおりです。関数の増分は引数の増分に「ほぼ比例」し、比例係数は次の微分の値です。 与えられたポイントバツ。 たとえば、関数 \(y = x^2\) の場合、近似等価 \(\Delta y \about 2x \cdot \Delta x \) が有効です。 導関数の定義を注意深く分析すると、導関数を見つけるためのアルゴリズムが含まれていることがわかります。
それを定式化しましょう。
関数 y = f(x) の導関数を求めるにはどうすればよいですか?
1. \(x\) の値を修正し、\(f(x)\) を見つけます
2. 引数 \(x\) に増分 \(\Delta x\) を与え、新しい点 \(x+ \Delta x \) に移動し、\(f(x+ \Delta x) \) を見つけます。
3. 関数の増分を求めます: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. リレーション \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) を作成します
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ を計算します。
この制限は、点 x における関数の導関数です。
関数 y = f(x) が点 x で導関数を持つ場合、その関数は点 x で微分可能と呼ばれます。 関数 y = f(x) の導関数を求める手順は次のように呼ばれます。 差別化関数 y = f(x)。
次の質問について説明しましょう: ある点における関数の連続性と微分可能性は互いにどのように関係しているのでしょうか?
関数 y = f(x) が点 x で微分可能であるとします。 次に、関数のグラフの点 M(x; f(x)) に接線を引くことができ、接線の角係数は f "(x) に等しいことを思い出してください。そのようなグラフは「壊れる」ことはできません。つまり、関数は点 x で連続でなければなりません。
これらは「実践的な」議論でした。 より厳密な推論をしてみましょう。 関数 y = f(x) が点 x で微分可能である場合、近似等式 \(\Delta y \estimate f"(x) \cdot \Delta x\) が成り立ちます。この等式の場合 \(\Delta x \) がゼロになる傾向があり、その後 \(\Delta y\) もゼロになる傾向があります。これが、ある点における関数の連続性の条件です。
それで、 関数が点 x で微分可能である場合、その関数はその点で連続です.
逆の記述は真実ではありません。 例: 関数 y = |x| はどこでも、特に点 x = 0 では連続ですが、「接続点」(0; 0) における関数のグラフの接線は存在しません。 ある時点で関数のグラフに接線を引くことができない場合、その時点では導関数は存在しません。
もう 1 つの例。 関数 \(y=\sqrt(x)\) は、点 x = 0 を含む数直線全体で連続です。また、関数のグラフの接線は、点 x = 0 を含む任意の点に存在します。しかし、この時点で接線は y 軸と一致します。つまり、接線は横軸に垂直であり、その方程式は x = 0 の形式になります。このような直線には角度係数がありません。つまり、\(f "(0)\) は存在しません。
そこで、微分可能性という関数の新しい性質を知りました。 関数のグラフから、それが微分可能であるとどのように結論付けることができるでしょうか?
答えは実際には上にあります。 ある時点で、横軸に垂直でない関数のグラフに接線を引くことができる場合、その時点で関数は微分可能です。 ある時点で関数のグラフの接線が存在しないか、横軸に垂直である場合、その時点では関数は微分可能ではありません。
微分の法則
微分値を求める操作は次のように呼ばれます。 差別化。 この演算を実行するときは、多くの場合、関数の商、和、積、および「関数の関数」、つまり複素関数を操作する必要があります。 導関数の定義に基づいて、この作業を容易にする微分規則を導き出すことができます。 C が定数で、f=f(x)、g=g(x) が微分可能な関数である場合、次のことが当てはまります。 微分規則:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
いくつかの関数の導関数の表
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $日付: 2014 年 11 月 20 日
デリバティブとは何ですか?
デリバティブの表。
微分は高等数学の主要概念の 1 つです。 このレッスンでは、この概念を紹介します。 厳密な数学的定式化や証明なしで、お互いを知りましょう。
この知人により、次のことが可能になります。
導関数を使用した単純なタスクの本質を理解します。
これらの最も単純なタスクを正常に解決します。
デリバティブに関するより本格的なレッスンの準備をします。
まず、嬉しい驚きです。)
導関数の厳密な定義は極限理論に基づいており、かなり複雑です。 これは腹立たしいことだ。 しかし、デリバティブの実際の応用には、原則として、これほど広範で深い知識は必要ありません。
学校や大学でのほとんどの課題を無事に完了するには、次のことを知っておくだけで十分です ほんの数語- タスクを理解するため、そして ほんの少しのルール- それを解決するために。 それだけです。 これは嬉しいですね。
知り合い始めましょうか？）
用語と指定。
初等数学ではさまざまな数学的演算が行われます。 加算、減算、乗算、べき乗、対数など。 これらの演算にもう一つ演算を加えると初等数学はさらに高度になります。 この新しい操作は次のように呼ばれます 差別化。この操作の定義と意味については、別のレッスンで説明します。
ここで、微分は単に関数に対する数学的演算であることを理解することが重要です。 私たちは任意の関数を取り、それに応じて、 特定のルール、変換します。 その結果が新しい関数になります。 この新しい関数は次のように呼ばれます。 派生語。
差別化- 関数に対するアクション。
デリバティブ- このアクションの結果。
たとえば、次のようになります。 和- 加算の結果。 または プライベート- 除算の結果。
用語を知っていれば、少なくともタスクを理解できます。) 公式は次のとおりです。 関数の導関数を求めます。 導関数を取得します。 関数を微分します。 導関数を計算する等々。 これですべてです 同じ。もちろん、導関数 (微分) を見つけることが問題を解決するためのステップの 1 つにすぎない、より複雑なタスクもあります。
導関数は関数の右上にダッシュで示されます。 このような： よ」または f"(x)または S"(t)等々。
読む igrek ストローク、x からの ef ストローク、te からの es ストローク、まあ、わかります...)
素数は導関数を表すこともできます 特定の機能、 例えば： (2x+3)", （バツ 3 )" , (シンクス)」等 導関数は微分を使用して表されることがよくありますが、このレッスンではそのような表記は考慮しません。
タスクを理解できるようになったと仮定しましょう。 残っているのは、それらを解決する方法を学ぶことだけです。) もう一度思い出させてください: 導関数を見つけることは、 特定の規則に従って関数を変換すること。驚くべきことに、これらのルールはほとんどありません。
関数の導関数を見つけるには、3 つのことだけを知っておく必要があります。 すべての差別化を支える 3 つの柱。 それが次の 3 つの柱です。
1. 導関数（微分公式）の表。
3. 複素関数の導関数。
順番に始めましょう。 このレッスンでは、デリバティブのテーブルを見ていきます。
デリバティブの表。
世の中には無数の関数が存在します。 このセットの中で、最も重要な機能があります。 実用化。 これらの機能はすべての自然法則の中に見られます。 これらの関数から、レンガと同様に、他のすべての関数を構築できます。 このクラスの関数は次のように呼ばれます。 初歩的な関数。学校で勉強するのはこれらの関数です - 線形、二次、双曲線など。
関数を「ゼロから」差別化する、つまり 導関数の定義と極限理論に基づいて、これはかなり手間のかかるものです。 そして数学者も人間です、そうです、そうです!) それで彼らは彼ら (そして私たち) の生活を単純化しました。 彼らは私たちよりも先に初等関数の導関数を計算しました。 結果として導関数のテーブルが作成され、すべての準備が整います。)
これが、最も人気のある機能のプレートです。 左 - 初等関数、右側はその導関数です。
| 関数 y |
関数 y の導関数 よ」 |
|
| 1 | C（定数値） | C" = 0 |
| 2 | バツ | x" = 1 |
| 3 | x n (n - 任意の数) | (x n)" = nx n-1 |
| × 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | 罪× | (sin x)" = cosx |
| cosx | (cos x)" = - sin x | |
| tgx |  |
|
| ctgx |  |
|
| 5 | 逆正弦× |  |
| アーコスX |  |
|
| アークタンX |  |
|
| アーククトグx |  |
|
| 4 | あるバツ |  |
| eバツ | ||
| 5 | ログ あるバツ |  |
| ln x ( a = e) |
この導関数の表の 3 番目の関数グループに注目することをお勧めします。 デリバティブ べき乗関数- 最も一般的ではないにしても、最も一般的な式の 1 つです。 ヒントはわかりますか?) はい、導関数の表を暗記することをお勧めします。 ちなみに、これは思っているほど難しくありません。 決めてみてください 他の例、テーブル自体が記憶されます!)
ご理解のとおり、導関数のテーブル値を見つけることは、最も難しい作業ではありません。 したがって、そのようなタスクでは追加のチップが存在することがよくあります。 タスクの文言か、表には載っていないような元の関数か...
いくつかの例を見てみましょう。
1. 関数 y = x の導関数を求めます。 3
テーブルにはそのような関数はありません。 しかし、次のべき乗関数の導関数があります。 一般的な見解(3番目のグループ)。 この場合、n=3。 そこで、n の代わりに 3 を代入し、結果を注意深く書き留めます。
（バツ 3) " = 3 x 3-1 = 3倍 2
それでおしまい。
答え： y" = 3x 2
2. 点 x = 0 における関数 y = sinx の導関数の値を求めます。
このタスクは、まずサインの導関数を見つけてから、その値を代入する必要があることを意味します。 x = 0これと同じ導関数になります。 まさにその順番で！それ以外の場合は、元の関数にすぐにゼロを代入することが起こります...元の関数の値ではなく、値を見つけるように求められます。 その派生語。導関数は新しい関数であることを思い出してください。
タブレットを使用して、正弦と対応する導関数を求めます。
y" = (sin x)" = cosx
導関数にゼロを代入します。
y"(0) = cos 0 = 1
これが答えになります。
3. 関数を微分します。
何、それはインスピレーションを与えますか?) デリバティブのテーブルにはそのような関数はありません。
関数を微分するとは、単にこの関数の導関数を見つけることであることを思い出してください。 初等三角法を忘れた場合、関数の導関数を探すのは非常に面倒です。 テーブルは役に立ちません...
しかし、私たちの機能が 二重角余弦、そうすれば、すべてがすぐに良くなります！
はいはい！ 元の関数を変換すると、 微分前かなり許容範囲です！ そしてそれはたまたま人生をとても楽にしてくれます。 倍角コサイン公式を使用すると、次のようになります。
それらの。 私たちの トリッキーな機能それ以上のものはありません y = cosx。 そしてこれはテーブル関数です。 すぐに次の結果が得られます。
答え： y" = - 罪 x.
上級卒業生および学生の例:
4. 関数の導関数を求めます。
もちろん、デリバティブテーブルにはそのような関数はありません。 しかし、初歩的な数学、累乗演算を覚えていれば、この関数を単純化することはかなり可能です。 このような：
そして、x の 10 乗はすでに表形式関数です。 3 番目のグループ、n=1/10。 次の式に従って直接書きます。
それだけです。 これが答えになります。
差別化の最初の柱であるデリバティブの表についてすべてが明確であることを願っています。 残る2頭のクジラへの対処が残っている。 次のレッスンでは、微分の法則を学びます。
導関数の符号と関数の単調性の性質の間の関係を示します。
以下の点には十分ご注意ください。 見てください、あなたに与えられたスケジュールは何ですか！ 関数またはその派生関数
導関数のグラフが与えられた場合の場合、関数の符号とゼロのみに注目します。 私たちは原則として「山」や「窪み」には興味がありません。
タスク1。
この図は、区間で定義された関数のグラフを示しています。 関数の導関数が負になる整数点の数を決定します。
解決：
図では、関数が減少している領域が色で強調表示されています。
関数のこれらの減少領域には 4 つの整数値が含まれます。
タスク2。
この図は、区間で定義された関数のグラフを示しています。 関数のグラフの接線が直線と平行または一致する点の数を求めます。
解決：
関数のグラフの接線が直線と平行（または一致）すると（または、それは同じことですが）、 スロープ , ゼロに等しいの場合、接線には角度係数もあります。
これは、傾きが軸に対する接線の傾斜角の接線であるため、接線が軸に平行であることを意味します。
したがって、グラフ上の極値点 (最大点と最小点) を見つけます。グラフに接する関数が軸に平行になるのは、これらの点です。
そのようなポイントは4つあります。
タスク3。
この図は、区間上で定義された関数の導関数のグラフを示しています。 関数のグラフの接線が直線と平行または一致する点の数を求めます。
解決：
関数のグラフの接線は傾きのある線と平行 (または一致) しているため、接線にも傾きがあります。
これはつまり、タッチポイントでのことを意味します。
したがって、グラフ上の縦軸が に等しい点がいくつあるかを調べます。
ご覧のとおり、そのようなポイントは 4 つあります。
タスク4。
この図は、区間で定義された関数のグラフを示しています。 関数の導関数が 0 になる点の数を求めます。
解決：
微分値は極値点ではゼロに等しくなります。 そのうちの 4 つがあります。
タスク5。
この図は、関数のグラフと X 軸上の 11 個の点を示しています。 関数の導関数はこれらの点のうち何点で負になりますか?
解決：
減少関数の区間では、その微分値は負の値になります。 そして、その機能は点で低下します。 そのようなポイントは4つあります。
タスク6。
この図は、区間で定義された関数のグラフを示しています。 関数の極値点の合計を求めます。
解決：
極値ポイント– これらは最大点 (-3、-1、1) と最小点 (-2、0、3) です。
極値ポイントの合計: -3-1+1-2+0+3=-2。
タスク7。
この図は、区間上で定義された関数の導関数のグラフを示しています。 関数の増加の間隔を求めます。 回答では、これらの間隔に含まれる整数点の合計を示してください。
解決：
この図は、関数の導関数が負でない区間を強調表示しています。
小さな増加区間には整数点はありませんが、増加区間には 、 、および の 4 つの整数値があります。
それらの合計:
タスク8。
この図は、区間上で定義された関数の導関数のグラフを示しています。 関数の増加の間隔を求めます。 回答では、それらの最大の長さを示してください。
解決：
図では、導関数が正であるすべての区間が色で強調表示されています。これは、関数自体がこれらの区間で増加することを意味します。
そのうちの最大のものの長さは 6 です。
タスク9。
この図は、区間上で定義された関数の導関数のグラフを示しています。 セグメント上のどの時点で最大の値が得られますか?
解決：
興味のあるセグメント上でグラフがどのように動作するかを見てみましょう。 導関数の符号のみ .
このセグメントのグラフは軸の下にあるため、導関数の符号はマイナスです。
導関数とその計算方法の知識がなければ、数学の物理的な問題や例を解くことはまったく不可能です。 微分は数学的解析において最も重要な概念の 1 つです。 今日の記事はこの基本的なトピックに特化することにしました。 導関数とは何ですか、その物理的および幾何学的意味は何ですか、関数の導関数を計算する方法は何ですか? これらすべての質問は 1 つにまとめることができます。つまり、導関数をどのように理解するかということです。
導関数の幾何学的および物理的意味
機能を持たせよう f(x) 、一定の間隔で指定 (a、b) 。 点 x と x0 はこの区間に属します。 x が変化すると、関数自体が変化します。 引数の変更 - その値の違い x-x0 。 この違いは次のように書かれます デルタX これは引数インクリメントと呼ばれます。 関数の変更または増分は、2 点における関数の値の差です。 導関数の定義:
ある点における関数の導関数は、引数の増分がゼロになる傾向がある場合の、指定された点における関数の増分と引数の増分との比率の制限です。
それ以外の場合は、次のように書くことができます。
そのような限界を見つけることに何の意味があるのでしょうか? それは次のとおりです。
ある点における関数の導関数は、OX 軸と指定された点における関数のグラフの接線との間の角度の正接に等しくなります。
導関数の物理的意味: 時間に関する経路の導関数は、直線運動の速度に等しくなります。
確かに学生時代からスピードが特別な道であることは誰もが知っています x=f(t) そして時間 t 。 一定期間の平均速度:
ある瞬間の動きの速さを知るには t0 制限を計算する必要があります。
ルール 1: 定数を設定する
微分符号から定数を取り出すことができます。 さらに、これは行わなければなりません。 数学の例を解くときは、次のことを原則としてください。 式を簡略化できる場合は、必ず簡略化してください .
例。 導関数を計算しましょう。
ルール 2: 関数の和の導関数
2 つの関数の合計の導関数は、これらの関数の導関数の合計と等しくなります。 関数の差の導関数についても同様です。
この定理の証明は行わず、実際の例を検討します。
関数の導関数を求めます。
ルール 3: 関数の積の導関数
2 つの微分可能な関数の積の導関数は、次の式で計算されます。
例: 関数の導関数を求めます。
解決： 
ここで複素関数の導関数の計算について説明することが重要です。 複素関数の導関数は、中間引数に関するこの関数の導関数と、独立変数に関する中間引数の導関数の積に等しくなります。
上の例では、次のような式が出てきます。
この場合、中間引数は 8x の 5 乗です。 このような式の導関数を計算するには、まず導関数を計算します。 外部関数中間引数を掛けてから、独立変数に関する中間引数自体の導関数を掛けます。
ルール 4: 2 つの関数の商の導関数
2 つの関数の商の導関数を求める公式:
ダミー向けにデリバティブについてゼロから話してみました。 このトピックは見かけほど単純ではないため、注意してください。例には落とし穴がよくあるため、導関数を計算するときは注意してください。
このトピックやその他のトピックに関する質問がある場合は、学生サービスにお問い合わせください。 これまで微分計算を行ったことがない場合でも、最も難しいテストを短時間で解決し、タスクを理解できるようにお手伝いします。
問題 B9 では、次の量のいずれかを決定する必要がある関数または導関数のグラフが表示されます。
- ある点における導関数の値 x 0、
- 最大点または最小点（極値点）、
- 増加関数と減少関数の間隔 (単調性の間隔)。
この問題で示される関数と導関数は常に連続であるため、解決がはるかに簡単になります。 このタスクは数学的分析のセクションに属しているという事実にもかかわらず、深い問題がないため、最も弱い学生でもそれを行うことができます。 理論的な知識ここでは必要ありません。
導関数の値、極値点、および単調性区間を見つけるには、単純な方法と ユニバーサルアルゴリズム- それらすべてについては以下で説明します。
愚かな間違いをしないように、問題 B9 の条件を注意深く読んでください。時には非常に長い文章に遭遇することがありますが、解決策の過程に影響を与える重要な条件はほとんどありません。
微分値の計算。 2点法
ある点 x 0 でこのグラフに接する関数 f(x) のグラフが問題に与えられ、この点での導関数の値を見つける必要がある場合、次のアルゴリズムが適用されます。
- 接線グラフ上で 2 つの「適切な」点を見つけます。それらの座標は整数でなければなりません。 これらの点を A (x 1 ; y 1) および B (x 2 ; y 2) と表します。 座標を正確に書き留めてください。これは解決策の重要なポイントであり、ここで間違いがあると不正確な答えにつながります。
- 座標がわかれば、引数の増分 Δx = x 2 − x 1 と関数の増分 Δy = y 2 − y 1 を計算するのは簡単です。
- 最後に、導関数 D = Δy/Δx の値を求めます。 言い換えれば、関数の増分を引数の増分で割る必要があります。これが答えになります。
もう一度注意してください。点 A と B は、よくあることですが、関数 f(x) のグラフ上ではなく、正接上で正確に探す必要があります。 接線には必ずそのような点が少なくとも 2 つ含まれます。そうでない場合、問題は正しく定式化されません。
点 A (−3; 2) と B (−1; 6) を考慮し、増分を求めます。
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4。
導関数の値 D = Δy/Δx = 4/2 = 2 を求めてみましょう。
タスク。 この図は、関数 y = f(x) のグラフと、横軸 x 0 の点におけるその接線を示しています。 点 x 0 における関数 f(x) の導関数の値を求めます。
点 A (0; 3) と B (3; 0) を考慮し、増分を求めます。
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3。
ここで、導関数の値 D = Δy/Δx = −3/3 = −1 を求めます。
タスク。 この図は、関数 y = f(x) のグラフと、横軸 x 0 の点におけるその接線を示しています。 点 x 0 における関数 f(x) の導関数の値を求めます。
点 A (0; 2) と B (5; 2) を考慮し、増分を求めます。
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0。
導関数の値 D = Δy/Δx = 0/5 = 0 を見つける必要があります。
から 最後の例ルールを定式化できます。接線が OX 軸に平行な場合、接点における関数の導関数はゼロになります。 この場合、何も数える必要はなく、グラフを見るだけで十分です。
最大点と最小点の計算
場合によっては、問題 B9 では関数のグラフの代わりに導関数のグラフが表示され、関数の最大点または最小点を見つける必要があります。 この状況では、2 点法は役に立ちませんが、さらに単純なアルゴリズムがもう 1 つあります。 まず、用語を定義しましょう。
- 点 x 0 は、この点の近傍で次の不等式が成立する場合、関数 f(x) の最大点と呼ばれます: f(x 0) ≥ f(x)。
- 点 x 0 は、この点の近傍で次の不等式が成立する場合、関数 f(x) の最小点と呼ばれます: f(x 0) ≤ f(x)。
微分グラフ上の最大点と最小点を見つけるには、次の手順に従います。
- 不要な情報をすべて削除して微分グラフを再描画します。 実際に見てみると、不必要なデータは意思決定の邪魔になるだけです。 したがって、微分のゼロを座標軸上にマークします。それだけです。
- ゼロ間の間隔における導関数の符号を見つけます。 ある点 x 0 について f'(x 0) ≠ 0 であることがわかっている場合、考えられるオプションは 2 つだけです: f'(x 0) ≥ 0 または f'(x 0) ≤ 0。導関数の符号は次のとおりです。元の図面から簡単に判断できます。微分グラフが OX 軸より上にある場合は、f'(x) ≥ 0 になります。逆も同様で、微分グラフが OX 軸よりも下にある場合は、f'(x) ≤ 0 となります。
- 導関数のゼロと符号を再度確認します。 符号がマイナスからプラスに変わるところが最小点です。 逆に、導関数の符号がプラスからマイナスに変化した場合、これが最大点になります。 カウントは常に左から右に行われます。
このスキームは連続関数に対してのみ機能します。問題 B9 には他のスキームはありません。
タスク。 この図は、区間 [−5; 5]。 このセグメント上の関数 f(x) の最小点を見つけます。
不要な情報を取り除き、境界線だけを残しましょう [−5; 5] と導関数のゼロ x = −3 および x = 2.5。 次のような兆候にも注目します。
明らかに、点 x = −3 で微分の符号はマイナスからプラスに変わります。 これが最低限のポイントです。
タスク。 この図は、区間 [−3; 7]。 このセグメント上の関数 f(x) の最大点を見つけます。
境界 [−3; だけを残してグラフを再描画しましょう。 7] と導関数のゼロ x = −1.7 および x = 5。結果として得られるグラフ上の導関数の符号に注目してください。 我々は持っています：
明らかに、点 x = 5 で導関数の符号はプラスからマイナスに変わります。これが最大点です。
タスク。 この図は、区間 [−6; 4]。 セグメント [−4; に属する関数 f(x) の最大点の数を求めます。 3]。
問題の条件から、セグメント [−4; 3]。 したがって、境界のみをマークした新しいグラフを構築します [−4; 3] とその中の導関数のゼロ。 つまり、点 x = −3.5 および x = 2 になります。次が得られます。
このグラフには、最大点 x = 2 が 1 つだけあります。導関数の符号がプラスからマイナスに変わるのはこの点です。
非整数座標の点に関する小さなメモ。 たとえば、最後の問題では点 x = −3.5 が考慮されましたが、同じ成功で x = −3.4 を取ることができます。 問題が正しく編集されていれば、「居住地が決まっていない」という点は問題の解決に直接関与しないため、そのような変更は解答に影響を与えることはありません。 もちろん、このトリックは整数ポイントでは機能しません。
関数の増加と減少の間隔を求める
このような問題では、最大点と最小点と同様に、導関数のグラフを使用して、関数自体が増加または減少する領域を見つけることが提案されています。 まず、増加と減少とは何かを定義しましょう。
- このセグメントの任意の 2 点 x 1 および x 2 について次のステートメントが真である場合、関数 f(x) はセグメント上で増加していると言われます: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) 。 つまり、引数の値が大きいほど、関数の値も大きくなります。
- このセグメントの任意の 2 点 x 1 および x 2 について、次のステートメントが真である場合、関数 f(x) はセグメント上で減少していると言われます: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) 。 それらの。 より大きな引数の値は、より小さな関数値に対応します。
増加と減少のための十分条件を定式化してみましょう。
- 連続関数 f(x) がセグメント 上で増加するには、セグメント内のその導関数が正であるだけで十分です。つまり、 f’(x) ≧ 0。
- 連続関数 f(x) が線分 上で減少するには、線分内の導関数が負になるだけで十分です。つまり、 f’(x) ≤ 0。
証拠のないこれらの声明を受け入れましょう。 したがって、増加と減少の間隔を見つけるスキームが得られます。これは、多くの点で極値点を計算するアルゴリズムに似ています。
- 不要な情報をすべて削除します。 導関数の元のグラフでは、主に関数のゼロに関心があるため、それらだけを残します。
- 微分の符号をゼロ間の間隔でマークします。 f’(x) ≥ 0 の場合、関数は増加し、f’(x) ≤ 0 の場合、関数は減少します。 問題によって変数 x に制限が設定されている場合は、新しいグラフ上で制限を追加でマークします。
- 関数の動作と制約がわかったので、問題に必要な量を計算することが残ります。
タスク。 この図は、区間 [−3; 7.5]。 関数 f(x) の減少の間隔を求めます。 回答では、これらの間隔に含まれる整数の合計を示してください。
いつものように、グラフを再描画して境界 [−3; 7.5]、および導関数 x = −1.5 および x = 5.3 のゼロ。 次に、導関数の符号に注目します。 我々は持っています：
微分値は区間 (− 1.5) で負であるため、これは減少関数の区間です。 この区間内にあるすべての整数を合計する必要があります。
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
タスク。 この図は、区間 [-10; 4]。 増加関数 f(x) の間隔を求めます。 回答では、それらの最大の長さを示してください。
不要な情報は排除しましょう。 境界 [−10; 4] と導関数のゼロで、今回は x = −8、x = −6、x = −3、x = 2 の 4 つでした。導関数の符号をマークして、次の図を取得しましょう。
私たちは関数が増加する間隔、つまり関数に興味があります。 f’(x) ≥ 0 のような場合です。グラフ上には、(−8; −6) と (−3; 2) の 2 つのそのような区間があります。 それらの長さを計算してみましょう。
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5。
最大の間隔の長さを見つける必要があるため、値 l 2 = 5 を答えとして書き留めます。
