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教科書：代数 8 年生、A. G. Mordkovich 編集。
レッスンタイプ:新しい知識の発見。
目標:
先生のために 目標はレッスンの各段階で固定されます。
学生のために：
個人的な目標：
- 自分の考えを明確に、正確に、有能に言葉で表現することを学びます。 書き込み、タスクの意味を理解する。
- 獲得した知識とスキルを適用して新しい問題を解決する方法を学びます。
- 自分の活動のプロセスと結果をコントロールする方法を学びます。
メタ主題の目標:
認知活動では:
- 発達 論理的思考そしてスピーチ、自分の判断を論理的に実証し、簡単な体系化を実行する能力。
- 次のような場合に仮説を立てる方法を学びましょう 問題解決、それらを確認する必要性を理解します。
- 標準的な状況で知識を適用し、独立してタスクを実行する方法を学びます。
- 変化した状況に知識を移し、問題の状況のコンテキストでタスクを確認します。
情報通信活動において：
- 対話を行うことを学び、異なる意見を持つ権利を認識します。
内省的な活動では:
- 予測することを学ぶ 考えられる結果あなたの行動。
- 困難の原因を取り除く方法を学びましょう。
主題の目標:
- 区分関数とは何かを調べてください。
- グラフを使用して区分的に与えられた関数を分析的に定義する方法を学びます。
授業中
1. 教育活動の自己決定
ステージの目的:
- 学生を学習活動に参加させる。
- レッスンの内容を決定します。引き続き数値関数のトピックを繰り返します。
組織 教育プロセスステージ 1:
T: 前のレッスンでは何をしましたか?
D: 数値関数の話題を繰り返しました。
U: 今日は前のレッスンのトピックを繰り返しますが、今日はこのトピックでどのような新しいことを学べるかを見つけなければなりません。
2. 知識を更新し、活動における困難を記録する
ステージの目的:
- 新しい内容を理解するために必要かつ十分な教育コンテンツを更新する。数値関数の公式、その性質、構築方法を覚える。
- 新しい内容を認識するために必要かつ十分な精神的操作を更新する: 比較、分析、一般化。
- 既存の知識が不十分であることを個人的に重要なレベルで示すアクティビティにおける個人的な困難を記録すること。つまり、区分的に与えられた関数を分析的に指定し、そのグラフを構築することです。
ステージ 2 での教育プロセスの構成:
T: スライドには 5 つの数値関数が示されています。 それらのタイプを判断します。
1) 分数-有理数。
2）二次関数。
3）不合理。
4) モジュールを備えた機能。
5）鎮静する。
T: それらに対応する式に名前を付けます。
3) 
;
4) 
;
U: これらの式で各係数がどのような役割を果たしているかについて話し合いましょう。
D: 変数「l」と「m」は、これらの関数のグラフをそれぞれ左から右、上から下にシフトする役割を果たします。最初の関数の係数「k」は、双曲線の分岐の位置を決定します。 k> 0 - 支店は第 1 四半期と第 3 四半期にあります。k< 0 - во II и IV четвертях, а коэффициент “а” определяет направление ветвей параболы: а>0 - 枝は上向きになり、< 0 - вниз).
2. スライド 2
U: 図にグラフが示されている関数を分析的に定義します。 (y=x2 を移動することを考慮します)。 先生は答えを黒板に書きます。
D: 1) 
);
2)
;
3. スライド 3
U: 図にグラフが示されている関数を分析的に定義します。 （動いていることを考慮して）。 先生は答えを黒板に書きます。
4. スライド 4
U: 前の結果を使用して、図にグラフが示されている関数を分析的に定義します。
3. 困難の原因を特定し、活動の目標を設定する
ステージの目的:
- コミュニケーションの相互作用を組織し、その中で、学習活動の困難を引き起こした課題の特有の特性を特定し、記録する。
- レッスンの目的とテーマに同意します。
ステージ 3 での教育プロセスの構成:
T: 何があなたを困難にさせているのですか?
D: 画面上にグラフが断片的に表示されます。
T: 私たちのレッスンの目的は何ですか?
D: 関数の一部を分析的に定義する方法を学びます。
T: レッスンのトピックを作成します。 (子供たちは独自にトピックを定式化しようとします。教師がそれを明確にします。トピック: 区分的に定義された関数。)
4. 困難を打破するためのプロジェクトの構築
ステージの目的:
ステージ 4 における教育プロセスの構成:
T: もう一度タスクを注意深く読みましょう。 どのような結果をヘルプとして使用することが求められますか?
D: 以前のもの、つまり ボードに書かれたもの。
U: おそらく、これらの公式はすでにこの課題に対する答えになっているのではないでしょうか?
D: いや、だって これらの公式は 2 次関数と有理関数を定義しており、その部分がスライドに示されています。
U: X 軸のどの間隔が最初の関数の部分に対応するかについて議論しましょう。
U: 最初の関数を指定する分析的な方法は次のようになります。
T: 同様のタスクを完了するには何をする必要がありますか?
D: 式を書き留めて、横軸のどの区間がこの関数の部分に対応するかを判断します。
5. 対外的な発言における一次統合
ステージの目的:
- 学習した教育内容を外部の音声で記録します。
ステージ 5 における教育プロセスの組織化:
7. 知識体系への組み込みと反復
ステージの目的:
- 以前に学習したコンテンツと組み合わせて新しいコンテンツを使用するスキルをトレーニングします。
ステージ 7 での教育プロセスの構成:
U: 図にグラフが示されている関数を分析的に定義します。
8. 授業での活動の振り返り
ステージの目的:
- レッスンで学んだ新しい内容を記録します。
- レッスン中の自分の活動を評価します。
- レッスンの結果を得るのに協力してくれたクラスメートに感謝します。
- 未解決の問題を将来の教育活動の方向性として記録する。
- 話し合い、宿題を書きます。
ステージ 8 における教育プロセスの構成:
T: 今日の授業では何を学びましたか?
D: 区分的に与えられた関数を使用します。
T: 今日はどんな仕事を学びましたか?
D: この種の関数は解析的に指定します。
T: 手を上げて、今日のレッスンのテーマを理解した人は誰ですか? （他の子供たちと起こった問題について話し合ってください。）
宿題
- No. 21.12(a, c);
- No. 21.13(a, c);
- №22.41;
- №22.44.
レッスンの目標: このレッスンでは、1 つの公式ではなく、異なる間隔で複数の異なる公式によって与えられる関数について学びます。
定義領域の異なる間隔で異なる式によって定義される関数
状況の例を見てみましょう。
例1.
歩行者は地点Aから時速4kmで移動を開始し、2時間半歩行した。 その後、彼は立ち止まり、0.5時間休憩しました。 休憩後、時速2.5kmの速度でさらに2時間移動を続けた。 歩行者から地点 A までの距離の時間変化の依存性を説明します。
気づいてください、それは 合計時間歩行者が道路を走行する時間は 5 時間です。 しかし、異なる時間帯で、歩行者は異なる方法で地点 A から遠ざかりました。
最初の 2.5 時間、彼は時速 4 km の速度で移動したため、歩行者と地点 A の間の距離の時間依存性は次の式で表すことができます。
S(t) = 4t, .
彼は次の 0.5 時間休んだので、彼と地点 A の間の距離は変化せず 10 km でした。つまり、次のように書くことができます。 S(t) = 10, .
過去 2 時間、彼は 2.5 km/h の速度で移動していました。歩行者と地点 A の間の距離の時間依存性は、次の式で表すことができます。
S(t) = 10 + 2,5(t – 3), .
したがって、連続して得られた式を組み合わせると、次の依存関係が得られます。これは、定義領域の異なる間隔で 3 つの異なる式で表されます。
この関数の定義範囲は間隔です。 値セットは数値のセットです。
図 1 は、この関数のグラフを示しています。
図1。 関数のグラフ
ご覧のとおり、これは定義領域の 3 つの区間に対応する 3 つのリンクで構成される破線であり、それぞれの依存関係が特定の式で表されます。
例2。
関数を次の式で与えます。 
。 モジュールを展開して、この関数をプロットしてみましょう。
取得した場合: 。
取得した場合: 。
つまり、関数は次のように記述できます。
次に、グラフを作成しましょう。 変数の値が負の場合、グラフは直線と一致します。 y = 3バツ+ 1、変数の非負の値の場合、グラフは直線と一致します。 y = バツ + 1.
グラフを図 2 に示します。
米。 2. 関数のグラフ
別の例を見てみましょう。
例 3.
関数はグラフで与えられます (図 3 を参照)。
図3. 区分的に与えられた関数のグラフ関数を数式で指定します。
この関数の定義域は数値で構成されます: 。
全て ドメインは 3 つの区間に分かれています。
1.
2.
3.
これらの各間隔で、関数は異なる公式によって与えられます。 間隔関数を定義する各関数は線形です。 これらの関数を見つけてみましょう。
1. 最初の間隔で関数 y = kx + b点 (-6; -4) と点 (2; 4) を通過します。
–4 = –6k + b
4 = 2k + b
最初の式から表してみましょう bそして 2 番目の式に代入します。
b = –4 + 6k
4 = 2k –4 + 6k
ここから得られるのは、 k= 1. 次に計算します。 b = 2.
係数は別の方法で求められる可能性があることに注意してください。グラフは点 (0; 2) でオペアンプの軸と交差します。 だということだ b = 2.
関数の傾きは正です。 グラフは、値が変化するときを示しています バツ 1 によって y の値も 1 に変わります。これは、次のことを意味します。 k = 1.
y = バツ + 2.
2. 2 番目の間隔で関数 y = kx + b点(2; 4)と点(6; 2)を通過します。
これらの点の座標を直線の方程式に代入してみましょう。
4 = 2k + b
2 = 6k + b
b = 4 – 2k
2 = 6k + 4 – 2k
ここから得られるのは、 k= -0.5。 それから計算します b = 5.
つまり、区間に関する関数の式が得られました。 y = –0,5バツ + 5.
3. 3 番目の間隔で関数 y = kx + b点(6; 2)と点(9; 11)を通過します。
これらの点の座標を直線の方程式に代入してみましょう。
2 = 6k + b
11 = 9k + b
最初の式から b を表し、それを 2 番目の式に代入してみましょう。
b = 2 – 6k
11 = 9k + 2 – 6k
ここから得られるのは、 k= 3. 次に計算します。 b = –16.
つまり、区間に関する関数の式が得られました。 y = 3バツ – 16.
自然界で発生する実際のプロセスは、関数を使用して説明できます。 したがって、互いに反対する 2 つの主なタイプのプロセスを区別できます。これらは次のとおりです。 徐々にまたは 継続的なそして けいれん性の(例としては、ボールが落ちて跳ね返る場合があります)。 しかし、不連続なプロセスがある場合には、 特別な手段それらを説明します。 この目的のために、不連続性、ジャンプ性のある関数が導入されます。 さまざまな分野数直線関数はさまざまな法則に従って動作するため、さまざまな式で求められます。 不連続点と除去可能な不連続性の概念が導入されます。
引数の値に応じて、いくつかの数式で定義された関数をすでに見つけたことがあるでしょう。たとえば、次のとおりです。
y = (x – 3、x > -3 の場合;
(-(x – 3)、x で< -3.
このような関数は呼び出されます 区分的にまたは 区分的に指定された。 数直線のセクション さまざまな公式タスク、と呼びましょう コンポーネントドメイン。 すべてのコンポーネントの結合が定義の領域です 区分関数。 関数の定義領域をコンポーネントに分割するこれらの点は、と呼ばれます。 境界点。 定義領域の各コンポーネントで区分関数を定義する式は、と呼ばれます。 受信関数。 区分的に与えられた関数のグラフは、各分割間隔で構築されたグラフの一部を結合することによって取得されます。
演習。
区分関数のグラフを作成します。
1)
(-3、-4 ≤ x< 0,
f(x) = (0、x = 0 の場合、
(1、0時< x ≤ 5.
最初の関数のグラフは、点 y = -3 を通過する直線です。 座標 (-4; -3) の点から始まり、座標 (0; -3) の点まで x 軸と平行に進みます。 2 番目の関数のグラフは、座標 (0; 0) の点です。 3 番目のグラフは最初のグラフと似ています。点 y = 1 を通過する直線ですが、すでに Ox 軸に沿った 0 から 5 までの領域にあります。
答え: 図 1。
2)
(x ≤ -4 の場合は 3、
f(x) = (|x 2 – 4|x| + 3|、-4 の場合< x ≤ 4,
(x > 4 の場合、3 – (x – 4) 2。
各関数を個別に検討して、グラフを作成してみましょう。
したがって、f(x) = 3 は Ox 軸に平行な直線ですが、x ≤ -4 の領域でのみ描画する必要があります。
関数 f(x) = |x 2 – 4|x| のグラフ + 3| は、放物線 y = x 2 – 4x + 3 から取得できます。グラフを作成したら、図の Ox 軸より上の部分は変更せず、横軸より下の部分を相対的に対称に表示する必要があります。牛軸に。 次に、グラフの部分を対称的に表示します。
負の x の場合、Oy 軸に対して x ≥ 0。 すべての変換の結果として得られたグラフを、横軸に沿った -4 から 4 までの領域のみに残します。
3 番目の関数のグラフは、枝が下に向いた放物線であり、頂点は座標 (4; 3) の点にあります。 x > 4 の領域のみに描画します。
答え: 図 2。
3)
(8 – (x + 6) 2、x ≤ -6 の場合、
f(x) = (|x 2 – 6|x| + 8| (-6 ≤ x の場合)< 5,
(x ≥ 5 の場合は 3。
提案された区分的与えられた関数の構築は、前の段落と同様です。 ここで、最初の 2 つの関数のグラフは放物線の変換から得られ、3 番目の関数のグラフは Ox に平行な直線です。
答え: 図 3。
4) 関数 y = x – |x| をグラフ化します。 + (x – 1 – |x|/x) 2 .
解決。この関数の範囲はすべてです 実数、ゼロを除く。 モジュールを展開してみましょう。 これを行うには、次の 2 つのケースを考えてみましょう。
1) x > 0 の場合、y = x – x + (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 となります。
2) x で< 0 получим y = x + x + (x – 1 + 1) 2 = 2x + x 2 .
したがって、区分的に定義された関数が得られます。
y = ((x – 2) 2、x > 0 の場合;
( x 2 + 2x、x で< 0.
両方の関数のグラフは放物線であり、その枝は上向きです。
答え: 図 4。
5) 関数 y = (x + |x|/x – 1) のグラフを描きます。 2.
解決。
関数の定義域がゼロを除くすべての実数であることが簡単にわかります。 モジュールを展開した後、区分的に指定された関数を取得します。
1) x > 0 の場合、 y = (x + 1 – 1) 2 = x 2 が得られます。
2) x で< 0 получим y = (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .
書き直してみましょう。
y = (x 2、x > 0 の場合;
((x – 2) 2 、x で< 0.
これらの関数のグラフは放物線です。
答え: 図 5。
6) 座標平面上のグラフが次のような関数はありますか? 共通点直線からですか？
解決。
はい、存在します。
例としては、関数 f(x) = x 3 があります。 実際、立方放物線のグラフは点 (a; a 3) で垂直線 x = a と交差します。 ここで、直線が方程式 y = kx + b によって与えられるとします。 次に、方程式
x 3 – kx – b = 0 には実数根 x 0 があります (奇数次の多項式には常に少なくとも 1 つの実数根があるため)。 したがって、関数のグラフは、たとえば点 (x 0; x 0 3) で直線 y = kx + b と交差します。
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区分関数- これらは、異なる数値間隔の異なる式によって定義される関数です。 例えば、
この表記は、x が以下の場合に関数の値が式 √x を使用して計算されることを意味します。 ゼロに等しい。 ×のとき ゼロ未満の場合、関数の値は式 –x 2 によって決定されます。 たとえば、x = 4 の場合、この場合はルート抽出式が使用されるため、f(x) = 2 になります。 x = –4 の場合、f(x) = –16 になります。この場合、式 –x 2 が使用されるためです (最初に 2 乗し、次にマイナスを考慮します)。
このような区分関数をプロットするには、まず、x の値に関係なく (つまり、引数の数直線全体に) 2 つの異なる関数をプロットします。 この後、結果のグラフから、対応する x 範囲に属する部分のみが取得されます。 グラフのこれらの部分が 1 つに結合されます。 単純な場合には、「完全な」バージョンの事前描画を省略して、グラフの一部を一度に描画できることは明らかです。
上の例では、式 y = √x の場合、次のグラフが得られます。
ここで、x は原則として負の値を取ることができません (つまり、この場合の根数式は負の値をとることができません)。 したがって、方程式 y = √x のグラフ全体が区分関数のグラフに入ります。
関数 f(x) = –x 2 をプロットしてみましょう。 逆放物線が得られます。
この場合、区分関数では、x が区間 (–∞; 0) に属する放物線の部分のみを取得します。 結果は区分関数のグラフになります。
別の例を見てみましょう。
関数 f(x) = (0.6x – 0.5) 2 – 1.7 のグラフは変形放物線になります。 f(x) = 0.5x + 1 のグラフは直線です。
区分関数では、x は 1 から 5 と -5 から 0 の限られた間隔で値を取得できます。そのグラフは 2 つで構成されます。 個々の部品。 放物線からの区間の 1 つの部分と、区間 [-5; 0] 直線から: 
