Хүчтэй илэрхийлэлийг хувиргах сэдвийг авч үзье, гэхдээ эхлээд ямар ч илэрхийлэл, түүний дотор хүч чадлаар хийж болох хэд хэдэн өөрчлөлтийг авч үзье. Бид хаалт нээх, ижил төстэй нэр томьёо нэмэх, суурь, илтгэгчтэй ажиллах, зэрэглэлийн шинж чанарыг ашиглах аргад суралцана.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Хүч чадлын илэрхийлэл гэж юу вэ?
Сургуулийн хичээл дээр цөөхөн хүн "гэж хэлдэг. хүч чадлын илэрхийлэл", гэхдээ энэ нэр томъёог Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх цуглуулгад байнга олдог. Ихэнх тохиолдолд хэллэг нь тэдгээрийн оруулгад зэрэг агуулсан илэрхийллийг илэрхийлдэг. Үүнийг бид тодорхойлолтдоо тусгах болно.
Тодорхойлолт 1
Хүч чадлын илэрхийлэлзэрэг агуулсан илэрхийлэл юм.
Байгалийн илтгэгчтэй чадлаас эхлээд бодит илтгэгчтэй чадлаар төгсгөх хүчийг илэрхийлэх хэд хэдэн жишээг өгье.
Хамгийн энгийн чадлын илэрхийллүүдийг байгалийн илтгэгчтэй тооны зэрэглэл гэж үзэж болно: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1 , (a 2) 3 . Мөн тэг илтгэгчтэй зэрэглэлүүд: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. Мөн сөрөг бүхэл тоон зэрэглэлүүд: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.
264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 гэсэн оновчтой болон иррациональ илтгэгчтэй зэрэгтэй ажиллахад арай хэцүү байдаг. a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .
Заагч нь 3 x - 54 - 7 3 x - 58 хувьсагч эсвэл логарифм байж болно. x 2 · l g x − 5 · x l g x.
Бид хүч чадлын илэрхийлэл гэж юу вэ гэсэн асуултыг авч үзсэн. Одоо тэдгээрийг хөрвүүлж эхэлцгээе.
Хүч чадлын илэрхийлэлийг хувиргах үндсэн төрлүүд
Юуны өмнө бид хүч чадлын илэрхийллээр гүйцэтгэж болох илэрхийллийн үндсэн хувиргалтыг авч үзэх болно.
Жишээ 1
Хүч чадлын илэрхийллийн утгыг тооцоол 2 3 (4 2 − 12).
Шийдэл
Бид үйл ажиллагааны дарааллын дагуу бүх өөрчлөлтийг хийх болно. Энэ тохиолдолд бид хаалтанд байгаа үйлдлүүдийг хийж эхэлнэ: бид зэрэглэлийг тоон утгаар сольж, хоёр тооны зөрүүг тооцоолно. Бидэнд байгаа 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.
Бидний хийх ёстой зүйл бол эрдмийн зэрэг солих явдал юм 2 3 түүний утга 8 мөн бүтээгдэхүүнийг тооцоолох 8 4 = 32. Энд бидний хариулт байна.
Хариулт: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .
Жишээ 2
Хүчтэй илэрхийллийг хялбарчлах 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.
Шийдэл
Асуудлын мэдэгдэлд бидэнд өгсөн илэрхийлэл нь бидний өгч болох ижил төстэй нэр томъёог агуулдаг: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.
Хариулт: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1.
Жишээ 3
9 - b 3 · π - 1 2 зэрэгтэй илэрхийллийг үржвэрээр илэрхийл.
Шийдэл
9-ийн тоог хүч гэж төсөөлье 3 2 мөн товчилсон үржүүлэх томъёог хэрэглэнэ:
9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1
Хариулт: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1.
Одоо хүч чадлын илэрхийлэлд тусгайлан хэрэглэж болох таних тэмдгийн хувиргалтын шинжилгээнд шилжье.
Суурь болон илтгэгчтэй ажиллах
Суурь эсвэл экспонент дахь зэрэг нь тоо, хувьсагч болон зарим илэрхийлэлтэй байж болно. Жишээлбэл, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7Тэгээд . Ийм бичлэгтэй ажиллахад хэцүү байдаг. Зэрэглэлийн суурь дахь илэрхийлэл эсвэл экспонент дахь илэрхийлэлийг ижил тэнцүү илэрхийллээр солих нь илүү хялбар байдаг.
Зэрэг ба экспонентийн хувиргалтыг бие биенээсээ тусад нь бидэнд мэдэгдэж буй дүрмийн дагуу гүйцэтгэдэг. Хамгийн чухал зүйл бол хувиргалт нь анхныхтай ижил илэрхийлэлд хүргэдэг.
Өөрчлөлтийн зорилго нь анхны илэрхийлэлийг хялбарчлах эсвэл асуудлын шийдлийг олж авах явдал юм. Жишээлбэл, бидний дээр дурдсан жишээн дээр (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 зэрэгт шилжих алхамуудыг дагаж болно. 4 , 1 1 , 3 . Хашилтыг нээснээр бид чадлын суурьтай ижил төстэй нэр томъёог гаргаж болно (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1)ба түүнээс дээш хүч чадлын илэрхийлэл авах энгийн төрөл a 2 (x + 1).
Degree Properties ашиглах
Эрх тэгш байдлын хэлбэрээр бичигдсэн эрх мэдлийн шинж чанарууд нь эрх мэдлийн илэрхийлэлийг өөрчлөх гол хэрэгслүүдийн нэг юм. Үүнийг харгалзан бид гол зүйлийг энд толилуулж байна аТэгээд бямар ч эерэг тоо байна, ба rТэгээд с- дурын бодит тоо:
Тодорхойлолт 2
- a r · a s = a r + s ;
- a r: a s = a r − s ;
- (a · b) r = a r · b r ;
- (a: b) r = a r: b r ;
- (a r) s = a r · s .
Бид натурал, бүхэл тоо, эерэг илтгэгчтэй харьцаж байгаа тохиолдолд a ба b тоонуудын хязгаарлалт нь хамаагүй бага хатуу байж болно. Жишээлбэл, бид тэгш байдлыг харгалзан үзвэл a m · a n = a m + n, Хаана мТэгээд n – бүхэл тоо, тэгвэл энэ нь эерэг ба сөрөг аль алиных нь аль ч утгын хувьд үнэн байх болно a = 0.
Эрх мэдлийн үндэс нь эерэг буюу хувьсагч, талбай агуулсан тохиолдолд та эрх мэдлийн шинж чанарыг хязгаарлалтгүйгээр ашиглаж болно. хүлээн зөвшөөрөгдөх үнэ цэнэЭнэ нь зөвхөн үүн дээр үндэслэсэн үндэслэлийг хүлээн зөвшөөрдөг эерэг утгууд. Ер нь сургуулийн математикийн хөтөлбөрт сурагчийн даалгавар бол сонгох явдал юм тохиромжтой шинж чанаруудба түүний зөв хэрэглээ.
Их, дээд сургуульд элсэн орохоор бэлтгэж байх үед та өмч хөрөнгийг буруу ашиглах нь DL-ийг нарийсгах болон шийдвэрлэхэд бусад хүндрэл учруулах асуудалтай тулгарч магадгүй юм. Энэ хэсэгт бид зөвхөн хоёр ийм тохиолдлыг авч үзэх болно. Асуудлын талаархи дэлгэрэнгүй мэдээллийг "Эрх мэдлийн шинж чанарыг ашиглан илэрхийллийг хөрвүүлэх" сэдвээс олж болно.
Жишээ 4
Илэрхийлэлийг төсөөлөөд үз дээ a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5суурьтай хүч хэлбэрээр а.
Шийдэл
Нэгдүгээрт, бид экспонентацийн шинж чанарыг ашиглаж, хоёр дахь хүчин зүйлийг ашиглан хувиргадаг (a 2) − 3. Дараа нь бид ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх, хуваах шинж чанаруудыг ашигладаг.
a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a 2.
Хариулт: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.
Эрх мэдлийн шинж чанарын дагуу эрх мэдлийн илэрхийлэлийг хувиргах нь зүүнээс баруун тийш болон эсрэг чиглэлд аль алиныг нь хийж болно.
Жишээ 5
3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 чадлын илэрхийллийн утгыг ол.
Шийдэл
Хэрэв бид тэгш байдлыг хэрэгжүүлбэл (a · b) r = a r · b r, баруунаас зүүн тийш бид 3 · 7 1 3 · 21 2 3, дараа нь 21 1 3 · 21 2 3 хэлбэрийн үржвэрийг авна. -ээр үржүүлгийн зэрэглэлийг нэмэгдүүлье ижил үндэслэлээр: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.
Өөрчлөлтийг хийх өөр нэг арга бий:
3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21
Хариулт: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21
Жишээ 6
Хүч чадлын илэрхийлэл өгсөн a 1, 5 − a 0, 5 − 6, шинэ хувьсагч оруулна уу t = a 0.5.
Шийдэл
Зэрэглэлийг төсөөлөөд үз дээ a 1, 5Хэрхэн 0.5 3. Зэрэгсээс градусын шинж чанарыг ашиглах (a r) s = a r · sбаруунаас зүүн тийш (a 0, 5) 3: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6 болно. Та үүссэн илэрхийлэлд шинэ хувьсагчийг хялбархан оруулж болно t = a 0.5: бид авдаг t 3 − t − 6.
Хариулт: t 3 − t − 6 .
Хүч агуулсан бутархайг хөрвүүлэх
Бид ихэвчлэн бутархайтай хүч чадлын илэрхийллийн хоёр хувилбарыг авч үздэг: илэрхийлэл нь зэрэгтэй бутархайг илэрхийлдэг эсвэл ийм бутархайг агуулдаг. Бутархайн бүх үндсэн хувиргалтыг ийм илэрхийлэлд ямар ч хязгаарлалтгүйгээр хэрэглэж болно. Тэдгээрийг багасгаж, шинэ хуваагч руу авчирч эсвэл тоологч болон хуваагчтай тусад нь ажиллах боломжтой. Үүнийг жишээгээр тайлбарлая.
Жишээ 7
Эрчим хүчний илэрхийллийг хялбарчлах 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .
Шийдэл
Бид бутархайтай харьцаж байгаа тул тоо болон хуваагчийн аль алинд нь хувиргалт хийх болно.
3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2
Бутархайн тэмдэгийг өөрчлөхийн тулд бутархайн өмнө хасах тэмдэг тавина: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2
Хариулт: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2
Эрх бүхий бутархайг рационал бутархайтай адил шинэ хуваагч болгон бууруулна. Үүнийг хийхийн тулд та нэмэлт хүчин зүйлийг олж, бутархайн хуваагч ба хуваагчийг үржүүлэх хэрэгтэй. Анхны илэрхийлэлд зориулсан ODZ хувьсагчийн хувьсагчийн ямар ч утгын хувьд тэг рүү орохгүй байхаар нэмэлт хүчин зүйлийг сонгох шаардлагатай.
Жишээ 8
Бутархайг шинэ хуваагч болгон бууруул: a) a + 1 a 0, 7 хуваагч руу а, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 хуваарьт x + 8 · y 1 2 .
Шийдэл
a) Шинэ хуваагч болгон бууруулах боломжийг олгох хүчин зүйлийг сонгоцгооё. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a,Тиймээс бид нэмэлт хүчин зүйл болгон авах болно a 0, 3. a хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээ нь бүх эерэг олонлогийг агуулдаг бодит тоо. Энэ чиглэлээр зэрэгтэй a 0, 3тэг рүү орохгүй.
Бутархайн хуваагч ба хуваагчийг үржүүлье a 0, 3:
a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a
б) Хугацааг анхаарч үзье:
x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2
Энэ илэрхийллийг x 1 3 + 2 · y 1 6-аар үржүүлье, бид x 1 3 ба 2 · y 1 6 кубуудын нийлбэрийг авна, өөрөөр хэлбэл. x + 8 · y 1 2 . Энэ бол бидний анхны бутархайг багасгах шаардлагатай шинэ хуваагч юм.
Бид x 1 3 + 2 · y 1 6 нэмэлт хүчин зүйлийг ингэж олсон. Хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээнд xТэгээд y x 1 3 + 2 y 1 6 илэрхийлэл алга болохгүй тул бид бутархайн хуваагч ба хуваагчийг түүгээр үржүүлж болно.
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2
Хариулт: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .
Жишээ 9
Бутархайг багасгах: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.
Шийдэл
a) Бид хамгийн их нийтлэг хуваагчийг (GCD) ашигладаг бөгөөд үүгээр бид тоологч болон хуваагчийг багасгаж болно. 30 ба 45 тоонуудын хувьд 15 байна. Бид бас бууруулж болно x0.5+1мөн x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 дээр.
Бид авах:
30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)
б) Энд ижил хүчин зүйл байгаа нь тодорхойгүй байна. Тоолуур ба хуваарьт ижил хүчин зүйлсийг авахын тулд та зарим хувиргалтыг хийх хэрэгтэй болно. Үүнийг хийхийн тулд квадратуудын зөрүүг томъёог ашиглан хуваагчийг өргөжүүлнэ.
a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4
Хариулт: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x) 0 , 5 + 1) , б) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .
Бутархайтай үндсэн үйлдлүүд нь бутархайг шинэ хуваагч болгон хувиргах, бутархайг багасгах зэрэг орно. Энэ хоёр үйлдлийг хэд хэдэн дүрмийн дагуу гүйцэтгэдэг. Бутархайг нэмэх, хасахдаа эхлээд бутархайг багасгадаг Ерөнхий хуваарь, үүний дараа тоологчтой үйлдлүүд (нэмэх эсвэл хасах) хийгдэнэ. Хуваарилагч нь ижил хэвээр байна. Бидний үйлдлүүдийн үр дүн нь шинэ бутархай, хуваагч нь тоологчдын үржвэр, хуваагч нь хуваагчийн үржвэр юм.
Жишээ 10
x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 алхмуудыг хий.
Шийдэл
Эхлээд хаалтанд байгаа бутархайг хасаад эхэлцгээе. Тэднийг нийтлэг хуваагч руу аваачъя:
x 1 2 - 1 x 1 2 + 1
Тоолуурыг хасъя:
x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2
Одоо бид бутархайг үржүүлж байна:
4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2
Хүчээр бууруулъя x 1 2, бид 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1-ийг авна.
Нэмж дурдахад та хуваагч дахь хүч чадлын илэрхийллийг квадратуудын зөрүүг томъёогоор хялбарчилж болно: квадратууд: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .
Хариулт: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1
Жишээ 11
Х 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 гэсэн хүчний хуулийн илэрхийллийг хялбарчил.
Шийдэл
Бид бутархайг багасгаж болно (x 2 , 7 + 1) 2. Бид x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1 бутархайг авна.
x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 -ийн хүчийг үргэлжлүүлэн хувиргацгаая. Одоо та ижил суурьтай хүчийг хуваах шинж чанарыг ашиглаж болно: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2, 7 + 1.
Бид сүүлчийн бүтээгдэхүүнээс x 1 3 8 x 2, 7 + 1 бутархай руу шилждэг.
Хариулт: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.
Ихэнх тохиолдолд сөрөг илтгэгчтэй хүчин зүйлийг тоологчоос хуваагч руу шилжүүлж, илтгэгчийн тэмдгийг өөрчлөх нь илүү тохиромжтой байдаг. Энэ үйлдэл нь цаашдын шийдвэрийг хялбарчлах боломжийг танд олгоно. Нэг жишээ өгье: хүч чадлын илэрхийлэл (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1-ийг x 3 · (x + 1) 0, 2 гэж сольж болно.
Үндэс ба хүч бүхий илэрхийлэлийг хөрвүүлэх
Бодлогод зөвхөн бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлүүд төдийгүй үндсийг агуулсан чадлын илэрхийллүүд байдаг. Ийм хэллэгийг зөвхөн үндэс эсвэл зөвхөн эрх мэдэлд багасгахыг зөвлөж байна. Тэдэнтэй ажиллахад хялбар байдаг тул зэрэг авах нь илүү дээр юм. Анхны илэрхийлэлд зориулсан хувьсагчийн ODZ нь модульд хандах эсвэл ODZ-ийг хэд хэдэн интервалд хуваах шаардлагагүйгээр язгуурыг хүчээр солих боломжийг олгодог бол энэ шилжилтийг илүү тохиромжтой.
Жишээ 12
x 1 9 · x · x 3 6 илэрхийллийг зэрэглэлээр илэрхийл.
Шийдэл
Зөвшөөрөгдөх хувьсах утгуудын хүрээ xхоёр тэгш бус байдлаар тодорхойлогддог x ≥ 0ба олонлогийг тодорхойлох x x 3 ≥ 0 [ 0 , + ∞) .
Энэ багц дээр бид үндэснээс эрх мэдэл рүү шилжих эрхтэй:
x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6
Хүч чадлын шинж чанарыг ашиглан бид үүссэн хүчийг илэрхийллийг хялбаршуулдаг.
x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3
Хариулт: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .
Экспонент дахь хувьсагчтай хүчийг хөрвүүлэх
Хэрэв та зэрэглэлийн шинж чанарыг зөв ашиглавал эдгээр хувиргалтыг хийхэд маш хялбар байдаг. Жишээлбэл, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.
Бид илтгэгч нь зарим хувьсагч ба тооны нийлбэр болох чадлын үржвэрээр сольж болно. Зүүн талд үүнийг илэрхийллийн зүүн талын эхний ба сүүлчийн нөхцлөөр хийж болно:
5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0.
Одоо тэгшитгэлийн хоёр талыг хувааж үзье 7 2 х. Энэ x хувьсагчийн илэрхийлэл нь зөвхөн эерэг утгыг авна:
5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0
Бутархайг зэрэглэлээр бууруулъя: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.
Эцэст нь, эрх мэдлийн харьцаа ижил үзүүлэлтүүдхарьцааны зэрэглэлээр солигдвол 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 тэгшитгэл гарах бөгөөд энэ нь 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0-тэй тэнцэнэ.
Шийдвэрийг эх хувь болгон бууруулсан t = 5 7 x шинэ хувьсагчийг танилцуулъя экспоненциал тэгшитгэлшийдвэрт квадрат тэгшитгэл 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0.
Хүчин чадал ба логарифм бүхий илэрхийллийг хөрвүүлэх
Эрх мэдэл, логарифм агуулсан илэрхийллүүд нь бодлогод бас байдаг. Ийм илэрхийллийн жишээ нь: 1 4 1 - 5 · log 2 3 эсвэл log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Ийм илэрхийлэлийг хувиргах нь дээр дурдсан логарифмын арга барил, шинж чанарыг ашиглан хийгддэг бөгөөд үүнийг бид "Логарифмын илэрхийллийн хувиргалт" сэдвээр дэлгэрэнгүй авч үзсэн.
Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу
Ямар ч хэл ижил мэдээллийг илэрхийлж болно өөр үгээрболон хувьсгалууд. Математик хэл нь үл хамаарах зүйл биш юм. Гэхдээ ижил илэрхийллийг өөр өөр хэлбэрээр бичиж болно. Мөн зарим тохиолдолд оруулгуудын нэг нь илүү хялбар байдаг. Энэ хичээл дээр бид илэрхийллийг хялбарчлах талаар ярих болно.
Хүмүүс харилцаж байна өөр өөр хэл. Бидний хувьд чухал харьцуулалт бол "Орос хэл - математикийн хэл" гэсэн хос юм. Ижил мэдээллийг өөр өөр хэлээр дамжуулж болно. Гэхдээ үүнээс гадна үүнийг нэг хэлээр янз бүрээр дуудаж болно.
Жишээлбэл: "Петя Васятай найзууд", "Вася Петятай найзууд", "Петя, Вася хоёр найзууд". Өөр өөр зүйл хэлсэн, гэхдээ ижил зүйл. Эдгээр хэллэгүүдийн аль нэгээс нь бид юу яриад байгааг ойлгох болно.
Энэ өгүүлбэрийг харцгаая: "Хүү Петя, хүү Вася хоёр найзууд." Бид юу хэлэх гээд байгааг ойлгож байна бид ярьж байна. Гэсэн хэдий ч бид энэ хэллэгийн дуунд дургүй. Бид үүнийг хялбарчилж, ижил зүйлийг хэлж болохгүй, гэхдээ илүү хялбар болгох уу? "Хүү, хүү" - та нэг удаа хэлж болно: "Хөвгүүд Петя, Вася нар найзууд."
“Хөвгүүд”... Нэрнээс нь харахад охид биш гэдэг нь тодорхой бус уу? Бид "хөвгүүдийг" хасдаг: "Петя, Вася хоёр найзууд." "Найзууд" гэдэг үгийг "найзууд" гэж сольж болно: "Петя, Вася хоёр найзууд." Үүний үр дүнд эхний, урт, муухай хэллэгийг хэлэхэд хялбар, ойлгоход хялбар ижил төстэй хэллэгээр сольсон. Бид энэ хэллэгийг хялбаршуулсан. Хялбарчилна гэдэг нь илүү энгийнээр хэлэх гэсэн үг, гэхдээ утгыг алдах, гуйвуулахгүй байх.
IN математик хэлойролцоогоор ижил зүйл тохиолддог. Үүнтэй ижил зүйлийг өөрөөр бичиж болно. Илэрхийлэлийг хялбарчлах нь юу гэсэн үг вэ? Энэ нь анхны илэрхийлэлд олон ижил утгатай, өөрөөр хэлбэл ижил утгатай илэрхийллүүд байдаг гэсэн үг юм. Мөн энэ олон янз байдлаас бид хамгийн энгийн, бидний бодлоор, эсвэл цаашдын зорилгодоо хамгийн тохиромжтойг нь сонгох ёстой.
Жишээлбэл, авч үзье тоон илэрхийлэл. -тэй тэнцэх болно.
Энэ нь мөн эхний хоёртой тэнцэх болно: 
.
Бид илэрхийллүүдээ хялбарчилж, хамгийн богино дүйцэх илэрхийлэлийг олсон нь харагдаж байна.
Тоон илэрхийллийн хувьд та үргэлж бүх зүйлийг хийж, ижил тооны илэрхийлэлийг нэг тоогоор авах хэрэгтэй.
Үг хэллэгийн жишээг авч үзье . Энэ нь илүү хялбар байх нь ойлгомжтой.
Үг хэллэгийг хялбарчлахдаа бүх боломжит үйлдлүүдийг хийх шаардлагатай.
Илэрхийлэлийг үргэлж хялбарчлах шаардлагатай юу? Үгүй ээ, заримдаа ижил төстэй боловч урт оруулгатай байх нь бидэнд илүү тохиромжтой байх болно.
Жишээ: та тооноос тоог хасах хэрэгтэй.
Тооцоолох боломжтой, гэхдээ эхний тоог түүнтэй адилтгах тэмдэглэгээгээр илэрхийлсэн бол: , дараа нь тооцоолол агшин зуурт болно: .
Өөрөөр хэлбэл, хялбаршуулсан илэрхийлэл нь цаашдын тооцоололд үргэлж тустай байдаггүй.
Гэсэн хэдий ч бид ихэнхдээ "илэрхийлэлийг хялбарчлах" мэт сонсогдох даалгавартай тулгардаг.
Илэрхийллийг хялбарчлах: .
Шийдэл
1) Эхний болон хоёр дахь хаалтанд байгаа үйлдлүүдийг гүйцэтгэнэ: .
2) Бүтээгдэхүүнийг тооцоолъё: .
Мэдээжийн хэрэг, сүүлчийн илэрхийлэл нь эхнийхээс илүү энгийн хэлбэртэй байна. Бид үүнийг хялбаршуулсан.
Илэрхийлэлийг хялбарчлахын тулд үүнийг эквивалент (тэнцүү) -ээр солих шаардлагатай.
Ижил илэрхийлэлийг тодорхойлохын тулд танд хэрэгтэй:
1) боломжтой бүх үйлдлийг хийх,
2) тооцоог хялбарчлахын тулд нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах шинж чанаруудыг ашиглах.
Нэмэх, хасах үйл ажиллагааны шинж чанарууд:
1. Нэмэхийн солих шинж чанар: Нөхцөлүүдийг өөрчилснөөр нийлбэр өөрчлөгдөхгүй.
2. Нэмэх хосолсон шинж чанар: хоёр тооны нийлбэр дээр гурав дахь тоог нэмэхийн тулд эхний тоон дээр хоёр, гурав дахь тооны нийлбэрийг нэмж болно.
3. Тооноос нийлбэрийг хасах шинж чанар: тооноос нийлбэрийг хасахын тулд гишүүн бүрийг тусад нь хасаж болно.
Үржүүлэх, хуваах шинж чанарууд
1. Үржүүлэхийн солих шинж чанар: хүчин зүйлсийг дахин цэгцлэх нь үржвэрийг өөрчлөхгүй.
2. Хосолсон шинж чанар: тоог хоёр тооны үржвэрээр үржүүлэхийн тулд эхлээд эхний хүчин зүйлээр үржүүлж, дараа нь гарсан үржвэрийг хоёр дахь хүчин зүйлээр үржүүлж болно.
3. Үржүүлэхийн тархалтын шинж чанар: тоог нийлбэрээр үржүүлэхийн тулд гишүүн бүрээр тусад нь үржүүлэх шаардлагатай.
Оюуны тооцоолол хэрхэн яаж хийдгийг харцгаая.
Тооцоолох:
Шийдэл
1) Хэрхэн гэдгийг төсөөлөөд үз дээ
2) Эхний хүчин зүйлийг битийн гишүүний нийлбэр гэж төсөөлөөд үржүүлгийг хийцгээе.
3) үржүүлгийг хэрхэн яаж хийхийг төсөөлж болно:
4) Эхний хүчин зүйлийг тэнцүү нийлбэрээр солино.
Хуваарилалтын хуулийг мөн ашиглаж болно урвуу тал: .
Эдгээр алхмуудыг дагана уу:
1) 
2) 
Шийдэл
1) Тохиромжтой болгохын тулд та түгээлтийн хуулийг ашиглаж болно, зөвхөн эсрэг чиглэлд ашиглаарай - нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гарга.
2) Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргая
Гал тогоо, коридорт хулдаас худалдаж авах шаардлагатай. Гал тогооны талбай - , коридор - . Гурван төрлийн хулдаас байдаг: төлөө, рубль. Тус бүр нь хэр үнэтэй вэ? гурван төрөлхулдаас? (Зураг 1)
Цагаан будаа. 1. Асуудлын тайлбарт зориулсан зураг
Шийдэл
Арга 1. Гал тогооны өрөөний хулдаас худалдаж авахад хэр их мөнгө шаардагдахыг тусад нь олж мэдэж, дараа нь коридорт хийж, үүссэн бүтээгдэхүүнийг нэмж болно.
Эхний түвшин
Илэрхийлэл хөрвүүлэх. Нарийвчилсан онол (2019)
Илэрхийллийг хөрвүүлэх
Бид "илэрхийлэлийг хялбарчлах" гэсэн таагүй хэллэгийг олонтаа сонсдог. Бид ихэвчлэн иймэрхүү мангасыг хардаг:
"Энэ нь илүү хялбар" гэж бид хэлдэг ч ийм хариулт ихэвчлэн ажилладаггүй.
Одоо би чамд ийм даалгавараас айхгүй байхыг заах болно. Түүгээр ч барахгүй, хичээлийн төгсгөлд та өөрөө энэ жишээг энгийн тоо болгон (зүгээр л!) хялбаршуулах болно (тиймээ, эдгээр үсгээр тамд орно).
Гэхдээ энэ хичээлийг эхлүүлэхийн өмнө та бутархай болон олон гишүүнт хүчин зүйлстэй ажиллах чадвартай байх хэрэгтэй. Тиймээс, хэрэв та өмнө нь үүнийг хийж байгаагүй бол "" ба "" сэдвүүдийг сайтар эзэмшээрэй.
Та уншсан уу? Хэрэв тийм бол та одоо бэлэн байна.
Хялбаршуулах үндсэн үйлдлүүд
Одоо илэрхийллийг хялбарчлахад ашигладаг үндсэн аргуудыг харцгаая.
Хамгийн энгийн нь
1. Ижил төстэйг авчрах
Үүнтэй төстэй зүйл юу вэ? Та үүнийг 7-р ангидаа математикт тооны оронд үсэг гарч ирэх үед авч байсан. Ижил үсэгтэй хэсэгтэй нэр томъёо (мономиал) ижил төстэй. Жишээлбэл, нийлбэрээр ижил төстэй нэр томъёо нь ба.
Чи санаж байна уу?
Ижил төстэй авчрах гэдэг нь өөр хоорондоо ижил төстэй хэд хэдэн нэр томъёог нэмж, нэг нэр томъёо авахыг хэлнэ.
Бид үсгүүдийг хэрхэн нийлүүлэх вэ? - Та асуух.
Хэрэв та үсгүүдийг ямар нэгэн объект гэж төсөөлвөл үүнийг ойлгоход маш хялбар болно. Жишээлбэл, захидал бол сандал юм. Тэгвэл илэрхийлэл нь хэдтэй тэнцүү вэ? Хоёр сандал дээр гурван сандал, хэд байх вэ? Тийм шүү, сандал: .
Одоо энэ илэрхийллийг туршиж үзээрэй: .
Төөрөгдөлөөс зайлсхийхийн тулд өөр өөр үсгүүд өөр өөр объектуудыг төлөөлнө. Жишээлбэл, - (ердийнх шиг) сандал, - бол ширээ. Дараа нь:
сандал ширээ сандал ширээ сандал сандал ширээ
Ийм нэр томъёоны үсгүүдийг үржүүлдэг тоонуудыг дууддаг коэффициентүүд. Жишээлбэл, мономиал дахь коэффициент нь тэнцүү байна. Мөн энэ нь тэнцүү юм.
Тиймээс ижил төстэй зүйлийг авчрах дүрэм нь:
Жишээ нь:
Үүнтэй төстэй зүйлийг өг:
Хариултууд:
2. (мөн үүнтэй төстэй, тиймээс эдгээр нэр томъёо нь ижил үсэгтэй хэсэгтэй).
2. Factorization
Энэ нь ихэвчлэн илэрхийлэлийг хялбарчлах хамгийн чухал хэсэг юм. Та ижил төстэй зүйлийг өгсний дараа ихэнх тохиолдолд үр дүнгийн илэрхийлэлийг хүчин зүйл болгон, өөрөөр хэлбэл бүтээгдэхүүн болгон харуулах шаардлагатай болдог. Энэ нь ялангуяа бутархайн хувьд чухал юм: бутархайг багасгахын тулд тоологч ба хуваагчийг үржвэр хэлбэрээр илэрхийлэх ёстой.
Та "" гэсэн сэдвийн хүрээнд илэрхийллийг хүчин зүйлээр ялгах аргыг нарийвчлан үзсэн тул энд сурсан зүйлээ санах хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд хэд хэдэн зүйлийг шийдээрэй жишээнүүд(хүлээн авах шаардлагатай):
Шийдэл:
3. Бутархайг багасгах.
За тэгээд тоологч болон хуваагчийн нэг хэсгийг хасаад амьдралаас нь хаях шиг сайхан зүйл юу байх вэ?
Энэ бол цомхотголын сайхан тал.
Энэ нь энгийн:
Хэрэв тоологч ба хуваагч ижил хүчин зүйлийг агуулж байвал тэдгээрийг багасгаж, өөрөөр хэлбэл бутархайгаас хасаж болно.
Энэ дүрэм нь бутархайн үндсэн шинж чанараас үүсдэг.
Энэ нь бууруулах үйл ажиллагааны мөн чанар нь тэр юм Бид бутархайн тоо ба хуваагчийг ижил тоогоор (эсвэл ижил илэрхийллээр) хуваана.
Бутархай хэсгийг багасгахын тулд танд хэрэгтэй:
1) тоологч ба хуваагч хүчин зүйлчлэх
2) тоологч болон хуваагч нь агуулж байвал нийтлэг хүчин зүйлүүд, тэдгээрийг зурж болно.
Миний бодлоор зарчим нь тодорхой байна уу?
Би нэг зүйлд та бүхний анхаарлыг хандуулахыг хүсч байна ердийн алдаагэрээ байгуулах үед. Хэдийгээр энэ сэдэв нь энгийн боловч олон хүмүүс үүнийг ойлгохгүй бүх зүйлийг буруу хийдэг багасгах- энэ гэсэн үг хуваахтоологч ба хуваагч нь ижил тоо.
Хэрэв тоологч эсвэл хуваагч нь нийлбэр бол товчлол байхгүй.
Жишээ нь: бид хялбарчлах хэрэгтэй.
Зарим хүмүүс үүнийг хийдэг: энэ нь туйлын буруу юм.
Өөр нэг жишээ: багасгах.
"Хамгийн ухаантай" нь үүнийг хийх болно: .
Энд юу болоод байгааг надад хэлээч? Энэ нь: - энэ бол үржүүлэгч бөгөөд үүнийг багасгаж болно гэсэн үг юм.
Гэхдээ үгүй: - энэ нь тоологч дахь зөвхөн нэг гишүүний хүчин зүйл боловч хүртэгч өөрөө бүхэлдээ хүчин зүйлд хуваагддаггүй.
Өөр нэг жишээ энд байна: .
Энэ илэрхийлэл нь хүчин зүйлээр хуваагдсан бөгөөд энэ нь та үүнийг багасгаж болно, өөрөөр хэлбэл тоологч ба хуваагчийг хувааж, дараа нь:
Та үүнийг нэн даруй хувааж болно:
Ийм алдаа гаргахгүйн тулд санаж байх хэрэгтэй хялбар аргаИлэрхийлэл хүчин зүйлчлэгдсэн эсэхийг хэрхэн тодорхойлох вэ:
Илэрхийллийн утгыг тооцоолохдоо хамгийн сүүлд хийгддэг арифметик үйлдэл нь “мастер” үйлдэл юм. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв та үсгийн оронд зарим (ямар ч) тоог орлуулж, илэрхийллийн утгыг тооцоолохыг оролдвол, хэрэв сүүлчийн үйлдэл нь үржүүлэх юм бол бид үржвэртэй болно (илэрхийлэл нь үржвэрлэгдсэн). Хэрэв сүүлийн үйлдэл нь нэмэх эсвэл хасах үйлдэл байвал илэрхийлэл нь хүчин зүйл ангилагдаагүй (тиймээс багасгах боломжгүй) гэсэн үг юм.
Нэгтгэхийн тулд цөөн хэдэн зүйлийг өөрөө шийд жишээнүүд:
Хариултууд:
1. Та тэр даруй огтлох гэж яараагүй гэж найдаж байна? Ийм нэгжүүдийг "багасгах" нь хангалтгүй хэвээр байсан:
Эхний алхам нь хүчин зүйлчлэл байх ёстой:
4. Бутархай тоог нэмэх, хасах. Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгах.
Энгийн бутархайг нэмэх, хасах нь танил үйлдэл юм: бид нийтлэг хуваагчийг хайж, бутархай бүрийг алга болсон хүчин зүйлээр үржүүлж, тоог нэмэх/хасах. Санаж үзье:
Хариултууд:
1. Хуваагч ба харьцангуй анхдагч, өөрөөр хэлбэл тэдгээрт нийтлэг хүчин зүйл байхгүй. Тиймээс эдгээр тоонуудын LCM нь тэдгээрийн бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна. Энэ нь нийтлэг хуваагч байх болно:
2. Энд нийтлэг хуваагч нь:
3. Энд хамгийн түрүүнд хийх зүйл холимог бутархайБид тэдгээрийг буруу болгон хувиргаж, дараа нь ердийн хэв маягийг дагаж мөрддөг.
Хэрэв бутархай нь үсэг агуулсан байвал энэ нь огт өөр асуудал юм, жишээлбэл:
Энгийн зүйлээс эхэлцгээе:
a) Хугацаа нь үсэг агуулаагүй
Энд бүх зүйл энгийн тоон бутархайтай адил байна: бид нийтлэг хуваагчийг олж, бутархай бүрийг алга болсон хүчин зүйлээр үржүүлж, тоог нэмэх/хасах:
Одоо тоологч дээр та ижил төстэй, хэрэв байгаа бол тэдгээрийг өгч, үржүүлж болно:
Та өөрөө туршаад үзээрэй:
б) Хугацаа нь үсэг агуулдаг
Үсэггүй нийтлэг хуваагчийг олох зарчмыг санацгаая.
· юуны түрүүнд нийтлэг хүчин зүйлсийг тодорхойлох;
· дараа нь бид бүх нийтлэг хүчин зүйлсийг нэг нэгээр нь бичдэг;
· бусад нийтлэг бус бүх хүчин зүйлээр үржүүлнэ.
Хуваарийн нийтлэг хүчин зүйлсийг тодорхойлохын тулд бид эхлээд тэдгээрийг үндсэн хүчин зүйл болгон хуваана.
Нийтлэг хүчин зүйлсийг онцолж үзье:
Одоо нийтлэг хүчин зүйлсийг нэг нэгээр нь бичиж, тэдгээрт нийтлэг бус (доор зураагүй) бүх хүчин зүйлийг нэмье.
Энэ бол нийтлэг зүйл юм.
Захидалдаа буцаж орцгооё. Хуваагчдыг яг ижил аргаар өгсөн болно.
· хуваагчийг хүчин зүйл болгох;
· нийтлэг (ижил) хүчин зүйлсийг тодорхойлох;
· Бүх нийтлэг хүчин зүйлсийг нэг удаа бичих;
· тэдгээрийг бусад бүх нийтлэг бус хүчин зүйлээр үржүүлнэ.
Тиймээс, дарааллаар нь:
1) хуваагчийг хүчин зүйлээр тооцох:
2) нийтлэг (ижил) хүчин зүйлсийг тодорхойлох:
3) бүх нийтлэг хүчин зүйлсийг нэг удаа бичиж, бусад бүх (доор зураагүй) хүчин зүйлүүдээр үржүүлнэ.
Тэгэхээр энд нэг нийтлэг зүйл байна. Эхний бутархайг үржүүлэх ёстой, хоёр дахь нь:
Дашрамд хэлэхэд нэг заль мэх бий:
Жишээлбэл: .
Бид хуваагчдад ижил хүчин зүйлсийг хардаг, зөвхөн бүгд өөр өөр үзүүлэлттэй байдаг. Нийтлэг хуваагч нь:
тодорхой хэмжээгээр
тодорхой хэмжээгээр
тодорхой хэмжээгээр
тодорхой хэмжээгээр.
Даалгаврыг хүндрүүлье:
Бутархайг хэрхэн ижил хуваагчтай болгох вэ?
Бутархайн үндсэн шинж чанарыг санацгаая.
Бутархайн хуваагч болон хуваагчаас ижил тоог хасч (эсвэл нэмж) болно гэж хаана ч байхгүй. Учир нь энэ нь үнэн биш юм!
Өөрийгөө хараарай: жишээ нь дурын бутархайг авч, тоо болон хуваагч дээр хэдэн тоог нэмнэ, жишээлбэл, . Чи юу сурсан бэ?
Тиймээс өөр нэг хөдлөшгүй дүрэм:
Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгахдаа зөвхөн үржүүлэх үйлдлийг ашиглана уу!
Гэхдээ авахын тулд юугаар үржүүлэх хэрэгтэй вэ?
Тиймээс үржүүлээрэй. Тэгээд үржүүлнэ:
Хүчин зүйлд ангилагдах боломжгүй хэллэгийг бид "элементар хүчин зүйл" гэж нэрлэх болно. Жишээлбэл, энэ бол үндсэн хүчин зүйл юм. - Адилхан. Гэхдээ үгүй: үүнийг хүчин зүйлээр ангилж болно.
Илэрхийллийн талаар юу хэлэх вэ? Энэ нь анхан шатны хичээл үү?
Үгүй, учир нь үүнийг хүчин зүйлээр ангилж болно:
("" гэсэн сэдвээр хүчин зүйл ангилах талаар та аль хэдийн уншсан).
Тиймээс үсэг бүхий илэрхийлэлийг задлах энгийн хүчин зүйлүүд нь тоонуудыг задалдаг энгийн хүчин зүйлүүдийн аналог юм. Мөн бид тэдэнтэй ижил аргаар харьцах болно.
Бид хуваагч хоёулаа үржүүлэгчтэй болохыг харж байна. Энэ нь нийтлэг хуваагч руу зэрэгтэй очно (яагаадыг санаж байна уу?).
Хүчин зүйл нь энгийн бөгөөд тэдгээрт нийтлэг хүчин зүйл байдаггүй бөгөөд энэ нь эхний бутархайг зүгээр л үржүүлэх шаардлагатай болно гэсэн үг юм.
Өөр нэг жишээ:
Шийдэл:
Та эдгээр хуваагчдыг сандаргаж үржүүлэхээсээ өмнө тэдгээрийг хэрхэн хүчин зүйл болгох талаар бодох хэрэгтэй юу? Тэд хоёулаа дараахь зүйлийг төлөөлдөг.
Агуу их! Дараа нь:
Өөр нэг жишээ:
Шийдэл:
Ердийнх шигээ хуваагчийг хүчин зүйлээр ангилъя. Эхний хуваарьт бид зүгээр л хаалтанд оруулав; хоёр дахь нь - квадратуудын ялгаа:
Нийтлэг хүчин зүйл байхгүй юм шиг санагдаж байна. Гэхдээ хэрэв та анхааралтай ажиглавал тэд ижил төстэй байна ... Мөн энэ нь үнэн:
Ингээд бичье:
Өөрөөр хэлбэл, ийм болсон: хаалт дотор бид нэр томъёог сольж, тэр үед бутархайн урд талын тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдсөн. Анхаарна уу, та үүнийг байнга хийх хэрэгтэй болно.
Одоо үүнийг нийтлэг хуваагч руу аваачъя:
Авчихсан? Одоо шалгаж үзье.
Бие даасан шийдлийн даалгавар:
Хариултууд:
Энд бид өөр нэг зүйлийг санах хэрэгтэй - шоо дөрвөлжингийн ялгаа:
Хоёрдахь бутархайн хуваагч нь "нийлбэрийн квадрат" томъёог агуулаагүй болохыг анхаарна уу! Нийлбэрийн квадрат нь дараах байдалтай байна: .
A нь нийлбэрийн бүрэн бус квадрат гэж нэрлэгддэг: хоёр дахь гишүүн нь эхний ба сүүлчийнх нь үржвэр бөгөөд тэдгээрийн давхар үржвэр биш юм. Нийлбэрийн хэсэгчилсэн квадрат нь кубын зөрүүг тэлэх хүчин зүйлүүдийн нэг юм.
Хэрэв аль хэдийн гурван бутархай байвал яах вэ?
Тийм ээ, ижил зүйл! Юуны өмнө үүнийг баталгаажуулъя дээд хэмжээхуваагч дахь хүчин зүйлүүд ижил байсан:
Анхаарна уу: хэрэв та нэг хаалт доторх тэмдгийг өөрчилвөл бутархайн урд талын тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдөнө. Хоёрдахь хаалтанд байгаа тэмдгүүдийг өөрчлөхөд бутархайн өмнөх тэмдэг дахин эсрэгээр өөрчлөгдөнө. Үүний үр дүнд энэ нь (бутархайн урд талын тэмдэг) өөрчлөгдөөгүй.
Бид эхний хуваагчийг бүхэлд нь нийтлэг хуваагч руу бичээд дараа нь хоёр дахь, дараа нь гуравдахь (хэрэв илүү олон бутархай байвал гэх мэт) бичигдээгүй байгаа бүх хүчин зүйлийг нэмнэ. Энэ нь дараах байдлаар харагдаж байна.
Хмм... Бутархайгаар юу хийх нь ойлгомжтой. Гэхдээ энэ хоёр яах вэ?
Энэ нь энгийн: та бутархайг хэрхэн нэмэхээ мэддэг, тийм үү? Тиймээс бид хоёрыг бутархай болгох хэрэгтэй! Санаж үзье: бутархай нь хуваах үйлдэл юм (хэрэв та мартсан бол тоологч нь хуваагчаар хуваагдана). Мөн тоог хуваах шиг амархан зүйл байхгүй. Энэ тохиолдолд тоо нь өөрөө өөрчлөгдөхгүй, харин бутархай болж хувирна.
Яг юу хэрэгтэй вэ!
5. Бутархайг үржүүлэх, хуваах.
За одоо хамгийн хэцүү хэсэг нь дууслаа. Бидний өмнө хамгийн энгийн, гэхдээ нэгэн зэрэг хамгийн чухал нь байна.
Процедур
Тоон илэрхийллийг тооцоолох журам юу вэ? Энэ илэрхийллийн утгыг тооцоолохдоо санаарай:
Тоолсон уу?
Энэ нь ажиллах ёстой.
Тиймээс би танд сануулъя.
Эхний алхам бол зэрэглэлийг тооцоолох явдал юм.
Хоёр дахь нь үржүүлэх, хуваах явдал юм. Хэд хэдэн үржүүлэх, хуваах үйлдлүүд нэгэн зэрэг байгаа бол тэдгээрийг ямар ч дарааллаар хийж болно.
Эцэст нь бид нэмэх, хасах үйлдлийг гүйцэтгэдэг. Дахин хэлэхэд ямар ч дарааллаар.
Гэхдээ: хаалтанд байгаа илэрхийлэл нь ээлжлэн үнэлэгдсэн!
Хэд хэдэн хаалтыг үржүүлж эсвэл өөр хоорондоо хуваавал эхлээд хаалт тус бүр дэх илэрхийлэлийг тооцоолж, дараа нь үржүүлж эсвэл хуваана.
Хэрвээ хаалт дотор илүү олон хаалт байвал яах вэ? За, бодъё: хаалт дотор зарим илэрхийлэл бичигдсэн байна. Илэрхийлэлийг тооцоолохдоо эхлээд юу хийх ёстой вэ? Энэ нь зөв, хаалтуудыг тооцоол. За, бид үүнийг олж мэдсэн: эхлээд дотоод хаалтуудыг тооцоолж, дараа нь бусад бүх зүйлийг тооцоолно.
Тиймээс, дээрх илэрхийлэлийн процедур дараах байдалтай байна (одоогийн үйлдлийг улаанаар тодруулсан, өөрөөр хэлбэл миний яг одоо хийж буй үйлдэл):
За, бүх зүйл энгийн.
Гэхдээ энэ нь үсэгтэй илэрхийлэлтэй адил биш үү?
Үгүй ээ, адилхан! Зөвхөн арифметик үйлдлүүдийн оронд та алгебрийн үйлдлүүдийг, өөрөөр хэлбэл өмнөх хэсэгт тайлбарласан үйлдлүүдийг хийх хэрэгтэй. ижил төстэй авчрах, бутархай нэмэх, бутархайг багасгах гэх мэт. Цорын ганц ялгаа нь олон гишүүнтийг факторинг хийх үйлдэл байх болно (бид үүнийг бутархайтай ажиллахдаа ихэвчлэн ашигладаг). Ихэнх тохиолдолд хүчин зүйл ангилахын тулд та I-г ашиглах эсвэл нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтанд оруулах хэрэгтэй.
Ихэнхдээ бидний зорилго бол илэрхийлэлийг бүтээгдэхүүн эсвэл quotient хэлбэрээр илэрхийлэх явдал юм.
Жишээлбэл:
Илэрхийлэлийг хялбаршуулж үзье.
1) Эхлээд бид хаалт доторх илэрхийллийг хялбаршуулдаг. Тэнд бид бутархайн ялгаа байдаг бөгөөд бидний зорилго бол үүнийг бүтээгдэхүүн эсвэл quotient хэлбэрээр танилцуулах явдал юм. Тиймээс бид бутархайг нийтлэг хуваагч руу авчирч, нэмнэ:
Энэ илэрхийлэлийг цаашид хялбарчлах боломжгүй; энд байгаа бүх хүчин зүйл нь энгийн зүйл юм (энэ нь юу гэсэн үг болохыг та санаж байна уу?).
2) Бид дараахь зүйлийг авна.
Бутархайг үржүүлэх: юу илүү хялбар байж болох вэ.
3) Одоо та богиносгож болно:
За одоо бүх зүйл дууслаа. Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй, тийм үү?
Өөр нэг жишээ:
Илэрхийлэлийг хялбарчлах.
Эхлээд үүнийг өөрөө шийдэхийг хичээ, зөвхөн дараа нь шийдлийг хар.
Юуны өмнө үйл ажиллагааны дарааллыг тодорхойлъё. Эхлээд хаалтанд бутархайг нэмье, тэгэхээр хоёр бутархайн оронд нэгийг авна. Дараа нь бид бутархайг хуваах болно. За тэгээд үр дүнг сүүлийн бутархайгаар нэмье. Би алхамуудыг схемийн дагуу дугаарлах болно:
Одоо би танд үйл явцыг харуулж, одоогийн үйлдлийг улаанаар будах болно:
Эцэст нь би танд хоёр ашигтай зөвлөгөө өгөх болно.
1. Ижил төстэй зүйл байвал яаралтай авчрах ёстой. Манай улсад үүнтэй төстэй зүйл гарч ирсэн ямар ч үед яаралтай гаргаж ирэхийг зөвлөж байна.
2. Бутархайг багасгахад мөн адил хамаарна: багасгах боломж гарч ирмэгц үүнийг ашиглах ёстой. Үл хамаарах зүйл нь таны нэмэх эсвэл хасах бутархайнуудад хамаарна: хэрэв одоо байгаа бол ижил хуваагч, дараа нь бууралтыг дараа нь үлдээх хэрэгтэй.
Таны бие даан шийдвэрлэх зарим ажлууд энд байна:
Тэгээд хамгийн эхэнд юу амласан:
Шийдэл (товч):
Хэрэв та дор хаяж эхний гурван жишээг даван туулсан бол энэ сэдвийг эзэмшсэн гэсэн үг.
Одоо сурах гэж байна!
ИЛЭРХИЙЛЭЛИЙГ ХӨРВҮҮЛЭХ. ХУРААНГУЙ БА ҮНДСЭН Формулууд
Хялбаршуулах үндсэн үйлдлүүд:
- Үүнтэй төстэй зүйлийг авчрах: ижил төстэй нэр томъёог нэмэх (багасгах) бол тэдгээрийн коэффициентийг нэмж, үсгийн хэсгийг оноох хэрэгтэй.
- Факторчилол:нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргах, хэрэглэх гэх мэт.
- Бутархай хэсгийг багасгах: Бутархайн хуваагч ба хуваагчийг тэгээс бусад ижил тоогоор үржүүлж эсвэл хувааж болох бөгөөд энэ нь бутархайн утгыг өөрчлөхгүй.
1) тоологч ба хуваагч хүчин зүйлчлэх
2) хэрэв тоологч ба хуваагч нийтлэг хүчин зүйлүүдтэй бол тэдгээрийг зурж болно.ЧУХАЛ: зөвхөн үржүүлэгчийг багасгаж болно!
- Бутархайг нэмэх, хасах:
; - Бутархайг үржүүлэх, хуваах:
;
Шууд илэрхийлэл (эсвэл хувьсагчийн илэрхийлэл) нь тоо, үсэг, математикийн тэмдэгтүүдээс бүрдэх математик илэрхийлэл юм. Жишээлбэл, дараах илэрхийлэл нь шууд утгаараа байна:
a+b+4
Цагаан толгойн үсгийн илэрхийлэл ашиглан та хууль, томъёо, тэгшитгэл, функц бичиж болно. Үсгийн илэрхийлэлийг удирдах чадвар нь алгебр болон дээд математикийн сайн мэдлэгийн түлхүүр юм.
Математикийн аливаа ноцтой асуудал нь тэгшитгэлийг шийдэхэд хүргэдэг. Тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд шууд утгаар нь ажиллах чадвартай байх хэрэгтэй.
Шууд үг хэллэгтэй ажиллахын тулд та үндсэн арифметикийн мэдлэгтэй байх хэрэгтэй: нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах, математикийн үндсэн хуулиуд, бутархай, бутархайтай үйлдэл, пропорц. Зөвхөн судлах биш, харин сайтар ойлгох хэрэгтэй.
Хичээлийн агуулгаХувьсагч
Шууд үг хэллэгт орсон үсгүүдийг дуудна хувьсагч. Жишээлбэл, илэрхийлэлд a+b+4хувьсагч нь үсэг юм аТэгээд б. Хэрэв бид эдгээр хувьсагчийн оронд ямар нэгэн тоог орлуулж байвал шууд утга илэрхийлэл болно a+b+4утгыг нь олох боломжтой тоон илэрхийлэл болж хувирна.
Хувьсагчийн оронд орлуулсан тоонуудыг дуудна хувьсагчийн утгууд. Жишээлбэл, хувьсагчдын утгыг өөрчилье аТэгээд б. Тэнцүү тэмдгийг утгыг өөрчлөхөд ашигладаг
a = 2, b = 3
Бид хувьсагчдын утгыг өөрчилсөн аТэгээд б. Хувьсагч аутгыг өгсөн 2 , хувьсагч бутгыг өгсөн 3 . Үүний үр дүнд шууд утгаараа илэрхийлэл a+b+4тогтмол тоон илэрхийлэл болж хувирдаг 2+3+4 үнэ цэнийг нь олох боломжтой:
2 + 3 + 4 = 9
Хувьсагчдыг үржүүлэхэд хамт бичнэ. Жишээлбэл, бичлэг хийх abоруулгатай ижил утгатай a×b. Хэрэв бид хувьсагчдыг орлуулах юм бол аТэгээд бтоо 2 Тэгээд 3 , тэгвэл бид 6-г авна
2 × 3 = 6
Та мөн тоог хаалтанд илэрхийлэлээр үржүүлэхийг хамт бичиж болно. Жишээлбэл, оронд нь a×(b + c)бичиж болно a(b + c). Үржүүлэх тархалтын хуулийг ашигласнаар бид олж авна a(b + c)=ab+ac.
Магадлал
Шууд илэрхийлэлд та тоо болон хувьсагчийг хамт бичсэн тэмдэглэгээг ихэвчлэн олж болно, жишээлбэл 3а. Энэ нь үнэндээ 3-ын тоог хувьсагчаар үржүүлэх товчлол юм. амөн энэ оруулга иймэрхүү харагдаж байна 3×a .
Өөрөөр хэлбэл илэрхийлэл 3а 3 ба хувьсагчийн үржвэр юм а. Тоо 3 энэ ажилд тэд дууддаг коэффициент. Энэ коэффициент нь хувьсагч хэд дахин нэмэгдэхийг харуулдаг а. Энэ илэрхийллийг "гэж уншиж болно. агурван удаа" эсвэл "гурван удаа А", эсвэл "хувьсагчийн утгыг нэмэгдүүлэх агурван удаа", гэхдээ ихэнхдээ "гурван" гэж уншдаг а«
Жишээлбэл, хэрэв хувьсагч атэнцүү 5 , дараа нь илэрхийллийн утга 3а 15-тай тэнцүү байх болно.
3 × 5 = 15
Ярьж байна энгийн хэлээр, коэффициент нь үсгийн өмнө (хувьсагчийн өмнө) ирэх тоо юм.
Жишээлбэл, хэд хэдэн үсэг байж болно 5abc. Энд коэффициент нь тоо юм 5 . Энэ коэффициент нь хувьсагчдын бүтээгдэхүүн болохыг харуулж байна abcтав дахин нэмэгддэг. Энэ илэрхийллийг "гэж уншиж болно. abcтав дахин" эсвэл "илэрхийллийн утгыг нэмэгдүүлэх abcтаван удаа" эсвэл "тав abc«.
Хэрэв хувьсагчийн оронд abc 2, 3, 4-ийн тоог, дараа нь илэрхийллийн утгыг орлуулна 5abcтэнцүү байх болно 120
5 × 2 × 3 × 4 = 120
Эхлээд 2, 3, 4-ийн тоог хэрхэн үржүүлж, үр дүнгийн утга нь тав дахин өссөнийг та оюун ухаанаараа төсөөлж болно.
Коэффициентийн тэмдэг нь зөвхөн коэффициентийг илэрхийлдэг бөгөөд хувьсагчид хамаарахгүй.
Илэрхийлэлийг анхаарч үзээрэй −6б. Коэффициентийн өмнөх хасах 6 , зөвхөн коэффициентэд хамаарна 6 , мөн хувьсагчид хамаарахгүй б. Энэ баримтыг ойлгох нь ирээдүйд тэмдгүүдээр алдаа гаргахгүй байх боломжийг танд олгоно.
Илэрхийллийн утгыг олъё −6бцагт b = 3.
−6б −6×b. Тодорхой болгохын тулд илэрхийллийг бичье −6бөргөтгөсөн хэлбэрээр болон хувьсагчийн утгыг орлуулна б
−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18
Жишээ 2.Илэрхийллийн утгыг ол −6бцагт b = −5
Илэрхийлэлийг бичье −6бөргөтгөсөн хэлбэрээр
−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30
Жишээ 3.Илэрхийллийн утгыг ол −5a+bцагт a = 3Тэгээд b = 2
−5a+bЭнэ бол богино хэлбэр юм −5 × a + b, тиймээс тодорхой болгохын тулд бид илэрхийллийг бичнэ −5×a+bөргөтгөсөн хэлбэрээр, хувьсагчийн утгыг орлуулах аТэгээд б
−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13
Заримдаа үсгийг коэффициентгүйгээр бичдэг, жишээлбэл аэсвэл ab. Энэ тохиолдолд коэффициент нь нэгдмэл байна:
гэхдээ уламжлал ёсоор нэгжийг бичдэггүй тул тэд зүгээр л бичдэг аэсвэл ab
Хэрэв үсгийн өмнө хасах тэмдэг байгаа бол коэффициент нь тоо юм −1 . Жишээлбэл, илэрхийлэл −aүнэндээ харагдаж байна −1а. Энэ нь хасах нэг ба хувьсагчийн үржвэр юм а.Энэ нь дараах байдалтай болсон.
−1 × a = −1a
Энд жижигхэн барьц бий. Илэрхийлэлд −aхувьсагчийн өмнө хасах тэмдэг аүнэндээ хувьсагч гэхээсээ илүү "үл үзэгдэх нэгж"-ийг хэлдэг а. Тиймээс асуудлыг шийдэхдээ болгоомжтой байх хэрэгтэй.
Жишээлбэл, илэрхийлэл өгсөн бол −aгэсэн утгыг олохыг биднээс хүссэн a = 2, дараа нь сургуульд бид хувьсагчийн оронд хоёрыг орлуулсан амөн хариулт авсан −2 , энэ нь хэрхэн болсон талаар хэт их анхаарал хандуулалгүйгээр. Үнэн хэрэгтээ нэгийг хасах эерэг тоо 2-оор үржүүлсэн
−a = −1 × a
−1 × a = −1 × 2 = −2
Хэрэв илэрхийлэл өгсөн бол −aмөн та түүний үнэ цэнийг олох хэрэгтэй a = −2, дараа нь бид орлуулна −2 хувьсагчийн оронд а
−a = −1 × a
−1 × a = −1 × (−2) = 2
Алдаа гаргахгүйн тулд эхлээд үл үзэгдэх нэгжүүдийг тодорхой бичиж болно.
Жишээ 4.Илэрхийллийн утгыг ол abcцагт a=2 , b=3Тэгээд c=4
Илэрхийлэл abc 1×a×b×c.Тодорхой болгохын тулд илэрхийллийг бичье abc а, бТэгээд в
1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
Жишээ 5.Илэрхийллийн утгыг ол abcцагт a=−2 , b=−3Тэгээд c=−4
Илэрхийлэлийг бичье abcөргөтгөсөн хэлбэрээр, хувьсагчийн утгыг орлуулах а, бТэгээд в
1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24
Жишээ 6.Илэрхийллийн утгыг ол − abcцагт a=3 , b=5 ба c=7
Илэрхийлэл − abcЭнэ бол богино хэлбэр юм −1×a×b×c.Тодорхой болгохын тулд илэрхийллийг бичье − abcөргөтгөсөн хэлбэрээр, хувьсагчийн утгыг орлуулах а, бТэгээд в
−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105
Жишээ 7.Илэрхийллийн утгыг ол − abcцагт a=−2 , b=−4 ба c=−3
Илэрхийлэлийг бичье − abcөргөтгөсөн хэлбэрээр:
−abc = −1 × a × b × c
Хувьсагчдын утгыг орлуулж үзье а , бТэгээд в
−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24
Коэффицентийг хэрхэн тодорхойлох вэ
Заримдаа та илэрхийллийн коэффициентийг тодорхойлох шаардлагатай асуудлыг шийдэх хэрэгтэй. Үндсэндээ, энэ даалгавармаш энгийн. Тоонуудыг зөв үржүүлж чаддаг байхад л хангалттай.
Илэрхийлэл дэх коэффициентийг тодорхойлохын тулд та энэ илэрхийлэлд орсон тоонуудыг тусад нь үржүүлж, үсгүүдийг тусад нь үржүүлэх хэрэгтэй. Үүссэн тоон хүчин зүйл нь коэффициент байх болно.
Жишээ 1. 7м×5a×(−3)×n
Илэрхийлэл нь хэд хэдэн хүчин зүйлээс бүрдэнэ. Хэрэв та илэрхийллийг өргөтгөсөн хэлбэрээр бичвэл энэ нь тодорхой харагдаж болно. Энэ бол бүтээлүүд 7мТэгээд 5ахэлбэрээр бичнэ үү 7×мТэгээд 5×a
7 × м × 5 × a × (−3) × n
Хүчин зүйлийг дурын дарааллаар үржүүлэх боломжийг олгодог үржүүлэх ассоциатив хуулийг хэрэглэцгээе. Тухайлбал, бид тоонуудыг тусад нь үржүүлж, үсгүүдийг (хувьсагчдыг) тусад нь үржүүлнэ.
−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105ман
Коэффициент нь −105 . Дууссаны дараа үсгийн хэсгийг цагаан толгойн дарааллаар байрлуулахыг зөвлөж байна.
-105 цаг
Жишээ 2.Илэрхийлэл дэх коэффициентийг тодорхойлно уу: −a×(−3)×2
−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a
Коэффицент нь 6 байна.
Жишээ 3.Илэрхийлэл дэх коэффициентийг тодорхойлно уу: 
Тоо, үсгийг тусад нь үржүүлье:
Коэффицент нь -1. Коэффицент 1-ийг бичихгүй байх заншилтай тул нэгжийг бичээгүй болохыг анхаарна уу.
Хамгийн энгийн мэт санагдах эдгээр даалгавар нь биднийг маш хэрцгий хошигнол болгож чадна. Коэффициентийн тэмдгийг буруу тохируулсан нь ихэвчлэн тохиолддог: хасах нь алга эсвэл эсрэгээрээ дэмий хоосон байсан. Эдгээр ядаргаатай алдаанаас зайлсхийхийн тулд үүнийг сайн түвшинд судлах ёстой.
Шууд үг хэллэгээр нэмэгдэнэ
Хэд хэдэн тоог нэмэхэд эдгээр тоонуудын нийлбэрийг олж авна. Нэмдэг тоонуудыг нэмэгдэл гэж нэрлэдэг. Хэд хэдэн нэр томъёо байж болно, жишээлбэл:
1 + 2 + 3 + 4 + 5
Илэрхийлэл нь нэр томъёоноос бүрдэх үед нэмэх нь хасахаас илүү хялбар байдаг тул үнэлэхэд илүү хялбар байдаг. Гэхдээ илэрхийлэл нь зөвхөн нэмэх төдийгүй хасахыг агуулж болно, жишээлбэл:
1 + 2 − 3 + 4 − 5
Энэ илэрхийлэлд 3 ба 5-ын тоо нь нэмэлт биш харин хасах утгатай байна. Гэхдээ хасахыг нэмэхээр солиход юу ч саад болохгүй. Дараа нь бид дахин нэр томъёоноос бүрдсэн илэрхийлэлийг авна.
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)
Одоо −3 ба −5 тоонууд хасах тэмдэгтэй байх нь хамаагүй. Хамгийн гол нь энэ илэрхийлэл дэх бүх тоонууд нь нэмэх тэмдгээр холбогдсон, өөрөөр хэлбэл илэрхийлэл нь нийлбэр юм.
Хоёр илэрхийлэл 1 + 2 − 3 + 4 − 5 Тэгээд 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) ижил утгатай тэнцүү - хасах нэг
1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1
Тиймээс, хэрэв бид хаа нэгтээ хасах үйлдлийг нэмэхээр сольсон тохиолдолд илэрхийллийн утга алдагдахгүй.
Мөн та шууд утга илэрхийлэлд хасахыг нэмэхээр сольж болно. Жишээлбэл, дараах илэрхийллийг авч үзье.
7a + 6b - 3c + 2d - 4s
7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)
Хувьсагчийн аливаа утгын хувьд a B C DТэгээд силэрхийллүүд 7a + 6b - 3c + 2d - 4s Тэгээд 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) ижил утгатай тэнцүү байх болно.
Сургуулийн багш эсвэл дээд сургуулийн багш нэмэгдэл биш тэгш тоонуудыг (эсвэл хувьсагч) дуудаж болзошгүй тул та бэлтгэлтэй байх ёстой.
Жишээлбэл, хэрэв зөрүүг самбар дээр бичсэн бол a - b, тэгвэл багш тэгж хэлэхгүй ань minuend, ба б- хасах боломжтой. Тэр хоёр хувьсагчийг нэг нийтлэг үгээр дуудах болно - нөхцөл. Мөн бүх хэлбэр нь илэрхийлэл учраас a - bматематикч нийлбэр хэрхэн байгааг хардаг a+(−b). Энэ тохиолдолд илэрхийлэл нь нийлбэр болж, хувьсагч болно аТэгээд (−b)нөхцөл болно.
Үүнтэй төстэй нэр томъёо
Үүнтэй төстэй нэр томъёо- эдгээр нь ижил үсгийн хэсэгтэй нэр томъёо юм. Жишээлбэл, илэрхийлэлийг авч үзье 7a + 6b + 2a. Бүрэлдэхүүн хэсгүүд 7аТэгээд 2аижил үсэгтэй хэсэг - хувьсагч а. Тиймээс нөхцөлүүд 7аТэгээд 2атөстэй.
Ихэвчлэн илэрхийлэлийг хялбарчлах эсвэл тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд ижил төстэй нэр томъёог нэмдэг. Энэ үйлдлийг гэж нэрлэдэг ижил төстэй нэр томъёо авчирч байна.
Ижил нэр томъёог авчрахын тулд та эдгээр нэр томъёоны коэффициентийг нэмж, үр дүнг нийтлэг үсгээр үржүүлэх хэрэгтэй.
Жишээлбэл, ижил төстэй нэр томъёог илэрхийлэлд оруулъя 3a + 4a + 5a. Энэ тохиолдолд бүх нэр томъёо ижил төстэй байна. Тэдний коэффициентийг нэмж, үр дүнг нийтлэг үсгийн хэсэг - хувьсагчаар үржүүлье а
3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a
Үүнтэй төстэй нэр томъёог ихэвчлэн санаанд оруулдаг бөгөөд үр дүнг нь шууд бичдэг.
3a + 4a + 5a = 12a
Мөн дараахь үндэслэлийг гаргаж болно.
3 хувьсагч a хувьсагч байсан бөгөөд тэдгээрт 4 хувьсагч a, 5 a хувьсагч нэмэгдсэн. Үүний үр дүнд бид 12 хувьсагчтай болсон a
Ижил төстэй нэр томъёог авчрах хэд хэдэн жишээг авч үзье. Энэ сэдэв маш чухал гэдгийг харгалзан эхлээд бид жижиг нарийн ширийн зүйлийг нарийвчлан бичих болно. Хэдийгээр энд бүх зүйл маш энгийн боловч ихэнх хүмүүс олон алдаа гаргадаг. Гол нь мунхаглалаас биш анхаарал болгоомжгүйгээс болдог.
Жишээ 1. 3a + 2a + 6a + 8а
Энэ илэрхийлэл дэх коэффициентүүдийг нэмж, үр дүнг нийтлэг үсгийн хэсэгээр үржүүлье.
3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a
дизайн (3 + 2 + 6 + 8)×aТа үүнийг бичих шаардлагагүй тул бид хариултыг даруй бичих болно
3a + 2a + 6a + 8a = 19a
Жишээ 2.Илэрхийлэлд ижил төстэй нэр томъёог өг 2а+а
Хоёр дахь хугацаа аитгэлцүүргүй бичигдсэн ч үнэндээ урд нь коэффициент байдаг 1 , энэ нь бүртгэгдээгүй тул бид олж харахгүй байна. Тиймээс илэрхийлэл нь дараах байдалтай байна.
2a + 1a
Одоо ижил төстэй нэр томъёог танилцуулъя. Өөрөөр хэлбэл, бид коэффициентүүдийг нэмж, үр дүнг нийтлэг үсгээр үржүүлнэ.
2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a
Шийдлийг товчхон бичье:
2a + a = 3a
2а+а, та өөрөөр бодож болно:
Жишээ 3.Илэрхийлэлд ижил төстэй нэр томъёог өг 2a−a
Хасалтыг нэмэхээр орлуулъя:
2a + (−a)
Хоёр дахь хугацаа (−a)коэффициентгүйгээр бичсэн боловч бодит байдал дээр ийм харагдаж байна (−1a).Коэффицент −1 бүртгэгдээгүйн улмаас дахин үл үзэгдэх болсон. Тиймээс илэрхийлэл нь дараах байдалтай байна.
2a + (−1a)
Одоо ижил төстэй нэр томъёог танилцуулъя. Коэффициентийг нэмж, үр дүнг нийтлэг үсгийн хэсэгт үржүүлье.
2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a
Ихэвчлэн богино бичдэг:
2a − a = a
Илэрхийлэлд ижил төстэй нэр томъёо өгөх 2a−aТа өөрөөр бодож болно:
2 хувьсагч a байсан, нэг хувьсагч a-г хасаад үр дүнд нь ганц л a хувьсагч үлдлээ.
Жишээ 4.Илэрхийлэлд ижил төстэй нэр томъёог өг 6a - 3a + 4a - 8a
6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)
Одоо ижил төстэй нэр томъёог танилцуулъя. Коэффициентийг нэмж, үр дүнг нийт үсгийн хэсэгт үржүүлье
(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a
Шийдлийг товчхон бичье:
6a − 3a + 4a − 8a = −a
Ижил нэр томъёоны хэд хэдэн өөр бүлгийг агуулсан хэллэгүүд байдаг. Жишээлбэл, 3a + 3b + 7a + 2b. Ийм илэрхийллийн хувьд бусадтай ижил дүрмийг баримтална, тухайлбал коэффициентийг нэмж, үр дүнг нийтлэг үсгээр үржүүлэх. Гэхдээ алдаа гаргахгүйн тулд энэ нь тохиромжтой өөр өөр бүлгүүдНэр томьёог өөр өөр шугамаар тодруулсан.
Жишээлбэл, илэрхийлэлд 3a + 3b + 7a + 2bхувьсагч агуулсан нэр томъёо а, нэг мөр, хувьсагч агуулсан нэр томъёоны доогуур зурж болно б, хоёр мөрөөр онцлон тэмдэглэж болно:
Одоо бид ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж болно. Өөрөөр хэлбэл, коэффициентүүдийг нэмж, үр дүнг нийт үсгийн хэсэгт үржүүлнэ. Үүнийг хоёр бүлэг нэр томьёоны хувьд хийх ёстой: хувьсагч агуулсан нэр томъёоны хувьд ахувьсагч агуулсан нэр томъёоны хувьд б.
3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b
Дахин хэлэхэд бид давтан хэлье, илэрхийлэл нь энгийн бөгөөд ижил төстэй нэр томъёог санаж болно:
3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b
Жишээ 5.Илэрхийлэлд ижил төстэй нэр томъёог өг 5a − 6a −7b + b
Боломжтой бол хасахыг нэмэхээр сольж үзье.
5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b
Ижил төстэй нэр томъёоны доогуур зураасыг өөр шугамаар зурцгаая. Хувьсагч агуулсан нэр томъёо абид нэг мөрөөр доогуур зурдаг бөгөөд нэр томъёо нь хувьсагчийн агуулга юм б, хоёр мөрөөр доогуур зур:
Одоо бид ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж болно. Өөрөөр хэлбэл, коэффициентүүдийг нэмж, үр дүнг нийтлэг үсгээр үржүүлнэ.
5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)
Хэрэв илэрхийлэл нь үсгийн хүчин зүйлгүй энгийн тоог агуулж байвал тэдгээрийг тусад нь нэмнэ.
Жишээ 6.Илэрхийлэлд ижил төстэй нэр томъёог өг 4a + 3a − 5 + 2b + 7
Боломжтой бол хасахыг нэмэхээр сольж үзье.
4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7
Үүнтэй төстэй нэр томъёог танилцуулъя. Тоонууд −5 Тэгээд 7 үсгийн хүчин зүйл байхгүй, гэхдээ тэдгээр нь ижил төстэй нэр томъёо - тэдгээрийг нэмэх шаардлагатай. Мөн нэр томъёо 2бЭнэ илэрхийлэлд зөвхөн үсгийн хүчин зүйл байгаа тул өөрчлөгдөхгүй хэвээр байх болно б,мөн үүнийг нэмэх зүйл алга:
4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2
Шийдлийг товчхон бичье:
4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2
Нэр томьёог ижил үсэгтэй хэсэгтэй нэр томъёог илэрхийллийн нэг хэсэгт байрлуулахаар эрэмбэлж болно.
Жишээ 7.Илэрхийлэлд ижил төстэй нэр томъёог өг 5т+2х+3х+5т+х
Илэрхийлэл нь хэд хэдэн нэр томьёоны нийлбэр тул үүнийг ямар ч дарааллаар үнэлэх боломжийг бидэнд олгодог. Тиймээс хувьсагчийг агуулсан нэр томъёо т, илэрхийллийн эхэнд бичиж болно, хувьсагчийг агуулсан нэр томъёо xилэрхийллийн төгсгөлд:
5т + 5т + 2х + 3х + х
Одоо бид ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж болно:
5т + 5т + 2х + 3х + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10т + 6х
Шийдлийг товчхон бичье:
5т + 2х + 3х + 5т + х = 10т + 6х
Эсрэг тоонуудын нийлбэр нь тэг байна. Энэ дүрэм нь үг хэллэгт мөн ажилладаг. Хэрэв илэрхийлэл нь ижил нэр томъёог агуулсан боловч эсрэг тэмдэгтэй бол ижил төстэй нэр томъёог багасгах үе шатанд та тэдгээрээс салж болно. Өөрөөр хэлбэл, нийлбэр нь тэг тул тэдгээрийг илэрхийллээс хас.
Жишээ 8.Илэрхийлэлд ижил төстэй нэр томъёог өг 3т - 4т - 3т + 2т
Боломжтой бол хасахыг нэмэхээр сольж үзье.
3т − 4т − 3т + 2т = 3т + (−4т) + (−3т) + 2т
Бүрэлдэхүүн хэсгүүд 3тТэгээд (−3т)эсрэг байдаг. Эсрэг нөхцлийн нийлбэр нь тэг байна. Хэрэв бид илэрхийллээс энэ тэгийг хасвал илэрхийллийн утга өөрчлөгдөхгүй тул бид үүнийг арилгах болно. Тэгээд бид зүгээр л нөхцлүүдийг нь хасаад л устгана 3тТэгээд (−3т)
Үүний үр дүнд бид илэрхийлэлтэй үлдэх болно (−4тн) + 2тн. Энэ илэрхийлэлд та ижил төстэй нэр томъёог нэмж, эцсийн хариултыг авах боломжтой.
(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t
Шийдлийг товчхон бичье:
Илэрхийллийг хялбарчлах
"илэрхийлэлийг хялбарчлах" мөн доор нь хялбарчлах шаардлагатай илэрхийлэл юм. Илэрхийлэлийг хялбарчлахэнгийн, богино болгох гэсэн үг.
Үнэн хэрэгтээ бид бутархайг багасгахдаа илэрхийлэлийг аль хэдийн хялбарчилж байсан. Багасгасны дараа бутархай нь богино болж, ойлгоход хялбар болсон.
Дараах жишээг авч үзье. Илэрхийлэлийг хялбарчлах.
Энэ даалгаврыг шууд утгаараа дараах байдлаар ойлгож болно. "Энэ илэрхийлэлд ямар нэгэн хүчинтэй үйлдлийг хэрэглээрэй, гэхдээ илүү хялбар болго." .
Энэ тохиолдолд та бутархайг багасгаж болно, тухайлбал бутархайн хуваагч ба хуваагчийг 2-оор хувааж болно.
Та өөр юу хийж чадах вэ? Та үр дүнгийн бутархайг тооцоолж болно. Дараа нь бид аравтын бутархай 0.5-ыг авна
Үүний үр дүнд бутархайг 0.5 болгон хялбаршуулсан.
Иймэрхүү асуудлыг шийдэхийн тулд та өөрөөсөө асуух ёстой хамгийн эхний асуулт байх ёстой "Юу хийж болох вэ?" . Учир нь хийж болох үйлдлүүд ч бий, хийх боломжгүй үйлдэл ч бий.
Өөр чухал цэгСанах ёстой зүйл бол илэрхийлэлийг хялбаршуулсаны дараа илэрхийллийн утга өөрчлөгдөх ёсгүй. Илэрхийлэл рүү буцъя. Энэ илэрхийлэл нь гүйцэтгэх боломжтой хуваагдлыг илэрхийлдэг. Энэ хуваалтыг гүйцэтгэсний дараа бид энэ илэрхийллийн утгыг авдаг бөгөөд энэ нь 0.5-тай тэнцүү байна
Гэхдээ бид илэрхийллийг хялбарчилж, шинэ хялбаршуулсан илэрхийлэлтэй болсон. Шинэ хялбаршуулсан илэрхийллийн утга 0.5 хэвээр байна
Гэхдээ бид мөн илэрхийллийг тооцоолох замаар хялбарчлахыг оролдсон. Үүний үр дүнд бид 0.5 гэсэн эцсийн хариултыг авсан.
Тиймээс бид илэрхийллийг хэрхэн хялбарчлахаас үл хамааран үүссэн илэрхийллийн утга 0.5-тай тэнцүү хэвээр байна. Энэ нь хялбаршуулах ажлыг үе шат бүрт зөв хийсэн гэсэн үг юм. Илэрхийлэлийг хялбарчлахдаа бид яг үүнийг хичээх ёстой - илэрхийллийн утга нь бидний үйлдлээс болж зовох ёсгүй.
Ихэнхдээ үг хэллэгийг хялбарчлах шаардлагатай байдаг. Тоон илэрхийллийн адил хялбаршуулах дүрмүүд тэдэнд хамаарна. Илэрхийллийн утга өөрчлөгдөхгүй л бол та ямар ч хүчинтэй үйлдлийг хийж болно.
Хэд хэдэн жишээг харцгаая.
Жишээ 1.Илэрхийлэлийг хялбарчлах 5.21s × t × 2.5
Энэ илэрхийллийг хялбарчлахын тулд та тоонуудыг тусад нь үржүүлж, үсгүүдийг тусад нь үржүүлж болно. Энэ даалгавар нь коэффициентийг тодорхойлж сурахад бидний үзсэнтэй маш төстэй юм.
5.21s × t × 2.5 = 5.21 × 2.5 × s × t = 13.025 × st = 13.025st
Тиймээс илэрхийлэл 5.21s × t × 2.5хялбаршуулсан 13,025 дахь.
Жишээ 2.Илэрхийлэлийг хялбарчлах −0,4 × (−6,3б) × 2
Хоёр дахь хэсэг (−6.3б)бидэнд ойлгомжтой хэлбэрээр орчуулж болно, тухайлбал маягтаар бичсэн ( −6,3)×b ,дараа нь тоонуудыг тусад нь үржүүлж, үсгүүдийг тусад нь үржүүлнэ.
− 0,4 × (−6.3b) × 2 = − 0,4 × (−6.3) × b × 2 = 5.04b
Тиймээс илэрхийлэл −0,4 × (−6,3б) × 2 хялбаршуулсан 5.04б
Жишээ 3.Илэрхийлэлийг хялбарчлах 
Тоонууд хаана, үсэг хаана байгааг тодорхой харахын тулд энэ илэрхийлэлийг илүү дэлгэрэнгүй бичье.
Одоо тоонуудыг тусад нь үржүүлж, үсгүүдийг тусад нь үржүүлье.
Тиймээс илэрхийлэл хялбаршуулсан −abc.Энэ шийдлийг товчоор бичиж болно:
Илэрхийллийг хялбарчлахдаа энгийн бутархайтай адил төгсгөлд нь биш харин шийдлийн явцад бутархайг багасгаж болно. Жишээлбэл, шийдвэрлэх явцад бид хэлбэрийн илэрхийлэлтэй тулгарвал тоологч ба хуваагчийг тооцоолох шаардлагагүй бөгөөд иймэрхүү зүйлийг хийх шаардлагагүй болно.
Бутархайг тоологч болон хуваагчийн аль алинд нь хүчин зүйл сонгож, эдгээр хүчин зүйлсийг хамгийн их нийтлэг хүчин зүйлээр нь бууруулж бууруулж болно. Өөрөөр хэлбэл, тоологч ба хуваагчийг юунд хуваасныг бид нарийвчлан тайлбарлаагүй ашиглах.
Жишээлбэл, тоологчийн хүчин зүйл нь 12, хуваарийн хувьд 4-ийн хүчин зүйл нь 4-ээр буурч болно. Бид дөрвийг оюун ухаандаа хадгалж, 12 ба 4-ийг энэ дөрөвт хуваахад бид эдгээр тоонуудын хажууд хариултуудыг бичнэ. эхлээд тэдгээрийг хассан
Одоо та үүссэн жижиг хүчин зүйлсийг үржүүлж болно. Энэ тохиолдолд тэдгээрийн цөөхөн нь байдаг бөгөөд та тэдгээрийг оюун ухаандаа үржүүлж болно.
Цаг хугацаа өнгөрөхөд та тодорхой асуудлыг шийдэхдээ хэллэгүүд "таргалж" эхэлдэг тул хурдан тооцоололд дасахыг зөвлөж байна. Оюун ухаанд тооцоолж болох зүйлийг оюун ухаанд тооцох ёстой. Хурдан багасгаж болох зүйлийг хурдан бууруулах ёстой.
Жишээ 4.Илэрхийлэлийг хялбарчлах 
Тиймээс илэрхийлэл хялбаршуулсан
Жишээ 5.Илэрхийлэлийг хялбарчлах 
Тоонуудыг тусад нь, үсгүүдийг тусад нь үржүүлье.
Тиймээс илэрхийлэл хялбаршуулсан mn.
Жишээ 6.Илэрхийлэлийг хялбарчлах 
Тоонууд хаана, үсэг хаана байгааг тодорхой харахын тулд энэ илэрхийлэлийг илүү дэлгэрэнгүй бичье.
Одоо тоонуудыг тусад нь, үсгүүдийг тусад нь үржүүлье. Тооцоолоход хялбар болгох үүднээс аравтын бутархай −6.4 ба холимог тоог энгийн бутархай болгон хувиргаж болно.
Тиймээс илэрхийлэл хялбаршуулсан
Энэ жишээний шийдлийг илүү богино хугацаанд бичиж болно. Энэ нь иймэрхүү харагдах болно:
Жишээ 7.Илэрхийлэлийг хялбарчлах 
Тоо тусад нь, үсгийг тусад нь үржүүлье. Тооцоолоход хялбар болгохын тулд холимог тоо ба аравтын бутархай 0.1 ба 0.6-г энгийн бутархай болгон хувиргаж болно.
Тиймээс илэрхийлэл хялбаршуулсан a B C D. Хэрэв та нарийвчилсан мэдээллийг алгасвал энэ шийдлийг илүү богино хугацаанд бичиж болно:
Бутархай хэсэг хэрхэн багассаныг анхаарч үзээрэй. Өмнөх хүчин зүйлсийг бууруулсны үр дүнд олж авсан шинэ хүчин зүйлсийг багасгахыг зөвшөөрдөг.
Одоо юу хийх ёсгүй талаар ярилцъя. Илэрхийллийг хялбарчлахдаа хэрэв илэрхийлэл нь үржвэр биш харин нийлбэр байвал тоо, үсгийг үржүүлэхийг хатуу хориглоно.
Жишээлбэл, хэрэв та илэрхийллийг хялбарчлахыг хүсвэл 5a+4b, тэгвэл та үүнийг ингэж бичиж болохгүй:
Энэ нь биднээс хоёр тоог нэмэхийг хүсэхэд бид тэдгээрийг нэмэхийн оронд үржүүлсэнтэй адил юм.
Аливаа хувьсагчийн утгыг орлуулах үед аТэгээд билэрхийлэл 5a +4bэнгийн тоон илэрхийлэл болж хувирдаг. хувьсагч гэж үзье аТэгээд бдараах утгатай байна:
a = 2, b = 3
Дараа нь илэрхийллийн утга 22-той тэнцүү болно
5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22
Эхлээд үржүүлэх ажлыг хийж, дараа нь үр дүнг нэмнэ. Хэрэв бид тоо, үсгийг үржүүлэх замаар энэ илэрхийллийг хялбарчлахыг оролдвол дараахь зүйлийг авах болно.
5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab
20ab = 20 × 2 × 3 = 120
Энэ нь илэрхийллийн огт өөр утгатай болж хувирдаг. Эхний тохиолдолд энэ нь ажилласан 22 , хоёр дахь тохиолдолд 120 . Энэ нь илэрхийллийг хялбарчлах гэсэн үг юм 5a+4bбуруу гүйцэтгэсэн.
Илэрхийллийг хялбаршуулсаны дараа түүний утга нь хувьсагчийн ижил утгатай өөрчлөгдөх ёсгүй. Хэрэв ямар нэгэн хувьсагчийн утгыг анхны илэрхийлэлд орлуулахдаа нэг утгыг олж авбал илэрхийллийг хялбаршуулсаны дараа хялбаршуулахаас өмнөхтэй ижил утгыг авах ёстой.
Илэрхийлэлээр 5a+4bүнэхээр хийж чадах зүйл байхгүй. Энэ нь үүнийг хялбарчлахгүй.
Хэрэв илэрхийлэлд ижил төстэй нэр томъёо байгаа бол бидний зорилго илэрхийллийг хялбарчлах зорилготой бол тэдгээрийг нэмж болно.
Жишээ 8.Илэрхийлэлийг хялбарчлах 0.3a−0.4a+a
0.3a − 0.4a + a = 0.3a + (−0.4a) + a = (0.3 + (−0.4) + 1)×a = 0.9a
эсвэл богино: 0.3a - 0.4a + a = 0.9a
Тиймээс илэрхийлэл 0.3a−0.4a+aхялбаршуулсан 0.9a
Жишээ 9.Илэрхийлэлийг хялбарчлах −7.5a − 2.5b + 4a
Энэ илэрхийллийг хялбарчлахын тулд бид ижил төстэй нэр томъёог нэмж болно:
−7.5a − 2.5b + 4a = −7.5a + (−2.5b) + 4a = ((−7.5) + 4)×a + (−2.5b) = −3.5a + (−2.5b)
эсвэл богино −7.5a − 2.5b + 4a = −3.5a + (−2.5b)
Хугацаа (−2.5б)Өөрчлөгдөх зүйл байхгүй тул өөрчлөгдөөгүй.
Жишээ 10.Илэрхийлэлийг хялбарчлах 
Энэ илэрхийллийг хялбарчлахын тулд бид ижил төстэй нэр томъёог нэмж болно:
Коэффициент нь тооцоолоход хялбар байсан.
Тиймээс илэрхийлэл хялбаршуулсан
Жишээ 11.Илэрхийлэлийг хялбарчлах 
Энэ илэрхийллийг хялбарчлахын тулд бид ижил төстэй нэр томъёог нэмж болно:
Тиймээс илэрхийлэл хялбаршуулсан.
IN энэ жишээндЭхлээд эхний болон сүүлчийн коэффициентийг нэмэх нь илүү тохиромжтой байх болно. Энэ тохиолдолд бид товч шийдэлтэй байх болно. Энэ нь иймэрхүү харагдах болно:
Жишээ 12.Илэрхийлэлийг хялбарчлах 
Энэ илэрхийллийг хялбарчлахын тулд бид ижил төстэй нэр томъёог нэмж болно:
Тиймээс илэрхийлэл хялбаршуулсан 
.
Нэмэх зүйл байхгүй тул энэ нэр томъёо өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.
Энэ шийдлийг илүү богино хугацаанд бичиж болно. Энэ нь иймэрхүү харагдах болно:
Богино шийдэл нь хасах үйлдлийг нэмэхээр сольж, бутархайг хэрхэн нийтлэг хуваагч болгон бууруулах талаар дэлгэрэнгүй тайлбарлах алхмуудыг алгассан.
Өөр нэг ялгаа нь дотор нарийвчилсан шийдэлхариулт нь харагдаж байна , гэхдээ товчхондоо . Үнэндээ тэд ижил илэрхийлэл юм. Үүний ялгаа нь эхний тохиолдолд хасах үйлдлийг нэмэх замаар сольдог, учир нь бид шийдлийг бичихдээ эхэндээ дэлгэрэнгүй, бид аль болох хасах үйлдлийг нэмэхээр сольсон бөгөөд хариултын хувьд энэ орлуулалт хадгалагдлаа.
Баримтлал. Адилхан тэнцүү илэрхийллүүд
Бид аливаа илэрхийллийг хялбаршуулсаны дараа энэ нь илүү энгийн бөгөөд богино болно. Хялбаршуулсан илэрхийлэл зөв эсэхийг шалгахын тулд аливаа хувьсагчийн утгыг эхлээд хялбарчлах шаардлагатай өмнөх илэрхийлэлд, дараа нь хялбаршуулсан шинэ илэрхийлэлд орлуулахад хангалттай. Хэрэв хоёр илэрхийллийн утга ижил байвал хялбаршуулсан илэрхийлэл үнэн болно.
Ингээд авч үзье хамгийн энгийн жишээ. Илэрхийлэлийг хялбарчлах шаардлагатай байг 2a×7b. Энэ илэрхийллийг хялбарчлахын тулд та тоо, үсгийг тусад нь үржүүлж болно.
2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab
Бид илэрхийллийг зөв хялбарчилсан эсэхийг шалгацгаая. Үүнийг хийхийн тулд хувьсагчийн дурын утгыг орлъё аТэгээд бэхлээд хялбаршуулах шаардлагатай эхний илэрхийлэлд, дараа нь хялбаршуулсан хоёрдугаарт.
Хувьсагчдын утгыг оруулъя а , бдараах байдалтай байх болно.
a = 4, b = 5
Тэдгээрийг эхний илэрхийлэлд орлуулъя 2a×7b
Одоо хялбаршуулсаны үр дүнд үүссэн илэрхийлэлд ижил хувьсагчийн утгыг орлъё 2a×7b, тухайлбал илэрхийлэлд 14ab
14ab = 14 × 4 × 5 = 280
Үүнийг бид хэзээ харж байна a=4Тэгээд b=5эхний илэрхийллийн утга 2a×7bболон хоёр дахь илэрхийллийн утга 14abтэнцүү
2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280
14ab = 14 × 4 × 5 = 280
Бусад үнэт зүйлсийн хувьд мөн адил зүйл тохиолдох болно. Жишээлбэл, үзье a=1Тэгээд b=2
2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28
14ab = 14 × 1 × 2 =28
Тиймээс илэрхийллийн хувьсагчийн аливаа утгын хувьд 2a×7bТэгээд 14abижил утгатай тэнцүү байна. Ийм илэрхийлэл гэж нэрлэдэг адилхан тэнцүү.
Бид илэрхийллүүдийн хооронд гэж дүгнэж байна 2a×7bТэгээд 14abижил утгатай тэнцүү тул та тэнцүү тэмдэг тавьж болно.
2a × 7b = 14ab
Тэгш байдал гэдэг нь тэнцүү тэмдгээр (=) холбогдсон аливаа илэрхийлэл юм.
Мөн хэлбэрийн тэгш байдал 2a×7b = 14abдуудсан таних тэмдэг.
Identity гэдэг нь хувьсагчийн аль ч утгын хувьд үнэн байх тэгш байдал юм.
Баримт бичгийн бусад жишээнүүд:
a + b = b + a
a(b+c) = ab + ac
a(bc) = (ab)c
Тийм ээ, бидний судалж байсан математикийн хуулиуд бол ижил төстэй байдал юм.
Жинхэнэ тоон тэгшитгэл нь мөн адил юм. Жишээлбэл:
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 + 1
10 = 7 + 2 + 1
Шийдвэрлэж байна хэцүү даалгавартооцоог хялбар болгохын тулд нарийн төвөгтэй илэрхийлэлөмнөхтэй ижил энгийн илэрхийллээр сольсон. Үүнийг солих гэж нэрлэдэг илэрхийллийн ижил хувиргалтэсвэл зүгээр л илэрхийллийг хувиргах.
Жишээлбэл, бид илэрхийллийг хялбаршуулсан 2a×7b, мөн илүү энгийн илэрхийлэлтэй болсон 14ab. Энэхүү хялбаршлыг таних хувирал гэж нэрлэж болно.
Та ийм даалгаварыг ихэвчлэн олж болно "Тэгш байдал нь ижил төстэй байдал гэдгийг батлах" дараа нь нотлох шаардлагатай тэгш байдлыг өгнө. Ихэвчлэн энэ тэгш байдал нь тэгш байдлын зүүн ба баруун гэсэн хоёр хэсгээс бүрдэнэ. Бидний даалгавар бол тэгш байдлын аль нэг хэсэгтэй ижил төстэй хувиргалтыг хийж, нөгөө хэсгийг нь авах явдал юм. Эсвэл тэгш байдлын хоёр тал дээр ижил төстэй хувиргалтыг хийж, тэгш байдлын хоёр тал ижил илэрхийллийг агуулж байгаа эсэхийг шалгаарай.
Жишээлбэл, тэгш байдал гэдгийг баталъя 0.5a × 5b = 2.5abтаних тэмдэг юм.
Энэ тэгш байдлын зүүн талыг хялбаршуулж үзье. Үүнийг хийхийн тулд тоо, үсгийг тусад нь үржүүлнэ.
0.5 × 5 × a × b = 2.5ab
2.5ab = 2.5ab
Бяцхан адилтгалын өөрчлөлтийн үр дүнд тэгш байдлын зүүн тал нь тэгш байдлын баруун талтай тэнцүү болсон. Тиймээс бид тэгш эрхтэй гэдгийг нотолсон 0.5a × 5b = 2.5abтаних тэмдэг юм.
Ижил өөрчлөлтүүдээс бид тоог нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах, бутархайг багасгах, ижил төстэй нэр томъёог нэмэх, мөн зарим илэрхийллийг хялбарчлахыг сурсан.
Гэхдээ эдгээр нь математикт байдаг ижил өөрчлөлтүүд биш юм. Өөр олон ижил төстэй өөрчлөлтүүд байдаг. Үүнийг бид ирээдүйд нэгээс олон удаа харах болно.
Бие даасан шийдлийн даалгавар:
Хичээл таалагдсан уу?
Манайд нэгдээрэй шинэ бүлэг VKontakte болон шинэ хичээлүүдийн талаар мэдэгдэл хүлээн авч эхлээрэй
Математикт илэрхийллийг хялбарчлахгүйгээр хийх арга байхгүй гэдгийг мэддэг. Энэ нь олон төрлийн асуудал, түүнчлэн янз бүрийн төрлийн тэгшитгэлийг зөв, хурдан шийдвэрлэхэд шаардлагатай. Энд авч үзсэн хялбарчлах нь зорилгодоо хүрэхэд шаардагдах үйлдлүүдийн тоог багасгахыг хэлнэ. Үүний үр дүнд тооцооллыг мэдэгдэхүйц хялбарчилж, цагийг ихээхэн хэмнэдэг. Гэхдээ илэрхийлэлийг хэрхэн хялбарчлах вэ? Үүний тулд томъёо, хууль гэж нэрлэгддэг математикийн тогтсон харилцааг ашигладаг бөгөөд энэ нь илэрхийлэлийг илүү богиносгох боломжийг олгодог бөгөөд ингэснээр тооцооллыг хялбаршуулдаг.
Өнөөдөр онлайн хэллэгийг хялбарчлах нь тийм ч хэцүү биш байгаа нь нууц биш юм. Энд хамгийн алдартай заримын холбоосууд байна:
Гэсэн хэдий ч энэ нь илэрхийлэл болгонд боломжгүй юм. Тиймээс илүү уламжлалт аргуудыг нарийвчлан авч үзье.
Нийтлэг хуваагчийг гаргаж байна
Нэг илэрхийлэл нь ижил хүчин зүйлтэй мономиалуудыг агуулсан тохиолдолд тэдгээрийн коэффициентүүдийн нийлбэрийг олж, дараа нь тэдгээрийн нийтлэг хүчин зүйлээр үржүүлж болно. Энэ үйлдлийг мөн "нийтийн хуваагчийг арилгах" гэж нэрлэдэг. Тогтмол хэрэглэж байна энэ арга, заримдаа та илэрхийллийг ихээхэн хялбарчилж болно. Эцсийн эцэст, алгебр нь бүхэлдээ хүчин зүйлүүд болон хуваагчдыг бүлэглэх, дахин зохион байгуулахад суурилдаг.
Товчилсон үржүүлэх хамгийн энгийн томъёо
Өмнө нь тайлбарласан аргын үр дагаврын нэг нь товчилсон үржүүлэх томъёо юм. Тэдгээрийг ашиглан илэрхийллийг хэрхэн хялбарчлах вэ илүү тодорхой, эдгээр томьёог цээжээр ч цээжилээгүй ч тэд хэрхэн үүсэлтэй, өөрөөр хэлбэл хаанаас гаралтай, үүний дагуу математик шинж чанарыг мэддэг. Зарчмын хувьд өмнөх мэдэгдэл нь нэгдүгээр ангиас эхлээд механик, математикийн факультетийн дээд курс хүртэл орчин үеийн бүх математикт хүчинтэй хэвээр байна. Квадратуудын ялгаа, зөрүү ба нийлбэрийн квадрат, шоо нийлбэр ба ялгаа - эдгээр бүх томъёог асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд илэрхийллийг хялбарчлах шаардлагатай тохиолдолд анхан шатны болон дээд математикт өргөн ашигладаг. Ийм хувиргалтын жишээг аль ч сургуулийн алгебрийн сурах бичгээс амархан олж болно, эсвэл бүр илүү хялбар нь World Wide Web-ээс олж болно.
Зэрэгцээ үндэс
Хэрэв та үүнийг бүхэлд нь авч үзвэл бага ангийн математикт илэрхийллийг хялбарчлах олон арга байдаггүй. Зэрэг, тэдэнтэй ажиллах нь дүрмээр бол ихэнх оюутнуудад харьцангуй хялбар байдаг. Гэхдээ орчин үеийн олон сургуулийн сурагчид, оюутнууд үг хэллэгийг үндэстэй хялбарчлах шаардлагатай үед ихээхэн бэрхшээлтэй тулгардаг. Мөн энэ нь бүрэн үндэслэлгүй юм. Учир нь математикийн мөн чанарүндэс нь ижил түвшний шинж чанараас ялгаатай биш бөгөөд энэ нь дүрмээр бол хүндрэл багатай байдаг. Энэ нь мэдэгдэж байна Квадрат язгууртоо, хувьсагч эсвэл илэрхийлэл нь ижил тоо, хувьсагч эсвэл илэрхийлэл нь хагасын зэрэгтэй тэнцүү, шоо язгуур нь гуравны нэгтэй тэнцүү байх гэх мэт захидал харилцааны дагуу.
Бутархайтай илэрхийллийг хялбарчлах
Бутархайгаар илэрхийллийг хэрхэн хялбарчлах нийтлэг жишээг бас харцгаая. Илэрхийлэл байгаа тохиолдолд байгалийн фракцууд, та хуваагч ба тоологчоос нийтлэг хүчин зүйлийг тусгаарлаж, дараа нь бутархайг түүгээр багасгах хэрэгтэй. Мономиалууд нь ижил хүчин зүйлүүдийг эрх мэдэлд шилжүүлсэн тохиолдолд тэдгээрийг нэгтгэхдээ эрх мэдэл нь тэнцүү байх ёстой.
Тригонометрийн үндсэн илэрхийллийг хялбарчлах
Зарим хүмүүсийн анхаарлыг татдаг зүйл бол тригонометрийн илэрхийллийг хэрхэн хялбарчлах тухай яриа юм. Тригонометрийн хамгийн өргөн салбар бол математикийн оюутнуудад хийсвэр ойлголт, асуудал, тэдгээрийг шийдвэрлэх арга барилтай тулгарах эхний шат юм. Энд харгалзах томьёо байдаг бөгөөд тэдгээрийн эхнийх нь үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг юм. Математикийн хангалттай оюун ухаантай бол хүн бүх үндсэн шинж чанаруудаас системтэй гарал үүслийг олж авч болно. тригонометрийн ижил төстэй байдалболон аргументуудын зөрүү ба нийлбэрийн томъёо, давхар, гурвалсан аргументууд, багасгах томъёо болон бусад олон зүйлийг багтаасан томъёо. Мэдээжийн хэрэг, шинэ арга, томъёоны хамт бүрэн хэрэглэгдэж байгаа нийтлэг хүчин зүйл нэмэх зэрэг хамгийн эхний аргуудыг энд мартаж болохгүй.
Дүгнэж хэлэхэд бид уншигчдад ерөнхий зөвлөгөө өгөх болно:
- Олон гишүүнтийг хүчин зүйлээр ангилах ёстой, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийг тодорхой тооны хүчин зүйлсийн үржвэр хэлбэрээр дүрсэлсэн байх ёстой - мономиал ба олон гишүүнт. Хэрэв ийм боломж байгаа бол нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргах шаардлагатай.
- Бүх товчилсон үржүүлэх томъёог үл хамаарах зүйлгүйгээр цээжлэх нь дээр. Тэдгээр нь тийм ч олон биш боловч математик илэрхийллийг хялбарчлах үндэс суурь болдог. Гурвалсан тоогоор төгс квадратуудыг тусгаарлах аргын талаар бид мартаж болохгүй, энэ нь үржүүлэх товчилсон томъёоны аль нэгэнд урвуу үйлдэл юм.
- Илэрхийлэлд байгаа бүх бутархайг аль болох олон удаа багасгах хэрэгтэй. Гэсэн хэдий ч зөвхөн үржүүлэгчид багасдаг гэдгийг мартаж болохгүй. Алгебрийн бутархайн хуваагч ба хуваагчийг тэгээс ялгаатай ижил тоогоор үржүүлэхэд бутархайн утга өөрчлөгдөхгүй.
- Ерөнхийдөө бүх илэрхийлэл нь үйлдлээр эсвэл гинжээр өөрчлөгдөж болно. Эхний арга нь илүү тохиромжтой, учир нь завсрын үйл ажиллагааны үр дүнг шалгахад хялбар байдаг.
- Математик илэрхийлэлд бид ихэвчлэн үндсийг гаргаж авдаг. Тэгш хүчний үндсийг зөвхөн сөрөг бус тоо эсвэл илэрхийллээс, сондгой хүчний үндсийг ямар ч илэрхийлэл эсвэл тооноос гаргаж авч болно гэдгийг санах нь зүйтэй.
Манай нийтлэл танд математикийн томьёог ойлгож, практикт хэрхэн ашиглахыг зааж өгөхөд тань тусална гэж найдаж байна.
