Гэр Барилга Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг олох жишээнүүд. Далд байдлаар тодорхойлогдсон функцийн дериватив

Барилга

Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг олох жишээнүүд. Далд байдлаар тодорхойлогдсон функцийн дериватив

Эхлээд нэг хувьсагчийн далд функцийг авч үзье. Энэ нь (1) тэгшитгэлээр тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь зарим X мужаас х бүрийг тодорхой у-тай холбодог. Тэгвэл X дээр y=f(x) функцийг энэ тэгшитгэлээр тодорхойлно. Тэд түүнийг дууддаг далдэсвэл далд хэлбэрээр өгсөн. Хэрэв тэгшитгэл (1)-ийг y-тэй холбоотойгоор шийдэж болох юм бол, i.e. y=f(x) хэлбэрийг аваад далд функцийг зааж өгнө тодорхой.Гэсэн хэдий ч тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь үргэлж боломжгүй байдаг бөгөөд энэ тохиолдолд (x 0 , y 0) цэгийн зарим хэсэгт (1) тэгшитгэлээр тодорхойлогддог далд функц y=f(x) байх нь үргэлж тодорхой байдаггүй. ), огт байдаг.

Жишээлбэл, тэгшитгэл
Энэ нь харьцангуй харьцангуй бөгөөд жишээлбэл (1,0) цэгийн зарим хэсэгт далд функцийг тодорхойлж байгаа эсэх нь тодорхойгүй байна. Ямар ч функцийг тодорхойлдоггүй тэгшитгэлүүд байдгийг анхаарна уу (x 2 +y 2 +1=0).

Дараах теорем үнэн болж хувирав.

Теорем"Далд функцийн оршихуй ба ялгавартай байдал" (баталгаагүй)

Тэгшитгэлийг өгье
(1) ба функц
, нөхцөлийг хангасан:

Дараа нь:

. (2)

Геометрийн хувьд теорем нь цэгийн ойролцоо гэж заасан байдаг
, теоремын нөхцөл хангагдсан тохиолдолд (1) тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон далд функцийг y=f(x) тодорхой зааж өгч болно, учир нь X утга бүрийн хувьд өвөрмөц у байна. Хэдийгээр бид функцийн илэрхийлэлийг тодорхой хэлбэрээр олж чадаагүй ч M 0 цэгийн зарим хэсэгт энэ нь зарчмын хувьд боломжтой гэдэгт бид итгэлтэй байна.

Үүнтэй ижил жишээг харцгаая:
. Нөхцөлүүдийг шалгацгаая:

1)
,
- функц ба түүний дериватив хоёулаа (1,0) цэгийн ойролцоо тасралтгүй байна (тасралтгүйнүүдийн нийлбэр ба үржвэр).

2)
.

3)
. Энэ нь далд функц y = f(x) (1,0) цэгийн ойролцоо оршдог гэсэн үг юм. Бид үүнийг тодорхой бичиж чадахгүй, гэхдээ бид түүний уламжлалыг олж чадна, тэр ч байтугай тасралтгүй байх болно:

Одоо авч үзье хэд хэдэн хувьсагчийн далд функц. Тэгшитгэлийг өгье

. (2)

Хэрэв тодорхой бүсийн тэгшитгэлийн (2) хос утгууд (x, y) бүрт нэг тодорхой z утгыг холбодог бол энэ тэгшитгэл нь хоёр хувьсагчийн нэг утгатай функцийг далд байдлаар тодорхойлдог гэж хэлдэг.
.

Хэд хэдэн хувьсагчийн далд функц оршин тогтнох, ялгах тухай харгалзах теорем бас хүчинтэй.

Теорем 2: Тэгшитгэлийг өгье
(2) ба функц
нөхцөлийг хангаж байна:

Жишээ:
. Энэ тэгшитгэл нь z-ийг x ба y-ийн хоёр утгатай далд функц гэж тодорхойлдог
. Хэрэв бид (0,0,1) цэгийн ойролцоо теоремын нөхцлийг шалгавал бүх нөхцөл хангагдсан болохыг харж болно.

Энэ нь (0,0,1) цэгийн ойролцоо далд нэг утгатай функц байдаг гэсэн үг юм: Үүнийг бид шууд хэлж чадна.
, дээд хагас бөмбөрцгийг тодорхойлох.

Үргэлжилсэн хэсэгчилсэн деривативууд байдаг
Дашрамд хэлэхэд, хэрэв бид шууд илэрхийлсэн далд функцийг ялгаж үзвэл тэдгээр нь адилхан болно.

Оршихуйн тодорхойлолт ба теорем, далд функцийн ялгаварлал илүүаргументууд нь төстэй юм.

Эсвэл товчхондоо - далд функцийн дериватив. Далд функц гэж юу вэ? Хичээлүүд маань практик шинж чанартай тул тодорхойлолт, теоремоос зайлсхийхийг хичээдэг ч энд хийх нь зүйтэй болов уу. Функц гэж юу вэ?

Ганц хувьсагчийн функц гэдэг нь бие даасан хувьсагчийн утга тус бүрд тухайн функцийн нэг бөгөөд зөвхөн нэг утга байна гэж заасан дүрэм юм.

хувьсагч гэж нэрлэдэг бие даасан хувьсагчэсвэл маргаан.
хувьсагч гэж нэрлэдэг хамааралтай хувьсагчэсвэл функц.

Товчоор хэлбэл, энэ тохиолдолд "Y" үсэг нь функц юм.

Одоогоор бид дээр тодорхойлсон функцуудыг авч үзсэн тодорхойхэлбэр. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Тодорхой жишээнүүдийг ашиглан товч танилцуулга хийцгээе.

Функцийг авч үзье

Бид зүүн талд ганц "Y" (функц) байгааг харж байна, баруун талд - зөвхөн "X". Энэ нь функц юм тодорхойбие даасан хувьсагчаар илэрхийлнэ.

Өөр функцийг харцгаая:

Энд хувьсагчид холилдсон байдаг. Түүнээс гадна ямар ч аргаар боломжгүй"Y"-г зөвхөн "X"-ээр илэрхийлнэ. Эдгээр аргууд юу вэ? Тэмдгийг өөрчилснөөр нэр томьёог хэсгээс хэсэг рүү шилжүүлэх, хаалтнаас гаргах, пропорциональ дүрмийн дагуу хүчин зүйл шидэх гэх мэт.Тэгш байдлыг дахин бичиж, “y”-г тодорхой илэрхийлэхийг хичээ: . Та тэгшитгэлийг хэдэн цагийн турш эргүүлж, эргүүлж болно, гэхдээ та амжилтанд хүрэхгүй.

Би танд танилцуулъя: - жишээ далд функц.

Математик шинжилгээний явцад далд функц болох нь батлагдсан байдаг(гэхдээ үргэлж биш), энэ нь графиктай ("хэвийн" функцтэй адил). Далд функц нь яг адилхан байдагэхний дериватив, хоёрдугаар дериватив гэх мэт. Тэдний хэлснээр бэлгийн цөөнхийн бүх эрхийг хүндэтгэдэг.

Мөн энэ хичээлээр бид далд заасан функцийн деривативыг хэрхэн олохыг сурах болно. Энэ тийм ч хэцүү биш! Бүх ялгах дүрэм, үндсэн функцүүдийн деривативын хүснэгт хүчин төгөлдөр хэвээр байна. Ялгаа нь нэг өвөрмөц мөчид байгаа бөгөөд бид үүнийг яг одоо авч үзэх болно.

Тийм ээ, би танд сайн мэдээг хэлье - доор дурдсан ажлуудыг гурван замын урд чулуугүйгээр нэлээд хатуу, тодорхой алгоритмын дагуу гүйцэтгэдэг.

Жишээ 1

1) Эхний шатанд бид хоёр хэсэгт цус харвалт хавсаргана.

2) Бид деривативын шугаман байдлын дүрмийг ашигладаг (хичээлийн эхний хоёр дүрэм Деривативыг хэрхэн олох вэ? Шийдлийн жишээ):

3) Шууд ялгах.
Яаж ялгах нь бүрэн ойлгомжтой. Цус харвалтын дор "тоглоом" байгаа газарт юу хийх вэ?

Зүгээр л гутамшигт хүртлээ функцийн дериватив нь деривативтай тэнцүү байна: .

Яаж ялгах вэ

Энд байна нарийн төвөгтэй функц. Яагаад? Синусын дор ганцхан "Y" үсэг байдаг бололтой. Гэхдээ "y" гэсэн ганц үсэг байдаг нь үнэн юм. ӨӨРӨӨ ФУНКЦ ҮҮ(хичээлийн эхэнд байгаа тодорхойлолтыг үзнэ үү). Тиймээс синус нь байна гадаад функц, нь дотоод функц юм. Бид ялгах дүрмийг ашигладаг нарийн төвөгтэй функц :

Бид бүтээгдэхүүнийг ердийн дүрмийн дагуу ялгадаг :

Энэ нь бас нарийн төвөгтэй функц гэдгийг анхаарна уу. Аливаа "хонх, шүгэлтэй тоглоом" нь нарийн төвөгтэй функц юм:

Шийдэл нь өөрөө иймэрхүү харагдах ёстой:

Хэрэв хаалт байгаа бол тэдгээрийг өргөжүүлнэ үү:

4) Зүүн талд бид "Y" гэсэн үндсэн тоотой нэр томъёог цуглуулдаг. Бусад бүх зүйлийг баруун тийш шилжүүлнэ үү:

5) Зүүн талд бид деривативыг хаалтнаас гаргаж авдаг.

6) Пропорциональ дүрмийн дагуу бид эдгээр хаалтуудыг баруун талын хуваагч руу оруулна.

Дериватив нь олдсон. Бэлэн.

Аливаа функцийг далд хэлбэрээр дахин бичиж болно гэдгийг тэмдэглэх нь сонирхолтой юм. Жишээлбэл, функц дараах байдлаар дахин бичиж болно: . Мөн саяхан хэлэлцсэн алгоритмыг ашиглан үүнийг ялгаж үзээрэй. Үнэн хэрэгтээ "далд функц" ба "далд функц" гэсэн хэллэгүүд нь нэг утга санаагаараа ялгаатай байдаг. "Далд заасан функц" гэсэн хэллэг нь илүү ерөнхий бөгөөд зөв юм. - энэ функцийг далд хэлбэрээр зааж өгсөн боловч энд та "тоглоом" -ыг илэрхийлж, функцийг тодорхой харуулах боломжтой. "У"-г илэрхийлэх боломжгүй үед "далд функц" гэсэн хэллэг нь "сонгодог" далд функцийг хэлнэ.

Хоёр дахь шийдэл

Анхаар!Хэсэгчилсэн деривативыг хэрхэн найдвартай олохыг мэддэг тохиолдолд л та хоёрдахь аргатай танилцаж болно. Математикийн анализыг судалж буй эхлэгч болон эхлэгчдэд энэ цэгийг уншиж, алгасаж болохгүй, эс тэгвээс таны толгой бүхэлдээ эмх замбараагүй болно.

Хоёрдахь аргыг ашиглан далд функцийн деривативыг олъё.

Бид бүх нөхцөлийг зүүн тал руу шилжүүлнэ:

Хоёр хувьсагчийн функцийг авч үзье:

Дараа нь томъёог ашиглан бидний деривативыг олж болно

Хэсэгчилсэн деривативуудыг олцгооё:

Тиймээс:

Хоёр дахь шийдэл нь танд шалгалт хийх боломжийг олгодог. Гэхдээ хэсэгчилсэн деривативыг хожим эзэмшдэг тул "Нэг хувьсагчийн функцийн дериватив" сэдвийг судалж буй оюутан хэсэгчилсэн деривативыг хараахан мэдэхгүй байх ёстой тул даалгаврын эцсийн хувилбарыг бичихийг зөвлөдөггүй.

Өөр хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ 2

Далд байдлаар өгөгдсөн функцийн деривативыг ол

Хоёр хэсэгт зураас нэмнэ үү:

Бид шугаман байдлын дүрмийг ашигладаг:

Дериватив олох:

Бүх хаалтуудыг нээх:

Бид бүх нэр томъёог зүүн тийш, үлдсэнийг нь баруун тийш шилжүүлнэ.

Зүүн талд нь бид үүнийг хаалтнаас гаргаж авсан:

Эцсийн хариулт:

Жишээ 3

Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол

Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, загвар дизайн.

Ялгахын дараа фракц үүсэх нь ховор биш юм. Ийм тохиолдолд та фракцаас салах хэрэгтэй. Өөр хоёр жишээг харцгаая.

Тэгшитгэлийг ашиглан функцийг далд байдлаар тодорхойл
(1) .
Мөн энэ тэгшитгэл нь ямар нэг утгын хувьд өвөрмөц шийдэлтэй байг. , ба цэг дээр функц нь дифференциалагдах функц байг
.
Дараа нь энэ утгад дараах томъёогоор тодорхойлогддог дериватив байна.
(2) .

Баталгаа

Үүнийг батлахын тулд функцийг хувьсагчийн цогц функц гэж үзье.
.
Комплекс функцийг ялгах дүрмийг хэрэглэж тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талаас хувьсагчийн деривативыг олъё.
(3) :
.
Тогтмолын дериватив нь тэг ба , тэгвэл
(4) ;
.

Томъёо нь батлагдсан.

Дээд зэрэглэлийн деривативууд

(4) тэгшитгэлийг өөр өөр тэмдэглэгээ ашиглан дахин бичье.
(4) .
Үүний зэрэгцээ хувьсагчийн нарийн төвөгтэй функцууд нь:
;
.
Хамаарал нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог (1):
(1) .

Бид (4) тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талаас хувьсагчийн деривативыг олно.
Нарийн төвөгтэй функцийн деривативын томъёоны дагуу бид дараах байдалтай байна.
;
.
Бүтээгдэхүүний дериватив томъёоны дагуу:

.
Дериватив нийлбэрийн томъёог ашиглан:

.

(4) тэгшитгэлийн баруун талын дериватив нь тэгтэй тэнцүү тул
(5) .
Энд деривативыг орлуулснаар бид далд хэлбэрээр хоёр дахь эрэмбийн деривативын утгыг олж авна.

(5) тэгшитгэлийг ижил төстэй байдлаар ялгаж, бид гурав дахь эрэмбийн дериватив агуулсан тэгшитгэлийг олж авна.
.
Энд эхний ба хоёрдугаар эрэмбийн деривативын олсон утгыг орлуулснаар бид гурав дахь эрэмбийн деривативын утгыг олно.

Үргэлжлүүлэн ялгах замаар ямар ч дарааллын деривативыг олох боломжтой.

Жишээ

Жишээ 1

Тэгшитгэлээр далд өгөгдсөн функцийн нэгдүгээр эрэмбийн деривативыг ол.
(P1) .

Томъёо 2-ын шийдэл

Бид (2) томъёог ашиглан деривативыг олно:
(2) .

Тэгшитгэл хэлбэрийг авахын тулд бүх хувьсагчдыг зүүн тал руу шилжүүлье.
.
Эндээс.

Бид тогтмол гэж үзээд үүсмэлийг олдог.
;
;
;
.

Хувьсагчийн тогтмолыг харгалзан бид хувьсагчийн деривативыг олно.
;
;
;
.

Томъёо (2) ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.
.

Хэрэв бид анхны тэгшитгэлийн дагуу (A.1), . Орлуулж үзье:
.
Тоолуур ба хуваагчийг дараах байдлаар үржүүлнэ.
.

Хоёрдахь арга зам шийдэл

Энэ жишээг хоёр дахь аргаар шийдье. Үүнийг хийхийн тулд бид анхны тэгшитгэлийн (A1) зүүн ба баруун талын хувьсагчтай холбоотой деривативыг олох болно.

Бид өргөдөл гаргана:
.
Бид дериватив бутархай томъёог хэрэглэнэ:
;
.
Бид нарийн төвөгтэй функцийн деривативын томъёог ашигладаг.
.
Анхны тэгшитгэлийг (A1) ялгаж үзье.
(P1) ;
;
.
Бид нэр томъёог үржүүлж, бүлэглэдэг.
;
.

(А1) тэгшитгэлээс) орлуулъя:
.
Үржүүлэх:
.

Хариулт

Жишээ 2

Дараах тэгшитгэлийг ашиглан далд өгөгдсөн функцийн хоёрдугаар эрэмбийн деривативыг ол.
(A2.1) .

Шийдэл

Бид анхны тэгшитгэлийг хувьсагчийн функцээр ялгаж авч үзвэл:
;
.
Бид нарийн төвөгтэй функцийн деривативын томъёог ашигладаг.
.

Анхны тэгшитгэлийг ялгаж үзье (A2.1):
;
.
Анхны тэгшитгэлээс (A2.1) . Орлуулж үзье:
.
Хаалтуудыг нээж, гишүүдийг бүлэглэнэ:
;
(A2.2) .
Бид эхний эрэмбийн деривативыг олно:
(A2.3) .

Хоёрдахь эрэмбийн деривативыг олохын тулд (A2.2) тэгшитгэлийг ялгана.
;
;
;
.
Нэгдүгээр эрэмбийн деривативын (A2.3) илэрхийлэлийг орлуулъя:
.
Үржүүлэх:

;
.
Эндээс бид хоёрдугаар эрэмбийн деривативыг олно.

Хариулт

Жишээ 3

Дараах тэгшитгэлийг ашиглан далд өгөгдсөн функцийн гуравдугаар эрэмбийн деривативыг ол.
(A3.1) .

Шийдэл

Бид анхны тэгшитгэлийг хувьсагчийн функц гэж үзэн ялгадаг.
;
;
;
;
;
;
(A3.2) ;

(A3.2) тэгшитгэлийг хувьсагчийн хувьд ялгаж үзье.
;
;
;
;
;
(A3.3) .

Тэгшитгэлийг ялгаж үзье (A3.3).
;
;
;
;
;
(A3.4) .

(A3.2), (A3.3) ба (A3.4) тэгшитгэлээс бид деривативын утгыг олно.
;
;
.

Бид хувьсагчдыг холбосон тодорхой тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон далд хэлбэрээр заасан функцүүдийн деривативуудыг олж сурах болно. xТэгээд y. Далд байдлаар тодорхойлсон функцүүдийн жишээ:

Далд хэлбэрээр заасан функцын дериватив эсвэл далд функцын деривативыг маш энгийнээр олдог. Одоо харгалзах дүрэм, жишээг харцгаая, тэгээд яагаад энэ нь ерөнхийдөө хэрэгтэй байгааг олж мэдье.

Далд байдлаар заасан функцийн деривативыг олохын тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг х-тэй харьцуулан ялгах хэрэгтэй. Зөвхөн X байгаа эдгээр нэр томъёо нь X-ээс функцийн ердийн дериватив болж хувирна. Тоглоом нь X-ийн функц учраас тоглоомын нэр томъёог нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг ашиглан ялгах ёстой. Энгийнээр тайлбарлавал, х-тэй нэр томьёоны үр дүнд үүссэн дериватив нь: y-ээс авсан функцын деривативыг у-аас үүссэн деривативаар үржүүлсэн үр дүнд хүрэх ёстой. Жишээ нь, нэр томьёоны деривативыг , нэр томьёоны деривативыг гэж бичнэ. Дараа нь энэ бүхнээс та энэ "тоглоомын цохилт" -ыг илэрхийлэх хэрэгтэй бөгөөд тодорхой заасан функцийн хүссэн деривативыг авах болно. Үүнийг жишээгээр харцгаая.

Жишээ 1.

Шийдэл. i-г х-ийн функц гэж үзэн бид тэгшитгэлийн хоёр талыг х-тэй харьцуулан ялгадаг.

Эндээс бид даалгаварт шаардлагатай деривативыг авна.

Одоо далд хэлбэрээр заасан функцүүдийн хоёрдмол утгатай шинж чанарууд, яагаад тэдгээрийг ялгах тусгай дүрэм шаардлагатай байгаа талаар зарим нэг зүйл байна. Зарим тохиолдолд та орлуулалт хийгдсэн эсэхийг шалгаж болно өгөгдсөн тэгшитгэл(дээрх жишээнүүдийг харна уу) y-ийн оронд түүний x-ээр илэрхийлэгдэх нь энэ тэгшитгэл нь ижил төстэй байдал болоход хүргэдэг. Тэгэхээр. Дээрх тэгшитгэл нь дараах функцуудыг далд байдлаар тодорхойлдог.

Анхны тэгшитгэлд х-ээр дөрвөлжин тоглоомын илэрхийлэлийг орлуулсны дараа бид ижил төстэй байдлыг олж авна.

Бидний орлуулсан илэрхийлэлүүдийг тоглоомын тэгшитгэлийг шийдэх замаар олж авсан.

Хэрэв бид харгалзах тодорхой функцийг ялгах юм бол

Дараа нь бид 1-р жишээн дээрх хариултыг далд заасан функцээс авах болно:

Гэхдээ далд хэлбэрээр заасан функц бүрийг хэлбэрээр төлөөлөх боломжгүй y = е(x) . Тиймээс, жишээлбэл, далд заасан функцууд

дамжуулан илэрхийлэхгүй үндсэн функцууд, өөрөөр хэлбэл, эдгээр тэгшитгэлийг тоглогчийн хувьд шийдвэрлэх боломжгүй. Тиймээс, далд хэлбэрээр заасан функцийг ялгах дүрэм байдаг бөгөөд үүнийг бид аль хэдийн судалсан бөгөөд цаашид бусад жишээнүүдэд тууштай хэрэглэх болно.

Жишээ 2.Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол:

Бид далд хэлбэрээр заасан функцийн үндсэн ба гаралтын үед деривативыг илэрхийлнэ.

Жишээ 3.Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол:

Шийдэл. Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг x-ээр ялгадаг.

Жишээ 4.Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол:

Шийдэл. Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг x-ээр ялгадаг.

Бид деривативыг илэрхийлж, олж авдаг:

Жишээ 5.Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол:

Шийдэл. Бид тэгшитгэлийн баруун талд байгаа нөхцөлүүдийг зүүн тал руу шилжүүлж, баруун талд тэгийг үлдээнэ. Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг х-тэй харьцуулан ялгадаг.

Ихэнх тохиолдолд практик асуудлыг шийдвэрлэхэд (жишээлбэл, дээд геодези эсвэл аналитик фотограмметрийн хувьд) хэд хэдэн хувьсагчийн нарийн төвөгтэй функцүүд гарч ирдэг, тухайлбал аргументууд. x, y, z нэг функц f(x,y,z) ) нь өөрөө шинэ хувьсагчийн функцууд юм У, В, В ).

Жишээлбэл, энэ нь тогтмол координатын системээс шилжих үед тохиолддог Оксиз хөдөлгөөнт систем рүү О 0 UVW болон буцаж. Үүний зэрэгцээ "тогтмол" - "хуучин" ба "хөдөлгөөн" - "шинэ" хувьсагчдад хамаарах бүх хэсэгчилсэн деривативуудыг мэдэх нь чухал бөгөөд учир нь эдгээр хэсэгчилсэн деривативууд нь эдгээр координатын систем дэх объектын байрлалыг ихэвчлэн тодорхойлдог. , ялангуяа агаарын гэрэл зургийн бодит объекттой харьцах харьцаанд нөлөөлдөг. Ийм тохиолдолд дараахь томъёог хэрэглэнэ.

Энэ нь нарийн төвөгтэй функцийг өгдөг Т гурван "шинэ" хувьсагч У, В, В гурван "хуучин" хувьсагчаар дамжуулан x, y, z, Дараа нь:

Сэтгэгдэл. Хувьсагчийн тоо өөр байж болно. Жишээ нь: хэрэв

Ялангуяа, хэрэв z = f(xy), y = y(x) , дараа нь бид "нийт дериватив" гэж нэрлэгддэг томъёог авна.

Дараах тохиолдолд "нийт дериватив"-ийн ижил томьёо:

хэлбэрийг авна:

(1.27) - (1.32) томъёоны өөр хувилбарууд бас боломжтой.

Тайлбар: Шингэний хөдөлгөөний тэгшитгэлийн үндсэн системийг гаргахдаа физикийн хичээлийн "Гидродинамик" хэсэгт "нийт дериватив" томъёог ашигладаг.

Жишээ 1.10. Өгөгдсөн:

(1.31) дагуу:

§7 Хэд хэдэн хувьсагчийн далд өгөгдсөн функцийн хэсэгчилсэн деривативууд

Мэдэгдэж байгаагаар нэг хувьсагчийн далд тодорхойлогдсон функцийг дараах байдлаар тодорхойлдог: бие даасан хувьсагчийн функц x -тай холбоотойгоор шийдэгдээгүй тэгшитгэлээр өгөгдсөн бол далд гэж нэрлэдэг y :

Жишээ 1.11.

Тэгшитгэл

хоёр функцийг далд байдлаар зааж өгдөг:

Мөн тэгшитгэл

ямар ч функцийг заагаагүй болно.

Теорем 1.2 (далд функцийн оршихуй).

Функцийг зөвшөөр z =f(x,y) ба түүний хэсэгчилсэн деривативууд f" x Тэгээд f" y тодорхой, зарим хөршид тасралтгүй У М0 оноо М 0 (х 0 y 0 ) . Түүнээс гадна, f(x 0 , у 0 )=0 Тэгээд f"(x 0 , у 0 )≠0 , тэгвэл (1.33) тэгшитгэл нь хөршдөө тодорхойлогдоно У М0 далд функц у=у(х) , тасралтгүй ба тодорхой интервалаар ялгах боломжтой Д цэг дээр төвлөрсөн x 0 , ба у(х 0 )=y 0 .