Өгөгдсөн цэгийг өгөгдсөн чиглэлд дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл. Өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл. Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг. Хоёр шулууны параллелизм ба перпендикуляр байдлын нөхцөл. Хоёр шугамын огтлолцлын цэгийг тодорхойлох

1. Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл А(x 1 , y 1) өгөгдсөн чиглэлд, тодорхойлсон налуу к,

y - y 1 = к(x - x 1). (1)

Энэ тэгшитгэл нь нэг цэгийг дайран өнгөрөх шугамын харандааг тодорхойлдог А(x 1 , y 1), үүнийг цацрагийн төв гэж нэрлэдэг.

2. Хоёр цэгээр дамжин өнгөрөх шулууны тэгшитгэл: А(x 1 , y 1) ба Б(x 2 , y 2) дараах байдлаар бичсэн:

Өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын өнцгийн коэффициентийг томъёогоор тодорхойлно

3. Шулуун шугамын хоорондох өнцөг АТэгээд Бэхний шулуун шугамыг эргүүлэх ёстой өнцөг юм Ахоёр дахь шугамтай давхцах хүртэл эдгээр шугамын огтлолцох цэгийн эргэн тойронд цагийн зүүний эсрэг Б. Хэрэв хоёр шулууныг налуутай тэгшитгэлээр өгвөл

y = к 1 x + Б 1 ,

K(x 0 ; y 0) цэгийг дайрч y = kx + a шулуунтай параллель шулууныг дараах томъёогоор олно.

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Энд k нь шугамын налуу юм.

Альтернатив томъёо:
M 1 (x 1 ; y 1) цэгийг дайрч, Ax+By+C=0 шулуунтай параллель шулууныг тэгшитгэлээр илэрхийлнэ.

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

K( цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бич. ;) шулуун шугамтай параллель y = x+ .

Жишээ №1. M 0 (-2,1) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бичээд нэгэн зэрэг:
a) шулуун шугамтай параллель 2x+3y -7 = 0;
б) шулуун шугаманд перпендикуляр 2x+3y -7 = 0.
Шийдэл . Налуутай тэгшитгэлийг y = kx + a хэлбэрээр илэрхийлье. Үүнийг хийхийн тулд y-ээс бусад бүх утгыг баруун тийш шилжүүлнэ үү: 3y = -2x + 7 . Дараа нь баруун талыг 3 дахин хуваана. Бид авна: y = -2/3x + 7/3
y = -2 / 3 x + 7 / 3 шулуунтай параллель K(-2;1) цэгийг дайран өнгөрөх NK тэгшитгэлийг олъё.
x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1-ийг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
эсвэл
y = -2 / 3 x - 1/3 эсвэл 3y + 2x +1 = 0

Жишээ №2. 2x + 5y = 0 шулуунтай параллель шулууны тэгшитгэлийг бичээд координатын тэнхлэгүүдийн хамт талбай нь 5 хэмжээтэй гурвалжин үүсгэ.
Шийдэл . Шугамууд зэрэгцээ байгаа тул хүссэн шугамын тэгшитгэл нь 2x + 5y + C = 0. Талбай зөв гурвалжин, энд a ба b нь түүний хөл юм. Хүссэн шугамын огтлолцох цэгүүдийг координатын тэнхлэгүүдтэй олъё.
;
.
Тэгэхээр A(-C/2,0), B(0,-C/5). Үүнийг талбайн томъёонд орлъё: . Бид 2х + 5у + 10 = 0 ба 2х + 5у - 10 = 0 гэсэн хоёр шийдлийг авдаг.

Жишээ №3. (-2; 5) цэгийг дайрч 5x-7y-4=0 шулуунтай параллель шулууны тэгшитгэлийг бич.
Шийдэл. Энэ шулуун шугамыг y = 5/7 x – 4/7 (энд a = 5/7) тэгшитгэлээр илэрхийлж болно. Хүссэн шугамын тэгшитгэл нь y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), i.e. 7(y-5)=5(x+2) эсвэл 5x-7y+45=0 .

Жишээ № 4. 3-р жишээг (A=5, B=-7) (2) томъёогоор шийдсэний дараа бид 5(x+2)-7(y-5)=0-г олно.

Жишээ №5. 7х+10=0 шулуунтай параллель (-2;5) цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бич.
Шийдэл. Энд A=7, B=0. Томъёо (2) нь 7(x+2)=0, өөрөөр хэлбэл. x+2=0. Энэ тэгшитгэлийг y-ийн хувьд шийдвэрлэх боломжгүй тул (1) томъёог ашиглах боломжгүй (энэ шулуун шугам нь ордны тэнхлэгтэй параллель байна).

Хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл.
Чиглэлийн вектор шулуун байна. Ердийн вектор

Хавтгай дээрх шулуун шугам бол бага сургуулиасаа танил болсон хамгийн энгийн геометрийн дүрсүүдийн нэг бөгөөд өнөөдөр бид аналитик геометрийн аргуудыг ашиглан үүнийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах болно. Материалыг эзэмшихийн тулд та шулуун шугам барих чадвартай байх ёстой; Шулуун шугамыг, ялангуяа координатын эхийг дайран өнгөрөх шулуун ба координатын тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг ямар тэгшитгэлээр тодорхойлохыг мэдэх. Энэ мэдээллийг гарын авлагаас олж болно Энгийн функцүүдийн график ба шинж чанарууд, Би үүнийг matan зориулж бүтээсэн, гэхдээ тухай хэсэг шугаман функцЭнэ нь маш амжилттай, дэлгэрэнгүй болсон. Иймд эрхэм цайны савнуудаа эхлээд тэндээ дулаацаарай. Үүнээс гадна, та үндсэн мэдлэгтэй байх ёстой векторууд, эс бөгөөс материалын талаарх ойлголт бүрэн бус байх болно.

Асаалттай энэ хичээлХавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэлийг үүсгэх аргуудыг бид авч үзэх болно. Би практик жишээнүүдийг үл тоомсорлохгүй байхыг зөвлөж байна (энэ нь маш энгийн мэт санагдаж байсан ч), би тэдэнд ирээдүйд шаардагдах энгийн, чухал баримтууд, техникийн арга техникийг, тэр дундаа дээд математикийн бусад хэсгүүдэд өгөх болно.

• Өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?
• Хэрхэн ?
• Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг ашиглан чиглэлийн векторыг хэрхэн олох вэ?
• Цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

мөн бид эхэлнэ:

Налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл

Шулуун шугамын тэгшитгэлийн алдартай "сургууль" хэлбэрийг нэрлэдэг налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл. Жишээлбэл, шулуун шугамыг тэгшитгэлээр өгвөл түүний налуу нь: . Энэ коэффициентийн геометрийн утга, түүний утга нь шугамын байршилд хэрхэн нөлөөлж байгааг авч үзье.

Энэ нь геометрийн хичээлээр батлагдсан шулуун шугамын налуу нь тэнцүү байна өнцгийн тангенсэерэг тэнхлэгийн чиглэлийн хоорондмөн энэ мөр: , ба өнцөг нь цагийн зүүний эсрэг "эрэг тайлна".

Зургийг эмх замбараагүй болгохгүйн тулд би зөвхөн хоёр шулуун шугамын өнцгийг зурсан. "Улаан" шугам ба түүний налууг авч үзье. Дээр дурдсанчлан: ("альфа" өнцгийг ногоон нумаар заана). Өнцгийн коэффициент бүхий "цэнхэр" шулуун шугамын хувьд тэгш байдал нь үнэн юм ("бета" өнцгийг хүрэн нумаар тэмдэглэсэн). Хэрэв өнцгийн тангенс мэдэгдэж байгаа бол шаардлагатай бол олоход хялбар болно мөн булан өөрөөурвуу функцийг ашиглан - артангенс. Тэдний хэлснээр таны гарт тригонометрийн хүснэгт эсвэл микро тооцоолуур байдаг. Тиймээс, өнцгийн коэффициент нь абсцисса тэнхлэгт шулуун шугамын хазайлтын түвшинг тодорхойлдог..

Дараах тохиолдлууд боломжтой.

1) Хэрэв налуу нь сөрөг байвал: шугам нь дээрээс доошоо явна. Жишээ нь зураг дээрх "цэнхэр", "бөөрөлзгөнө" шулуун шугамууд юм.

2) Хэрэв налуу эерэг байвал: шугам нь доороос дээш гарна. Жишээ нь зураг дээрх "хар", "улаан" шулуун шугамууд.

3) Хэрэв налуу бол тэгтэй тэнцүү: , тэгвэл тэгшитгэл нь хэлбэрийг авах ба харгалзах шулуун шугам нь тэнхлэгтэй параллель байна. Жишээ нь "шар" шулуун шугам юм.

4) Тэнхлэгтэй параллель шугамын гэр бүлийн хувьд (зураг дээр тэнхлэгээс бусад жишээ байхгүй) өнцгийн коэффициент байдаггүй (90 градусын тангенс тодорхойлогдоогүй).

Налуугийн коэффициент үнэмлэхүй утгаараа их байх тусам шулуун шугамын график илүү эгц болно..

Жишээлбэл, хоёр шулуун шугамыг авч үзье. Тиймээс энд шулуун шугам нь илүү эгц налуутай байна. Модуль нь тэмдгийг үл тоомсорлох боломжийг олгодог гэдгийг танд сануулъя, бид зөвхөн сонирхож байна үнэмлэхүй утгуудөнцгийн коэффициентүүд.

Хариуд нь шулуун шугам нь шулуун шугамаас илүү эгц байдаг .

Эсрэгээр нь: налуугийн коэффициент үнэмлэхүй утгын хувьд бага байх тусам шулуун шугам илүү тэгш болно.

Шулуун шугамын хувьд тэгш бус байдал үнэн тул шулуун шугам илүү тэгш байна. Өөртөө хөхөрсөн, овойлт өгөхгүйн тулд хүүхдийн слайд.

Энэ яагаад хэрэгтэй вэ?

Зовлон зүдгүүрээ уртасга. Дээрх баримтуудын талаархи мэдлэг нь таны алдаа, тухайлбал график байгуулах явцад гарсан алдааг шууд харах боломжийг олгодог - хэрэв зураг нь "мэдээж буруу" байвал. Үүнийг танд зөвлөж байна шууджишээ нь, шулуун шугам нь маш эгц бөгөөд доороос дээш явдаг, шулуун шугам нь маш хавтгай, тэнхлэгт ойрхон дарагдсан, дээрээс доошоо явдаг нь тодорхой байв.

Геометрийн асуудлуудад хэд хэдэн шулуун шугамууд ихэвчлэн гарч ирдэг тул тэдгээрийг ямар нэгэн байдлаар тодорхойлоход тохиромжтой.

Тэмдэглэлүүд: шулуун шугамыг жижиг латин үсгээр тэмдэглэнэ: . Түгээмэл сонголт бол тэдгээрийг байгалийн доод үсэгтэй ижил үсгээр тэмдэглэх явдал юм. Жишээлбэл, бидний саяхан үзсэн таван мөрийг дараах байдлаар тэмдэглэж болно .

Аливаа шулуун шугам нь хоёр цэгээр тодорхойлогддог тул дараахь цэгүүдээр тэмдэглэж болно. гэх мэт. Тэмдэглэгээ нь цэгүүд нь шугаманд хамаарахыг тодорхой харуулж байна.

Бага зэрэг дулаарах цаг боллоо:

Өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв тодорхой шугамд хамаарах цэг ба энэ шугамын өнцгийн коэффициент нь мэдэгдэж байгаа бол энэ шугамын тэгшитгэлийг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.

Жишээ 1

Тухайн цэг нь өгөгдсөн шулуунд хамаарах нь мэдэгдэж байгаа бол налуу шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл: Томъёог ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя . Энэ тохиолдолд:

Хариулах:

Шалгалтэнгийн байдлаар хийгддэг. Эхлээд бид үүссэн тэгшитгэлийг хараад бидний налуу байгаа эсэхийг шалгаарай. Хоёрдугаарт, цэгийн координат нь энэ тэгшитгэлийг хангах ёстой. Тэдгээрийг тэгшитгэлд оруулъя:

Зөв тэгш байдлыг олж авсан бөгөөд энэ нь цэг нь үүссэн тэгшитгэлийг хангаж байна гэсэн үг юм.

Дүгнэлт: Тэгшитгэл зөв олдсон.

Илүү төвөгтэй жишээ бие даасан шийдвэр:

Жишээ 2

Шулуун шугамын тэнхлэгийн эерэг чиглэлд хазайх өнцөг нь , цэг нь энэ шулуунд хамаарах нь мэдэгдэж байвал түүний тэгшитгэлийг бич.

Хэрэв танд ямар нэгэн бэрхшээл тулгарвал онолын материалыг дахин уншина уу. Илүү нарийн, илүү практик, би маш олон нотлох баримтыг алгасдаг.

Дуугарлаа Сүүлийн дуудлага, төгсөлтийн үдэшлэг болж, манай төрөлх сургуулийн хаалганы гадна аналитик геометр биднийг хүлээж байна. онигоо дууслаа... Эсвэл тэд дөнгөж эхэлж байгаа байх =)

Бид танил тал руугаа үзгээ даллаж, шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлтэй танилцдаг. Учир нь аналитик геометрт үүнийг яг ашигладаг:

Ерөнхий тэгшитгэлшулуун шугам нь хэлбэртэй байна: , зарим тоо хаана байна. Үүний зэрэгцээ коэффициентүүд нэгэн зэрэгтэгшитгэл утгаа алддаг тул тэгтэй тэнцүү биш байна.

Костюм өмсөж, тэгшитгэлийг налуугийн коэффициенттэй холбоно. Эхлээд бүх нэр томъёог зүүн тал руу шилжүүлье:

"X" бүхий нэр томъёог эхний ээлжинд оруулах ёстой.

Зарчмын хувьд тэгшитгэл нь аль хэдийн хэлбэртэй байна , гэхдээ математикийн ёс зүйн дүрмийн дагуу эхний нэр томъёоны коэффициент (энэ тохиолдолд) эерэг байх ёстой. Өөрчлөгдсөн тэмдгүүд:

Үүнийг санаарай техникийн шинж чанар! Бид эхний коэффициентийг (ихэнхдээ) эерэг болгодог!

Аналитик геометрийн хувьд шулуун шугамын тэгшитгэлийг бараг үргэлж өгдөг ерөнхий хэлбэр. За, шаардлагатай бол өнцгийн коэффициент бүхий "сургууль" хэлбэрт амархан буулгаж болно (ординатын тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамуудаас бусад).

Юу гэж өөрөөсөө асууя хангалттайшулуун шугам барихыг мэдэх үү? Хоёр оноо. Гэхдээ энэ бага насны үйл явдлын талаар дараа нь сумны дүрэмд нийцэж байна. Шулуун шугам бүр нь маш тодорхой налуутай байдаг бөгөөд үүнийг "дасан зохицоход" хялбар байдаг. вектор.

Шугамтай параллель байх векторыг тухайн шугамын чиглэлийн вектор гэнэ. Аливаа шулуун шугамд хязгааргүй олон чиглэлийн векторууд байдаг бөгөөд тэдгээр нь бүгд хоорондоо уялдаа холбоотой байх нь ойлгомжтой (хоол чиглүүлсэн эсэх нь хамаагүй).

Би чиглэлийн векторыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ: .

Гэхдээ нэг вектор нь шулуун шугам барихад хангалтгүй бөгөөд вектор нь чөлөөтэй бөгөөд хавтгайн аль ч цэгтэй холбогддоггүй. Тиймээс шугамд хамаарах зарим цэгийг мэдэх шаардлагатай.

Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв шугамд хамаарах тодорхой цэг ба энэ шугамын чиглэлийн векторыг мэддэг бол энэ шугамын тэгшитгэлийг дараах томъёогоор эмхэтгэж болно.

Заримдаа үүнийг дууддаг шугамын каноник тэгшитгэл .

Хэзээ юу хийх вэ координатуудын нэгтэгтэй тэнцүү бол бид доорх практик жишээн дээр ойлгох болно. Дашрамд хэлэхэд, анхаарна уу - хоёулаа нэгэн зэрэгТэг вектор нь тодорхой чиглэлийг заагаагүй тул координатууд тэгтэй тэнцүү байж болохгүй.

Жишээ 3

Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич

Шийдэл: Томъёог ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя. Энэ тохиолдолд:

Пропорцын шинж чанарыг ашиглан бид бутархай хэсгүүдээс сална.

Мөн бид тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрт нь авчирдаг.

Хариулах:

Дүрмээр бол ийм жишээн дээр зураг зурах шаардлагагүй, гэхдээ ойлгохын тулд:

Зураг дээр бид эхлэлийн цэг, анхны чиглэлийн вектор (үүнийг хавтгайн аль ч цэгээс зурж болно) болон баригдсан шулуун шугамыг харж байна. Дашрамд хэлэхэд, олон тохиолдолд өнцгийн коэффициент бүхий тэгшитгэлийг ашиглан шулуун шугам барих нь хамгийн тохиромжтой. Бидний тэгшитгэлийг хэлбэр болгон хувиргаж, шулуун шугам барих өөр цэгийг сонгоход хялбар байдаг.

Догол мөрний эхэнд дурьдсанчлан шулуун шугам нь хязгааргүй олон чиглэлийн векторуудтай бөгөөд тэдгээр нь бүгд коллинеар байдаг. Жишээлбэл, би ийм гурван вектор зурсан: . Ямар ч чиглэлийн векторыг сонгохоос үл хамааран үр дүн нь үргэлж ижил шулуун шугамын тэгшитгэл байх болно.

Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя:

Пропорцийг шийдвэрлэх:

Хоёр талыг -2-т хувааж, танил тэгшитгэлийг ол.

Сонирхсон хүмүүс векторуудыг ижил аргаар шалгаж болно эсвэл бусад коллинеар вектор.

Одоо урвуу асуудлыг шийдье:

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг ашиглан чиглэлийн векторыг хэрхэн олох вэ?

Маш энгийн:

Тэгш өнцөгт координатын системд шугамыг ерөнхий тэгшитгэлээр өгсөн бол вектор нь энэ шулууны чиглэлийн вектор болно.

Шулуун шугамын чиглэлийн векторуудыг олох жишээ:

Энэхүү мэдэгдэл нь бидэнд хязгааргүй тооноос зөвхөн нэг чиглэлийн векторыг олох боломжийг олгодог боловч бидэнд илүү их зүйл хэрэггүй. Хэдийгээр зарим тохиолдолд чиглэлийн векторуудын координатыг багасгахыг зөвлөж байна.

Тиймээс тэгшитгэл нь тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг зааж өгсөн бөгөөд үүссэн чиглэлийн векторын координатыг -2-т хувааснаар яг үндсэн векторыг чиглэлийн вектор болгон авна. Логик.

Үүний нэгэн адил тэгшитгэл нь тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг зааж өгөх ба векторын координатыг 5-д хуваах замаар бид нэгж векторыг чиглэлийн вектор болгон авна.

Одоо хийцгээе Жишээ 3-ыг шалгаж байна. Жишээ нь дээшилсэн тул бид цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг эмхэтгэсэн гэдгийг би танд сануулж байна.

Нэгдүгээрт, шулуун шугамын тэгшитгэлийг ашиглан бид түүний чиглэлийн векторыг сэргээнэ. – бүх зүйл хэвийн байна, бид анхны векторыг хүлээн авлаа (зарим тохиолдолд үр дүн нь анхныхтай коллинеар вектор байж болох бөгөөд үүнийг харгалзах координатуудын пропорциональ байдлаар анзаарахад хялбар байдаг).

Хоёрдугаарт, цэгийн координат нь тэгшитгэлийг хангах ёстой. Бид тэдгээрийг тэгшитгэлд орлуулна:

Зөв тэгш байдлыг олж авсан бөгөөд үүнд бид маш их баяртай байна.

Дүгнэлт: Даалгаврыг зөв гүйцэтгэсэн.

Жишээ 4

Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна. Сая ярилцсан алгоритмыг ашиглан шалгахыг зөвлөж байна. Ноорог үргэлж (боломжтой бол) шалгахыг хичээ. 100% зайлсхийх боломжтой алдаа гаргах нь тэнэг хэрэг.

Хэрэв чиглэлийн векторын координатуудын аль нэг нь тэг байвал маш энгийнээр ажиллана уу:

Жишээ 5

Шийдэл: Баруун талын хуваагч нь тэг учраас томьёо тохиромжгүй. Гарах гарц байна! Пропорцын шинж чанарыг ашиглан бид томъёог хэлбэрээр дахин бичиж, үлдсэн хэсэг нь гүн нүхний дагуу эргэлддэг.

Хариулах:

Шалгалт:

1) Шулуун шугамын чиглүүлэх векторыг сэргээнэ үү:
– үүссэн вектор нь анхны чиглэлийн вектортой конлинеар байна.

2) Тэгшитгэлд цэгийн координатыг орлуулна.

Зөв тэгш байдлыг олж авна

Дүгнэлт: даалгаврыг зөв гүйцэтгэсэн

Ямар ч тохиолдолд ажиллах бүх нийтийн хувилбар байгаа бол яагаад томьёог санаа зовох ёстой вэ гэсэн асуулт гарч ирнэ. Хоёр шалтгаан бий. Нэгдүгээрт, томъёо нь бутархай хэлбэртэй байна илүү сайн санаж байна. Хоёрдугаарт, сул тал бүх нийтийн томъёотийм үү төөрөлдөх эрсдэл ихээхэн нэмэгддэгкоординатыг орлуулах үед.

Жишээ 6

Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм.

Хаа сайгүй байдаг хоёр цэг рүү буцъя:

Хоёр цэгийг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв хоёр цэг мэдэгдэж байгаа бол эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах томъёогоор эмхэтгэж болно.

Үнэн хэрэгтээ энэ бол томъёоны нэг төрөл бөгөөд яагаад гэвэл: хэрэв хоёр цэг мэдэгдэж байгаа бол вектор нь өгөгдсөн шугамын чиглэлийн вектор байх болно. Хичээл дээр Дамми нарт зориулсан векторуудбид авч үзсэн хамгийн энгийн даалгавар– хоёр цэгээс векторын координатыг хэрхэн олох вэ. Энэ асуудлын дагуу чиглэлийн векторын координатууд нь:

Анхаарна уу : цэгүүдийг "солих" боломжтой бөгөөд томъёог ашиглаж болно . Ийм шийдэл нь тэнцүү байх болно.

Жишээ 7

Хоёр цэгийг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич .

Шийдэл: Бид томъёог ашигладаг:

Хуваарилагчдыг нэгтгэх нь:

Тэгээд тавцангаа холь:

Одоо бутархай тооноос салах цаг болжээ. Энэ тохиолдолд та хоёр талыг 6-аар үржүүлэх хэрэгтэй.

Хаалтуудыг нээгээд тэгшитгэлийг сана:

Хариулах:

Шалгалттодорхой байна - эхний цэгүүдийн координатууд нь үүссэн тэгшитгэлийг хангах ёстой.

1) Цэгийн координатыг орлуулна уу:

Жинхэнэ тэгш байдал.

2) Цэгийн координатыг орлуулна уу:

Жинхэнэ тэгш байдал.

Дүгнэлт: Шугамын тэгшитгэл зөв бичигдсэн байна.

Хэрэв ядаж нэгоноо нь тэгшитгэлийг хангахгүй бол алдааг хай.

Шулуун шугам барьж, цэгүүд нь түүнд хамаарах эсэхийг харах тул энэ тохиолдолд график баталгаажуулалт хийхэд хэцүү гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. , тийм ч энгийн биш.

Би дахиад хэдэн зүйлийг дурдах болно техникийн цэгүүдшийдлүүд. Магадгүй энэ асуудалд толин тусгал томъёог ашиглах нь илүү ашигтай байж болох юм мөн ижил цэгүүдэд тэгшитгэл хийх:

Цөөн тооны бутархай. Хэрэв та хүсвэл шийдлийг эцэс хүртэл хийж болно, үр дүн нь ижил тэгшитгэлтэй байх ёстой.

Хоёрдахь зүйл бол эцсийн хариултыг харж, үүнийг илүү хялбарчилж болох эсэхийг олж мэдэх явдал юм. Жишээлбэл, хэрэв та тэгшитгэлийг олж авбал үүнийг хоёроор багасгахыг зөвлөж байна: - тэгшитгэл нь ижил шулуун шугамыг тодорхойлно. Гэсэн хэдий ч энэ бол аль хэдийн ярианы сэдэв юм шугамуудын харьцангуй байрлал.

Хариуг нь хүлээн авлаа Жишээ 7-д, би тэгшитгэлийн БҮХ коэффициентүүд 2, 3 эсвэл 7-д хуваагдах эсэхийг шалгасан. Гэсэн хэдий ч ихэнхдээ ийм бууралтыг шийдлийн явцад хийдэг.

Жишээ 8

Цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бич .

Энэ бол тооцооны техникийг илүү сайн ойлгож, дадлага хийх боломжийг танд олгох бие даасан шийдлийн жишээ юм.

Өмнөх догол мөртэй төстэй: хэрэв томъёонд байгаа бол хуваагчдын нэг нь (чиглэлийн векторын координат) тэг болж, бид үүнийг хэлбэрээр дахин бичнэ. Дахин хэлэхэд тэр ямар эвгүй, будлиантай харагдаж байгааг анзаараарай. Би авчрах нь нэг их утгагүй зүйл олж харахгүй байна практик жишээнүүд, учир нь бид ийм асуудлыг аль хэдийн шийдсэн (№ 5, 6-г үзнэ үү).

Шууд хэвийн вектор (хэвийн вектор)

Ердийн гэж юу вэ? Энгийн үгээр хэлбэл, хэвийн нь перпендикуляр байна. Өөрөөр хэлбэл, шугамын хэвийн вектор нь өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр байна. Мэдээжийн хэрэг, дурын шулуун шугамд хязгааргүй тооны (түүнчлэн чиглэлийн векторууд) байдаг бөгөөд шулуун шугамын бүх хэвийн векторууд нь коллинеар байх болно (хоорондын чиглэлтэй эсэх нь ялгаагүй).

Тэдэнтэй харьцах нь чиглүүлэгч векторуудтай харьцуулахад илүү хялбар байх болно:

Тэгш өнцөгт координатын системд шугамыг ерөнхий тэгшитгэлээр өгсөн бол вектор нь энэ шулууны хэвийн вектор болно.

Хэрэв чиглэлийн векторын координатыг тэгшитгэлээс болгоомжтой "сугалах" шаардлагатай бол хэвийн векторын координатыг зүгээр л "арилгаж" болно.

Хэвийн вектор нь шугамын чиглэлийн вектортой үргэлж ортогональ байна. Эдгээр векторуудын ортогональ байдлыг ашиглан шалгацгаая цэгийн бүтээгдэхүүн:

Би чиглэлийн вектортой ижил тэгшитгэл бүхий жишээг өгөх болно.

Нэг цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулах боломжтой юу? Би үүнийг гэдэс дотроо мэдэрч байна, энэ нь боломжтой. Хэрэв хэвийн вектор нь мэдэгдэж байгаа бол шулуун шугамын чиглэл өөрөө тодорхой тодорхойлогддог - энэ нь 90 градусын өнцөг бүхий "хатуу бүтэц" юм.

Цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв шугамд хамаарах тодорхой цэг ба энэ шугамын хэвийн векторыг мэддэг бол энэ шугамын тэгшитгэлийг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.

Энд бүх зүйл бутархай болон бусад гэнэтийн зүйлгүйгээр бүтсэн. Энэ бол бидний ердийн вектор юм. Түүнд хайртай. Бас хүндэлдэг =)

Жишээ 9

Цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич. Шугамын чиглэлийн векторыг ол.

Шийдэл: Бид томъёог ашигладаг:

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг олж авлаа, шалгацгаая.

1) Тэгшитгэлээс хэвийн векторын координатыг "хасах": – тийм ээ, үнэхээр анхны векторыг нөхцөлөөс авсан (эсвэл коллинеар векторыг авах ёстой).

2) Цэг нь тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгацгаая.

Жинхэнэ тэгш байдал.

Тэгшитгэл зөв зохиогдсон гэдэгт итгэлтэй болсны дараа бид даалгаврын хоёр дахь, хялбар хэсгийг дуусгах болно. Бид шулуун шугамын чиглүүлэгч векторыг гаргаж авдаг.

Хариулах:

Зураг дээр нөхцөл байдал дараах байдалтай байна.

Сургалтын зорилгоор бие даан шийдвэрлэх ижил төстэй даалгавар:

Жишээ 10

Цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич. Шугамын чиглэлийн векторыг ол.

Хичээлийн эцсийн хэсэг нь бага нийтлэг зүйлд зориулагдсан болно, гэхдээ бас чухал төрөлхавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл.
Параметр хэлбэрийн шугамын тэгшитгэл

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл нь тэгээс өөр тогтмолууд гэсэн хэлбэртэй байна. Зарим төрлийн тэгшитгэлийг энэ хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй, жишээлбэл, шууд пропорциональ (чөлөөт нэр томъёо нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд баруун талд нь нэгийг авах арга байхгүй).

Энэ нь дүрслэлээр хэлбэл "техникийн" төрлийн тэгшитгэл юм. Нийтлэг даалгавар бол шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг сегмент дэх шугамын тэгшитгэл болгон дүрслэх явдал юм. Энэ нь хэр тохиромжтой вэ? Сегмент дэх шугамын тэгшитгэл нь координатын тэнхлэгүүдтэй шугамын огтлолцлын цэгүүдийг хурдан олох боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь дээд математикийн зарим асуудалд маш чухал байж болно.

Шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг олъё. Бид "y"-ийг тэг болгож, тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна. Хүссэн цэгавтоматаар гарч ирнэ: .

Тэнхлэгтэй адилхан – шулуун шугамын ордны тэнхлэгтэй огтлолцох цэг.

Энэ нийтлэлд бид хавтгай дээрх шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг авч үзэх болно. Хэрэв энэ шугамын хоёр цэг мэдэгдэж байгаа эсвэл энэ шугамын нэг цэг болон хэвийн вектор нь мэдэгдэж байгаа бол шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг байгуулах жишээг өгье. Тэгшитгэлийг хувиргах аргуудыг танилцуулъя ерөнхий үзэлканоник болон параметрийн харагдац.

Картезийн тэгш өнцөгт координатын дурын системийг өгье Окси. Эхний зэрэг буюу тэгшитгэлийг авч үзье шугаман тэгшитгэл:

Ax+By+C=0,

(1)

Хаана A, B, C− зарим тогтмолууд ба ядаж нэг элемент АТэгээд Бтэгээс ялгаатай.

Хавтгай дээрх шугаман тэгшитгэл нь шулуун шугамыг тодорхойлдог гэдгийг бид харуулах болно. Дараах теоремыг баталъя.

Теорем 1. Хавтгай дээрх дурын декартын тэгш өнцөгт координатын системд шулуун шугам бүрийг шугаман тэгшитгэлээр тодорхойлж болно. Үүний эсрэгээр, хавтгай дээрх дурын декартын тэгш өнцөгт координатын систем дэх шугаман тэгшитгэл (1) бүр нь шулуун шугамыг тодорхойлдог.

Баталгаа. Шулуун шугам гэдгийг батлахад л хангалттайнь аль нэг декарт тэгш өнцөгт координатын системийн шугаман тэгшитгэлээр тодорхойлогддог ба үүнээс хойш аль ч декартын тэгш өнцөгт координатын системийн сонголтын шугаман тэгшитгэлээр тодорхойлогддог.

Хавтгай дээр шулуун шугам өгье Шулуун шугам гэдгийг батлахад л хангалттай. Бид координатын системийг сонгон тэнхлэгийг Үхэршулуун шугамтай давхцсан Шулуун шугам гэдгийг батлахад л хангалттай, болон тэнхлэг Өөтүүнд перпендикуляр байсан. Дараа нь шугамын тэгшитгэл Шулуун шугам гэдгийг батлахад л хангалттайдараах хэлбэрийг авна.

y=0.

(2)

Нэг шулуун дээрх бүх цэгүүд Шулуун шугам гэдгийг батлахад л хангалттайшугаман тэгшитгэлийг (2) хангах бөгөөд энэ шугамаас гадуурх бүх цэгүүд (2) тэгшитгэлийг хангахгүй. Теоремын эхний хэсэг батлагдсан.

Декартын тэгш өнцөгт координатын системийг өгөгдсөн ба шугаман тэгшитгэлийг (1) өгье, энд дор хаяж нэг элемент байна. АТэгээд Бтэгээс ялгаатай. Координатууд нь (1) тэгшитгэлийг хангасан цэгүүдийн геометрийн байрлалыг олъё. Наад зах нь нэг коэффициент учраас АТэгээд Бтэгээс ялгаатай бол (1) тэгшитгэл дор хаяж нэг шийдтэй байна М(x 0 ,y 0). (Жишээ нь, хэзээ А≠0, цэг М 0 (−C/A, 0) нь өгөгдсөн геометрийн цэгийн байршилд хамаарна). Эдгээр координатуудыг (1)-д орлуулснаар бид таних тэмдгийг олж авна

Сүх 0 +By 0 +C=0.

(3)

(1)-ээс (3) дугаарыг хасъя:

А(x−x 0)+Б(y−y 0)=0.

(4)

Тэгшитгэл (4) нь тэгшитгэл (1)-тэй тэнцэх нь ойлгомжтой. Тиймээс (4) тодорхой шугамыг тодорхойлж байгааг батлахад хангалттай.

Учир нь бид декартыг авч үзэж байна тэгш өнцөгт системкоординатууд, дараа нь тэгшитгэлээс (4) бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй вектор ( x−x 0 , y−y 0 ) векторт ортогональ nкоординаттай ( А,Б}.

Зарим шулуун шугамыг авч үзье Шулуун шугам гэдгийг батлахад л хангалттай, цэгээр дамжин өнгөрөх М 0 (x 0 , y 0) ба векторт перпендикуляр байна n(Зураг 1). Гол нь байя М(x,y) мөрөнд хамаарна Шулуун шугам гэдгийг батлахад л хангалттай. Дараа нь координат бүхий вектор x−x 0 , y−y 0 перпендикуляр nба тэгшитгэл (4) хангагдсан (векторуудын скаляр үржвэр). nба тэгтэй тэнцүү). Эсрэгээр, хэрэв цэг бол М(x,y) шугаман дээр хэвтдэггүй Шулуун шугам гэдгийг батлахад л хангалттай, дараа нь координаттай вектор x−x 0 , y−y 0 нь векторын ортогональ биш юм nтэгшитгэл (4) хангагдаагүй байна. Теорем нь батлагдсан.

Баталгаа. n 1 ={А 1 ,Б(5) ба (6) шугамууд ижил шугамыг тодорхойлдог тул хэвийн векторууд n 2 ={А 2 ,Б 1) ба n 1 ≠0, n 2) шугаман. Векторуудаас хойш λ 2 ≠0, тэгвэл ийм тоо байна n 2 =n 1 λ , Юу А 2 =А 1 λ , Б 2 =Б 1 λ . Эндээс бидэнд: C 2 =C 1 λ . Үүнийг баталцгаая М 0 (x 0 , y. Мэдээжийн хэрэг, давхцаж буй шугамууд нь нийтлэг цэгтэй байдаг λ 0). (5) тэгшитгэлийг үржүүлэх

ба түүнээс (6) тэгшитгэлийг хасвал бид дараахь зүйлийг авна. C 1 λ −C(7) илэрхийллийн эхний хоёр тэгшитгэл хангагдсан тул C 2 =C 1 λ 2 =0. Тэдгээр.

. Тайлбар нотлогдсон. М 0 (x 0 , yТэгшитгэл (4) нь тухайн цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг тодорхойлдог болохыг анхаарна уу n={А,Б 0) ба хэвийн вектортой байна

). Иймд шулууны хэвийн вектор болон энэ шулуунд хамаарах цэг нь мэдэгдэж байгаа бол (4) тэгшитгэлийг ашиглан шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг байгуулж болно. М=(4,−1) ба хэвийн вектортой n=(3, 5). Шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг байгуул.

Шийдэл. x 0 =4, y 0 =−1, А=3, ББидэнд байгаа:

=5. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг байгуулахын тулд бид эдгээр утгыг тэгшитгэл (4) болгон орлуулна.

Хариулт: Шулуун шугам гэдгийг батлахад л хангалттайВектор нь шугамтай параллель байна Шулуун шугам гэдгийг батлахад л хангалттайба иймээс шугамын хэвийн векторт перпердикуляр байна Шулуун шугам гэдгийг батлахад л хангалттай. Ердийн шугамын векторыг байгуулъя n, векторуудын скаляр үржвэрийг харгалзан үзвэл n={1,−3}.

мөн тэгтэй тэнцүү. Бид жишээ нь бичиж болно. МШулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг байгуулахын тулд (4) томъёог ашиглана. Цэгийн координатыг (4)-д орлуулъя. М 1 (бид мөн цэгийн координатыг авч болно n:

2) ба хэвийн вектор МЦэгүүдийн координатыг орлуулах М 1 ба 2-д (9) бид шулуун шугам байгаа эсэхийг шалгаж болнотэгшитгэлээр өгөгдсөн

=5. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг байгуулахын тулд бид эдгээр утгыг тэгшитгэл (4) болгон орлуулна.

(9) эдгээр цэгүүдээр дамжин өнгөрдөг.

(1)-ээс (10) хасна: Бид шугамын каноник тэгшитгэлийг олж авлаа. Вектор={−Б, А q

) нь (12) шугамын чиглэлийн вектор юм.

Урвуу хөрвүүлэлтийг үзнэ үү.

Жишээ 3. Хавтгай дээрх шулуун шугамыг дараах ерөнхий тэгшитгэлээр илэрхийлнэ.

Хоёр дахь гишүүнийг баруун тийш шилжүүлж, тэгшитгэлийн хоёр талыг 2·5-т хуваая. к Шугамыг M 1 (x 1; y 1) ба M 2 (x 2; y 2) цэгүүдээр дайруулъя. М 1 цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл y-y 1 = хэлбэртэй байна

(x - x 1), (10.6) к Хаана

- одоог хүртэл тодорхойгүй коэффициент. к Шулуун шугам нь M 2 (x 2 y 2) цэгийг дайран өнгөрөх тул энэ цэгийн координатууд (10.6) тэгшитгэлийг хангах ёстой: y 2 -y 1 =

(x 2 - x 1). к Эндээс бид олсон утгыг орлуулахыг олно

(10.6) тэгшитгэлд бид M 1 ба M 2 цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг олж авна.

Энэ тэгшитгэлд x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 гэж таамаглаж байна. Хэрэв x 1 = x 2 бол M 1 (x 1,y I) ба M 2 (x 2,y 2) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугам нь ордны тэнхлэгтэй параллель байна. Түүний тэгшитгэл нь 1 .

x = x

Хэрэв y 2 = y I бол шугамын тэгшитгэлийг y = y 1 гэж бичиж болно, M 1 M 2 шулуун нь абсцисса тэнхлэгтэй параллель байна.

Сегмент дэх шугамын тэгшитгэл
Шулуун шугам нь Ox тэнхлэгийг M 1 (a;0) цэг дээр, Ой тэнхлэгийг M 2 (0;b) цэг дээр огтолцгооё. Тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.
тэдгээр. . Энэ тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл, учир нь a ба b тоонууд нь координатын тэнхлэгүүдийн аль сегментийг таслахыг заана

Өгөгдсөн векторт перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл

Өгөгдсөн тэг биш n = (A; B) векторт перпендикуляр Mo (x O; y o) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг олъё.

Шулуун дээрх дурын M(x; y) цэгийг авч M 0 M (x - x 0; y - y o) векторыг авч үзье (1-р зургийг үз). n ба M o M векторууд перпендикуляр тул тэдгээрийн скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байна. (10.8)

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. Өгөгдсөн векторт перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл .

Шугаманд перпендикуляр n= (A; B) векторыг хэвийн гэнэ Энэ шугамын хэвийн вектор .

(10.8) тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

Энд А ба В нь хэвийн векторын координат, C = -Ax o - Vu o нь чөлөөт гишүүн юм. Тэгшитгэл (10.9) шугамын ерөнхий тэгшитгэл юм(2-р зургийг үз).

Зураг 1 Зураг 2

Шугамын каноник тэгшитгэлүүд

,

Хаана
- шугам өнгөрөх цэгийн координат, ба
- чиглэлийн вектор.

Хоёр дахь эрэмбийн муруйнууд Тойрог

Тойрог нь өгөгдсөн цэгээс ижил зайд орших хавтгайн бүх цэгүүдийн багцыг төв гэж нэрлэдэг.

Радиустай тойргийн каноник тэгшитгэл Р цэг дээр төвлөрсөн
:

Ялангуяа гадасны төв нь координатын гарал үүсэлтэй давхцаж байвал тэгшитгэл нь дараах байдалтай харагдана.

Зууван

Зуйван гэдэг нь хавтгай дээрх цэгүүдийн багц бөгөөд тэдгээр нь тус бүрээс өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны нийлбэр юм. Тэгээд фокус гэж нэрлэгддэг , тогтмол хэмжигдэхүүн юм
, голомт хоорондын зайнаас их байна
.

Голомтууд нь Окс тэнхлэг дээр байрладаг эллипсийн каноник тэгшитгэл ба голомтын дундах координатын гарал үүсэл нь дараах хэлбэртэй байна.
Г деа хагас гол тэнхлэгийн урт;б – хагас бага тэнхлэгийн урт (Зураг 2).