関数 y=k/y を考えてみましょう。 この関数のグラフは数学では双曲線と呼ばれる線です。 双曲線の全体像を次の図に示します。 (グラフは関数 y が k を x で割った値に等しいことを示しており、k は 1 に等しい。)
グラフが 2 つの部分で構成されていることがわかります。 これらの部分は双曲線の枝と呼ばれます。 双曲線の各枝がいずれかの方向にどんどん座標軸に近づいていくことも注目に値します。 この場合の座標軸を漸近線と呼びます。
一般に、関数のグラフが無限に近づいても到達しない直線を漸近線と呼びます。 双曲線は放物線と同様に対称軸を持ちます。 上の図に示されている双曲線の場合、これは直線 y=x です。
ここで、誇張のよくある 2 つのケースを見てみましょう。 関数 y = k/x (k ≠0 の場合) のグラフは双曲線になり、その枝は k>0 の場合は 1 番目と 3 番目の座標角、または 2 番目と 4 番目の座標角に位置します。フォーク<0.
関数 y = k/x (k>0 の場合) の基本特性
関数 y = k/x (k>0 の場合) のグラフ
5. x>0 で y>0; y6。 この関数は、区間 (-∞;0) と区間 (0;+∞) の両方で減少します。
10. 関数の値の範囲は 2 つの開いた間隔 (-∞;0) と (0;+∞) です。
関数 y = k/x (k の場合) の基本特性<0
k における関数 y = k/x のグラフ<0
1. 点 (0;0) は双曲線の対称の中心です。
2. 座標軸 - 双曲線の漸近線。
4. 関数の定義域は、x=0 を除くすべての x です。
5. x0 で y>0。
6. 関数は区間 (-∞;0) と区間 (0;+∞) の両方で増加します。
7. 機能は下からも上からも制限されません。
8. 関数には最大値も最小値もありません。
9. 関数は区間 (-∞;0) および区間 (0;+∞) で連続です。 x=0 にギャップがあります。
説明書
グラフが座標原点を通りOX軸と角度αをなす直線の場合（正の半軸OXに対する直線の傾き角）。 この行を記述する関数は、y = kx の形式になります。 比例係数ｋはｔａｎαに等しい。 直線が座標の 2 番目と 4 番目の四半期を通過する場合、k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 の場合、関数は増加します。座標軸に対してさまざまな方向に配置された直線を表すとします。 これは線形関数であり、y = kx + b の形式になります。ここで、変数 x と y は 1 乗であり、k と b は正または負、またはゼロに等しくなります。 この線は線 y = kx に平行で、軸 |b| で切れています。 単位。 線が横軸に平行な場合は k = 0、縦軸に平行な場合、方程式は x = const の形式になります。
異なる四半期に位置する 2 つの枝からなり、座標の原点に対して対称な曲線は双曲線です。 このグラフは変数 y の x に対する逆依存関係であり、方程式 y = k/x で表されます。 ここで k ≠ 0 は比例係数です。 さらに、k > 0 の場合、関数は減少します。 もしkなら< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.
二次関数の形式は y = ax2 + bx + c です。ここで、a、b、c は定数であり、a 0 です。条件 b = c = 0 が満たされると、関数の方程式は y = ax2 のようになります (最も単純なケース) )、そのグラフは原点を通る放物線です。 関数 y = ax2 + bx + c のグラフは、関数の最も単純な場合と同じ形状ですが、その頂点 (OY 軸との交点) は原点にありません。
グラフも放物線です べき乗関数、n が偶数の場合、方程式 y = xⁿ で表されます。 n が奇数の場合、そのようなべき乗関数のグラフは 3 次放物線のように見えます。
n が any の場合、関数方程式は次の形式になります。 奇数 n の関数のグラフは双曲線になり、偶数 n の場合、その分岐は op 軸に関して対称になります。
学年でも関数を詳しく学習し、グラフを作成します。 しかし、残念ながら、関数のグラフを読んで、提示された図からその型を見つける方法は実際には教えられていません。 基本的な関数の種類を覚えていれば、実際には非常に簡単です。
説明書
提示されたグラフが、座標の原点を通り、OX 軸との角度 α (正の半軸に対する直線の傾斜角) である場合、そのような直線を記述する関数は次のようになります。 y = kx として表されます。 この場合、比例係数ｋは角度αの正接に等しい。
指定された直線が 2 番目と 4 番目の座標の四半期を通過する場合、k は 0 に等しく、関数は増加します。 提示されたグラフが、座標軸に対して何らかの方法で配置された直線であるとします。 次に、そのような機能 グラフィックアートは線形となり、y = kx + b の形式で表されます。変数 y と x が最初にあり、b と k は負の値と負の値の両方を取ることができます。 正の値または 。
直線がグラフ y = kx の直線に平行で、縦軸で b 単位を切り取る場合、方程式は x = const の形式になります。グラフが横軸に平行な場合、k = 0 になります。
原点に対して対称で、異なる四分率に位置する 2 つの枝からなる曲線は双曲線です。 このようなグラフは、変数 x に対する変数 y の逆依存性を示し、y = k/x の形式の方程式で記述されます。ここで、k は次のとおりであってはなりません。 ゼロに等しい、反比例の係数なので。 さらに、k の値がゼロより大きい場合、関数は減少します。 もしkなら ゼロ未満– 増加します。
提案されたグラフが原点を通過する放物線である場合、その関数は b = c = 0 という条件に従い、y = ax2 の形式になります。 これは二次関数の最も単純なケースです。 y = ax2 + bx + c という形式の関数のグラフは、最も単純な場合と同じ形式になりますが、頂点 (グラフが縦軸と交差する点) は原点にありません。 y = ax2 + bx + c の形式で表される二次関数では、a、b、c の値は定数ですが、a はゼロに等しくありません。
放物線は、n が偶数の場合に限り、y = xⁿ の形の方程式で表されるべき乗関数のグラフであることもあります。 n の値が奇数の場合、このようなべき乗関数のグラフは 3 次放物線で表されます。 変数 n が負の数の場合、関数方程式は次の形式になります。
トピックに関するビデオ
平面上のあらゆる点の座標は、横軸と縦軸の 2 つの量によって決まります。 このような多くの点の集合が関数のグラフを表します。 そこから、X 値の変化に応じて Y 値がどのように変化するかを確認でき、どのセクション (区間) で関数が増加し、どのセクションで減少するかを判断することもできます。
説明書
グラフが直線である場合、関数について何と言えますか? この線が座標の原点 (つまり、X と Y の値が 0 に等しい点) を通過するかどうかを確認します。 合格した場合、そのような関数は方程式 y = kx で記述されます。 k の値が大きいほど、この直線は縦軸に近くなることが容易に理解できます。 そして、Y 軸自体は実際には無限に対応します 非常に重要な k.
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意味 一次関数
一次関数の定義を紹介しましょう
意味
$y=kx+b$ という形式の関数 ($k$ がゼロ以外) は、線形関数と呼ばれます。
一次関数のグラフは直線です。 数値 $k$ は、線の傾きと呼ばれます。
$b=0$ のとき、線形関数は正比例関数 $y=kx$ と呼ばれます。
図 1 を考えてみましょう。
米。 1. 線の傾きの幾何学的意味
三角形ABCを考えてみましょう。 $ВС=kx_0+b$ であることがわかります。 直線 $y=kx+b$ と軸 $Ox$ の交点を見つけてみましょう。
\ \
つまり $AC=x_0+\frac(b)(k)$ となります。 これらの辺の比率を求めてみましょう。
\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]
一方、$\frac(BC)(AC)=tg\angle A$ となります。
したがって、次の結論を導き出すことができます。
結論
係数 $k$ の幾何学的意味。 勾配係数直線 $k$ は、$Ox$ 軸に対するこの直線の傾斜角の接線に等しい。
一次関数 $f\left(x\right)=kx+b$ とそのグラフの研究
まず、関数 $f\left(x\right)=kx+b$ ($k > 0$) を考えます。
- $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$。 その結果、この関数は定義領域全体にわたって増加します。 極端な点はありません。
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
- グラフ（図2）。
米。 2. $k > 0$ の関数 $y=kx+b$ のグラフ。
ここで関数 $f\left(x\right)=kx$ を考えてみましょう。ここで、$k
- 定義範囲はすべての数値です。
- 値の範囲はすべて数値です。
- $f\left(-x\right)=-kx+b$。 この関数は偶数でも奇数でもありません。
- $x=0,f\left(0\right)=b$ の場合。 $y=0.0=kx+b の場合、\ x=-\frac(b)(k)$ となります。
座標軸との交点: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ および $\left(0,\ b\right)$
- $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
- $f^("")\left(x\right)=k"=0$。したがって、この関数には変曲点がありません。
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
- グラフ（図3）。
