式、方程式、連立方程式
と 複素数
今日の授業では、複素数を使った典型的な演算を練習し、これらの数値を含む式、方程式、連立方程式を解くテクニックも習得します。 このワークショップはレッスンの続きであるため、このトピックに詳しくない場合は、上のリンクに従ってください。 さて、より準備ができている読者には、すぐにウォームアップすることをお勧めします。
例1
式を簡略化する 
、 もし 。 結果を三角関数形式で表し、複素平面上にプロットします。
解決: したがって、「ひどい」分数を置き換え、単純化を実行し、結果を変換する必要があります 複素数 V 三角関数形式。 さらに描き下ろしも。
決定を正式に行うための最良の方法は何ですか? 「洗練された」 代数式段階的に理解した方が良いです。 第一に、注意が散漫になりにくくなり、第二に、タスクが受け入れられなかった場合に、間違いを見つけるのがはるかに簡単になります。
1) まず、分子を単純化してみましょう。 値を代入し、括弧を開いてヘアスタイルを修正しましょう。
...そう、このようなカジモドは複素数から生まれました...
変換中には、多項式の乗算の規則と、すでに平凡になった等式という、完全に単純なものが使用されることを思い出してください。 重要なことは、注意を払い、兆候に惑わされないことです。
2) 次に分母です。 の場合:
それがどのような異常な解釈で使用されているかに注目してください 平方和の公式。 または、ここで再配置を実行することもできます 
部分式 結果は当然同じになります。
3) そして最後に、式全体です。 の場合:
分数を取り除くには、分子と分母に分母の共役式を掛けます。 同時に、申請の目的のために、 二乗差の公式まず最初にしなければなりません （そしてすでに必須です！）負の実部を 2 番目の位置に置きます。
そして重要なルールは次のとおりです。
私たちは急いでいません！ 安全策を講じて、さらに一歩踏み出したほうがよいでしょう。
複素数を含む式、方程式、システムにおいて、口頭での僭越な計算 これまで以上に不安な!
最終ステップではかなりの減少が見られ、これはまさに素晴らしい兆候です。
注記 : 厳密に言えば、ここでは複素数 50 による複素数の除算が発生しました (覚えておいてください)。 私はこれまでこのニュアンスについて沈黙していましたが、それについては少し後で話します。
私たちの功績を文字で表しましょう
得られた結果を三角関数形式で示しましょう。 一般的に言えば、ここでは描画なしで行うことができますが、描画は必須であるため、今すぐ描画する方が合理的です。 
複素数の係数を計算してみましょう。
1単位のスケールで描く場合。 = 1 cm (ノートブックの 2 つのセル)、得られた値は通常の定規を使用して簡単に確認できます。
議論を見つけてみましょう。 数値は 2 番目の座標の四半期にあるため、次のようになります。
角度は分度器で簡単に確認できます。 これは間違いなく図面の利点です。
したがって、 – 三角関数形式の必要な数値。
確認しよう：
、それは検証する必要があるものでした。
未知のサインとコサインの値を見つけるには、次を使用すると便利です 三角関数表.
答え: 
同様の例としては、 独立した決定:
例 2
式を簡略化する 
、 どこ 。 結果の数値を複素平面上に描画し、指数形式で書きます。
見逃さないようにしてください 教育的な例。 単純なことのように思えるかもしれませんが、トレーニングをしなければ、「水たまりに入る」ことは簡単なだけでなく、非常に簡単なことです。 したがって、私たちは「それを手に入れる」のです。
多くの場合、タスクでは許可されません 唯一の方法解決策:
例 3
かどうかを計算します。 
解決：まず注目してみましょう 元の状態– 1 つの数値は代数で表現され、もう 1 つの数値は三角関数形式で、さらには度数で表現されます。 すぐにもっと書き直してみましょう 通常の形で: 
.
計算はどのような形式で実行する必要がありますか? この式には明らかに最初の乗算と、さらに 10 乗が含まれます。 モアブルの公式、複素数の三角関数形式用に定式化されます。 したがって、最初の数値を変換する方が論理的だと思われます。 そのモジュールと引数を見つけてみましょう。 
三角関数形式で複素数を乗算するための規則を使用します。
もし なら、それでは
分数を正しくすると、4 回転を「ねじる」ことができるという結論に達します。 （ 嬉しい。）:
2 番目の解決策 2番目の数値を代数形式に変換することです 
、代数形式で乗算を実行し、結果を三角関数形式に変換して、モアブルの公式を使用します。
ご覧のとおり、「追加の」アクションが 1 つあります。 希望する人は決定を最後まで実行し、結果が同じであることを確認できます。
この条件では、最終的な複素数の形式については何も述べていないため、次のようになります。
答え: 
しかし、「美しさのため」、または要求に応じて、その結果を代数形式で想像するのは難しくありません。
自分自身で：
例 4
式を簡略化する
ここで覚えておく必要があります 度付きのアクション、1つですが 便利なルールマニュアルには載っていませんが、ここにあります。
もう一つ 重要な注意点: この例は 2 つのスタイルで解決できます。 最初のオプションは、 二数字と分数が大丈夫です。 2 番目のオプションは、各数値を次のように表すことです。 2 つの数の商: 
そして 4階建て構造を廃止する。 形式的な観点から見ると、どのように決定するかは問題ではありませんが、実質的な違いがあります。 以下について慎重に考えてください。
複素数です。
は 2 つの複素数 ( と ) の商ですが、文脈によっては、「2 つの複素数の商として表される数値」とも言えます。
レッスンの最後に短い解答と答えが表示されます。
式も良いですが、方程式の方が優れています。
複素係数を含む方程式
それらは「通常の」方程式とどう違うのでしょうか? オッズ =)
上記のコメントを踏まえて、次の例から始めましょう。
例5
方程式を解く 
そして、すぐに「すぐに」前文が続きます。 最初は方程式の右側は 2 つの複素数 (および 13) の商として配置されるため、条件を数値で書き直すのは悪い形式になります。 (エラーにはなりませんが)。 ちなみに、この違いは分数でより明確に見えます。相対的に言えば、この値は主に次のように理解されます。 方程式の「完全な」複素根、数値の約数としてではなく、特に数値の一部としてではありません。
解決、原則として、段階的に行うこともできますが、この場合、ゲームはろうそくの価値がありません。 最初のタスクは、未知の「z」を含まないすべてのものを単純化することです。その結果、方程式は次の形式に簡略化されます。
自信を持って中間部分を単純化します。 
結果を右側に転送し、違いを見つけます。 
注記
: そして、もう一度、意味のある点に注意を促します。ここでは、数値から数値を引いたのではなく、分数を次のようにしました。 共通点！ すでに解決が進行中であるため、数値を扱うことは禁止されていないことに注意してください。 
ただし、検討中の例では、このスタイルは役立つというよりも有害です =)
比例の法則に従って、「zet」を次のように表します。
これで、再び共役による除算と乗算ができるようになりますが、分子と分母の疑わしいほど類似した数値が次の手を示唆しています。 
答え:
確認するには、結果の値を元の方程式の左辺に代入し、単純化を実行してみましょう。
– 元の方程式の右辺が得られるため、根が正しく見つかります。
...さあ、さあ...もっと興味深いものを見つけます...どうぞ:
例6
方程式を解く 
この方程式は の形になります。これは、線形であることを意味します。 ヒントは明らかだと思います。頑張ってください!
もちろん...彼なしではどうやって生きていけますか？
複素係数を含む二次方程式
レッスン中 ダミー用の複素数実数の係数を持つ二次方程式は共役複素根を持つことができることを学びましたが、その後、論理的な疑問が生じます。実際、なぜ係数自体が複素数にならないのでしょうか? 一般的なケースを定式化してみましょう。
任意の複素係数をもつ二次方程式 (特にそのうち 1 つまたは 2 つ、または 3 つすべてが有効である可能性があります)それは持っています 二つだけ、そして二つだけ複雑なルート (おそらくどちらか一方または両方が有効です)。 同時に根っこも (実数部とゼロ以外の虚数部の両方)一致する可能性があります(複数ある場合があります)。
複素係数を持つ二次方程式は、次と同じスキームを使用して解きます。 「学校」の方程式、計算手法にいくつかの違いがあります。
例 7
二次方程式の根を求める 
解決: 虚数単位が最初に来ます。原則として、虚数単位を削除できます。 (両辺を掛ける)ただし、これは特に必要ありません。
便宜上、係数を書き出します。
無料会員の「マイナス」を無駄にしないようにしましょう！ ...誰にとっても明確ではないかもしれません - 方程式を標準形式で書き直します 
:
判別式を計算してみましょう。
そして、主な障害は次のとおりです。 
ルートを抽出するための一般式の適用 (記事の最後の段落を参照 ダミー用の複素数)
ラジカル複素数引数に関連する深刻な問題によって複雑になる （自分で見て）。 しかし、別の「代数的」方法があります。 次の形式でルートを検索します。 
両辺を正方形にしましょう: 
2 つの複素数は、実数部と虚数部が等しい場合に等しい。 したがって、次のシステムが得られます。 
を選択するとシステムが解決しやすくなります。 (より完全な方法は、2 番目の方程式から表現し、1 番目の方程式に代入し、4 次方程式を取得して解くことです)。 問題の作成者がモンスターではないと仮定して、 と は整数であるという仮説を立てます。 最初の方程式から、「x」は次のようになります。 モジュロ「Y」以上。 さらに、正の積は、未知数が同じ符号であることを示します。 上記に基づいて、2 番目の方程式に焦点を当て、それに一致するすべてのペアを書き留めます。 
システムの最初の方程式が最後の 2 つのペアによって満たされることは明らかです。したがって、次のようになります。 
中間チェックは問題ありません。 
それは確認する必要があることでした。
「作業用」ルートとして選択できます どれでも意味。 「短所」のないバージョンを採用する方が良いことは明らかです。
ちなみに、次のことを忘れずに、そのルーツを見つけます。 
答え: 
見つかった根が式を満たすかどうかを確認してみましょう 
:
1) 次のように置き換えてみましょう。 
本当の平等。
2) 次のように置き換えてみましょう。 
本当の平等。
したがって、解決策は正しく見つかりました。
先ほど説明した問題に基づいて、次のようになります。
例8
方程式の根を求めます
注意すべきこと 平方根から 純粋に複雑な数値は一般式を使用して簡単に抽出できます 
、 どこ 
, そのため、サンプルでは両方の方法が示されています。 2 番目の有益な指摘は、定数の根を事前に抽出しても解決策がまったく単純化されないという事実に関するものです。
これでリラックスできます。この例では、わずかな恐怖で済んでいます :)
例9
方程式を解いて確認してください
レッスンの最後に解決策と答えが表示されます。
記事の最後の段落では、
複素数を含む方程式系
リラックスしましょう...緊張しないでください =) 最も単純なケース、つまり 2 つのシステムを考えてみましょう 一次方程式 2 つの未知数があります:
例 10
連立方程式を解きます。 答えを代数的および指数形式で提示し、根を図に描きます。 
解決: 条件自体は、システムが一意の解を持っていることを示唆しています。つまり、次を満たす 2 つの数値を見つける必要があります。 それぞれにシステムの方程式。
このシステムは本当に「子供っぽい」方法で解決できます (ある変数を別の変数で表現する)
ただし、使用する方がはるかに便利です クラマーの公式。 計算してみましょう 主な決定要因システム:
これは、システムに独自のソリューションがあることを意味します。
繰り返しますが、時間をかけてできるだけ詳細に手順を書き留める方がよいでしょう。
分子と分母に虚数単位を掛けて、1 根を求めます。
同じく： 
対応する右辺が取得されます。
絵を描いてみましょう: 
根を指数形式で表しましょう。 これを行うには、モジュールと引数を見つける必要があります。
1) – 「two」の逆正接は「適切に」計算されないため、次のようにします。 
方程式の使用は私たちの生活の中で広く使われています。 それらは多くの計算、構造物の建設、さらにはスポーツにも使用されます。 人類は古代に方程式を使用しましたが、それ以来、その使用は増加するばかりです。 わかりやすくするために、次の問題を解いてみましょう。
\ の場合 \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] を計算します。
まず第一に、一方の数値は代数形式で表現され、もう一方の数値は三角関数形式で表現されるという事実に注目しましょう。 簡略化して次の形式にする必要があります
\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6).\]
式 \ は、まずモブレの公式を使用して乗算と 10 乗を行うことを示しています。 この公式は、複素数の三角関数形式に対して定式化されます。 我々が得る：
\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]
\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]
三角関数形式で複素数を乗算するルールに従って、次のことを行います。
私たちの場合には：
\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]
分数 \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] を正しくすると、\[(8\pi rad.) を 4 回転「ねじる」ことができるという結論に達します。 \]
\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3) ))\]
答え: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]
この方程式は別の方法でも解くことができます。つまり、2 番目の数値を代数形式に変換し、次に代数形式で乗算を実行し、結果を三角関数形式に変換して、モアブルの公式を適用します。
複素数を含む連立方程式をオンラインでどこで解くことができますか?
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複素数の問題を解決するには、基本的な定義を理解する必要があります。 このレビュー記事の主な目的は、複素数とは何かを説明し、複素数に関する基本的な問題を解決する方法を提示することです。 したがって、複素数は次の形式の数値と呼ばれます。 z = a + bi、 どこ a、b- 実数。それぞれ複素数の実数部と虚数部と呼ばれ、次のことを示します。 a = Re(z)、b=Im(z).
私虚数単位といいます。 i 2 = -1。 特に、実数はすべて複素数と見なすことができます。 a = a + 0iここで、a は実数です。 もし a = 0そして b≠0、その場合、その数は通常、純粋な虚数と呼ばれます。
次に、複素数の演算を紹介しましょう。
2 つの複素数を考えます z 1 = a 1 + b 1 iそして z 2 = a 2 + b 2 i.
考えてみましょう z = a + bi.
複素数の集合は実数の集合を拡張し、実数の集合は実数の集合を拡張します。 有理数等 この一連の投資は次の図で見ることができます: N – 整数、Z - 整数、Q - 有理数、R - 実数、C - 複素数。 
複素数の表現
代数表記。
複素数を考えてみましょう z = a + bi、この複素数の書き方はと呼ばれます。 代数的な。 この形式の録音については、前のセクションで詳しく説明しました。 次の視覚的な図は非常に頻繁に使用されます 
三角関数の形式。
図からわかるように、この数字は z = a + bi別の方法で書くこともできます。 それは明らかです a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|したがって、 z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π)
を複素数の引数といいます。 この複素数の表現はと呼ばれます 三角関数形式。 三角関数形式の表記は非常に便利な場合があります。 たとえば、複素数の整数乗に使用すると便利です。 z = rcos(φ) + rsin(φ)i、 それ z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i、この式はと呼ばれます モアブルの公式.
実証的な形式。
考えてみましょう z = rcos(φ) + rsin(φ)i- 三角関数形式の複素数、別の形式で記述します z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ、最後の等式はオイラーの公式から導かれるので、次のようになります。 新しいユニフォーム複素数表記: z = re iφと呼ばれる 示唆的な。 この形式の表記法は、複素数のべき乗にも非常に便利です。 z n = r n e inφ、 ここ n必ずしも整数である必要はなく、任意の実数にすることができます。 この表記形式は、問題を解決するためによく使用されます。
高等代数の基本定理
二次方程式 x 2 + x + 1 = 0 があると想像してみましょう。 明らかに、この方程式の判別式は負であり、実根はありませんが、この方程式には 2 つの異なる複素根があることがわかります。 したがって、高等代数の基本定理は、n 次の多項式には少なくとも 1 つの複素根があると述べています。 このことから、多重度を考慮すると、n 次の多項式には正確に n 個の複素根があることがわかります。 この定理は数学において非常に重要な結果であり、広く使用されています。 この定理の単純な帰結は、単一度 n の異なる根がちょうど n 個存在するということです。
主なタスクの種類
このセクションでは主なタイプについて説明します 単純な作業複素数に。 従来、複素数に関する問題は次のカテゴリに分類できます。
- 複素数に対して単純な算術演算を実行します。
- 複素数の多項式の根を求めます。
- 複素数の累乗。
- 複素数から根を抽出します。
- 複素数を使用して他の問題を解決します。
ここで、これらの問題を解決するための一般的な方法を見てみましょう。
複素数を使用した最も単純な算術演算は、最初のセクションで説明したルールに従って実行されますが、複素数が三角関数形式または指数関数形式で表されている場合は、それらを代数形式に変換し、既知のルールに従って演算を実行できます。
多項式の根を求めることは、通常、二次方程式の根を求めることになります。 二次方程式があるとします。その判別式が負でない場合、その根は実数となり、よく知られた公式に従って求めることができます。 判別式が負の場合、つまり、 D = -1・a 2、 どこ あるが特定の数値である場合、判別式は次のように表すことができます。 D = (ia) 2したがって、 √D = i|a|, その後、二次方程式の根に既知の公式を使用できます。
例。 上で述べたことに戻りましょう。 二次方程式 x 2 + x + 1 = 0 。
判別式 - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
これで、ルートを簡単に見つけることができます。 
複素数の累乗は、いくつかの方法で実行できます。 代数形式の複素数を小さい累乗 (2 または 3) にする必要がある場合は、直接乗算によってこれを行うことができますが、累乗が大きい場合 (問題ではそれがはるかに大きくなることがよくあります)、次のようにする必要があります。この数値を三角関数または指数形式で書き、既知の方法を使用します。
例。 z = 1 + i を考えて、それを 10 乗します。
z を指数形式で書きましょう: z = √2 e iπ/4。
それから z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
代数形式に戻りましょう: z 10 = -32i。
複素数からの根の抽出は、べき乗の逆演算であるため、同様の方法で実行されます。 根を抽出するには、指数形式で数値を記述することがよく使用されます。
例。 統一度 3 のすべての根を見つけてみましょう。 これを行うには、方程式 z 3 = 1 のすべての根を見つけ、指数形式で根を探します。
方程式に r 3 e 3iφ = 1 または r 3 e 3iφ = e 0 を代入してみましょう。
したがって、r = 1、3φ = 0 + 2πk、したがって φ = 2πk/3 となります。
φ = 0、2π/3、4π/3 では異なる根が得られます。
したがって、1、e i2π/3、e i4π/3 は根です。
または代数形式では次のようになります。 
最後のタイプの問題には、非常に多様な問題が含まれており、それらを解決するための一般的な方法はありません。 このようなタスクの簡単な例を次に示します。
金額を調べる sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).
この問題の定式化はそうではありませんが、 私たちが話しているのは複素数についてですが、彼らの助けを借りて簡単に解くことができます。 これを解決するには、次の表現が使用されます。 
この表現を和に代入すると、問題は通常の等比数列の和に帰着します。
結論
複素数は数学で広く使用されています。このレビュー記事では、複素数の基本演算を検討し、いくつかのタイプについて説明しました。 標準タスクそして簡単に説明すると 一般的な方法複素数の機能をより詳細に研究するには、専門文献を使用することをお勧めします。
