三角形は誰もが知っている図形です。 そしてそれは、その形が多種多様であるにもかかわらずです。 長方形、正等辺、鋭形、二等辺、鈍形。 それぞれが何らかの点で異なります。 しかし、誰にとっても三角形の面積を知る必要があります。

辺の長さまたは高さを使用するすべての三角形に共通の公式

それらで採用された指定：側面 - a、b、c。 a、n in、n with の対応する辺の高さ。

1. 三角形の面積は、1/2、辺、高さを引いた積として計算されます。 S = 1/2 * a * na。 他の 2 つの辺の式も同様に記述する必要があります。

2. ヘロンの公式。半周長が表示されます (全周長とは対照的に、通常は小文字 p で表されます)。 半周長は次のように計算する必要があります。すべての辺を合計して 2 で割ります。半周長の公式は次のとおりです: p = (a+b+c) / 2。次に、 の面積が等しくなります。図は次のようになります: S = √ (p * (p - a) * (р - в) * (р - с))。

3. 半周を使用したくない場合は、辺の長さのみを含む公式が便利です。 S = 1/4 * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c))。 前のものより少し長くなりますが、半周の見つけ方を忘れた場合に役立ちます。

三角形の角度に関する一般式

式を読むために必要な表記: α、β、γ - 角度。 それらはそれぞれ a、b、c の反対側にあります。

1.それによると、2つの辺とそれらの間の角度の正弦の積の半分は三角形の面積に等しい。 つまり、S = 1/2 a * b * sin γ。 他の 2 つの場合の式も同様に記述する必要があります。

2. 三角形の面積は、1 つの辺と 3 つの既知の角度から計算できます。 S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α)。

3. 1 つの既知の辺と 2 つの隣接する角度を含む公式もあります。 S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)) のようになります。

最後の 2 つの式は最も単純なものではありません。 それらを覚えるのはかなり難しいです。

内接円または外接円の半径がわかっている場合の一般式

追加の指定: r、R - 半径。 1 つ目は内接円の半径に使用されます。 2 番目のものは、説明されているもの用です。

1. 三角形の面積を計算する最初の式は、半周長に関連しています。 S = r * r。 別の書き方は、S = 1/2 r * (a + b + c) です。

2. 2 番目のケースでは、三角形のすべての辺を掛けて、外接円の半径の 4 倍で割る必要があります。 リテラル表現では、S = (a * b * c) / (4R) のようになります。

3. 3 番目の状況では、側面を知らなくても行うことができますが、3 つの角度すべての値が必要になります。 S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ。

特殊な場合: 直角三角形

これは両脚の長さだけが必要なため、最も単純な状況です。 それらはラテン文字の a と b で指定されます。 直角三角形の面積は、それに長方形の面積を加えた半分に等しくなります。

数学的には、S = 1/2 a * b のようになります。 それが一番覚えやすいです。 長方形の面積の公式に似ているため、半分を示す分数のみが表示されます。

特殊な場合: 二等辺三角形

2 つの等しい辺があるため、その面積の公式の一部は多少簡略化されているように見えます。 たとえば、二等辺三角形の面積を計算するヘロンの公式は次の形式になります。

S = 1/2 インチ √((a + 1/2 インチ)*(a - 1/2 インチ))。

変形させると短くなります。 この場合、ヘロンの二等辺三角形の公式は次のように記述されます。

S = √(4 * a 2 - b 2) の 1/4。

辺と辺の間の角度がわかっている場合、面積の式は任意の三角形の場合よりもいくらか単純に見えます。 S = 1/2 a 2 * sin β。

特殊な場合: 正三角形

通常、問題ではその側面が知られているか、何らかの方法で知ることができます。 このような三角形の面積を求める公式は次のようになります。

S = (a 2 √3) / 4。

市松模様の紙に三角形が描かれている場合の面積を求める問題

最も単純な状況は、直角三角形の足が紙の線と一致するように描かれる場合です。 次に、脚に適合する細胞の数を数えるだけです。 次に、それらを乗算して 2 で割ります。

三角形が鋭角または鈍角の場合は、長方形に描画する必要があります。 すると、結果として得られる図には 3 つの三角形が含まれます。 1つは問題で与えられたものです。 そして他の 2 つは補助的な長方形です。 最後の 2 つの領域は、上記の方法を使用して決定する必要があります。 次に、長方形の面積を計算し、そこから補助用に計算された面積を差し引きます。 三角形の面積が決まります。

三角形のどの辺も紙の線と一致しない状況は、さらに複雑であることがわかります。 次に、元の図形の頂点が側面にくるように長方形に内接する必要があります。 この場合、補助直角三角形は 3 つになります。

ヘロンの公式を使用した問題の例

状態。 いくつかの三角形には既知の辺があります。 それらは 3、5、6 cm に相当します。その面積を調べる必要があります。

これで、上記の式を使用して三角形の面積を計算できます。 平方根の下は、7、4、2、1 の 4 つの数値の積です。つまり、面積は √(4 * 14) = 2 √(14) です。

より高い精度が必要ない場合は、14 の平方根を取ることができます。これは 3.74 に等しくなります。 すると面積は7.48となります。

答え。 S = 2 √14 cm 2 または 7.48 cm 2。

直角三角形の問題例

状態。 直角三角形の1つの脚は2番目の脚よりも31 cm大きいです。三角形の面積が180 cm 2である場合、その長さを調べる必要があります。
解決。 2 つの方程式系を解く必要があります。 1つ目はエリアに関するものです。 2 つ目は、問題に示されている脚の比率です。
180 = 1/2 a * b;

a = b + 31。
まず、「a」の値を最初の式に代入する必要があります。 つまり、180 = 1/2 (インチ + 31) * インチとなります。 未知数は 1 つだけなので、解くのは簡単です。 括弧を開いた後、次の結果が得られます 二次方程式: in 2 + 31 in - 360 = 0。「in」には 9 と - 40 の 2 つの値が与えられます。三角形の辺の長さを負にすることはできないため、2 番目の数値は答えとしては適切ではありません。価値。

2 番目の脚を計算する必要があります。結果の数値に 31 を加算すると、40 になります。これらは、問題で求められる量です。

答え。 三角形の足の長さは9cmと40cmです。

三角形の面積、辺、角度から辺を求める問題

状態。 ある三角形の面積は60cm2です。 2 番目の辺が 15 cm で、それらの間の角度が 30 度である場合、その辺の 1 つを計算する必要があります。

解決。 一般に受け入れられている表記法に基づくと、必要な辺は「a」、既知の辺は「b」、指定された角度は「γ」です。 次に、面積の式は次のように書き換えることができます。

60 = 1/2 a * 15 * sin 30°。 ここで、30 度の正弦は 0.5 です。

変換後、「a」は 60 / (0.5 * 0.5 * 15) に等しいことがわかります。 つまり16です。

答え。 必要な辺は16cmです。

直角三角形に内接する正方形の問題

状態。 一辺24cmの正方形の頂点は三角形の直角と一致します。 残りの2つは横に寝ています。 3 番目は斜辺に属します。 片方の足の長さは42cmです 直角三角形の面積は何センチですか?

解決。 2 つの直角三角形を考えてみましょう。 最初のものはタスクで指定されたものです。 2 番目のものは、元の三角形の既知の脚に基づいています。 これらは共通の角度を持ち、平行線で形成されているため、似ています。

すると、足の比率は同じになります。 小さい方の三角形の脚は、24 cm (正方形の辺) と 18 cm に等しくなります (与えられた脚 42 cm から正方形の辺 24 cm を差し引いたもの)。 大きな三角形の対応する脚は42 cmとx cmです。三角形の面積を計算するために必要なのはこの「x」です。

18/42 = 24/x、つまり、x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm) となります。

この場合、面積は 56 と 42 を 2 で割った積、つまり 1176 cm 2 に等しくなります。

答え。 必要な面積は 1176 cm 2 です。

説明書

パーティー角度は基本要素とみなされます あ。 三角形は、次の基本要素のいずれかによって完全に定義されます: 3 つの辺、または 1 つの辺と 2 つの角、または 2 つの辺とそれらの間の角。 存在のために 三角形 3つの辺a、b、cによって与えられる、不等式と呼ばれる不等式を満たすのに必要十分です 三角形:
a+b > c、
a+c > b、
b+c > a。

建築用 三角形 3 つの辺 a、b、c 上で、線分 CB = a の点 C から、コンパスで半径 b の円を描く必要があります。 次に、同様に点Bから辺cを半径とする円を描きます。 それらの交点 A は、目的の頂点の 3 番目の頂点です。 三角形 ABC、AB=c、CB=a、CA=b - 側面 三角形。 この問題は、辺 a、b、c が不等式を満たす場合に、 三角形手順 1 で指定します。

こうして構築されたエリアS 三角形既知の面 a、b、c を持つ ABC は、ヘロンの公式を使用して計算されます。
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c))、
ここで、a、b、c は辺です 三角形, p – 半周長。
p = (a+b+c)/2

三角形が正三角形、つまりすべての辺が等しい (a=b=c) 場合。面積 三角形次の式で計算されます。
S=(a^2v3)/4

三角形が直角、つまり角の 1 つが 90° で、三角形を形成する辺が脚の場合、3 番目の辺は斜辺になります。 この場合 四角脚の積を 2 で割ったものに等しい。
S=ab/2

見つけるには 四角 三角形、多くの数式のうちの 1 つを使用できます。 すでにわかっているデータに応じて式を選択してください。

必要になるだろう

• 三角形の面積を求める公式の知識

説明書

いずれかの辺のサイズと、その反対側の角度からこちら側に下がった高さの値がわかっている場合は、次の式を使用して面積を見つけることができます: S = a*h/2 (S は面積)三角形の a は三角形の辺の 1 つ、h - 辺 a までの高さです。

三角形の 3 つの辺がわかっている場合、三角形の面積を決定する既知の方法があります。 ヘロンの公式です。 記録を簡素化するために、中間値である半周長: p = (a+b+c)/2 (a、b、c - ) が導入されます。 ヘロンの公式は次のようになります。 S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^1/2、^ べき乗。

三角形の辺の 1 つと 3 つの角を知っていると仮定しましょう。 次に、三角形の面積を見つけるのは簡単です: S = a²sinα sinγ / (2sinβ)。ここで、β は辺 a の反対側の角度、α と γ は辺に隣接する角度です。

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注記

すべての場合に適した最も一般的な公式はヘロンの公式です。

出典:

ヒント 3: 3 辺に基づいて三角形の面積を求める方法

三角形の面積を求めることは、学校の面積測定で最も一般的な問題の 1 つです。 三角形の 3 つの辺がわかれば、三角形の面積を求めるのに十分です。 正三角形の特殊な場合には、それぞれ 2 辺と 1 辺の長さがわかれば十分です。

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• 三角形の辺の長さ、ヘロンの公式、コサイン定理

説明書

三角形の面積を求めるヘロンの公式は次のとおりです: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))。 半周長 p を書くと、次のようになります: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4。

コサイン定理を適用するなどの考慮事項から、三角形の面積の公式を導き出すことができます。

コサイン定理により、AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC)となります。 導入した表記法を使用すると、b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC) の形式で記述することもできます。 したがって、cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

三角形の面積は、2 つの辺とそれらの間の角度を使用して、公式 S = a*c*sin(ABC)/2 によっても求められます。 角度 ABC の正弦は、基本的な次の式を使用して表現できます。 三角恒等式: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) 面積の式にサインを代入して書き出すと、面積の公式が得られます。 三角形ABC.

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のために 修理作業測定する必要があるかもしれません 四角壁 計算が簡単になります 必要量ペンキとか壁紙とか。 採寸の際は巻尺や巻尺を使用するのがベストです。 測定はその後に行う必要があります 壁平準化されました。

必要になるだろう

• -ルーレット;
• -はしご。

説明書

カウントする 四角壁の場合は、天井の正確な高さを知る必要があり、床に沿った長さも測定する必要があります。 これは次のように行われます。1センチメートルを取り、ベースボードの上に置きます。 通常、全体の長さは 1 センチメートルでは不十分なので、隅に固定してから緩めます。 最大長さ。 この時点で鉛筆で印を付け、得られた結果を書き留め、最後の測定点から始めて同様に測定を実行します。

標準天井典型的なものでは、家によって異なりますが、2メートル80センチメートル、3メートル、3メートル20センチメートルです。 家が 50 年代より前に建てられた場合、実際の高さは表示されている高さよりわずかに低い可能性があります。 計算している場合 四角修理作業の場合は、少量の供給でも問題ありません - 基準に基づいて検討してください。 実際の高さを知りたい場合は、測定してください。 原理は長さを測るのと似ていますが、脚立が必要になります。

結果のインジケーターを乗算します - これは 四角あなたのもの 壁。 確かに、ペイントするとき、またはペイントのために減算する必要があります。 四角ドアと窓の開口部。 これを行うには、開口部に沿って1センチメートル置きます。 もし 私たちが話しているのは今後交換するドアについては、取り外したドアで実施してください。 ドアフレーム、だけを考えると 四角開口部自体に直接アクセスします。 ウィンドウの面積は、フレームの周囲に沿って計算されます。 後 四角窓と出入り口を計算し、結果として得られる部屋の総面積から結果を差し引きます。

部屋の長さと幅の測定は2人で行うため、センチメートルまたは巻尺を固定することが容易になり、より正確な結果が得られることに注意してください。 同じ測定を数回行って、得られる数値が正確であることを確認します。

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三角形の体積を求めることは真です 重要なタスク。 実際のところ、三角形は 2 次元の図形です。 それは完全に 1 つの平面内にあります。つまり、単に体積がありません。 もちろん、存在しないものを見つけることはできません。 でも諦めないでください！ 次の仮定を受け入れることができます。2 次元図形の体積はその面積です。 三角形の面積を求めます。

必要になるだろう

• 紙、鉛筆、定規、電卓

説明書

定規と鉛筆を使って紙に絵を描きます。 三角形を注意深く調べると、三角形は平面上に描かれているため、本当に三角形ではないことを確認できます。 三角形の辺にラベルを付けます。一方の辺を辺「a」、もう一方の辺を「b」、3 番目の辺を「c」とします。 三角形の頂点に「A」、「B」、「C」の文字を付けます。

三角形のいずれかの辺を定規で測定し、結果を書き留めます。 この後、測定した辺の反対側の頂点から垂線を復元します。この垂線が三角形の高さになります。 図の場合は、頂点Aから辺cに垂線hを戻します。 得られた高さを定規で測定し、測定結果を書き留めます。

正確な垂直を復元するのは難しい場合があります。 この場合、別の式を使用する必要があります。 定規を使って三角形のすべての辺を測定します。 その後、結果として得られる辺の長さを加算し、その合計を半分で割ることによって、三角形「p」の半周長を計算します。 半周長の値が自由に使えるので、Heron の公式を使用できます。 これを行うには、抽出する必要があります 平方根以下から: p(p-a)(p-b)(p-c)。

三角形の必要な面積が得られました。 三角形の体積を求める問題は解決されていませんが、前述したように、体積は解決されていません。 3 次元の世界では、本質的に三角形であるボリュームを見つけることができます。 元の三角形が 3 次元のピラミッドになったと想像すると、そのようなピラミッドの体積は、その底辺の長さと取得した三角形の面積の積になります。

注記

測定を注意深く行うほど、計算はより正確になります。

出典:

• 電卓「なんでもかんでも」 - 基準値のポータル
• 2019年の三角の巻

デカルト座標系で三角形を一意に定義する 3 つの点は、その頂点です。 各座標軸に対する相対的な位置がわかれば、この座標軸のパラメータを計算できます。 平らな図、その周囲を含み、その周囲によって制限される 四角。 これはいくつかの方法で実行できます。

説明書

ヘロンの公式を使用して面積を計算する 三角形。 これには図の 3 辺の寸法が関係するため、 から計算を開始します。 各辺の長さは、座標軸への投影の長さの二乗和の根に等しくなければなりません。 座標 A(X₁,Y₁,Z₁)、B(X₂,Y₂,Z₂)、C(X₃,Y₃,Z₃) を表すと、それらの辺の長さは次のように表すことができます。 AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²)、BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²)、AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²)。

計算を簡素化するために、補助変数である半周長 (P) を導入します。 これはすべての辺の長さの合計の半分であるという事実から、 P = 1/2*(AB+BC+AC) = 1/2*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²）。

三角形は、3 つの辺と 3 つの頂点で構成される最も単純な幾何学図形です。 そのシンプルさから、三角形は古くからさまざまな測定に使用されており、今日ではこの図形は実用的および日常的な問題の解決に役立ちます。

三角形の特徴

この図形は古くから計算に使用されており、たとえば、土地測量士や天文学者は三角形の性質を利用して面積や距離を計算します。 この図形の面積を通じて任意の n 角形の面積を表現するのは簡単で、古代の科学者はこの特性を利用して多角形の面積の公式を導き出しました。 三角形、特に直角三角形の絶え間ない作業は、数学の分野全体である三角法の基礎となりました。

三角形の幾何学

幾何学図形の特性は古代から研究されてきました。三角形に関する最も古い情報は、4,000 年前のエジプトのパピルスで発見されました。 その後、この図はで研究されました 古代ギリシャそして三角形の幾何学への最大の貢献はユークリッド、ピタゴラス、ヘロンによってなされました。 三角形の研究は止まることはなく、18 世紀にレオンハルト オイラーが図形の垂心とオイラー円の概念を導入しました。 19 世紀と 20 世紀の変わり目、三角形について完全にすべてがわかったかのように思われたとき、フランク モーリーは角の三等分線に関する定理を定式化し、ワツラフ シェルピンスキーはフラクタル三角形を提案しました。

学校の幾何学のコースでおなじみの平面三角形にはいくつかのタイプがあります。

• acute - 図形のすべての角が鋭角です。
• 鈍角 - 図形には 1 つの鈍角 (90 度を超える) があります。
• 長方形 - 図には 90 度に等しい 1 つの直角が含まれています。
• 二等辺三角形 - 2 つの等しい辺を持つ三角形。
• 正三角形 - すべての辺が等しい三角形。
• で 実生活あらゆる種類の三角形があり、場合によっては幾何学的図形の面積を計算する必要があるかもしれません。

三角形の面積

面積は、図形が平面のどれだけを占めるかの推定値です。 三角形の面積は、内接円または外接円の辺、高さ、角度、半径を使用するほか、ヘロンの公式を使用するか、平面の境界線に沿った二重積分を計算するなど、6 つの方法で求めることができます。 三角形の面積を計算する最も簡単な式は次のとおりです。

ここで、a は三角形の辺、h はその高さです。

ただし、実際には、幾何学的図形の高さを見つけることが常に便利であるとは限りません。 私たちの計算機のアルゴリズムを使用すると、次のことを認識して面積を計算できます。

• 三面。
• 2 つの辺とそれらの間の角度。
• 片側と2つの角。

3 辺の面積を決定するには、ヘロンの公式を使用します。

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c))、

ここで、p は三角形の半周長です。

2 辺の面積と角度は、次の古典的な公式を使用して計算されます。

S = a × b × sin(alfa)、

ここで、α は辺 a と辺 b の間の角度です。

1 辺と 2 つの角度の観点から面積を決定するには、次の関係を使用します。

a / sin(アルファ) = b / sin(ベータ) = c / sin(ガンマ)

単純な比率を使用して 2 番目の辺の長さを決定し、その後、式 S = a × b × sin(alfa) を使用して面積を計算します。 このアルゴリズムは完全に自動化されており、指定された変数を入力して結果を取得するだけで済みます。 いくつかの例を見てみましょう。

人生の例

舗装スラブ

床を三角形のタイルで舗装し、その数量を決定するとします。 必要な材料、1つのタイルの面積と床の面積を調べる必要があります。 寸法が a = 20 cm、b = 21 cm、c = 29 cm のタイルを使用して 6 平方メートルの表面を処理する必要があるとします。明らかに、計算機はヘロンの公式を使用して三角形の面積を計算します。結果：

したがって、1 つのタイル要素の面積は 0.021 になります。 平方メートル、床の改善には 6/0.021 = 285 個の三角形が必要になります。 数値 20、21、および 29 は、 を満たすピタゴラスの 3 倍数を形成します。 そうです、私たちの計算機は三角形のすべての角度も計算しました。ガンマ角は正確に 90 度です。

学校の課題

学校の問題では、辺 a = 5 cm、角度アルファとベータがそれぞれ 30 度と 50 度であることを前提として、三角形の面積を見つける必要があります。 この問題を手動で解決するには、まずアスペクト比の比率と反対角のサインを使用して辺 b の値を見つけ、次に簡単な公式 S = a × b × sin(alfa) を使用して面積を決定します。 時間を節約しましょう。計算フォームにデータを入力すると、すぐに答えが得られます。

電卓を使用するときは、角度と辺を正しく指定することが重要です。そうでないと、結果が不正確になります。

結論

三角形は、現実世界と抽象的な計算の両方で見られるユニークな図形です。 オンライン計算機を使用して、あらゆる種類の三角形の面積を求めます。

人生には、長い間忘れていた学校の知識を求めて記憶を掘り下げなければならない状況が時々あります。 たとえば、三角形の土地の面積を決定する必要がある場合、またはアパートや民家で別の改修の時期が来た場合、表面に必要な材料の量を計算する必要があります。三角形の形。 このような問題を数分で解決できた時代がありましたが、今は三角形の面積を求める方法を必死に覚えようとしていますか?

ご心配なく！ 結局のところ、人間の脳が長い間使われていなかった知識をどこか遠くの隅に移そうとするのはごく普通のことであり、そこからそれを抽出するのはそれほど簡単ではない場合があります。 このような問題を解決するために、忘れてしまった学校の知識を探すのに苦労する必要がないように、この記事には次の内容が含まれています さまざまな方法, これにより、三角形の必要な領域を簡単に見つけることができます。

三角形は、可能な限り最小限の辺数に制限された多角形の一種であることはよく知られています。 原則として、多角形は、その辺と交差しないセグメントで頂点を接続することによって、いくつかの三角形に分割できます。 したがって、三角形がわかれば、ほぼすべての図形の面積を計算できます。

人生で発生する可能性のあるすべての三角形の中で、次の特定のタイプを区別できます。 および 長方形。

三角形の面積を計算する最も簡単な方法は、その角の 1 つが直角である場合、つまり直角三角形の場合です。 半分の長方形であることが簡単にわかります。 したがって、その面積は、互いに直角を形成する辺の積の半分に等しくなります。

三角形の頂点の 1 つから反対側の辺まで下げた高さと、底辺と呼ばれるこの辺の長さがわかっている場合、面積は高さと底辺の積の半分として計算されます。 これは次の式を使用して記述されます。

S = 1/2*b*h、ここで

S は三角形の必要な面積です。

b、h - それぞれ、三角形の高さと底辺。

二等辺三角形の面積を計算するのは非常に簡単です。なぜなら、高さは反対側を二等分し、簡単に測定できるからです。 面積が決まっている場合は、直角をなす一辺の長さを高さとすると便利です。

もちろんこれはすべて良いことですが、三角形の角度の 1 つが正しいかどうかをどのように判断するのでしょうか? フィギュアのサイズが小さい場合は、作図角、描画三角形、ポストカード、またはその他のオブジェクトを使用できます。 長方形.

しかし、三角形がある場合はどうなるでしょうか 土地区画? この場合、次のように処理します。予想される値の先頭から数えます。 直角一方では距離は 3 の倍数 (30 cm、90 cm、3 m) であり、もう一方では距離は 4 の倍数である同じ比率で測定されます (40 cm、160 cm、4 m)。 。 次に、間の距離を測定する必要があります。 エンドポイントこの 2 つのセグメント。 結果が 5 の倍数 (50 cm、250 cm、5 m) であれば、角度は正しいと言えます。

図形の 3 つの辺のそれぞれの長さがわかっている場合は、ヘロンの公式を使用して三角形の面積を決定できます。 より単純な形式にするために、半周長と呼ばれる新しい値が使用されます。 これは、三角形のすべての辺の合計を半分に割ったものです。 半周長が計算されたら、次の式を使用して面積の決定を開始できます。

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))、ここで

sqrt - 平方根;

p - 半周囲値 (p = (a+b+c)/2);

a、b、c - 三角形のエッジ（辺）。

しかし、三角形が 不規則な形状? ここで考えられる方法は 2 つあります。 それらの最初の方法は、そのような図形を 2 つの直角三角形に分割し、その面積の合計を個別に計算して加算することです。 または、2 つの辺の間の角度とこれらの辺のサイズがわかっている場合は、次の公式を適用します。

S = 0.5 * ab * sinC、ここで

a,b - 三角形の辺。

c はこれらの辺の間の角度のサイズです。

後者のケースは実際にはまれですが、それでも人生ではすべてが可能であるため、上記の公式は不必要ではありません。 計算頑張ってください!

三角形の面積 - 公式と問題解決の例

以下は 任意の三角形の面積を求める公式これは、三角形のプロパティ、角度、サイズに関係なく、三角形の面積を見つけるのに適しています。 式は図の形式で表示され、その適用に関する説明やその正しさの根拠が示されています。 対応関係は別の図にも示されています 文字の指定数式と グラフィックシンボル図面上で。

注記 。 三角形がある場合 特殊な性質(二等辺、長方形、正三角形) の場合は、以下の式と、次のプロパティを持つ三角形にのみ有効な追加の特別な式を使用できます。

• 「正三角形の面積の公式」

三角形の面積の公式

計算式の説明:
a、b、c- 面積を求めたい三角形の辺の長さ
r- 三角形に内接する円の半径
R- 三角形に外接する円の半径
h- 三角形の高さを横に下げます
p- 三角形の半周長、その辺の合計の 1/2 (周長)
α - 三角形の辺 a の反対側の角度
β - 三角形の辺 b の反対側の角度
γ - 三角形の辺 c の反対側の角度
h ある, h b , h c- 三角形の高さを辺 a、b、c に下げる

与えられた表記は上の図に対応していることに注意してください。そのため、実際の幾何学の問題を解くときに、視覚的に置き換えるのが簡単になります。 適切な場所式は正しい値です。

• 三角形の面積は、 三角形の高さと、この高さを低くした辺の長さの積の半分（式1）。 この式の正しさは論理的に理解できます。 高さを底辺まで下げると、任意の三角形が 2 つの長方形に分割されます。 それぞれを寸法 b と h の長方形に構築すると、明らかに、これらの三角形の面積は長方形の面積のちょうど半分に等しくなります (Spr = bh)。
• 三角形の面積は、 2 つの辺の積の半分とそれらの間の角度の正弦(式 2) (以下のこの式を使用して問題を解く例を参照してください)。 以前とは違うように見えても、簡単に変身できます。 角度 B から辺 b まで高さを下げると、次の正弦の性質に従って、辺 a と角度 γ の正弦の積が次のようになります。 直角三角形描いた三角形の高さに等しくなります。これにより、前の式が得られます。
• 任意の三角形の面積を求めることができます を通して 仕事すべての辺の長さの合計によって内接する円の半径の半分(式3)、簡単に言うと、三角形の半周長に内接円の半径を掛ける必要があります(覚えやすいです)。
• 任意の三角形の面積は、そのすべての辺の積をその外接円の半径4倍で割ることで求められます（式4）
• 式 5 は、三角形の辺の長さと半周長 (すべての辺の合計の半分) から三角形の面積を求めます。
• ヘロンの公式(6) は、同じ式を半周の概念を使用せず、辺の長さだけで表現したものです。
• 任意の三角形の面積は、三角形の辺の二乗と、この辺に隣接する角の正弦を、この辺の反対側の角の2倍正弦で割った値に等しい(式7)
• 任意の三角形の面積は、各角度の正弦で囲まれた円の 2 つの正方形の積として求められます。 (式8)
• 1つの辺の長さと隣接する2つの角の値がわかっている場合、三角形の面積は、この辺の2乗をこれらの角の余接の2倍和で割ったものとして求められます(式9)
• 三角形の各高さの長さだけがわかっている場合 (式 10)、ヘロンの公式によると、そのような三角形の面積はこれらの高さの長さに反比例します。
• 式 11 を使用すると、次のように計算できます。 頂点の座標に基づく三角形の面積、各頂点の (x;y) 値として指定されます。 個々の頂点 (またはすべての頂点) の座標が負の値の領域にある可能性があるため、結果の値はモジュロで取得する必要があることに注意してください。

注記。 以下は、三角形の面積を求める幾何学問題を解く例です。 ここに類似していないジオメトリの問題を解決する必要がある場合は、フォーラムにそれについて書いてください。 ソリューションでは、「平方根」記号の代わりに sqrt() 関数を使用できます。ここで、sqrt は平方根記号であり、根号式は括弧内に示されています。.単純な部首表現には、この記号が使用できる場合があります。 √

タスク。 与えられた 2 つの辺の面積とそれらの間の角度を求めます

三角形の辺は5cmと6cmで、その間の角度は60度です。 三角形の面積を求めます.

解決.

この問題を解決するには、レッスンの理論部分の公式 2 を使用します。
三角形の面積は、2つの辺の長さとそれらの間の角度の正弦によって求められ、次のようになります。
S=1/2 ab sin γ

解決策に必要なデータはすべて (式に従って) あるため、問題の条件の値を式に代入することしかできません。
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

値の表では 三角関数正弦 60 度の値を見つけて式に代入してみましょう。 これは 3 の 2 の根に等しくなります。
S = 15 √3 / 2

答え: 7.5 √3 (教師の要件に応じて、おそらく 15 √3/2 のままにすることができます)

タスク。 正三角形の面積を求めます

一辺3cmの正三角形の面積を求めます。

解決 。

三角形の面積はヘロンの公式を使用して求めることができます。

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

a = b = c であるため、正三角形の面積の公式は次の形式になります。

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

答え: 9 √3 / 4.

タスク。 辺の長さを変えたときの面積の変化

三角形の辺が4倍になると面積は何倍になるでしょうか？

解決.

三角形の辺の寸法は未知であるため、問題を解決するには、辺の長さがそれぞれ任意の数 a、b、c に等しいと仮定します。 次に、問題の質問に答えるために、与えられた三角形の面積を求め、次に辺が 4 倍大きい三角形の面積を求めます。 これらの三角形の面積の比率から問題の答えが得られます。

以下に、問題の解決策を段階的にテキストで説明します。 ただし、最後には、これと同じソリューションがより便利なグラフィック形式で表示されます。 興味のある方は、すぐに解決策を確認してください。

解決するには、ヘロンの公式を使用します (レッスンの理論部分で上記を参照)。 次のようになります。

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(下の図の最初の行を参照)

任意の三角形の辺の長さは、変数 a、b、c によって指定されます。
辺が 4 倍に増加すると、新しい三角形 c の面積は次のようになります。

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(下の図の 2 行目を参照)

ご覧のとおり、4 は共通の因数であり、次のように 4 つの式すべてから括弧内を取り出すことができます。 一般的なルール数学。
それから

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - 画像の3行目に
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - 4行目

256という数字の平方根が完璧に抽出できたので、根の下から取り出してみましょう
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(下の図の 5 行目を参照)

問題での質問に答えるには、結果の三角形の面積を元の三角形の面積で割るだけです。
式を互いに割り、得られた分数を減らすことによって面積比を決定しましょう。