いくつかの種類を見てみましょう 対数方程式、学校の数学の授業ではあまり議論されませんが、統一州試験などの競争課題の準備では広く使用されています。
1. 対数法で解いた方程式
底と指数の両方に変数を含む方程式を解く場合、対数法が使用されます。 同時に、指数に対数が含まれている場合は、方程式の両辺をこの対数の底まで対数計算する必要があります。
例1.
方程式を解きます: x log 2 x+2 = 8。
解決。
方程式の左辺と右辺の対数を底 2 にしてみましょう。次のようになります。
log 2 (x log 2 x + 2) = log 2 8、
(log 2 x + 2) log 2 x = 3。
log 2 x = t とします。
すると (t + 2)t = 3 となります。
t 2 + 2t – 3 = 0。
D = 16。t 1 = 1; t 2 = -3。
したがって、log 2 x = 1 および x 1 = 2 または log 2 x = -3 および x 2 =1/8
答え: 1/8; 2.
2. 等次対数方程式。
例2。
方程式を解きます。 log 2 3 (x 2 – 3x + 4) – 3log 3 (x + 5) log 3 (x 2 – 3x + 4) – 2log 2 3 (x + 5) = 0
解決。
方程式の定義域
(x 2 – 3x + 4 > 0、
(x + 5 > 0. → x > -5.
x = -4 の場合、log 3 (x + 5) = 0。 確認することにより、次のことを判断します 与えられた値× そうではない 
元の方程式の根です。 したがって、方程式の両辺を log 2 3 (x + 5) で割ることができます。
log 2 3 (x 2 – 3x + 4) / log 2 3 (x + 5) – 3 log 3 (x 2 – 3x + 4) / log 3 (x + 5) + 2 = 0 となります。
log 3 (x 2 – 3x + 4) / log 3 (x + 5) = t とします。 すると、t 2 – 3 t + 2 = 0 となります。この方程式の根は 1 です。 2. 元の変数に戻ると、2 つの方程式のセットが得られます。
ただし、対数の存在を考慮すると、値 (0; 9] のみを考慮する必要があります。つまり、左辺の式は次のようになります。 最高値 x = 1 の場合は 2。次に、関数 y = 2 x-1 + 2 1-x を考えてみましょう。 t = 2 x -1 とすると、y = t + 1/t (t > 0) の形式になります。このような条件下では、一意の 臨界点 t = 1。これが最小点です。 Y vin = 2。そしてそれは x = 1 で達成されます。
ここで、検討中の関数のグラフが点 (1; 2) で 1 回だけ交差できることは明らかです。 x = 1 が、解かれている方程式の唯一の根であることがわかります。
答え: x = 1。
例 5. 方程式 log 2 2 x + (x – 1) log 2 x = 6 – 2x を解きます。
解決。
この方程式を log 2 x について解いてみましょう。 log 2 x = t とします。 すると、t 2 + (x – 1) t – 6 + 2x = 0となります。
D = (x – 1) 2 – 4(2x – 6) = (x – 5) 2. t 1 = -2; t 2 = 3 – x。
log 2 x = -2 または log 2 x = 3 – x という方程式が得られます。
最初の方程式の根は x 1 = 1/4 です。 
選択により方程式 log 2 x = 3 – x の根を見つけます。 これは数値 2 です。関数 y = log 2 x は定義領域全体で増加し、関数 y = 3 – x は減少しているため、このルートは一意です。
両方の数値が方程式の根であることを確認するのは簡単です
答え:1/4; 2.
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対数方程式の解法に関する長いレッスン シリーズの最後のビデオ。 今回は主に対数の ODZ を扱います。このような問題を解くときにほとんどのエラーが発生するのは、まさに定義領域の誤った考慮 (または無視) が原因です。
この短いビデオレッスンでは、対数の足し算と引き算の公式の使用法を見ていき、また、多くの生徒が問題を抱えている分数有理方程式についても扱います。
何を話しましょうか？ 私が理解したい主な式は次のようになります。
log a (f g ) = log a f + log a g
これは、積から対数の和へ、そしてその逆への標準的な遷移です。 おそらく、対数を勉強し始めた当初からこの公式を知っているでしょう。 ただし、問題が 1 つあります。
変数 a、f、g が普通の数であれば問題はありません。 この式はよく働く。
しかし、f と g の代わりに関数が登場すると、どの方向に変換するかによって定義領域が拡大または縮小されるという問題が発生します。 自分で判断してください。左に書かれた対数の定義域は次のとおりです。
fg > 0
しかし、右側に書かれた部分では、定義の領域がすでに多少異なります。
f > 0
g > 0
この一連の要件は、元の要件よりも厳格です。 最初のケースでは、オプション f で満足します。< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0が実行されます）。
したがって、左側の構造から右側の構造に移行すると、定義領域の狭まりが発生します。 最初に合計があり、それを積の形に書き直すと、定義の領域が拡張されます。
言い換えれば、前者の場合は根が失われる可能性があり、後者の場合は余分な根が得られる可能性があります。 実対数方程式を解くときは、これを考慮する必要があります。
したがって、最初のタスクは次のとおりです。
[写真のキャプション] 左側には、同じ底を使用した対数の合計が表示されます。 したがって、これらの対数は次のように加算できます。
[写真のキャプション] ご覧のとおり、右側では次の式を使用してゼロを置き換えています。
a = log b b a
方程式をもう少し整理してみましょう。
log 4 (x − 5) 2 = log 4 1
対数方程式の標準形式が目の前にあります。対数記号を取り消して、引数を等価にすることができます。
(x − 5) 2 = 1
|x − 5| = 1
注意してください: モジュールはどこから来たのでしょうか? 正確な平方根は係数に等しいことを思い出してください。
[写真のキャプション] 次に、係数を使用して古典方程式を解きます。
|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g
x − 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 − 1 = 4; × 2 = 5 + 1 = 6
答えの候補を 2 つ挙げます。 それらは元の対数方程式の解ですか? とんでもない！
すべてをそのままにして答えを書き留める権利は私たちにはありません。 対数の合計を引数の積の 1 つの対数に置き換えるステップを見てください。 問題は、元の式に関数があることです。 したがって、次のことを要求する必要があります。
x(x − 5) > 0; (x − 5)/x > 0。
積を変換して正確な平方を取得すると、要件が変わりました。
(x − 5) 2 > 0
この要件はいつ満たされるのでしょうか? はい、ほとんどいつもです！ x − 5 = 0 の場合を除きます。 不等式は 1 つのパンクポイントに縮小されます。
x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5
ご覧のとおり、定義の範囲が拡大しました。これがレッスンの最初に話した内容です。 その結果、余分な根が現れる可能性があります。
このような余分な根の出現を防ぐにはどうすればよいでしょうか? それは非常に簡単です。取得したルートを見て、元の方程式の定義領域と比較します。 数えてみましょう：
x (x − 5) > 0
間隔法を使用して解決します。
x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5
結果の数字を線上にマークします。 不等式が厳密であるため、すべての点が欠落しています。 5 より大きい任意の数値を取得し、次のように置き換えます。
[写真のキャプション] 区間 (−∞; 0) ∪ (5; ∞) に興味があります。 セグメント上で根をマークすると、x = 4 が適切ではないことがわかります。これは、この根が元の対数方程式の定義範囲外にあるためです。
全体性に戻り、根 x = 4 を取り消して、答えを書き留めます: x = 6。これが元の対数方程式の最終的な答えです。 以上です、問題は解決しました。
2 番目の対数方程式に移りましょう。
[写真のキャプション] 解決しましょう。 最初の項は分数であり、2 番目の項は同じ分数ですが反転されていることに注意してください。 lgx という表現を恐れないでください - それは簡単です 10進対数、 我々は書ける：
lgx = log 10 x
2 つの逆分数があるため、新しい変数を導入することを提案します。
[写真のキャプション] したがって、方程式は次のように書き換えることができます。
t + 1/t = 2;
t + 1/t − 2 = 0;
(t 2 − 2t + 1)/t = 0;
(t − 1) 2 /t = 0。
ご覧のとおり、分数の分子は正確な二乗です。 分数は分子がゼロになるとゼロに等しくなります。 ゼロに等しい、分母はゼロではありません。
(t − 1) 2 = 0; t≠0
最初の方程式を解いてみましょう。
t − 1 = 0;
t = 1。
この値は 2 番目の要件を満たします。 したがって、変数 t に関してのみ方程式を完全に解いたと言えます。 ここで、t が何であるかを思い出してみましょう。
[写真のキャプション]比率は次のようになります。
lgx = 2 lgx + 1
2 logx − logx = −1
logx = −1
この方程式を標準形式に変換します。
logx = log 10 −1
x = 10 −1 = 0.1
その結果、理論的には元の方程式の解となる 1 つの根が得られました。 ただし、安全策を講じて、元の方程式の定義領域を書き出してみましょう。
[写真のキャプション] したがって、私たちのルートはすべての要件を満たしています。 元の対数方程式の解を見つけました。 答え: x = 0.1。 問題は解決された。
今日のレッスンの重要なポイントは 1 つだけです。積から和に移動し、またその逆に移動する公式を使用するときは、移動の方向に応じて定義の範囲が狭くなったり拡大したりする可能性があることを必ず考慮してください。
何が起こっているのか、つまり縮小か拡大かをどうやって理解すればよいでしょうか? とてもシンプルです。 以前は機能が一緒だったが、現在は別々になっている場合、定義の範囲は狭くなります (要件が増えるため)。 最初は機能が別々に存在していたが、現在は一緒になっている場合、定義の領域は拡大します (個々の要素よりも製品に課される要件が少なくなります)。
考慮して このコメント 2 番目の対数方程式はこれらの変換をまったく必要としないことに注意してください。つまり、引数の加算や乗算はどこにも行っていません。 ただし、ここでは、ソリューションを大幅に簡素化できる別の素晴らしいテクニックに注目していただきたいと思います。 変数の置き換えについてです。
ただし、定義の範囲から解放される置換は存在しないことに注意してください。 だからこそ、すべての根が見つかった後、私たちは怠けずに元の方程式に戻ってその ODZ を見つけました。
多くの場合、変数を置き換えるときに、生徒が t の値を見つけて解決策が完了したと考えると、迷惑なエラーが発生します。 とんでもない！
t の値が見つかったら、元の方程式に戻って、この文字が正確に何を意味するのかを確認する必要があります。 その結果、もう 1 つ方程式を解く必要がありますが、元のものよりもはるかに単純になります。
これがまさに新しい変数を導入するポイントです。 元の方程式を 2 つの中間の方程式に分割し、それぞれがはるかに単純な解を持っています。
「入れ子になった」対数方程式を解く方法
今日も対数方程式の研究を続け、ある対数が別の対数の符号の下にある場合の構造を分析します。 正準形式を使用して両方の方程式を解きます。
今日も対数方程式の研究を続け、ある対数が別の対数の符号の下にある場合の構造を分析します。 正準形式を使用して両方の方程式を解きます。 log a f (x) = b という形式の最も単純な対数方程式がある場合、その方程式を解くには次の手順を実行することを思い出してください。 まず最初に、数値 b を置き換える必要があります。
b = ログ a a b
a b は引数であることに注意してください。 同様に、元の方程式では、引数は関数 f(x) です。 次に、方程式を書き直すと、次の構造が得られます。
log a f (x ) = log a a b
次に、3 番目のステップを実行できます。対数記号を取り除き、単純に次のように記述します。
f (x) = a b
その結果、新しい方程式が得られます。 この場合、関数f(x)には何の制約も課されない。 たとえば、その代わりに、 対数関数。 そして、再び対数方程式を取得します。これを再び最も単純な形に還元し、正準形で解きます。
とはいえ、歌詞だけでも十分。 本当の問題を解決しましょう。 したがって、タスク番号 1:
log 2 (1 + 3 log 2 x ) = 2
ご覧のとおり、単純な対数方程式があります。 f (x) の役割は 1 + 3 log 2 x という構成で、数 b の役割は数 2 です (a の役割も 2 つで果たします)。 この2つを次のように書き換えてみましょう。
最初の 2 つの 2 は対数の底から得られたものであることを理解することが重要です。つまり、元の方程式に 5 があった場合、2 = log 5 5 2 が得られます。 一般に、底は問題で最初に与えられた対数のみに依存します。 私たちの場合、これは番号 2 です。
そこで、右側の 2 つも実際には対数であるという事実を考慮して、対数方程式を書き直してみましょう。 我々が得る：
log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4
スキームの最後のステップである正規形式の削除に進みましょう。 単純に丸太の記号を消しているだけだと言えます。 ただし、数学的な観点からは、「対数を取り消す」ことは不可能です。単に引数を同等とみなすと言ったほうが正しいでしょう。
1 + 3 log 2 x = 4
ここから、3 log 2 x を簡単に見つけることができます。
3 log 2 x = 3
対数 2 x = 1
最も単純な対数方程式が再び得られました。これを正準形式に戻しましょう。 これを行うには、次の変更を加える必要があります。
1 = 対数 2 2 1 = 対数 2 2
なぜ根元に2つあるのでしょうか？ 左側の正準方程式には正確に底 2 までの対数があるためです。この事実を考慮して問題を書き直します。
log 2 x = log 2 2
ここでも対数記号を取り除きます。つまり、単に引数を等価にします。 ベースが同じであり、右側でも左側でもそれ以上の追加アクションは実行されないため、これを行う権利があります。
それだけです！ 問題は解決された。 対数方程式の解を見つけました。
注記！ 変数 x が引数に現れますが (つまり、定義領域に要件があります)、追加の要件は設けません。
上で述べたように、変数が 1 つの対数のみの 1 つの引数にのみ出現する場合、このチェックは冗長です。 この場合、x は実際には引数内にのみ、また 1 つの対数記号の下にのみ出現します。 したがって、追加のチェックは必要ありません。
ただし、信頼できない場合は、 この方法とすると、x = 2 が実際にルートであることを簡単に検証できます。 この数値を元の式に代入するだけで十分です。
2 番目の方程式に移りましょう。これはもう少し興味深いものです。
log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1
大きな対数内の式を関数 f (x) で表すと、今日のビデオ レッスンを開始した最も単純な対数方程式が得られます。 したがって、標準形式を適用できます。この形式では単位を log 2 2 1 = log 2 2 の形式で表す必要があります。
大きな方程式を書き直してみましょう。
log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2
引数を等価にして、対数の符号から離れましょう。 左でも右でもベースは同じなので、私たちにはこれを行う権利があります。 さらに、log 2 4 = 2 であることに注意してください。
log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2
log 1/2 (2x − 1) = 0
再び、log a f (x) = b という形式の最も単純な対数方程式が目の前にあります。 正規形式に移りましょう。つまり、log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1 の形式でゼロを表します。
方程式を書き換えて対数記号を取り除き、引数を等価にします。
log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1
2x − 1 = 1
繰り返しますが、すぐに回答を受け取りました。 元の式には引数として関数が含まれる対数が 1 つだけであるため、追加のチェックは必要ありません。
したがって、追加のチェックは必要ありません。 x = 1 がこの方程式の唯一の根であると言っても過言ではありません。
しかし、第 2 対数に 4 ではなく x の関数がある場合 (または 2x が引数ではなく底にある場合)、定義領域をチェックする必要があります。 そうしないと、余分な根に遭遇する可能性が高くなります。
この余分な根はどこから来たのでしょうか？ この点はしっかりと理解しておかなければなりません。 元の方程式を見てください。関数 x が対数記号の下にあるすべての箇所です。 したがって、log 2 x を書き留めたので、要件 x > 0 が自動的に設定されます。そうでない場合、このエントリは単に意味がありません。
ただし、対数方程式を解くと、すべての対数符号が取り除かれ、単純な構造が得られます。 一次関数は x の任意の値に対して定義されるため、ここでは制限は設定されません。
最終関数はどこでも常に定義されるが、元の関数はどこでも常に定義されないというこの問題が、対数方程式を解く際に余分な根が頻繁に発生する理由です。
しかし、もう一度繰り返しますが、これは関数が複数の対数にある、またはそれらの 1 つの底にある状況でのみ発生します。 本日検討している問題では、原則として定義領域を拡大することに問題はありません。
根拠が異なるケース
このレッスンではさらに詳しく説明します 複雑な構造。 現在の方程式の対数はすぐには解けなくなり、最初にいくつかの変換を行う必要があります。
互いに正確なべき乗ではない、まったく異なる底を持つ対数方程式を解き始めます。 このような問題を怖がらせる必要はありません。最も難しい問題と同じように解決するのが難しい問題ではありません。 シンプルなデザイン、上で説明しました。
しかし、問題に直接進む前に、正準形式を使用して最も単純な対数方程式を解く公式を思い出してください。 次のような問題を考えてみましょう。
log a f (x) = b
関数 f (x) は単なる関数であり、数値 a と b の役割は数値 (変数 x なし) であることが重要です。 もちろん、文字通り、変数 a と b の代わりに関数がある場合をすぐに見ていきますが、それは今の話ではありません。
覚えているように、数値 b は、左側にある同じ底 a の対数に置き換える必要があります。 これは非常に簡単に行われます。
b = ログ a a b
もちろん、「任意の数ｂ」および「任意の数ａ」という言葉は、定義の範囲を満たす値を意味する。 特に、この式では 私たちが話しているのは基数 a > 0 および a ≠ 1 のみ。
ただし、元の問題には a を底とする対数がすでに含まれているため、この要件は自動的に満たされます。これは確実に 0 より大きく、1 に等しくありません。したがって、対数方程式を解き続けます。
log a f (x ) = log a a b
このような表記法を標準形式と呼びます。 その便利さは、引数を等価にすることでログ記号をすぐに取り除くことができるという事実にあります。
f (x) = a b
この手法を、変数底を使用して対数方程式を解くために使用します。 じゃ、行こう！
log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0.5 0.125
次は何ですか？ 誰かが、正しい対数を計算する必要がある、またはそれらを同じ底に減らす必要がある、または他の何かを言う必要があると言うでしょう。 そして実際、今度は両方の塩基を同じ形式 (2 または 0.5) にする必要があります。 ただし、次のルールを最後に学びましょう。
対数方程式に次の値が含まれる場合、 小数、これらの分数を必ず次から変換してください。 10進数表記普通に。 この変換により、ソリューションが大幅に簡素化されます。
このような遷移は、アクションや変換を実行する前であっても、直ちに実行する必要があります。 見てみましょう:
log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1 /2 1/8
このような記録は私たちに何をもたらすのでしょうか？ 1/2 と 1/8 は、負の指数を持つ累乗として表すことができます。
[写真のキャプション] 私たちの前にあるのは正規形です。 引数を同等にして古典的なものを取得します 二次方程式:
× 2 + 4x + 11 = 8
× 2 + 4x + 3 = 0
私たちの前には次の二次方程式があり、これはビエタの公式を使用して簡単に解くことができます。 高校では、同様の表示が文字通り口頭で行われるはずです。
(x + 3)(x + 1) = 0
× 1 = −3
× 2 = −1
それだけです！ 元の対数方程式が解けました。 根が２本出てきました。
この場合、変数 x を持つ関数は 1 つの引数にのみ存在するため、定義域を決定する必要がないことを思い出してください。 したがって、スコープの定義は自動的に行われます。
したがって、最初の方程式は解けます。 2 番目に進みましょう。
log 0.5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9
log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1
ここで、最初の対数の引数は、負の指数をもつべき乗として書くこともできることに注意してください: 1/2 = 2 −1。 次に、方程式の両辺の累乗を取り出し、すべてを −1 で割ります。
[写真のキャプション] そして今、私たちは非常に大きなことを達成しました 重要なステップ対数方程式を解くとき。 おそらく誰かが何かに気づいていないので、説明しましょう。
方程式を見てください。左側と右側の両方に対数符号がありますが、左側には底 2 の対数があり、右側には底 3 の対数があります。3 は整数乗ではありません。 2 であり、逆に、2 を整数度で 3 と書くことはできません。
したがって、これらは底が異なる対数であり、単純にべき乗を加算するだけでは互いに約分できません。 唯一の方法このような問題の解決策は、これらの対数の 1 つを取り除くことです。 この場合、まだかなり単純な問題を検討しているため、右側の対数が単純に計算され、最も単純な方程式が得られました。これは、まさに今日のレッスンの最初に説明したものです。
右側にある数値 2 を log 2 2 2 = log 2 4 として表しましょう。そして、対数記号を取り除くと、単純に 2 次方程式が残ります。
log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4
5x 2 + 9x + 2 = 4
5x 2 + 9x − 2 = 0
私たちの前には通常の二次方程式がありますが、x 2 の係数が 1 と異なるため、これは約分されません。 したがって、判別式を使用してこれを解決します。
D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121
x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5
x 2 = (−9 − 11)/10 = −2
それだけです！ 両方の根が見つかりました。これは、元の対数方程式の解が得られたことを意味します。 実際、元の問題では、変数 x を持つ関数は 1 つの引数にのみ存在します。 したがって、定義領域に対する追加のチェックは必要ありません。私たちが見つけた両方のルートは、考えられるすべての制限を確実に満たしています。
今日のビデオレッスンはこれで終わりかもしれませんが、最後にもう一度言いたいのは、対数方程式を解くときは、すべての小数を必ず普通の分数に変換してください。 ほとんどの場合、これによりソリューションが大幅に簡素化されます。
ごくまれに、小数部を削除しても計算が複雑になるだけの問題に遭遇することがあります。 ただし、そのような方程式では、原則として、小数を取り除く必要がないことは最初から明らかです。
その他のほとんどの場合 (特に対数方程式を解く練習を始めたばかりの場合)、自由に小数点を削除して通常の小数点に変換してください。 なぜなら、実践すると、この方法でその後の解決策と計算が大幅に簡素化されることがわかるからです。
解決策の微妙な点とコツ
今日はさらに続きます 複雑なタスクそして、数値ではなく関数を基礎とする対数方程式を解きます。
そして、たとえこの関数が線形であっても、ソリューションスキームに小さな変更を加える必要があります。その意味は要約すると次のようになります。 追加の要件、対数の定義領域に重ね合わされます。
複雑なタスク
このチュートリアルはかなり長くなります。 その中で、多くの生徒が間違える、かなり深刻な 2 つの対数方程式を分析します。 数学の家庭教師として働いている間、私は常に 2 種類の間違いに遭遇しました。
- 対数の定義領域の拡張による余分な根の出現。 このような不快な間違いを避けるために、各変換を注意深く監視してください。
- 学生がいくつかの「微妙な」ケースを考慮するのを忘れたという事実によるルーツの喪失 - これらが今日私たちが焦点を当てる状況です。
これは対数方程式に関する最後のレッスンです。 長くなりますので、複雑な対数方程式を解析していきます。 気持ちを楽にして、お茶を淹れて、さあ始めましょう。
最初の方程式は非常に標準的なものに見えます。
log x + 1 (x − 0.5) = log x − 0.5 (x + 1)
両方の対数が互いの反転コピーであることにすぐに注目してください。 素晴らしい公式を思い出してみましょう。
log a b = 1/log b a
ただし、この式には、数値 a と b の代わりに変数 x の関数がある場合に生じるいくつかの制限があります。
b > 0
1 ≠ a > 0
これらの要件は対数の底に適用されます。 一方、分数では、変数 a が対数の引数に含まれる (したがって a > 0) だけでなく、対数自体が分数の分母に含まれるため、1 ≠ a > 0 である必要があります。 。 ただし、log b 1 = 0 であり、分母はゼロ以外でなければならないため、a ≠ 1 となります。
したがって、変数 a に対する制限は残ります。 しかし、変数 b はどうなるでしょうか? 一方では、底は b > 0 を意味し、他方では、対数の底は 1 とは異なる必要があるため、変数 b ≠ 1 を意味します。合計すると、式の右側から、1 ≠ ということがわかります。 b > 0。
しかし、ここに問題があります。左対数を扱う最初の不等式には、2 番目の要件 (b ≠ 1) が欠落しています。 言い換えれば、この変換を実行するときは、次のようにする必要があります。 別途確認してください、引数 b は 1 とは異なります。
それでは、確認してみましょう。 式を適用してみましょう。
[写真のキャプション] 1 ≠ x − 0.5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0
したがって、元の対数方程式から、a と b の両方が 0 より大きく、1 に等しくないことがわかります。これは、対数方程式を簡単に反転できることを意味します。
新しい変数を導入することをお勧めします。
log x + 1 (x − 0.5) = t
この場合、構築は次のように書き換えられます。
(t 2 − 1)/t = 0
分子には二乗の差があることに注意してください。 省略された乗算公式を使用して平方の差を明らかにします。
(t − 1)(t + 1)/t = 0
分数は、分子がゼロで分母がゼロ以外の場合、ゼロに等しくなります。 ただし、分子には積が含まれるため、各因数をゼロとみなします。
t 1 = 1;
t 2 = −1;
t≠0。
ご覧のとおり、変数 t の両方の値が適切です。 ただし、t ではなく x の値を見つける必要があるため、解決策はそこで終わりません。 対数に戻ると次のようになります。
log x + 1 (x − 0.5) = 1;
log x + 1 (x − 0.5) = −1。
これらの各方程式を正規形式に変換してみましょう。
log x + 1 (x − 0.5) = log x + 1 (x + 1) 1
log x + 1 (x − 0.5) = log x + 1 (x + 1) −1
最初のケースでは対数符号を取り除き、引数を同等にします。
x − 0.5 = x + 1;
x − x = 1 + 0.5;
このような方程式には根がないため、最初の対数方程式にも根がありません。 しかし、2 番目の方程式を使用すると、すべてがはるかに興味深いものになります。
(x − 0.5)/1 = 1/(x + 1)
比率を解くと、次のようになります。
(x − 0.5)(x + 1) = 1
対数方程式を解くときは、すべての小数を通常の小数として使用する方がはるかに便利であることを思い出してください。そのため、方程式を次のように書き換えましょう。
(x − 1/2)(x + 1) = 1;
x 2 + x − 1/2x − 1/2 − 1 = 0;
x 2 + 1/2x − 3/2 = 0。
以下の二次方程式が目の前にありますが、これは Vieta の公式を使用して簡単に解くことができます。
(x + 3/2) (x − 1) = 0;
x 1 = −1.5;
× 2 = 1。
2 つの根が得られました。これらは元の対数方程式を解くための候補です。 実際にどのような根が答えに影響するのかを理解するために、元の問題に戻りましょう。 ここで、それぞれのルートをチェックして、定義の範囲内に収まるかどうかを確認します。
1.5 ≠ x > 0.5; 0 ≠ x > −1。
これらの要件は二重不等式に相当します。
1 ≠ x > 0.5
ここから、根 x = −1.5 は適切ではありませんが、x = 1 は非常に適切であることがすぐにわかります。 したがって、x = 1 が対数方程式の最終的な解になります。
2 番目のタスクに進みましょう。
log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625
一見すると、すべての対数のように見えるかもしれません。 さまざまな理由と、さまざまな議論が行われます。 このような構造物はどうすればよいでしょうか? まず、25、5、625 という数字は 5 の累乗であることに注意してください。
25 = 5 2 ; 625 = 5 4
次に、対数の素晴らしい性質を利用してみましょう。 重要なのは、引数から因数の形式でべき乗を抽出できるということです。
log a b n = n ∙ log a b
この変換は、b を関数に置き換える場合にも制限を受けます。 しかし、私たちにとって、b は単なる数字であり、追加の制限は発生しません。 方程式を書き直してみましょう。
2 ∙ log x 5 + log 125 x 5 = 4 ∙ log 25 x 5
対数符号を含む 3 つの項を含む方程式が得られました。 さらに、3 つの対数の引数はすべて等しい。
対数を反転して同じ底の 5 にします。変数 b は定数であるため、定義領域の変更は発生しません。 ただ書き直すだけです:
[写真のキャプション] 予想通り、分母には同じ対数が現れました。 変数を置き換えることをお勧めします。
log 5 x = t
この場合、方程式は次のように書き換えられます。
分子を書き出して括弧を開けてみましょう。
2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) − 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12
分数に戻りましょう。 分子はゼロでなければなりません。
[写真のキャプション] そして、分母はゼロとは異なります。
t≠0; t ≠ −3; t ≠ −2
最後の要件はすべて整数に関連付けられており、すべての答えは非合理的であるため、自動的に満たされます。
それで、 分数有理方程式解決すると、変数 t の値が見つかります。 対数方程式の解き方に戻って、t が何であるかを思い出してみましょう。
[写真のキャプション] この方程式を正準形式に還元し、無理次数をもつ数値を取得します。 混乱しないでください。このような議論さえも同等視することができます。
[写真のキャプション] 根が２本出てきました。 より正確には、2 つの候補の答え - それらが定義の領域に準拠しているかどうかを確認してみましょう。 対数の底は変数 x であるため、次のことが必要です。
1 ≠ x > 0;
同じ成功で、x ≠ 1/125 であると主張します。そうでない場合、2 番目の対数の底は 1 になります。 最後に、第 3 対数の x ≠ 1/25 です。
合計 4 つの制限がありました。
1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; ×≠1/25
ここで問題は、私たちの根がこれらの要件を満たしているかということです。 もちろん満足です！ 5 の任意のべき乗はゼロより大きく、要件 x > 0 が自動的に満たされるためです。
一方、1 = 5 0、1/25 = 5 −2、1/125 = 5 −3 は、ルートに対するこれらの制限 (念のために言いますが、指数に無理数があります) を意味します。も満足されており、どちらの答えも問題の解決策です。
これで、最終的な答えが得られました。 このタスクには 2 つの重要なポイントがあります。
- 引数と底が入れ替わるときに対数を反転するときは注意してください。 このような変換は、定義の範囲に不必要な制限を課します。
- 対数を変換することを恐れないでください。対数をひっくり返すだけでなく、和の公式を使用して対数を開き、通常は、解くときに学習した公式を使用して対数を変更することもできます。 対数表現。 ただし、常に覚えておいてください。一部の変換は定義の範囲を拡大し、一部の変換は定義の範囲を狭めます。
対数方程式。 引き続き、数学における統一国家試験パート B の問題を検討していきます。 「」、「」の記事でいくつかの方程式の解法をすでに検討しました。 この記事では、対数方程式について見ていきます。 すぐに言っておきますが、統一国家試験でこのような方程式を解くときに複雑な変換は必要ありません。 それらはシンプルです。
対数の性質を知るには、基本的な対数恒等式を知って理解するだけで十分です。 解いた後は必ずチェックを行う必要があることに注意してください。結果の値を元の方程式に代入して計算し、最終的には正しい等価性が得られるはずです。
意味:
b を底とする数値の対数は指数です。a を得るには b を累乗する必要があります。
例えば：
3 2 = 9 なので、対数 3 9 = 2
対数の性質:
対数の特殊な場合:
問題を解決しましょう。 最初の例ではチェックを行います。 その後のチェックはご自身で行ってください。
方程式の根を求めます: log 3 (4–x) = 4
log b a = x b x = a なので、
3 4 = 4 – x
x = 4 – 81
x = – 77
検査：
log 3 (4–(–77)) = 4
対数 3 81 = 4
3 4 = 81 正解です。
答え: – 77
自分で決めてください:
方程式の根を求めます: log 2 (4 – x) = 7
方程式 log 5 の根を求めます。(4 + x) = 2
基本的な対数恒等式を使用します。
log a b = x b x = a なので、
5 2 = 4 + x
x =5 2 – 4
x = 21
検査：
log 5 (4 + 21) = 2
対数5 25 = 2
5 2 = 25 正解です。
答え: 21
方程式 log 3 (14 – x) = log 3 5 の根を求めます。
次の性質が当てはまります。その意味は次のとおりです。方程式の左側と右側に次の対数がある場合、 同じ根拠、その後、対数の符号の下で式を同等とみなすことができます。
14 – x = 5
x=9
チェックをしてください。
答え: 9
自分で決めてください:
方程式 log 5 (5 – x) = log 5 3 の根を求めます。
方程式の根を求めます: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15)。
log c a = log c b の場合、a = b
x + 3 = 4x – 15
3x = 18
x=6
チェックをしてください。
答え: 6
方程式 log 1/8 (13 – x) = – 2 の根を求めます。
(1/8) –2 = 13 – x
8 2 = 13 – x
x = 13 – 64
x = – 51
チェックをしてください。
ちょっとした追加 - ここではプロパティが使用されています
度 （）。
答え: – 51
自分で決めてください:
方程式の根を求めます: log 1/7 (7 – x) = – 2
方程式 log 2 (4 – x) = 2 log 2 5 の根を求めます。
右側を変形してみましょう。 プロパティを使用してみましょう:
log a b m = m∙log a b
log 2 (4 – x) = log 2 5 2
log c a = log c b の場合、a = b
4 – x = 5 2
4 – x = 25
x = – 21
チェックをしてください。
答え: – 21
自分で決めてください:
方程式の根を求めます: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3
方程式 log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11) を解きます。
log c a = log c b の場合、a = b
× 2 + 4x = × 2 + 11
4x = 11
x = 2.75
チェックをしてください。
答え: 2.75
自分で決めてください:
方程式 log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10) の根を求めます。
方程式 log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1 を解きます。
方程式の右側の形式の式を取得する必要があります。
ログ 2 (......)
1 を底 2 の対数として表します。
1 = 対数 2 2
log c (ab) = log c a + log c b
log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2
我々が得る：
log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)
log c a = log cb b の場合、a = b、
2 – x = 4 – 6x
5x = 2
x = 0.4
チェックをしてください。
答え: 0.4
自分で決めてください: 次に二次方程式を解く必要があります。 ところで、
根は6と-4です。
根 "-4" は、対数の底がゼロより大きくなければならないため、解決策ではありません。また、"– 4「それは以下に等しい」 – 5インチ。 解決策はルート6です。チェックをしてください。
答え: 6.
R 自分で食べる：
方程式 log x –5 49 = 2 を解きます。方程式に複数の根がある場合は、小さい方の根で答えます。
ご覧のとおり、対数方程式による複雑な変換は必要ありません。いいえ。 対数の性質を知り、それを適用できれば十分です。 対数式の変換に関連する USE 問題では、より本格的な変換が実行されるため、より深い解法スキルが必要となります。 そのような例を見ていきますので、お見逃しなく！私はあなたの成功を祈って！！！
敬具、アレクサンダー・クルチツキーク。
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今日は、事前の変換や根の選択が必要ない、最も単純な対数方程式を解く方法を学びます。 しかし、そのような方程式の解き方を学べば、ずっと簡単になります。
最も単純な対数方程式は、log a f (x) = b という形式の方程式です。ここで、a、b は数値 (a > 0、a ≠ 1)、f (x) は特定の関数です。
すべての対数方程式の特徴は、対数記号の下に変数 x が存在することです。 これが問題で最初に与えられた方程式である場合、それは最も単純なものと呼ばれます。 他の対数方程式は、特別な変換によって最も単純なものになります (「対数の基本特性」を参照)。 ただし、多くの微妙な点を考慮する必要があります。余分な根が発生する可能性があるため、複雑な対数方程式は個別に考慮されます。
このような方程式を解くにはどうすればよいでしょうか? 等号の右側の数値を、左側と同じ底の対数に置き換えるだけで十分です。 次に、対数の符号を取り除くことができます。 我々が得る：
log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b
通常の方程式が得られました。 その根は元の方程式の根です。
学位を取り出す
対数方程式は、一見複雑で脅威的に見えますが、多くの場合、何も関与せずに文字通り数行で解決されます。 複雑な数式。 今日はまさにそのような問題を見ていきます。ここで必要なのは、公式を注意深く標準形式に変換し、対数の定義領域を検索するときに混乱しないようにすることだけです。
今日は、タイトルから推測できると思いますが、正準形式への移行のための公式を使用して対数方程式を解きます。 このビデオ レッスンの主な「コツ」は、学位を扱うこと、つまり根拠と議論から学位を推定することです。 ルールを見てみましょう:
同様に、基底から次数を導き出すことができます。
ご覧のとおり、対数の引数から次数を削除するときに単に追加の因数が前にある場合、底から次数を削除すると、単なる乗数ではなく、逆因数が得られます。 これは覚えておく必要があります。
最後に、最も興味深いことです。 これらの式を組み合わせると、次のようになります。
もちろん、これらの移行を行う際には、定義の範囲が拡大したり、逆に定義の範囲が狭くなったりする可能性に関連して、一定の落とし穴が存在します。 自分で判断してください:
log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 x
最初のケースで x が 0 以外の任意の数になり得る場合、つまり要件 x ≠ 0 の場合、2 番目のケースでは x のみが満足されます。これは等しくないだけでなく、厳密に 0 より大きいためです。対数の定義は、引数が厳密に 0 より大きくなければならないということです。そこで、8 年生から 9 年生の代数コースで習った素晴らしい公式を思い出してみましょう。
つまり、次のように式を書く必要があります。
log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 |x |
そうすれば定義範囲の狭小化は起こらない。
ただし、今日のビデオチュートリアルには四角形はありません。 私たちのタスクを見ると、根っこだけが見えてきます。 したがって、申請してください このルール私たちはそうしませんが、それでも留意する必要があります。 正しい瞬間あなたが見るとき 二次関数引数または対数の底では、この規則を覚えて、すべての変換を正しく実行できるようになります。
したがって、最初の方程式は次のようになります。
この問題を解決するには、式に含まれる各項を注意深く調べることを提案します。
最初の項を有理指数をもつべき乗として書き直してみましょう。
第 2 項である log 3 (1 − x) を見てみましょう。 ここでは何もする必要はありません。すべてがすでに変換されています。
最後に、0、5。前のレッスンで述べたように、対数方程式や公式を解くときは、小数から常用的な分数に移行することを強くお勧めします。 これをやろう：
0,5 = 5/10 = 1/2
結果として得られる項を考慮して、元の式を書き直してみましょう。
log 3 (1 − x ) = 1
次に、正規形式に移りましょう。
log 3 (1 − x ) = log 3 3
引数を等価にすることで対数符号を取り除きます。
1 − x = 3
−x = 2
x = −2
以上です。方程式は解けました。 ただし、安全策を講じて、定義領域を見つけてみましょう。 これを行うには、元の式に戻って次を見てみましょう。
1 − x > 0
−x > −1
バツ< 1
根 x = −2 はこの要件を満たしているため、x = −2 は元の方程式の解になります。 今、私たちは厳格かつ明確な正当性を受け取りました。 以上です、問題は解決しました。
2 番目のタスクに進みましょう。
それぞれの用語を個別に見てみましょう。
最初のものを書き出してみましょう。
前期を変革しました。 第 2 項で作業します。
最後に、等号の右側にある最後の項:
結果の式の項の代わりに、結果の式を置き換えます。
対数 3 x = 1
正規形式に移りましょう。
log 3 x = log 3 3
対数符号を取り除き、引数を等価にすると、次のようになります。
x = 3
もう一度、念のため、元の方程式に戻って見てみましょう。 元の式では、変数 x は引数にのみ存在するため、次のようになります。
x > 0
2 番目の対数では、x は根の下にありますが、引数でも、根は 0 より大きくなければなりません。つまり、根数式は 0 より大きくなければなりません。根 x = 3 を見てみます。明らかに、これは次のようになります。この要件を満たします。 したがって、x = 3 は元の対数方程式の解になります。 以上です、問題は解決しました。
今日のビデオチュートリアルには 2 つの重要なポイントがあります。
1) 対数を変換することを恐れないでください。特に対数の符号からべき乗を取り出すことを恐れないでください。基本的な公式を思い出してください。引数からべき乗を取り除くときは、そのままそのまま取り出されます。乗数として使用され、ベースから電力を取り除くと、この電力は反転されます。
2) 2 番目の点は、正準形式自体に関連しています。 対数方程式の式の変換の最後に正準形式への移行を行いました。 次の式を思い出してください。
a = log b b a
もちろん、「任意の数 b」という表現は、対数の底に課せられる要件を満たす数を意味します。
1 ≠ b > 0
このような b の場合、根拠はすでにわかっているため、この要件は自動的に満たされます。 しかし、そのような b (この要件を満たすもの) については、この遷移を実行でき、対数の符号を取り除くことができる正規形式が得られます。
定義領域と追加ルートの拡張
対数方程式を変換する過程で、定義域の暗黙的な拡張が発生する場合があります。 多くの場合、生徒はこれに気づいていないため、間違いや不正解につながります。
最も単純なデザインから始めましょう。 最も単純な対数方程式は次のとおりです。
log a f (x) = b
x は 1 つの対数の 1 つの引数にのみ存在することに注意してください。 このような方程式をどのように解くのでしょうか? 正規形式を使用します。 これを行うには、数値 b = log a a b を想像すると、方程式は次のように書き換えられます。
log a f (x ) = log a a b
このエントリは正規形式と呼ばれます。 今日のレッスンだけでなく、独立した課題やテスト課題でも出てくる対数方程式を簡略化する必要があるのはこのためです。
標準形式にどのように到達するか、どのようなテクニックを使用するかは練習の問題です。 理解すべき主な点は、そのような記録を受け取ったらすぐに、問題は解決したと考えることができるということです。 なぜなら、次のステップは次のように書くことだからです。
f (x) = a b
言い換えれば、対数記号を取り除き、単に引数を等価にします。
なぜこんな話ばかりするのでしょうか？ 実際のところ、標準形式は最も単純な問題だけでなく、他の問題にも適用できます。 特に今日決定するもの。 見てみましょう。
最初のタスク:
この方程式の何が問題なのでしょうか? 実際には、この関数は同時に 2 つの対数になります。 この問題は、ある対数を別の対数から単純に減算することで、最も単純なものにまとめることができます。 しかし、定義領域で問題が発生します。余分なルートが表示される可能性があります。 それでは、対数の 1 つを右に移動してみましょう。
このエントリは、正規形式によりよく似ています。 しかし、もう 1 つニュアンスがあります。正規形式では、引数は同じでなければなりません。 そして、左側には底が 3 の対数があり、右側には底が 1/3 の対数があります。 彼は、これらの基地を同じ数にする必要があることを知っています。 たとえば、負のパワーとは何かを思い出してみましょう。
次に、対数の外側にある「−1」指数を乗数として使用します。
注意: 基底にあった度数は裏返され、分数になります。 さまざまな基数を取り除くことでほぼ正規の表記法が得られましたが、その代わりに右側に係数「−1」が得られました。 この係数をべき乗に変換して議論に組み込んでみましょう。
もちろん、標準形式を受け取ったので、対数の符号を大胆に取り消して引数を同等にします。 同時に、「−1」乗すると、分数は単純にひっくり返されて、比率が得られることを思い出してください。
比例の基本的な性質を使用して、それを横方向に乗算してみましょう。
(x − 4) (2x − 1) = (x − 5) (3x − 4)
2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20
2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20
× 2 − 10x + 16 = 0
上記の 2 次方程式が手元にあるので、Vieta の公式を使用してそれを解きます。
(x − 8)(x − 2) = 0
× 1 = 8; × 2 = 2
それだけです。 方程式は解けたと思いますか？ いいえ！ このような解の場合、元の方程式には変数 x の対数が 2 つあるため、0 点を受け取ります。 したがって、定義領域を考慮する必要があります。
ここからが楽しみの始まりです。 ほとんどの学生は混乱しています: 対数の定義範囲は何ですか? もちろん、すべての引数 (2 つあります) はゼロより大きくなければなりません。
(x − 4)/(3x − 4) > 0
(x − 5)/(2x − 1) > 0
これらの不等式をそれぞれ解決し、直線上にマークを付けて交差させ、その交差部分にどの根があるかを確認する必要があります。
正直に言うと、このテクニックには存在する権利があり、信頼性があり、正しい答えが得られますが、不必要な手順が多すぎます。 それでは、ソリューションをもう一度見て、スコープを正確にどこに適用する必要があるのかを見てみましょう。 言い換えれば、余分な根がいつ現れるのかを明確に理解する必要があります。
- 最初は 2 つの対数がありました。 次に、そのうちの 1 つを右に移動しましたが、これは定義領域には影響しませんでした。
- 次に、底からべき乗を取り除きますが、依然として 2 つの対数があり、それぞれに変数 x が含まれます。
- 最後に、対数の符号を取り消して、古典的な分数有理方程式を取得します。
定義の範囲が拡大されるのは最後のステップです。 対数記号を取り除き、分数有理方程式に移行するとすぐに、変数 x の要件は劇的に変化しました。
したがって、定義領域は、解法の最初ではなく、引数を直接等価する前の、前述のステップでのみ考慮することができます。
ここに最適化のチャンスがあります。 一方では、両方の引数がゼロより大きいことが必要です。 一方で、これらの議論をさらに同一視します。 したがって、少なくとも 1 つが陽性であれば、2 つ目も陽性になります。
したがって、2 つの不等式を同時に満たすことを要求するのはやりすぎであることがわかります。 これらの分数のうち 1 つだけを考慮するだけで十分です。 どれ？ よりシンプルなもの。 たとえば、右辺の分数を見てみましょう。
(x − 5)/(2x − 1) > 0
これは典型的な分数有理不等式です。区間法を使用して解きます。
標識はどうやって設置するのですか？ すべての根よりも明らかに大きい数値を考えてみましょう。 たとえば、10 億をその端数に置き換えます。 正の数が得られます。つまり、 ルート x = 5 の右側にはプラス記号があります。
次に、偶数の多重度の根がどこにも存在しないため、符号が交互になります。 関数が正である区間に興味があります。 したがって、x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞) となります。
ここで、答えを思い出してみましょう: x = 8 と x = 2。厳密に言うと、これらはまだ答えではなく、答えの候補にすぎません。 指定されたセットに属するものはどれですか? もちろん、x = 8 ですが、x = 2 は定義領域の観点からは適切ではありません。
合計すると、最初の対数方程式の答えは x = 8 になります。これで、定義領域を考慮した、十分に根拠のある適切な解決策が得られました。
2 番目の方程式に移りましょう。
log 5 (x − 9) = log 0.5 4 − log 5 (x − 5) + 3
方程式に小数がある場合は、それを削除する必要があることを思い出してください。 つまり、0.5を公分数として書き換えてみましょう。 この底を含む対数が簡単に計算できることがすぐにわかります。
これはとても重要な瞬間です！ 基底と引数の両方に次数がある場合、次の式を使用してこれらの次数の指標を導き出すことができます。
元の対数方程式に戻って書き直してみましょう。
log 5 (x − 9) = 1 − log 5 (x − 5)
標準的な形状に非常に近いデザインが得られました。 ただし、等号の右側にある用語とマイナス記号によって混乱してしまいます。 1 を底 5 の対数として表しましょう。
log 5 (x − 9) = log 5 5 1 − log 5 (x − 5)
右側の対数を減算します (この場合、引数は分割されます)。
log 5 (x − 9) = log 5 5/(x − 5)
素晴らしい。 これで標準形式が得られました。 ログ記号を取り消し線で消して、引数を同等にします。
(x − 9)/1 = 5/(x − 5)
これは、横に乗算することで簡単に解決できる比率です。
(x − 9)(x − 5) = 5 1
x 2 − 9x − 5x + 45 = 5
× 2 − 14x + 40 = 0
明らかに、縮小された二次方程式が得られます。 これは、Vieta の公式を使用して簡単に解くことができます。
(x − 10)(x − 4) = 0
× 1 = 10
× 2 = 4
根が２本出てきました。 ただし、対数方程式では定義領域のチェックも必要となるため、これらは最終的な答えではなく、単なる候補です。
念のため言っておきますが、次の場合は検索する必要はありません。 毎引数の値はゼロより大きくなります。 1 つの引数 (x − 9 または 5/(x − 5)) がゼロより大きいことを要求するだけで十分です。 最初の引数を考えてみましょう。
x − 9 > 0
x > 9
明らかに、この要件を満たすのは x = 10 だけです。これが最終的な答えです。 問題全体が解決されました。
もう一度言いますが、今日のレッスンの重要な考え方は次のとおりです。
- 変数 x がいくつかの対数で現れるとすぐに、方程式は基本的なものではなくなり、定義域を計算する必要があります。 そうしないと、答えに余分なルートを簡単に書き込むことができます。
- 不等式をすぐに書き出すのではなく、ログ記号を取り除いた瞬間に書き出すと、ドメイン自体の操作が大幅に簡素化されます。 結局のところ、引数が互いに等しい場合、そのうちの 1 つだけが 0 より大きいことを要求するだけで十分です。
もちろん、不等式を形成するためにどの引数を使用するかを私たち自身が選択するので、最も単純な引数を選択するのは論理的です。 たとえば、2 番目の方程式では、引数 (x − 9) - を選択しました。 一次関数、分数有理数の 2 番目の引数とは対照的です。 同意します。不等式 x − 9 > 0 を解くことは、5/(x − 5) > 0 よりもはるかに簡単です。ただし、結果は同じです。
このコメントにより、ODZ の検索が大幅に簡素化されますが、注意してください。引数が正確に一致する場合にのみ、2 つの不等式の代わりに 1 つの不等式を使用できます。 互いに等しい!
もちろん、ここで誰かが「何が違うのか？」と尋ねるでしょう。 はい、時々。 たとえば、ステップ自体で、変数を含む 2 つの引数を乗算すると、不要な根が現れる危険性があります。
自分で判断してください。最初は各引数がゼロより大きいことが必要ですが、乗算後はそれらの積がゼロより大きくなれば十分です。 結果として、これらの各分数が負であるケースは見逃されます。
したがって、複雑な対数方程式を理解し始めたばかりの場合は、いかなる状況でも変数 x を含む対数を乗算しないでください。あまりにも多くの場合、余分な根が表示されます。 もう一歩追加して、1 つの項を反対側に移動して標準形式を作成する方が良いでしょう。
さて、そのような対数を乗算せずに実行できない場合はどうすればよいかについては、次のビデオレッスンで説明します:)。
もう一度方程式のべき乗について
今日は対数方程式、より正確には対数の引数と底からべき乗を取り除くことに関するかなり滑りやすいトピックを検討します。
実対数方程式を解くときに最も困難になるのは偶数累乗の場合であるため、偶数累乗の除去について説明するとさえ思います。
正準形式から始めましょう。 log a f (x) = b という形式の方程式があるとします。 この場合、数式 b = log a a b を使用して数値 b を書き換えます。 次のことがわかります。
log a f (x ) = log a a b
次に、引数を同等にします。
f (x) = a b
最後から 2 番目の公式は標準形式と呼ばれます。 一見するとどんなに複雑で恐ろしいように見える対数方程式であっても、彼らは対数方程式を簡約化しようとするのはこのためです。
それでは、試してみましょう。 最初のタスクから始めましょう。
予備的な注意: すでに述べたように、対数方程式の小数はすべて通常の小数に変換する方が適切です。
0,5 = 5/10 = 1/2
この事実を考慮して方程式を書き直してみましょう。 1/1000 と 100 は両方とも 10 の累乗であることに注意してください。次に、引数から、さらには対数の底から、累乗を取り出してみましょう。
ここで、多くの学生が「右側のモジュールはどこから来たのですか?」という質問をします。 確かに、なぜ単純に (x − 1) と書かないのでしょうか? もちろん、ここでは (x − 1) と書きますが、定義領域を考慮すると、そのような表記法を使用する権利が与えられます。 結局のところ、別の対数にはすでに (x − 1) が含まれており、この式はゼロより大きくなければなりません。
しかし、対数の底から二乗を取り除くときは、底にモジュールを正確に残さなければなりません。 その理由を説明しましょう。
実際のところ、数学的な観点から見ると、学位を取得することはルートを取得することと同じです。 特に、式 (x − 1) 2 を二乗する場合、基本的に 2 番目の根を取ることになります。 しかし、平方根は係数にすぎません。 その通り モジュールなぜなら、式 x − 1 が負であっても、2 乗すると「マイナス」は燃え尽きるからです。 さらにルートを抽出すると、マイナスのない正の数値が得られます。
一般に、攻撃的な間違いを避けるために、次のことをきっぱりと覚えておいてください。
任意の関数の偶数乗の根は、関数自体ではなく、その係数に等しくなります。
対数方程式に戻りましょう。 モジュールについて言えば、私は問題なく削除できると主張しました。 これは本当です。 今からその理由を説明します。 厳密に言えば、次の 2 つのオプションを検討する必要がありました。
- x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x − 1
- x − 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1
これらのオプションのそれぞれに対処する必要があります。 ただし、問題が 1 つあります。元の式には、係数のない関数 (x − 1) がすでに含まれています。 そして、対数の定義領域に従って、x − 1 > 0 とすぐに書く権利があります。
この要件は、ソリューション プロセスで実行するモジュールやその他の変換に関係なく満たされる必要があります。 したがって、2 番目のオプションを検討することに意味はありません。それは決して発生しません。 この不等式の分岐を解くときに数値が得られたとしても、それらは最終的な答えには含まれません。
これで、文字通り対数方程式の正準形式から一歩手前まで来ました。 単位を次のように表してみましょう。
1 = log x − 1 (x − 1) 1
さらに、右側にある係数 −4 を引数に導入します。
log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)
私たちの前には対数方程式の正準形式があります。 対数符号を取り除きます。
10 −4 = x − 1
ただし、基数は関数 (素数ではない) であるため、さらに、この関数が 0 より大きく、1 に等しくないことが必要です。 結果として得られるシステムは次のようになります。
x − 1 > 0 という要件は自動的に満たされるため (結局のところ、x − 1 = 10 −4)、不等式の 1 つをシステムから削除できます。 x − 1 = 0.0001 であるため、2 番目の条件も取り消すことができます。< 1. Итого получаем:
x = 1 + 0.0001 = 1.0001
これは、対数の定義領域のすべての要件を自動的に満たす唯一のルートです (ただし、問題の条件では明らかに満たされているため、すべての要件は削除されました)。
したがって、2 番目の方程式は次のようになります。
3 log 3 x x = 2 log 9 x x 2
この方程式は前の方程式と根本的にどう違うのでしょうか? 対数の底 - 3x と 9x - が互いの自然累乗ではないという理由だけであれば。 したがって、前のソリューションで使用した移行は不可能です。
せめて学位はなくしましょう。 私たちの場合、唯一の学位は 2 番目の引数にあります。
3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x |x |
ただし、変数 x も基底にあるため、モジュラス符号は削除できます。 x > 0 ⇒ |x| = ×。 対数方程式を書き直してみましょう。
3 log 3 x x = 4 log 9 x x
引数は同じですが底が異なる対数が得られました。 次はどうする？ ここでは多くのオプションがありますが、そのうちの 2 つだけを検討します。これらは最も論理的であり、最も重要なことに、これらはほとんどの学生にとってすぐに理解できるテクニックです。
最初のオプションについてはすでに検討しました。不明確な状況では、基数が可変の対数を定数の基数に変換します。 たとえばデュースへ。 遷移式は簡単です。
もちろん、変数 c の役割は正規数である必要があります: 1 ≠ c > 0。ここでは c = 2 とします。これで、通常の分数有理方程式が目の前にできました。 左側にすべての要素を集めます。
明らかに、log 2 x 係数は最初と 2 番目の部分の両方に存在するため、削除した方がよいでしょう。
log 2 x = 0;
3 log 2 9x = 4 log 2 3x
各ログを 2 つの用語に分けます。
log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;
log 2 3x = log 2 3 + log 2 x
これらの事実を考慮して、等式の両辺を書き直してみましょう。
3 (2 log 2 3 + log 2 x ) = 4 (log 2 3 + log 2 x )
6 log 2 3 + 3 log 2 x = 4 log 2 3 + 4 log 2 x
2 log 2 3 = log 2 x
あとは、対数の符号の下に 2 を入力するだけです (これは累乗になります: 3 2 = 9)。
log 2 9 = log 2 x
古典的な標準形式の前に、対数記号を取り除き、次のようにします。
予想どおり、この根はゼロより大きいことが判明しました。 定義のドメインを確認することが残っています。 その理由を見てみましょう。
しかし、ルート x = 9 はこれらの要件を満たします。 したがって、それは最終決定です。
この解決策の結論は単純です。長い計算を恐れる必要はありません。 ただ、最初に新しい拠点をランダムに選択しただけですが、これによりプロセスが大幅に複雑になりました。
しかし、その場合、どのような根拠があるのかという疑問が生じます。 最適な? これについては 2 番目の方法で説明します。
元の方程式に戻りましょう。
3 log 3x x = 2 log 9x x 2
3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |
x > 0 ⇒ |x| = x
3 log 3 x x = 4 log 9 x x
ここで少し考えてみましょう。最適な基底となる数値または関数は何でしょうか? それは明らかです 最良の選択肢 c = x - 引数にすでに含まれているものがあります。 この場合 対数式 a b = log c b /log c a は次の形式になります。
つまり、表現を単に反転しただけです。 この場合、議論と根拠が入れ替わります。
この公式は非常に便利で、複雑な対数方程式を解く際によく使用されます。 ただし、この公式を使用する場合、非常に重大な落とし穴が 1 つあります。 基数の代わりに変数 x を代入すると、これまでに観察されなかった制限が課せられます。
元の方程式にはそのような制限はありませんでした。 したがって、x = 1 の場合を個別に確認する必要があります。この値を式に代入します。
3 log 3 1 = 4 log 9 1
正しい数値的等価性が得られます。 したがって、x = 1 は根です。 前のメソッドでは、ソリューションの最初の部分でまったく同じルートが見つかりました。
しかし、この特定のケースを個別に検討したので、x ≠ 1 と仮定しても問題ありません。すると、対数方程式は次の形式に書き換えられます。
3 対数 x 9x = 4 対数 x 3x
前と同じ式を使用して両方の対数を展開します。 log x x = 1 であることに注意してください。
3 (log x 9 + log x x ) = 4 (log x 3 + log x x )
3 log x 9 + 3 = 4 log x 3 + 4
3 log × 3 2 − 4 log × 3 = 4 − 3
2ログ×3＝1
そこで、次の正規形式にたどり着きました。
ログ x 9 = ログ x x 1
x=9
2番目のルートを取得しました。 これは、x ≠ 1 という要件を満たします。したがって、x = 1 とともに x = 9 が最終的な答えとなります。
ご覧のとおり、計算量がわずかに減少しています。 ただし、実対数方程式を解く場合は、各ステップをそれほど詳細に記述する必要がないため、ステップ数は大幅に少なくなります。
今日のレッスンの重要なルールは次のとおりです。問題に偶数次数が含まれており、そこから同じ次数の根が抽出される場合、出力は法になります。 ただし、対数の定義領域に注意すれば、このモジュールは削除できます。
ただし注意してください。このレッスンの後、ほとんどの生徒はすべてを理解したと思っています。 しかし、実際の問題を解決する場合、論理チェーン全体を再現することはできません。 その結果、方程式に不要な根ができてしまい、答えが間違ってしまいます。
