多くの場合、学生は連立方程式を解く方法を選択するのが難しいと感じます。
この記事では、システムを解決する方法の 1 つである置換法について説明します。
2 つの方程式に共通の解が見つかった場合、これらの方程式はシステムを形成していると言われます。 連立方程式では、各未知数はすべての方程式で同じ数を表します。 与えられた方程式が系を形成していることを示すには、通常、それらは上下に書かれ、中括弧で結合されます。
x = 15 および y = 5 の場合、システムの方程式は両方とも正しいことがわかります。 この数値のペアが連立方程式の解になります。 システムの両方の方程式を同時に満たす未知の値の各ペアは、システムの解と呼ばれます。
システムには、(この例のように) 1 つのソリューションを持つことも、無限に多くのソリューションを持つことも、ソリューションを持たないこともできます。
代入法を使用して系を解くにはどうすればよいですか? 両方の方程式の一部の未知数の係数が絶対値で等しい場合 (等しくない場合は等価とします)、両方の方程式を加算する (または一方を他方から減算する) と、一方が未知である方程式を取得できます。 次に、この方程式を解きます。 未知のものを決定します。 結果として得られる未知の値をシステム方程式の 1 つ (1 つ目または 2 つ目) に代入します。 私たちはもう一つの未知のものを発見します。 この方法の応用例を見てみましょう。
例1.連立方程式を解く
ここで、y の係数は絶対値が等しくなりますが、符号が逆になります。 システムの方程式を項ごとに追加してみましょう。
結果の値 x = 4 をシステムの方程式 (たとえば最初の方程式) に代入し、値 y を求めます。
2 *4 +y = 11、y = 11 – 8、y = 3。
私たちのシステムには、x = 4、y = 3 という解があります。または、答えを点の座標として括弧内に書き込むこともできます (最初に x、2 番目に y)。
答え: (4; 3)
例 2。 連立方程式を解く
変数 x の係数を等しくしましょう。これを行うには、最初の方程式に 3 を掛け、2 番目の方程式に (-2) を掛けます。次のようになります。
数式を追加するときは注意してください
次に、 y = - 2 となります。最初の式に y の代わりに数値 (-2) を代入すると、次の結果が得られます。
4x + 3(-2) = - 4。この方程式 4x = - 4 + 6、4x = 2、x = 1/2 を解きます。
答え: (1/2; - 2)
例 3.連立方程式を解く
最初の式に (-2) を掛けます。
システムを解決する
0 = - 13 が得られます。
0 は (-13) と等しくないため、システムには解がありません。
答え: 解決策はありません。
例4.連立方程式を解く
2 番目の方程式のすべての係数が 3 で割り切れることがわかります。
2 番目の方程式を 3 で割ると、2 つの同一の方程式からなる系が得られます。
最初の方程式と 2 番目の方程式が同じであるため、このシステムには無限に多くの解があります (2 つの変数を持つ方程式は 1 つだけ得られました)。 このシステムの解決策をどのように想像できますか? 方程式 x + y = 5 から変数 y を表してみましょう。y = 5 – x が得られます。
それから 答え次のように書かれます: (x; 5-x)、x – 任意の数値。
加算法を使用して連立方程式を解くことを検討しました。 ご質問やご不明な点がございましたら、レッスンにお申し込みいただければ、すべての問題を解決いたします。
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連立方程式は、さまざまなプロセスの数学的モデリングのために経済分野で広く使用されています。 例えば、生産管理や計画、物流ルート（輸送問題）や設備配置などの問題を解決するとき。
連立方程式は数学だけでなく、物理学、化学、生物学でも人口規模を求める問題を解決する際に使用されます。
システム 線形方程式共通の解を見つける必要がある複数の変数を含む 2 つ以上の方程式の名前を指定します。 すべての方程式が真の等価になる、またはその数列が存在しないことを証明するような数列。
一次方程式
ax+by=c の形式の方程式は線形と呼ばれます。 指定 x、y は値を見つける必要がある未知数、b、a は変数の係数、c は方程式の自由項です。
方程式をプロットして解くと直線のように見え、そのすべての点が多項式の解になります。
連立一次方程式の種類
最も単純な例は、2 つの変数 X と Y を持つ線形方程式系であると考えられます。
F1(x, y) = 0 および F2(x, y) = 0。ここで、F1,2 は関数、(x, y) は関数変数です。
連立方程式を解く - これは、システムが真の等価になる値 (x, y) を見つけるか、それを確立することを意味します。 適切な値 x と y は存在しません。
点の座標として書かれた値のペア (x, y) は、連立一次方程式の解と呼ばれます。
システムに共通の解決策が 1 つある場合、または解決策が存在しない場合、それらは同等であると呼ばれます。
同次一次方程式系は、右辺がゼロに等しい系です。 等号の後の右側の部分が値を持つか関数で表される場合、そのようなシステムは異種システムです。
変数の数が 2 つよりはるかに多い場合は、3 つ以上の変数を含む線形方程式系の例について説明する必要があります。
システムに直面したとき、学童は方程式の数が未知数の数と必ず一致するはずだと思い込んでいますが、実際はそうではありません。 システム内の方程式の数は変数に依存しません。必要な数だけ存在することができます。
連立方程式を解くための単純な方法と複雑な方法
共通点はありません 分析方法同様のシステムの解法はすべて数値解法に基づいています。 学校の数学コースでは、順列、代数的加算、代入、およびグラフィックや数学などの方法が詳細に説明されています。 マトリックス法、ガウス法による解。
解法を教えるときの主な仕事は、システムを正しく分析し、それぞれの例に最適な解法アルゴリズムを見つける方法を教えることです。 重要なことは、各メソッドのルールとアクションの体系を暗記することではなく、特定のメソッドを使用する原則を理解することです。
7 年生の一般教育カリキュラムにおける連立一次方程式の例題は非常に簡単で、詳細に説明されています。 どの数学の教科書でも、このセクションには十分な注意が払われています。 ガウスとクラマー法を使用して連立一次方程式を解く例は、高等教育の最初の数年間でより詳細に学習されます。
代入法を使用した系の解法
置換メソッドのアクションは、1 つの変数の値を 2 番目の変数の観点から表現することを目的としています。 この式は残りの方程式に代入され、変数が 1 つの形式に変換されます。 システム内の未知数に応じてアクションが繰り返されます
代入法を使用して、クラス 7 の連立一次方程式の例に対する解を与えてみましょう。
例からわかるように、変数 x は F(X) = 7 + Y によって表されます。結果の式は、X の代わりにシステムの 2 番目の方程式に代入され、2 番目の方程式で 1 つの変数 Y を取得するのに役立ちました。 。 解決 この例問題は発生せず、Y 値を取得できます。最後のステップは、取得した値を確認することです。
代入によって連立一次方程式の例を解くことが常に可能であるとは限りません。 方程式は複雑になる可能性があり、変数を 2 番目の未知数で表現すると、それ以上の計算が面倒になります。 システム内に未知数が 3 つを超える場合、代入による解決も不適切です。
線形不均一方程式系の例の解:
代数加算を使用した解法
加算法を使用してシステムの解を探索する場合、方程式の項ごとの加算と乗算を次のように実行します。 異なる数字。 数学的演算の最終目標は、1 つの変数の方程式です。
アプリケーション用 この方法練習と観察が必要です。 変数が 3 つ以上ある場合、加算法を使用して連立一次方程式を解くのは簡単ではありません。 代数加算は、方程式に分数や小数が含まれる場合に使用すると便利です。
解決アルゴリズム:
- 方程式の両辺に特定の数を掛けます。 算術演算の結果、変数の係数の 1 つが 1 に等しくなるはずです。
- 結果の式を項ごとに加算し、未知数の 1 つを見つけます。
- 結果の値をシステムの 2 番目の方程式に代入して、残りの変数を見つけます。
新しい変数を導入することによる解決方法
システムが 2 つ以下の方程式の解を求める必要がある場合、新しい変数を導入できます。また、未知数の数も 2 つ以下でなければなりません。
この方法は、新しい変数を導入して方程式の 1 つを単純化するために使用されます。 導入された未知数に対して新しい方程式が解かれ、その結果の値が元の変数を決定するために使用されます。
この例は、新しい変数 t を導入することによって、システムの 1 番目の方程式を標準の 2 次三項式に縮小できることを示しています。 判別式を見つけることで多項式を解くことができます。
よく知られた式 D = b2 - 4*a*c を使用して判別式の値を見つける必要があります。ここで、D は目的の判別式、b、a、c は多項式の因数です。 で 与えられた例 a=1、b=16、c=39、したがって D=100。 判別式が 0 より大きい場合、解は 2 つあります。判別式の場合、t = -b±√D / 2*a ゼロ未満の場合、解は 1 つだけです: x= -b / 2*a。
得られる系の解は加算法によって求められます。
システムを解決するための視覚的手法
3 方程式系に適しています。 この方法は、システムに含まれる各方程式のグラフを座標軸上に構築することから成ります。 曲線の交点の座標がシステムの一般解になります。
グラフィカルな方法には多くのニュアンスがあります。 視覚的な方法で連立一次方程式を解く例をいくつか見てみましょう。
例からわかるように、各線に対して 2 つの点が構築され、変数 x の値は任意に選択されました: 0 と 3。x の値に基づいて、y の値が見つかりました。 3 と 0。座標 (0, 3) と (3, 0) の点がグラフ上にマークされ、線で結ばれています。
2 番目の方程式についても、この手順を繰り返す必要があります。 線の交点がシステムの解になります。
次の例では、検索する必要があります。 グラフィックソリューション連立一次方程式: 0.5x-y+2=0 および 0.5x-y-1=0。
この例からわかるように、グラフは平行で全長に沿って交差しないため、このシステムには解決策がありません。
例 2 と 3 のシステムは似ていますが、構築すると、ソリューションが異なることが明らかになります。 システムに解があるかどうかを常にグラフを作成する必要があるかどうかを判断できるわけではないことに注意してください。
マトリックスとその種類
行列は、線形方程式系を簡潔に記述するために使用されます。 マトリックスとはテーブルのことです 特殊なタイプ数字がいっぱい。 n*m には n 行と m 列があります。
列と行の数が等しい場合、行列は正方形になります。 行列ベクトルは、無限に可能な行数を持つ 1 列の行列です。 対角線の 1 つに沿って 1 があり、その他の要素が 0 である行列は、単位と呼ばれます。
逆行列は、元の行列を乗算すると単位行列になる行列です。このような行列は元の正方行列に対してのみ存在します。
連立方程式を行列に変換するための規則
連立方程式に関しては、方程式の係数と自由項は行列番号として記述され、1 つの方程式が行列の 1 行になります。
行列の行の少なくとも 1 つの要素がゼロでない場合、その行は非ゼロであると言われます。 ゼロに等しい。 したがって、方程式のいずれかで変数の数が異なる場合は、欠落している未知数の代わりにゼロを入力する必要があります。
行列の列は変数に厳密に対応している必要があります。 これは、変数 x の係数は 1 つの列 (たとえば最初の列) にのみ書き込むことができ、未知の y の係数は 2 番目の列にのみ書き込むことができることを意味します。
行列を乗算する場合、行列のすべての要素に数値が順番に乗算されます。
逆行列を見つけるためのオプション
逆行列を求める公式は非常に単純です: K -1 = 1 / |K|、ここで K -1 - 逆行列、および |K| は行列の行列式です。 |K| ゼロに等しくない場合、システムには解決策があります。
2 行 2 列の行列の行列式は簡単に計算できます。対角要素を相互に乗算するだけです。 「3 x 3」オプションの場合、式 |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c があります。 3 + a 3 b 2 c 1 。 数式を使用することも、要素の列数と行数が作業内で繰り返されないように、各行と各列から 1 つの要素を取得する必要があることを覚えておくこともできます。
行列法を使用した連立一次方程式の解法の例
解を見つけるマトリックス法を使用すると、システムを解決するときに面倒な入力を減らすことができます。 多数の変数と方程式。
この例では、a nm は方程式の係数、行列はベクトル x n は変数、b n は自由項です。
ガウス法を使用したシステムの解決
高等数学では、ガウス法はクラマー法とともに研究され、系の解を求めるプロセスはガウス・クラマー解法と呼ばれます。 これらのメソッドは、 可変システム多数の線形方程式を使用します。
ガウス法は、代入や代数的加算による解法に非常に似ていますが、より系統的です。 学校の授業では、3 連立方程式と 4 連立方程式に対してガウス法による解法が使用されます。 この方法の目的は、システムを逆台形の形に縮小することです。 代数変換と代入により、システムの方程式の 1 つで 1 つの変数の値が求められます。 2 番目の方程式は 2 つの未知数を含む式であり、3 と 4 はそれぞれ 3 つと 4 つの変数を含みます。
システムを記述された形式にした後、さらなる解決策はシステムの方程式に既知の変数を順次代入することに帰着します。
7 年生の教科書では、ガウス法による解法の例が次のように説明されています。
この例からわかるように、ステップ (3) で 2 つの方程式が得られました: 3x 3 -2x 4 =11 および 3x 3 +2x 4 =7。 いずれかの式を解くと、変数 x n の 1 つを見つけることができます。
本文中で言及されている定理 5 は、システムの方程式の 1 つを等価なものに置き換えると、結果のシステムも元のものと等価になるということを述べています。
ガウス法は学生にとって理解するのが難しい 高校、しかし、最も重要なものの1つです 興味深い方法プログラムで学ぶ子どもたちの創意工夫を育む 徹底的な研究数学と物理の授業で。
記録を容易にするために、計算は通常次のように行われます。
方程式の係数と自由項は行列の形式で記述され、行列の各行がシステムの方程式の 1 つに対応します。 方程式の左側と右側を分離します。 ローマ数字はシステム内の式の数を示します。
まず、処理する行列を書き留めてから、いずれかの行で実行されるすべてのアクションを書き留めます。 結果の行列は「矢印」記号の後に書き込まれ、結果が得られるまで必要な代数演算が継続されます。
結果は、対角線の 1 つが 1 に等しく、他のすべての係数が 0 に等しい行列になるはずです。つまり、行列は単位形式に縮小されます。 方程式の両辺の数値を使って計算を行うことを忘れてはなりません。
この記録方法は煩わしさが少なく、多数の未知の項目をリストアップすることに気をとられることがなくなります。
どのような解決方法でも自由に使用するには、注意とある程度の経験が必要です。 すべてのメソッドが応用的な性質を持っているわけではありません。 解決策を見つける方法の中には、人間の活動の特定の分野でより好ましいものもありますが、教育目的で存在するものもあります。
方程式の使用は私たちの生活の中で広く使われています。 それらは多くの計算、構造物の建設、さらにはスポーツにも使用されます。 人類は古代に方程式を使用しましたが、それ以来、その使用は増加するばかりです。 自分で決めるだけで さまざまな複雑さの方程式系を使用すると、あらゆる系を解く方法をすばやく決定できるようになります。 システムを解決するのが非常に難しい場合があります 二次方程式。
ただし、これらの方程式を解くために最も一般的に使用される方法は、代入/加算法です。
次の連立方程式が与えられたとします。
\[\left\(\begin(行列) x^2-xy = 3, \\ y^2-xy = -2 \end(行列)\right.\]
システムの方程式を追加しましょう。
\[\left\(\begin(行列) x^2 - xy = 3, \\ x^2 - 2xy + y = 1. \end(行列)\right.\]
結果として得られるシステムを解いてみましょう。
\[\left\(\begin(行列) x(x -y) = 3, \\ (x - y)^2= 1; \end(行列)\right.\]
\[(x - y) = -1 \] または \[(x - y) = 1\] - 2 つの方程式から得られます。
1 に 1 または -1 を代入してみましょう。
\ または \
1 つの未知の値がわかったので、2 番目の値を見つけることができます。
1 に 1 または -1 を代入してみましょう。
\[-3 - y= -1\] または \
答え: \[(-3; -2); (3; 4)\]
2 度の系と 1 つの線形系を解く必要がある場合は、線形の変数の 1 つを表し、この方程式を 2 次方程式に代入できます。
連立方程式は、当社の Web サイト https://site でオンラインで解くことができます。 無料のオンライン ソルバーを使用すると、あらゆる複雑な方程式を数秒でオンラインで解くことができます。 ソルバーにデータを入力するだけです。 当社の Web サイトではビデオ説明を見て、方程式の解き方を学ぶこともできます。 まだ質問がある場合は、VKontakte グループ http://vk.com/pocketTeacher で質問できます。 私たちのグループに参加してください。いつでも喜んでお手伝いいたします。
OGBOU「特別支援が必要な子どものための教育センター」 教育的ニーズスモレンスク」
中心 遠隔教育
7年生の代数の授業
レッスンのトピック: 代数加算の方法。
- レッスンの種類: 新しい知識の最初のプレゼンテーションのレッスン。
レッスンの目的: 代入法を使用して連立方程式を解く際の知識とスキルの習得レベルを制御します。 加算を使用して方程式系を解くスキルと能力を開発します。
レッスンの目標:
主題: 2 つの関数を使って連立方程式を解く方法を学びます 変数メソッド追加。
メタ件名: 認知的 UUD: 分析 (主要なものを強調)、概念を定義、一般化、結論を導き出します。 規制上の UUD: 教育活動における目標、課題を決定します。 コミュニケーションUUD：理由を付けて自分の意見を述べます。 個人用 UUD: f学習に対する前向きな動機を形成し、レッスンと主題に対する生徒の前向きな感情的態度を生み出します。
勤務形態：個人
レッスンの手順:
1) 組織段階。
このトピックの完全な思考と理解に対する態度を確立することで、このトピックに関する生徒の作業を整理します。
2. 宿題として割り当てられた内容について生徒に質問し、知識を更新します。
目的: 実装中に学生が得た知識をテストする 宿題、エラーを特定し、エラーに対処します。 前回のレッスンの内容を復習してください。
3. 新しい教材を勉強する。
1)。 加算法を使用して連立一次方程式を解く能力を開発します。
2)。 新しい状況で既存の知識を発展させ、改善する。
3)。 コントロールと自制のスキルを養い、独立性を育みます。
http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html
目標: 授業中に視力を維持し、目の疲れを和らげます。
5. 検討した資料の統合
目的: レッスンで習得した知識、スキル、能力をテストするため
6. レッスンの概要、情報 宿題、 反射。
レッスンの進行状況 (電子 Google ドキュメントでの作業):
1. 今日はウォルターの哲学的ななぞなぞからレッスンを始めたいと思いました。
私たちにとって、最速だが最も遅い、最大規模だが最小、最長と最短、最も高価だが安価なものは何でしょうか?
時間
このトピックの基本概念を思い出してみましょう。
私たちの前には 2 つの方程式系があります。
前回のレッスンで連立方程式をどのように解いたかを思い出してみましょう。
置換方法
もう一度、解いたシステムに注目して、なぜ代入法に頼らずにシステムの各方程式を解くことができないのか教えてください。
これらは 2 つの変数をもつシステムの方程式であるためです。 変数を 1 つだけ使用しても方程式を解くことができます。
1 つの変数を含む方程式を取得することによってのみ、連立方程式を解くことができました。
3. 次のシステムの解決に進みます。
ある変数を別の変数を通じて表現するのに便利な方程式を選択しましょう。
そのような方程式はありません。
それらの。 この状況では、以前に研究された方法は私たちには適していません。 この状況から抜け出す方法は何でしょうか？
新しい方法を見つけてください。
レッスンの目的を明確にしてみましょう。
新しい方法を使用してシステムを解決する方法を学びます。
新しい方法を使用してシステムを解決する方法を学ぶには何をする必要がありますか?
連立方程式を解くためのルール（アルゴリズム）を知り、実践的なタスクを完了する
新しいメソッドの開発を始めましょう。
最初のシステムを解決した後に出した結論に注目してください。 1 変数の線形方程式を取得した後でのみ、システムを解くことが可能でした。
連立方程式を見て、与えられた 2 つの方程式から 1 つの変数を持つ 1 つの方程式を得る方法を考えてください。
方程式を合計します。
方程式を追加するとはどういう意味ですか?
方程式の左辺の合計と右辺の合計を別々に計算し、結果として得られる合計を等しくします。
試してみましょう。 私たちは私と一緒に働きます。
13x+14x+17y-17y=43+11
変数が 1 つの線形方程式が得られました。
連立方程式を解いたことがありますか?
このシステムの解決策は、数値のペアです。
y を見つけるにはどうすればよいですか?
見つかった x の値をシステム方程式に代入します。
x の値をどの式に代入するかは重要ですか?
これは、見つかった x の値を次の値に代入できることを意味します。
システムの任意の方程式。
私たちは新しい方法、代数的加算の方法を知りました。
システムを解きながら、この方法を使用してシステムを解くためのアルゴリズムについて議論しました。
アルゴリズムを見直しました。 では、問題解決に応用してみましょう。
連立方程式を解く能力は、実際に役立つことがあります。
問題を考えてみましょう:
農場には鶏と羊がいます。 頭が 19 個、足が 46 本ある場合、両方は何個ありますか?
鶏と羊が合計 19 匹いることがわかったので、最初の方程式を作成しましょう: x + y = 19
4x - 羊の足の数
2у - 鶏の足の数
脚が 46 本しかないことを知って、2 番目の方程式を作成しましょう: 4x + 2y = 46
連立方程式を作成しましょう。
加法を用いた解法アルゴリズムを使って連立方程式を解いてみましょう。
問題！ x と y の前の係数は等しくなく、逆でもありません。 何をするか？
別の例を見てみましょう。
アルゴリズムにもう 1 つのステップを追加して、それを最初に配置しましょう。変数の前の係数が同じでなく、逆でもない場合は、変数のモジュールを等化する必要があります。 そしてアルゴリズムに従って行動していきます。
4. 目の電子身体トレーニング: http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html
5. 代数加算法を使用して問題を完成させます。 新しい素材そして農場に何羽の鶏と羊がいたかを調べてください。
追加のタスク:
6. 
反射。
授業で自分の作品に成績を付けます -...
6. 使用されるインターネット リソース:
Google の教育向けサービス
数学教師ソコロワN.N.
2 つの未知数をもつ連立一次方程式とは、すべてを見つける必要がある 2 つ以上の線形方程式です。 一般的な解決策。 2 つの未知数における 2 つの線形方程式系を考えます。 全体図 2 つの未知数を含む 2 つの線形方程式の系を次の図に示します。
( a1*x + b1*y = c1、
( a2*x + b2*y = c2
ここで、x と y は未知の変数、a1、a2、b1、b2、c1、c2 は実数です。 2 つの未知数における 2 つの線形方程式系の解は 1 対の数値 (x,y) であり、これらの数値を系の方程式に代入すると、系の各方程式は真の等式になります。 連立一次方程式を解く方法はいくつかあります。 連立一次方程式を解く方法の 1 つである加算法を考えてみましょう。
加算法で解くアルゴリズム
加算法を使用して 2 つの未知数を持つ連立一次方程式を解くアルゴリズム。
1. 必要に応じて、等価変換を使用して、両方の方程式の未知の変数の 1 つの係数を等しくします。
2. 結果の方程式を加算または減算して、未知数を 1 つ含む一次方程式を取得します。
3. 得られた方程式を 1 つの未知数で解き、変数の 1 つを見つけます。
4. 結果の式をシステムの 2 つの方程式のいずれかに代入し、この方程式を解き、2 番目の変数を取得します。
5. 解決策を確認します。
加算法による解決例
より明確にするために、加算法を使用して 2 つの未知数を含む次の連立一次方程式を解いてみましょう。
(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;
どの変数も同一の係数を持たないため、変数 y の係数を等しくします。 これを行うには、最初の式に 3 を掛け、2 番目の式に 2 を掛けます。
(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2
得ます 次の方程式系:
(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;
次に、2 番目の方程式から最初の式を減算します。 同様の項を提示し、結果として得られる一次方程式を解きます。
10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;
結果の値を元のシステムの最初の方程式に代入し、結果の方程式を解きます。
(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y=14;
結果は、数値 x=6 と y=14 のペアになります。 確認中です。 置き換えてみましょう。
(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;
{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;
{10 = 10;
{12=12;
ご覧のとおり、2 つの正しい等式が得られたため、正しい解が見つかりました。
