100%確実に言えることは、斜辺の二乗は何かと尋ねられたら、大人なら誰でも大胆に「足の二乗の和」と答えるだろうということです。 この定理は教育を受けたすべての人の心にしっかりと根付いていますが、誰かに証明してもらう必要があるだけで、困難が生じる可能性があります。 それで思い出して考えてみましょう 違う方法ピタゴラスの定理の証明。
略歴
ピタゴラスの定理はほとんどの人によく知られていますが、どういうわけか、それを世にもたらした人物の伝記はあまり人気がありません。 これは修正できます。 したがって、ピタゴラスの定理を証明するさまざまな方法を検討する前に、ピタゴラスの性格について簡単に知る必要があります。
ピタゴラス - 哲学者、数学者、思想家 元々は今日、彼の伝記をこの偉大な男を記念して発展した伝説から区別することは非常に困難です。 しかし、彼の信奉者の著作からわかるように、サモスのピタゴラスはサモス島で生まれました。 彼の父親は普通の石切り職人でしたが、母親は貴族の出身でした。
伝説から判断すると、ピタゴラスの誕生はピシアという女性によって予言され、その名をとって少年はその名をとられました。 彼女の予言によれば、生まれてくる男の子は人類に多くの利益と善をもたらすはずだった。 それはまさに彼がやったことだ。
定理の誕生
若い頃、ピタゴラスはエジプトに移り、そこで有名なエジプトの賢者たちに会いました。 彼らと会った後、彼は勉強することを許可され、そこでエジプトの哲学、数学、医学のすべての偉大な成果を学びました。
ピタゴラスがピラミッドの威厳と美しさに触発され、偉大な理論を生み出したのはおそらくエジプトでした。 これは読者にショックを与えるかもしれないが、現代の歴史家はピタゴラスが彼の理論を証明していないと信じている。 しかし、彼は自分の知識を弟子たちに伝えただけで、彼らは後に必要な数学的計算をすべて完了させました。
それはともかく、今日、この定理を証明する方法は 1 つだけではなく、一度にいくつかあります。 今日、古代ギリシャ人がどのように正確に計算を実行したかは推測することしかできません。そこで、ここではピタゴラスの定理を証明するさまざまな方法を見てみましょう。
ピタゴラスの定理
計算を開始する前に、どのような理論を証明したいのかを把握する必要があります。 ピタゴラスの定理は次のようになります。「角度の 1 つが 90°である三角形では、脚の二乗の和は斜辺の二乗に等しい」。
ピタゴラスの定理を証明するには 15 の異なる方法があります。 これで十分です 大きな数、その中で最も人気のあるものに注目してみましょう。
方法 1
まず、私たちに与えられたものを定義しましょう。 これらのデータはピタゴラスの定理を証明する他の方法にも適用されるため、利用可能なすべての表記法をすぐに覚えておく価値があります。
脚 a、b と斜辺が c に等しい直角三角形が与えられたとします。 最初の証明方法は、直角三角形から正方形を描く必要があるという事実に基づいています。
これを行うには、脚 b に等しいセグメントを長さ a の脚に追加する必要があります (逆も同様)。 これにより、正方形の 2 つの等しい辺が得られます。 あとは2本の平行線を引くだけで正方形が完成します。
結果の図の中に、辺のある別の正方形を描く必要があります 斜辺に等しい本来の三角形。 これを行うには、頂点 ас と св から с に等しい 2 つの平行な線分を描く必要があります。 したがって、正方形の 3 つの辺が得られ、そのうちの 1 つは元の直角三角形の斜辺になります。 残っているのは 4 番目のセグメントを描画することだけです。
結果の図に基づいて、外側の正方形の面積は (a + b) 2 であると結論付けることができます。 図の中を見ると、内側の正方形に加えて 4 つの正方形があることがわかります。 直角三角形。 それぞれの面積は0.5avです。
したがって、面積は次のようになります: 4 * 0.5ab + c 2 = 2av + c 2
したがって、(a + b) 2 = 2ab + c 2
したがって、c 2 =a 2 +b 2
定理は証明されました。
方法 2: 相似な三角形
ピタゴラスの定理を証明するためのこの公式は、相似な三角形に関する幾何学のセクションの記述に基づいて導出されました。 それは、直角三角形の脚は、その斜辺と、90°の角度の頂点から伸びる斜辺のセグメントに比例する平均であると述べています。
初期データはそのままなので、早速証明を始めましょう。 辺ABに垂直な線分CDを描きましょう。 上記の記述に基づくと、三角形の足は等しいです。
AC=√AB*AD、SV=√AB*DV。
ピタゴラスの定理をどのように証明するかという問題に答えるには、両方の不等式を二乗することによって証明を完了する必要があります。
AC 2 = AB * AD および CB 2 = AB * DV
次に、結果として生じる不等式を合計する必要があります。
AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV)、AD + DV = AB
次のことがわかります。
AC2+CB2=AB*AB
したがって：
AC 2 + CB 2 = AB 2
ピタゴラスの定理の証明と さまざまな方法その解決策には、この問題に対する多面的なアプローチが必要です。 ただし、このオプションは最も単純なオプションの 1 つです。
別の計算方法
ピタゴラスの定理を証明するさまざまな方法の説明は、実際に実践し始めるまでは何の意味もないかもしれません。 多くのテクニックには、数学的な計算だけでなく、元の三角形から新しい図形を構築することも含まれます。
この場合、辺BCから再度直角三角形VSDを完成させる必要がある。 したがって、共通の脚 BC を持つ 2 つの三角形が存在します。
相似図形の面積は、相似図形の二乗と同じ比率であることを知る 直線寸法、 それ：
S avs * c 2 - S avd * in 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2
S avs *(2 - から 2) = a 2 *(S avd -S vsd)
2 - から 2 =a 2
c 2 =a 2 +b 2
8 年生向けのピタゴラスの定理を証明するさまざまな方法のうち、このオプションはほとんど適切ではないため、次の方法を使用できます。
ピタゴラスの定理を証明する最も簡単な方法。 レビュー
歴史家によると、この方法は、定理を証明するために初めて使用されました。 古代ギリシャ。 まったく計算を必要としないため、最も簡単です。 絵を正しく描けば、a 2 + b 2 = c 2 という命題の証明がはっきりと見えます。
条件 この方法前回とは若干異なります。 定理を証明するには、直角三角形 ABC が二等辺であると仮定します。
斜辺 AC を正方形の辺として取り、その 3 つの辺を描きます。 さらに、得られた正方形に 2 本の対角線を引く必要があります。 つまり、その中には 4 つの二等辺三角形ができます。
また、脚 AB と CB に正方形を描き、それぞれに斜めの直線を 1 本描く必要があります。 最初の線を頂点 A から描き、2 番目の線を頂点 C から描きます。
次に、結果として得られる図面を注意深く見る必要があります。 斜辺 AC 上には元の三角形と等しい 4 つの三角形があり、辺上には 2 つの三角形があるため、これはこの定理が真実であることを示しています。
ちなみに、ピタゴラスの定理を証明するこの方法のおかげで、「ピタゴラスのパンツはどの方向でも等しい」という有名なフレーズが生まれました。
J. ガーフィールドの証明
ジェームズ・ガーフィールドはアメリカ合衆国の第20代大統領です。 彼はアメリカ合衆国の統治者として歴史に名を残しただけでなく、才能ある独学でもありました。
キャリアの初めは公立学校の普通の教師でしたが、すぐに最高レベルの学校の校長になりました。 教育機関。 自己啓発への欲求により、彼はピタゴラスの定理を証明するための新しい理論を提案することができました。 定理とその解法例は以下の通りです。
まず、紙の上に 2 つの直角三角形を描き、そのうちの 1 つの足が 2 つ目の足と連続するようにします。 最終的に台形を形成するには、これらの三角形の頂点を接続する必要があります。
ご存知のとおり、台形の面積は、底辺と高さの合計の半分の積に等しくなります。
S=a+b/2 * (a+b)
得られた台形を 3 つの三角形からなる図形として考えると、その面積は次のように求められます。
S=av/2 *2 + s 2 /2
ここで、2 つの元の式を等しくする必要があります。
2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2
c 2 =a 2 +b 2
ピタゴラスの定理とその証明方法については、複数の本が書けるでしょう。 教材。 しかし、この知識が実際に適用できない場合、意味があるでしょうか?
ピタゴラスの定理の実践
残念ながら、現代の学校カリキュラムでは、この定理の使用は幾何学問題でのみ規定されています。 卒業生は、自分の知識やスキルを実際にどのように応用できるかわからないまま、まもなく学校を卒業することになります。
実際、ピタゴラスの定理を使用してください。 日常生活みんなが出来る。 そしてそれだけではなく 専門的な活動, だけでなく、通常の家事でも。 ピタゴラスの定理とその証明方法が非常に必要となるいくつかのケースを考えてみましょう。
定理と天文学の関係
紙の上の星と三角形がどのように接続できるかのように見えます。 実は天文学というのは、 科学分野, ピタゴラスの定理を多用しています。
たとえば、空間内の光線の動きを考えてみましょう。 光は両方向に同じ速度で移動することが知られています。 光線が進む軌道を AB とします。 私. そして、光が点 A から点 B に到達するのにかかる時間の半分を呼び出しましょう t。 そしてビームの速度 - c. 次のことがわかります。 c*t=l
この同じ光線を別の平面、たとえば速度 v で移動する宇宙船から見ると、この方法で物体を観察すると、その速度が変化します。 この場合、静止している要素も速度 v で反対方向に動き始めます。
コミックライナーが右に航行しているとします。 次に、ビームが突入する点AとBが左に移動し始めます。 さらに、ビームが点 A から点 B に移動するとき、点 A には移動する時間があり、したがって、光はすでに新しい点 C に到着しています。点 A が移動した距離の半分を求めるには、次の式を乗算する必要があります。ライナーの速度はビームの移動時間 (t ") の半分になります。
この間に光線がどのくらいの距離を移動できるかを調べるには、経路の半分を新しい文字 s でマークし、次の式を取得する必要があります。
光の点 C と B、およびスペースライナーが二等辺三角形の頂点であると想像すると、点 A からライナーまでの線分は二等辺三角形を 2 つの直角三角形に分割します。 したがって、ピタゴラスの定理のおかげで、光線が到達できる距離を知ることができます。
もちろん、この例は最も成功した例というわけではありません。実際に試してみることができるのは幸運にも少数の人だけだからです。 したがって、この定理のより日常的な応用を考えてみましょう。
モバイル信号の送信範囲
現代の生活はもはやスマートフォンの存在なしでは考えられません。 しかし、モバイル通信経由で加入者と接続できなければ、どれほどの用途があるでしょうか?!
モバイル通信の品質は、アンテナが設置されている高さに直接依存します。 携帯電話会社。 電話機が携帯電話の塔からどれくらいの距離で信号を受信できるかを計算するには、ピタゴラスの定理を適用できます。
半径 200 キロメートル以内に信号を配信できるように、固定塔のおおよその高さを見つける必要があるとします。
AB (タワーの高さ) = x;
BC (信号伝送半径) = 200 km;
OS(半径 グローブ) = 6380 km。
OB=OA+ABOB=r+x
ピタゴラスの定理を適用すると、塔の最小の高さは 2.3 キロメートルである必要があることがわかります。
日常生活におけるピタゴラスの定理
奇妙なことに、ピタゴラスの定理は次のような場合にも役立ちます。 家事たとえば、ワードローブの高さを決定するなど。 一見すると、そのようなものを使用する必要はありません 複雑な計算、巻尺を使用して簡単に測定できるためです。 しかし、すべての測定が正確以上に行われているのに、なぜ組み立てプロセス中に特定の問題が発生するのか疑問に思う人は少なくありません。
実際のところ、ワードローブは水平位置で組み立てられ、その後持ち上げられて壁に対して設置されます。 したがって、構造物を持ち上げるプロセス中、キャビネットの側面は部屋の高さに沿って、および部屋の対角線の両方に自由に移動する必要があります。
奥行き800mmのワードローブがあると仮定します。 床から天井までの距離 - 2600 mm。 経験豊富な家具メーカーは、キャビネットの高さは部屋の高さより 126 mm 低くする必要があると言います。 しかし、なぜ正確に 126 mm なのでしょうか? 例を見てみましょう。
理想的なキャビネットの寸法を使用して、ピタゴラスの定理の動作を確認してみましょう。
AC =√AB 2 +√BC 2
AC = √2474 2 +800 2 =2600 mm - すべてが適合します。
キャビネットの高さが 2474 mm ではなく、2505 mm であるとします。 それから：
AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm。
したがって、このキャビネットはこの部屋への設置には適していません。 垂直位置に持ち上げると本体を損傷する可能性があるためです。
おそらく、さまざまな科学者がピタゴラスの定理を証明するさまざまな方法を検討した結果、それが真実以上であると結論付けることができるでしょう。 これで、受け取った情報を日常生活で使用することができ、すべての計算が役に立つだけでなく、正確であることを完全に確信できます。
ピタゴラスの定理は幾何学の最も重要な記述です。 定理は次のように定式化されます。直角三角形の斜辺上に作られる正方形の面積は、その脚上に作られる正方形の面積の合計に等しいです。
この声明の発見は通常、次の原因によるものと考えられています 古代ギリシャの哲学者そして数学者ピタゴラス（紀元前6世紀）。 しかし、バビロニアの楔形文字板と古代中国の写本（さらに古い写本）の研究により、この声明はピタゴラスよりずっと前、おそらく彼の千年前から知られていたことが示されました。 ピタゴラスの功績は、この定理の証明を発見したことです。
おそらく、ピタゴラスの定理で述べられている事実は、直角二等辺三角形について初めて確立されたものと思われます。 図に示されている黒と明るい三角形のモザイクを見てください。 1、三角形の定理の妥当性を検証します。斜辺上に構築された正方形には 4 つの三角形が含まれ、2 つの三角形を含む正方形は各辺に構築されます。 一般的なケースを証明するには 古代インド配置方法は 2 つあります。1 辺のある正方形の中に、 と の長さの脚を持つ 4 つの直角三角形を描きました (図 2、a および 2、b)。その後、「見てください!」という 1 つの単語を書きました。 そして実際、これらの図面を見ると、左側には三角形のない、辺のある2つの正方形からなる図形があり、したがってその面積は に等しく、右側には辺のある正方形があることがわかります。その面積は に等しい。 これは、これがピタゴラスの定理の命題を構成することを意味します。
しかし、2,000 年間、使用されてきたのはこの視覚的な証明ではなく、有名な著書「要素」に記載されているユークリッドによって発明されたより複雑な証明でした (ユークリッドとその「要素」を参照)。ユークリッドは高さを下げました。上から 直角は斜辺上で構築され、その連続により斜辺上に構築された正方形が 2 つの長方形に分割され、その面積が脚上に構築された対応する正方形の面積に等しいことが証明されました (図 3)。 この定理を証明するために使用された図は、冗談めかして「ピタゴラスのパンツ」と呼ばれています。 長い間、それは数学のシンボルの1つと考えられていました。
今日、数十が知られています さまざまな証拠ピタゴラスの定理。 それらのいくつかは、正方形の分割に基づいており、斜辺上に構築された正方形は、脚上に構築された正方形の分割に含まれる部分で構成されます。 その他 - 等しい数字の補数について。 3つ目は、直角の頂点から斜辺まで下がった高さが、直角三角形をそれに似た2つの三角形に分割するという事実についてです。
ピタゴラスの定理は、ほとんどの幾何学的計算の基礎となります。 古代バビロンでも、二等辺三角形の底辺と辺の長さから高さの長さを計算し、円の直径と弦の長さから線分の矢印を計算し、関係を確立しました。いくつかの正多角形の要素の間。 ピタゴラスの定理を使用して、その一般化を証明します。これにより、鋭角または鈍角の反対側にある辺の長さを計算できます。
この一般化から、直角の存在は十分であるだけでなく、等式が満たされるための必要条件でもあることがわかります。 式 (1) から次の関係が得られます。 
平行四辺形の対角線と辺の長さの間。これを使用すると、辺の長さから三角形の中線の長さを簡単に見つけることができます。
ピタゴラスの定理に基づいて、三角形の面積を辺の長さで表す公式が導き出されます (ヘロンの公式を参照)。 もちろん、ピタゴラスの定理はさまざまな実際的な問題を解決するためにも使用されました。
正方形の代わりに、直角三角形の辺に同様の図形 (正三角形、半円など) を構築できます。 この場合、斜辺上に構築される図形の面積は、脚上に構築される図形の面積の合計に等しくなります。 別の一般化は、平面から空間への移行に関連しています。 これは次のように定式化されます。直方体の対角長の 2 乗は、その寸法 (長さ、幅、高さ) の 2 乗の和に等しいです。 同様の定理は、多次元の場合や無限次元の場合にも当てはまります。
ピタゴラスの定理はユークリッド幾何学にのみ存在します。 これは、ロバチェフスキー幾何学や他の非ユークリッド幾何学では発生しません。 球面上にはピタゴラスの定理に相当するものはありません。 90°の角度を形成する 2 つの子午線と、球面上の赤道が正三角形の球面を結び、その 3 つの角度はすべて直角です。 彼にとっては、飛行機の中とは違います。
ピタゴラスの定理を使用して、次の式を使用して点と座標平面の間の距離を計算します。
.
ピタゴラスの定理が発見された後、直角三角形の辺となる自然数の三つの要素をすべて見つける方法という問題が生じました (フェルマーの最終定理を参照)。 それらはピタゴラス人によって発見されましたが、このような 3 つの数を見つけるための一般的な方法のいくつかはバビロニア人にはすでに知られていました。 楔形文字板の 1 つは 15 個の三つ組を含んでいます。 その中には、非常に多くの要素で構成される三つ子があります。 多数、選択によってそれらを見つけることに疑問の余地はありません。
ヒポクラテス窩
ヒポクラテスのルナは 2 つの円の弧によって囲まれた図形であり、さらに、これらの円の共通の弦の半径と長さを使用し、コンパスと定規を使用して、それらと同じサイズの正方形を構築できるようになります。
ピタゴラスの定理を半円に一般化すると、左の図に示すピンク色の塊の面積の合計は青い三角形の面積に等しいことがわかります。 したがって、直角二等辺三角形を取ると、2つの穴が得られ、それぞれの面積は三角形の面積の半分に等しくなります。 古代ギリシャの数学者ヒポクラテス (紀元前 5 世紀) は、円を正方形にする問題 (古代の古典的な問題を参照) を解こうとして、さらにいくつかの穴を発見しました。その面積は直線図形の面積で表されます。
海辺縁月面の完全なリストは、19 世紀から 20 世紀になって初めて入手されました。 ガロア理論手法の使用のおかげで。
創造性の可能性は通常、人文科学に帰せられ、自然科学は分析、実践的なアプローチ、数式や数字の無味乾燥な言語に任せられます。 数学は人文科学の科目として分類することはできません。 しかし、創造性がなければ、「すべての科学の女王」に到達することはできません。人々はこのことを長い間知っていました。 たとえばピタゴラスの時代から。
残念ながら、学校の教科書では、数学では定理、公理、公式を詰め込むだけではないことが重要であることは説明されていません。 その基本原理を理解し、感じることが重要です。 そして同時に、決まり文句や初歩的な真実から心を解放するように努めてください。すべての偉大な発見はそのような状況でのみ生まれます。
そのような発見には、今日ピタゴラスの定理として知られているものが含まれます。 その助けを借りて、数学は刺激的なものであるだけでなく、そうあるべきであることを示していきたいと思います。 そして、この冒険は分厚いメガネをかけたオタクだけでなく、心と精神が強いすべての人に適しているということ。
問題の経緯から
厳密に言えば、この定理は「ピタゴラスの定理」と呼ばれていますが、ピタゴラス自身が発見したわけではありません。 直角三角形とその特別な特性は、それよりずっと前から研究されていました。 この問題に関しては 2 つの極的な観点があります。 一説によれば、ピタゴラスはこの定理の完全な証明を最初に発見したという。 別の人によると、この証明はピタゴラスの作者のものではありません。
今では、誰が正しくて誰が間違っているかを確認することはできなくなりました。 知られているのは、ピタゴラスの証明が存在したとしても、その証明は生き残っていないということです。 しかし、ユークリッドの原論からの有名な証明はピタゴラスのものである可能性があり、ユークリッドはそれを記録しただけであるという示唆があります。
また、今日では、直角三角形に関する問題が、ファラオ アメンエムハト 1 世の時代のエジプトの資料、ハンムラビ王の時代のバビロニアの粘土板、古代インドの論文「スルヴァ スートラ」、および古代中国の著作に見られることが知られています。周美スアンジン」。
ご覧のとおり、ピタゴラスの定理は古代から数学者の心を占めてきました。 これは、現在存在する約 367 の異なる証拠によって確認されています。 この点では、他の定理はこれに匹敵することはできません。 有名な証明の著者の中には、レオナルド・ダ・ヴィンチや第 20 代米国大統領ジェームズ・ガーフィールドを思い出すことができます。 これらすべては、この定理が数学にとって非常に重要であることを物語っています。幾何学の定理のほとんどはこの定理から導出されているか、何らかの形でこの定理と関連しています。
ピタゴラスの定理の証明
学校の教科書には代数の証明がほとんど載っています。 しかし、この定理の本質は幾何学にあるので、最初にこの科学に基づいた有名な定理の証明について考えてみましょう。
証拠1
直角三角形のピタゴラスの定理を最も簡単に証明するには、次のように設定する必要があります。 理想的な条件: 三角形を長方形だけでなく二等辺にすることもできます。 古代の数学者が最初に考えたのはまさにこの種の三角形であったと信じる理由があります。
声明 「直角三角形の斜辺上に作られる正方形は、その脚上に作られる正方形の和に等しい」次の図で説明できます。
二等辺長方形を見てください 三角形ABC: 斜辺 AC 上に、元の ABC に等しい 4 つの三角形からなる正方形を構築できます。 そして、辺 AB と辺 BC には正方形が構築され、それぞれの正方形には 2 つの相似な三角形が含まれます。
ちなみに、この絵は、ピタゴラスの定理をテーマにした数多くのジョークや漫画の基礎を形成しました。 最も有名なのはおそらく 「ピタゴラスパンツはどの方向でも等しい」:
証拠2
この方法は代数学と幾何学を組み合わせたもので、古代インドの数学者バスカリの証明の変形と考えることができます。
辺のある直角三角形を作成します a、b、c(図1)。 次に、2 本の脚の長さの合計に等しい辺を持つ 2 つの正方形を作成します。 (a+b)。 それぞれの正方形で、図 2 と図 3 のような構造を作成します。
最初の正方形で、図 1 と同様の 4 つの三角形を作成します。結果は 2 つの正方形になります。1 つは辺 a で、2 つ目は辺 a です。 b.
2 番目の正方形では、構成された 4 つの相似な三角形が斜辺に等しい辺を持つ正方形を形成します。 c.
図2で構築された正方形の面積の合計は、図3の辺cで構築した正方形の面積に等しくなります。 これは、図の正方形の面積を計算することで簡単に確認できます。 計算式によると２。 そして、図3の内接正方形の面積は、一辺のある大きな正方形の面積から、その正方形に内接する4つの等しい直角三角形の面積を引いたものです。 (a+b).
これをすべて書き留めると、次のようになります。 a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab。 括弧を開いて必要な代数計算をすべて実行すると、次の結果が得られます。 a 2 +b 2 = a 2 +b 2。 この場合、図3に内接する領域となります。 平方は従来の公式を使用して計算することもできます S=c 2。 それらの。 a 2 +b 2 =c 2– あなたはピタゴラスの定理を証明しました。
証拠3
古代インドの証明自体は、12 世紀に論文『知識の王冠』（『シッダーンタ・シロマニ』）で説明されており、著者は主な議論として、学生や信者の数学的才能と観察スキルに向けた訴えを使用しています。見て！"
しかし、この証明をさらに詳しく分析します。
正方形の中に、図のように 4 つの直角三角形を作ります。 斜辺としても知られる大きな正方形の辺を示しましょう。 と。 三角形の足を呼びましょう あそして b。 図面によると、内側の正方形の辺は (a-b).
正方形の面積の公式を使用します S=c 2外側の正方形の面積を計算します。 そして同時に、内側の正方形の面積と 4 つの直角三角形すべての面積を加算して同じ値を計算します。 (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.
正方形の面積を計算するために両方のオプションを使用して、同じ結果が得られることを確認できます。 そしてこれはあなたにそれを書き留める権利を与えます c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b。 解法の結果として、ピタゴラスの定理の公式が得られます。 c 2 =a 2 +b 2。 定理は証明されました。
証明4
この奇妙な古代中国の証拠は、すべての構造から生じる椅子のような形状のため、「花嫁の椅子」と呼ばれていました。
すでに 2 回目の証明で図 3 で見た図を使用します。 そして、辺 c を持つ内側の正方形は、上記の古代インドの証明と同じ方法で構築されます。
図 1 の図から 2 つの緑色の長方形の三角形を頭の中で切り取り、辺 c の正方形の反対側に移動し、その斜辺を薄紫色の三角形の斜辺に接続すると、「花嫁の椅子」と呼ばれる図形が得られます。 (図2)。 わかりやすくするために、紙の正方形や三角形でも同じことができます。 「花嫁の椅子」が 2 つの正方形で形成されていることを確認します。1 つは側面のある小さな正方形です。 b側面があり大きい ある.
これらの構造により、古代中国の数学者とそれに従っている私たちは、次のような結論に達することができました。 c 2 =a 2 +b 2.
証拠5
これは、幾何学を使用してピタゴラスの定理の解を見つけるもう 1 つの方法です。 それはガーフィールド法と呼ばれています。
直角三角形を作図する ABC。 それを証明する必要があります BC 2 = AC 2 + AB 2.
これを行うには、脚を続けます 交流そしてセグメントを構築します CD、脚に等しい AB。 垂線を下げる 広告線分 ED。 セグメント EDそして 交流は同じ。 点を結びます Eそして で、 そして Eそして とそして、以下の図のような図面を取得します。
タワーを証明するために、すでに試した方法に再び頼ります。2 つの方法で結果の図形の面積を見つけ、式を互いに同等にします。
多角形の面積を求める ベッドを形成する 3 つの三角形の面積を合計することで求めることができます。 そしてそのうちの一人、 える、長方形だけでなく二等辺三角形もあります。 それも忘れないようにしましょう AB=CD, AC=EDそして BC=SE– これにより、録音を簡素化し、過負荷にならずに済むようになります。 それで、 SABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.
同時に、明らかなことは、 ベッド- これは台形です。 したがって、次の式を使用して面積を計算します。 サブベッド =(DE+AB)*1/2AD。 私たちの計算では、セグメントを表す方が便利で明確です。 広告セグメントの合計として 交流そして CD.
Figure の面積を計算する両方の方法を等号で挟んで書き留めてみましょう。 AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD)。 表記の右側を簡略化するために、すでにわかっており、上で説明したセグメントの等価性を使用します。 AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2。 ここで括弧を開いて等式を変換しましょう。 AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2。 すべての変換が完了すると、まさに必要なものが得られます。 BC 2 = AC 2 + AB 2。 私たちは定理を証明しました。
もちろん、この証拠のリストは完全ではありません。 ピタゴラスの定理はベクトルを使って証明することもできます。 複素数, 微分方程式、立体測定など。 さらには物理学者も同様です。たとえば、図面に示されているのと同様の正方形や三角形の容積に液体が注がれたとします。 液体を注ぐことにより、結果として面積の等しいことと定理そのものを証明することができます。
ピタゴラスの三つ子について一言
この問題は学校のカリキュラムではほとんど、あるいはまったく研究されていません。 一方で、彼はとても興味深く、 非常に重要幾何学で。 ピタゴラス トリプルは、多くの数学的問題を解決するために使用されます。 それらを理解することは、今後の教育に役立つ可能性があります。
では、ピタゴラスの三つ子とは何でしょうか? 彼らはそれをそう呼んでいます 整数、3 つに集められ、そのうちの 2 つの二乗の合計は、その正方形の 3 番目の数字に等しくなります。
ピタゴラス トリプルは次のようになります。
- プリミティブ (3 つの数値はすべて比較的素です)。
- プリミティブではありません (トリプルの各数値に同じ数値を乗算すると、プリミティブではない新しいトリプルが得られます)。
私たちの時代よりも前から、古代エジプト人はピタゴラスの三つの数のマニアに魅了されていました。問題では、辺が 3、4、5 単位の直角三角形を考慮していました。 ちなみに、辺がピタゴラスのトリプルの数に等しい三角形は、デフォルトでは長方形になります。
ピタゴラスの 3 つ組の例: (3, 4, 5)、(6, 8, 10)、(5, 12, 13)、(9, 12, 15)、(8, 15, 17)、(12, 16, 20 )、(15、20、25)、(7、24、25)、(10、24、26)、(20、21、29)、(18、24、30)、(10、30、34) 、(21、28、35)、(12、35、37)、(15、36、39)、(24、32、40)、(9、40、41)、(27、36、45)、( 14、48、50)、(30、40、50)など
定理の実際の応用
ピタゴラスの定理は数学だけでなく、建築や建設、天文学、さらには文学でも使用されています。
まず、構造についてです。ピタゴラスの定理は、さまざまなレベルの複雑さの問題で広く使用されています。 たとえば、ロマネスク様式の窓を見てください。
ウィンドウの幅を次のように表すことにします。 bの場合、主半円の半径は次のように表すことができます。 Rそしてそれを通して表現します b: R=b/2。 より小さい半円の半径は次のように表すこともできます。 b: r=b/4。 この問題では、ウィンドウの内円の半径に興味があります (これを次のように呼びます) p).
ピタゴラスの定理は計算に役立つだけです R。 これを行うには、図の点線で示されている直角三角形を使用します。 三角形の斜辺は 2 つの半径で構成されます。 b/4+p。 1本の脚は半径を表します b/4、 別の b/2-p。 ピタゴラスの定理を使用して、次のように書きます。 (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2。 次に、括弧を開いて次の結果を取得します。 b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2。 この式を変形してみましょう bp/2=b 2 /4-bp。 そして、すべての項を次のように割ります。 b、類似のものを提示して入手します 3/2*p=b/4。 そして最終的には次のことがわかります p=b/6- それが私たちが必要としていたものです。
定理を使用すると、垂木の長さを計算できます。 切妻屋根。 信号が一定のレベルに到達するために必要な携帯電話の塔の高さを決定する 決済。 そして着実にインストールしても クリスマスツリー街の広場で。 ご覧のとおり、この定理は教科書のページに載っているだけでなく、実生活でも役立つことがよくあります。
文学においては、ピタゴラスの定理は古代から作家にインスピレーションを与えてきましたが、それは現代でも影響を受け続けています。 たとえば、19 世紀のドイツの作家アーデルベルト フォン シャミッソは、次のようなソネットを書くインスピレーションを得ました。
真実の光はすぐに消えることはなく、
でも、輝いたからには消えそうにない
そして、何千年も前と同じように、
疑念や紛争を引き起こすことはありません。
あなたの視線に触れたときが最も賢い
真実の光よ、神に感謝します。
そして、屠殺された百頭の雄牛が嘘をついています。
幸運のピタゴラスからのお返し。
それ以来、雄牛たちは必死に吠え続けました。
雄牛族を永遠に警戒させた
ここで言及されているイベント。
彼らにはその時が近づいているようですが、
そして彼らは再び犠牲になるだろう
何か素晴らしい定理。
（翻訳：ヴィクトル・トポロフ）
そして 20 世紀には、ソ連の作家エフゲニー ヴェルティストフが、著書『エレクトロニクスの冒険』の中で、ピタゴラスの定理の証明に 1 章全体を費やしました。 そして、ピタゴラスの定理が単一世界の基本法則となり、さらには宗教になった場合に存在し得る二次元世界についての物語のもう半分の章です。 そこに住むのはずっと楽ですが、もっと退屈でもあります。たとえば、「丸い」とか「ふわふわ」という言葉の意味を理解している人は誰もいません。
そして、『エレクトロニクスの冒険』という本の中で、著者は数学教師タラタルの口を通して、「数学において最も重要なことは、思考の動き、新しいアイデアである」と述べています。 まさにこの創造的な思考の飛行がピタゴラスの定理を生み出します。ピタゴラスの定理が非常に多くの多様な証明を持っているのは当然のことです。 それは、見慣れたものの境界を超えて、見慣れたものを新しい方法で見るのに役立ちます。
結論
この記事は、学校の数学カリキュラムを超えて、教科書「幾何学 7-9」(L.S. アタナシアン、V.N. ルデンコ) と「幾何学 7」で与えられるピタゴラスの定理の証明だけを学ぶことができるように作成されました。 11」（A.V. ポゴレロフ）だけでなく、有名な定理を証明する他の興味深い方法もあります。 また、ピタゴラスの定理が日常生活にどのように応用できるかの例もご覧ください。
まず、この情報により、数学の授業でより高いスコアを獲得する資格が得られます。追加の情報源からのこの主題に関する情報は常に高く評価されます。
2つ目は、数学の面白さを感じてもらいたいということです。 確認する 具体例そこには常に創造性の余地があるということ。 ピタゴラスの定理とこの記事が、あなたが数学やその他の科学を独自に探求し、刺激的な発見をするきっかけとなることを願っています。
記事に示されている証拠が興味深いと思われた場合は、コメントでお知らせください。 この情報はあなたの研究に役立ちましたか? ピタゴラスの定理とこの記事についてのご意見を私たちに書いてください。喜んで話し合います。
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ピタゴラスの定理- ユークリッド幾何学の基本定理の 1 つで、次の関係を確立します。
直角三角形の辺の間。
ギリシャの数学者ピタゴラスによって証明されたと考えられており、ピタゴラスの名にちなんで名付けられました。
ピタゴラスの定理の幾何学的定式化。
この定理はもともと次のように定式化されました。
直角三角形では、斜辺上に作られる正方形の面積は、正方形の面積の合計に等しく、
脚の上に構築されています。
ピタゴラスの定理の代数的定式化。
直角三角形では、斜辺の長さの二乗は脚の長さの二乗の和に等しい。
つまり、三角形の斜辺の長さを次のように表します。 c、および脚の長さ あるそして b:
両方の処方 ピタゴラスの定理は同等ですが、2 番目の定式化はより基本的であり、そうではありません。
面積の概念が必要です。 つまり、2 番目のステートメントは、その領域について何も知らなくても検証できます。
直角三角形の辺の長さのみを測定します。
逆ピタゴラスの定理。
三角形の 1 辺の 2 乗が他の 2 辺の 2 乗の和に等しい場合、
直角三角形。
言い換えれば、次のようになります。
正の数の 3 倍ごとに ある, bそして c、 そのような
足のある直角三角形があります あるそして bと斜辺 c.
二等辺三角形のピタゴラスの定理。
正三角形のピタゴラスの定理。
ピタゴラスの定理の証明。
現在、この定理の 367 件の証明が科学文献に記録されています。 おそらく定理
ピタゴラスは、これほど驚くべき数の証明を持つ唯一の定理です。 このような多様性
幾何学の定理の基本的な重要性によってのみ説明できます。
もちろん、概念的にはそれらはすべて少数のクラスに分類できます。 その中で最も有名なものは次のとおりです。
証拠 エリア法, 公理的なそして 珍しい証拠（例えば、
を使用して 微分方程式).
1. 相似三角形を用いたピタゴラスの定理の証明。
代数定式化の次の証明は、構築された証明の中で最も単純です。
公理から直接。 特に、図形の面積の概念は使用しません。
させて ABC直角を持つ直角三角形があります C。 から高さを描きましょう Cと示します
その基盤は H.
三角形 ACH三角形に似た AB 2 つの角に C があります。 同様に三角形 CBH似ている ABC.
表記法を導入すると、次のようになります。
我々が得る：
,
- に相当します
折りたたんだ状態 ある 2と b 2、次の結果が得られます。
または、それを証明する必要があります。
2. 面積法を用いたピタゴラスの定理の証明。
以下の証明は単純そうに見えますが、まったく単純ではありません。 それらすべて
面積の性質を使用しますが、その証明はピタゴラスの定理自体の証明よりも複雑です。
- 等相補性による証明。
等しい長方形を4つ並べましょう
図のように三角形
右側。
辺のある四角形 c- 四角、
2つの合計から 鋭い角 90°、
展開角度 - 180°。
一方、図形全体の面積は、
一辺のある正方形の面積( a+b)、一方、4 つの三角形の面積の合計と
Q.E.D.
3. 無限小法によるピタゴラスの定理の証明。
図に示されている図面を見ると、
サイドチェンジを見ているある、 我々はできる
次の関係を無限に書きます
小さい サイドインクリメントとそして ある(類似性を利用して
三角形）：
変数分離方法を使用すると、次のことがわかります。
両側で増分がある場合の斜辺の変化のより一般的な式は次のとおりです。
この方程式を積分し、初期条件を使用すると、次が得られます。
したがって、次のような望ましい答えに到達します。
簡単にわかるように、最終的な式には二次依存性が現れます。
三角形の辺と増分の間の比例関係、一方、合計は独立した要素に関係します。
さまざまな脚の増分による寄与。
脚の 1 つが増加しないと仮定すると、より簡単な証明が得られます。
（この場合は足です） b）。 次に、積分定数については次のようになります。
家
ピタゴラスの定理を証明する方法。
G・グレイザー
モスクワのロシア教育アカデミーの会員
ピタゴラスの定理とその証明方法について
直角三角形の斜辺上に作られる正方形の面積は、その脚上に作られる正方形の面積の合計に等しい...
これは、ピタゴラスの定理と呼ばれる、古代の最も有名な幾何定理の 1 つです。 面積測定を学んだことのあるほとんどの人は、今でもそれを知っています。 地球外文明に地球上の知的生命体の存在を知らせたいなら、ピタゴラス図形の画像を宇宙に送信すべきだと私には思えます。 思考する存在がこの情報を受け入れることができれば、複雑な信号解読をしなくても、地球上にかなり発達した文明があることが理解できると思います。
この定理の名前の由来となった有名なギリシャの哲学者で数学者であるサモス島のピタゴラスは、約 2500 年前に生きていました。 私たちに届いたものは、 略歴ピタゴラスについては断片的で信頼性からは程遠いです。 彼の名前には多くの伝説が関係しています。 ピタゴラスが東方諸国を頻繁に旅行し、エジプトやバビロンを訪れたことは確実に知られています。 南イタリアのギリシャ植民地の一つに、彼は有名な「 ピタゴラス学派」、科学と科学の分野で重要な役割を果たしました。 政治生活古代ギリシャ。 有名な幾何定理を証明したのはピタゴラスです。 広まった伝説に基づく 有名な数学者(プロクロス、プルタルコスなど)、 長い間この定理はピタゴラス以前には知られていなかったと考えられていたため、ピタゴラスの定理という名前が付けられました。
しかし、この定理がピタゴラスの何年も前から知られていたことは疑いの余地がありません。 つまり、ピタゴラスの 1500 年前、古代エジプト人は、辺 3、4、5 を持つ三角形が直角であることを知っており、計画を立てるときにこの性質 (つまり、ピタゴラスの定理の逆定理) を利用して直角を構築していました。 土地区画そして建物の構造物。 今でも田舎の建築屋さんや大工さんは、小屋の基礎を作って部品を作るときに、直角になるようにこの三角形を描きます。 同じことが何千年前にもエジプト、バビロン、中国、そしておそらくメキシコでも壮大な神殿の建設の際に行われました。 ピタゴラスの約 600 年前に書かれた中国の最も古い数学および天文学の著作である周碧には、直角三角形に関連する他の提案の中でも特にピタゴラスの定理が含まれています。 この定理はさらに以前からヒンドゥー教徒に知られていました。 したがって、ピタゴラスは直角三角形のこの性質を発見したのではなく、おそらく彼がそれを一般化して証明し、それによってそれを実践の分野から科学の分野に移したのでしょう。 彼がどのようにしてそれを行ったのかはわかりません。 一部の数学史家は、ピタゴラスの証明は基礎的なものではなく、直角二等辺三角形から始まる多くの特定の種類の三角形に対するこの性質の確認、つまり確認にすぎないと仮定しています。 1.
と 
古代以来、数学者はピタゴラスの定理の新しい証明、その証明のための新しいアイデアをどんどん発見してきました。 150 を超えるそのような証明 (多かれ少なかれ厳格で、多かれ少なかれ視覚的) が知られていますが、その数を増やしたいという要望は依然として残っています。 ピタゴラスの定理の証明を自主的に「発見」することは、現代の小学生にも役立つと思います。
このような調査の方向性を示唆する証拠の例をいくつか見てみましょう。
ピタゴラスの証明
「直角三角形の斜辺上に作られる正方形は、その脚上に作られる正方形の和に等しい。」定理の最も単純な証明は、直角二等辺三角形の最も単純な場合に得られます。 おそらくこれが定理の始まりです。 実際、定理の正当性を確信するには、直角二等辺三角形のモザイクを見るだけで十分です。 たとえば、DABC の場合: 斜辺上に構築された正方形 交流、 4 つの元の三角形と、2 つの足で構築された正方形が含まれています。 定理は証明されました。
図形の等しいサイズの概念の使用に基づく証明。
この場合、与えられた直角三角形の斜辺上に作られた正方形が、辺上に作られた正方形と同じ図形で「構成されている」という証拠を考慮することができます。 また、図形の加数を並べ替えたり、多くの新しいアイデアを考慮したりする証明を検討することもできます。
図では、 2は2つを示します 等しい正方形。 各正方形の辺の長さは a + b です。 それぞれの正方形は、正方形と直角三角形からなる部分に分割されます。 正方形の面積から足a、bを持つ直角三角形の面積の4倍を引くと、次のようになります。 等面積つまり、 c 2 = a 2 + b 2 です。 しかし、この推論が属する古代のヒンドゥー教徒は、通常、それを書き留めず、ただ一言、「見てください！」という言葉を絵に添えていました。 ピタゴラスも同じ証明をした可能性は十分にあります。
追加の証拠。
これらの証明は、脚上に構築された正方形を図形に分解し、そこから斜辺上に構築された正方形を追加できることに基づいています。
ここで、ABC は直角 C を持つ直角三角形です。 C→MN; CKMN; PO||MN; EF||MN。
脚と斜辺で構築された正方形を分割することによって得られる三角形のペアごとの等しいことを独立して証明します。
この分割を使用して定理を証明します。
アル・ナイリジヤの証明に基づいて、正方形のペアごとの等しい図形への別の分解が実行されました (図 5、ここで ABC は直角 C を持つ直角三角形です)。
「羽根付きホイール」と呼ばれる正方形を等分する方法による別の証明を図に示します。 6. ここで、ABC は直角 C を持つ直角三角形です。 O は大きな辺に作られた正方形の中心です。 点Oを通る点線は斜辺に対して垂直または平行です。
この正方形の分解は、そのペアの等しい四角形が平行移動によって相互にマッピングできるため、興味深いものです。 ピタゴラスの定理の他の多くの証明は、正方形を図形に分解することを使用して提供できます。
完了方法による証拠。
この方法の本質は、等しい数値が得られるように、脚上に構築された正方形と斜辺上に構築された正方形に等しい数値を加算することです。
ピタゴラスの定理の有効性は、六角形 AEDFPB と ACBNMQ のサイズが等しいことからわかります。 ここで CEP、線分 EP は六角形 AEDFPB を 2 つの等しい四角形に分割し、線分 CM は六角形 ACBNMQ を 2 つの等しい四角形に分割します。 中心 A を中心に平面を 90 度回転すると、四角形 AEPB が四角形 ACMQ にマッピングされます。
図では、 8 ピタゴラス図形は長方形に完成します。その辺は、各辺に作られた正方形の対応する辺と平行です。 この長方形を三角形と長方形に分割してみましょう。 結果の長方形から、まずすべての多角形 1、2、3、4、5、6、7、8、9 を差し引き、斜辺上に構築された正方形を残します。 次に、同じ長方形から長方形 5、6、7 と影付きの長方形を差し引くと、脚の上に構築された正方形が得られます。 |
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ここで、最初のケースで減算された数値が、2 番目のケースで減算された数値とサイズが等しいことを証明しましょう。
KLOA = ACPF = ACED = a 2 ;
LGBO = CBMP = CBNQ = b 2 ;
AKGB = AKLO + LGBO = c 2 ;
したがって、 c 2 = a 2 + b 2 となります。
OCLP = ACLF = ACED = b 2 ; 
CBML = CBNQ = a 2 ;
OBMP = ABMF = c2;
OBMP = OCLP + CBML;
c 2 = a 2 + b 2 。
代数的証明方法。
米。 12 はインドの偉大な数学者バスカリ ( 有名な作家リラヴァティ、X |
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ピタゴラスによるこれらの証明の 1 つを現代的なプレゼンテーションで提示しましょう。 |
II世紀）。 絵にはたった一言「見て！」が添えられていました。 ピタゴラスの定理の証明の中で N 
そして図。 13 ABC – 長方形、C – 直角、CMAB、b 1 – 脚 b の斜辺への投影、a 1 – 脚 a の斜辺への投影、h – 斜辺に描かれた三角形の高度。
ABC が ACM に似ているという事実から、次のようになります。
b 2 = cb 1 ; (1)
ABC が BCM に似ているという事実から、次のようになります。
a 2 = ca 1 。 (2)
等式 (1) と (2) を項ごとに加算すると、 a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 が得られます。
もしピタゴラスがそのような証明を行ったとしたら、彼は現代の数学史家が通常ユークリッドの帰属とする多くの重要な幾何学定理にも精通していたことになります。
モールマンの証明 (図 14)。 |
与えられた直角三角形の面積は、一方では他方の面積に等しい。ここで、pは三角形の半周長、rはそれに内接する円の半径である。 
我々は持っています：したがって、c 2 =a 2 +b 2 となります。
2番目に 
これらの式を等式化すると、ピタゴラスの定理が得られます。
複合法
三角形の等価性
c 2 = a 2 + b 2 。 (3)
関係 (3) と (4) を比較すると、次のことがわかります。
c 1 2 = c 2、または c 1 = c。
したがって、与えられた三角形と構築された三角形は、それぞれ等しい 3 つの辺を持っているため、等しいです。 角 C 1 は直角なので、この三角形の角 C も直角になります。
古代インドの証拠。
古代インドの数学者は、ピタゴラスの定理を証明するには古代中国の絵の内部を使えば十分であることに気づきました。 19世紀のインドの最も偉大な数学者がヤシの葉に書いた論文「シッダーンタ・シロマニ」（「知識の王冠」）。 Bha-skaras を図面に配置します (図 4)
インドの証拠の特徴は「見てください！」という言葉です。 ご覧のとおり、ここでは直角三角形が斜辺を外側に向けて配置され、正方形が配置されています。 と 2 「花嫁の椅子」に移される と 2 -b 2 . ピタゴラスの定理の特殊なケース (たとえば、面積が 2 倍の正方形を構築する場合) に注意してください。 図4特定の正方形の面積）は、古代インドの論文「スルヴァ」に記載されています。
私たちは、直角三角形とその足で作られた正方形、つまり 16 個の同一の直角二等辺三角形からなり、したがって正方形に収まる図形を解きました。 百合ってそういうものだよ。 古代数学の真珠、ピタゴラスの定理に隠された富のほんの一部。
古代中国の証拠。
数学論文 古代中国 PV版で私たちに来ました。 紀元前。 事実は紀元前213年のことです。 中国の始皇帝は、これまでの伝統を排除しようとして、すべての古代の書籍を焼却するよう命じました。 P世紀に 紀元前。 中国では、紙が発明され、同時に古代の本の復元が始まりました。現存する天文学の主な著作は、『数学』という本にあり、ピタゴラスの定理を証明する図があります。 この証明の鍵を見つけるのは難しくありません。 実際、古代中国の絵には、辺 a、b、斜辺を持つ 4 つの等しい直角三角形があります。 と積み重ねられた G)その外側の輪郭が図 2 の辺のある正方形を形成するようにします。 a+b、内側は斜辺上に構築された辺 c の正方形です (図 2、b)。 一辺が c の正方形を切り出し、残りの 4 つの影付きの三角形を 2 つの長方形の中に配置するとします (図 2、 V)、その場合、一方では結果として得られる空隙が以下に等しいことは明らかです。 と 2 , そしてもう一方では - と 2 +b 2 , それらの。 c 2 = 2 +b 2 。 定理は証明されました。 この証明では、古代中国の図面 (図 2、a) に見られる、斜辺上の正方形内の構造が使用されていないことに注意してください。 どうやら、古代中国の数学者は別の証明を持っていたようです。 正確に辺のある正方形の場合 と 2 つの影付きの三角形 (図 2、 b)斜辺を切り取って、他の 2 つの斜辺に取り付けます (図 2、 G)、そうすればそれを発見するのは簡単です
結果として得られる図は、「花嫁の椅子」とも呼ばれ、辺のある 2 つの正方形で構成されます。 あそして b、それらの。 c 2 == ある 2 +b 2 .
N 
図 3 は、論文「Zhou-bi...」の図を再現したものです。 ここではピタゴラスの定理を考えます エジプトの三角形脚 3、4 および斜辺 5 の測定単位を使用します。 斜辺上の正方形には 25 個のセルが含まれており、大きい方の脚に内接する正方形には 16 個のセルが含まれています。 残りの部分には 9 個のセルが含まれていることがわかります。 これは小さい方の正方形になります。
