Дроби

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Дроби в старших классах не сильно досаждают. До поры до времени. Пока не столкнётесь со степенями с рациональными показателями да логарифмами. А вот там…. Давишь, давишь калькулятор, а он все полное табло каких-то циферок кажет. Приходится головой думать, как в третьем классе.

Давайте уже разберёмся с дробями, наконец! Ну сколько можно в них путаться!? Тем более, это всё просто и логично. Итак, какие бывают дроби?

Виды дробей. Преобразования.

Дроби бывают трёх видов.

1. Обыкновенные дроби , например:

Иногда вместо горизонтальной чёрточки ставят наклонную черту: 1/2, 3/4, 19/5, ну, и так далее. Здесь мы часто будем таким написанием пользоваться. Верхнее число называется числителем , нижнее - знаменателем. Если вы постоянно путаете эти названия (бывает...), скажите себе с выражением фразу: "Ззззз апомни! Ззззз наменатель - вниззззз у!" Глядишь, всё и ззззапомнится.)

Чёрточка, что горизонтальная, что наклонная, означает деление верхнего числа (числителя) на нижнее (знаменатель). И всё! Вместо чёрточки вполне можно поставить знак деления - две точки.

Когда деление возможно нацело, это надо делать. Так, вместо дроби "32/8" гораздо приятнее написать число "4". Т.е. 32 просто поделить на 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Я уж и не говорю про дробь "4/1". Которая тоже просто "4". А если уж не делится нацело, так и оставляем, в виде дроби. Иногда приходится обратную операцию проделывать. Делать из целого числа дробь. Но об этом далее.

2. Десятичные дроби , например:

Именно в таком виде нужно будет записывать ответы на задания "В".

3. Смешанные числа , например:

Смешанные числа практически не используются в старших классах. Для того, чтобы с ними работать, их всяко надо переводить в обыкновенные дроби. Но это точно надо уметь делать! А то попадётся такое число в задачке и зависните... На пустом месте. Но мы-то вспомним эту процедуру! Чуть ниже.

Наиболее универсальны обыкновенные дроби . С них и начнём. Кстати, если в дроби стоят всякие логарифмы, синусы и прочие буковки, это ничего не меняет. В том смысле что все действия с дробными выражениями ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями !

Основное свойство дроби.

Итак, поехали! Для начала я вас удивлю. Всё многообразие преобразований дробей обеспечивается одним-единственным свойством! Оно так и называется, основное свойство дроби . Запоминайте: если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, дробь не изменится. Т.е:

Понятно, что писать можно дальше, до посинения. Синусы и логарифмы пусть вас не смущают, с ними дальше разберёмся. Главное понять, что все эти разнообразные выражения есть одна и та же дробь . 2/3.

А оно нам надо, все эти превращения? Ещё как! Сейчас сами увидите. Для начала употребим основное свойство дроби для сокращения дробей . Казалось бы, вещь элементарная. Делим числитель и знаменатель на одно и то же число и все дела! Ошибиться невозможно! Но... человек - существо творческое. Ошибиться везде может! Особенно, если приходится сокращать не дробь типа 5/10, а дробное выражение со всякими буковками.

Как правильно и быстро сокращать дроби, не делая лишней работы, можно прочитать в особом Разделе 555 .

Нормальный ученик не заморачивается делением числителя и знаменателя на одно и то же число (или выражение)! Он просто зачеркивает всё одинаковое сверху и снизу! Здесь-то и таится типичная ошибка, ляп, если хотите.

Например, надо упростить выражение:

Тут и думать нечего, зачеркиваем букву "а" сверху и двойку снизу! Получаем:

Все правильно. Но реально вы поделили весь числитель и весь знаменатель на "а". Если вы привыкли просто зачеркивать, то, впопыхах, можете зачеркнуть "а" в выражении

и получить снова

Что будет категорически неверно. Потому что здесь весь числитель на "а" уже не делится ! Эту дробь сократить нельзя. Кстати, такое сокращение – это, гм… серьезный вызов преподавателю. Такого не прощают! Запомнили? При сокращении делить надо весь числитель и весь знаменатель!

Сокращение дробей сильно облегчает жизнь. Получится где-нибудь у вас дробь, к примеру 375/1000. И как теперь с ней дальше работать? Без калькулятора? Умножать, скажем, складывать, в квадрат возводить!? А если не полениться, да аккуратненько сократить на пять, да ещё на пять, да ещё... пока сокращается, короче. Получим 3/8! Куда приятнее, правда?

Основное свойство дроби позволяет переводить обыкновенные дроби в десятичные и наоборот без калькулятора ! Это важно на ЕГЭ, верно?

Как переводить дроби из одного вида в другой.

С десятичными дробями всё просто. Как слышится, так и пишется! Скажем, 0,25. Это ноль целых, двадцать пять сотых. Так и пишем: 25/100. Сокращаем (делим числитель и знаменатель на 25), получаем обычную дробь: 1/4. Всё. Бывает, и не сокращается ничего. Типа 0,3. Это три десятых, т.е. 3/10.

А если целых - не ноль? Ничего страшного. Записываем всю дробь без всяких запятых в числитель, а в знаменатель - то, что слышится. Например: 3,17. Это три целых, семнадцать сотых. Пишем в числитель 317, а в знаменатель 100. Получаем 317/100. Ничего не сокращается, значит всё. Это ответ. Элементарно, Ватсон! Из всего сказанного полезный вывод: любую десятичную дробь можно превратить в обыкновенную .

А вот обратное преобразование, обыкновенной в десятичную, некоторые без калькулятора не могут сделать. А надо! Как вы ответ записывать будете на ЕГЭ!? Внимательно читаем и осваиваем этот процесс.

Десятичная дробь чем характерна? У неё в знаменателе всегда стоит 10, или 100, или 1000, или 10000 и так далее. Если ваша обычная дробь имеет такой знаменатель, проблем нет. Например, 4/10 = 0,4. Или 7/100 = 0,07. Или 12/10 = 1,2. А если в ответе на задание раздела "В" получилось 1/2? Что в ответ писать будем? Там десятичные требуются...

Вспоминаем основное свойство дроби ! Математика благосклонно позволяет умножать числитель и знаменатель на одно и то же число. На любое, между прочим! Кроме нуля, разумеется. Вот и применим это свойство себе на пользу! На что можно умножить знаменатель, т.е. 2 чтобы он стал 10, или 100, или 1000 (поменьше лучше, конечно...)? На 5, очевидно. Смело умножаем знаменатель (это нам надо) на 5. Но, тогда и числитель надо умножить тоже на 5. Это уже математика требует! Получим 1/2 = 1х5/2х5 = 5/10 = 0,5. Вот и всё.

Однако, знаменатели всякие попадаются. Попадётся, например дробь 3/16. Попробуй, сообрази тут, на что 16 умножить, чтоб 100 получилось, или 1000... Не получается? Тогда можно просто разделить 3 на 16. За отсутствием калькулятора делить придётся уголком, на бумажке, как в младших классах учили. Получим 0,1875.

А бывают и совсем скверные знаменатели. Например, дробь 1/3 ну никак не превратишь в хорошую десятичную. И на калькуляторе, и на бумажке, мы получим 0,3333333... Это значит, что 1/3 в точную десятичную дробь не переводится . Так же, как и 1/7, 5/6 и так далее. Много их, непереводимых. Отсюда ещё один полезный вывод. Не каждая обыкновенная дробь переводится в десятичную !

Кстати, это полезная информация для самопроверки. В разделе "В" в ответ надо десятичную дробь записывать. А у вас получилось, например, 4/3. Эта дробь не переводится в десятичную. Это означает, что где-то вы ошиблись по дороге! Вернитесь, проверьте решение.

Итак, с обыкновенными и десятичными дробями разобрались. Осталось разобраться со смешанными числами. Для работы с ними их всяко нужно перевести в обыкновенные дроби. Как это сделать? Можно поймать шестиклассника и спросить у него. Но не всегда шестиклассник окажется под руками... Придётся самим. Это несложно. Надо знаменатель дробной части умножить на целую часть и прибавить числитель дробной части. Это будет числитель обычной дроби. А знаменатель? Знаменатель останется тем же самым. Звучит сложно, но на деле всё элементарно. Смотрим пример.

Пусть в задачке вы с ужасом увидели число:

Спокойно, без паники соображаем. Целая часть - это 1. Единица. Дробная часть - 3/7. Стало быть, знаменатель дробной части - 7. Этот знаменатель и будет знаменателем обыкновенной дроби. Считаем числитель. 7 умножаем на 1 (целая часть) и прибавляем 3 (числитель дробной части). Получим 10. Это будет числитель обыкновенной дроби. Вот и всё. Еще проще это выглядит в математической записи:

Ясненько? Тогда закрепите успех! Переведите в обыкновенные дроби. У вас должно получится 10/7, 7/2, 23/10 и 21/4.

Обратная операция - перевод неправильной дроби в смешанное число - в старших классах редко требуется. Ну если уж... И если Вы - не в старших классах - можете заглянуть в особый Раздел 555 . Там же, кстати, и про неправильные дроби узнаете.

Ну вот, практически и всё. Вы вспомнили виды дробей и поняли, как переводить их из одного вида в другой. Остаётся вопрос: зачем это делать? Где и когда применять эти глубокие познания?

Отвечаю. Любой пример сам подсказывает необходимые действия. Если в примере смешались в кучу обыкновенные дроби, десятичные, да ещё и смешанные числа, переводим всё в обыкновенные дроби. Это всегда можно сделать . Ну а если написано, что-нибудь типа 0,8 + 0,3, то так и считаем, безо всякого перевода. Зачем нам лишняя работа? Мы выбираем тот путь решения, который удобен нам !

Если в задании сплошь десятичные дроби, но гм... злые какие-то, перейдите к обыкновенным, попробуйте! Глядишь, всё и наладится. Например, придется в квадрат возводить число 0,125. Не так-то просто, если от калькулятора не отвыкли! Мало того, что числа перемножать столбиком надо, так ещё думай, куда запятую вставить! В уме точно не получится! А если перейти к обыкновенной дроби?

0,125 = 125/1000. Сокращаем на 5 (это для начала). Получаем 25/200. Ещё раз на 5. Получаем 5/40. О, ещё сокращается! Снова на 5! Получаем 1/8. Легко возводим в квадрат (в уме!) и получаем 1/64. Всё!

Подведём итоги этого урока.

1. Дроби бывают трёх видов. Обыкновенные, десятичные и смешанные числа.

2. Десятичные дроби и смешанные числа всегда можно перевести в обыкновенные дроби. Обратный перевод не всегда возможен.

3. Выбор вида дробей для работы с заданием зависит от этого самого задания. При наличии разных видов дробей в одном задании, самое надёжное - перейти к обыкновенным дробям.

Теперь можно потренироваться. Для начала переведите эти десятичные дроби в обыкновенные:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Должны получиться вот такие ответы (в беспорядке!):

На этом и завершим. В этом уроке мы освежили в памяти ключевые моменты по дробям. Бывает, правда, что освежать особо нечего...) Если уж кто совсем крепко забыл, или ещё не освоил... Тем можно пройти в особый Раздел 555 . Там все основы подробненько расписаны. Многие вдруг всё понимать начинают. И решают дроби с лёту).

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

дробного числа.

Десятичная запись дробного числа представляет собой набор двух и более цифр от $0$ до $9$, между которыми находится так называемая \textit{десятичная запятая}.

Пример 1

Например, $35,02$; $100,7$; $123 \ 456,5$; $54,89$.

Крайняя левая цифра в десятичной записи числа не может быть нулем, исключением является только случай, когда десятичная запятая стоит сразу после первой цифры $0$.

Пример 2

Например, $0,357$; $0,064$.

Часто десятичную запятую заменяют десятичной точкой. Например, $35.02$; $100.7$; $123 \ 456.5$; $54.89$.

Определение десятичной дроби

Определение 1

Десятичные дроби -- это дробные числа, которые представлены в десятичной записи.

Например, $121,05$; $67,9$; $345,6700$.

Десятичные дроби используются для более компактной записи правильных обыкновенных дробей, знаменателями которых являются числа $10$, $100$, $1 \ 000$ и т.д. и смешанные числа, знаменателями дробной части которых являются числа $10$, $100$, $1 \ 000$ и т.д.

Например, обыкновенную дробь $\frac{8}{10}$ можно записать в виде десятичной дроби $0,8$, а смешанное число $405\frac{8}{100}$ -- в виде десятичной дроби $405,08$.

Чтение десятичных дробей

Десятичные дроби, которые соответствуют правильным обыкновенным дробям , читаются также как и обыкновенные дроби, только впереди добавляется фраза «ноль целых». Например, обыкновенной дроби $\frac{25}{100}$ (читается «двадцать пять сотых») отвечает десятичная дробь $0,25$ (читается «нуль целых двадцать пять сотых»).

Десятичные дроби, которые соответствуют смешанным числам, читаются также как и смешанные числа. Например, смешанному числу $43\frac{15}{1000}$ соответствует десятичная дробь $43,015$ (читается «сорок три целых пятнадцать тысячных»).

Разряды в десятичных дробях

В записи десятичной дроби значение каждой цифры зависит от ее позиции. Т.е. в десятичных дробях также имеет место понятие разряда .

Разряды в десятичных дробях до десятичной запятой называются так же, как и разряды в натуральных числах. Разряды в десятичных дробях после запятой вынесены в таблицу:

Рисунок 1.

Пример 3

Например, в десятичной дроби $56,328$ цифра $5$ стоит в разряде десятков, $6$ - в разряде единиц, $3$ - в разряде десятых, $2$ - в разряде сотых, $8$ -- в разряде тысячных.

Разряды в десятичных дробях различают по старшинству. При чтении десятичной дроби движутся слева направо -- от старшего разряда к младшему .

Пример 4

Например, в десятичной дроби $56,328$ старшим (высшим) разрядом является разряд десятков, а младшим (низшим) -- разряд тысячных.

Десятичную дробь можно разложить по разрядам аналогично разложению по разрядам натурального числа.

Пример 5

Например, разложим по разрядам десятичную дробь $37,851$:

$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$

Конечные десятичные дроби

Определение 2

Конечными десятичными дробями называют десятичные дроби, в записях которых содержится конечное число знаков (цифр).

Например, $0,138$; $5,34$; $56,123456$; $350 972,54$.

Любую конечную десятичную дробь можно перевести в обыкновенную дробь или смешанное число.

Пример 6

Например, конечной десятичной дроби $7,39$ отвечает дробное число $7\frac{39}{100}$, а конечной десятичной дроби $0,5$ соответствует правильная обыкновенная дробь $\frac{5}{10}$ (или любая дробь, которая равна ей, например, $\frac{1}{2}$ или $\frac{10}{20}$.

Перевод обыкновенной дроби в десятичную дробь

Перевод обыкновенных дробей со знаменателями $10, 100, \dots$ в десятичные дроби

Перед переводом некоторых правильных обыкновенных дробей в десятичные их нужно предварительно «подготовить». Результатом такой подготовки должно быть одинаковое количество цифр в числителе и количество нулей в знаменателе.

Суть «предварительной подготовки» правильных обыкновенных дробей к переводу в десятичные дроби -- дописывание слева в числителе такого числа нулей, чтобы общее количество цифр стало равно числу нулей в знаменателе.

Пример 7

Например, подготовим обыкновенную дробь $\frac{43}{1000}$ к переводу в десятичную и получим $\frac{043}{1000}$. А обыкновенная дробь $\frac{83}{100}$ в подготовке не нуждается.

Сформулируем правило перевода правильной обыкновенной дроби со знаменателем $10$, или $100$, или $1 \ 000$, $\dots$ в десятичную дробь :

записать $0$;

после него поставить десятичную запятую;

записать число из числителя (вместе с дописанными нулями после подготовки, если она была нужна).

Пример 8

Перевести правильную обыкновенную дробь $\frac{23}{100}$ в десятичную.

Решение.

В знаменателе стоит число $100$, которое содержит $2$ два нуля. В числителе стоит число $23$, в записи которого $2$.цифры. значит, подготовку для этой дроби к переводу в десятичную проводить не нужно.

Запишем $0$, поставим десятичную запятую и запишем число $23$ из числителя. Получим десятичную дробь $0,23$.

Ответ : $0,23$.

Пример 9

Записать правильную дробь $\frac{351}{100000}$ в виде десятичной дроби.

Решение.

В числителе данной дроби $3$ цифры, а число нулей в знаменателе -- $5$, поэтому данную обыкновенную дробь нужно подготовить к переводу в десятичную. Для этого необходимо дописать $5-3=2$ нуля слева в числителе: $\frac{00351}{100000}$.

Теперь можем составить нужную десятичную дробь. Для этого запишем $0$, затем поставим запятую и запишем число из числителя. Получим десятичную дробь $0,00351$.

Ответ : $0,00351$.

Сформулируем правило перевода неправильных обыкновенных дробей со знаменателями $10$, $100$, $\dots$ в десятичные дроби :

записать число из числителя;

отделить десятичной запятой столько цифр справа, сколько нулей в знаменателе исходной дроби.

Пример 10

Перевести неправильную обыкновенную дробь $\frac{12756}{100}$ в десятичную дробь.

Решение.

Запишем число из числителя $12756$, затем отделим десятичной запятой $2$ цифры справа, т.к. в знаменателе исходной дроби $2$ нуля. Получим десятичную дробь $127,56$.

Данный материал мы посвятим такой важной теме, как десятичные дроби. Сначала определимся с основными определениями, приведем примеры и остановимся на правилах десятичной записи, а также на том, что из себя представляют разряды десятичных дробей. Далее выделим основные виды: конечные и бесконечные, периодические и непериодические дроби. В финальной части мы покажем, как точки, соответствующие дробным числам, расположены на оси координат.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Что такое десятичная запись дробных чисел

Так называемая десятичная запись дробных чисел может быть использована как для натуральных, так и для дробных чисел. Она выглядит как набор из двух и более цифр, между которыми есть запятая.

Десятичная запятая нужна для того, чтобы отделять целую часть от дробной. Как правило, последняя цифра десятичной дроби не бывает нулем, за исключением случаев, когда десятичная запятая стоит сразу после первого же нуля.

Какие можно привести примеры дробных чисел в десятичной записи? Это может быть 34 , 21 , 0 , 35035044 , 0 , 0001 , 11 231 552 , 9 и др.

В некоторых учебниках можно встретить использование точки вместо запятой (5 . 67 , 6789 . 1011 и др.) Это вариант считается равнозначным, но он более характерен для англоязычных источников.

Определение десятичных дробей

Основываясь на указанном выше понятии десятичной записи, мы можем сформулировать следующее определение десятичных дробей:

Определение 1

Десятичные дроби представляют собой дробные числа в десятичной записи.

Для чего нам нужна запись дробей в такой форме? Она дает нам некоторые преимущества перед обыкновенными, например, более компактную запись, особенно в тех случаях, когда в знаменателе стоят 1000 , 100 , 10 и др. или смешанное число. Например, вместо 6 10 мы можем указать 0 , 6 , вместо 25 10000 – 0 , 0023 , вместо 512 3 100 – 512 , 03 .

О том, как правильно представить в десятичном виде обыкновенные дроби с десятками, сотнями, тысячами в знаменателе, будет рассказано в рамках отдельного материала.

Как правильно читать десятичные дроби

Существуют некоторые правила чтения записей десятичных дробей. Так, те десятичные дроби, которым соответствуют их правильные обыкновенные эквиваленты, читаются почти так же, но с добавлением слов «ноль десятых» в начале. Так, запись 0 , 14 , которой соответствует 14 100 , читается как «ноль целых четырнадцать сотых».

Если же десятичной дроби можно поставить в соответствие смешанное число, то она читается тем же образом, как и это число. Так, если у нас есть дробь 56 , 002 , которой соответствует 56 2 1000 , мы читаем такую запись как «пятьдесят шесть целых две тысячных».

Значение цифры в записи десятичной дроби зависит от того, на каком месте она расположена (так же, как и в случае с натуральными числами). Так, в десятичной дроби 0 , 7 семерка – это десятые доли, в 0 , 0007 – десятитысячные, а в дроби 70 000 , 345 она означает семь десятков тысяч целых единиц. Таким образом, в десятичных дробях тоже существует понятие разряда числа.

Названия разрядов, расположенных до запятой, аналогичны тем, что существуют в натуральных числах. Названия тех, что расположены после, наглядно представлены в таблице:

Разберем пример.

Пример 1

У нас есть десятичная дробь 43 , 098 . У нее в разряде десятков находится четверка, в разряде единиц тройка, в разряде десятых – ноль, сотых – 9 , тысячных – 8 .

Принято различать разряды десятичных дробей по старшинству. Если мы движемся по цифрам слева направо, то мы будем идти от старших разрядов к младшим. Получается, что сотни старше десятков, а миллионные доли младше, чем сотые. Если взять ту конечную десятичную дробь, которую мы приводили в качестве примера выше, то в ней старшим, или высшим будет разряд сотен, а младшим, или низшим – разряд 10 -тысячных.

Любую десятичную дробь можно разложить по отдельным разрядам, то есть представить в виде суммы. Это действие выполняется так же, как и для натуральных чисел.

Пример 2

Попробуем разложить дробь 56 , 0455 по разрядам.

У нас получится:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

Если мы вспомним свойства сложения, то сможем представить эту дробь и в других видах, например, как сумму 56 + 0 , 0455 , или 56 , 0055 + 0 , 4 и др.

Что такое конечные десятичные дроби

Все дроби, о которых мы говорили выше, являются конечными десятичными дробями. Это означает, что количество цифр, расположенное у них после запятой, является конечным. Выведем определение:

Определение 1

Конечные десятичные дроби представляют собой вид десятичных дробей, у которых после знака запятой стоит конечное число знаков.

Примерами таких дробей могут быть 0 , 367 , 3 , 7 , 55 , 102567958 , 231 032 , 49 и др.

Любую из этих дробей можно перевести либо в смешанное число (если значение их дробной части отличается от нуля), либо в обыкновенную дробь (при нулевой целой части). Тому, как это делается, мы посвятили отдельный материал. Здесь просто укажем пару примеров: так, конечную десятичную дробь 5 , 63 мы можем привести к виду 5 63 100 , а 0 , 2 соответствует 2 10 (или любая другая равная ей дробь, например, 4 20 или 1 5 .)

Но обратный процесс, т.е. запись обыкновенной дроби в десятичном виде, может быть выполнен не всегда. Так, 5 13 нельзя заменить на равную дробь с знаменателем 100 , 10 и др., значит, конечная десятичная дробь из нее не получится.

Основные виды бесконечных десятичных дробей: периодические и непериодические дроби

Мы указывали выше, что конечные дроби называются так потому, что после запятой у них стоит конечное число цифр. Однако оно вполне может быть и бесконечным, и в этом случае сами дроби также будут называться бесконечными.

Определение 2

Бесконечными десятичными дробями называются такие, у которых после запятой стоит бесконечное количество цифр.

Очевидно, что полностью такие числа записаны быть просто не могут, поэтому мы указываем лишь часть из них и дальше ставим многоточие. Это знак говорит о бесконечном продолжении последовательности знаков после запятой. Примерами бесконечных десятичных дробей могут быть 0 , 143346732 … , 3 , 1415989032 … , 153 , 0245005 … , 2 , 66666666666 … , 69 , 748768152 … . и т.д.

В «хвосте» такой дроби могут стоять не только случайные на первый взгляд последовательности цифр, но постоянное повторение одного и того же знака или группы знаков. Дроби с чередованием после десятичной запятой называются периодическими.

Определение 3

Периодическими десятичными дробями называются такие бесконечные десятичные дроби, у которых после запятой повторяется одна цифра или группа из нескольких цифр. Повторяющаяся часть называется периодом дроби.

К примеру, для дроби 3 , 444444 … . периодом будет цифра 4 , а для 76 , 134134134134 … – группа 134 .

Какое же минимальное количество знаков допустимо оставить в записи периодической дроби? Для периодических дробей достаточно будет записать весь период один раз в круглых скобках. Так, дробь 3 , 444444 … . правильно будет записать как 3 , (4) , а 76 , 134134134134 … – как 76 , (134) .

В целом записи с несколькими периодами в скобках будут иметь точно такой же смысл: к примеру, периодическая дробь 0 , 677777 – это то же самое, что 0 , 6 (7) и 0 , 6 (77) и т.д. Также допустимы записи вида 0 , 67777 (7) , 0 , 67 (7777) и др.

Во избежание ошибок введем однообразие обозначений. Условимся записывать только один период (максимально короткую последовательность цифр), который стоит ближе всего к десятичной запятой, и заключать его в круглые скобки.

То есть для указанной выше дроби основной будем считать запись 0 , 6 (7) , а, например, в случае с дробью 8 , 9134343434 будем писать 8 , 91 (34) .

Если знаменатель обыкновенной дроби содержит простые множители, не равные 5 и 2 , то при переводе в десятичную запись из них получатся бесконечные дроби.

В принципе, любую конечную дробь мы можем записать в виде периодической. Для этого нам просто нужно добавить справа бесконечно много нулей. Как это выглядит в записи? Допустим, у нас есть конечная дробь 45 , 32 . В периодическом виде она будет выглядеть как 45 , 32 (0) . Это действие возможно потому, что добавление нулей справа в любую десятичную дробь дает нам в результате равную ей дробь.

Отдельно следует остановиться на периодических дробях с периодом 9 , например, 4 , 89 (9) , 31 , 6 (9) . Они являются альтернативной записью схожих дробей с периодом 0 , поэтому их часто заменяют при письме именно дробями с нулевым периодом. При этом к значению следующего разряда добавляют единицу, а в круглых скобках указывают (0) . Равенство получившихся чисел легко проверить, представив их в виде обыкновенных дробей.

К примеру, дробь 8 , 31 (9) можно заменить на соответствующую ей дробь 8 , 32 (0) . Или 4 , (9) = 5 , (0) = 5 .

Бесконечные десятичные периодические дроби относятся к рациональным числам. Иначе говоря, любую периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной, и наоборот.

Существуют и дроби, у которых после запятой бесконечно повторяющаяся последовательность отсутствует. В таком случае их называют непериодическими дробями.

Определение 4

К непериодическим десятичным дробям относятся те бесконечные десятичные дроби, в которых после запятой не содержится периода, т.е. повторяющейся группы цифр.

Иногда непериодические дроби выглядят очень похожими на периодические. Например, 9 , 03003000300003 … на первый взгляд кажется имеющей период, однако подробный анализ знаков после запятой подтверждает, что это все же непериодическая дробь. С такими числами надо быть очень внимательным.

Непериодические дроби относятся к иррациональным числам. В обыкновенные дроби их не переводят.

Основные действия с десятичными дробями

С десятичными дробями можно производить следующие действия: сравнение, вычитание, сложение, деление и умножение. Разберем каждое из них отдельно.

Сравнение десятичных дробей может быть сведено к сравнению обыкновенных дробей, которые соответствуют исходным десятичным. Но бесконечные непериодические дроби свести к такому виду нельзя, а перевод десятичных дробей в обыкновенные зачастую является трудоемкой задачей. Как же быстро произвести действие сравнения, если нам нужно сделать это по ходу решения задачи? Удобно сравнивать десятичные дроби по разрядам таким же образом, как мы сравниваем натуральные числа. Этому методу мы посвятим отдельную статью.

Чтобы складывать одни десятичные дроби с другими, удобно использовать метод сложения столбиком, как для натуральных чисел. Чтобы складывать периодические десятичные дроби, необходимо предварительно заменить их обыкновенными и считать по стандартной схеме. Если же по условиям задачи нам надо сложить бесконечные непериодические дроби, то нужно перед этим округлить их до некоторого разряда, а потом уже складывать. Чем меньше разряд, до которого мы округляем, тем выше будет точность вычисления. Для вычитания, умножения и деления бесконечных дробей предварительное округление также необходимо.

Нахождение разности десятичных дробей обратно действию сложения. По сути, с помощью вычитания мы можем найти такое число, сумма которого с вычитаемой дробью даст нам уменьшаемую. Подробнее об этом расскажем в рамках отдельного материала.

Умножение десятичных дробей производится так же, как и для натуральных чисел. Для этого тоже подходит метод вычисления столбиком. Это действие с периодическими дробями мы опять же сводим к умножению обыкновенных дробей по уже изученным правилам. Бесконечные дроби, как мы помним, надо округлить перед подсчетами.

Процесс деления десятичных дробей является обратным процессу умножения. При решении задач мы также пользуемся подсчетами в столбик.

Можно установить точное соответствие между конечной десятичной дробью и точкой на оси координат. Выясним, как отметить точку на оси, которая будет точно соответствовать необходимой десятичной дроби.

Мы уже изучали, как построить точки, соответствующие обыкновенным дробям, а ведь десятичные дроби можно привести к такому виду. Например, обыкновенная дробь 14 10 – это то же самое, что и 1 , 4 , поэтому соответствующая ей точка будет удалена от начала отсчета в положительном направлении ровно на такое же расстояние:

Можно обойтись без замены десятичной дроби на обыкновенную, а взять на основу метод разложения по разрядам. Так, если нам надо отметить точку, координата которой будет равна 15 , 4008 , то мы предварительно представим это число в виде суммы 15 + 0 , 4 + , 0008 . Для начала отложим от начала отсчета 15 целых единичных отрезков в положительном направлении, потом 4 десятых доли одного отрезка, а потом 8 десятитысячных долей одного отрезка. В итоге мы получим точку координат, которой соответствует дробь 15 , 4008 .

Для бесконечной десятичной дроби лучше пользоваться именно этим способом, поскольку он позволяет приблизиться к нужной точке сколь угодно близко. В некоторых случаях можно построить и точное соответствие бесконечной дроби на оси координат: так, 2 = 1 , 41421 . . . , и с этой дробью может быть соотнесена точка на координатном луче, удаленная от 0 на длину диагонали квадрата, сторона которого будет равна одному единичному отрезку.

Если мы находим не точку на оси, а десятичную дробь, соответствующую ей, то это действие называется десятичным измерением отрезка. Посмотрим, как правильно это сделать.

Допустим, нам нужно попасть от нуля в заданную точку на оси координат (или максимально приблизиться в случае с бесконечной дробью). Для этого мы постепенно откладываем единичные отрезки от начала координат, пока не попадем в нужную точку. После целых отрезков при необходимости отмеряем десятые, сотые и более мелкие доли, чтобы соответствие было максимально точным. В итоге мы получили десятичную дробь, которая соответствует заданной точке на оси координат.

Выше мы приводили рисунок с точкой M . Посмотрите на него еще раз: чтобы попасть в эту точку, нужно отмерить от нуля один единичный отрезок и четыре десятых доли от его, поскольку этой точке соответствует десятичная дробь 1 , 4 .

Если мы не можем попасть в точку в процессе десятичного измерения, то значит, что ей соответствует бесконечная десятичная дробь.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

В математике различные типы чисел изучаются с самого своего зарождения. Существует большое количество множеств и подмножеств чисел. Среди них выделяют целые числа, рациональные, иррациональные, натуральные, четные, нечетные, комплексные и дробные. Сегодня разберем информацию о последнем множестве - дробных числах.

Определение дробей

Дроби - это числа, состоящие из целой части и долей единицы. Также, как и целых чисел, существует бесконечное множество дробных, между двумя целыми. В математике действия с дробями выполняются, так как с целыми и натуральными числами. Это довольно просто и научиться этому можно за пару занятий.

В статье представлено два вида

Обыкновенные дроби

Обыкновенные дроби представляют собой целую часть a и два числа записанных через дробную черту b/c. Обыкновенные дроби могут быть крайне удобны, если дробную часть нельзя представить в рациональном десятичном виде. Кроме того, арифметические операции удобнее производить через дробную черту. Верхняя часть называется числитель, нижняя - знаменатель.

Действия с обыкновенными дробями: примеры

Основное свойство дроби. При умножении числителя и знаменателя на одно и то же число, не являющееся нулем, в результате получается число равное данному. Это свойство дроби отлично помогает привести знаменатель для сложения (об этом будет рассказано ниже) или сократить дробь, сделать ее удобнее для счета. a/b = a*c/b*c. К примеру, 36/24 = 6/4 или 9/13 = 18/26

Приведение к общему знаменателю. Чтобы привести знаменатель дроби необходимо представить знаменатель в виде множителей, а затем помножить на недостающие числа. Например, 7/15 и 12/30; 7/5*3 и 12/5*3*2. Видим, что знаменатели отличаются двойкой, поэтому умножаем числитель и знаменатель первой дроби на 2. Получаем: 14/30 и 12/30.

Составные дроби - обыкновенные дроби с выделенной целой частью. (A b/c) Чтобы представить составную дробь в виде обыкновенной, необходимо умножить число, стоящее перед дробью на знаменатель, а затем сложить с числителем: (A*c + b)/c.

Арифметические действия с дробями

Не лишним будет рассмотреть известные арифметические действия только при работе с дробными числами.

Сложение и вычитание. Складывать и вычитать обыкновенные дроби точно так же легко, как и целые числа, за исключением одной трудности - наличия дробной черты. Складывая дроби с одинаковым знаменателем, необходимо сложить лишь числители обеих дробей, знаменатели остаются без изменения. Например: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7

Если же знаменатели двух дробей представляют собой разные числа сначала нужно привести их к общему (как это сделать было рассмотрено выше). 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. Вычитание происходит по точно такому же принципу: 8/9 - 2/3 = 8/9 - 6/9 = 2/9.

Умножение и деление. Действия с дробями по умножению происходят по следующему принципу: отдельно перемножаются числители и знаменатели. В общем виде формула умножения выглядит так: a/b *c/d = a*c/b*d. Кроме того, по мере умножения можно сократить дробь, исключая одинаковые множители из числителя и знаменателя. Выражаясь другим языком, числитель и знаменатель делится на одно и то же число: 4/16 = 4/4*4 = 1/4.

Для деления одной обыкновенной дроби на другую, нужно поменять числитель и знаменатель делителя и выполнить умножение двух дробей, по принципу, рассмотренному ранее: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/11*25 = 1/5

Десятичные дроби

Десятичные дроби являются более популярной и часто используемой версией дробных чисел. Их проще записать в строчку или представить на компьютере. Структура десятичной дроби такая: сначала записывается целое число, а затем, после запятой, записывается дробная часть. По своей сути десятичные дроби - это составные обыкновенные дроби, однако их дробная часть представлена числом, деленным на кратное цифре 10. Отсюда и произошло их название. Действия с дробями десятичными аналогичны действиям с целыми числами, так как они так же записаны в десятичной системе счисления. Также в отличие от обыкновенных дробей, десятичные могут быть иррациональными. Это значит, что они могут быть бесконечны. Записываются они так 7,(3). Читается такая запись: семь целых, три десятых в периоде.

Основные действия с десятичными числами

Сложение и вычитание десятичных дробей. Выполнить действия с дробями не сложнее, чем с целыми натуральными числами. Правила абсолютно аналогичны с теми, что используют при сложении или вычитании натуральных чисел. Их точно так же можно считать столбиком, однако при необходимости заменять недостающие места нулями. Например: 5,5697 - 1,12. Для того чтобы выполнить вычитание столбиком нужно уравнять количество чисел после запятой: (5,5697 - 1,1200). Так, числовое значение не измениться и можно будет считать в столбик.

Действия с десятичными дробями нельзя производить, если одно из них имеет иррациональный вид. Для этого нужно перевести оба числа в обыкновенные дроби, а затем пользоваться приемами, описанными ранее.

Умножение и деление. Умножение десятичных дробей аналогично умножению натуральных. Их также можно умножать столбиком, просто, не обращая внимания на запятую, а затем отделить запятой в итоговом значении такое же количество знаков, сколько в сумме после запятой было в двух десятичных дробях. К примеру, 1,5 * 2,23 = 3,345. Все очень просто, и не должно вызвать затруднений, если вы уже овладели умножением натуральных чисел.

Деление также совпадает с делением натуральных чисел, но с небольшим отступлением. Чтобы разделить на десятичное число столбиком необходимо отбросить запятую в делителе, и умножить делимое на число знаков, стоявших после запятой в делителе. После чего выполнять деление как с натуральными числами. При неполном делении можно добавлять нули к делимому справа, также прибавляя ноль в ответ после запятой.

Примеры действий с десятичными дробями. Десятичные дроби - очень удобный инструмент для арифметического счета. Они сочетают в себе удобство натуральных, целых чисел и точность обыкновенных дробей. К тому же довольно просто перевести одни дроби в другие. Действия с дробями не отличаются от действий с натуральными числами.

1. Сложение: 1,5 + 2,7 = 4,2
2. Вычитание: 3,1 - 1,6 = 1,5
3. Умножение: 1,7 * 2,3 = 3,91
4. Деление: 3,6: 0,6 = 6

Кроме того, десятичные дроби подходят для представления процентов. Так, 100 % = 1; 60 % = 0,6; и наоборот: 0,659 = 65,9 %.

Вот и все, что нужно знать о дробях. В статье было рассмотрено два вида дробей - обыкновенные и десятичные. Оба довольно простые в вычислении, и если вы полностью овладели натуральными числами и действиями с ними, можете смело приступать к изучению дробных.

Дроби записанные в форме 0,8; 0,13; 2,856; 5,2; 0,04 называют десятичными. На самом деле десятичные дроби это упрощенная запись обычных дробей. Эту запись удобно использовать для всех дробей, у которых знаменатели равны 10, 100, 1000 и так далее.

Рассмотрим примеры (0,5 читают как, ноль целых пять десятых);

(0,15 читают как, ноль целых пятнадцать сотых);

(5,3 читают как, пять целых три десятых).

Обратим внимание, что в записи десятичной дроби запятая отделяет целую часть числа от дробной, целая часть правильной дроби рана 0. Запись дробной части десятичной дроби содержит столько цифр, сколько нулей в записи знаменателя соответствующей обыкновенной дроби.

Рассмотрим пример, , , .

В некоторых случаях бывает необходимо рассматривать натуральное число как десятичную дробь, у которой дробная часть равна нулю. Принято записывать что, 5 = 5,0; 245 = 245,0 и так далее. Заметим, что в десятичной записи натурального числа единица младшего разряда в 10 раз меньше единицы соседнего старшего разряда. Таким же свойством обладает запись десятичных дробей. Поэтому сразу после запятой идет разряд десятых, далее разряд сотых, затем разряд тысячных и так далее. Ниже приведены названия разрядов числа 31,85431 первые два столбца — целая часть, остальные столбцы — дробная часть.

Читается эта дробь как тридцать одна целая восемьдесят пять тысяч четыреста тридцать одна стотысячная.

Сложение и вычитание десятичных дробей

Первый способ, это обратить десятичные дроби в обыкновенные и произвести сложение.

как видно из примера этот способ очень неудобный и лучше воспользоваться вторым способом более правильным, не обращая десятичные дроби в обыкновенные. Для того чтобы сложить две десятичные дроби, надо:

• уравнять в слагаемых количество цифр после запятой;
• записать слагаемые друг под другом так, чтобы каждый разряд второго слагаемого оказался под соответствующим разрядом первого слагаемого;
• сложить полученные числа так, как складывают натуральные числа;
• поставить в полученной сумме запятую под запятыми в слагаемых.

Рассмотрим примеры:

• уравнять в уменьшаемом и вычитаемом количество цифр после запятой;
• записать вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы каждый разряд вычитаемого оказался под соответствующим разрядом уменьшаемого;
• произвести вычитание так, как вычитают натуральные числа;
• поставить в полученной разности запятую под запятыми в уменьшаемом и вычитаемом.

Рассмотрим примеры:

В рассмотренных выше примерах видно, что сложение и вычитание десятичных дробей выполнялось поразрядно, то есть так, как мы производили аналогичные действия с натуральными числами. Это и есть главное преимущество десятичной формы записи дробей.

Умножение десятичных дробей

Для того чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и так далее, надо в этой дроби перенести запятую вправо соответственно на 1, 2, 3 и так далее цифры. Следовательно, если запятую перенести вправо на 1, 2, 3 и так далее цифры, то дробь увеличится соответственно в 10, 100, 1000 и так далее раз. Для того чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:

• умножить их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые;
• в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их стоит после запятых в обоих множителях вместе.

Встречаются случаи, когда произведение содержит меньше цифр, чем требуется отделить запятой, слева перед этим произведением дописывают необходимое количество нулей, а затем переносят запятую влево на нужное количество цифр.

Рассмотрим примеры: 2 * 4 = 8, тогда 0,2 * 0,4 = 0,08; 23 * 35 = 805, тогда 0,023 * 0,35 = 0,00805.

Встречаются случаи, когда один из множителей равен 0,1; 0,01; 0,001 и так далее, удобнее пользоваться следующим правилом.

• Для того чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и так далее, надо в этой десятичной дроби перенести запятую влево соответственно на 1, 2, 3 и так далее цифры.

Рассмотрим примеры: 2,65 * 0,1 = 0,265; 457,6 * 0,01 = 4,576.

Свойства умножения натуральных чисел выполняются и для десятичных дробей.

• ab = ba — переместительное свойство умножения;
• (ab) c = a (bc) — сочетательное свойство умножения;
• a (b + c) = ab + ac — распределительное свойство умножения, относительно сложения.

Деление десятичных дробей

Известно, если разделить натуральное число a на натуральное число b означает найти такое натуральное число c , которое при умножении на b дает число a . Это правило остается верным, если хотя бы одно из чисел a, b, c является десятичной дробью.

Рассмотрим пример, требуется разделить 43,52 на 17 уголком, не обращая внимания на запятую. При этом запятую в частном следует поставить непосредственно перед тем, как будет использована первая цифра после запятой в делимом.

Бывают случаи когда делимое меньше делителя, тогда целая часть частного равна нулю. Рассмотрим пример:

Рассмотрим еще один интересный пример.

Процесс деления остановлен, потому что цифры делимого закончились, а в остатке нуль не получили. Известно, что десятичная дробь не изменится, если к ней справа приписать любое количество нулей. Тогда становится понятно, что цифры делимого закончится не могут.

Для того чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и так далее, надо в этой дроби перенести запятую влево на 1, 2, 3 и так далее цифры. Рассмотрим пример: 5,14: 10 = 0,514; 2: 100 = 0,02; 37,51: 1000 = 0,03751.

Если делимое и делитель увеличить одновременно в 10, 100, 1000 и так далее раз, то частное не изменится.

Рассмотрим пример: 39,44: 1,6 = 24,65 увеличим делимое и делитель в 10 раз 394,4: 16 = 24,65 справедливо заметить, что делить десятичную дробь на натуральное число во втором примере легче.

Для того чтобы разделить десятичную дробь на десятичную, надо:

• перенести в делимом и в делителе запятые вправо на столько цифр, сколько их содержится после запятой в делителе;
• выполнить деление на натуральное число.

Рассмотрим пример: 23,6: 0,02 заметим, что в делителе стоит два знака после запятой, следовательно умножаем оба числа на 100 получаем 2360: 2 = 1180 делим результат на 100 и получаем ответ 11,80 или 23,6: 0,02 = 11,8.

Сравнение десятичных дробей

Существует два способа сравнения десятичных дробей. Способ первый, требуется сравнить две десятичные дроби 4,321 и 4,32 уравниваем количество знаков после запятой и начинаем сравнивать поразрядно, десятые с десятыми, сотые с сотыми и так далее в итоге получаем 4,321 > 4,320.

Второй способ сравнения десятичных дробей производится с помощью умножения, умножим вышеприведенный пример на 1000 и сравним 4321 > 4320. Какой способ удобней, каждый выбирает для себя сам.