Домой Калькуляторы Расстояние между параллельными векторами. Взаимное расположение прямых в пространстве

Калькуляторы

Расстояние между параллельными векторами. Взаимное расположение прямых в пространстве

План-конспект урока

Теорема о сумме углов треугольника

1. ФИО : Сайфетдинова Гульнара Василевна

2. Место работы : Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Князевская средняя общеобразовательная школа» Тукаевского района РТ

3. Должность : учитель математики

4. Предмет : геометрия

5. Класс : 7 класс

6. Тема урока : Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.

7. Базовый учебник : Геометрия.7-9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений / авт. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов,

С.Б. Кадомцев и др.,2010

8.Цели:

Деятельностная цель: создать условия для самостоятельного формулирования и доказательства свойства наклонных и перпедикуляра, опущенных из точки на прямую, теоремы о равноудаленности точек на параллельных прямых; организовать деятельность обучающихся по восприятию, осмыслению и первичному закреплению новых знаний и способов деятельности.

Образовательная цель:

Предметные:

применять понятия расстояния от точки до прямой, расстояния между прямыми при решении задач

Метапредметные:

Регулятивные УУД:

Познавательные УУД:

Коммуникативные УУД:

Личностные УУД :

10. Методы обучения : проблемный, исследовательский.
11.Формы организации учебной деятельности : фронтальная, групповая, парная, индивидуальная, обучающие структуры.

12.Оборудование, технические условия:

Компьютер, проектор, экран, интернет, программное обеспечение: Microsoft Power Point , рассадка в классе - по 4 человека за столом.

13.Продолжительность урока: 45 мин

14.План урока

I . Организационный момент.

II . Актуализация знаний.

III. Постановка цели урока . Введение нового материала.

VI. Подведение итогов. Рефлексия.

I . Организационный момент.

Цель: подготовка учащихся к работе, активизация внимания для быстрого включения в деятельность.

Учитель : Здравствуйте, Ребята? Как у вас настроение? А давайте мы его еще поднимем и начнем урок с улыбки! Улыбнемся партнеру по лицу! Улыбнемся партнеру по плечу!

II . Актуализация знаний.

Учитель : Вы уже как полгода изучаете новый предмет геометрии и наверное знаете,что такое теорема. Какие способы доказательства знаете?

Возможные ответы учащихся: Метод от противного, конструктивный метод, метод доказательства на основании аксиом и ранее доказанных теорем (слайд №2).

Учитель: Ребята, какие у вас ассоциации со словом - расстояние?

Возможные ответы учащихся: Расстояние между городами, расстояние между столбами, расстояние от чего либо до чего либо (слайд №3).

Учитель: Что называется расстоянием между двумя точками?

Возможные ответы учащихся: Длина отрезка (слайд №4).

Учитель: Сделайте запись в технологической карте в п.1

Учитель: Обратите внимание, что в геометрии под расстояние понимается наикратчайшее расстояние. Сделайте запись в технологической карте в п.2

Учитель: Что можно сказать про взаимное расположение прямой АН и прямой а?

Учитель: Как называются эти прямые?

Учитель: А как называется отрезок АН?

Учитель: Запомните: Перпендикуляр – это отрезок. Сделайте запись в технологической карте в п.3.

III . Постановка цели урока. Введение нового материала.

Учитель: Практическое задание:

Мы находимся на поле, через поле проходит дорога. Изобразите математическую модель ситуации. Нам нужно выйти на дорогу. Изобразите траекторию (слайд №6).

Учитель: А как можно определить на математическом языке эту траекторию? Возможные ответы учащихся: Перпендикуляр

Учитель: А почему не так? –

Попробуйте дать ему название (слайд №7).

Возможные ответы учащихся: Наклонная.

Учитель: А сколько наклонных можно провести из этой точки?

Возможные ответы учащихся: Множество.

(слайд №7).

Учитель: Значит, вы считаете, что наикратчайший путь – это перпендикуляр? Докажите.

Учитель: Теперь докажите, что любая наклонная больше перпендикуляра.

Что мы видим на рисунке?

Возможные ответы учащихся: прямоугольный треугольник (слайд №8).

Учитель: Как в этом треугольнике называются перпендикуляр и наклонная? Возможные ответы учащихся: катет и гипотенуза.

Учитель: Почему гипотенуза больше катета?

Возможные ответы учащихся: Напротив большего угла лежит большая сторона. Самый больший угол в прямоугольном треугольнике – прямой. Напротив него лежит гипотенуза.

Учитель. А как еще можно назвать отрезок АС. А если вернуться к содержании задачи?

Возможные ответы учащихся: Расстояние от точки до прямой .

Учитель: Сформулируйте определение: «Расстояние от точки до прямой – это…(длина перпендикуляра опущенного из этой точки на прямую)» (слайд №9).Сделайте запись в технологической карте в п.4.

Учитель: Практическое задание.

Найдите расстояние от точки В до прямых А D и DC с помощью чертежного треугольника и линейки (слайд №10).технологическая карта п.6

Учитель: Практическое задание. Постройте две параллельные прямые a и b . На прямой а отметьте точку А. Опустите из точки А перпендикуляр на прямую b . Поставьте в основание перпендикуляра точку В.

Что можно сказать про отрезок АВ? (слайд №11).

Он является перпендикуляром и к прямой а, и к прямой b .

Учитель: Поэтому его называют общим перпендикуляром (слайд №13). Сделайте запись в технологической карте в п.5

Учитель: Сделайте запись в технологической карте в п.6

Учитель: Задача. Требуется постелить линолеум в длинном коридоре на пол. Известно, что две противоположные стены – параллельны. На одном конце коридора начертили общий перпендикуляр, и его длина оказалась равной 4 м. Стоит ли перепроверить длины общих перпендикуляров в других местах коридора? (слайд №14).

Возможные ответы учащихся: Не нужно их длины тоже будут равны 4.

Учитель: Докажите. Но для начала изобразите математическую модель данной ситуации. Чтобы доказать выделите, что известно, что требуется доказать.

Как в геометрии обычно доказывается равенство отрезков и углов?

Возможные ответы учащихся: Через равенство треугольников, содержащих эти отрезки и углы. Придумайте конструкцию, которая позволила бы нам доказать равенство этих треугольников.

Структура Single Round Robin :

2.Четыре ученика в команде отвечают по одному разу.

Учитель: Докажите равенство отрезков АВ и СD через равенство треугольников. На сигнальной доске запишите три условия признака равенства треугольников.

1.Учитель задает вопрос и дает время подумать

Учащиеся выполняют дополнительные построения, доказывают равенство треугольников, делают вывод о равенстве отрезков АВ и СD (слайд №№15-17).

Учитель: Отрезки АВ и СD равны. Что можно сказать о точке А и С относительно прямой BD ?

Возможные ответы учащихся: Они находятся на равном расстоянии. Они равноудалены (слайд №18).

Учитель: Для любых ли точек выполняется такое свойство?

Возможные ответы учащихся: Да

Учитель: Попробуем сформулировать это свойство. Из чего состоит утверждение свойства?

Возможные ответы учащихся: Из условия и заключения (слайд №19,20).

Возможные ответы учащихся: Если точки лежат на одной из параллельных прямых, то они равноудалены от второй прямой.

Учитель: Отредактируйте это свойство без союзов: если, то (слайд №21).

Возможные ответы учащихся: Точки лежащие на одной из параллельных прямых равноудалены от второй прямой.

Структура Think-Write-Round Robin:

1.Учитель задает вопрос и дает время подумать

2.Ученики думают и записывают ответ на свой листочек

3.Ученики по очереди зачитывают свой ответ с листочка.

Учитель: Какое утверждение называем обратным?

Возможные ответы учащихся: Если условие и заключение поменять местами.

Учитель: Сформулируйте обратное утверждение (слайд №22).

Возможные ответы учащихся: Если точки, лежащие на одной из двух прямых равноудалены от второй прямой, то прямые параллельные.

Учитель: Сделайте запись в технологической карте в п.7,8.

Учитель: Возможно ли определить такое понятие как расстояние между параллельными прямыми?

Возможные ответы учащихся: Да

Учитель: Что можно называть расстоянием между параллельными прямыми

Возможные ответы учащихся: Длину общего перпендикуляра. Сделайте запись в технологической карте в п.5.

IV. Применение теоремы, выполнение п рактической работы.

Учитель: Практическая работа. Найдите ширину полоски.

Каким математическим понятием является – ширина полоски?

Учитель: Где в практической жизни применяется еще эти теоремы?

VI. Подведение итогов. Рефлексия.

Учитель: С какими новыми понятиями познакомились?

Чему научились на уроке?

Где в жизни мы это будем применять?

(слайд №№26-28)

Учитель: Сделайте запись в технологической карте в п.9

Домашнее задание № 276,279 – доказательство обратной теоремы.

Самоанализ урока

Цели:

Деятельностная цель: создать условия для самостоятельного формулирования и доказательства свойтва наклонных и перпедикуляра опущенных из точки на прямую, создать условия для доказательства теоремы о равноудаленности точек на параллельных прямых; организовать деятельность обучающихся по восприятию, осмыслению и первичному закреплению новых знаний и способов деятельности.

Образовательная цель: выработать знание о том, что перпендикуляр меньше любой наклонной, проведенных из одной точки к прямой, все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Предметные: учащийся получит возможность научиться:

применять теорему при решении практических задач

анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы для решения практических задач.

Метапредметные:

Регулятивные УУД:

умение самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных математических проблем;

умение планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера.

Познавательные УУД:

- умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение, выводы;
- умение выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки; умение применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждения, видеть различные стратегии решения задач;
- развивать первоначальные представления об идеях и методах математики как об универсальном языке науки, о средстве моделирования явлений и процессов;
- умение понимать и использовать рисунки и чертежи для иллюстрации, интерпретации, аргументации.

Коммуникативные УУД:

умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и учениками, определять цели, распределять функции и роли участников, общие способы работы;
умение работать в группе: находить общее решение и разрешать конфликты на основе согласования позиций и учета интересов, слушать партнера, формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.

Личностные УУД :

Структура фрагмента урока соответствовала типу - урока открытия нового знания. В соответствии с поставленными целями и содержанием материала урок строился по следующим этапам:

I . Организационный момент.

II . Актуализация знаний.

III. Постановка цели урока . Введение нового материала.

IV. Применение теоремы, выполнение практической работы.

VI. Подведение итогов.

Все структурные элементы урока были выдержаны. Организация учебного процесса построена деятельностным методом.

Целью первого этапа было быстро включить учащихся в деловой ритм.

На втором этапе были актуализированы знания, необходимые для работы над новым материалом.

На третьем этапе С целью определения понятий расстояния от точки до прямой, понятия наклонной привлекла детей к практической деятельности с элементами поиска. Сначала на интуитивном уровне учащиеся выдвигали гипотезу, далее самостоятельно доказали свойство перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной точки к прямой.

Вообще практические задания использовала в течении всего урока, в том числе и при первичном закреплении. Они помогают привлечь учащихся к самостоятельной познавательной деятельности, и решают проблемы компетентностного подхода в обучении.

Для формулировки и доказательства теоремы о равноудаленности точек на параллельных прямых использовала проблемную задачу, которая способствовала выдвижению гипотезы о свойствах рассматриваемых объектов и с последующим поиском доказательства справедливости выдвинутого предположения.

Организовав работу над формулированием теоремы, а затем и обратной теоремы я достигала цели развития первоначальных представлений об идеях и методах математики как об универсальном языке науки, о средстве моделирования явлений и процессов.

Учебно-познавательная деятельность была организована через фронтальную работу, индивидуальную, групповую работу. Такая организация позволила включить каждого учащегося в активную деятельность по достижению цели. Учащиеся сотрудничали друг с другом, оказывая взаимопомощь.

Время, я считаю, было распределено рационально. За небольшой промежуток удалось ввести понятия расстояния от точки до прямой, наклонной, расстояния между параллельными прямыми, сформулировать две теоремы и доказать, рассмотреть применение теоремы на практике.

Для наглядности в течении урока использовала презентацию. Использовала специальную программу для демонстрации для сравнения длины наклонной и перпендикуляра, в которой геометрические фигуры оживают. В течение урока использовала работу учащихся на сигнальной доске, которая решает проблемы равного участия учащихся на уроке, контроля над усвоением материала, и, конечно же, активизирует учащегося на уроке.

Учащиеся во время урока были активны, мне удалось привлечь к исследовательской деятельности, творческой деятельности, при конструктивном методе доказательства теоремы, формулировании теоремы

В конце урока учащиеся сами сформулировали тему.

Рефлексия

Этот видеоурок будет полезен тем, кто хочет самостоятельно изучить тему «Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми». В ходе урока вы сможете узнать о том, как можно рассчитать расстояние от точки до прямой. Затем учитель даст определение расстояния между параллельными прямыми.

В текущем уроке мы познакомимся с понятием «расстояние» в целом. Также мы конкретизируем данное понятие в случае вычисления расстояния между двумя точками, точкой и прямой, параллельными прямыми

Рассмотрим рисунок 1. На нём изображены 2 точки А и В. Расстоянием между двумя точками А и В является отрезок, имеющий концы в заданных точках, то есть отрезок АВ

Рис. 1. АВ - расстояние между точками

Примечательно, что расстоянием нельзя считать кривую или ломаную линии, соединяющих две точки. Расстояние - это кратчайший путь от одной точки к другой. Именно отрезок АВ является наименьшим из всех возможных линий, соединяющие точки А и В

Рассмотрим рисунок 2, на котором изображена прямая а, и точка А, не принадлежащая данной прямой. Расстоянием от точки А до прямой будет длина перпендикуляра АН.

Рис. 2. АН - расстояние между точкой и прямой

Важно заметить, что АН - кратчайшее расстояние, так как в треугольнике АМН данный отрезок является катетом, а произвольный иной отрезок, соединяющий точку А и прямую а (в данном случае - это АМ) будет являться гипотенузой. Как известно, катет всегда меньше гипотенузы

Обозначение расстояния:

Рассмотрим параллельные прямые a и b, изображённые на рисунке 3

Рис. 3. Параллельные прямые a и b

Зафиксируем две точки на прямой a и опустим из них перпендикуляры на параллельную ей прямую b . Докажем, что если ,

Проведём отрезок АМ для удобства доказательства. Рассмотрим полученные треугольники АВМ и АНМ. Поскольку , а , то . Аналогично, . У данных прямоугольных треугольников () сторона АМ - общая. Она является гипотенузой в обоих треугольниках. Углы АМН и АМВ являются внутренними накрестлежащими при параллельных прямых АВ и НМ и секущей АМ. По известному свойству, .

Из всего выше изложенного следует, что . Из равенства треугольников следует, что АН = ВМ

Итак, мы доказали, что на рисунке 3 отрезки АН и ВМ равны. Это значит, что расстоянием между параллельными прямыми является длина их общего перпендикуляра, при чём выбор перпендикуляра может быть произвольным. Таким образом,

Верно и обратное утверждение: множество точек, которые находятся на одном и том же расстоянии от некоторой прямой, образуют прямую, параллельную данной

Закрепим наши знания, решим несколько задач

Пример 1 : Задача 272 из учебника «Геометрия 7-9». Автор - Атанасян Л.С.

В равностороннем треугольнике АВС проведена биссектриса АD. Расстояние от точки D до прямой АС равно 6 см. Найти расстояние от точки А до прямой ВС

Рис. 4. Чертёж к примеру 1

Решение:

Равносторонним треугольником называется треугольник с тремя равными сторонами (а значит, и с тремя равными углами, то есть - по 60 0). Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного, поэтому все свойства, присущие равнобедренному треугольнику, распространяются и на равносторонний. Поэтому АD - не только биссектриса, но ещё и высота, стало быть AD ⊥BC

Поскольку расстояние от точки D до прямой АС - это длина перпендикуляра, опущенного из точки D на прямую АС, то DH - данное расстояние. Рассмотрим треугольник АНD. В нём угол Н = 90 0 , так как DH - перпендикуляр к АС (по определению расстояния от точки до прямой). Кроме этого, в данном треугольнике катет DH лежит против угла , поэтому AD = (см) (По свойству)

Расстояние от точки А до прямой ВС - это длина опущенного на прямую ВС перпендикуляра. По доказанному AD ⊥BC, значит, .

Ответ: 12 см.

Пример 2 : Задача 277 из учебника «Геометрия 7-9». Автор - Атанасян Л.С.

Расстояние между параллельными прямыми a и b равно 3 см, а расстояние между параллельными прямыми a и c равно 5 см. Найдите расстояние между параллельными прямыми b и c

Решение:

Рис. 5. Чертёж к примеру 2 (первый случай)

Поскольку , то = 5 - 3 = 2 (см).

Однако данный ответ неполный. Существует и другой вариант расположения прямых на плоскости:

Рис. 6. Чертёж к примеру 2 (второй случай)

В данном случае .

Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов ().
Репетитор по математике ().

№ 280, 283. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. под редакцией Тихонова А. Н. Геометрия 7-9 классы. М.: Просвещение. 2010 г.
Сумма гипотенузы СЕ и катета СК прямоугольного треугольника СКЕ равна 31 см, а их разность равна 3 см. найдите расстояние от вершины С до прямой КЕ
На основании АВ равнобедренного треугольника АВС взята точка М, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что СМ - высота треугольника АВС
Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной

Доказательство.

Возьмем точку , которая лежит на прямой a , тогда координаты точки М1 удовлетворяют уравнению , то есть, справедливо равенство , откуда имеем .

Если font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana"> b имеет вид font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">, а если , то нормальное уравнение прямой b имеет вид font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">.

Тогда при font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">расстояние от точки до прямой b вычисляется по формуле , а при - по формуле

То есть, при любом значении С2 расстояние от точки до прямой b можно вычислить по формуле . А если учесть равенство , которое было получено выше, то последняя формула примет вид font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">. Теорема доказана.

2. Решение задач на нахождение расстояния между параллельными прямыми

Пример №1.

Найдите расстояние между параллельными прямыми и Решение.

Получим общие уравнения заданных параллельных прямых.

Для прямой font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">соответствует общее уравнение прямой . Перейдем от параметрических уравнений прямой вида font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">к общему уравнению этой прямой:

font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">Коэффициенты при переменных x и y в полученных общих уравнениях параллельных прямых равны, поэтому мы сразу можем применить формулу для вычисления расстояния между параллельными прямыми на плоскости: .

Ответ: font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">Пример №2.

На плоскости введена прямоугольная система координат Oxy и даны уравнения двух параллельных прямых и . Найдите расстояние между указанными параллельными прямыми.

Решение:

Первый способ решения.

Канонические уравнения прямой на плоскости вида font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">позволяют сразу записать координаты точки М1 , лежащей на этой прямой: font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">. Расстояние от этой точки до прямой равно искомому расстоянию между параллельными прямыми. Уравнение является нормальным уравнением прямой, следовательно, мы можем сразу вычислить расстояние от точки до прямой font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">: .

Второй способ решения.

Общее уравнение одной из заданных параллельных прямых нам уже дано font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">. Приведем каноническое уравнение прямой к общему уравнению прямой: . Коэффициенты при переменной x в общих уравнениях заданных параллельных прямых равны (при переменной y коэффициенты тоже равны - они равны нулю), поэтому можно применять формулу, позволяющую вычислить расстояние между заданными параллельными прямыми: .

Ответ: 8

3. Домашнее задание

Задачи для самопроверки

1. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми

4.ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Все поставленные цели и задачи выполнены полностью. Разработаны два урока из раздела «Взаимное расположение объектов на плоскости» по теме «Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми» с помощью метода координат. Материал подобран на доступном для учащихся уровне, что позволит решать задачи по геометрии более простыми и красивыми методами.

5.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1) , Юдина. 7 – 9 классы : учебник для общеобразовательных учреждений.

2) , Позняк. Учебник для 10-11 классов средней школы .

3) , Никольский математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

4) , Позняк геометрия.

6.ПРИЛОЖЕНИЯ

Справочный материал

Общее уравнение прямой:

Ах + Ву + С = 0 ,

где А и В не равны нулю одновременно.

Коэффициенты А и В являются координатами нормального вектора прямой (т. е. вектора, перпендикулярного прямой). При А = 0 прямая параллельна оси ОХ , при В = 0 прямая параллельна оси О Y .

При В 0 получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом :

Уравнение прямой, проходящей через точку (х 0 , у 0) и не параллельной оси OY , имеет вид:

у – у 0 = m (x – х 0) ,

где m – угловой коэффициент , равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ .

При А font-size:12.0pt;font-family:Verdana;color:black">

где a = – C / A , b = – C / B . Эта прямая проходит через точки (a , 0) и (0, b ), т. е. отсекает на осях координат отрезки длиной a и b .

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки (х 1, у 1) и (х 2, у 2):

Параметрическое уравнение прямой , проходящей через точку (х 0 , у 0) и параллельной направляющему вектору прямой (a , b ) :

Условие параллельности прямых:

1) для прямых Ах+ Ву+ С = 0 и D х+ E у+ F = 0: AE – BD = 0 ,

2) для прямых у = m x + k и у = p x + q : m = p .

Не прошло и минуты, как я создал новый вёрдовский файл и продолжил столь увлекательную тему. Нужно ловить моменты рабочего настроя, поэтому лирического вступления не будет. Будет прозаическая порка =)

Две прямые пространства могут:

1) скрещиваться;

2) пересекаться в точке ;

3) быть параллельными ;

4) совпадать.

Случай № 1 принципиально отличается от других случаев. Две прямые скрещиваются, если они не лежат в одной плоскости . Поднимите одну руку вверх, а другую руку вытяните вперёд – вот вам и пример скрещивающихся прямых. В пунктах же № 2-4 прямые обязательно лежат в одной плоскости .

Как выяснить взаимное расположение прямых в пространстве?

Рассмотрим две прямые пространства:

– прямую , заданную точкой и направляющим вектором ;
– прямую , заданную точкой и направляющим вектором .

Для лучшего понимания выполним схематический чертёж:

На чертеже в качестве примера изображены скрещивающиеся прямые.

Как разобраться с этими прямыми?

Так как известны точки , то легко найти вектор .

Если прямые скрещиваются , то векторы не компланарны (см. урок Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов ), а, значит, определитель, составленный из их координат, ненулевой. Или, что фактически то же самое, будет отлично от нуля: .

В случаях № 2-4 наша конструкция «падает» в одну плоскость, при этом векторы компланарны , а смешанное произведение линейно зависимых векторов равняется нулю: .

Раскручиваем алгоритм дальше. Предположим, что , следовательно, прямые либо пересекаются, либо параллельны, либо совпадают.

Если направляющие векторы коллинеарны , то прямые либо параллельны, либо совпадают. Финальным гвоздём предлагаю следующий приём: берём какую-либо точку одной прямой и подставляем её координаты в уравнение второй прямой; если координаты «подошли», то прямые совпадают, если «не подошли», то прямые параллельны.

Ход алгоритма незатейлив, но практические примеры всё равно не помешают:

Пример 11

Выяснить взаимное расположение двух прямых

Решение : как и во многих задачах геометрии, решение удобно оформить по пунктам:

1) Вытаскиваем из уравнений точки и направляющие векторы:

2) Найдём вектор:

Таким образом, векторы компланарны, а значит, прямые лежат в одной плоскости и могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.

4) Проверим направляющие векторы на коллинеарность.

Составим систему из соответствующих координат данных векторов:

Из каждого уравнения следует, что , следовательно, система совместна, соответствующие координаты векторов пропорциональны, и векторы коллинеарны.

Вывод: прямые параллельны либо совпадают.

5) Выясним, есть ли у прямых общие точки. Возьмём точку , принадлежащую первой прямой, и подставим её координаты в уравнения прямой :

Таким образом, общих точек у прямых нет, и им ничего не остаётся, как быть параллельными.

Ответ :

Интересный пример для самостоятельного решения:

Пример 12

Выяснить взаимное расположение прямых

Это пример для самостоятельного решения. Обратите внимание, что у второй прямой в качестве параметра выступает буква . Логично. В общем случае – это же две различные прямые, поэтому у каждой прямой свой параметр.

И снова призываю не пропускать примеры, пороть буду предлагаемые мной задачи далеко не случайны;-)

Задачи с прямой в пространстве

В заключительной части урока я постараюсь рассмотреть максимальное количество различных задач с пространственными прямыми. При этом будет соблюдён начатый порядок повествования: сначала мы рассмотрим задачи со скрещивающимися прямыми, затем с пересекающимися прямыми, и в конце поговорим о параллельных прямых в пространстве. Однако должен сказать, что некоторые задачи данного урока можно сформулировать сразу для нескольких случаев расположения прямых, и в этой связи разбиение раздела на параграфы несколько условно. Есть более простые примеры, есть более сложные примеры, и, надеюсь, каждый найдёт то, что нужно.

Скрещивающиеся прямые

Напоминаю, что прямые скрещиваются, если не существует плоскости, в которой бы они обе лежали. Когда я продумывал практику, в голову пришла задача-монстр, и сейчас рад представить вашему вниманию дракона с четырьмя головами:

Пример 13

Даны прямые . Требуется:

а) доказать, что прямые скрещиваются;

б) найти уравнения прямой , проходящей через точку перпендикулярно данным прямым;

в) составить уравнения прямой , которая содержит общий перпендикуляр скрещивающихся прямых;

г) найти расстояние между прямыми.

Решение : Дорогу осилит идущий:

а) Докажем, что прямые скрещиваются. Найдём точки и направляющие векторы данных прямых:

Найдём вектор:

Вычислим смешанное произведение векторов :

Таким образом, векторы не компланарны , а значит, прямые скрещиваются, что и требовалось доказать.

Наверное, все уже давно подметили, что для скрещивающихся прямых алгоритм проверки получается короче всего.

б) Найдём уравнения прямой , которая проходит через точку и перпендикулярна прямым . Выполним схематический чертёж:

Для разнообразия я разместил прямую ЗА прямыми , посмотрите, как она немного стёрта в точках скрещивания. Скрещивания? Да, в общем случае прямая «дэ» будет скрещиваться с исходными прямыми. Хотя данный момент нас пока не интересует, надо просто построить перпендикулярную прямую и всё.

Что известно о прямой «дэ»? Известна принадлежащая ей точка . Не хватает направляющего вектора.

По условию прямая должна быть перпендикулярна прямым , а значит, её направляющий вектор будет ортогонален направляющим векторам . Уже знакомый из Примера № 9 мотив, найдём векторное произведение:

Составим уравнения прямой «дэ» по точке и направляющему вектору :

Готово. В принципе, можно сменить знаки в знаменателях и записать ответ в виде , но необходимости в этом нет никакой.

Для проверки необходимо подставить координаты точки в полученные уравнения прямой, затем с помощью скалярного произведения векторов убедиться, что вектор действительно ортогонален направляющим векторам «пэ один» и «пэ два».

Как найти уравнения прямой, содержащей общий перпендикуляр?

в) Эта задачка посложнее будет. Чайникам рекомендую пропустить данный пункт, не хочу охлаждать вашу искреннюю симпатию к аналитической геометрии =) Кстати, и более подготовленным читателям, возможно, лучше тоже повременить, дело в том, что по сложности пример надо бы поставить последним в статье, но по логике изложения он должен располагаться здесь.

Итак, требуется найти уравнения прямой , которая содержит общий перпендикуляр скрещивающихся прямых.

– это отрезок, соединяющий данные прямые и перпендикулярный данным прямым:

Вот наш красавец: – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых . Он единственный. Другого такого нет. Нам же требуется составить уравнения прямой , которая содержит данный отрезок.

Что известно о прямой «эм»? Известен её направляющий вектор , найденный в предыдущем пункте. Но, к сожалению, мы не знаем ни одной точки, принадлежащей прямой «эм», не знаем и концов перпендикуляра – точек . Где эта перпендикулярная прямая пересекает две исходные прямые? В Африке, в Антарктиде? Из первоначального обзора и анализа условия вообще не видно, как решать задачу…. Но есть хитрый ход, связанный с использованием параметрических уравнений прямой.

Решение оформим по пунктам:

1) Перепишем уравнения первой прямой в параметрической форме:

Рассмотрим точку . Координат мы не знаем. НО . Если точка принадлежит данной прямой, то её координатам соответствует , обозначим его через . Тогда координаты точки запишутся в виде:

Жизнь налаживается, одна неизвестная – всё-таки не три неизвестных.

2) Такое же надругательство нужно осуществить над второй точкой. Перепишем уравнения второй прямой в параметрическом виде:

Если точка принадлежит данной прямой, то при вполне конкретном значении её координаты должны удовлетворять параметрическим уравнениям:

Или:

3) Вектор , как и ранее найденный вектор , будет направляющим вектором прямой . Как составить вектор по двум точкам, рассматривалось в незапамятные времена на уроке Векторы для чайников . Сейчас отличие состоит в том, что координаты векторов записаны с неизвестными значениям параметров. Ну и что? Никто же не запрещает из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала вектора.

Есть две точки: .

Находим вектор:

4) Поскольку направляющие векторы коллинеарны, то один вектор линейно выражается через другой с некоторым коэффициентом пропорциональности «лямбда»:

Или покоординатно:

Получилась самая, что ни на есть обычная система линейных уравнений с тремя неизвестными , которая стандартно разрешима, например, методом Крамера . Но здесь есть возможность отделаться малой кровью, из третьего уравнения выразим «лямбду» и подставим её в первое и второе уравнение:

Таким образом: , а «лямбда» нам не потребуется. То, что значения параметров получились одинаковыми – чистая случайность.

5) Небо полностью проясняется, подставим найденные значения в наши точки:

Направляющий вектор особо не нужен, так как уже найден его коллега .

После длинного пути всегда интересно выполнить проверку.

:

Получены верные равенства.

Подставим координаты точки в уравнения :

Получены верные равенства.

6) Заключительный аккорд: составим уравнения прямой по точке (можно взять ) и направляющему вектору :

В принципе, можно подобрать «хорошую» точку с целыми координатами, но это уже косметика.

Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми?

г) Срубаем четвёртую голову дракона.

Способ первый . Даже не способ, а небольшой частный случай. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра: .

Крайние точки общего перпендикуляра найдены в предыдущем пункте, и задача элементарна:

Способ второй . На практике чаще всего концы общего перпендикуляра неизвестны, поэтому используют другой подход. Через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости, и расстояние между данными плоскостями равно расстоянию между данными прямыми. В частности, между этими плоскостями и торчит общий перпендикуляр.

В курсе аналитической геометрии из вышесказанных соображений выведена формула нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми:
(вместо наших точек «эм один, два» можно взять произвольные точки прямых).

Смешанное произведение векторов уже найдено в пункте «а»: .

Векторное произведение векторов найдено в пункте «бэ»: , вычислим его длину:

Таким образом:

Гордо выложим трофеи в один ряд:

Ответ :
а) , значит, прямые скрещиваются, что и требовалось доказать;
б) ;
в) ;
г)

Что ещё можно рассказать про скрещивающиеся прямые? Между ними определён угол. Но универсальную формулу угла рассмотрим в следующем параграфе:

Пересекающиеся прямые пространства обязательно лежат в одной плоскости:

Первая мысль – всеми силами навалиться на точку пересечения . И сразу же подумалось, зачем себе отказывать в правильных желаниях?! Давайте навалимся на неё прямо сейчас!

Как найти точку пересечения пространственных прямых?

Пример 14

Найти точку пересечения прямых

Решение : Перепишем уравнения прямых в параметрической форме:

Данная задача подробно рассматривалась в Примере № 7 данного урока (см. Уравнения прямой в пространстве ). А сами прямые, к слову, я взял из Примера № 12. Врать не буду, новые лень придумывать.

Приём решения стандартен и уже встречался, когда мы вымучивали уравнения общего перпендикуляра скрещивающихся прямых.

Точка пересечения прямых принадлежит прямой , поэтому её координаты удовлетворяют параметрическим уравнениям данной прямой, и им соответствует вполне конкретное значение параметра :

Но эта же точка принадлежит и второй прямой, следовательно:

Приравниваем соответствующие уравнения и проводим упрощения:

Получена система трёх линейных уравнений с двумя неизвестными. Если прямые пересекаются (что доказано в Примере № 12), то система обязательно совместна и имеет единственное решение. Её можно решить методом Гаусса , но уж таким детсадовским фетишизмом грешить не будем, поступим проще: из первого уравнения выразим «тэ нулевое» и подставим его во второе и третье уравнение:

Последние два уравнения получились, по сути, одинаковыми, и из них следует, что . Тогда:

Подставим найденное значение параметра в уравнения:

Ответ :

Для проверки подставим найденное значение параметра в уравнения:
Получены те же самые координаты, что и требовалось проверить. Дотошные читатели могу подставить координаты точки и в исходные канонические уравнения прямых.

Кстати, можно было поступить наоборот: точку найти через «эс нулевое», а проверить – через «тэ нулевое».

Известная математический примета гласит: там, где обсуждают пересечение прямых, всегда пахнет перпендикулярами.

Как построить прямую пространства, перпендикулярную данной?

(прямые пересекаются)

Пример 15

а) Составить уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой (прямые пересекаются).

б) Найти расстояние от точки до прямой .

Примечание : оговорка «прямые пересекаются» – существенна . Через точку
можно провести бесконечно много перпендикулярных прямых, которые будут скрещиваться с прямой «эль». Единственное решение имеет место в случае, когда через данную точку проводится прямая, перпендикулярная двум заданным прямым (см. Пример № 13, пункт «б»).

а) Решение : Неизвестную прямую обозначим через . Выполним схематический чертёж:

Что известно о прямой ? По условию дана точка . Для того, чтобы составить уравнения прямой, необходимо найти направляющий вектор. В качестве такого вектора вполне подойдёт вектор , им и займемся. Точнее, возьмём за шкирку неизвестный конец вектора.

1) Вытащим из уравнений прямой «эль» её направляющий вектор , а сами уравнения перепишем в параметрической форме:

Многие догадались, сейчас уже в третий раз за урок фокусник достанет белого лебедя из шляпы. Рассмотрим точку с неизвестными координатами. Поскольку точка , то её координаты удовлетворяют параметрическим уравнениям прямой «эль» и им соответствует конкретное значение параметра:

Или одной строкой:

2) По условию прямые должны быть перпендикулярны, следовательно, их направляющие векторы – ортогональны. А если векторы ортогональны, то их скалярное произведение равно нулю:

Что получилось? Простейшее линейное уравнение с одной неизвестной:

3) Значение параметра известно, найдём точку:

И направляющий вектор:
.

4) Уравнения прямой составим по точке и направляющему вектору :

Знаменатели пропорции получились дробные, и это как раз тот случай, когда от дробей уместно избавиться. Я просто умножу их на –2:

Ответ :

Примечание : более строгая концовка решения оформляется так: составим уравнения прямой по точке и направляющему вектору . Действительно, если вектор является навправляющим вектором прямой, то коллинеарный ему вектор , естественно, тоже будет направляющим вектором данной прямой.

Проверка состоит из двух этапов:

1) проверяем направляющие векторы прямых на ортогональность;

2) подставляем координаты точки в уравнения каждой прямой, они должны «подходить» и там и там.

О типовых действиях говорилось очень много, поэтому я выполнил проверку на черновике.

Кстати, запамятовал ещё пунктик – построить точку «зю» симметричную точке «эн» относительно прямой «эль». Впрочем, есть хороший «плоский аналог», с которым можно ознакомиться в статье Простейшие задачи с прямой на плоскости . Здесь же всё отличие будет в дополнительной «зетовой» координате.

Как найти расстояние от точки до прямой в пространстве?

б) Решение : Найдём расстояние от точки до прямой .

Способ первый . Данное расстояние в точности равно длине перпендикуляра : . Решение очевидно: если известны точки , то:

Способ второй . В практических задачах основание перпендикуляра частенько тайна за семью печатями, поэтому рациональнее пользоваться готовой формулой.

Расстояние от точки до прямой выражается формулой:
, где – направляющий вектор прямой «эль», а – произвольная точка, принадлежащая данной прямой.

1) Из уравнений прямой достаём направляющий вектор и самую доступную точку .

2) Точка известна из условия, заточим вектор:

3) Найдём векторное произведение и вычислим его длину:

4) Рассчитаем длину направляющего вектора:

5) Таким образом, расстояние от точки до прямой:

Рис. 1. АВ - расстояние между точками

Рис. 2. АН - расстояние между точкой и прямой

Обозначение расстояния:

Рассмотрим параллельные прямые a и b, изображённые на рисунке 3

Рис. 3. Параллельные прямые a и b

Из всего выше изложенного следует, что . Из равенства треугольников следует, что АН = ВМ

Закрепим наши знания, решим несколько задач

Пример 1 : Задача 272 из учебника «Геометрия 7-9». Автор - Атанасян Л.С.

Рис. 4. Чертёж к примеру 1

Решение:

Ответ: 12 см.

Пример 2 : Задача 277 из учебника «Геометрия 7-9». Автор - Атанасян Л.С.

Решение:

Рис. 5. Чертёж к примеру 2 (первый случай)

Поскольку , то = 5 - 3 = 2 (см).

Однако данный ответ неполный. Существует и другой вариант расположения прямых на плоскости:

Рис. 6. Чертёж к примеру 2 (второй случай)

В данном случае .

Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов ().
Репетитор по математике ().

№ 280, 283. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. под редакцией Тихонова А. Н. Геометрия 7-9 классы. М.: Просвещение. 2010 г.
Сумма гипотенузы СЕ и катета СК прямоугольного треугольника СКЕ равна 31 см, а их разность равна 3 см. найдите расстояние от вершины С до прямой КЕ
На основании АВ равнобедренного треугольника АВС взята точка М, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что СМ - высота треугольника АВС
Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной