自然界のプラトン立体。グラフィックプリミティブの構築

本

最も単純な多細胞生物の 1 つであるボルボックス藻は、主に七角形、六角形、および五角形の細胞 (つまり、7、6、または 5 つの隣接する細胞を持つ細胞。各「頂点」に 3 つの細胞が集まっている) で構成される球形の殻です。

ダ・ヴィンチ・コードとは何ですか？

プラトン立体

アルキメデス立体

エジプト暦の謎

準結晶 by Dan Shekhtman

ペンローズタイル

フラーレン

スロベニア人アーティスト、マチュシュカ・テヤ・クラシェクの芸術の世界

家住宅の建物自然界のプラトン立体。グラフィックプリミティブの構築

住宅の建物

プラトンは、数学的知識のいくつかの重要な方法論的問題の開発に責任を負っています。それは、数学の公理的構築、数学的方法と弁証法の関係の研究、数学的知識の基本的な形式の分析です。したがって、証明のプロセスでは、必然的に証明された規定のセットが証明不可能な規定に基づくシステムにリンクされます。数学の始まりが「仮定の本質」であるという事実は、その後のすべての構造の真実性について疑問を引き起こす可能性があります。プラトンはそのような疑いは根拠がないと考えました。彼の説明によると、数理科学自体は「仮定を使用するため、それを動かせず、その理由を与えることができない」にもかかわらず、仮定は弁証法によって理由を見つけます。プラトンはまた、数学の発展に有益であることが判明した他の多くの命題も表現しました。したがって、対話「饗宴」では、限界の概念が提唱されています。ここではアイデアが物の形成の限界として現れています。

プラトンの立体。

プラトン立体は凸多面体であり、その面はすべて正多角形です。正多面体のすべての多面体の角度は合同です。頂点における平面角の合計を計算すると、凸正多面体は 5 個以下になります。以下に示す方法を使用すると、正多面体がちょうど 5 つ存在することを証明できます (これはユークリッドによって証明されました)。正四面体、立方体、八面体、十二面体、二十面体です。

表1

表2

名前：	外接球の半径	内接球の半径	音量
四面体	6 4	6 12	a3\/2 12
キューブ	a\/3 2	2	a3
八面体	a\/2 2	6 6	a3\/2 12
十二面体	4\/18+6\/5	1 2 25+11\/5 10	a3 4 (15+7\/5)
正二十面体	12(3+\/5)\/3	5 12 a3(3+\/5)

四面体は、すべての面が三角形である四面体です。三角錐。正四面体は 4 つの正三角形で囲まれています。 5つの正多角形のうちの1つ。 (図1)。

立方体または正六面体は、6 つの正方形で囲まれた等しい辺を持つ正四角柱です。 (図2)。

八面体-八面体。 8 つの三角形で囲まれた体。正八面体は 8 つの正三角形で囲まれています。 5 つの正多面体の 1 つ。 (図3)。

十二面体は十二面体であり、12 の多角形で囲まれた物体です。正五角形。 5 つの正多面体の 1 つ。 (図4)。

二十面体は二十面体であり、20 の多角形で囲まれた体です。正二十面体は 20 個の正三角形によって制限されます。 5 つの正多面体の 1 つ。 (図5)。

立方体と八面体は双対です。一方の面の重心を他方の頂点とみなした場合、またはその逆の場合、相互に求められます。十二面体と二十面体も同様に双対です。四面体はそれ自体に双対性を持っています。正十二面体は、立方体の面に「屋根」を構築することによって得られます (ユークリッド法)。四面体の頂点は、エッジに沿ってペアで隣接していない立方体の任意の 4 つの頂点です。これが、他のすべての正多面体が立方体から得られる方法です。本当に正多面体が 5 つだけ存在するという事実そのものが驚くべきことです。結局のところ、平面上には無数の正多角形が存在します。

すべての正多面体は昔から知られていました古代ギリシャ、そしてユークリッドの有名な原理の最後の第 12 巻はそれらに捧げられています。これらの多面体は、古代ギリシャの偉大な思想家プラトンによって与えられた理想主義的な世界像の中で、プラトン立体とも呼ばれることがよくあります。そのうちの 4 つは、四面体 - 火、立方体 - 地球、二十面体 - 水、八面体 - 空気の 4 つの要素を擬人化しました。 5 番目の多面体である十二面体は宇宙全体を象徴し、ラテン語ではそれをクインタエッセンティア (「第 5 の本質」) と呼び始めました。どうやら、正しい四面体、立方体、八面体を思いつくのは難しいことではありませんでした。特にこれらの形には天然の結晶が含まれているためです。たとえば、食塩 (NaCl) の立方体単結晶、カリウムミョウバン ((KalSO4)2) の八面体単結晶などです。 *12H2O)。古代ギリシャ人は黄鉄鉱（硫黄黄鉄鉱 FeS）の結晶を調べることによって十二面体の形状を得たとの仮説があります。 12 面体であれば、20 面体を構築するのは難しくありません。その頂点は、12 面体の 12 面の中心になります。

参考文献

1. 『ソビエト百科事典』モスクワ、1979年。

2.数学百科事典/「ソビエト百科事典」、1988年。

3. 数学: 学校百科事典 / Ch. 編 M 34 S.M. ニコルスキー。 - M.: 科学出版社「ロシア大百科事典」、1996 年、-527 P.: 病気。

５つの凸正多面体の名前は、四面体、立方体、八面体、十二面体、二十面体です。多面体はプラトンにちなんで名付けられました。ティマイオス (紀元前 4 世紀) は彼らに神秘主義を与えました。意味; プラトン以前から知られていた... 数学百科事典

正多面体と同じ... ソビエト大百科事典

- ... ウィキペディア

ソクラテスの弟子であるパイドにちなんで名付けられた「パイド」、または「魂の不滅について」（参照）、プラトンの対話篇は最も優れたものの 1 つです。これはアリストテレスが名を挙げた唯一のプラトンの対話篇であり、アリストテレスによって本物であると認められている数少ない対話篇の 1 つです。

百科事典 F.A. ブロックハウスと I.A. エフロン

プラトンの最高の芸術的かつ哲学的な対話の 1 つであり、古代科学と現代科学の両方の満場一致の評決によって本物であると認められています。最新のプラトン批判では、彼らはその執筆時期についてのみ議論しました。ある者は... 百科事典 F.A. ブロックハウスと I.A. エフロン

プラトンの著作における哲学的思想- 簡単に言うと、プラトンの哲学的遺産は広範囲にわたり、34 の著作から構成されており、それらはほぼ完全に保存され、私たちに伝わっています。これらの作品は主に会話の形で書かれており、その中の主人公はほとんどの場合…… 世界哲学の小さなシソーラス

正十二面体正多面体、またはプラトン立体は、最大限の対称性を備えた凸多面体です。多面体は、次の場合に正多面体と呼ばれます: 凸面である場合、そのすべての面がそれぞれの面で等しい正多角形である場合... ... Wikipedia

プラトン立体、凸多面体。すべての面が同一の正多角形であり、頂点のすべての多面体の角度が正則で等しい (図 1a、1e)。ユークリッド空間 E 3 には 5 つの午後があり、そのデータは次のとおりです。数学百科事典

魂- [ギリシャ語 ψυχή] は、独立した原理でありながら、身体とともに人の構成を形成します (二分主義、人類学の記事を参照)。人間の像には神の像が含まれています（ある教父によれば、また他の教父によれば、神の像はすべてのものに含まれているといいます... ... 正統派百科事典

ティマイオス (2011 年版)、プラトン。プラトンの『ティマイオス』は、プラトンの宇宙論の唯一の体系的な概要であり、これまで散在的でランダムな形でしか現れていませんでした。これによりティマイオスの栄光が生まれました...
魂に関する質問についてディスカッションします。研究6、アクィナス・F. 「論争的質問」（quaestiones disputatae）のジャンルは、中世の大学で使用されていた特別な学問ジャンルであり、「魂についての議論可能な質問」は...

スタホフ A.P.

「ダ・ヴィンチ・コード」、プラトンとアルキメデスの立体、準結晶、フラーレン、ペンローズ格子、そしてマザー・テイア・クラシェクの芸術的世界

注釈

スロベニアの芸術家マチュシュカ・テヤ・クラシェクの作品は、ロシア語を話す読者にはほとんど知られていない。同時に、西洋では、それは世界の文化コミュニティへの「東ヨーロッパのエッシャー」および「スロベニアの贈り物」と呼ばれています。彼女の芸術的な作品は、最新の科学的発見 (フラーレン、ダンシェクトマン準結晶、ペンローズタイル) からインスピレーションを得ており、それらは正多角形および半正多角形 (プラトン立体およびアルキメデス立体)、黄金比、フィボナッチ数に基づいています。

確かに誰もが、なぜ自然が目を楽しませ、楽しませるこのような驚くべき調和のとれた構造を作り出すことができるのかという疑問について一度ならず考えたことがあるでしょう。なぜ芸術家、詩人、作曲家、建築家は世紀から世紀へと素晴らしい芸術作品を生み出すのか。彼らの調和の秘密は何ですか?また、これらの調和のとれた生き物の根底にある法則は何ですか?

これらの法則、「宇宙の調和の法則」の探求は古代科学から始まりました。科学者たちが多くの研究に到達したのは、人類の歴史のこの時期でした。驚くべき発見、それは科学の歴史全体に浸透しています。それらの最初のものは、調和を表す素晴らしい数学的比率であると当然考えられています。別の呼び方をします: 「黄金比率」「黄金数」「黄金平均」「黄金分割」そしてさらに 「神の比例」 黄金比とも呼ばれている PHIの数この数字を彫刻に使用した偉大な古代ギリシャの彫刻家フェイディアスに敬意を表して。

イギリスの人気作家ダン・ブラウンが書いたスリラー映画『ダ・ヴィンチ・コード』は、21世紀のベストセラーとなった。しかし、ダ・ヴィンチ・コードとは何を意味するのでしょうか？この質問にはさまざまな答えがあります。有名な「黄金分割」がレオナルド・ダ・ヴィンチの注目を集め、魅了されたことは知られています。さらに、まさに「黄金分割」という名前は、レオナルド・ダ・ヴィンチによってヨーロッパ文化に導入されました。レオナルドの発案で、レオナルド・ダ・ヴィンチの友人であり科学顧問でもあった有名なイタリアの数学者で科学修道士のルカ・パチョーリは、黄金分割に関する世界文学初の数学的作品である『神聖なる比例』という本を出版しました。割合"。レオナルド自身がこの有名な本の挿絵を描き、そのために 60 枚もの素晴らしい絵を描いたことも知られています。一般の科学界にはあまり知られていないこれらの事実こそが、「ダ・ヴィンチ・コード」が「黄金比」にすぎないという仮説を立てる権利を私たちに与えているのです。そして、この仮説の裏付けは、ハーバード大学の学生向けの講義の中に見られます。それは、本「ダ・ヴィンチ・コード」の主人公であるダ・ヴィンチ・コード教授が思い出したものです。ラングドン:

「そのほとんど神秘的な起源にもかかわらず、PHI 番号は独自の方法でユニークな役割を果たしました。地球上のすべての生命を築く基礎におけるレンガの役割。すべての植物、動物、さらには人間にも、PHI 値の 1 に対する比率の根にほぼ等しい物理的比率が与えられています。この PHI の自然界の遍在性は、すべての生物のつながりを示しています。以前は、PHI 番号は宇宙の創造主によってあらかじめ決められていると信じられていました。古代の科学者たちは、1.618万分の1を「神の比率」と呼びました。

つまり、レオナルド・ダ・ヴィンチが「黄金比」と呼んだ有名な無理数 PHI = 1.618 こそが「ダ・ヴィンチ・コード」なのです！

古代科学のもう一つの数学的発見は、 正多面体名付けられたもの 「プラトン立体」そして 「半正多面体」、と呼ばれる 「アルキメデス立体」。 20 世紀最大の 2 つの科学的発見の基礎となっているのは、これらの驚くほど美しい空間幾何学図形です。 準結晶(発見の著者はイスラエルの物理学者ダン・シェクトマンです) フラーレン（1996年ノーベル賞）。これら 2 つの発見は、宇宙の根底にある普遍自然法則 (「ダヴィンチコード」) が黄金比であるという事実の最も重要な確認です。

準結晶とフラーレンの発見は多くの人々にインスピレーションを与えました。現代アーティスト 20世紀の最も重要な物理的発見を芸術的な形で反映する作品を制作すること。これらのアーティストの一人はスロベニアのアーティストです 母はテイア・クラシェク。この記事では、マザー・テイア・クラシェクの芸術世界を、最新の科学的発見のプリズムを通して紹介します。

人は、積み木で遊ぶ 2 歳児から成熟した数学者に至るまで、意識的な活動全体を通じて正多角形と多面体に興味を示します。規則的および半規則的な物体には、自然界では結晶の形で存在するものもあれば、電子顕微鏡を使用して検査できるウイルスの形で存在するものもあります。

正多面体とは何ですか? 正多面体とは、すべての面が互いに等しい（または合同）、かつ正多角形であるような多面体です。正多面体はいくつありますか? 一見すると、この質問に対する答えは非常に簡単です。正多角形の数は同じだけ存在します。しかし、そうではありません。ユークリッドの要素には、凸正多面体は 5 つだけ存在し、それらの面は 3 種類の正多角形しかあり得ないという厳密な証明が見つかります。 三角形, 正方形そして 五角形（正五角形）.

多くの本が多面体の理論に特化しています。最も有名なものの 1 つは、イギリスの数学者 M. ウェニガーの著書「多面体のモデル」です。この本は 1974 年にミール出版社からロシア語翻訳で出版されました。この本のエピグラフはバートランド・ラッセルによる次のような声明です。「数学は真理だけでなく、高度な美しさも備えています。その美しさは、研ぎ澄まされ厳格で、崇高に純粋で、真の完璧を目指して努力するものであり、これは芸術の最も偉大な例にのみ特徴づけられるものです。」

この本はいわゆるものについての説明から始まります。 正多面体、つまり、同じタイプの最も単純な正多角形によって形成される多面体です。これらの多面体は通常、 プラトン立体(図1) , にちなんで名付けられた古代ギリシャの哲学者プラトンは著書で正多面体を使用しました。 宇宙学。

写真1。プラトン立体: (a) 八面体 (「火」)、(b) 六面体または立方体 (「地球」)、

から検討を始めます 正多面体の顔は 正三角形。一つ目は 四面体(図1-a)。四面体では、3 つの正三角形が 1 つの頂点で交わります。同時に、それらの底辺は新しい正三角形を形成します。四面体は、プラトン立体の中で面の数が最も少なく、正多角形の中で辺の数が最も少ない平らな正三角形の 3 次元の類似物です。

次の正三角形で構成される物体は、 八面体(図1-b)。八面体では、4 つの三角形が 1 つの頂点で交わります。その結果、底面が四角形のピラミッドが作成されます。このような 2 つのピラミッドをその底面で接続すると、8 つの三角形の面を持つ対称的なボディが得られます。 八面体.

ここで、5 つの正三角形を 1 点で接続してみます。結果は、20 個の三角形の面を持つ図になります。 正二十面体(図1-d)。

次正しいフォーム多角形 - 四角。 3 つの正方形を 1 点で接続し、さらに 3 つ追加すると、と呼ばれる 6 つの辺を持つ完全な形状が得られます。 正六面体または 立方体(図1-c)。

最後に、次の正多角形の使用に基づいて、正多面体を構築する別の可能性があります。 五角形。 3 つの五角形が各点で交わるように 12 個の五角形を集めると、別のプラトン立体が得られます。 十二面体(図1-d)。

次の正多角形は 六角形。しかし、3つの六角形を一点で結ぶと面ができてしまうので、六角形から立体を作ることは不可能です。六角形の上にある他の正多角形は、まったく立体を形成できません。これらの考察から、正多面体は 5 つだけ存在し、その面は正三角形、正方形、五角形のみであることがわかります。

すべての間に驚くべき幾何学的なつながりがあります 正多面体。例えば、 立方体(図1-b)および 八面体(図 1-c) は二重です。一方の面の重心を他方の頂点とみなした場合、またはその逆の場合、相互に求められます。同様にデュアル 正二十面体(図1-d)および 十二面体(図1-d) . 四面体(図 1-a) はそれ自身に対して双対的です。十二面体は、その面に「屋根」を構築することによって立方体から得られます (ユークリッド法)。四面体の頂点は、エッジに沿ってペアで隣接していない立方体の任意の 4 つの頂点です。つまり、他のすべての正多面体は、キューブから得られる。本当に正多面体が 5 つだけ存在するという事実そのものが驚くべきことです。結局のところ、平面上には無限に多くの正多角形が存在するのです。

プラトン立体の数値特性

主な数値特性 プラトン立体面の側面の数です うーん、各頂点で交わる面の数、 うーん、顔の数 G、頂点の数で、肋骨の数 Rと平角の数 Uオイラーは多面体の表面上で有名な公式を発見し証明しました。

B P + G = 2,

任意の凸多面体の頂点、辺、面を接続する数。上記の数値特性を表に示します。 1.

表1

プラトン立体の数値特性

12面体と20面体の黄金比

12 面体とその二重 20 面体 (図 1-d、e) が占めます。特別な場所の間で プラトン立体。まず第一に、ジオメトリが 十二面体そして 正二十面体黄金比に直結します。まさに、エッジ 十二面体(図1-e)は 五角形、つまり黄金比に基づいた正五角形。よく見ると 正二十面体(図 1-d)、5 つの三角形が各頂点で収束していることがわかります。外側どのような形で 五角形。これらの事実だけでも、黄金比がこれら 2 つのデザインに重要な役割を果たしていると確信できます。 プラトン立体.

しかし、黄金比が果たす基本的な役割については、より深い数学的証拠があります。 正二十面体そして 十二面体。これらの天体には 3 つの特定の球体があることが知られています。最初の (内側の) 球体は本体に内接され、その面に接触します。この内球の半径を次のように表します。リ。 2番目または中央の球体はその肋骨に触れます。この球の半径を次のように表します。 Rm.最後に、3 番目の (外側) 球が体の周りに記述され、その頂点を通過します。その半径を次のように表しましょう Rc。幾何学では、指定された球の半径の値が次のとおりであることが証明されています。 十二面体そして 正二十面体は単位長さのエッジを持ち、黄金比 t で表されます (表 2)。

表2

12面体と20面体の球の黄金比


正二十面体
十二面体

radii = の比率は次の場合と同じであることに注意してください。 正二十面体、そしてのために 十二面体。したがって、もし 十二面体そして 正二十面体内接球面が同一であれば、それらの外接球面も互いに等しい。この数学的結果の証明は次のようになります。 始まりユークリッド。

幾何学では、他の関係も知られています。 十二面体そして 正二十面体、黄金比との関係を確認します。たとえば、次のようにすると、 正二十面体そして 十二面体辺の長さを 1 として、その外面積と体積を計算し、黄金比で表します (表 3)。

表3

12面体と20面体の外面積と体積の黄金比

	正二十面体	十二面体
外部エリア

したがって、古代の数学者によって得られた膨大な数の関係があり、まさに次のような驚くべき事実が裏付けられています。 黄金比は12面体と20面体の主な比率です、そしてこの事実は、いわゆる 「十二面体・二十面体教義」それについては以下で見ていきます。

プラトンの宇宙論

上で議論した正多面体は次のように呼ばれます。 プラトン立体彼らが占領して以来大切な場所プラトンの宇宙の構造に関する哲学的概念。

プラトン (紀元前 427 ～ 347 年)

4 つの多面体は、その中の 4 つの本質または「要素」を擬人化しました。 四面体象徴された火、その上部が上を向いているため。 正二十面体 水、それは最も「流線型」の多面体であるためです。 キューブ 地球、最も「安定した」多面体として。 八面体 空気、最も「風通しの良い」多面体として。 5番目の多面体 十二面体「存在するすべて」を体現し、宇宙全体を象徴する「ユニバーサル・マインド」と考えられました。 宇宙の主要な幾何学的図形。

古代ギリシャ人は調和のとれた関係が宇宙の基礎であると考えていたため、その 4 つの要素は次の比率で結びついていました: 地/水 = 空気/火。「元素」の原子は、竪琴の 4 つの弦のように、プラトンによって完璧な調和に調律されました。協和音は心地よい協和音であることを覚えておきましょう。これらの物体に関連して、地、水、空気、火の 4 つの要素を含むそのような要素の体系は、アリストテレスによって正規化されたと言うのが適切でしょう。これらの元素は、何世紀にもわたって宇宙の 4 つの基礎であり続けました。それらを、私たちが知っている物質の 4 つの状態、つまり固体、液体、気体、プラズマと同一視することはかなり可能です。

したがって、古代ギリシャ人は、存在の「端から端までの」調和という考えを、プラトン立体におけるその具体化と関連付けました。有名なギリシャの思想家プラトンの影響も影響 始まりユークリッド。何世紀にもわたって幾何学に関する唯一の教科書であったこの本には、「理想的な」線と「理想的な」図形が説明されています。最も「理想的な」ラインは、 真っ直ぐ、そして最も「理想的な」多角形は次のとおりです。 正多角形、等しい辺と等しい角度を持っています。最も単純な正多角形が考えられます。 正三角形、平面の一部を囲むことができる辺の数が最小であるためです。何だろう？ 始まり Euclid は構造の説明から始まります 正三角形そして5つの研究で終わります プラトン立体。気づいてください、それは プラトン立体最後の、つまり 13 冊目の本は次のことに捧げられています。 始まったユークリッド。ちなみに、この事実、つまり、正多面体の理論が最後の（つまり、最も重要であるかのように）本に配置されているのは、 始まったユークリッドは、ユークリッドの注釈者であった古代ギリシャの数学者プロクロスを生み出し、ユークリッドが著作を作成したときに追求した真の目標について興味深い仮説を提唱しました。 始まり。プロクロスによれば、ユークリッドは創造した 始まり幾何学そのものを提示することが目的ではなく、「理想的な」図形、特に 5 つの図形の構築に関する完全に体系化された理論を提供することを目的としています。 プラトン立体、同時に数学における最新の成果のいくつかをハイライトします。

フラーレン発見の著者の一人であるノーベル賞受賞者のハロルド・クロトーが、ノーベル賞の講演で、「物理世界に対する私たちの認識の基礎」としての対称性と、「説明の試みにおける対称性の役割」について話を始めたのは偶然ではありません。包括的に「正確に」 プラトン立体そして「万物の要素」：「構造的対称性の概念は、古代古代に遡ります...」最も有名な例は、もちろんプラトンの『ティマイオス』にあります。そこでは、要素に関連するセクション 53 で、彼は次のように書いています。）「もちろん、火と土、水と空気が物体であり、すべての物体が固体であることは明らかです」（!!）プラトンは、これらの4つの要素の言語で化学の問題を議論し、それらを4つのプラトンの概念と結びつけます固体（当時、ヒッパルコスが5番目の十二面体を発見するまでは4つだけでした）。一見すると、そのような哲学はやや素朴に見えるかもしれませんが、それは自然が実際にどのように機能するのかについての深い理解を示しています。」

半正多面体

さらに多くの完璧な体が知られており、 半正多面体または アルキメデスの天体。また、すべての多面体の角度が等しく、すべての面が正多角形ですが、いくつかの異なるタイプがあります。半正多面体は 13 個あり、その発見はアルキメデスによるものとされています。

アルキメデス (紀元前 287 年 – 紀元前 212 年)

たくさんの アルキメデス立体いくつかのグループに分けることができます。それらの最初のものは 5 つの多面体で構成されており、次から得られます。 プラトン立体彼らの結果として 切り捨て。切頭ボディとは、ボディの上部が切り取られたものです。のために プラトン立体切り捨ては、結果として得られる新しい面と古い面の残りの部分の両方が正多角形になるように実行できます。例えば、 四面体(図 1-a) を切り取ると、4 つの三角形の面が 4 つの六角形の面になり、さらに 4 つの正三角形の面が追加されます。このようにして5つ入手できます アルキメデス立体: 切頂四面体、切頂六面体（立方体）、切頂八面体、切頂十二面体そして 切頂二十面体(図2)。


(A)	(b)	(V)


(G)	(d)

図 2. アルキメデス立体: (a) 切頭四面体、(b) 切頭立方体、(c) 切頭八面体、(d) 切頭十二面体、(e) 切頭二十面体

フラーレンの実験的発見の著者の一人であるアメリカの科学者スモーリーは、ノーベル賞受賞講演の中で、切頭多面体の最初の研究者としてアルキメデス (紀元前 287 ～ 212 年) について次のように語っています。 切頂二十面体ただし、おそらくこれはアルキメデスの功績だと考えられており、おそらくアルキメデスのずっと前に二十面体は切り詰められていたのではないかとの注意が必要です。スコットランドで発見され、紀元前 2000 年頃のものについて言及するだけで十分です。球体の形をした何百もの石のオブジェクト（明らかに儀式の目的でした）とさまざまな 多面体(ボディはすべての面が平らに境界されています) エッジ)、二十面体と十二面体を含みます。残念ながら、アルキメデスのオリジナルの作品は現存しておらず、その成果は、いわゆる「受け売り」として私たちに届けられています。ルネッサンス時代にはすべてが アルキメデス立体次々と再び「発見」されました。結局のところ、ケプラーは 1619 年の著書『世界調和』（『ハーモニス・ムンディ』）の中で、アルキメデスの立体 - 多面体の各面が表す集合全体の包括的な説明を与えました。 正多角形、そしてすべて ピークは同等の位置にあります (C 60 分子の炭素原子のように)。アルキメデスの立体は少なくとも 2 つの要素から構成されます。さまざまな種類 5 ではなくポリゴン プラトン立体、そのすべての面は同一です (たとえば、C 20 分子の場合のように)。

図 3. アルキメデスの切頂二十面体の構築
プラトン正二十面体より

ではどうやってデザインするのか アルキメデスの切頂二十面体から プラトン正二十面体? 答えは図を使って説明します。 3. 確かに、表からわかるように。 1、5 の面は、正二十面体の 12 つの頂点のいずれかに集まります。正二十面体の各頂点で 12 個の部分が平面で切り取られると、12 個の新しい五角形面が形成されます。このような切断により三角形から六角形になった既存の 20 面と合わせて、切頂 20 面体の 32 面が構成されます。この場合、90 個のエッジと 60 個の頂点が存在します。

別のグループ アルキメデス立体と呼ばれる 2 つの本体で構成されます。 準レギュラー多面体。「準」粒子は、これらの多面体の面が 2 つのタイプのみの正多角形であり、1 つのタイプの各面が別のタイプの多角形で囲まれていることを強調します。この 2 つの本体は次のように呼ばれます。 菱形立方八面体そして 二十面体(図4)。

図 5. アルキメデスの立体: (a) 菱形立方八面体、(b) 菱形十二面体

最後に、いわゆる「スナッブ」修正が 2 つあります。1 つは立方体用です ( スナッブキューブ)、もう 1 つは十二面体 ( スナッブ十二面体）（図6）。


(A)	(b)

図6.アルキメデス立体: (a) スナッブ立方体、(b) スナッブ十二面体

ウェニガーによる前述の本、多面体のモデル (1974 年) では、読者は正多面体の 75 の異なるモデルを見つけることができます。 「多面体、特に凸多面体の理論は、幾何学の最も魅力的な章の 1 つです。」これはロシアの数学者L.A.の意見です。 Lyusternak はこの数学分野で多くの功績を残しました。この理論の発展には、優れた科学者の名前が関連付けられています。ヨハネス・ケプラー (1571-1630) は、多面体理論の発展に多大な貢献をしました。かつて彼は「雪の結晶について」というスケッチを書き、その中で次のような発言をしました。「規則的な物体の中で、残りの物体の一番最初の始まりであり先祖は立方体であり、私に言わせれば、その配偶者は八面体です。なぜなら、八面体には立方体の面と同じ数の角度があるからです。」ケプラーが最初に発表した完全なリスト 13 アルキメデス立体そしてそれらに今日知られている名前を付けました。

ケプラーは、いわゆる 星型多面体、プラトン立体やアルキメデス立体とは異なり、正凸多面体です。前世紀の初め、フランスの数学者で機械工の L. ポアンソ (1777-1859) は、星状多面体に関連した幾何学的研究を行い、ケプラーの研究を発展させ、さらに 2 種類の正非凸多面体の存在を発見しました。したがって、ケプラーとポインソの研究のおかげで、そのような図形が 4 種類知られるようになりました (図 7)。 1812 年、O. コーシーは、他に正星状多面体が存在しないことを証明しました。

図7。正星状多面体 (ポアンソ立体)

多くの読者は次のように疑問に思うかもしれません。それらは何の役に立つのでしょうか？この質問には次のように答えることができます。「音楽や詩の利点は何ですか?」美しいものはすべて役に立つのでしょうか？多面体のモデルを図に示します。とりわけ、1〜7は私たちに美的な印象を与え、装飾として使用できます。しかし実際には、正多面体の広範な発現は、自然の構造物この幾何学の分野に大きな関心を引き起こしました現代科学.

カレンダーとは何ですか?

ロシアのことわざに「時間は歴史の目である」というものがあります。宇宙に存在するすべてのもの、つまり太陽、地球、星、惑星、既知の世界と未知の世界、そして生物と無生物の自然界に存在するすべてのものには、時空次元があります。時間は、一定期間の周期的に繰り返されるプロセスを観察することによって測定されます。

古代においてさえ、人々は昼が常に夜に変わり、冬の後には春が来て、春の後には夏が来て、夏の後には秋が来るというように、季節が厳密な順序で過ぎていくことに気づいていました。これらの現象の解決策を求めて、人類は天体、つまり太陽、月、星、そして空を横切るそれらの動きの厳密な周期性に注意を払いました。これらは、最も古代の科学の 1 つである天文学の誕生に先立つ最初の観測でした。

天文学は時間の測定を天体の動きに基づいて行います。天体の動きは、地軸を中心とした地球の自転、地球を中心とする月の公転、太陽を中心とする地球の動きという 3 つの要素を反映しています。時間のさまざまな概念は、時間の測定がこれらの現象のどれに基づいているかによって異なります。天文学は知っています星の時間、 晴れた時間、地元時間、 ウエスト時間、産休時間、原子時間など

太陽は、他のすべての発光体と同様に、空を横切る運動に参加します。太陽には毎日の動きに加えて、いわゆる年周運動があり、空を横切る太陽の年周運動の全経路は、と呼ばれます。 黄道。たとえば、ある夕方の時間に星座の位置に気づき、この観察を毎月繰り返すと、異なる空の絵が目の前に現れるでしょう。星空の様子は絶えず変化し、季節ごとに夕方の星座のパターンがあり、そのパターンが毎年繰り返されます。その結果、1年後、太陽は星に対して元の位置に戻ります。

星空の世界の方向をわかりやすくするために、天文学者は全空を 88 の星座に分割しました。それぞれに独自の名前が付いています。 88 の星座のうち、黄道が通過する星座は天文学における特別な位置を占めています。これらの星座には、それぞれの名前に加えて、一般的な名前もあります。 黄道帯（ギリシャ語の動物「動物園」から）のほか、世界中で広く知られているシンボル（記号）や暦法に含まれるさまざまな寓意的なイメージ。

太陽が黄道に沿って移動する過程で、13の星座を横切ることが知られています。しかし、天文学者たちは、太陽の軌道を 13 ではなく 12 の部分に分割し、さそり座とへびつかい座を 1 つの星座にまとめてさそり座という一般名を付ける必要があることに気づきました (なぜ?)。

時間の測定の問題は、と呼ばれる特別な科学によって扱われます。 年表。それは人類が作成したすべての暦体系の基礎となっています。古代における暦の作成は、天文学の最も重要な仕事の 1 つでした。

「カレンダー」とは何ですか?どのような種類がありますか? カレンダーシステム? 言葉 カレンダーラテン語から来ています カレンダーリウム、文字通り「借金帳」を意味します。そのような本では、毎月の最初の日が示されていました - カレンズ、どの中で古代ローマ債務者は利息を支払いました。

東洋の国々では古来より、東南アジア暦を編纂する際には、太陽、月、そして太陽の動きの周期性が非常に重要視されました。木星そして土星、太陽系の2つの巨大な惑星。を作成するというアイデアが信じられる理由があります。 木星暦回転に関連する12年の動物周期を天体が象徴するもの木星太陽の周りを約12年(11.862年)かけて一周します。一方、太陽系で2番目に大きな惑星は、土星約30年（29.458年）で太陽の周りを一周します。巨大な惑星の運動の周期を調和させたいと考えた古代中国人は、太陽系に60年の周期を導入するというアイデアを思いつきました。この周期の間、土星は太陽の周りを 2 回転し、木星は 5 回転します。

年間カレンダーを作成するとき、昼と夜の変化、変化などの天文現象が使用されます。月相そして季節の変わり目。さまざまな天文現象を利用して、さまざまな民族の間で 3 種類の暦が作成されました。月、月の動きをもとに、 晴れた、太陽の動きに基づいて、 太陰太陽。

エジプト暦の構造

最初のものの一つ太陽暦だった エジプト人、紀元前4千年紀に作成されました。エジプトの元の暦年は 360 日で構成されていました。 1 年はちょうど 30 日ずつの 12 か月に分割されました。しかし、この暦年の長さは天文学的な年の長さと一致しないことが後に判明しました。そしてエジプト人は暦年にさらに 5 日を追加しましたが、それは月の日ではありませんでした。これらは、隣接する暦年を繋ぐ 5 つの祝日でした。したがって、エジプトの暦年は、365 = 12 30 + 5 という構造になりました。エジプトの暦は、現代の暦の原型であることに注意してください。

なぜエジプト人は暦年を 12 か月に分割したのかという疑問が生じます。結局のところ、1年の異なる月数のカレンダーがありました。たとえば、マヤ暦では、1 年は 18 か月で構成され、1 か月あたり 20 日でした。エジプトの暦に関する次の質問は、なぜ各月がちょうど 30 日 (正確には日) なのかということです。エジプトの時間測定システム、特に次のような時間単位の選択に関して、いくつかの疑問が生じる可能性があります。 時、分、秒。特に、1 日にちょうど 24 回収まるように時間単位が選ばれたのはなぜなのか、つまり、なぜ 1 日 = 24 (2 1/2 12) 時間なのかという疑問が生じます。次に、なぜ 1 時間 = 60 分、1 分 = 60 秒なのでしょうか? 同じ疑問が角量の単位の選択にも当てはまります。特に、なぜ円が 360° に分割されるのか、つまり、なぜ 2p =360° =12 30° になるのでしょうか。これらの疑問には、特に、なぜ天文学者は 12 個あると信じることが便宜的であると考えたのか、他の疑問が追加されます。 黄道帯実際には、黄道に沿って移動する過程で、太陽は 13 の星座を横切りますが、そして、もう 1 つの「奇妙な」質問があります。なぜバビロニアの番号体系には非常に珍しい基底があるのですか、つまり 60 という数字なのでしょうか。

エジプト暦と十二面体の数値的特徴との関係

エジプトの暦と、時間と角度の値を測定するためのエジプトのシステムを分析すると、12、30、60 という 4 つの数字が驚くべき安定性で繰り返されていることがわかります。そして、そこから導き出される数字は 360 = 12 30 です。次のような疑問が生じます。では、エジプトのシステムにおけるこれらの数値の使用について、単純かつ論理的に説明できる基本的な科学的アイデアは存在するのでしょうか?

この質問に答えるために、もう一度考えてみましょう。 十二面体、図に示されています。 1-d. 十二面体のすべての幾何学的比率は黄金比に基づいていることを思い出してください。

エジプト人は十二面体を知っていましたか? 数学史家は、古代エジプト人が正多面体に関する情報を持っていたことを認めています。しかし、彼らは 5 つの正多面体、特に 十二面体そして 正二十面体最も難しいものは何ですか? 古代ギリシャの数学者プロクロスは、正多面体の構築はピタゴラスによるものであると考えています。しかし、多くの数学の定理と結果 (特に ピタゴラスの定理）ピタゴラスは、エジプトへの非常に長い「出張」中に古代エジプト人から借りました（ある情報によると、ピタゴラスはエジプトに22年間住んでいたそうです！）。したがって、ピタゴラスも正多面体に関する知識を古代エジプト人から借用した可能性があると推測できます（伝説によると、ピタゴラスは古代バビロンに12年間住んでいたため、おそらく古代バビロニア人からも）。しかし、エジプト人が 5 つの正多面体すべてに関する情報を持っていたという、より説得力のある証拠が他にもあります。特に、大英博物館にはプトレマイオス朝時代の金型が所蔵されています。 正二十面体、つまり「プラトン立体」、双対 十二面体。これらすべての事実は、私たちに次のような仮説を立てる権利を与えます。 エジプト人は十二面体を知っていました。もしそうなら、この仮説から非常に調和のとれたシステムが導き出され、エジプト暦の起源、そして同時に時間間隔と幾何学的な角度を測定するエジプトのシステムの起源を説明することができます。

以前に、十二面体の表面に 12 の面、30 のエッジ、および 60 の平面角があることを確認しました (表 1)。エジプト人が知っていたという仮説に基づく 十二面体そしてその数値的特徴は 12、30、60 です。では、同じ数字が太陽系の周期、つまり木星の 12 年周期、土星の 30 年周期、そして、最後に、太陽系の60年の夏の周期です。したがって、このような完璧な空間図形の間では、 十二面体、そして太陽系、深い数学的なつながりがあります。この結論は古代の科学者によって下されました。これにより、次のような事実が生じました。 十二面体を象徴する“主役”として採用された。 宇宙の調和。そしてエジプト人は、すべての主要なシステム (カレンダーシステム、時間測定システム、角度測定システム) が数値パラメータに対応している必要があると決定しました。 十二面体！古代人によれば、黄道に沿った太陽の動きは厳密に円形であったため、エジプト人は黄道帯の12の星座を選択し、それらの間の弧の距離がちょうど30°になるようにすることで、驚くほど美しく太陽の年間動きを調整したのです。黄道に沿って暦年の構造を示します。 1 か月は、黄道帯の 2 つの隣接する星座間の黄道に沿った太陽の動きに相当します。さらに、太陽の 1 度の動きは、エジプト暦の 1 日に相当しました。この場合、黄道は自動的に 360° に分割されました。エジプト人は、12 面体に従って 1 日を 2 つの部分に分けた後、それぞれの半日を 12 の部分 (12 面) に分割しました。 十二面体）そしてそれによって導入されました時間- 最も重要な時間の単位。 1時間を60分に分割（表面の平面角60度） 十二面体）、エジプト人はこのように導入しました分– 次に重要な時間単位。彼らが紹介したのと同じように、 ちょっと待って- その期間の最小の時間単位。

したがって、選択すると、 十二面体宇宙の主要な「調和」図形として、十二面体 12、30、60 の数値的特徴に厳密に従い、エジプト人は非常に調和のとれた暦と、時間と角度の値を測定するシステムを構築することに成功しました。これらのシステムは、黄金比に基づいた「調和理論」と完全に一致していました。なぜなら、黄金比が根底にあるからです。 十二面体.

比較から得られる驚くべき結論は次のとおりです。 十二面体太陽系と一緒。そしてもし私たちの仮説が正しければ（誰かに反駁してもらいましょう）、人類は何千年も生き続けてきたことになります。 黄金比のサインの下で！そして、時計の文字盤を見るたびに、これも数値特性を使用して構築されています。 十二面体 12、30、60、私たちは知らず知らずのうちに、主要な「宇宙の謎」、黄金比に触れています。

1984 年 11 月 12 日、イスラエルの物理学者ダン・シェヒトマンが権威ある雑誌「フィジカル・レビュー・レターズ」に発表した短い論文は、例外的な特性を持つ金属合金の存在に関する実験的証拠を提供しました。電子回折法で研究したところ、この合金は結晶の兆候をすべて示しました。その回折パターンは、まるで結晶のように、明るく規則的に配置された点で構成されています。しかし、この写真は「正二十面体」または「五角形」の対称性が存在することを特徴としており、幾何学的理由からこの結晶では厳密に禁止されています。このような珍しい合金はこう呼ばれました。 準結晶。 1 年も経たないうちに、このタイプの他の多くの合金が発見されました。それらの数が非常に多かったので、準結晶状態は想像よりもはるかに一般的であることが判明しました。

イスラエルの物理学者ダン・シェクトマン

準結晶の概念は、結晶の定義を一般化して完成させるため、基本的に興味深いものです。この概念に基づく理論は、「空間内で厳密に周期的に繰り返される構造単位」という古くからある概念を重要な概念に置き換えます。 長距離命令。記事「準結晶」で強調されているように有名な物理学者 Dグラティア、「この概念は結晶学の拡張につながり、新たに発見された豊富な結晶の探索はまだ始まったばかりです。鉱物の世界におけるその重要性は、数学における有理数に無理数の概念を追加することと同等と言えるでしょう。」

準結晶とは何ですか? その特性は何ですか?またそれはどのように説明できますか? 前述の通り、それによれば、 結晶学の基本法則結晶構造には厳しい制限が課されます。古典的な概念によれば、結晶は単一のセルから無限に構成され、そのセルは何の制限もなく面全体をしっかりと（向かい合って）「覆う」必要があります。

知られているように、平面の高密度充填は次の方法で実行できます。 三角形(図7-a)、 正方形(図7-b)および 六角形(図7-d)。を使用することで 五角形 (五角形) そのような充填は不可能です (図 7-c)。


A)	b)	V)	G)

図7。三角形 (a)、四角形 (b)、六角形 (d) を使用して、平面を高密度に埋めることができます。

これらは伝統的な結晶学の規範であり、準結晶と呼ばれるアルミニウムとマンガンの珍しい合金が発見される前に存在していました。このような合金は、溶融物を毎秒 10 6 K の速度で超高速冷却することによって形成されます。さらに、このような合金の回折研究中に、有名な禁止された 5 次の対称軸を持つ 20 面体の対称性の特徴である規則正しいパターンが画面上に現れます。

その後数年間にわたり、世界中のいくつかの科学グループが高解像度電子顕微鏡を使用してこの珍しい合金を研究しました。いずれも、原子に近い寸法（数十ナノメートル）の巨視的な領域で５次対称性が保たれている、物質の理想的な均一性を確認した。

現代の見解によれば、準結晶の結晶構造を求めるための次のモデルが開発されています。このモデルは「ベーシックエレメント」をコンセプトにしています。このモデルによると、アルミニウム原子の内側二十面体は、マンガン原子の外側二十面体に囲まれています。正二十面体はマンガン原子の八面体によって接続されています。「基本元素」には、42 個のアルミニウム原子と 12 個のマンガン原子が含まれています。硬化プロセス中に急速な形成が発生します基本要素」、それらは硬い八面体の「ブリッジ」によって互いにすぐに接続されます。正二十面体の面は正三角形であることを思い出してください。八面体のマンガン橋が形成されるためには、そのような 2 つの三角形 (各セルに 1 つ) が互いに十分に接近し、平行に並ぶ必要があります。このような物理的プロセスの結果、「正二十面体」対称性を持つ準結晶構造が形成されます。

ここ数十年で、多くの種類の準結晶合金が発見されました。「正二十面体」対称性 (5 次) を持つ合金に加えて、10 角対称 (10 次) および 12 角対称 (12 次) の合金もあります。準結晶の物理的性質は、最近になって研究され始めました。

準結晶の発見の実際的な意義は何ですか? 上記の Gratia の記事にあるように、 « 機械的強度準結晶合金が急激に増加。周期性がないため、従来の金属と比較して転位の伝播が遅くなります...この特性は実用上非常に重要です。正二十面体相を使用すると、小さな粒子を導入することにより、軽くて非常に強い合金を得ることが可能になります。準結晶をアルミニウムマトリックスに注入します。」

準結晶の発見の方法論的な意義は何ですか? まず第一に、準結晶の発見は、自然科学の歴史全体に浸透し、深く有用な科学的アイデアの源である「十二面体-二十面体理論」の偉大な勝利の瞬間です。第二に、準結晶は、「五角形」対称性が禁止されている鉱物の世界と、「五角形」対称性が最も一般的なものの一つである生きた自然の世界との間の乗り越えられない溝という伝統的な考えを破壊しました。そして、正二十面体の主な比率は「黄金比」であることを忘れてはなりません。そして、準結晶の発見は、おそらく、生きている自然の世界と鉱物の世界の両方に現れる「黄金比率」、それが宇宙の主要な比率であるということを科学的に裏付けるものです。

ダン・シェクトマンが準結晶の存在を実験的に証明したとき、 正二十面体対称準結晶現象の理論的説明を求めていた物理学者たちは、英国の数学者ロジャー・ペンローズが10年前に行った数学的発見に注目した。準結晶の「平らな類似物」として、私たちは ペンローズタイル、「厚い」菱形と「薄い」菱形によって形成される非周期的な規則的な構造であり、「黄金分割」の比率に従います。その通り ペンローズタイル現象を説明するために結晶学者によって採用された 準結晶。同時にその役割は、 ペンローズダイヤモンド三次元の空間で遊び始めた 正二十面体、その助けを借りて、三次元空間の密な充填が実行されます。

図の五角形を詳しく見てみましょう。 8.

図8。五角形

対角線を引くと、元の五角形は 3 種類の幾何学図形のセットとして表現できます。中心には、対角線の交点によって形成される新しい五角形があります。また、図中のペンタゴンは、 8 には、次のように色付けされた 5 つの二等辺三角形が含まれます。黄色、赤く着色された 5 つの二等辺三角形。黄色の三角形は、ヒップとベースの比率が黄金比に等しいため、「黄金色」です。頂点では 36° の鋭角、底部では 72° の鋭角を持っています。ヒップとベースの比率が黄金比に等しいため、赤い三角形も「黄金色」です。頂点では 108° の鈍角、底部では 36° の鋭角を持っています。

次に、2 つの黄色の三角形と 2 つの赤い三角形を底辺で接続しましょう。結果として2つ得られるのは 「金色の」ひし形。最初のもの (黄色) は、鋭い角 36° で鈍角、144° で鈍角になります (図 9)。


(A)	(b)

図9。」金色のひし形: a) 「薄い」ひし形。 (b) 「太い」ひし形

図のダイヤモンド。それを9と呼びます 細い菱形、そして図の菱形です。 9-b – 太い菱形。

英国の数学者で物理学者のロジャース・ペンローズは、図1で「黄金の」ダイヤモンドを使用しました。 9 と呼ばれる「黄金の」寄木細工の建設 ペンローズのタイル。ペンローズタイルは、図に示すように、厚いダイヤモンドと薄いダイヤモンドを組み合わせたものです。 10.

図 10. ペンローズタイル

それを強調することが重要です ペンローズタイルは「五角形」対称性または5次対称性を持ち、太いひし形と細いひし形の数の比率は黄金比になる傾向があります。

さて、化学の分野におけるもう一つの傑出した現代の発見について話しましょう。この発見は 1985 年、つまり準結晶の数年後に行われました。いわゆる「フラーレン」について話しています。「フラーレン」という用語は、C 60、C 70、C 76、C 84 タイプの閉じた分子を指し、すべての炭素原子が球面または回転楕円体の表面上に位置しています。これらの分子では、炭素原子が球または回転楕円体の表面を覆う正六角形または五角形の頂点に配置されています。フラーレンの中心は C 60 分子で占められており、これは最大の対称性とその結果として最大の安定性を特徴としています。サッカーボールのタイヤに似た正20面体の構造を持つこの分子（図2-e、図3）では、炭素原子が20個の正六角形の頂点の球面上に位置し、 12 個の正五角形。各六角形は 3 つの六角形と 3 つの五角形で囲まれ、各五角形は六角形で囲まれています。

「フラーレン」という用語は、アメリカの建築家バックミンスター・フラーの名前に由来しており、彼は建物のドームを建設する際にそのような構造を使用していたことが判明しました（切頂二十面体の別の使用法です！）。

「フラーレン」は、基礎物理学の研究から生まれた本質的に「人工」の構造です。それらは科学者の G. Croto と R. Smalley によって最初に合成されました (1996 年に受領)。ノーベル賞この発見のために）。しかし、それらは予想外に先カンブリア時代の岩石の中で発見され、つまりフラーレンは「人工」であるだけでなく、自然の形成物であることが判明しました。現在、フラーレンはさまざまな国の研究室で集中的に研究されており、その形成、構造、特性、および可能な応用分野の条件を確立しようとしています。フラーレンファミリーの中で最もよく研究されている代表的なものはフラーレン-60 (C 60) (バックミンスターフラーレンと呼ばれることもあります。フラーレン C 70 および C 84 も知られています。フラーレン C 60 はヘリウム雰囲気中でグラファイトを蒸発させることによって得られます。これにより生成されます) 10% の炭素を含む細かい煤のような粉末で、ベンゼンに溶解すると赤い溶液が得られ、そこから C 60 結晶が成長し、異常な化学的性質を持ちます。物理的特性。したがって、高圧では C 60 はダイヤモンドのように硬くなります。その分子は、あたかも完全に滑らかなボールで構成されているかのような結晶構造を形成し、面心立方格子内で自由に回転します。この特性により、C 60 は固体潤滑剤として使用できます。フラーレンには磁性と超伝導の特性もあります。

ロシアの科学者A.V. エレツキーとBM。スミルノフは、雑誌「Uspekhi Fizicheskikh Nauk」（1993年、163巻、2号）に掲載された論文「フラーレン」の中で次のように述べている。 「存在が確認されているフラーレン」 1980 年代半ばに開発され、1990 年に開発された効果的な隔離技術は、現在、数十の科学グループによる集中的な研究の対象となっています。これらの研究の結果は、アプリケーション企業によって注意深く監視されています。この炭素の修飾は科学者に多くの驚きをもたらしたので、今後 10 年間のフラーレン研究の予測や起こり得る結果について議論するのは賢明ではありませんが、新たな驚きには備えておく必要があります。」

Matjuska Teja Krasek は、ビジュアルアーツ大学 (スロベニア、リュブリャナ) で絵画の学士号を取得し、フリーランスのアーティストです。リュブリャナに住み、働いています。その理論的かつ実務芸術と科学を結びつける概念として対称性に焦点を当てています。彼女の作品は多くの国際展示会で発表され、雑誌でも出版されています。国際雑誌（レオナルド・ジャーナル、レオナルド・オンライン）。

M.T. クラシェク、展覧会「万華鏡のようなフレグランス」にて、リュブリャナ、2005

マザーテイアクラシェクの芸術的創造性は、さまざまな種類の対称性、ペンローズタイルと菱形、準結晶、対称性の主要な要素としての黄金比、フィボナッチ数などと関連付けられています。彼女は、熟考、想像力、直観の助けを借りて、次のことを試みています。新しい関係、新しいレベルの構造、新しいものを選択し、異なる種類これらの要素と構造の順序を決定します。彼女は作品の中で、科学、数学、芸術の間のつながりであるアートワークを作成するための非常に便利なツールとしてコンピューターグラフィックスを多用しています。

図では、図１１は、Ｔ．Ｍ．クラシェクはフィボナッチ数に関連しています。この明らかに不安定な構成で、ペンローズダイヤモンドの辺の長さにフィボナッチ数の 1 つ (たとえば、21 cm) を選択すると、構成内の一部のセグメントの長さがどのようにフィボナッチ数列を形成するかを観察できます。

図11。マザー・テイア・クラシェク「フィボナッチ数」、キャンバス、1998年。

アーティストの芸術的作品の多くは、シェヒトマン準結晶とペンローズ格子に特化しています (図 12)。


(A)	(b)


(V)	(G)

図12。テイア・クラシェクの世界: (a) 準結晶の世界。コンピューターグラフィックス、1996 年。
(b) 星。コンピュータグラフィックス、1998 (c) 10/5。キャンバス、1998 (g) 準立方体。キャンバス、1999

Mother Theia Krashek と Clifford Pickover の作品 Biogenesis、2005 (図 13) には、ペンローズダイヤモンドで構成される十角形が特徴です。ペトローズのひし形間の関係を観察できます。隣接する 2 つのペンローズダイヤモンドごとに五角形の星が形成されます。

図13。母はテイア・クラシェクとクリフォード・ピックオーバー。バイオジェネシス、2005年。

写真の中の ダブルスターGA(図 14) ペンローズタイルがどのように結合して、10 角形の底面を持つ潜在的な超次元オブジェクトの 2 次元表現を形成するかがわかります。この絵を描く際、芸術家はレオナルド・ダ・ヴィンチが提案したリジッドエッジ法を使用しました。この描写方法により、絵を平面に投影して見ることができます。大きな数ペンローズ菱形の個々のエッジの投影によって形成される五角形と五芒星。さらに、画像を平面に投影すると、10 個の隣接するペンローズ菱形のエッジによって形成された十角形が見えます。基本的に、この写真の中で、マザーテイアクラシェクは、自然界に実際に存在する可能性が非常に高い新しい正多面体を発見しました。

図14。母はテイア・クラシェク。 ダブルスターGA

クラシェクの作品「Stars for Donald」（図 15）では、ペンローズのひし形、五芒星、五角形が作品の中心点に向かって減少していく無限の相互作用を観察できます。黄金比の比率は、さまざまなスケールでさまざまな方法で表されます。

図15。マザー・テイア・クラシェク「Stars for Donald」、コンピューターグラフィックス、2005 年。

マザー・テイア・クラシェクの芸術的作品は、科学と芸術の代表者から大きな注目を集めました。彼女の芸術はマウリッツ・エッシャーの芸術と同一視されており、スロベニアの芸術家は「東ヨーロッパのエッシャー」、そして世界芸術への「スロベニアの贈り物」と呼ばれています。

スタホフ A.P. 「ダ・ヴィンチ・コード」、プラトンとアルキメデスの固体、準結晶、フラーレン、ペンローズ格子とマザー・テイア・クラシェクの芸術的世界 // 「三位一体主義のアカデミー」、M.、El No. 77-6561、11 月 7 日発行。 2005年

正多面体はプラトン立体と呼ばれ、古代ギリシャの偉大な思想家プラトンによって展開された世界の哲学的描写において重要な位置を占めています。

つまり、プラトンは 5 つの正多面体を知っており、要素 (火、空気、水、土) の数はちょうど 4 つでした。したがって、5 つの多面体のうち、要素と比較できる 4 つを選択する必要があります。

プラトンはどのようなことを考慮してこのことを導いたのでしょうか? まず第一に、彼が信じていたように、いくつかの要素は相互に変化する可能性があるからです。一部の多面体から他の多面体への変換は、内部構造を再構築することによって実行できます。しかし、そのためには、これらの遺体の中でそのようなものを見つける必要がありました構造要素、それは彼らに共通することでしょう。正多面体の外観から、4 面体、8 面体、20 面体の 3 つの多面体の面が正三角形の形状をしていることがわかります。残りの 2 つの多面体、立方体と十二面体は、最初の多面体は正方形から、2 番目の多面体は正五角形から構築されているため、相互に変換したり、検討した 3 つの多面体に変換したりすることはできません。これは、3 つの要素の粒子に四面体、八面体、二十面体の形状を与えると、4 番目の要素の粒子は立方体または十二面体とみなされますが、この 4 番目の要素は他の 3 つの要素に変形できないことを意味します。、しかし常にそれ自体のままです。プラトンは、そのような元素は地球だけであり、地球を構成する最小の粒子は立方体でなければならないと判断しました。四面体、八面体、二十面体はそれぞれ火、空気、水に例えられました。

5 番目の多面体である 12 面体については、未完成のままです。これに関して、プラトンは『ティマイオス』の中で、「神は宇宙のためにそれを決定し、それを描き、装飾するときにそれに頼った」という発言に限定しています。

「プラトンが四面体の形状を火の粒子、立方体の形状を土の粒子などに帰したとき、どのような考察が導かれたのでしょうか?」という疑問が生じます。ここで彼は、対応する要素の感覚的に知覚可能な特性を考慮に入れています。火は最も移動しやすい要素であり、他の物体に浸透し（燃焼、溶解、または蒸発）、破壊的な影響を及ぼします。それに接触すると、刺されたり切られたりしたような痛みを感じます。

これらすべての特性と作用を引き起こす可能性のある粒子は何でしょうか? 明らかに、最も動きやすく軽い粒子であり、さらに、切れ味と鋭い角度を持っています。議論できる 4 つの多面体の中で、四面体が最も満足のいくものです。したがって、プラトンは、ピラミッド（つまり、四面体）のイメージは、正しい推論と真実性、つまり第一原理と火の種に従っているべきであり、逆に、地球は私たちの経験の中で最も動かず、最も動かないものとして現れる、と言っています。すべての要素が安定しています。したがって、それを構成する粒子は最も安定した塩基を持っていなければなりません。 4 つの物体の中で、立方体はこの特性を最大限に備えています。したがって、地球の粒子に起因するとしても、妥当性を侵害することはありません。立方体形状。同様の方法で、中間のプロパティを持つ粒子を他の 2 つの要素と関連付けます。最も流線形の二十面体は水の粒子を表し、八面体は空気の粒子を表します。

5 番目の多面体である十二面体は、「存在するすべて」を体現し、全世界を象徴し、最も重要であると考えられていました。

プラトンでは、真実性の原理が日常の経験からのデータの使用とどのように組み合わされているかがわかります。興味深いのは、プラトンが、彼の宇宙論的概念の構築に決定的な役割を果たし、彼の理論のいくつかの側面に影響を与えた可能性がある他の純粋に思索的な動機（たとえば、比例理論に関連する）についてほとんど触れていないことです。物質の構造のこと。

確かに、この場合、世界の構造について講義する教授として話しているティマイオス自身は、どう見てもピタゴラス学派の代表者です。しかし、ティマイオスが歴史上の人物として存在したのか、それとも彼のいつもの主人公であるソクラテスを宇宙論と物理学理論の著者にしないためにプラトンがでっち上げた架空の人物であったのかは、まだ明らかではありません。後者の。

プラトンは世界の全体像を「もっともらしく」体系化しました。これは体系化という考え方そのものを科学に導入する最初の試みの 1 つであり、非常に有益であることが判明しました。これにより、一部の知識を他の領域から分離することができ、科学研究がより焦点を絞ったものになりました。

プラトニアン立体と詳細な説明

プラトニアン固体 [P. - ギリシャ語からプラトン (紀元前 427 ～ 347 年 / T. - 起源は BODY を参照)、すべての正多面体の全体 [すなわち、 e. プラトンによって最初に記述された三次元世界の、等しい正多角形で囲まれた体積（三次元）物体（プラトンの弟子ユークリッドの「元素」の最後の第 13 巻もそれらに捧げられています）。 // 無限の種類の正多角形 (等しい辺によって制限され、隣接するペアがペアで等しい角度を形成する 2 次元の幾何学図形) があるにもかかわらず、体積多角形は 5 つだけです。 (表 6 を参照)、これに従ってプラトンの時代から、宇宙の 5 つの要素が配置されてきました。六面体と八面体の間に、また十二面体と二十面体の間にも奇妙な関係が存在します。それぞれの最初の面の幾何学的中心が各二番目の面の頂点になります。

積み木で遊ぶ 2 歳児から成熟した数学者に至るまで、人は意識的な活動全体を通じて多面体に興味を示します。規則的および半規則的な物体には、自然界では結晶の形で存在するものもあれば、電子顕微鏡を使用して検査できるウイルスの形で存在するものもあります。多面体とは何ですか? この質問に答えるために、幾何学自体が空間および空間図形 (2 次元および 3 次元) の科学として定義されることがあることを思い出してください。 2 次元の図形は、平面の一部を境界付ける一連の直線セグメントとして定義できます。そのような平らな図ポリゴンといいます。したがって、多面体は、3 次元空間の一部を境界付ける多角形のセットとして定義できます。多面体を形成する多角形を面と呼びます。

科学者は長い間、「理想的な」多角形、つまり正多角形、つまり等しい辺と等しい角度をもつ多角形に興味を持ってきました。最も単純な正多角形は、平面の一部を制限できる辺の数が最も少ないため、正三角形と考えることができます。正三角形とともに興味深い正多角形の全体像は、正方形（4 つの辺）、五角形（5 つの辺）、六角形（6 つの辺）、八角形（8 つの辺）、十角形（10 つの辺）などです。。当然のことですが、理論的には正多角形の辺の数に制限はなく、正多角形の数は無限です。

正多面体とは何ですか? 正多面体とは、すべての面が互いに等しい（または合同）、かつ正多角形であるような多面体です。正多面体はいくつありますか? 一見すると、この質問に対する答えは非常に簡単です。正多角形の数は同じだけ存在します。しかし、そうではありません。ユークリッドの原論では、正多面体は 5 つしかなく、その面は三角形、正方形、五角形の 3 種類の正多角形しかあり得ないという厳密な証明が見つかります。

名称面数要素
テトラヘドロン 4 ファイア
六面体/立方体 6 地球
オクタヘドロン 8 エア
正二十面体10 水
十二面体 12 エーテル

星型多面体の世界

私たちの世界は対称性に満ちています。古来より、私たちの美に関する考えは美と結びついています。これはおそらく、プラトンやユークリッドからオイラーやコーシーに至るまで、多くの傑出した思想家の注目を集めた対称性の驚くべきシンボルに対する人間の永続的な関心を説明しているでしょう。

しかし、多面体は決して単なる物体ではありません科学研究。その形は完全かつ奇抜で、装飾芸術に広く使用されています。

星型の多面体は非常に装飾的であるため、宝飾品業界であらゆる種類の宝飾品の製造に広く使用されています。建築でも使われています。星状多面体の多くの形態は、自然そのものによって示唆されています。雪の結晶は星型の多面体です。古代以来、人々はあらゆる種類の雪片を説明しようとし、特別な地図帳を編纂してきました。現在、数千種類の雪の結晶が知られています。

星状十二面体

大星状十二面体は、ケプラーポインソ立体、つまり正非凸多面体のファミリーに属します。大きな星状十二面体の面は、小さな星状十二面体の面と同様に五芒星形です。各頂点には 3 つの面が接続されています。大星形十二面体の頂点は、説明された十二面体の頂点と一致します。

大星状十二面体は、1619 年にケプラーによって初めて記述されました。これは、正十二面体の最後の星状形態です。

十二面体

古代の賢者はこう言いました。「目に見えないものを知るには、目に見えるものを注意深く見なさい。」神聖な力という点では、十二面体は最も強力な多面体です。サルバドール・ダリが「最後の晩餐」にこの人物を選んだのは当然のことです。そこには 12 の五角形が含まれており、これも力強い図であり、力が一点に集中しています - がイエス・キリストに描かれています。

十二面体（ギリシャ語の dodeka - 12 と hedra - face から）は、12 個の正五角形で構成される正多面体です。

十二面体には 20 個の頂点と 30 個の辺があります。
十二面体の頂点は 3 つの五角形の頂点であるため、各頂点の平面角の合計は 324° になります。
すべての辺の長さの合計は 30a です。
十二面体には対称中心と 15 の対称軸があります。

各軸は、反対側の平行なエッジの中点を通過します。十二面体には 15 の対称面があります。対称面はいずれも、各面の反対側のエッジの上端と中央を通過します。

正多面体は、その完璧な形状と完全な対称性で魅了されます。規則的および半規則的な物体の一部は結晶の形で自然界に見られ、その他はウイルスや単純な微生物の形で見られます。
結晶は多面的な形状を持つ物体です。以下にそのような物体の一例を示します。黄鉄鉱結晶 (硫黄黄鉄鉱 FeS) - 十二面体の自然モデルです。
ポリオウイルスは十二面体のような形をしています。それはヒトと霊長類の細胞内でのみ生きて繁殖することができます。これは特に、ポリオは人からのみ感染する可能性があることを意味します。さらに、多くのウイルスは媒介動物（多くの場合、節足動物）（ダニなど）を介して伝染します。このようなウイルスは、脊椎動物と無脊椎動物の両方を含む幅広い宿主を持つ可能性があります。

エッジの辺の数 メートル

頂点で交わる面の数 n

四角形と八角形の両方のセルを持つ標本もありますが、生物学者は、そのような「非標準」セル（辺が 5 つ未満および 7 つを超える）が存在しない場合、常に 7 角形よりも正確に 12 個多い五角形のセルが存在することに気づきました。 (合計で数百または数千のセルが存在する可能性があります)。このステートメントは、有名なオイラーの公式に基づいています。
フラーレンは炭素の一種です。それらは、宇宙で起こるプロセスをシミュレートしようとしていたときに発見されました。その後、地球上の研究室の科学者は、これらの球状分子の多数の誘導体を合成し、研究することができました。フラーレンの化学が登場しました。フラーレン C60 の結晶格子内の一部の包接化合物は、最大 117 K の臨界温度を持つ「高温超伝導体」であることが判明しました。
新興分子エレクトロニクス用のフラーレンベースの材料を作成する試みが進行中です。これらはすべて興味深いものであり、重要です。しかし、フラーレンは地球上の岩石にも存在することが判明しました。今日、一部の愛好家は、1714 年に発見され、ピョートル大帝の治療にも使われたマーシャルウォーターの治癒効果を、シュンガイトに含まれるフラーレンの存在と関連付けています。あ最新の発見地球化学者はフラーレンの起源の問題に立ち返ることを余儀なくされています。地球上のフラーレンに関する新しい化学研究により、地球の豊かな歴史の新たなページが明らかになる可能性があります。
錬金術は通常、火、土、空気、水の要素についてのみ話します。エーテルは非常に神聖であるため、めったに言及されません。ピタゴラス学派では、学校の壁の外で「十二面体」という言葉を口にしただけで、その場で殺されます。この姿はとても神聖なものと考えられていました。彼らは彼女についてさえ話しませんでした。 200年後、プラトンの存命中、彼らはそれについて話し合いましたが、それは非常に慎重にのみでした。なぜ？なぜなら、十二面体はエネルギーフィールドの外縁に位置し、意識の最高の形態だからです。エネルギーフィールドの55フィートの限界に達すると、エネルギーフィールドは球のような形になります。しかし、球に最も近い内側の図形は 12 面体 (実際には、12 面体と 20 面体の関係) です。これに加えて、私たちは宇宙を含む大きな十二面体の中に住んでいます。あなたの心が宇宙空間の限界に達すると、そしてここにも限界がありますが、そのときそれは球の中に閉じられた十二面体に出会います。十二面体は幾何学の最終図形であり、非常に重要です。
顕微鏡レベルでは、十二面体と二十面体は、すべての生命が構築される相対的な DNA パラメータです。 DNA 分子が回転する立方体であることもわかります。立方体を72度ずつ回転させた場合あるモデル、結果は 20 面体であり、これは 12 面体のペアです。
このように、DNA らせんの二本鎖は双方向対応の原理に基づいて構築されます。二十面体の次は十二面体、次に再び二十面体、というように続きます。この立方体の回転によって DNA 分子が作成されます。
DNA の構造は神聖幾何学に基づいていますが、他の隠された関係が明らかになる可能性もあります。
ダン・ウィンターの著書『ハートマス』では、DNA 分子が十二面体と二十面体の二重関係で構成されていることを示しています。