Илэрхийлэл, тэгшитгэл, тэгшитгэлийн систем
-тай нийлмэл тоо
Өнөөдөр хичээл дээр бид нийлмэл тоонуудтай ердийн үйлдлүүдийг дадлага хийхээс гадна эдгээр тоог агуулсан илэрхийлэл, тэгшитгэл, тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх арга техникийг эзэмших болно. Энэхүү семинар нь хичээлийн үргэлжлэл бөгөөд хэрэв та энэ сэдвийг сайн мэдэхгүй бол дээрх холбоосоор орно уу. Илүү их бэлтгэгдсэн уншигчдын хувьд би танд даруй дулаацахыг санал болгож байна:
Жишээ 1
Илэрхийлэлийг хялбарчлах 
, Хэрэв . Үр дүнг тригонометрийн хэлбэрээр дүрсэлж, нарийн төвөгтэй хавтгай дээр зур.
Шийдэл: тиймээс та бутархайг "аймшигтай" бутархай болгон орлуулж, хялбаршуулж, үр дүнг хөрвүүлэх хэрэгтэй. нийлмэл тооВ тригонометрийн хэлбэр. Дээрээс нь зураг.
Шийдвэрийг албан ёсны болгох хамгийн сайн арга юу вэ? "нарийн төвөгтэй" алгебрийн илэрхийлэлҮүнийг алхам алхмаар ойлгох нь дээр. Нэгдүгээрт, анхаарал сарниулах нь бага, хоёрдугаарт, даалгаврыг хүлээж авахгүй бол алдааг олоход илүү хялбар болно.
1) Эхлээд тоологчийг хялбаршуулж үзье. Үүний утгыг орлуулж, хаалтыг нээж, үс засалтаа засъя:
...Тийм ээ, ийм Квазимодо комплекс тооноос гаралтай...
Өөрчлөлт хийх явцад маш энгийн зүйлсийг ашигладаг гэдгийг сануулъя - олон гишүүнтийг үржүүлэх дүрэм, аль хэдийн улиг болсон тэгш байдал. Хамгийн гол нь болгоомжтой байж, шинж тэмдгүүдэд андуурч болохгүй.
2) Одоо хуваагч ирдэг. Хэрэв бол:
Үүнийг ямар ер бусын тайлбарт ашиглаж байгааг анзаараарай квадрат нийлбэрийн томъёо. Эсвэл та энд дахин зохицуулалт хийж болно 
дэд томъёо Үр дүн нь мэдээжийн хэрэг ижил байх болно.
3) Эцэст нь бүхэл бүтэн илэрхийлэл. Хэрэв бол:
Бутархайг арилгахын тулд хүртэгч ба хуваагчийг хуваагчийн нэгтгэсэн илэрхийллээр үржүүлнэ. Үүний зэрэгцээ, хэрэглээний зорилгоор квадрат ялгааны томъёоэхлээд байх ёстой (мөн аль хэдийн заавал байх ёстой!) 2-р байранд сөрөг бодит хэсгийг тавь:
Одоо гол дүрэм:
БИД ЯАРАХГҮЙ БАЙНА! Үүнийг аюулгүй тоглож, нэмэлт алхам хийх нь дээр.
Комплекс тоо бүхий илэрхийлэл, тэгшитгэл, системд хэт ихэмсэг аман тооцоолол урьд урьдынхаас илүү их ачаалалтай!
Эцсийн шатанд сайн бууралт гарсан бөгөөд энэ нь зүгээр л гайхалтай шинж тэмдэг юм.
Анхаарна уу : хатуухан хэлэхэд энд нийлмэл тоог 50 цогцолбор тоонд хуваах явдал гарсан (үүнийг санаарай). Би энэ нюансын талаар одоог хүртэл чимээгүй байсан, бид энэ талаар жаахан дараа ярих болно.
Амжилтаа үсгээр тэмдэглэе
Тригонометрийн хэлбэрээр олж авсан үр дүнг танилцуулъя. Ерөнхийдөө энд та зураг зурахгүйгээр хийж болно, гэхдээ үүнийг хийх шаардлагатай байгаа тул яг одоо хийх нь арай оновчтой юм. 
Комплекс тооны модулийг тооцоолъё:
Хэрэв та 1 нэгжийн масштабаар зурсан бол. = 1 см (2 дэвтэр нүд), дараа нь олж авсан утгыг энгийн захирагч ашиглан хялбархан шалгаж болно.
Аргумент олъё. Тоо нь координатын 2-р улиралд байрлаж байгаа тул:
Өнцгийг протектороор хялбархан шалгаж болно. Энэ бол зургийн эргэлзээгүй давуу тал юм.
Тиймээс: – тригонометрийн хэлбэрээр шаардлагатай тоо.
Шалгацгаая:
, үүнийг шалгах шаардлагатай байсан.
Синус ба косинусын үл мэдэгдэх утгыг ашиглан олоход тохиромжтой тригонометрийн хүснэгт.
Хариулах: 
Үүнтэй төстэй жишээ бие даасан шийдвэр:
Жишээ 2
Илэрхийлэлийг хялбарчлах 
, Хаана. Үүссэн тоог комплекс хавтгай дээр зурж, экспоненциал хэлбэрээр бич.
Алдахгүй байхыг хичээгээрэй боловсролын жишээ. Тэд энгийн мэт санагдаж болох ч бэлтгэл хийхгүйгээр "шүлгэрт орох" нь зүгээр л хялбар биш, гэхдээ маш хялбар байдаг. Тиймээс бид "гараа ав".
Ихэнхдээ даалгавар нь зөвшөөрдөггүй цорын ганц арга замшийдэл:
Жишээ 3
Тооцоолох бол, 
Шийдэл: Юуны өмнө анхаарлаа хандуулъя анхны байдал- нэг тоог алгебр, нөгөөг нь тригонометрийн хэлбэрээр, тэр ч байтугай градусаар илэрхийлдэг. Нэн даруй дахин дахин бичье ердийн хэлбэрээр: 
.
Тооцооллыг ямар хэлбэрээр хийх ёстой вэ? Энэ илэрхийлэл нь эхлээд үржүүлж, дараа нь 10-р зэрэглэлд хүргэхийг агуулна Мойврын томъёо, энэ нь комплекс тооны тригонометрийн хэлбэрт зориулагдсан болно. Тиймээс эхний тоог хөрвүүлэх нь илүү логик юм шиг санагддаг. Түүний модуль болон аргументыг олцгооё: 
Бид тригонометрийн хэлбэрээр нийлмэл тоог үржүүлэх дүрмийг ашигладаг.
хэрэв , тэгвэл
Бутархайг зөв болгосноор бид 4 эргэлтийг "мушгих" боломжтой гэсэн дүгнэлтэд хүрч байна (баяртай.):
Хоёр дахь шийдэл 2-р тоог алгебрийн хэлбэрт шилжүүлэх явдал юм 
, үржүүлгийг алгебрийн хэлбэрээр хийж, үр дүнг тригонометрийн хэлбэрт шилжүүлж, Moivre-ийн томъёог ашиглана.
Таны харж байгаагаар нэг "нэмэлт" үйлдэл байна. Хүссэн хүмүүс шийдвэрээ дагаж, үр дүн нь ижил байх болно.
Нөхцөл нь эцсийн цогцолбор тооны хэлбэрийн талаар юу ч хэлээгүй тул:
Хариулах: 
Гэхдээ "гоо сайхны төлөө" эсвэл эрэлт хэрэгцээтэй бол үр дүнг алгебрийн хэлбэрээр төсөөлөхөд хэцүү биш юм.
Өөрөө:
Жишээ 4
Илэрхийлэлийг хялбарчлах
Энд бид санаж байх хэрэгтэй зэрэгтэй үйлдлүүд, хэдийгээр нэг ашигтай дүрэмЭнэ нь гарын авлагад байхгүй, энд байна: .
Дахиад нэг юм чухал тэмдэглэл: Жишээ нь хоёр хэв маягаар шийдэгдэж болно. Эхний сонголт бол хамтран ажиллах явдал юм хоёртоо болон бутархайтай зөв байх. Хоёр дахь сонголт нь тоо бүрийг дараах байдлаар илэрхийлэх явдал юм хоёр тооны харьцаа: 
Тэгээд дөрвөн давхар барилгаас салах. Албан ёсны үүднээс авч үзвэл та яаж шийдэх нь хамаагүй, гэхдээ мэдэгдэхүйц ялгаа бий! Дараахыг сайтар бодож үзээрэй.
цогц тоо;
гэдэг нь хоёр нийлмэл тооны коэффициент ( ба ), гэхдээ контекстээс хамааран та үүнийг бас хэлж болно: хоёр комплекс тооны категори хэлбэрээр илэрхийлэгдсэн тоо.
Хичээлийн төгсгөлд товч шийдэл, хариулт.
Илэрхийлэл сайн, гэхдээ тэгшитгэл нь илүү сайн:
Нарийн төвөгтэй коэффициент бүхий тэгшитгэлүүд
Тэд "ердийн" тэгшитгэлээс юугаараа ялгаатай вэ? Боломж =)
Дээрх тайлбарын үүднээс энэ жишээнээс эхэлцгээе.
Жишээ 5
Тэгшитгэлийг шийд 
Мөн нэн даруй "өсгий дээр халуухан" оршил: эхэндээтэгшитгэлийн баруун тал нь хоёр нийлмэл тооны ( ба 13) хуваарь хэлбэрээр байрласан тул нөхцөлийг тоогоор дахин бичих нь буруу хэлбэр болно. (хэдийгээр энэ нь алдаа гаргахгүй). Дашрамд хэлэхэд энэ ялгаа нь бутархай хэсэгт илүү тод харагдаж байна - хэрэв харьцангуйгаар хэлбэл энэ утгыг үндсэндээ гэж ойлгодог. тэгшитгэлийн "бүрэн" цогц язгуур, мөн тооны хуваагч биш, ялангуяа тооны хэсэг биш!
Шийдэл, зарчмын хувьд, мөн алхам алхмаар хийж болно, гэхдээ энэ тохиолдолд тоглоом нь лаа үнэ цэнэтэй биш юм. Эхний даалгавар бол үл мэдэгдэх "z" агуулаагүй бүх зүйлийг хялбарчлах явдал бөгөөд тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт оруулав.
Бид дунд бутархайг итгэлтэйгээр хялбарчилж байна: 
Бид үр дүнг баруун тал руу шилжүүлж, ялгааг олно. 
Анхаарна уу
: мөн би дахин нэг утга учиртай зүйлд анхаарлаа хандуулж байна - энд бид тооноос тоог хасаагүй, харин бутархайг авчирсан. Ерөнхий хуваарь! Үүнийг шийдвэрлэх шатандаа байгаа тоонуудтай ажиллахыг хориглоогүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. 
Гэсэн хэдий ч авч үзэж буй жишээнд энэ хэв маяг нь ашигтай гэхээсээ илүү хор хөнөөлтэй юм =)
Пропорциональ дүрмийн дагуу бид "зэт" -ийг илэрхийлнэ.
Одоо та дахин нэгдэлд хувааж, үржүүлж болно, гэхдээ тоологч болон хуваагч дахь сэжигтэй төстэй тоонууд дараагийн алхамыг санал болгож байна: 
Хариулах:
Шалгахын тулд үүссэн утгыг анхны тэгшитгэлийн зүүн талд орлуулж, хялбаршуулъя:
– анхны тэгшитгэлийн баруун талыг олж авсан тул үндсийг зөв олно.
...Одоо, одоо... Би чамд илүү сонирхолтой зүйл олно... эндээс:
Жишээ 6
Тэгшитгэлийг шийд 
Энэ тэгшитгэл нь хэлбэр болж буурдаг бөгөөд энэ нь шугаман гэсэн үг юм. Санамж тодорхой байна гэж би бодож байна - үүнийг хий!
Мэдээж... чи түүнгүйгээр яаж амьдрах вэ?
Нарийн төвөгтэй коэффициент бүхий квадрат тэгшитгэл
Хичээл дээр Даммигийн нийлмэл тооБодит коэффициент бүхий квадрат тэгшитгэл нь нэгтгэсэн нийлмэл язгууртай болохыг олж мэдсэн бөгөөд үүний дараа логик асуулт гарч ирдэг: яагаад коэффициентүүд өөрсдөө нарийн төвөгтэй байж болохгүй вэ? Би ерөнхий тохиолдлыг томъёолъё:
Дурын комплекс коэффициент бүхий квадрат тэгшитгэл (1 эсвэл 2 нь эсвэл гурвуулаа, ялангуяа хүчинтэй байж болно)Байгаа хоёр, зөвхөн хоёрцогц үндэс (нэг юм уу хоёулаа хүчинтэй байж магадгүй). Үүний зэрэгцээ, үндэс (бодит ба тэгээс бусад төсөөлөлтэй хэсэг)давхцаж болно (олон тооны байх).
Нарийн төвөгтэй коэффициент бүхий квадрат тэгшитгэлийг ижил схемийн дагуу шийддэг "сургуулийн" тэгшитгэлТооцооллын техникийн зарим ялгаанууд:
Жишээ 7
Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг ол 
Шийдэл: төсөөллийн нэгж нь хамгийн түрүүнд ирдэг бөгөөд зарчмын хувьд та үүнийг арилгах боломжтой (хоёр талыг үржүүлэх)Гэсэн хэдий ч үүнд онцгой шаардлага байхгүй.
Тохиромжтой болгохын тулд бид коэффициентүүдийг бичнэ:
Чөлөөт гишүүний "хасах"-ыг бүү алдаарай! ...Энэ нь хүн бүрт ойлгомжтой биш байж магадгүй - Би тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрээр дахин бичнэ 
:
Дискриминантыг тооцоолъё:
Энд гол саад тотгор байна: 
Үндэс олборлох ерөнхий томъёоны хэрэглээ (өгүүллийн сүүлийн догол мөрийг үзнэ үү Даммигийн нийлмэл тоо)
радикал цогцолбор тооны аргументтай холбоотой ноцтой хүндрэлүүдээр төвөгтэй байдаг (өөрөөсөө харна уу). Гэхдээ өөр нэг "алгебрийн" арга бий! Бид үндэсийг дараах хэлбэрээр хайх болно. 
Хоёр талыг квадрат болгоё: 
Бодит болон төсөөлөн хэсгүүд нь тэнцүү бол хоёр нийлмэл тоо тэнцүү байна. Тиймээс бид дараах системийг олж авна. 
Сонгох замаар системийг шийдвэрлэхэд хялбар байдаг (илүү нарийн арга бол 2-р тэгшитгэлээс илэрхийлэх - 1-р тэгшитгэлийг орлуулах, биквадрат тэгшитгэлийг олж авах, шийдвэрлэх). Асуудлын зохиогч нь мангас биш гэж үзвэл бид бүхэл тоо гэсэн таамаглал дэвшүүлэв. 1-р тэгшитгэлээс "x" гарч ирнэ. модуль"Y" -ээс илүү. Нэмж дурдахад эерэг бүтээгдэхүүн нь үл мэдэгдэх зүйл нь ижил тэмдэгтэй гэдгийг бидэнд хэлдэг. Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн 2-р тэгшитгэлд анхаарлаа хандуулснаар бид түүнд тохирох бүх хосыг бичнэ. 
Системийн 1-р тэгшитгэлийг сүүлийн хоёр хос хангаж байгаа нь тодорхой байна, ингэснээр: 
Завсрын шалгалт нь гэмтээхгүй: 
Үүнийг шалгах шаардлагатай байсан.
Та "ажлын" үндэс болгон сонгож болно ямар чутга учир. "Сул тал"гүйгээр хувилбарыг авах нь илүү дээр гэдэг нь тодорхой байна.
Дашрамд хэлэхэд бид үндсийг нь олдог, дашрамд хэлэхэд: 
Хариулах: 
Олдсон язгуурууд тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгацгаая 
:
1) Орлуулж үзье: 
жинхэнэ тэгш байдал.
2) орлуулъя: 
жинхэнэ тэгш байдал.
Тиймээс шийдэл нь зөв олдсон.
Бидний дөнгөж сая ярилцсан асуудал дээр үндэслэн:
Жишээ 8
Тэгшитгэлийн язгуурыг ол
Үүнийг тэмдэглэх нь зүйтэй Квадрат язгуур-аас цэвэр цогцЕрөнхий томъёог ашиглан тоонуудыг хялбархан гаргаж болно 
, Хаана 
, тиймээс хоёр аргыг жишээнд үзүүлэв. Хоёрдахь ашигтай тайлбар бол тогтмолын үндсийг урьдчилан гаргаж авах нь шийдлийг огт хялбаршуулдаггүйтэй холбоотой юм.
Одоо та тайвширч болно - энэ жишээнд та бага зэрэг айдастай байх болно :)
Жишээ 9
Тэгшитгэлийг шийдэж, шалгана уу
Хичээлийн төгсгөлд шийдэл, хариултууд.
Өгүүллийн эцсийн догол мөрийг үүнд зориулав
комплекс тоо бүхий тэгшитгэлийн систем
Тайвширч,... бүү чангалцгаая =) Хамгийн энгийн тохиолдлыг авч үзье - хоёр систем шугаман тэгшитгэлхоёр үл мэдэгдэх зүйлтэй:
Жишээ 10
Тэгшитгэлийн системийг шийд. Хариултыг алгебр болон экспоненциал хэлбэрээр танилцуулж, зурган дээрх үндсийг дүрсэл. 
Шийдэл: нөхцөл нь өөрөө систем нь өвөрмөц шийдэлтэй болохыг харуулж байна, өөрөөр хэлбэл бид хангасан хоёр тоог олох хэрэгтэй. тус бүртсистемийн тэгшитгэл.
Системийг үнэхээр “хүүхдийн” аргаар шийдэж болно (нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлнэ)
, гэхдээ энэ нь ашиглахад илүү тохиромжтой Крамерын томъёо. Тооцоод үзье гол тодорхойлогчсистемүүд:
, энэ нь систем нь өвөрмөц шийдэлтэй гэсэн үг юм.
Цаг заваа гаргаж, алхамуудыг аль болох нарийвчлан бичсэн нь дээр гэдгийг би давтан хэлье.
Бид тоологч ба хуваагчийг төсөөллийн нэгжээр үржүүлж, 1-р үндсийг авна.
Үүний нэгэн адил: 
Харгалзах баруун гар талыг олж авсан гэх мэт.
Зураг зурцгаая: 
Үндэсийг экспоненциал хэлбэрээр төлөөлүүлье. Үүнийг хийхийн тулд та тэдгээрийн модулиуд болон аргументуудыг олох хэрэгтэй.
1) - "хоёр"-ын артангенсыг "муу" гэж тооцсон тул бид үүнийг дараах байдлаар үлдээв. 
Тэгшитгэлийн хэрэглээ бидний амьдралд өргөн тархсан. Тэдгээрийг олон тооны тооцоолол, барилга байгууламж барих, тэр ч байтугай спортод ашигладаг. Эрт дээр үед хүн тэгшитгэлийг ашигладаг байсан бөгөөд түүнээс хойш тэдний хэрэглээ улам бүр нэмэгдсээр байна. Тодорхой болгохын тулд дараах асуудлыг шийдье.
Хэрэв \[(z_1\cdot z_2)^(10),\]-г тооцоол.
Юуны өмнө нэг тоо нь алгебрийн хэлбэрээр, нөгөө нь тригонометрийн хэлбэрээр илэрхийлэгдэж байгааг анхаарч үзье. Үүнийг хялбарчилж, дараах хэлбэрт оруулах шаардлагатай
\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]
\ гэсэн илэрхийлэл нь юуны түрүүнд бид Мойврын томъёог ашиглан үржүүлж, 10-р зэрэглэл рүү өсгөдөг. Энэ томьёо нь нийлмэл тооны тригонометрийн хэлбэрт зориулагдсан болно. Бид авах:
\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]
\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]
Тригонометрийн хэлбэрээр нийлмэл тоог үржүүлэх дүрмийг дагаж бид дараахь зүйлийг хийнэ.
Манай тохиолдолд:
\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]
\[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] бутархайг зөв болгосноор бид 4 эргэлт \[(8\pi рад." мушгих" боломжтой гэсэн дүгнэлтэд хүрлээ. \]
\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3) ))\]
Хариулт: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]
Энэ тэгшитгэлийг өөр аргаар шийдэж болох бөгөөд энэ нь 2-р тоог алгебрийн хэлбэрт оруулж, дараа нь алгебрийн хэлбэрээр үржүүлэлтийг хийж, үр дүнг тригонометрийн хэлбэрт шилжүүлж, Мойврын томъёог ашиглана:
Комплекс тоо бүхий тэгшитгэлийн системийг онлайнаар хаанаас шийдэж болох вэ?
Та манай https://site сайтаас тэгшитгэлийн системийг шийдэж болно. Үнэгүй онлайн шийдүүлэгч нь танд ямар ч төвөгтэй онлайн тэгшитгэлийг хэдхэн секундын дотор шийдэх боломжийг олгоно. Таны хийх ёстой зүйл бол зүгээр л шийдвэрлэгч рүү өгөгдлөө оруулах явдал юм. Та мөн видео зааварчилгааг үзэж, тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар манай вэбсайтаас сурах боломжтой. Хэрэв танд асуулт байгаа бол манай ВКонтакте группээс http://vk.com/pocketteacher асууж болно. Манай группт нэгдээрэй, бид танд туслахдаа үргэлж баяртай байх болно.
Комплекс тоотой асуудлыг шийдэхийн тулд үндсэн тодорхойлолтуудыг ойлгох хэрэгтэй. Энэхүү тойм өгүүллийн гол зорилго нь комплекс тоо гэж юу болохыг тайлбарлаж, комплекс тоотой үндсэн асуудлыг шийдвэрлэх аргуудыг танилцуулах явдал юм. Тиймээс нийлмэл тоог маягтын тоо гэж нэрлэнэ z = a + bi, Хаана а, б- нийлмэл тооны бодит ба төсөөллийн хэсэг гэж нэрлэгддэг бодит тоонууд. a = Re(z), b=Im(z).
битөсөөллийн нэгж гэж нэрлэдэг. i 2 = -1. Ялангуяа аливаа бодит тоог нарийн төвөгтэй гэж үзэж болно: a = a + 0i, хаана нь бодит байна. Хэрэв a = 0Тэгээд b ≠ 0, дараа нь тоог ихэвчлэн цэвэр төсөөлөл гэж нэрлэдэг.
Одоо нийлмэл тоон дээрх үйлдлүүдийг танилцуулъя.
Хоёр цогц тоог авч үзье z 1 = a 1 + b 1 iТэгээд z 2 = a 2 + b 2 i.
Ингээд авч үзье z = a + bi.
Комплекс тоонуудын багц нь бодит тоонуудын багцыг өргөтгөж, улмаар олонлогийг өргөтгөдөг рационал тоогэх мэт. Энэхүү хөрөнгө оруулалтын гинжийг дараах зургаас харж болно: N - бүхэл тоо, Z - бүхэл тоо, Q - рациональ, R - бодит, C - цогцолбор. 
Комплекс тоонуудын төлөөлөл
Алгебрийн тэмдэглэгээ.
Комплекс тоог авч үзье z = a + bi, нийлмэл тоог бичих энэ хэлбэрийг нэрлэдэг алгебрийн. Энэ бичлэгийн хэлбэрийг бид өмнөх хэсэгт дэлгэрэнгүй авч үзсэн. Дараах визуал зургийг ихэвчлэн ашигладаг 
Тригонометрийн хэлбэр.
Зурагнаас харахад тоо байна z = a + biөөрөөр бичиж болно. Энэ нь ойлгомжтой a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, тиймээс z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π)
комплекс тооны аргумент гэж нэрлэдэг. Комплекс тооны ийм дүрслэлийг нэрлэдэг тригонометрийн хэлбэр. Тэмдэглэгээний тригонометрийн хэлбэр нь заримдаа маш тохиромжтой байдаг. Жишээлбэл, нийлмэл тоог бүхэл тоо болгон өсгөхөд ашиглах нь тохиромжтой, тухайлбал, if z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Тэр z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, энэ томъёог гэж нэрлэдэг Мойврын томъёо.
Үзүүлэн харуулах хэлбэр.
Ингээд авч үзье z = rcos(φ) + rsin(φ)i- тригонометрийн хэлбэрийн комплекс тоо, өөр хэлбэрээр бичнэ үү z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, сүүлчийн тэгшитгэл нь Эйлерийн томъёоноос гардаг тул бид олж авна шинэ дүрэмт хувцаснийлмэл тооны тэмдэглэгээ: z = reiφгэж нэрлэдэг заалт. Тэмдэглэгээний энэ хэлбэр нь нийлмэл тоог том болгоход маш тохиромжтой. z n = r n e inφ, Энд nзаавал бүхэл тоо биш, харин дурын бодит тоо байж болно. Тэмдэглэгээний энэ хэлбэрийг асуудлыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг.
Дээд алгебрийн үндсэн теорем
Бид x 2 + x + 1 = 0 квадрат тэгшитгэлтэй байна гэж төсөөлье. Мэдээжийн хэрэг, энэ тэгшитгэлийн дискриминант нь сөрөг бөгөөд бодит үндэсгүй боловч энэ тэгшитгэл нь хоёр өөр нийлмэл язгууртай болох нь тодорхой болсон. Тиймээс, дээд алгебрийн үндсэн теорем нь n зэрэгтэй аливаа олон гишүүнт дор хаяж нэг нийлмэл язгууртай байдаг. Үүнээс үзэхэд n зэрэгтэй аливаа олон гишүүнт олон талт байдлыг харгалзан үзвэл яг n нийлмэл язгууртай байна. Энэ теорем нь математикт маш чухал үр дүн бөгөөд өргөн хэрэглэгддэг. Энэ теоремын энгийн үр дүн нь нэгдмэл байдлын n зэрэгтэй яг n өөр үндэстэй байдаг.
Даалгаврын үндсэн төрлүүд
Энэ хэсэгт үндсэн төрлүүдийг авч үзэх болно энгийн даалгаваруудкомплекс тоонууд руу. Уламжлал ёсоор нийлмэл тоотой холбоотой бодлогуудыг дараах ангилалд хувааж болно.
- Комплекс тоон дээр энгийн арифметик үйлдлүүд хийх.
- Комплекс тоон дахь олон гишүүнтийн үндсийг олох.
- Комплекс тоонуудыг хүч болгон нэмэгдүүлэх.
- Комплекс тооноос үндэс гаргаж авах.
- Бусад асуудлыг шийдэхийн тулд нийлмэл тоог ашиглах.
Одоо эдгээр асуудлыг шийдвэрлэх ерөнхий аргуудыг авч үзье.
Нарийн төвөгтэй тоо бүхий хамгийн энгийн арифметик үйлдлүүдийг эхний хэсэгт тайлбарласан дүрмийн дагуу гүйцэтгэдэг боловч хэрэв нийлмэл тоонуудыг тригонометр эсвэл экспоненциал хэлбэрээр үзүүлсэн бол энэ тохиолдолд та тэдгээрийг алгебрийн хэлбэрт шилжүүлж, мэдэгдэж буй дүрмийн дагуу үйлдлүүдийг хийж болно.
Олон гишүүнтийн үндсийг олох нь ихэвчлэн квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олоход хүргэдэг. Бид квадрат тэгшитгэлтэй байна гэж бодъё, хэрвээ түүний дискриминант нь сөрөг биш бол түүний үндэс нь бодит байх бөгөөд сайн мэддэг томьёоны дагуу олж болно. Хэрэв ялгаварлагч сөрөг байвал, өөрөөр хэлбэл, D = -1∙a 2, Хаана атодорхой тоо бол ялгаварлагчийг дараах байдлаар илэрхийлж болно D = (ia) 2, тиймээс √D = i|a|, дараа нь та квадрат тэгшитгэлийн язгуурт аль хэдийн мэдэгдэж байсан томъёог ашиглаж болно.
Жишээ. Дээр дурдсан зүйл рүү буцъя. квадрат тэгшитгэл x 2 + x + 1 = 0.
Ялгаварлан гадуурхагч - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Одоо бид үндсийг нь хялбархан олох боломжтой: 
Цогцолбор тоонуудыг хүчирхэгжүүлэх ажлыг хэд хэдэн аргаар хийж болно. Хэрэв та алгебрийн хэлбэрээр нийлмэл тоог бага зэрэгт (2 эсвэл 3) өсгөх шаардлагатай бол та үүнийг шууд үржүүлэх замаар хийж болно, гэхдээ хүч нь илүү том бол (боодлын хувьд энэ нь ихэвчлэн илүү их байдаг) бол та үүнийг хийх хэрэгтэй. Энэ тоог тригонометр эсвэл экспоненциал хэлбэрээр бичиж, аль хэдийн мэддэг аргуудыг ашиглана уу.
Жишээ. z = 1 + i гэж үзээд арав дахь зэрэглэлд хүргэнэ.
z-г экспоненциал хэлбэрээр бичье: z = √2 e iπ/4.
Дараа нь z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Алгебрийн хэлбэр рүү буцъя: z 10 = -32i.
Комплекс тооноос үндсийг гаргаж авах нь экспонентацийн урвуу үйлдэл тул ижил төстэй аргаар гүйцэтгэнэ. Үндэс гаргаж авахын тулд тоог бичих экспоненциал хэлбэрийг ихэвчлэн ашигладаг.
Жишээ. Нэгдлийн 3-р зэргийн бүх язгуурыг олъё. Үүнийг хийхийн тулд бид z 3 = 1 тэгшитгэлийн бүх язгуурыг олох болно, бид язгуурыг экспоненциал хэлбэрээр хайх болно.
Тэгшитгэлд орлуулъя: r 3 e 3iφ = 1 эсвэл r 3 e 3iφ = e 0 .
Эндээс: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, тиймээс φ = 2πk/3.
φ = 0, 2π/3, 4π/3-д өөр өөр үндэс гарна.
Тиймээс 1, e i2π/3, e i4π/3 нь үндэс болно.
Эсвэл алгебрийн хэлбэрээр: 
Сүүлчийн төрлийн асуудал нь маш олон төрлийн асуудлуудыг багтаасан бөгөөд тэдгээрийг шийдвэрлэх ерөнхий аргууд байдаггүй. Ийм даалгаврын энгийн жишээг өгье.
Хэмжээг нь ол нүгэл(x) + нүгэл(2х) + нүгэл(2х) + ... + нүгэл(nx).
Хэдийгээр энэ асуудлыг томъёолох нь тийм биш юм бид ярьж байнанийлмэл тоонуудын тухай, гэхдээ тэдгээрийн тусламжтайгаар үүнийг амархан шийдэж болно. Үүнийг шийдвэрлэхийн тулд дараахь дүрслэлийг ашигладаг. 
Хэрэв бид одоо энэ дүрслэлийг нийлбэрт орлуулах юм бол асуудал ердийн геометрийн прогрессийг нийлбэр болгон бууруулна.
Дүгнэлт
Цогцолбор тоо нь математикт өргөн хэрэглэгддэг; стандарт даалгавармөн товч тайлбарлав ерөнхий аргуудТэдний шийдлүүдийн хувьд нарийн төвөгтэй тоонуудын чадварыг илүү нарийвчлан судлахын тулд тусгай ном зохиол ашиглахыг зөвлөж байна.
