Наименьшим общим знаменателем (НОЗ) данных несократимых дробей является наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей этих дробей. ( см. тему «Нахождение наименьшего общего кратного» :
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо: 1) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей, оно и будет наименьшим общим знаменателем. 2) найти для каждой из дробей дополнительный множитель, для чего делить новый знаменатель на знаменатель каждой дроби. 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
Примеры. Привести следующие дроби к наименьшему общему знаменателю.
Находим наименьшее общее кратное знаменателей: НОК(5; 4)=20, так как 20 — самое меньшее число, которое делится и на 5 и на 4. Находим для 1-й дроби дополнительный множитель 4 (20: 5=4). Для 2-й дроби дополнительный множитель равен 5 (20: 4=5). Умножаем числитель и знаменатель 1-й дроби на 4, а числитель и знаменатель 2-й дроби на 5. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (20 ).
Наименьший общий знаменатель этих дробей — число 8, так как 8 делится на 4 и на само себя. Дополнительного множителя к 1-й дроби не будет (или можно сказать, что он равен единице), ко 2-й дроби дополнительный множитель равен 2 (8: 4=2). Умножаем числитель и знаменатель 2-й дроби на 2. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (8 ).
Данные дроби не являются несократимыми.
Сократим 1-ю дробь на 4, а 2-ю дробь сократим на 2. (см. примеры на сокращение обыкновенных дробей: Карта сайта → 5.4.2. Примеры сокращения обыкновенных дробей ). Находим НОК(16; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Дополнительный множитель для 1-й дроби равен 5 (80: 16=5). Дополнительный множитель для 2-й дроби равен 4 (80: 20=4). Умножаем числитель и знаменатель 1-й дроби на 5, а числитель и знаменатель 2-й дроби на 4. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (80 ).
Находим наименьший общий знаменатель НОЗ(5; 6 и 15)=НОК(5; 6 и 15)=30. Дополнительный множитель к 1-й дроби равен 6 (30: 5=6), дополнительный множитель ко 2-й дроби равен 5 (30: 6=5), дополнительный множитель к 3-ей дроби равен 2 (30: 15=2). Умножаем числитель и знаменатель 1-й дроби на 6, числитель и знаменатель 2-й дроби на 5, числитель и знаменатель 3-ей дроби на 2. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (30 ).
На этом уроке мы рассмотрим приведение дробей к общему знаменателю и решим задачи по этой теме. Дадим определение понятию общего знаменателя и дополнительного множителя, вспомним о взаимно простых числах. Дадим определение понятию наименьший общий знаменатель (НОЗ) и решим ряд задач на его нахождение.
Тема: Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Урок: Приведение дробей к общему знаменателю
Повторение. Основное свойство дроби.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Например, числитель и знаменатель дроби можно разделить на 2. Получим дробь . Эту операцию называют сокращением дроби. Можно выполнить и обратное преобразование, умножив числитель и знаменатель дроби на 2. В этом случае говорят, что мы привели дробь к новому знаменателю. Число 2 называют дополнительным множителем.
Вывод. Дробь можно привести к любому знаменателю кратному знаменателю данной дроби. Для того чтобы привести дробь к новому знаменателю, ее числитель и знаменатель умножают на дополнительный множитель.
1. Приведите дробь к знаменателю 35.
Число 35 кратно 7, то есть 35 делится на 7 без остатка. Значит, это преобразование возможно. Найдем дополнительный множитель. Для этого разделим 35 на 7. Получим 5. Умножим на 5 числитель и знаменатель исходной дроби.
2. Приведите дробь к знаменателю 18.
Найдем дополнительный множитель. Для этого разделим новый знаменатель на исходный. Получим 3. Умножим на 3 числитель и знаменатель данной дроби.
3. Приведите дробь к знаменателю 60.
Разделив 60 на 15, получим дополнительный множитель. Он равен 4. Умножим числитель и знаменатель на 4.
4. Приведите дробь к знаменателю 24
В несложных случаях приведение к новому знаменателю выполняют в уме. Принято только указывать дополнительный множитель за скобочкой чуть правее и выше исходной дроби.
Дробь можно привести к знаменателю 15 и дробь можно привести к знаменателю 15. У дробей и общий знаменатель 15.
Общим знаменателем дробей может быть любое общее кратное их знаменателей. Для простоты дроби приводят к наименьшему общему знаменателю. Он равен наименьшему общему кратному знаменателей данных дробей.
Пример. Привести к наименьшему общему знаменателю дроби и .
Сначала найдем наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей. Это число 12. Найдем дополнительный множитель для первой и для второй дроби. Для этого 12 разделим на 4 и на 6. Три - это дополнительный множитель для первой дроби, а два - для второй. Приведем дроби к знаменателю 12.
Мы привели дроби и к общему знаменателю, то есть мы нашли равные им дроби, у которых один и тот же знаменатель.
Правило. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо
Во-первых, найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем;
Во-вторых, разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т. е. найти для каждой дроби дополнительный множитель.
В-третьих, умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
а) Привести к общему знаменателю дроби и .
Наименьший общий знаменатель равен 12. Дополнительный множитель для первой дроби - 4, для второй - 3. Приводим дроби к знаменателю 24.
б) Привести к общему знаменателю дроби и .
Наименьший общий знаменатель равен 45. Разделив 45 на 9 на 15, получим, соответственно, 5 и 3. Приводим дроби к знаменателю 45.
в) Привести к общему знаменателю дроби и .
Общий знаменатель - 24. Дополнительные множители, соответственно, - 2 и 3.
Иногда бывает трудно подобрать устно наименьшее общее кратное для знаменателей данных дробей. Тогда общий знаменатель и дополнительные множители находят с помощью разложения на простые множители.
Привести к общему знаменателю дроби и .
Разложим числа 60 и 168 на простые множители. Выпишем разложение числа 60 и добавим недостающие множители 2 и 7 из второго разложения. Умножим 60 на 14 и получим общий знаменатель 840. Дополнительный множитель для первой дроби - это 14. Дополнительный множитель для второй дроби - 5. Приведем дроби к общему знаменателю 840.
Список литературы
1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. - Гимназия, 2006.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - Просвещение, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. - ЗШ МИФИ, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. - ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О. и др. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. - Просвещение, 1989.
Можно скачать книги, указанные в п.1.2. данного урока.
Домашнее задание
Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012. (ссылка см. 1.2)
Домашнее задание: №297, №298, №300.
Другие задания: №270, №290
В данной статье рассказывается, как привести дроби к общему знаменателю и как найти наименьший общий знаменатель. Приведены определения, дано правило приведения дробей к общему знаменателю и рассмотрены практические примеры.
Что такое приведение дроби к общему знаменателю?
Обыкновенные дроби состоят из числителя - верхней части, и знаменателя - нижней части. Если дроби имеют одинаковый знаменатель, говорят, что они приведены к общему знаменателю. Например, дроби 11 14 , 17 14 , 9 14 имеют одинаковый знаменатель 14 . Другими словами, они приведены к общему знаменателю.
Если же дроби имеют разные знаменатели, то их всегда можно привести к общему знаменателю при помощи нехитрых действий. Чтобы сделать это, нужно числитель и знаменатель умножить на определенные дополнительные множители.
Очевидно, что дроби 4 5 и 3 4 не приведены к общему знаменателю. Чтобы это сделать, нужно с использованием дополнительных множителей 5 и 4 привести их к знаменателю 20. Как именно сделать это? Умножим числитель и знаменатель дроби 4 5 на 4 , а числитель и знаменатель дроби 3 4 умножим на 5 . Вместо дробей 4 5 и 3 4 получим соответственно 16 20 и 15 20 .
Приведение дробей к общему знаменателю
Приведение дробей к общему знаменателю - это умножение числителей и знаменателей дробей на такие множители, что в результате получаются идентичные дроби с одинаковым знаменателем.
Общий знаменатель: определение, примеры
Что такое общий знаменатель?
Общий знаменатель
Общий знаменатель дробей - это любое положительное число, которое является общим кратным всех данных дробей.
Другими словами, общим знаменателем какого-то набора дробей будет такое натуральное число, которое без остатка делится на все знаменатели этих дробей.
Ряд натуральных чисел бесконечен, и поэтому, согласно определению, каждый набор обыкновенных дробей имеет бесконечное множество общих знаменателей. Иначе говоря, существует бесконечно много общих кратных для всех знаменателей исходного набора дробей.
Общий знаменатель для нескольких дробей легко найти, пользуясь определением. Пусть есть дроби 1 6 и 3 5 . Общим знаменателем дробей будет любое положительное общее кратное для чисел 6 и 5 . Такими положительными общими кратными являются числа 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210 и так далее.
Рассмотрим пример.
Пример 1. Общий знаменатель
Можно ди дроби 1 3 , 21 6 , 5 12 привести к общему знаменателю, который равен 150 ?
Чтобы выяснить, так ли это, нужно проверить, является ли 150 общим кратным для знаменателей дробей, то есть для чисел 3 , 6 , 12 . Другими словами, число 150 должно без остатка делиться на 3 , 6 , 12 . Проверим:
150 ÷ 3 = 50 , 150 ÷ 6 = 25 , 150 ÷ 12 = 12 , 5
Значит, 150 не является общим знаменателем указанных дробей.
Наименьший общий знаменатель
Наименьшее натуральное число из множества общих знаменателей какого-то набора дробей называется наименьшим общим знаменателем.
Наименьший общий знаменатель
Наименьший общий знаменатель дробей - это наименьшее число среди всех общих знаменателей этих дробей.
Наименьший общий делитель данного набора чисел - это наименьшее общее кратное (НОК). НОК всех знаменателей дробей является наименьшим общим знаменателем этих дробей.
Как найти наименьший общий знаменатель? Его нахождение сводится к нахождению наименьшего общего кратного дробей. Обратимся к примеру:
Пример 2. Найти наименьший общий знаменатель
Нужно найти наименьший общий знаменатель для дробей 1 10 и 127 28 .
Ищем НОК чисел 10 и 28 . Разложим их на простые множители и получим:
10 = 2 · 5 28 = 2 · 2 · 7 Н О К (15 , 28) = 2 · 2 · 5 · 7 = 140
Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю
Существует правило, которое объясняет, как привести дроби к общему знаменателю. Правило состоит из трех пунктов.
Правило приведения дробей к общему знаменателю
- Найти наименьший общий знаменатель дробей.
- Для каждой дроби найти дополнительный множитель. Чтобы найти множитель нужно наименьший общий знаменатель разделить на знаменатель каждой дроби.
- Умножить числитель и знаменатель на найденный дополнительный множитель.
Рассмотрим применение этого правила на конкретном примере.
Пример 3. Приведение дробей к общему знаменателю
Есть дроби 3 14 и 5 18 . Приведем их к наименьшему общему знаменателю.
По правилу, сначала найдем НОК знаменателей дробей.
14 = 2 · 7 18 = 2 · 3 · 3 Н О К (14 , 18) = 2 · 3 · 3 · 7 = 126
Вычисляем дополнительные множители для каждой дроби. Для 3 14 дополнительный множитель находится как 126 ÷ 14 = 9 , а для дроби 5 18 дополнительный множитель будет равен 126 ÷ 18 = 7 .
Умножаем числитель и знаменатель дробей на дополнительные множители и получаем:
3 · 9 14 · 9 = 27 126 , 5 · 7 18 · 7 = 35 126 .
Приведение нескольких дробей к наименьшему общему знаменателю
По рассмотренному правилу к общему знаменателю можно приводить не только пары дробей, но и большее их количество.
Приведем еще один пример.
Пример 4. Приведение дробей к общему знаменателю
Привести дроби 3 2 , 5 6 , 3 8 и 17 18 к наименьшему общему знаменателю.
Вычислим НОК знаменателей. Находим НОК трех и большего количества чисел:
Н О К (2 , 6) = 6 Н О К (6 , 8) = 24 Н О К (24 , 18) = 72 Н О К (2 , 6 , 8 , 18) = 72
Для 3 2 дополнительный множитель равен 72 ÷ 2 = 36 , для 5 6 дополнительный множитель равен 72 ÷ 6 = 12 , для 3 8 дополнительный множитель равен 72 ÷ 8 = 9 , наконец, для 17 18 дополнительный множитель равен 72 ÷ 18 = 4 .
Умножаем дроби на дополнительные множители и переходим к наименьшему общему знаменателю:
3 2 · 36 = 108 72 5 6 · 12 = 60 72 3 8 · 9 = 27 72 17 18 · 4 = 68 72
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Приведение дробей к общему знаменателю
Дроби И имеют одинаковые знаменатели. Говорят, что они имеют общий знаменатель 25. Дроби и имеют разные знаменатели, но их можно привести к общему знаменателю с помощью основного свойства дробей. Для этого найдем число, которое делится на 8 и на 3, например, 24. Приведем дроби к знаменателю 24, для этого умножим числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 3. Дополнительный множитель обычно пишут слева над числителем:
Умножим числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 8:
Приведем дроби и к общему знаменателю. Чаще всего дроби приводят к наименьшему общему знаменателю, который является наименьшим общим кратным знаменателей данных дробей. Так как НОК (8, 12) = 24, то дроби можно привести к знаменателю 24. Найдем дополнительные множители дробей: 24:8 = 3, 24:12 = 2. Тогда
К общему знаменателю можно приводить несколько дробей.
Пример. Приведем дроби к общему знаменателю. Так как 25 = 5 2 , 10 = 2 5, 6 = 2 3, то НОК (25, 10, 6) = 2 3 5 2 = 150.
Найдем дополнительные множители дробей и приведем их к знаменателю 150:
Сравнение дробей
На рис. 4.7 изображен отрезок АВ длины 1. Он разделен на 7 равных частей. Отрезок АС имеет длину , а отрезок AD имеет длину .
Длина отрезка AD больше длины отрезка AС т. е. дробь больше дроби
Из двух дробей с общим знаменателем больше та, у которой числитель больше, т. е.
Например, или
Чтобы сравнить любые две дроби, их приводят к общему знаменателю, а затем применяют правило сравнения дробей с общим знаменателем.
Пример. Сравнить дроби
Решение. НОК (8, 14) = 56. Тогда Так как 21 > 20, то
Если первая дробь меньше второй, а вторая меньше третьей, то первая меньше третьей.
Доказательство. Пусть даны три дроби. Приведем их к общему знаменателю. Пусть после этого они будут иметь вид Так как первая дробь меньше
второй, то r < s. Так как вторая дробь меньше третьей, то s < t. Из полученных неравенств для натуральных чисел следует, что r < t, тогда первая дробь меньше третьей.
Дробь называется правильной , если ее числитель меньше знаменателя.
Дробь называется неправильной , если ее числитель больше знаменателя или равен ему.
Например, дроби-правильные, а дроби -неправильные.
Правильная дробь меньше 1, а неправильная дробь больше или равна 1.
