Непараметрический критерий Манна-Уитни используется для сравнения двух независимых выборок. При этом совсем не важно, чтобы выборки были одинакового размера. Напомним, что все элементы из первой выборки сравниваются со всеми элементами второй выборки. Если какой-то элемент больше сравниваемого, то ему засчитывается 1 балл. Если элементы равны, то им засчитывается по 0,5 балла. Затем баллы элементов для каждой выборки суммируются, а меньшая полученная сумма является критерием – U-статистика. Если выборки не имеют существенных различий, то значение критерия должно быть больше критического значения для выборок соответствующего размера.

Примечание.
Здесь приведено очень упрощенное описание критерия Манна-Уитни, т.к. подразумевается, что Вы уже с ним знакомы.

Пример расчета критерия Манна-Уитни

У нас есть небольшой набор данных с эффективностью продаж двух продавцов:

Мы хотим определить, какой из продавцов работает лучше, и выплатить лучшему продавцу повышенную премию. Сделаем это с помощью надстройки от office-menu.

Перейдем на вкладку надстройки и кликнем на ленте пункт с нужным критерием, после чего будет предложено выбрать диапазон с данными для анализа. Диапазон выбирается без заголовков, первый столбец должен содержать наименование выборок, второй значения для них.

После клика по кнопке «Готово» откроется новая книга Excel с готовым расчетом и вспомогательной таблицей.

Из анализа видно, несмотря на то что продавец Иван хоть и имеет низкую конверсию в сравнении с Петром, это не говорит о том, что он работает хуже, а высокая конверсия Петра может быть выбросами в данных. Возможно на больших выборках результаты поменяются, но на текущем наборе говорить о существенных различиях нельзя.

Для того, чтобы использовать описанные в данной категории функции, скачайте и установите нашу надстройку.
Работа надстройки была успешно протестирована на версиях Excel: 2007, 2010 и 2013. В случае возникновения проблем с ее использованием, сообщайте .

• < Назад

Если материалы office-menu.ru Вам помогли, то поддержите, пожалуйста, проект, чтобы мы могли развивать его дальше.

Критерий Манна-Уитни представляет непараметрическую альтернативу t -критерия для независимых выборок. Преимущество его состоит в том, что мы отказываемся от предположения нормальности распределения и одинаковых дисперсий. Необходимо, чтобы данные были измерены как минимум в порядковой шкале.

STATISTICA предполагает, что данные расположены тем же образом, что в и t -критерии для независимых выборок. Файл должен содержать кодовую (независимую) переменную, имеющую, по крайней мере, два разных кода для однозначной идентификации принадлежности каждого наблюдения к определенной группе.

Предположения и интерпретация. Критерий Манна-Уитни предполагает, что рассматриваемые переменные измерены, по крайней мере, в порядковой шкале (ранжированы). Интерпретация теста по существу похожа на интерпретацию результатов t -критерия для независимых выборок, за исключением того, что U критерий вычисляется, как сумма индикаторов попарного сравнения элементов первой выборки с элементами второй выборки. U критерий - наиболее мощная (чувствительная) непараметрическая альтернатива t-критерия для независимых выборок ; фактически, в некоторых случаях он имеет даже большую мощность, чем t -критерий.

Если объем выборки больше 20, то распределение выборки для U статистики быстро сходится к нормальному распределению (см. Siegel, 1956). Поэтому вместе с U статистикой будут показаны z значение (для нормального распределения и соответствующее p -значение.

Точные вероятности для малых выборок. Для выборок малого объема STATISTICA вычислит точную вероятность, связанную с соответствующей U статистикой. Эта вероятность основана на подсчете всех возможных значений U при заданном количестве наблюдений в двух выборках (см. Dinneen & Blakesley, 1973). Программа сообщит (в последнем столбце таблицы результатов) значение 2 * p, где p равно 1 минус кумулятивная (односторонняя) вероятность соответствующей U статистики. Заметим, что это обычно не приводит к большой недооценке статистической значимости соответствующих эффектов (см. Siegel, 1956).

Статистика критерия выглядит следующим образом.

где W - статистика Вилкоксона , предназначенная для проверки этой же гипотезы

в противном случае

Таким образом, статистика U считает общее число тех случаев, в которых элементы второй выборки превосходят элементы первой выборки. Если гипотеза верна, то

Критерий Манна-Уитни предполагает, что рассматриваемые переменные измерены, по крайней мере, в порядковой шкале (ранжированы). Интерпретация теста по существу похожа на интерпретацию результатов t -критерия для независимых выборок, за исключением того, что U критерий вычисляется, как сумма индикаторов попарного сравнения элементов первой выборки с элементами второй выборки. U критерий - наиболее мощная (чувствительная) непараметрическая альтернатива t -критерия для независимых выборок; фактически, в некоторых случаях он имеет даже большую мощность, чем t -критерий.

Если объем выборки больше 20, то распределение выборки для U статистики быстро сходится к нормальному распределению. Поэтому, вместе с U статистикой, будут показано z значение (для нормального распределения) и соответствующее p -значение.

Подробные инструкции по поводу того, как использовать критерий, вы можете найти дальше в части, касающейся примера применения.

Пример

Проверим гипотезу о принадлежности сравниваемых независимых выборок к одной и той же генеральной совокупности с помощью непараметрического U-критерия Манна-Уитни. Сравним результаты, полученные в примере Основные статистики и t-критерий Стьюдента для 2-го и 3-го столбцов таблицы по критерию Стьюдента, с результатами непараметрического сравнения.

Для расчета U-критерия Уилкоксона расположим варианты сравниваемых выборок в порядке возрастания в один обобщенный ряд и присвоим вариантам обобщенного ряда ранги от 1 до n1 + n2. Первая строка представляет собой варианты первой выборки, вторая - второй выборки, третья - соответствующие ранги в обобщенном ряду:

Надо обратить внимание, что если имеются одинаковые варианты, им присваивается средний ранг, однако значение последнего ранга должно быть равно n1 + n2 (в нашем случае 20). Это правило используют для проверки правильности ранжирования.

Отдельно для каждой выборки рассчитываем суммы рангов их вариант R1 и R2. В нашем случае:

R1 = 1 + 2,5 + 2,5 + 5 + 5 + 9 + 9 + 9 + 12 + 14 = 69

R2 = 5 + 9 + 9 + 14 + 14 + 17 + 17 +17 + 19,5 + 19,5 = 141

Для проверки правильности вычислений можно воспользоваться другим правилом: R1 + R2 = 0,5 * (n1 + n2) * (n1 + n2 + 1). В нашем случае R1 + R2 = 210.

Статистика U1 = 69 - 10*11/2 = 14; U2 = 141 - 10*11/2 = 86.

Для проверки одностороннего критерия выбираем минимальную статистику U1 = 14 и сравниваем ее с критическим значением для n1 = n2 = 10 и уровня значимости 1%, равным 19.

Так как вычисленное значение критерия меньше табличного, нулевая гипотеза отвергается на выбранном уровне значимости, и различия между выборками признаются статистически значимыми. Таким образом, вывод о существовании различий, сделанный с помощью параметрического критерия Cтьюдента, подтверждается с помощью данного непараметрического метода.

Дата публикации: 10.10.2017 20:53

Подавляющее большинство психологических исследований направлены на достижение двух главных целей:

1. Выявить взаимосвязь между показателя. Для этого используется корреляционный анализ .
2. Установить различия выраженности психологических показателей в двух или более группах. В этом случае используются либо U-критерий Манна-Уитни, либо t-критерий Стъюдента.

В данной статье мы рассмотрим основные аспекты использования критерия Манна-Уитни при обработке результатов эмпирического исследования в курсовых и дипломных работах, а также магистерских диссертациях по психологии.

Зачем нужен критерий Манна-Уитни

В психологическом исследовании изучаются не результаты отдельных испытуемых, а обобщенные данные. Например, при изучении особенностей психологических параметров в двух группах изучаются средние значения в этих группах.

Напомним, что среднее (среднее арифметическое) отражает усредненный по группе показатель. Рассчитывается среднее значение следующим образом:

• Суммируются показатели у всех испытуемых в группе.
• Сумма делиться на число испытуемых.

Таким образом, когда мы сравниваем психологические показатели у двух испытуемых, то никакие статистические критерии не нужны. Действительно, пусть в ходе тестирования уровень личностной тревожности Иванова оказался 40 баллов, а Петрова - 50 баллов. В этом случае мы смело говорим, что Петров более тревожен, чем Иванов. Однако, если речь идет о сравнении двух групп, то ситуация усложняется.

Например, мы рассчитали средний уровень личностной тревожности в группе женщин - 58 баллов, и мужчин - 49 баллов. Так как средние значения - это статистические показатели, а не просто числа, то просто так сравнивать их нельзя. То есть, мы не можем сказать, что тревожность женщин выше, чем у мужчин. Но как же быть? Как сравнить показатели тревожности в группах мужчин и женщин?

Для этого и существуют статистические критерии анализа различий. Их расчет позволяет с определённой точностью заключить, существуют различия выраженности показателей в двух группах или нет.

Для анализа различий средних значений в двух группах используется t-критерий Стъюдента. U-критерий Манна-Уитни позволяет сравнивать не средние значения, а выраженность показателей, но в этом случае и средние значения параметров в группах будут различаться соответствующим образом.

Расчет критерия Манна-Уитни: объяснение простыми словами

В подавляющем большинство психологических исследований расчет статистических критериев в том числе и критерия Манна-Уитни производится с помощью статистических программ. Наиболее известные - это SPSS и STATISTICA. Однако несмотря на это важно в общих чертах представлять себе сущность расчета - это придаст студенту-психологу на защите диплома.

Вернёмся к нашему пример с тревожностью мужчин и женщин. Предположим у нас две группы по 10 человек. У каждого испытуемого есть определенное значение личностной тревожности. Нам нужно выяснить, различаются ли уровни тревожности в группах мужчин и женщин. Расчет критерия Манна-Уитни примерно будет проходить по следующим шагам:

1. Показатели тревожности в группах заносятся в таблицу ранжируются, то есть располагаются в порядке возрастания.
2. Далее данные по мужчинам женщинам объединяются в общий столбец (при этом они помечаются, например, разными цветом) и опять ранжируются.
3. А далее проводится анализ. Если данные мужчин и женщин (синие и красные числа) в основном чередуются, то различий скорее всего нет.
4. А вот если данные по мужчинам сгруппированы в основном вверху, где низкие показатели, а у женщин внизу, где высокие, то скорее всего различия есть.

Мы привели объяснение на пальцах. Статистические программы для расчета используют специальные алгоритмы, которые позволяют численно оценить эти пересечения данных обеих групп (синих и красных чисел) и сделать вывод о существовании или не существовании различий.

Что нужно знать про критерий Манна-Уитни на защите диплома

U-критерий Манна-Уитни - это непараметрический статистический критерий, использующийся для сравнения выраженности показателей в двух несвязных выборках.

Что такое непараметрический? Не вдаваясь в статистические тонкости, нужно понимать следующее. Параметрические статистические критерии более точные, но они предъявляют более строгие требования к данным. То есть, перед расчетом нужно все данные в группах проверять, например, на нормальность распределение. Это значит, что на графике распределения такие данные должны располагаться в виде колокола - больше всего испытуемых со средними значениями, а меньшинство имеют низкие и высокие показатели. t-критерий Стъюдента является параметрическим критерием.

Непараметрические критерии менее точные, но зато у них нет жестких требований к данным. Эти данные могут быть почти любыми.

Что значит несвязные выборки? Это означает, что группы не пресекаются, то есть в них разные испытуемые. Расчет различий в связных выборках используется, например, при выявлении эффективности тренингов, когда производятся замеры «до» и «после», а потом сравниваются. У критерия Стъюдента есть вариант для связных выборок. Критерий Манна-Уитни используется только для несвязных.

Ограничения критерия Манна-Уитни

1. Число испытуемых в группах при использовании критерия Манна-Уитни не должно быть больше 60 человек.
2. Минимальное число испытуемых - 3 человека в каждой группе.
3. Объем групп не должен быть строго одинаковым, но не должен сильно различаться.
4. Сравниваемые показатели могут быть как психологическими (тревожность, агрессивность, самооценка и пр.), так и не психологическими (успешность обучения, эффективность профессиональной деятельности и пр.)

«Почему вы выбрали для расчета критерий Манна-Уитни?»

Очень многих студентов-психологов перед защитой диплома пугает именно этот вопрос. Предлагаем в качестве основы для индивидуальных модификаций следующий ответ:

«В данной работе мы не проверяли данные на нормальность распределения, поэтому мы использовали непараметрический статистический критерий анна-Уитни, предназначенный для выявления различий показателей в двух несвязных выборках».

Важно понимать, что фактически этот вопрос означает следующее: «Почему вы выбрали критерий Манна-Уитни, а не критерий Стъюдента». Именно эти критерии наиболее часто используются для сравнительного анализа в психологических исследованиях.

Поэтому в ответе и надо указать, что на нормальность данные не проверяли, например, из-за небольшого объема групп. Поэтому решили остановиться на непараметрическом критерии.

Уровень статистической значимости

Если вы будет пользоваться для расчета критерия Манна-Уитни статистической программой, то в выдаче результатов будут присутствовать два важных показателя:

1. U - это, собственно, численное значение критерия. Для определения достоверности различий выраженности показателей в группах нужно сравнить полученное значение Uэмп с критическим значением из специальной таблицы - Uкр. Если Uэмп≤ Uкр, то различия выраженности показателей в группах статистически значимы.
2. р - уровень статистической значимости. Этот показатель присутствует при расчете всех статистических критериев и отражает степень точности вывода о наличие различий. В психологических исследованиях приняты два уровня точности:

• р≤0,01 - вероятность ошибки 1%;
• р≤0,05 - вероятность ошибки 5%.

Пример анализа данных с помощью критерия Манна-Уитни в дипломе по психологии

Результаты сравнительного анализа показателей жизнестойкости у молодежи и людей зрелого возраста

	Средние значения		U-критерий Манна-Уитни	Уровень статистической значимости (p)
	молодежь	люди зрелого возраста
Вовлеченность	32,9	40,9		0,000*
Контроль	27,2	28,3	1170,5	0,584
Принятие риска	17,9	14,4		0,000*
Жизнестойкость	78,0	83,6	1022,5	0,117

* - различия статистически достоверны (р ≤ 0,05)

Анализ данных, приведенных в таблице, позволяет сделать следующие выводы:

Показатели по шкале «вовлеченность» в группе представителей старшего поколения статистически значимо выше, чем в группе представителей молодого поколения. Это означает, что люди зрелого возраста, по сравнению с молодежью, характеризуются более высокой вовлеченностью в происходящее, они в большей степени получают удовольствие от собственной деятельности. В то же время молодежь в большей степени, чем более зрелые люди, переживает чувство отвергнутости, ощущение себя «вне» жизни. Такой результат связан с психологическими особенностями возрастов: молодые люди еще не нашли своего места в жизни, что обуславливает их недостаточную вовлеченность в происходящее, в то же время зрелые люди в значительной степени укоренены в жизни, что позволяет им быть на более высоком уровне вовлеченности.

Показатели по шкале «принятие риска» в группе представителей молодежи статистически значимо выше, чем в группе представителей зрелого возраста. Это означает, что молодые люди, по сравнению с людьми зрелого возраста, характеризуются более высокой убежденностью в том, что все то, что с ним случается, способствует его развитию за счет знаний, извлекаемых из опыта, — неважно, позитивного или негативного. Молодые в больше степени, чем зрелые люди, рассматривают жизнь как способ приобретения опыта, готовы действовать в отсутствие надежных гарантий успеха, на свой страх и риск, считая стремление к простому комфорту и безопасности обедняющим жизнь личности.

Как показывают полученные данные, различия показателей жизнестойкости в группах представителей молодежи и людей зрелого возраста носят разнонаправленный характер, что в итоге предопределяет отсутствие различий в общем показателей жизнестойкости в группах испытуемых.

Итак, различия показателей жизнестойкости в группах представителей молодого поколения и людей зрелого возраста носят разнонаправленный характер: у молодежи в большей степени выражено принятие риска, а людей зрелого возраста - вовлеченность в происходящее. В итоге не выявлено различий в общем показателей жизнестойкости в группах испытуемых.

Критерий U Манна - Уитни

Назначение критерия. Критерий предназначен для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. Он позволяет выявлять различия между малыми выборками, когда п 1, п 2 > 3 или п Л = 2, п 2 > 5, и является более мощным, чем критерий Q Розенбаума.

Этот метод определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя рядами. Мы помним, что 1-м рядом (выборкой, группой) мы называем тот ряд значений, в котором значения, по предварительной оценке, выше, а 2-м рядом - тот, где они предположительно ниже.

Чем меньше область перекрещивающихся значений, тем более вероятно, что различия достоверны. Иногда эти различия называют различиями в расположении двух выборок. Эмпирическое значение критерия и отражает то, насколько велика зона совпадения между рядами. Поэтому чем меньше t/ 3Mn , тем более вероятно, что различия достоверны.

Гипотезы.

Уровень невербального интеллекта в группе студентов физиков выше, чем в группе студентов-психологов.

Графическое представление критерия U. Па рис. 7.25 представлены три из множества возможных вариантов соотношения двух рядов значений.

В варианте (а) второй ряд ниже первого, и ряды почти не перекрещиваются. Область наложения (S j) слишком мала, чтобы скрадывать различия между рядами. Есть шанс, что различия между ними достоверны. Точно определить это мы сможем с помощью критерия U.

В варианте (б) второй ряд тоже ниже первого, но и область перекрещивающихся значений у двух рядов достаточно обширна (5 2). Она может еще не достигать критической величины, когда различия придется признать несущественными. Но так ли это, можно определить только путем точного подсчета критерия U.

В варианте (в) второй ряд ниже первого, но область наложения настолько обширна (5 3), что различия между рядами скрадываются.

Рис. 7.25.

в двух выборках

Примечание. Перекрытием (5 t , S 2 , *$з) обозначены зоны возможного наложения. Ограничения критерия U.

• 1. В каждой выборке должно быть не менее трех наблюдений: n v п 2 > 3; допускается, чтобы в одной выборке было два наблюдения, но тогда во второй их должно быть не менее 5.
• 2. В каждой выборке должно быть не более 60 наблюдений; п л, п 2 щ, п 2 > 20 ранжирование становится достаточно трудоемким.

Вернемся к результатам обследования студентов физического и психологического факультетов Ленинградского университета с помощью методики Д. Векслера для измерения вербального и невербального интеллекта. С помощью критерия Q Розенбаума было с высоким уровнем значимости определено, что уровень вербального интеллекта в выборке студентов физического факультета выше. Попытаемся установить теперь, воспроизводится ли этот результат при сопоставлении выборок по уровню невербального интеллекта. Данные приведены в таблице.

2 ниже уровня признака в выборке 1 на достоверно значимом уровне. Чем меньше значения U, тем достоверность различий выше.

Теперь проделаем всю эту работу на материале нашего примера. В результате работы по 1-6 шагам алгоритма построим таблицу (табл. 7.4).

Таблица 7.4

Подсчет ранговых сумм по выборкам студентов физического и психологического факультетов

Студенты-физики (п = 14)		Студенты-психологи (п= 12)
		Показатель невербального интеллекта
Средние 107,2

Общая сумма рангов: 165 + 186 = 351. Расчетная сумма по формуле (5.1) такова:

Равенство реальной и расчетной сумм соблюдено. Мы видим, что по уровню невербального интеллекта более «высоким» рядом окалывается выборка студентов-психологов. Именно на эту выборку приходится большая ранговая сумма: 186. Теперь мы готовы сформулировать статистические гипотезы:

Я 0: группа студентов-психологов не превосходит группу студентов- физиков по уровню невербального интеллекта;

Я,: группа студентов-психологов превосходит группу студентов-физи- ков по уровню невербального интеллекта.

В соответствии со следующим шагом алгоритма определяем эмпирическую величину U :

Поскольку в нашем случае п л * п 2 , подсчитаем эмпирическую величину U и для второй ранговой суммы (165), подставляя в формулу (7.4) соответствующее ей п х.:

По приложению 8 определяем критические значения для п л = 14, п 2 = 12:

Мы помним, что критерий U является одним из двух исключений из общего правила принятия решения о достоверности различий, а именно, мы можем констатировать достоверные различия, если {/ эмп U Kp 0 05 (при ^эмп = 60, и шп > U Kf) о,05).

Следовательно, Н 0 принимается следующей: группа студентов-психологов не превосходит группы студентов-физиков по уровню невербального интеллекта.

Обратим внимание на то, что для данного случая Q-критерий Розенбаума неприменим, так как размах вариативности в группе физиков шире, чем в группе психологов: и самое высокое, и самое низкое значения невербального интеллекта приходятся на группу физиков (см. табл. 7.4).

U-критерий Манна-Уитни используется для оценки различий между двумя малыми выборками (n1,n2≥3 или n1=2, n2≥5) по уровню колич

U -критерий Манна-Уитни используется для оценки различий между двумя малыми выборками(n 1 , n 2 ≥3 или n 1 =2, n 2 ≥5) по уровню количественно измеряемого признака. При этом первой выборкой принято считать ту, где значение признака больше.

Нулевая гипотеза H 0 ={уровень признака во второй выборке не ниже уровня признака в первой выборке}; альтернативная гипотеза – H 1 ={уровень признака во второй выборке ниже уровня признака в первой выборке}.

Рассмотрим алгоритм применения U-критерия Манна-Уитни:

1. Перенести все данные испытуемых на индивидуальные карточки, пометив карточки 1-й выборки одним цветом, а 2-й – другим.

2. Разложить все карточки в единый ряд по степени возрастания признака и проранжировать в таком порядке.

3. Вновь разложить карточки по цвету на две группы.

5. Определить большую из двух ранговых сумм .

6. Вычислить эмпирическое значение U :

, где - количество испытуемых в - выборке (i = 1, 2), - количество испытуемых в группе с большей суммой рангов.

7. Задать уровень значимости α и, используя специальную таблицу, определить критическое значение U кр (α) . Если , то H 0 на выбранном уровне значимости принимается.

Рассмотрим использование U критерия Манна-Уитни на примере.

Проведение срезовой контрольной работы по математике (алгебра и геометрия) в средней общеобразовательной школе дало следующие результаты по 10-балльной шкале для класса, обучающегося по программе «Развивающего обучения» (7 «Б»), и класса, обучающегося по традиционной системе (7 «А»):

Ученик \ Класс	7 «А» (баллы)	7 «Б» (баллы)

Определите, превосходят ли учащиеся 7 «Б» учащихся 7 «А» по уровню знаний по математике.

Сравнение результатов показывает, что баллы, полученный за контрольную работу, в 7 «Б» классе несколько выше, поэтому первой считаем выборку результатов 7 «Б» класса. Таким образом, нам требуется определить, можно ли считать имеющуюся разницу между баллами существенной. Если можно, то это будет означать, что класс, обучающийся по системе «развивающего обучения» имеет более качественные знания по математике. В противном случае, на выбранном уровне значимости различие окажется несущественным.

Для оценки различий между двумя малыми выборками (в данном примере их объёмы равны: n 1 =12, n 2 =11) используем критерий Манна-Уитни. Проранжируем представленную таблицу:

7 «Б» (баллы)	ранг	7 «А» (баллы)	ранг
	22,5
	22,5		20.5
	20.5		16.5
	16.5		16.5
	16.5		11.5
	16.5		11.5
	16.5
	11.5
	11.5
Сумма:	1 68 .5	Сумма:	107.5

При ранжировании объединяем две выборки в одну. Ранги присваиваются в порядке возрастания значения измеряемой величины, т.е. наименьшему рангу соответствует наименьший балл. Заметим, что в случае совпадения баллов для нескольких учеников ранг такого балла следует считать, как среднее арифметическое тех позиций, которые занимают данные баллы при их расположении в порядке возрастания. Например, 4 балла получили 3 ученика (см. таблицу). Значит, первые 3 позиции в расположении займёт балл, равный 4. Поэтому ранг для 4 баллов – это среднее арифметическое для позиций 1, 2 и 3, или: . Аналогично рассуждаем при вычислении ранга для балла, равного 5. Такой балл получили двое учащихся. Значит, при распределении по возрастанию первые три позиции занимает балл, равный 4, а четвёртую и пятую позиции займёт балл, равный 5. Поэтому его ранг будет равен среднему арифметическому между числами 4 и 5, т.е. 4.5.

Используя предложенный принцип ранжирования, получим таблицу рангов. Заметим, что выбор среднего арифметического в качестве ранга применяется при любом ранжировании, в том числе необходимого и для вычисления других критериев достоверности или же коэффициента корреляции Спирмена.

Чтобы использовать критерий Манна-Уитни, рассчитаем суммы рангов рассматриваемых выборок (см. таблицу). Сумма для первой выборки равна 168,5, для второй – 107,5. Обозначим наибольшую из этих сумм через T x (T x =168.5). Среди объёмов n 1 и n 2 выборок наибольший обозначим n x . Этих данных достаточно, чтобы воспользоваться формулой расчёта эмпирического значения критерия:

T x =168,5, n x =12>11= n 2 . Тогда:

Критическое значение критерия находим по специальной таблице. Пусть уровень значимости равен 0.05.

Гипотеза H 0 о незначительности различий между баллами двух классов принимается, если u кр < u эмп . В противном случае H 0 отвергается и различие определяется как существенное.

Следовательно, различия в уровне знаний по математике среди учащихся можно считать несущественными.

Схема использования критерия Манна-Уитни выглядит следующим образом