Зачастую в задачах требуется привести упрощенный ответ. Хотя и упрощенный, и неупрощенный ответы являются верными, преподаватель может снизить вашу оценку, если вы не упростите ответ. Более того, с упрощенным математическим выражением гораздо легче работать. Поэтому очень важно научиться упрощать выражения.
Шаги
Правильный порядок выполнения математических операций
-
Запомните правильный порядок выполнения математических операций. При упрощении математического выражения необходимо соблюдать определенный порядок действий, так как некоторые математические операции имеют приоритет над другими и должны быть сделаны в первую очередь (на самом деле несоблюдение правильного порядка выполнения операций приведет вас к неправильному результату). Запомните следующий порядок выполнения математических операций: выражение в скобках, возведение в степень, умножение, деление, сложение, вычитание.
- Обратите внимание, что знание правильного порядка выполнения операций позволит вам упростить большинство простейших выражений, но для упрощения многочлена (выражения с переменной) необходимо знать специальные приемы (смотрите следующий раздел).
-
Начните с решения выражения в скобках. В математике скобки указывают на то, что заключенное в них выражение должно быть выполнено в первую очередь. Поэтому при упрощении любого математического выражения начинайте с решения выражения, заключенного в скобки (при этом неважно, какие операции нужно выполнить внутри скобок). Но помните, что работая с выражением, заключенным в скобки, следует соблюдать порядок проведения операций, то есть члены в скобках сначала перемножаются, делятся, складываются, вычитаются и так далее.
- Например, упростим выражение 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2)
. Здесь начнем с выражений в скобках: 5 + 2 = 7 и 3 + 4/2 = 3 + 2 =5.
- Выражение во второй паре скобок упрощается до 5, потому что сначала нужно разделить 4/2 (согласно правильному порядку выполнения операций). Если не соблюдать этот порядок, то вы получите неправильный ответ: 3 + 4 = 7 и 7 ÷ 2 = 7/2.
- Если в скобках есть еще одна пара скобок, начните упрощение с решения выражения во внутренних скобках, а затем переходите к решению выражения во внешних скобках.
- Например, упростим выражение 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2)
. Здесь начнем с выражений в скобках: 5 + 2 = 7 и 3 + 4/2 = 3 + 2 =5.
-
Возведите в степень. Решив выражения в скобках, перейдите к возведению в степень (помните, что у степени есть показатель степени и основание степени). Возведите соответствующее выражение (или число) в степень и подставьте результат в данное вам выражение.
- В нашем примере единственным выражением (числом) в степени является 3 2: 3 2 = 9. В данном вам выражении вместо 3 2 подставьте 9 и вы получите: 2x + 4(7) + 9 - 5.
-
Умножьте. Помните, что операция умножения может обозначаться следующими символами: «х», «∙» или «*». Но если между числом и переменной (например, 2х) или между числом и числом в скобках (например, 4(7)) нет никаких символов, то это также является операцией умножения.
- В нашем примере присутствуют две операции умножения: 2x (два умножить на переменную «х») и 4(7) (четыре умножить на семь). Мы не знаем значения х, поэтому выражение 2х оставим как есть. 4(7) = 4 х 7 = 28. Теперь вы можете переписать данное вам выражение так: 2x + 28 + 9 - 5.
-
Разделите. Помните, что операция деления может обозначаться следующими символами: «/», «÷» или «–» (последний символ вы можете встретить в дробях). Например 3/4 – это три, деленное на четыре.
- В нашем примере операции деления больше нет, так как вы уже разделили 4 на 2 (4/2) при решении выражения в скобках. Поэтому вы можете перейти к следующему шагу. Помните, что в большинстве выражений нет сразу всех математических операций (только некоторые из них).
-
Сложите. При сложении членов выражения вы можете начать с самого крайнего (слева) члена, или можете сначала сложить те члены выражения, которые легко складываются. Например, в выражении 49 + 29 + 51 +71 сначала легче сложить 49 + 51 = 100, потом 29 + 71 = 100 и, наконец, 100 + 100 = 200. Гораздо сложнее складывать так: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.
- В нашем примере 2x + 28 + 9 + 5 присутствуют две операции сложения. Начнем с самого крайнего (слева) члена: 2x + 28; вы не можете сложить 2х и 28, потому что не знаете значения переменной «х». Поэтому сложите 28 + 9 = 37. Теперь выражение можно переписать так: 2х + 37 - 5.
-
Вычтите. Это последняя операция в правильном порядке выполнения математических операций. На этом этапе вы также можете прибавлять отрицательные числа или же делать это на этапе сложения членов – это никак не отразится на конечном результате.
- В нашем примере 2х + 37 - 5 присутствует только одна операция вычитания: 37 - 5 = 32.
-
На этом этапе, проделав все математические операции, вы должны получить упрощенное выражение. Но если данное вам выражение содержит одну или несколько переменных, то помните, что член с переменной останется таким, как есть. Решение (а не упрощение) выражения с переменной подразумевает нахождение значения этой переменной. Иногда выражения с переменной можно упростить, используя специальные методы (смотрите следующий раздел).
- В нашем примере окончательный ответ: 2х + 32. Вы не сможете сложить два члена, пока не узнаете значение переменной «х». Узнав значение переменной, вы с легкостью упростите этот двучлен.
Упрощение сложных выражений
-
Сложение подобных членов. Помните, что вычитать и складывать можно исключительно подобные члены, то есть члены с одинаковой переменной и одинаковым показателем степени. Например, можно сложить 7x и 5x, но нельзя складывать 7x и 5x 2 (так как здесь показатели степени разные).
- Это правило распространяется и на члены с несколькими переменными. Например, можно сложить 2xy 2 и -3xy 2 , но нельзя складывать 2xy 2 и -3x 2 y или 2xy 2 и -3y 2 .
- Рассмотрим пример: x 2 + 3x + 6 - 8x. Здесь подобными членами являются 3x и 8x, поэтому их можно сложить. Упрощенное выражение выглядит так: x 2 - 5x + 6.
-
Упростите числовую дробь. В такой дроби и в числителе, и в знаменателе находятся числа (без переменной). Числовая дробь упрощается несколькими способами. Во-первых, просто разделите знаменатель на числитель. Во-вторых, разложите числитель и знаменатель на множители и сократите одинаковые множители (так как при делении числа на само себя вы получите 1). Другими словами, если и у числителя, и у знаменателя есть один и тот же множитель, его можно отбросить и получить упрощенную дробь.
- Например, рассмотрим дробь 36/60. При помощи калькулятора разделите 36 на 60 и получите 0,6. Но вы можете упростить эту дробь и по-другому, разложив числитель и знаменатель на множители: 36/60 = (6х6)/(6х10) = (6/6)*(6/10). Так как 6/6 = 1, то упрощенная дробь: 1 х 6/10 = 6/10. Но эту дробь также можно упростить: 6/10 = (2х3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.
-
Если дробь содержит переменную, можно сократить одинаковые множители с переменной. Разложите и числитель, и знаменатель на множители и сократите одинаковые множители, даже если они содержат переменную (помните, что здесь одинаковые множители могут содержать или не содержать переменную).
- Рассмотрим пример: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Это выражение можно переписать (разложить на множители) в виде: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Так как член 3x находится и в числителе, и в знаменателе, его можно сократить, и вы получите упрощенное выражение: (х + 1)/(5 - х). Рассмотрим другой пример: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
- Обратите внимание, что вы не можете сокращать любые члены – сокращаются только одинаковые множители, которые присутствуют как в числителе, так и в знаменателе. Например, в выражении (х(х + 2))/х переменная (множитель) «х» находится и в числителе, и в знаменателе, поэтому «х» можно сократить и получить упрощенное выражение: (х + 2)/1 = х + 2. Тем не менее, в выражении (х + 2)/х переменную «х» сокращать нельзя (так как в числителе «х» не является множителем).
-
Раскройте скобки. Для этого умножьте член, стоящий за скобкой, на каждый член в скобках. Иногда это помогает упростить сложное выражение. Это относится как к членам, которые являются простыми числами, так и к членам, которые содержат переменную.
- Например, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24, а 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
- Обратите внимание, что в дробных выражениях скобки раскрывать не нужно, если и в числителе, и в знаменателе присутствует одинаковый множитель. Например, в выражении (3(x 2 + 8))/3x скобки раскрывать не нужно, так как здесь можно сократить множитель 3 и получить упрощенное выражение (x 2 + 8)/x. С этим выражением легче работать; если бы вы раскрыли скобки, то получили бы следующее сложное выражение: (3x 3 + 24x)/3x.
-
Разложите на множители многочлены. При помощи этого метода можно упростить некоторые выражения и многочлены. Разложение на множители – это операция, противоположная раскрытию скобок, то есть выражение записывается в виде произведения двух выражений, каждое из которых заключено в скобки. В некоторых случаях разложение на множители позволяет сократить одинаковое выражение. В особых случаях (как правило, с квадратными уравнениями) разложение на множители позволит вам решить уравнение.
- Рассмотрим выражение x 2 - 5x + 6. Оно раскладывается на множители: (x - 3)(x - 2). Таким образом, если, например, дано выражение (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), то вы можете переписать его в виде (x - 3)(x - 2)/(2(x - 2)), сократить выражение (х - 2) и получить упрощенное выражение (х - 3)/2.
- Разложение многочленов на множители применяется для решения (нахождения корней) уравнений (уравнение – это многочлен, приравненный к 0). Например, рассмотрим уравнение x 2 - 5x + 6 = 0. Разложив его на множители, вы получите (х - 3)(х - 2) = 0. Так как любое выражение, умноженное на 0, равно 0, то мы можем записать так: х - 3 = 0 и х - 2 = 0. Таким образом, х = 3 и х = 2, то есть вы нашли два корня данного вам уравнения.
С помощью любого языка можно выразить одну и ту же информацию разными словами и оборотами. Не является исключением и математический язык. Но одно и то же выражение можно эквивалентным образом записать по-разному. И в некоторых ситуациях одна из записей является более простой. Об упрощении выражений мы и поговорим на этом уроке.
Люди общаются на разных языках. Для нас важным сравнением является пара «русский язык - математический язык». Одну и ту же информацию можно сообщить на разных языках. Но, кроме этого, её можно и на одном языке произнести по-разному.
Например: «Петя дружит с Васей», «Вася дружит с Петей», «Петя с Васей друзья». Сказано по-разному, но одно и то же. По любой из этих фраз мы бы поняли, о чём идёт речь.
Давайте посмотрим на такую фразу: «Мальчик Петя и мальчик Вася дружат». Мы поняли, о чем идет речь. Тем не менее, нам не нравится, как звучит эта фраза. Не можем ли мы её упростить, сказать то же, но проще? «Мальчик и мальчик» - можно же один раз сказать: «Мальчики Петя и Вася дружат».
«Мальчики»… Разве по именам не понятно, что они не девочки. Убираем «мальчики»: «Петя и Вася дружат». А слово «дружат» можно заменить на «друзья»: «Петя и Вася - друзья». В итоге первую, длинную некрасивую фразу заменили эквивалентным высказыванием, которое проще сказать и проще понять. Мы эту фразу упростили. Упростить- значит сказать проще, но не потерять, не исказить смысл.
В математическом языке происходит примерно то же самое. Одно и то же можно сказать, записать по-разному. Что значит упростить выражение? Это значит, что для исходного выражения существует множество эквивалентных выражений, то есть тех, что означают одно и то же. И из всего этого множества мы должны выбрать самое простое, на наш взгляд, или самое подходящее для наших дальнейших целей.
Например, рассмотрим числовое выражение . Ему эквивалентное будет .
Также будет эквивалентно первым двум: .
Получается, что мы упростили наши выражения и нашли самое краткое эквивалентное выражение.
Для числовых выражений всегда нужно выполнять все действия и получать эквивалентное выражение в виде одного числа.
Рассмотрим пример буквенного выражения . Очевидно, что более простое будет .
При упрощении буквенных выражений необходимо выполнить все действия, которые возможны.
Всегда ли нужно упрощать выражение? Нет, иногда нам удобнее будет эквивалентная, но более длинная запись.
Пример : от числа нужно отнять число .
Вычислить можно, но если бы первое число было представлено своей эквивалентной записью: , то вычисления были бы мгновенными: .
То есть упрощенное выражение не всегда нам выгодно для дальнейших вычислений.
Тем не менее очень часто мы сталкиваемся с заданием, которое так и звучит «упростить выражение».
Упростить выражение: .
Решение
1) Выполним действия в первых и во вторых скобках: .
2) Вычислим произведения: .
Очевидно, последнее выражение имеет более простой вид, чем начальное. Мы его упростили.
Для того чтобы упростить выражение, его необходимо заменить на эквивалентное (равное).
Для определения эквивалентного выражения необходимо:
1) выполнить все возможные действия,
2) пользоваться свойствами сложение, вычитания, умножения и деления для упрощения вычислений.
Свойства сложения и вычитания:
1. Переместительное свойство сложения: от перестановки слагаемых сумма не меняется.
2. Сочетательное свойство сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.
3. Свойство вычитания суммы из числа: чтобы вычесть сумму из числа, можно вычитать каждое слагаемое по отдельности.
Свойства умножения и деления
1. Переместительное свойство умножения: от перестановки множителей произведение не меняется.
2. Сочетательное свойство: чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.
3. Распределительное свойство умножения: чтобы число умножить на сумму, нужно его умножить на каждое слагаемое по отдельности.
Посмотрим, как мы на самом деле делаем вычисления в уме.
Вычислите:
Решение
1) Представим как
2) Представим первый множитель как сумму разрядных слагаемых и выполним умножение:
3) можно представить как и выполнить умножение:
4) Заменим первый множитель эквивалентной суммой:
Распределительный закон можно использовать и в обратную сторону: .
Выполните действия:
1) 2)
Решение
1) Для удобства можно воспользоваться распределительным законом, только использовать его в обратную сторону - вынести общий множитель за скобки.
2) Вынесем за скобки общий множитель
Необходимо купить линолеум в кухню и прихожую. Площадь кухни - , прихожей - . Есть три вида линолеумов: по , и рублей за . Сколько будет стоить каждый из трёх видов линолеума? (Рис. 1)
Рис. 1. Иллюстрация к условию задачи
Решение
Способ 1. Можно по отдельности найти, сколько денег потребуется на покупку линолеума в кухню, а потом в прихожую и полученные произведения сложить.
В начале урока мы повторим основные свойства квадратных корней, а затем рассмотрим несколько сложных примеров на упрощение выражений, содержащих квадратные корни.
Тема: Функция . Свойства квадратного корня
Урок: Преобразование и упрощение более сложных выражений с корнями
1. Повторение свойств квадратных корней
Вкратце повторим теорию и напомним основные свойства квадратных корней.
Свойства квадратных корней:
1. , следовательно, ;
3. ;
4. .
2. Примеры на упрощение выражений с корнями
Перейдем к примерам использования этих свойств.
Пример 1. Упростить выражение .
Решение. Для упрощения число 120 необходимо разложить на простые множители:
Квадрат суммы раскроем по соответствующей формуле:
Пример 2. Упростить выражение .
Решение. Учтем, что данное выражение имеет смысл не при всех возможных значениях переменной, т. к. в данном выражении присутствуют квадратные корни и дроби, что приводит к «сужению» области допустимых значений. ОДЗ: ().
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю и распишем числитель последней дроби как разность квадратов:
Ответ. при.
Пример 3. Упростить выражение .
Решение. Видно, что вторая скобка числителя имеет неудобный вид и нуждается в упрощении, попробуем разложить ее на множители с помощью метода группировки.
Для возможности выносить общий множитель мы упростили корни путем их разложения на множители. Подставим полученное выражение в исходную дробь:
После сокращения дроби применяем формулу разности квадратов.
3. Пример на избавление от иррациональности
Пример 4. Освободиться от иррациональности (корней) в знаменателе: а) ; б) .
Решение. а) Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, применяется стандартный метод домножения и числителя и знаменателя дроби на сопряженный к знаменателю множитель (такое же выражение, но с обратным знаком). Это делается для дополнения знаменателя дроби до разности квадратов, что позволяет избавиться от корней в знаменателе. Выполним этот прием в нашем случае:
б) выполним аналогичные действия:
4. Пример на доказательство и на выделение полного квадрата в сложном радикале
Пример 5. Докажите равенство .
Доказательство. Воспользуемся определением квадратного корня, из которого следует, что квадрат правого выражения должен быть равен подкоренному выражению:
. Раскроем скобки по формуле квадрата суммы:
, получили верное равенство.
Доказано.
Пример 6. Упростить выражение .
Решение. Указанное выражение принято называть сложным радикалом (корень под корнем). В данном примере необходимо догадаться выделить полный квадрат из подкоренного выражения. Для этого заметим, что из двух слагаемых является претендентом на роль удвоенного произведения в формуле квадрата разности (разности, т. к. присутствует минус). Распишем его в виде такого произведения: , тогда на роль одного из слагаемых полного квадрата претендует , а на роль второго - 1.
Подставим это выражение под корень.
Некоторые алгебраические примеры одним видом способны наводить ужас на школьников. Длинные выражения не только пугают, но и очень затрудняют вычисления. Пытаясь сходу понять, что и за чем следует, недолго запутаться. Именно по этой причине математики всегда стараются максимально упростить «жуткое» задание и только потом приступают к его решению. Как ни странно, такой трюк значительно ускоряет процесс работы.
Упрощение является одним из фундаментальных моментов в алгебре. Если в простых задачах без него ещё можно обойтись, то более трудные для вычисления примеры могут оказаться «не по зубам». Тут-то и пригодятся эти навыки! Тем более что сложных математических знаний не требуется: достаточно будет всего лишь запомнить и научиться применять на практике несколько базовых приёмов и формул.
Вне зависимости от сложности вычислений при решении любого выражения важно соблюдать порядок выполнения операций с числами :
- скобки;
- возведение в степень;
- умножение;
- деление;
- сложение;
- вычитание.
Последние два пункта можно спокойно поменять местами и это никак не отразится на результате. Но складывать два соседних числа, когда рядом с одним из них стоит знак умножения категорически нельзя! Ответ если и получится, то неверный. Поэтому нужно запомнить последовательность.
Применение подобных
К таким элементам относятся числа с переменной одного порядка или одинаковой степени. Существуют и так называемые свободные члены, не имеющие рядом с собой буквенного обозначения неизвестного.
Суть заключается в том, что при отсутствии скобок можно упростить выражение, складывая или вычитая между собой подобные .
Несколько наглядных примеров :
- 8x 2 и 3x 2 - оба числа имеют одну и ту же переменную второго порядка, поэтому они подобны и при сложении упрощаются до (8+3)x 2 =11x 2 , тогда как при вычитании получается (8-3)x 2 =5x 2 ;
- 4x 3 и 6x - а тут «х» имеет разную степень;
- 2y 7 и 33x 7 - содержат различные переменные, поэтому, как и в предыдущем случае, не относятся к подобным.
Разложение числа на множители
Эта маленькая математическая хитрость, если научиться её правильно использовать, в будущем не раз поможет справиться с каверзной задачкой. Да и понять, как работает «система», несложно: разложением называют произведение нескольких элементов, вычисление которого даёт исходное значение . Таким образом, 20 можно представить как на 20×1, 2×10, 5×4, 2×5×2 или другим способом.
На заметку : множители всегда совпадают с делителями. Так что искать рабочую «пару» для разложения нужно среди чисел, на которые исходное делится без остатка.
Проделывать такую операцию можно как со свободными членами, так и с цифрами при переменной. Главное, не потерять последнюю во время вычислений - даже после разложения неизвестная не может взять и «уйти в никуда». Она остаётся при одном из множителей :
- 15x=3(5x);
- 60у 2 =(15y 2)4.
Простые числа, которые можно разделить лишь на себя или 1, никогда не раскладываются - в этом нет смысла .
Основные способы упрощения
Первое, за что цепляется взгляд:
- наличие скобок;
- дроби;
- корни.
Алгебраические примеры в школьной программе часто составляются с учётом того, что их можно красиво упростить.
Вычисления в скобках
Внимательно следите за знаком, стоящим перед скобками! Умножение или деление применяется к каждому элементу внутри, а минус - меняет имеющиеся знаки «+» или «-» на противоположные.
Скобки вычисляются по правилам либо по формулам сокращённого умножения, после чего приводятся подобные.
Сокращение дробей
Сокращать дроби тоже несложно. Они сами через раз «охотно убегают», стоит произвести операции с приведением подобных членов. Но упростить пример можно ещё до этого: обращайте внимание на числитель и знаменатель . Они нередко содержат явные или скрытые элементы, которые можно взаимно сократить. Правда, если в первом случае нужно всего лишь вычеркнуть лишнее, во втором придётся подумать, приводя часть выражения к виду для упрощения. Используемые методы:
- поиск и вынесение за скобки наибольшего общего делителя у числителя и знаменателя;
- деление каждого верхнего элемента на знаменатель.
Когда выражение или его часть находится под корнем , первостепенная задача упрощения практически аналогична случаю с дробями. Необходимо искать способы полностью от него избавиться или, если это невозможно, максимально сократить мешающий вычислениям знак . Например, до ненавязчивого √(3) или √(7).
Верный способ упростить подкоренное выражение - попытаться разложить его на множители , часть из которых выносится за пределы знака. Наглядный пример: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).
Другие маленькие хитрости и нюансы:
- эту операцию упрощения можно проводить с дробями, вынося её за знак как целиком, так и отдельно числитель или знаменатель;
- раскладывать и выносить за пределы корня часть суммы или разности нельзя ;
- при работе с переменными обязательно учитывайте её степень, она должна быть равной или кратной корню для возможности вынесения: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)=√(x 2 ×x)=x√(x);
- иногда допускается избавление от подкоренной переменной путём возведения её в дробную степень: √(y 3)=y 3/2 .
Упрощение степенного выражения
Если в случае простых вычислений на минус или плюс примеры упрощаются за счёт приведения подобных, то как быть при умножении или делении переменных с разными степенями? Их можно легко упростить, запомнив два основных момента:
- Если между переменными стоит знак умножения - степени складываются.
- Когда они делятся друг на друга - из степени числителя вычитается она же знаменателя.
Единственное условие для такого упрощения - одинаковое основание у обоих членов. Примеры для наглядности:
- 5x 2 ×4x 7 +(y 13 /y 11)=(5×4)x 2+7 +y 13- 11 =20x 9 +y 2 ;
- 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 =0.
Отмечаем, что операции с числовыми значениями, стоящими перед переменными, происходят по обычным математическим правилам . И если присмотреться, то становится понятно, что степенные элементы выражения «работают» аналогично:
- возведение члена в степень обозначает умножение его на самого себя определённое количество раз, т. е. x 2 =x×x;
- деление аналогично: если разложить степень числителя и знаменателя, то часть переменных сократится, тогда как оставшиеся «собираются», что равносильно вычитанию.
Как и в любом деле, при упрощении алгебраических выражений необходимо не только знание основ, но и практика. Уже через несколько занятий примеры, когда-то кажущиеся сложными, будут сокращаться без особого труда, превращаясь в короткие и легко решаемые.
Видео
Это видео поможет вам разобраться и запомнить, как упрощаются выражения.
Не получили ответ на свой вопрос? Предложите авторам тему.
Замечание 1
Логическую функцию можно записать с помощью логического выражения, а затем можно перейти к логической схеме. Упрощать логические выражения надо для того, чтобы получить как можно более простую (а значит, и более дешёвую) логическую схему. По сути, логическая функция, логическое выражение и логическая схема −это три разных языка, рассказывающие об одной сущности.
Для упрощения логических выражений используют законы алгебры логики .
Какие-то преобразования похожи на преобразования формул в классической алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), а другие преобразования основаны на свойствах, которыми операции классической алгебры не обладают (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, правил де Моргана и др.).
Законы алгебры логики формулируются для базовых логических операций - “НЕ” – инверсия (отрицание), “И” – конъюнкция (логическое умножение) и “ИЛИ” – дизъюнкция (логическое сложение).
Закон двойного отрицания означает, что операция “НЕ” обратима: если применить ее дважды, то в итоге логическое значение не изменится.
Закон исключенного третьего гласит, что любое логическое выражение либо истинно, либо ложно (“третьего не дано”). Поэтому если $A=1$, то $\bar{A}=0$ (и наоборот), а, значит, конъюнкция этих величин всегда равно нулю, а дизъюнкция равна единице.
$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$
Упростим эту формулу:
Рисунок 3.
Отсюда следует, что $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.
Ответ: в шахматы играют ученики $B$, $C$ и $D$, а ученик $A$ не играет.
При упрощении логических выражений можно выполнять такую последовательность действий :
- Заменить все “небазовые” операции (эквивалентность, импликацию, исключающее ИЛИ и др.) на их выражения через базовые операции инверсию, конъюнкцию и дизъюнкцию.
- Раскрыть инверсии сложных выражений по правилам де Моргана таким образом, чтобы операции отрицания остались только у отдельных переменных.
- Затем упростить выражение, используя раскрытие скобок, вынесение общих множителей за скобки и другие законы алгебры логики.
Пример 2
Здесь последовательно использованы правило де Моргана, распределительный закон, закон исключенного третьего, переместительный закон, закон повторения, вновь переместительный закон и закон поглощения.